(modello) e valutazione dell`incertezza ()

Transcript

Formazione e pratica educativa della METROLOGIA
Riferimento Protocollo d’intesa USR-INRiM- GMME
2013-2014
Semplici considerazioni sull’incertezza
Parte seconda
Anita Calcatelli
ISTITUTO
NAZIONALE
DI RICERCA
METROLOGICA
2013 -2014:Formazione&Metrologia
Anita Calcatelli
Equazione della misurazione
Nella maggior parte dei casi il misurando, Y, non è
misurato direttamente ma è determinato mediante n
altre grandezze X1, X2, . . . , Xn attraverso una
funzione f, o equazione della misura (relazione tra
grandezze)
Y= f(X1,X2,…..Xn)
[1]
Tra le grandezze Xi sono incluse correzioni (o fattori di
correzione) e grandezze che tengono conto di altre sorgenti di
variabilità (osservatori differenti, strumenti, campioni, laboratori,
tempi in cui le osservazioni sono state fatte (per es. in giorni
diversi).
Questa equazione non esprime semplicemente una legge fisica ma
un processo di misurazione ed essa dovrebbe contenere tutte le
grandezze che possono dare un contributo significativo
all’incertezza da attribuire al risultato della misurazione
.
Anita Calcatelli
Una stima del misurando o grandezza d’uscita,y,
si ottiene applicando l’equazione Y= F(X1,X2,…..Xn)
e usando come grandezze d’ingresso le stime
x1,x2,. .,xn
per i valori delle n grandezze
d’ingresso X1, X2, . . , Xn.
Quindi la stima d’uscita y, che è
dell’operazione di misurazione, è data da
y = f(x1, x2, . . . , xn)
Anita Calcatelli
il
risultato
[2]
Combinazione delle componenti dell’incertezza
Calcolo dell’incertezza tipo composta
L’incertezza tipo composta del risultato di una
misurazione y, si indica con uc(y) ed è data dalla radice
quadrata della varianza stimata uc2(y) ed è calcolata
da;
2
*
j
n

i n
i  n  f 
i  n j  n f f
f f
2
2
uc ( y )   
u ( xi x j )      u  xi   2  
u ( xi , x j )
i 1 j 1 x x
i 1 x
i 1 j i 1 x x
i
j
i
j
 i
Questa equazione nota come legge di propagazione
dell’incertezza è basata sull’approssimazione del primo
ordine di una serie di Taylor** dell’equazione Y =
f(X1, X2, . . . , XN), rappresentata sperimentalmente
dalla relazione y = f(x1, x2, . . . , xn).
-------*Derivate parziali. La derivata di una funzione è la misura di quanto il valore di una funzione cambi al variare del
suo argomento.
** la serie di Taylor di una di una funzione in un punto è la rappresentazione della funzione come serie di termini calcolati
a partire dalle derivate della funzione stessa nel punto.
Anita Calcatelli
2
i  n  f 
i  n j  n f f
 f f
2
u ( xi x j )      u  xi   2  
u ( xi , x j )
u ( y)   
i 1 j 1 x x
i 1 x
i 1 j i 1 x x
i
j
i
j
 i
2
c
i n j n
Le derivate parziali di f rispetto alle Xi (coefficienti di
sensibilità) sono valutate per Xi = xi e u(xi) è
l’incertezza tipo associata con le stime di ingresso xi;
u(xi, xj)=u(xj,xi) è la covarianza stimata associata a
xi e xj. Essa rappresenta la correlazione tra le stime
di ingresso xi ed xj.
Il grado di correlazione tra xi e xj è caratterizzato
dal coefficiente di correlazione.
r ( xi , x j ) 
u ( xi , x j )
u ( xi )u ( x j )
Anita Calcatelli
r ( xi , x j )  r ( x j , xi )
 1  r ( xi , x j )  1
2
i  n j  n f f
 f  2
f f
u ( y)   
u ( xi x j )      u  xi   2  
u ( xi , x j )
i 1 j 1 x x
i 1 x
i 1 j i 1 x x
i
j
i
j
 i
2
c
i n j n
i n
2
i  n j  n f f
 f  2
u ( y      u  xi   2  
r ( x i , x j )u ( xi )u ( x j )
i 1 x
j 1 j i 1 x x
i
j
 i
2
c
i n
E, tenendo conto dei fattori di sensibilità diventa
i n
n 1
u c2 ( y )   ci2 u 2 ( xi )  2
i 1
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n
 c c u ( x )u ( x
i 1 j 11
i
j
i
j
) r ( xi , x j )
La relazione che rappresenta la legge di
propagazione delle incertezze diventa molto più
semplice se le stime di ingresso xi di Xi possono
essere considerate scorrelate, cioè tutte
indipendenti le une dalle altre e quindi il secondo
termine è nullo.
In questo caso si ha:
2
in
 f  2
  u xi    ci2u 2 ( xi )
u ( y )   
i 1  xi 
i 1
in
2
c
df/dxi==ci coefficienti di sensibilità
Si può interpretare la varianza composta u2(y) come
una somma di componenti ui  y   ci uxi  , ognuna delle
quali rappresenta il contributo appportato alla
varianza composta u2c(y) dalla varianza associata
Anita Calcatelli
alle stime
d’ingresso.
Nell’esempio della determinazione della
superficie di un rettangolo di lati a e b
ciascuno avente una incertezza tipo u(a) e
u(b)
Il modello s=a*b
Varianza composta
u2(s) = a2u2(b)+b2(a)+2u(a)u(b)
Anita Calcatelli
Nell’esempio della determinazione della velocità di
un corpo si eseguono misure di spazio e di
intervallo di tempo che sono del tutto indipendenti.
v=L/t
u2(v)=[(1/t) (v/L)]2.u2(L) + [(v/t).L]2.u2(t)
u2(v) = (1/t)
2.u2(L)
+ [(-1/t2).L]2u2(t)
Fattori di sensibilità
c1= 1/t,
c2 =(-1/t2)
u2(v)=(c1)2 u2(L)+(c2)2 u2(t)
Anita Calcatelli
Anche misure di accelerazione di un corpo
viene calcolata da misure di spazio e tempo
ma attraverso la velocità
a=v/t = L/t/t = L/t2
u2c(a)= (1/t2)2 u2(L) +[L(-1/t3)]2 u2(t)
(c1)2 = 1/t4, c22 =L2/t6
2
1 2
s 2
u a   4 u L   6 u t 
t
t
2
c
Anita Calcatelli
Il calcolo dell’incertezza u(y) dai termini ciu(xi)
composta implica la valutazione dei coefficienti di
sensibilità e quindi delle derivate parziali della
funzione
Y = f(Xi)
e delle stime
y = f(xi)
I fattori ci descrivono quanto una variazione nella
stima di ingresso xi influenza la stima d’uscita y, cioè
quanto quest’ultima è sensibile alla stima d’ingresso.
Quindi le ci sono dei pesi statistici.
Il calcolo dei fattori ci richiede il calcolo
delle derivate parziali della funzione f, il che
può essere più o meno semplice.2013 -2014:Formazione&Metrologia
Anita Calcatelli
Incertezza tipo composta in funzione delle
incertezze tipo d’ingresso
y=
2
c
u ( y)
a1x1+a2x2+.. an xn a12u2(x1) +a22u2(x2)+--+ an2u2(xn)
x1x2
x22u2(x1)+x12u2(x2)
x1/x2
(1/x2)2u2(x1)+(x1/x22)2)u2(x2)
xa
a2[x (a-1) ]2u2(x)=a2x(2a-1)u2(x)
log x
(1/x) 2u2(x)
Anita Calcatelli
Altro esempio
Si calcoli l’incertezza tipo composta di
y
 3  2 x1 x2  c1
x1
2
y
 3 x12  c2
x
2
1
y
  c3
x3 x4
y
 x3  c4
x4
Anita Calcatelli
y  3 x12 x2  x3 / x4
uc  y   c12u 2  x1   c22u 2  x2   c32u 2  x3   c42u 2  x4 
uc  y  
c u x   c u x   c u x   c u x 
2
1
2
1
2
2
2
2
2
3
2
3
2
4
2
4


1 2
2
2 2
4 2
2
u c  y   36 x1 x2 u  x1   9 x1 u  x2   2 u  x3   x3 u  x4 
x4


y1 =x1+x2
y2 =x1-x2
u2(y1) =u2(x1)+u2(x2)
u2(y2) =u2(x1)+u2(x2)
Anita Calcatelli
Se non c’è
correlazione
Riprendiamo l’ esempio della potenza dissipata visto
in precedenza,
P = f(V, R0, b, t) = V2/R0[1 + b(t - t0)]
l’incertezza tipo composta del valore stimato della
potenza P deriva dalle incertezze delle stime della
differenza di potenziale V, della resistenza Ro, del
coefficiente di temperatura b e della temperatura t.
Anita Calcatelli
P = f(V, R0, b, t) = V2/R0[1 + b(t - t0)]
E calcoliamo i fattori di sensibilità:
P
2V
2P


c1
V R0 1  bt  t0  V
P
V 2
P
c2 
 2

R0 R0 1  bt  t0  R0
 V 2 t  t0 
 Pt t 0 
P
c3 


b R0 1  bt  t0  1  bt  t0 
P
 V 2b
b
c4 


t R 0 1  bt  t0 2
P
 P  2
P
P
 P  2

u R0    u 2 b    u 2 t 



u P   
u
V

 V 
 b 
 t 
 R0 
2
E in definitiva
2
u P   c u V   c u R0   c u b   c u t 
2
Anita Calcatelli
2
1
2
2
2
2
2
3
2 2
4
Grandezza di
ingresso xi
u(xi)
distribuzi
one
Coeff.
sensibilità
Contrib.
incertezza
V
u(V)
normale
c1  2P/V
c1 . u(V)
R0
u(R0)
normale
c2  -P/R0
c2 . u(R0)
b
u(b)
normale
c3
t
u(t)
normale
C4  -b/P
Incertezza composta con cui è definito P
Anita Calcatelli

c3 . u(b)
 Pt t 0 
1  bt  t0 
c4
u c ( P) 
.
u(t)
i 4
2
[
c

u
(
x
)]
 i i
i 1
Ulteriori semplificazioni si hanno quando
l’equazione di misura è da
Y = a1X1+ a2X2+ . . . anXn
Somma dei termini Xi moltiplicati per le costanti ai
il risultato della misurazione è
y = a1x1 + a2x2 + . . . anxn
l’incertezza tipo composta è:
uc2(y) = a12u2(x1) + a22u2(x2) + . . . an2u2(xn)
Anita Calcatelli
oppure l’equazione è: Y = AX1a X2b. . . Xnp
Cioè il prodotto dei termini Xi, elevati alle
potenze a, b, ... moltiplicati per la costante A
il risultato della misurazione è
y = Ax1a x2b. . . xnp
l’incertezza tipo composta relativa è:
uc,r2(y) = a2ur2(x1) + b2ur2(x2) + . . . p2ur2(xn)
in cui ur(xi)è l’incertezza tipo relativa di xi ed è definita
da ur(xi) = u(xii/|xi|,
in cui |xi| è il valore assoluto di xi and xi è
diverso da zero; e uc,r(y) è l’incertezza
composta relativa di y ed è definita come
uc,r(y) = uc(y)/|y|, in cui |y| è il valore
Anita
Calcatelli
assoluto
di y e y diverso da zero 2013 -2014:Formazione&Metrologia
E così abbiamo inserito il concetto di
Incertezza tipo composta relativa
E’ data dall’incertezza tipo composta uc diviso per il
valore assoluto della grandezza, che si indica
semplicemente con ur(y) =uc(y)/y
Anita Calcatelli
Si possono sommare
incertezze di tipo A con
quelle di tipo B?
Le incertezze di tipo B derivano da fattori che
non variano durante la ripetizione delle
misurazioni; il loro effetto non può essere
sommato direttamente alle componenti di
categoria A, ma occorre trasformarle nei
corrispondenti scarti tipo adottando un’ipotesi
sulla forma della distribuzione che assumono i
valori.
Anita Calcatelli
Gsussiana di
n valori
rettangolare
triangolare
1/a
1/2a

s
a

2
a
s
3
a
s   0,5a
2
1 i n
 xi   

(n  1) i 1

Normale
noti i due

+ estremi
Anita Calcatelli a
a
s
6
Riepilogo delle
distribuzioni più
comunemente
utilizzate
Riprendiamo l’esempio
delle sue specifiche.
La stima di V è data da
del
voltmetro
e
V = (V) +(DV )
V = 0,928571 V
Ma (V) = 0,0
u[(v)] = 7,5 V distr. norm. tra due
estremi ,,, tipo B
u[(V)] = 12 V
distr. norm da misure ripetute
u (V )  u  V )   u  (V )  12 V  7,5 V
2
c
2
2
u  (144  56,25) V  200,25V
2
c
2
2
2
2
2
2
E quindi per l’incertezza composta
u c (V ) u c2 ((V )  200,25V  14,15V
Anita Calcatelli
Significato dell’incertezza
Se la distribuzione di probabilità caratterizzata dal
risultato della misurazione y è normale (gaussiana) e
uc(y) è una stima attendibile dello scarto tipo allora
ci si aspetta che l’intervallo di y da y- uc(y) a y +
uc(y) copra approssimativamente il 68 % della
distribuzione
dei
valori
che
potrebbero
ragionevolmente essere attribuiti alla grandezza Y di
cui y è una stima.
Ciò implica che con un livello di confidenza del 68 % Y
è maggiore o eguale a y uc(y) ed è minore o eguale
di y + uc(y), il che comunemente viene scritto come
Y= y ± uc(y).
Anita Calcatelli
Incertezza estesa e fattore di copertura
Sebbene l’incertezza tipo composta uc esprima di solito
l’incertezza di parecchi risultati di misurazioni, per alcune
applicazioni commerciali, industriali e normative (ad esempio
quando si tratta di salute e sicurezza) si richiede spesso una
valutazione dell’incertezza che definisca un intervallo intorno al
risultato della misurazione y entro il quale cade il valore del
misurando Y con un certo livello di fiducia.
Per questo si usa definire un incertezza
estesa, indicata con U, che si ottiene
moltiplicando l’incertezza uc(y) per un fattore
di copertura kp [U = kpuc(y)].
Così si può dire
Anita Calcatelli
Che, con una certa percentuale di fiducia, Y è
maggiore o eguale a y - U, ed è minore o
eguale a y + U, il che comunemente si scrive
come Y = y ± U.
Anita Calcatelli
In genere, il valore del fattore di copertura kp viene
scelto sulla base di un livello di confidenza che si
desidera associare con l’intervallo definito da U = kpuc..
Tipicamente, kp è nell’intervallo da 2 a 3
Quando si considera una distribuzione normale e uc è
una stima attendibile dello scarto tipo di y, U = 2 uc
(cioè kp = 2) definisce un intervallo avente un livello di
confidenza approssimativamente del 95 %, e U = 3 uc
(cioè kp = 3) definisce un intervallo avente un livello di
confidenza del 99 %.
Incertezza estesa relativa
Per analogia con l’incertezza tipo relative ur e
l’incertezza composta relative uc,r l’incertezza
estesa relative del risultato di una misurazione
y è Ur = U/|y|, y diverso da zero.
Anita Calcatelli
Livello di
fiducia %
68,27
Fattore di
copertura
kp
1
90
1,845
95
1,960
95,45
2
99
2,576
99,73
3
Anita Calcatelli
Valore del fattore
di copertura kp che
genera un intervallo
di fiducia p, nel
caso
di
una
distribuzione
normale
Livello di
fiducia %
Fattore di
copertura kp
57,74
1
95
1,65
99
1,71
100
kp>=31/2
Anita Calcatelli
Distribuzione
rettangolare con
valore atteso 
e scarto tipo
s=a/31/2
La distribuzione
rettangolare
è
più stretta di
quella normale
La determinazione di un intervallo di fiducia non è
facile se non si conosce la distribuzione delle
stime d’uscita.
In genere ci si accontenta di riuscire
stabilire un intervallo approssimato.
a
E’ comunque necessario calcolare i gradi di libertà
effettivi della uc(y) in funzione dei gradi di libertà
delle singole stime d’ingresso, u(xi)
Anita Calcatelli
Un modo per calcolare il numero dei gradi di
libertà effettivi si basa sulla formula di
Welch-Satterthwaite
 eff  u 4 y 
n

i 1
 y


u x i 
 x i

4
i
Si fissa quindi il tipo di distribuzione, si calcola il
numero che rappresenta i gradi di libertà e poi, da
opportune tabelle, si ricava il fattore di copertura.
Nel caso di misure ripetute n volte e nell’ipotesi
di distribuzione normale di probabilità il numero
dei gradi di libertà è n-1.
Anita Calcatelli
Esempio di calcolo della eff
Si abbia una funzione del tipo y = f(x1,x2,x3) = b x1 x2 x3
x1 sia la media aritmetica di 10 misure
Tutte osservazioni indipendenti
u(x1)/x1 = 0,25 %, u(x2)/x2 = 0,57 %, u(x3)/x3 = 0,82%
u c ( y ) 2 i 3 u ( x i 2
[
]  (
)  0,25 2  0,57 2  0,82 2  (1,03%) 2
y
xi
i 1
 eff
(u c ( y ) / y )4
(1,03) 4
 i 3

 190
4
4
4
4
[u ( x) / xi ]
(0,25)
(0,57)
(0,82)



9
4
14
i
i 1
Anita Calcatelli
Una delle distribuzioni più utilizzate è quella di
Student
Gradi di
libertà
Frazione%
68,27
90
95
95,4
5
99
100
1
1,84
6,31
12,71
13,9
7
63,66
235,80
10
1,05
1,81
2,23
2,28
3,17
3,96
15
1,03
1,75
2,13
2,18
2,95
3,59
25
1,02
1,71
2,06
2,11
2,79
3,33
50
1,01
1,68
2,01
2,05
2,58
3,16
1,0
1,645
1,96
2,00
2,576
3,00
neff

Anita Calcatelli
Esempi di dichiarazione di incertezza
Per una massa nominale di 100 g:
scrivere ms = 100,02147 g con uc = 0,35 mg, significa
che per una distribuzione approssimativamente normale
il valore incognito della massa cade nell’intervallo ms ± uc
con livello di confidenza del 68 %.
Oppure
scrivere ms = (100.021 47 ± 0.000 70) g, in cui il
numero che segue il simbolo ± è il valore numerico
dell’incertezza estesa U = kpuc, con U calcolato
dall’incertezza tipo composta (cioè lo scarto tipo
stimato) nell’intervallo definito da U con un livello di
confidenza approssimativamente del 95 %.
Anita Calcatelli
La norma ISO-GUM è oggi accettata da
tutti gli istituti Metrologici Nazionali e da
molte industrie ed è stata tradotta in
molte lingue.
E’ inoltre stata adottata da molte organizzazioni
metrologiche tra cui, per esempio
EURAMET = European Collaboration in Measurement
Standards
EUROLAB = analytic chemistry in Europe
EA = European Cooperation for Accreditation
EU = European Union; adottata da CEN e pubblicata
come EN 13005.
NORAMET = North American Collaboration in
Measurement Standards
Anita Calcatelli
E’ stata costituita una organizzazione internazionale
(Joint Committee for Guides in Metrology-JCGM) che
ha la responsabilità del mantenimento e della revisione
della GUM (così come del VIM = Vocabolario di
Metrologia).
http://www.bipm.org/enus/2_Committees/joint_committ
ees.html
Anita Calcatelli
riepilogo dei vari gradini che si
debbono seguire per dare al
risultato di una misurazione un
significato pieno
Anita Calcatelli
Flow-chart
In conclusione i vari gradini sono:
1. Determinazione del misurando Y=f(Xi)
2. Identificazione dei contributi y=f(xi)
3. Quantificazione dei contributi
4. Calcolo dell’incertezza tipo composta
5. Calcolo dell’incertezza estesa
Anita Calcatelli
1. Determinazione del misurando Y=f(Xi)
Obiettivo: attribuzione di un valore al
misurando Y che è funzione della
grandezze di ingresso Xi
Definire la relazione funzionale f
Anita Calcatelli
2. Identificazione dei contributi y=f(xi)
Definizione di come si misurano le singole
stime xi, gli effetti su ciascuna di esse per
esempio dell’ambiente, le origini di tutte le
incertezze (certificato di taratura, materiali
di riferimento, operatore, campionamento,
software, ecc)
Anita Calcatelli
3. Quantificazione dei contributi all’incertezza
Ad ogni attribuzione di valori xi alla grandezza di
ingresso Xi deve essere associata una incertezza
tipo di ingresso di
- categoria A su basi statistiche
- di categoria B  da altre fonti di informazione
Anita Calcatelli
4. Calcolo dell’incertezza tipo composta
Dopo aver valutato le incertezze di ingresso dei
due tipi si calcola l’incertezza composta con
2
i  n  y


 y
u  y     u ( xi )   uc  y     u ( xi ) 
i 1 x
i 1 x

 i

 i
2
c
i n
2
Per grandezze d’ingresso non correlate
Anita Calcatelli
5. Calcolo dell’incertezza estesa
U(y) = kpu(y)
kp = fattore di
copertura
Il fattore kp va individuato in base al livello di
probabilità che si vuole definire ed in base ai
gradi di libertà effettivi da attribuire a uc(y).
La presenza del fattore kp non modifica il
risultato di una misurazione, ma è un modo
diverso di rappresentare il risultato.
In kp è in genere compreso tra 2 e 3
Anita Calcatelli
Riprendiamo l’equazione della
composizione delle incertezze, nel caso di
grandezze, e quindi stime, di ingresso
correlate
Anita Calcatelli
Correlazione
2
i  n j  n f f



f
2
2


uc ( y )      u  xi   2  
u ( xi , x j )
i 1 x
j 1 j i 1 x x
 i
i
j
i n
Termine di correlazione
u(xi, xj) = u(xj,xi)


Il grado di correlazione
u xi , x j
r xi , x j 
tra xi ed xj è stimato dal
u  xi u x j
coefficiente di
correlazione
 1  r ( xi , x j )  r ( x j , xi )  1


 
Se le stime xi e xj sono indipendenti r(xi,xj)=0
Se le stime xi e xj sono correlate con r(xi,xj)=1
Anita Calcatelli
r(xi,xj)=1
L’incertezza composta u2(y) diventa

 f


uc  y     [ciu ( xi )     [ u ( xi ) 
 i 1
  i 1 x

2
i n
2
i n
2
La varianza composta u2c(y) può essere vista
come la somma di termini, ognuno dei quali
rappresenta la varianza stimata associata alla
stima d’uscita yi generata dalla varianza
associata ad ogni stima d’ingresso xi.
e quindi la uc(y) è la somma aritmetica dei vari
termini.
Anita Calcatelli
Qualche esempio
Anita Calcatelli
Supponiamo di disporre di una camera alla
quale si vuole attribuire una temperatura
media.
Disponiamo di quattro termometri a resistenza ciascuno dotato del
suo strumento di misura ed inoltre tarati, idealmente, da
istituzioni separate e tra loro indipendenti.
t4
t2
t1
Ciascuna ti è stimata da un
valore medio dei risultati
delle misurazioni e da una
uc(ti)
t= (t1+t2+t3+t4)/4
t3
Le stime t1,t2,t3 e t4 sono dunque tra loro indipendenti.
1 i 4
1 2
2
2
2
uc (  t ) 
 ui (t )  [u (t1 )  u (t2 )  u (t3 )  u (t4 )]
4  1 i 1
3
2
Anita Calcatelli
Le ui sono riportate nel certificato di taratura
Se però voglio fare una valutazione più raffinata
dovrò tenere conto anche di:
** Risoluzione, anche dello zero se l’insieme
resistenza-strumento lo rende necessario e
quindi due volte la varianza calcolata con
distribuzione rettangolare
** Ripetibilità di ciascuna misura, se posso eseguire
in ciascun punto misurazioni ripetute per cui
ogni ti è rappresentata da un valore medio e
da uno scarto tipo della media, con
distribuzione gaussiana
** stabilità, se posseggo più certificati di taratura
eseguiti in tempi diversi, varianza calcolata
con
distribuzione normale tra due valori,
Anita Calcatelli
massimo e minimo.
Quindi per ciascuna (ti) si calcola l’incertezza
composta che è data dalla radice quadrata della
vatianza ossia della somma dei quadrati delle
singole componenti.
u2((ti) = u2i,risol+u2i,rip +u2i,stab
Si avranno così quattro nuovi valori delle stime
di ingresso della varianze delle ti)
Poi si prosegue come nel caso precedente
Anita Calcatelli
Se invece le quattro resistenze sono tutte collegate
ad un medesimo strumento di misura ed inoltre sono
state tarate da uno stesso laboratorio o primario o
accreditato, con la medesima strumentazione di
riferimento
si può supporre
correlazione tra i
siamo nel caso
correlazione r(ti, tj)
che ci sia una completa
quattro termometri e quindi
in cui il coefficiente di
=1
Perciò le singole incertezze ui si sommano tra di
loro.
u(t) = (1/4) x [u(t1)+u(t2)+u(t3)+u(t4)]
Anita Calcatelli
Si supponga ora di avere due termoresistenze
indipendenti ma tarate per confronto con uno
stesso termometro avente u(trif), voglio
utilizzare il valore medio delle letture dei due
termometri che sono tra loro correlati
mediante il riferimento.
Anita Calcatelli
t = (t1+t2)/2
2
i  n j  n f f
 f  2
r ( x i , x j )u ( xi )u ( x j )
u ( y      u  xi   2  
i 1 x
j 1 j i 1 x x
 i
i
j
2
c
i n
   

 1
1
u  t    u (t1 )    u (t 2)  2  t  t u (t1 )u (t2 ) r (t1 , t2 ) 

2
 2
 t1 t2 
2
2
2
c
2
2
2
2
11

1
 1
u  t    u (t1 )   u (t2 )  2
u (trif )u (trif )r (t1 , t2 )
22

 2
2
2
c
1
1
1
1
1
 1

2
u  t    u (t1 )   u (t2 )  2 u 2 (trif )  1  u t1 )   u t2 )   u 2 trif 
4
4
4
2
2
 2

2
c
Ma la correlazione vale 1 solo per la componente della
varianza dovuta al riferimento in tutto il resto vale 0.
Da confrontare con il caso delle
completamente scorrelate che darebbe
u 2  t  
Anita Calcatelli
1 2
1
u t1   u 2 t 2 
4
4
due
ti
Misurazione della densità di un corpo
• Densità = massa/volume
• La massa si ottiene da misurazioni con una bilancia
• Il volume potrà essere ottenuto da
- misurazioni della geometria del corpo preso in
esame se semplice (cilindro o parallelepipedo)
•
Misurazioni di volume con un contenitore tarato
Anita Calcatelli
V=2  r2 h
V= a b c
?
d
c
2r
h
b
Anita Calcatelli
R
a
V=22 r R
Densità = massa/ volume
 = M/V
Massa misurata con la bilancia con un’incertezza data
dalla taratura di u= 10 g
Volume se si ricava dalla geometria sarà determinabile
da misurazioni di lunghezza con un regolo graduato o
con un calibro
Anita Calcatelli
Cilindro: V=  r 2 h, V= 785 cm3
2
2
 dV  2
 dV  2
dV dV
2



 u (r ) 
 u (h) 2
u ( r )u ( h)r ( r , h)
u (V ) 
dr dh
 dr 
 dh 

 2 hr 2 u ( r )  2 r 2
 u ( h )  2 ( r
2
2
)( 2 rh ) u ( r ) u ( h ) r ( r , h )
u2(V) =(2rh)2u2(r)+(r2)2u2(h)+2(2rh)(r2)u(r)u(h)
u2(V) =98596 x 0,01+616225 x0,01+2x628 x78,5x0,01
u2(V)= 985+6162+985,96 cm4=8132,96 cm4 , u(V) = 90, 2 cm3 ,
ur(V)=90,2/785=0,11 11%
Anita Calcatelli
Se M = 2 kg =2000 g con u(M) = 10 g
 d  2
 d  2
u    
 u (V )  
 u (M )
 dV 
 dM 
2
2
2
2
2
1  2

1 2
u (  )   M 2  u (V )    u ( M )
 V 
V 
2
u2= [2000/(785)2]2 (8182,96)2+ (1/785)2 (10)2 = 705,35 g2
u g ur =26,56/2000 = 0, 013 13 %
u2(V) =98596 x 0,01+616225 x0,01+2x628 x78,5x0,01
Anita Calcatelli
In generale
Anita Calcatelli
Incertezza di un trasduttore secondario
Parametri derivanti dal trasduttore o sistema di
riferimento e riportati nel certificato di taratura.
Fattori propri dello strumento considerato
Risoluzione
Linearità
Ripetibilità
Isteresi
Modello di rappresentazione
funzionale dei risultati (curva di
fitting)
Anita Calcatelli
Effetti di altre grandezze,
temperatura, campo magnetico,
vibrazioni
In qualsiasi utilizzo di uno strumento si avrà
una relazione del tipo:
xi  letturai   i
L’esito dell’osservazione è pertanto costituito
dalla somma di due termini: la lettura, come è
ovvio, ed un termine di correzione.
Se non applico la correzione che so che esiste
dovrò in qualche modo tenerne conto
nell’incertezza.
Potrò cioè dire che la stima della correzione è
zero; la stima tuttavia esiste come qualsiasi altra
stima d’ingresso non nulla e, come questa, deve
essere accompagnata dalla sua incertezza tipo,
che,
in genere è di categoria B.
Anita Calcatelli
Se si applica la correzione occorre definirne
l’incertezza
Anita Calcatelli
Oppure
Si definisce un fattore di correzione dato da
fci =(valore della grandezza generata ):
(lettura nel punto-lettura di zero)
 ed fc sono dati contenuti nei certificati
di taratura con le loro incertezze
Oppure, per uno strumento di lavoro,
saranno valutati per confronto con un
campione tarato disponibile in laboratorio
Vediamo come si generano le incertezze
Anita Calcatelli
Trasduttori di pressione
Strumenti a indice
Capsule Dial Gauge, Force
Gauge scale
Connection
to system
Leak-tight case
Hollow
capsule
Mechanical
linkage
Membrana con
estensimetro
•Range:
1000 mbar (105 Pa) and down
•Resolution:
1 in 103
•Accuracy:
+/- 0.2% of full scale
•Diaphragm:
316 SS, generally
•Power:
13.5 to 36 vDC
•Fittings:
1/8” NPT, NW16
•Applications:
Vacuum furnaces,
transformer degassing
Circuito elettronico
Capacitance amnmeter
Membrane
capacitive
Anita Calcatelli
June 2007
Power Supply
Schematic
•Capacitance Manometers
Converter
Oscillator
tension
Preamplifier
frequenzcy
Amplifier
of offset
differential
Amplifiier
Anita Calcatelli
Outlet
amplifier
Output
signal
–Measurement range: 4 decades in the range 1000
mbar to 10 -3 mbar
–Accuracy: approx.. ±0.15% of reading
–Measurement independent of gas type
–Electrical output for remote indication
of pressure
Taratura per l’esterno e per produrre un
certificato di taratura.
Il riferimento può essere generato o con un
sistema primario (a) o con un trasduttore
secondario (misura indiretta) tarato (b) .
Primario
Trasduttore
da tarare
(a)
Trasduttore
di
riferimento
Camera di taratura in
cui si generano i vari
valori per es. di
pressione
Anita Calcatelli
Trasduttore
da tarare
(b)
Schema dell’impianto statico dell’INRIM
Strumento di riferimento
per la misura di Rj o
misuratore da tarare
V1
V2
V3
Strumento
Misuratore di
trasferimento
per p0i
Sistema di
pompaggio
Sistema di
pompaggio
da tarare
Sistema di
pompaggio
Schema di impiaqnto primario
dell’INRIM
Imm. gas
Sistema di
pompaggio
V0 p0 = px (V0 + V1 )
If Se la temperatura è costante nello
spazio e nel tempo
time
Nel
- volume piccolo V0 la pressione è misurata in modo
molto preciso(bilancia
di pressione)
)
Il gas da V0 viene espanso in V1 ae la pressione diventa px
- p V / T = const.
cost .
p0V0/T0 = px(v0+V1)/T1, px= p0V0T1/[(V0+V1)T0= (1/ R) p0 FC(T)
- p x = p 0 (V 0 T1 ) / T 0 (V0 + V 1 )
Anita Calcatelli
p  p0 
1 Tcal

 Fi
R 2013
T -2014:Formazione&Metrologia
Standard
uncertainty
Nominal pressure Generated pressure
of the
generated
pressure
(Pa)
(Pa)
(Pa)
-0,018
20,538
-0,0182
20,538
Base pressure
-0,0181
20,538
Base pressure
-0,018
20,538
0,100177777 0,0002145
0,1
Base pressure
0,320154064 0,0006524
20,546
20,546
0,087
20,546
0,3182
20,527
0,3
0,3182
20,527
0,3
0,3182
20,527
Base pressure
Letture di
zero
-0,0182
1
0,999200912 0,0020044
1,024
20,546
1
1,025
20,546
1
1,025
20,546
Base pressure
-0,0182
3
2,8860792 0,0082099
2,987
20,598
3
2,987
20,598
3
2,987
20,598
Base pressure
-0,0183
10
10,01448785
0,009012
10,249
20,615
10
10,249
20,615
10
10,249
20,615
Base pressure
-0,0183
30
30,44899713 0,0259727
30,908
20,626
30
30,907
20,626
30
30,907
20,626
Base pressure
-0,018
100
B
0,087
0,087
-0,0182
0,3
Letture
(°C)
Base pressure
0,1
Anita Calcatelli
(Pa)
Temperature
of the
calibration
system
Base pressure
0,1
Taratura di un
trasduttore
capacitivo a
membrana
Reading
from the
transfer
gauge
99,64653524 0,0834066
100,952
20,643
100
100,952
20,650
100
100,952
20,650
0 0182
20 668
Ripetibilità: taratura di un trasduttore di pressione
Per comodità di analisi inseriamo il fattore di correzione, fc =lettura delllo
strumento di riferimento/(lettura –lettura di zero)/
In tre giorni successivi, tre cicli completi in
successione
pgen/Pa
ciclo 1
ciclo 2
ciclo 3
media
dev strel
dev st rel media
normale dela med
0,1
1,0044
0,9960
0,9995
0,9960
0,9995
0,9912
0,9995
0,9912
0,9977
0,3
1,0044
0,9973
0,9996
0,9973
0,9996
0,9930
0,9996
0,9930
0,9986
1
1,0035
0,9986
0,9987
0,9986
0,9987
0,9963
0,9987
0,9963
0,9993
3
1,0022
0,9979
0,9971
0,9979
0,9971
0,9981
0,9971
0,9981
0,9988
10
1,0027
0,9978
0,9992
0,9978
0,9992
0,9965
0,9992
0,9965
0,9990
30
1,0015
0,9983
1,0002
0,9983
1,0002
0,9972
1,0002
0,9972
0,9993
0,9972
4,2E-03
1,4E-03
6,6E-03
0,9980
3,5E-03
1,2E-03
5,7E-03
0,9987
2,1E-03
7,0E-04
3,6E-03
0,9983
1,6E-03
5,3E-04
2,5E-03
0,9986
1,9E-03
6,2E-04
3,1E-03
0,9991
1,5E-03
4,9E-04
2,1E-03
Tarature
eseguite nello
stesso giorno,
100
0,9986
0,9977
stesse condizioni
0,9991
0,9977
0,9991
2
1 in
0,9976 s 
 xi   
n

(
1
)
i

1
0,9991
0,9976
0,9982
i

s(  ) 
s( x )
n
0,9983
6,6E-04
2,2E-04 gaussiana
7,4E-04 normale tra due estremi
Scarto
tipo
della
In realtà la popolazione di dati per ogni livello di
pressione è maggiore perché ogni misura è ripetuta
tre volte, cioè si avrebbe in totale un numero n=27,
media
2013
-2014:Formazione&Metrologia
quindi Anita
si Calcatelli
applica la distribuzione gaussiana.
costruzione del valore dell’incertezza da attribuire
all’insieme trasduttore + alimentatore e strumento di
letture
Anita Calcatelli
Tutti gli scarti tipo sono
u
crel
relativi
p/Pa
fc
0,1
0,3
1
3
10
30
100
Si tratta ora
di attribuire
un’incertezza a
tutti questi
punti medi
Anita Calcatelli
 s 2  u 2 ( prif )  u 2 risol
s media
u(prif)/prif urisol
uc rel
0,9972
1,4E-03
2,1E-03
5,8E-04
2,6E-03
0,9980
3,5E-03
2,0E-03
1,9E-04
4,0E-03
0,9987
7,0E-04
1,9E-03
5,8E-05
2,0E-03
0,9983
5,3E-04
1,1E-03
1,9E-05
1,3E-03
0,9986
6,2E-04
8,2E-04
5,8E-06
1,0E-03
0,9991
4,9E-04
8,5E-04
1,9E-06
9,9E-04
0,9983
2,2E-04
8,4E-04
5,8E-07
8,7E-04
s( ) 
s ( xi )
n
urisol
0,0001

/ valoremedio
2 3
u 'risol  2 u risol
Perché c’è una doppia
lettura,
nel punto e di zero
A questo punto si potrà fornire una tabella del
tipo seguente
fc
media
uc rel
1,003
1,002
uc
0,1
0,9972
2,6E-03
2,5E-03
0,3
1
3
0,9980
0,9987
0,9983
4,0E-03
2,0E-03
1,3E-03
4,0E-03
2,0E-03
1,3E-03
10
0,9986
1,0E-03
1,0E-03
30
0,9991
9,9E-04
9,9E-04
100
0,9983
8,7E-04
8,6E-04
0,9983
5,6E-03
fc
p/Pa
1,001
1,000
0,999
0,998
0,997
0,996
0,995
0,994
0,993
0,1
10
p/Pa
5,6E-03
Visto che non c’è una linea di
tendenza, si può decidere di usare
un solo fattore fc in tutto il campo
di pressione
Anita Calcatelli
1
100
media
0,998324
5,6E-03
5,6E-03
1,0060
1,0040
1,0020
fc
1,0000
0,9980
0,9960
0,9940
0,9920
0,1
1
pt/Pa
10
100
A questo punto devo stabilire qual è il fattore di
copertura, avendo trasformato tutti i dati che
avevo sulle componenti dell’incertezza in varianze e
scarti tipo posso immaginare un numero elevato di
gradi di libertà, posso fare l’ipotesi di un kp =2
fc=0,983 con Uc= 0,11 al 95% di2013
probabilità
Anita Calcatelli
Segue esempio: taratura di un trasduttore di
pressione
In vari periodi, nell’arco di alcuni anni
pgen/Pa
0,1
0,3
1
3
10
30
100
pgen/Pa
media
dev.st relativa
dev st rel della media
1
0,9972
1,0044
0,9987
0,9977
0,9986
0,9986
0,9983
2
0,9967
0,9946
0,9955
1,0001
1,0015
1,0009
1,0007
3
0,9970
0,9947
0,9964
0,9962
1,0014
0,9995
0,9998
4
0,9939
0,9994
0,9995
1,0005
1,0014
1,0037
1,0029
5
1,0016
1,0006
1,0006
1,0009
1,0019
1,0037
1,0035
6
1,0004
0,9992
0,9996
1,0000
1,0009
1,0022
1,0016
0,1
0,9978
2,8E-03
1,1E-03
0,3
0,9988
3,7E-03
1,5E-03
1
0,9984
2,0E-03
8,2E-04
3
0,9992
1,8E-03
7,5E-04
10
1,0010
1,2E-03
4,8E-04
30
1,0014
2,2E-03
8,9E-04
3,9E-03
4,9E-03
2,6E-03
2,3E-03
1,6E-03
2,6E-03
100
1,0011
2,0E-03
8,0E-04 gaussiana
2,6E-03 normale tra
Lo scarto tipo della media rappresenta la
componente di riproducibilità (stabilità) nel tempo
È maggiore del termine di ripetibilità e si può quindi
pensareAnita
diCalcatelli
usare solo la componente di stabilità
Sei cicli condotti in tempi diversi su un arco di
circa 3 anni
scarto tipo sperimentale all’interno di ognuno degli insiemi di valori considerati
pt/Pa
0,1
0,3
1,00
3,0
10,0
30,0
100
1
1,21E-03
9,58E-04
3,93E-04
7,22E-04
3,87E-04
4,33E-04
2,36E-04
2
1,78E-03
1,70E-04
2,22E-04
5,25E-04
1,46E-04
1,07E-04
1,19E-04
3
9,97E-04
2,04E-04
1,24E-04
6,91E-05
1,31E-04
3,50E-05
6,47E-05
4
1,47E-03
1,70E-04
6,13E-05
4,57E-05
6,87E-05
2,01E-04
7,82E-05
5
2,72E-04
2,54E-04
2,16E-04
1,96E-04
1,81E-04
2,32E-04
9,56E-05
6
6,11E-04
2,12E-04
9,09E-05
4,82E-05
6,32E-05
4,67E-05
4,61E-05
Tranne questi due punti tutti gli altri sono
valori inferiori alla stabilità o riproducibilità (a
lungo termine), qui cambia solo il tempo, tutto
il resto: modo di generare la pressione,
Anita Calcatelli
operatore, ambiente .. é lo stesso
Calcolo dell’incertezza composta tenendo conto
della riproducibilità, stabilità nel tempo
p/Pa
media u(prif)/prif rel stab
uresol
ucrel
0,1 0,9978
2,1E-03
3,9E-03
5,8E-04
4,4E-03
0,3 0,9988
2,0E-03
4,9E-03
1,9E-04
5,3E-03
1 0,9984
1,9E-03
2,6E-03
5,8E-05
3,2E-03
3 0,9992
1,1E-03
2,3E-03
1,9E-05
2,6E-03
10 1,0010
8,2E-04
1,6E-03
5,8E-06
1,8E-03
30 1,0014
8,5E-04
2,6E-03
1,9E-06
2,7E-03
100 1,0011
8,4E-04
2,6E-03
5,8E-07
2,7E-03
Uc
Ucrel
8,8E-03
8,8E-03
1,1E-02
1,1E-02
6,4E-03
6,4E-03
5,2E-03
5,2E-03
3,7E-03
3,7E-03
5,5E-03
5,5E-03
5,5E-03
5,5E-03
Opero come in precedenza
Ucrel
Uc
media ucrel
0,9997
9,1E-03
1,8E-02
1,8E-02
fc=0,9997 con Uc=0,18 al 95 % di probabilità
Da confrontare con il precedente, con ripetibilità
all’interno del ciclo
Anita Calcatelli con U = 0,11
fc=0,983
al 95% di probabilità
c
Taratura di un altro strumento analogo
Anita Calcatelli
0,1
0,3
1
3
10
30
100
1,0305
1,0316
1,0265
1,0220
1,0107
1,0035
1,0011
1,0295
1,0313
1,0275
1,0220
1,0106
1,0034
1,0011
1,0305
1,0316
1,0265
1,0220
1,0106
1,0034
1,0011
1,0426
1,0318
1,0285
1,0258
1,0112
1,0029
1,0005
1,0436
1,0318
1,0286
1,0258
1,0113
1,0028
1,0004
1,0426
1,0318
1,0285
1,0258
1,0112
1,0029
1,0004
1,0336
1,0310
1,0273
1,0230
1,0117
1,0028
1,0012
1,0346
1,0304
1,0271
1,0231
1,0117
1,0028
1,0012
1,0336
1,0307
1,0272
1,0230
1,0117
1,0028
1,0012
1,0357
1,0313
1,0275
1,0236
1,0112
1,0030
1,0009
scarto tipo sper
5,73E-03
5,21E-04
8,01E-04
1,71E-03 4,60E-04
3,12E-04 3,13E+01
della media
1,91E-03
1,74E-04
2,67E-04
5,70E-04 1,53E-04
1,04E-04 1,04E+01
media
Può essere uno strumento di prima linea
pt
ucrel
4,4E-03
5,3E-03
3,2E-03
2,6E-03
1,8E-03
2,7E-03
2,7E-03
fc
rel rip
u(p s)/p s
rel res
u(fc/fc)
0,1
1,0313
1,91E-03
6,00E-03 5,77E-04
6,32E-03
0,3
1,0236
1,74E-04
2,67E-03 1,92E-04
2,68E-03
1,0
1,0030
2,67E-04
1,80E-03 5,77E-04
1,91E-03
3,0
0,0000
5,70E-04
1,30E-03 1,92E-04
1,43E-03
10,0
1,0112
1,53E-04
5,70E-04 5,77E-05
5,93E-04
30,0
1,0030
1,04E-04
2,33E-04 1,92E-05
2,56E-04
100,0
1,0009
1,04E+01
2,00E-04 5,77E-06
1,04E+01
fc= pgenerata/(lettura –lettura di zero
Risoluzione
relativa
Minima lettura =
0,0001
Componente
dell’incertezza
urisol
)
0,0001

2 3
u risol 
2  0,0001
2 3
E poi per facilità di calcolo si lavora
in relativo, cioè
si dividono le singole componenti per il valore medio.
Anita Calcatelli
A questo punto l’utilizzatore ha in mano un
certificato che contiene in genere una tabella
pt/Pa
ur(fc)
fc
0,1
1,031
6,3E-03
0,3
1,024
2,7E-03
1,0
1,003
1,9E-03
3,0
0,000
1,4E-03
10,0
1,011
5,9E-04
30,0
1,003
2,6E-04
100,0
1,001
1,0E+01
E saranno questi i dati che potrà utilizzare nel
suo lavoro
Anita Calcatelli
Come utilizzarli?
pt/Pa
ur(fc)
fc
0,1
1,031
6,3E-03
0,3
1,024
2,7E-03
1,0
1,003
1,9E-03
3,0
0,000
1,4E-03
10,0
1,011
5,9E-04
30,0
1,003
2,6E-04
100,0
1,001
1,0E+01
Si esegue la misurazione
dello zero
Si esegue la misurazione
nel punto
Si valutano tutte le
componenti
dell’incertezza nel punto
considerato
Tutte queste si aggiungono
in quadratura alla
incertezza uc
Anita Calcatelli
Altro esempio
Anita Calcatelli
Esempio: taratura di uno
sfigmomanometro
Tutti gli strumenti usati per la misurazione della
pressione arteriosa, eccetto la colonna di Hg, sono
di tipo secondario: conseguentemente necessitano di
essere tarati per confronto con sistemi primari:
* colonna di liquido
* bilancia di pressione
Anita Calcatelli
O con uno strumento di
trasferimento tarato per
confronto con sistemi primari e
fornito del suo certificato 2013
di -2014:Formazione&Metrologia
taratura.
p-p 0 = glh
p0 = pressione atmosferica
p
Temperature= constant
= pressione da misurare
Hg = densità del fluido
manometrico
(generalmente
mercurio),
Hg=13,5458 g/cm3 at
20 *C and 100 kPa
gL = accelerazione di gravità
locale
Anita Calcatelli
H = livello del fluido
T = temperatura
Se la colonna di mercurio è utilizzata per misuare una
pressione di 300 Hgmm a T= 20 °C (constante!),tipici
contributi all’incertezza sono:
Hg
Anita Calcatelli
0,001 g/cm3
gL
0,0001 m/s2
h
0,01 mm
Incertezza relativa composta =3,4x 10-4 Hgmm
300 Hgmm
Il principale contributo è quello dovuto
all’incertezza con cui si misura il livello h
Anita Calcatelli
Formula
approssimata
Bilancia di pressione usata
per tarare uno
sfigmomanometro del tipo
bourdon
F
Mg L
p

Aeff
Aeff
p = pressione da misurare
Aeff = area
effettivadell’accoppiamento
pistone-cilindro
M = massa che agisce sul
pistone
gL = accelerazione locale di
gravitàn
Non per l’intervallo
di pressione coinvolto
nella misurazione
della pressione
arteriosa
Altri fattori::
-Correzione per la spinta aerostatica
Anita Calcatelli
-Distorsione
elastica
-Espansione termica dell’insieme pistone.cilindro
Pressure balance
Reference
pressure, p0
Masses
Pressure
to be
measured
Anita Calcatelli
Basket
Il principale contributo all’incertezza composta è
collegato con l’area effettiva Aeff
Una incertezza di misura relativa di 10-3 (ad es.
per una pressione di 300 Hgmm) u = 0,3 Hgmm
è sufficiente per la taratura di uno strumento
che misura la pressione arteriosa.
Molto minore degli errori che presentano la
maggior parte degli strumenti.
Anita Calcatelli
Sistemi primari dell’INRIM usati per
la taratura di sfigmomanometri
Incertezza
kPa
Ametec
Intervallo di
pressione
(kPa)
5-700
IMGC –R-L
5-126
2 x 10-5
Bilancia di
Pressione
Anita Calcatelli
2,5 x 10-4
INRIM. Principali risultati
Tipo di strumento
Ripetibilità
mmHg
Incertezza
composta
mmHg
Colonna di mercurio
0,5
2
Molla di Bourdon (varie
configurazioni)
2
3
Anita Calcatelli
Taratura di uno sfigmomanometro digitale
risoluzione = 1 mmHg
Sistema di taratura: ametec, ur=0,1%
peff
pout
p
fc
0,00
0
73,56
73
-0,6
-7,6E-03
147,12 146
-1,1
220,68 220
Dopo 2 anni
peff
0,00
p
fc
0
-7,6E-03
73
-0,6 -7,6E-03
143,12 146
-1,1 -7,6E-03
-0,7
-3,1E-03
220,68 220
-0,7 -3,1E-03
294,24 293
-1,2
-4,2E-03
294,24 293
-1,2 -4,2E-03
220,68 220
-0,7
-3,1E-03
220,68 220
-0,7 -3,1E-03
147,12 146
-1,1
-7,6E-03
147,12 146
-1,1 -7,6E-03
-7,6E-03
73,56
73
-0,6
0,00
0
,
Anita Calcatelli
73,56
pout
73,56
73
0,00
0
-0,6 -7,6E-03
senza p/p
prif/mmHg
pletto/mmHg
73,56
73,00
143,12
146,00
220,68
p/mmHg
p/p
-0,6 -7,6E-03
rel rip
con p/p
uc,rel
rel risol rel rif
uc
urel
uc/mmHg
0 6,8E-03 2,5E-04
6,9E-03
0,5
1,0E-02
0,8
2,0E-02
0 3,4E-03 2,5E-04
3,4E-03
0,5
2,0E-02
2,9
220,00
-0,7 -3,1E-03
0 2,3E-03 2,5E-04
2,3E-03
0,5
3,8E-03
0,8
294,24
293,00
-1,2 -4,2E-03
0 1,7E-03 2,5E-04
1,7E-03
0,5
4,6E-03
1,3
220,68
220,00
-0,7 -3,1E-03
0 2,3E-03 2,5E-04
2,3E-03
0,5
3,8E-03
0,8
147,12
146,00
-1,1 -7,6E-03
0 3,4E-03 2,5E-04
3,4E-03
0,5
8,4E-03
1,2
73,56
73,00
-0,6 -7,6E-03
0 6,8E-03 2,5E-04
6,9E-03
0,5
1,0E-02
0,8
2,9
uc  u  u
2
rip
2
risol
p
u 
p
p
2
rif
Poiché non è credibile che un medico o altro personale
applichino, nelle loro misurazioni, la correzione per la
taratura dei loro strumenti p deve essere
considerato
2013
Anita Calcatelli
come una componente dell’incertezza composta.
In fine, il medico utilizzerà, ammesso
che lo faccia, la seguente tabella
pletta/mmHgUc/mmHg
73,0
1,5
146,0
5,8
220,0
1,7
293,0
2,7
220,0
1,7
146,0
2,5
73,0
1,5
Anita Calcatelli
La sola
risoluzione (0,5
mmHg) non basta
Infine come utilizzare le informazioni
fornite dall’incertezza per accettare o
rifiutare un pezzo di cui sia fornita una
specifica?
Bisogna che cliente e costruttore si
mettano d’accordo a priori
Anita Calcatelli
Fig. 1 ISO 14253-1
Definizione delle zone di conformità / non- conformità
Incertezza crescente U
limite inferiore
LSL
Zona di specifica
fuori specifica
U
in specifica
U
non
incertezza
conformità
Anita Calcatelli
limite superiore
USL
fuori specifica
U
conformità
U
incertezza
fase di
progetto
fase di
verifica
non
conformità
Fine
Anita Calcatelli

(modello) e valutazione dell`incertezza ()

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