Seminario degli ex-studenti di Matematica di Parma

Seminario degli ex-studenti
di Matematica di Parma
prima edizione
Dipartimento di Matematica dell’Università di Parma
21-22 dicembre 2010, 10 gennaio 2011
Seminario degli Ex-studenti di Matematica di Parma
prima edizione
Dipartimento di Matematica
Università di Parma
Parco Area delle Scienze 53/A
43124 – Parma, Italy
Organizzatori: Daniele Angella, Laura Cremaschi
Url: http://www.dm.unipi.it/~angella/exstudenti2010/
Email: seminario (DOT) ex (DOT) studenti (AT) gmail (DOT) com
Calendario
martedı̀ 21 dicembre 2010
mercoledı̀ 22 dicembre 2010
lunedı̀ 10 gennaio 2011
09:00 -09:40
09:00 -09:40
09:00 -09:40
Fabio Cavatorta
Simone Delmonte
Sabrina Rivetti
09:40 -10:20
09:40 -10:20
09:40 -10:20
Giacomo Zanichelli
Luigi Amedeo Bianchi
Valentina Tessoni
10:20 -11:00
10:20 -11:00
10:20 -11:00
Enrico Franchi
Alessandro Zucconi
Federica Spoto
11:00 -11:30
11:00 -11:30
11:00 -11:30
pausa caffè
pausa caffè
pausa caffè
11:30 -12:10
11:30 -12:10
11:30 -12:10
Mattia Pedrini
Silvia Gazzola
Daniele Angella
12:10 -12:50
12:10 -12:50
12:10 -12:50
Luca Ferrari
Laura Cremaschi
Michele Terribilini
14:30 -15:10
14:30 -15:10
14:30 -15:10
Federico Alberto Rossi
Marco Pasquali
Pietro Tortella
15:10 -15:50
15:10 -15:50
15:10 -15:50
Simon Chiossi
Chiara Autelitano
Paolo Baroni
15:50 -16:10
15:50 -16:10
15:50 -16:10
pausa caffè
pausa caffè
pausa caffè
16:10 -16:50
16:10 -16:50
16:10 -16:50
Cristiano Spotti
Giordano Orzetti
Maria Giovanna Mora
16:50 -17:30
16:50 -17:30
16:50 -17:30
Massimiliano Morini
Sara Azzali
spazio orientamento
17:30 -18:10
17:30 -18:10
17:30 -18:10
Alberto Gioia
spazio orientamento
spazio orientamento
18:10 -18:30
18:10 -18:30
18:10 -18:30
spazio orientamento
spazio orientamento
spazio orientamento
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Abstract
Martedı̀ 21 dicembre 2010
Fabio Cavatorta
Una introduzione alla valutazione dei contratti derivati e l’equazione di
Black, Scholes e Merton
(martedı̀ 21 dicembre 2010, 09:00-09:40, Sala Riunioni)
Dopo aver precisato cosa si intende per contratto derivato verranno illustrati alcuni risultati fondamentali ottenuti da Black, Scholes e Merton negli anni 70 e che hanno valso loro il premio Nobel
per l’economia. Verranno quindi accennate una serie di problematiche connesse alla valutazione
dei derivati da un punto di vista non accademico ma più vicino alle esigenze della finanza reale:
per esempio i diversi regimi di capitalizzazione dei tassi di interesse e le regole di day count.
Indirizzo: SiGrade S.p.a – Via Veronica 28/A, 43122 Parma, Italy
Email: cavatorta (DOT) fabio (AT) libero (DOT) it
URL: http://www.fabiocavatorta.com
Giacomo Zanichelli
Quanto costa una possibilità? (Prezzaggio di derivati in mercati asimmetrici)
(martedı̀ 21 dicembre 2010, 09:40-10:20, Sala Riunioni)
Partendo dalla definizione di mercato completo a tempo continuo si analizzeranno i motivi che
portano alla formula di valutazione neutrale al rischio per il prezzaggio dei derivati, in particolare
per un’opzione call di tipo europeo, il cui prezzo è dato da
i
h
C(t) = e−r (T −t) E (ST − K)+ Ft .
Un ruolo importante in questi passaggi sarà svolto dalle proprietà delle martingale. In seguito
si vedrà come il prezzo di un derivato in un istante intermedio sia da considerare anche come
la soluzione di un’equazione differenziale alle derivate parziali. Tale equazione verrà ricavata nel
modello di Bachelier, piuttosto che nel più noto modello di Black e Scholes.
3
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Infine, per superare una criticità del modello di Black e Scholes, verrà preso in considerazione un
modello di mercato asimmetrico, in cui i prezzi delle azioni hanno distribuzione skew-normal
f (x) = 2 φ(x) Φ (λ x) .
Lo scopo del seminario rimane quello di spiegare perché si possano attribuire certi prezzi a degli
strumenti finanziari.
Indirizzo: Dipartimento di Matematica ed Applicazioni, Università di Milano Bicocca — Via Cozzi 53,
20125 Milano, Italy
Email: giachi3 (AT) gmail (DOT) com
Enrico Franchi
Sistemi multi-agente e social networks
(martedı̀ 21 dicembre 2010, 10:20-11:00, Sala Riunioni)
Sebbene ogni autore abbia essenzialmente una propria definizione del concetto di agente, c’è
accordo sul fatto che un agente, per essere definito tale, debba i) essere autonomo; ii) avere
un’interfaccia con la quale comunicare; iii) avere degli obiettivi e agire per raggiungerli. Tuttavia,
per i nostri scopi, richiederemo che gli agenti siano anche razionali e intelligenti (secondo precise
definizioni di razionalità e di intelligenza).
In seguito, saranno introdotti i sistemi multi-agente, costituiti da più agenti che interagiscono
con l’ambiente circostante e fra di loro, eventualmente anche in modo conflittuale, e si mostrerà
come agenti e sistemi multi-agente siano importanti per lo sviluppo del cosiddetto Web 3.0, il
Semantic Web e la conseguente transizione dal www (World Wide Web) al ggg (Giant Global
Graph).
Sarà quindi introdotto il secondo argomento del seminario, ovvero le social networks, utilizzando il punto di vista della teoria matematica della Complex Network Analysis (che sarà brevemente
presentata, con cenni ad applicazioni reali, quali Google PageRank). Partiremo dal modello di
Strogatz e Watts per arrivare alle scale-free networks di Barabási e Albert, mostrando come questo
sia un buon modello per le social network reali.
Infine descriverò il lavoro che stiamo facendo per creare sistemi multi-agente di gestione delle
social networks.
Partecipanti
Daniele Angella
Chiara Autelitano
Sara Azzali
Paolo Baroni
Luigi Amedeo Bianchi
Fabio Cavatorta
Simon G. Chiossi
Laura Cremaschi
Simone Delmonte
Luca Ferrari
Enrico Franchi
Silvia Gazzola
Alberto Gioia
Maria Giovanna Mora
Massimiliano Morini
Giordano Orzetti
Marco Pasquali
Mattia Pedrini
Sabrina Rivetti
Federico Alberto Rossi
Federica Spoto
Cristiano Spotti
Michele Terribilini
Valentina Tessoni
Pietro Tortella
Giacomo Zanichelli
Alessandro Zucconi
Università di Pisa
Cedacri S.p.A.
Georg-August-Universität Göttingen
Scuola Normale Superiore di Pisa
Scuola Normale Superiore di Pisa
Si-Grade S.p.A.
Politecnico di Torino
Scuola Normale Superiore di Pisa
Università di Parma
Università di Firenze
Università di Parma
Università di Padova
Università di Leiden, Università di Bordeaux 1
SISSA di Trieste
Università di Parma
Università di Padova, Universidad de Sevilla
Università la Sapienza di Roma
SISSA di Trieste
Università di Trieste
Università di Milano Bicocca
Scuola Normale Superiore di Pisa
Imperial College di Londra
Università di Parma
Università di Parma
SISSA di Trieste, Université Lille 1
Università di Milano Bicocca
Politecnico di Zurigo
Indirizzo: AOT Lab, Dipartimento di Ingegneria dell’Informazione, Università di Parma — Viale G. P.
Usberti 181/A, 43124 Parma, Italy
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5
Email: efranchi (AT) ce (DOT) unipr (DOT) it
Mattia Pedrini
Fibrati Principali ed Effettività Numerica
(martedı̀ 21 dicembre 2010, 11:30-12:10, Sala Riunioni)
In geometria algebrica hanno grande importanza i divisori ampi, cioè quelli che, per dirla in
modo informale, hanno la proprietà che il sistema lineare associato ad un loro opportuno multiplo
positivo definisce un embedding della varietà in un qualche spazio proiettivo. Attorno all’idea di
ampiezza si sono sviluppate una serie di nozioni di positività, che sono in qualche modo collegate
all’ampiezza, ma non sono equivalenti. Una delle più naturali è quella di effettività numerica, che
si ottiene come chiusura topologica dell’insieme delle classi di divisori ampi in un opportuno spazio.
Per le varietà proiettive lisce tutte queste nozioni si trasportano immediatamente dai divisori ai
fibrati in rette, grazie alla nota corrispondenza tra il gruppo dei divisori modulo equivalenza lineare
e il gruppo dei fibrati in rette modulo isomorfismo. Il passo successivo è stato quindi quello di
generalizzare queste definizioni a fibrati vettoriali di rango maggiore, sfruttando il fibrato in rette
tautologico sul proiettivizzato del fibrato vettoriale. Successivamente il problema è stato quello di
generalizzare l’effettività numerica a fibrati in rette o vettoriali su varietà di base che non fossero
necessariamente proiettive, ma in generale complesse o al più Kähler. L’idea è stata quella di dare
una definizione metrica di effettività numerica, che rispettasse le principali proprietà di cui godeva
la definizione algebrica e che possibilmente coincidesse con essa nel caso in cui la varietà di base
fosse proiettiva. Il problema è stato brillantemente risolto da Demailly, Peternell e Schneider nel
’92 utilizzando una nozione di positività per (1, 1)-forme.
Altri oggetti di grande importanza in geometria differenziale e algebrica, e in particolare nella
teoria dei fibrati vettoriali, sono i fibrati principali, cioè le generalizzazioni dell’idea di fibrato dei
riferimenti lineari di un dato fibrato vettoriale. Essi trasportano su di sé le principali informazioni
geometriche sui fibrati ad essi associati, cioè essenzialmente quelli sulle cui fibre agisce il gruppo
strutturale del principale. Risulta quindi naturale tentare di trasportare le proprietà dei fibrati
vettoriali ai fibrati principali. In questo seminario vedremo appunto una possibile definizione
di effettività numerica per fibrati principali, che conserva alcune importanti proprietà del caso
vettoriale (ad es. funtorialità).
Indirizzo: Scuola Internazionale Superiore di Studi Avanzati SISSA-ISAS — Via Bonomea 265, 34136
Trieste, Italy
Email: mattia (DOT) pedrini (AT) sissa (DOT) it
Luca Ferrari
La funzione di Moebius del poset dei motivi consecutivi
(martedı̀ 21 dicembre 2010, 12:10-12:50, Sala Riunioni)
Nel caso del poset dei motivi classici nelle permutazioni, i primi risultati riguardanti la funzione
di Moebius furono ottenuti da Sagan e Vatter (2006). Ulteriori risultati sono poi stati dimostrati
da Steingrimsson e Tenner (2010) e Jelinek, Jelinkova e Steingrimsson (2010). Diversamente
dal caso classico, che sembra essere in generale piuttosto arduo da trattare, il poset dei motivi
consecutivi ha una struttura più semplice, il che ci mette in grado di fornire quella che può essere
considerata una soluzione completa al problema. Nella maggior parte degli intervalli, i nostri
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risultati consentono di determinare immediatamente il valore della relativa funzione di Moebius.
Nei casi rimanenti, descriviamo un algoritmo efficiente per il calcolo della funzione di Moebius.
In particolare, mostreremo che tale funzione può assumere soltanto i valori -1,0 e 1.
Indirizzo: Dipartimento di Sistemi e Informatica, Università di Firenze — viale Morgagni 65, 50134 Firenze, Italy
Email: ferrari (AT) dsi (DOT) unifi (DOT) it
URL: http://www.dsi.unifi.it/~ ferrari/
Federico Alberto Rossi
Geometria Para-complessa: un’introduzione
(martedı̀ 21 dicembre 2010, 14:30-15:10, Sala Riunioni)
Le strutture para-complesse (introdotte circa 60 anni fa da Libermann e riproposte recentemente
da Harvey e Lawson) presentano notevoli affinità non solo con le strutture complesse, ma anche
con altre strutture della geometria (varietà bi-lagrangiane) e della fisica. In questo seminario,
dopo aver introdotto le strutture para-complesse, si esporranno alcuni risultati riguardanti le loro
deformazioni.
Indirizzo: Dipartimento di Matematica ed Applicazioni, Università di Milano Bicocca — Via Cozzi 53,
20125 Milano, Italy
Email: f (DOT) rossi46 (AT) campus (DOT) unimib (DOT) it
Simon G. Chiossi
4–varietà con molte forme chiuse
(martedı̀ 21 dicembre 2010, 15:10-15:50, Sala Riunioni)
Caratterizzerò, nel quadro delle superfici Kähler-Hermitiane, una 4-varietà che ammetta molte
forme simplettiche. Per questo servono la teoria delle 4-varietà Riemanniane e un po’ di olonomia.
Indirizzo: Dipartimento di Matematica, Politecnico di Torino — Corso Duce degli Abruzzi 24, I-10129
Torino, Italy
Email: sgc (AT) math (DOT) hu-berlin (DOT) de
URL: http://calvino.polito.it/~ chiossi/
Cristiano Spotti
Compattificazione dello Spazio di Moduli di Kähler-Einstein Fano manifolds
(martedı̀ 21 dicembre 2010, 16:10-16:50, Sala Riunioni)
Una nota congettura (Yau-Tian-Donaldson), parzialmente risolta, lega l’esistenza di metriche di
KE su una varietà di Fano (Geometria Differenziale) a condizioni di stabilità (Geometria Algebrica). Supponiamo ora di avere una famiglia (X, Jt , ωt , gt ) di varietà di Fano con metriche di KE.
Una domanda naturale da porsi è: cosa accade quando t → +∞?
Questo seminario vuole essere una veloce panoramica sull’approccio di De Giorgi al problema di
Plateau: provare l’esistenza di una superficie minima tra tutte quelle il cui bordo sia una curva
data.
Nel formalismo di De Giorgi un’ipersuperficie di Rn è il bordo di un insieme misurabile E di
perimetro finito, cioé un insieme la cui funzione caratteristica appartenga a BVloc . In tale caso
la variazione totale di DχE è il perimetro di E . Non è difficile provare in tale ambito l’esistenza
di una superficie minima.
Molto più difficile a questo punto risulta però lo studio della regolarità (e delle eventuali
singolarità) di tale minimo. Questo intende essere il punto centrale del seminario, e consisterà
nell’introduzione del concetto di frontiera ridotta, nella dimostrazione della regolarità parziale
delle superfici minime attraverso una stima sull’eccesso e, se il tempo lo permette, un’idea dello
studio dei punti di singolarità.
Indirizzo: Scuola Normale Superiore — Piazza dei Cavalieri 7, 56126 Pisa, Italy
Email: paolo (DOT) baroni (AT) sns (DOT) it
Maria Giovanna Mora
Derivazione rigorosa di modelli ridotti per strutture elastiche sottili
(lunedı̀ 10 gennaio 2011, 16:10-16:50, Sala Riunioni)
La teoria meccanica delle strutture elastiche sottili ha ricevuto di recente nuova attenzione a
causa della sempre maggiore richiesta di miniaturizzazione in campo tecnologico e dello sviluppo
di materiali speciali e nanotecnologie. Per struttura sottile si intende un oggetto tridimensionale,
il cui spessore in una direzione sia molto piccolo rispetto alle dimensioni trasversali (come, ad
esempio, una membrana o una piastra) o la cui sezione sia molto piccola rispetto alla dimensione
longitudinale (come una corda o una trave).
La derivazione di teorie bidimensionali o unidimensionali che approssimino fedelmente il comportamento di oggetti di questo tipo, è una questione fondamentale in meccanica per ragioni
sia teoriche che pratiche. Infatti, da un punto di vista teorico, i modelli ridotti consentono una
migliore visualizzazione e comprensione concettuale; dal punto di vista applicativo, si prestano a
una più semplice implementazione numerica.
A partire dai primi anni ’90 è emerso un nuovo approccio al problema della derivazione,
matematicamente rigoroso e basato su una formulazione di tipo variazionale e sulla nozione di
Gamma-convergenza. In questo seminario verranno presentati e discussi i risultati più recenti e
rilevanti in questo ambito.
Indirizzo: Scuola Internazionale Superiore di Studi Avanzati SISSA-ISAS — Via Bonomea 265, 34136
Trieste, Italy
Email: mora (AT) sissa (DOT) it
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Consideriamo il problema di Cauchy per un sistema di leggi di conservazione in una dimensione
spaziale,
(
∂t u(t, x) + ∂x f (u(t, x)) = 0,
(1)
u(0, x) = u0 ,
con (t, x) ∈ R2+ , u : R2+ → Rd , f : Rd → Rd , u0 ∈ L∞ (R), che ammetta un’entropia
strettamente convessa η di classe C 2 . Supponiamo di disporre per ε > 0 di soluzioni uε del
problema perturbato mediante l’aggiunta di un termine di viscosità
(
∂t uε (t, x) + ∂x f (uε (t, x)) = ε∂x2 uε
u(0, x) = u0 ,
e che tali soluzioni siano uniformemente limitate in L∞ (R2+ ), in modo da poter assumere che le
uε convergano per ε → 0 ad una certa u nella topologia debole-star di L∞ (R2+ ).
Se f non è lineare, non è detto che u sia soluzione debole di (1). Il metodo della compattezza
compensata, mediante l’applicazione del Div-Curl lemma e del teorema di Young, permette di
concludere che u è soluzione debole di (1) nel caso scalare e in alcuni sistemi 2 × 2 di leggi di
conservazione.
Indirizzo: Dipartimento di Matematica, Università di Parma — Parco Area delle Scienze 53/A, 43124
Parma, Italy
Email: michele (DOT) terribilini (AT) studenti (DOT) unipr (DOT) it
In generale, tale famiglia è “non-compatta”: informalmente, il “limite” non è dato da una
struttura complessa liscia su X e da una metrica di KE. È necessario, quindi, considerare
degenerazioni a oggetti singolari.
Più precisamente, considerando il problema dall’aspetto metrico (punto di vista del geometra
GH
D
differenziale), è noto che [(X, gt )] −→ X∞
nel senso di Gromov-Hausdorff come classi di isoD
morfismo di spazi metrici compatti e che X∞
è una varietà complessa non singolare, modulo un
sottoinsieme di dimensione complessa 2. Analogamente (punto di vista del geometra algebrico),
GIT
A
A
utilizzando opportune nozioni GIT di stabilità, [(X, Jt )] −→ X∞
, con X∞
varietà (singolare)
semistabile.
Per la comprensione accurata dello spazio delle metriche di KE è quindi fondamentale capire
quale relazioni ci siano fra i limiti “differenziali” e i limiti “algebrici”.
Il seminario ha l’obbiettivo di raccontare un po’ più in dettaglio quanto descritto sopra, con
attenzione particolare al caso di dimensione complessa 2 (superfici di Del Pezzo).
Indirizzo: Department of Pure Mathematics, Imperial College London — South Kensington Campus,
London SW7 2AZ, United Kingdom
Email: c (DOT) spotti08 (AT) imperial (DOT) ac (DOT) uk
Massimiliano Morini
Un modello variazionale di crescita epitassiale: esistenza, regolarità e
proprietà qualitative di soluzioni
(martedı̀ 21 dicembre 2010, 16:50-17:30, Sala Riunioni)
Pietro Tortella
Algebroidi di Lie e connessioni (Lie algebroid connections)
(lunedı̀ 10 gennaio 2011, 14:30-15:10, Sala Riunioni)
Spiegheremo brevemente il concetto di algebroide di Lie e come questo permetta di fare geometria
differenziale su una varietà sopra un fibrato diverso dal tangente. Parleremo poi di come uno possa
estendere il concetto di connessione sopra un fibrato al caso degli algebroidi di Lie, e vedremo di
costruire uno spazio di moduli algebrico per queste strutture.
We shall introduce the notion of Lie algebroid, and briefly explain how one can use this to
define calculus over a manifold over a bundle different from the tangent one. Moreover we shall
generalze the notion of connection over a bundle to Lie algebroid connections, and construct
algebraic moduli spaces for such objects.
Indirizzo: Scuola Internazionale Superiore di Studi Avanzati — via Bonomea 265, 34136 Trieste, Italy
Indirizzo: Université Lille 1, ufr de Mathématiques — Cité scientifique, Bâtiment M2, 59655 Villeneuve
d’Ascq Cedex, France
Email: pietro (DOT) tortella (AT) sissa (DOT) it
Paolo Baroni
Il problema di Plateau e gli insiemi di perimetro finito: regolarità per le
superfici minime
(lunedı̀ 10 gennaio 2011, 15:10-15:50, Sala Riunioni)
Si considera un modello variazionale proposto nella letteratura fisica per descrivere le configurazioni di equilibrio di un film elastico depositato epitassialmente su un substrato spesso, in
presenza di un gap tra le distanze atomiche dei reticoli dei due materiali. Dopo aver precisato
l’appropriata formulazione matematica del problema e il relativo setting funzionale, si studia
la regolarità e si stabiliscono diverse altre proprietà quantitative e qualitative di configurazioni
localmente o globalmente minimizzanti.
Indirizzo: Dipartimento di Matematica, Università di Parma — Parco Area delle Scienze 53/A, 43124
Parma, Italy
Email: massimiliano (DOT) morini (AT) unipr (DOT) it
Alberto Gioia
La chiusura di Galois di Bhargava
(martedı̀ 21 dicembre 2010, 17:30-18:10, Sala Riunioni)
In un articolo ancora non pubblicato Manjul Bhargava e Matthew Satriano parlano di una possibile
generalizzazione della chiusura di Galois (o chiusura normale) per estensioni di campi ad algebre
commutative su un anello commutativo qualunque. La costruzione ha alcune buone proprietà che
verranno presentate. Sarà anche discussa una possibile generalizzazione.
Indirizzo: Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden — PO Box 9521, 2300 RA Leiden, Netherlands
Indirizzo: Institut de Mathématiques de Bordeaux UMR 5251, Université Bordeaux 1 — 351, cours de la
Libération, F-33405 Talence cedex, France
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Email: agioia (AT) math (DOT) leidenuniv (DOT) nl
Mercoledı̀ 22 dicembre 2010
Indirizzo: Scuola Normale Superiore — Piazza dei Cavalieri 7, 56126 Pisa, Italy
Email: federica (DOT) spoto (AT) sns (DOT) it
Daniele Angella
Coomologie di varietà (quasi-)complesse
(lunedı̀ 10 gennaio 2011, 11:30-12:10, Sala Riunioni)
Simone Delmonte
Problemi parabolici a coefficienti non limitati
(mercoledı̀ 22 dicembre 2010, 09:00-09:40, Sala Riunioni)
Lo scopo di questo seminario è fornire una breve introduzione ai problemi parabolici a coefficienti
non limitati.
Dopo una breve introduzione di carattere generale sulla risoluzione di equazioni differenziali
paraboliche a coefficienti illimitati, ci contreremo su una classe di sistemi parabolici per i quali
forniremo risultati di esistenza, unicità e regolarità della soluzione. Infine vedremo alcune proprietà
del semigruppo associato a tali problemi.
Indirizzo: Dipartimento di Matematica, Università di Parma — Parco Area delle Scienze 53/A, 43124
Parma, Italy
Email: simone (DOT) delmonte (AT) studenti (DOT) unipr (DOT) it
Luigi Amedeo Bianchi
Processi di Dirichlet
La teoria di Hodge degli anni Quaranta ha permesso di tradurre il calcolo della coomologia di de
Rham di una varietà differenziabile compatta in un problema analitico: il calcolo del nucleo di
un operatore ellittico; ciò semplifica notevolmente, in alcuni casi, il calcolo della coomologia, che
rimane comunque molto complicato in numerosi altri casi.
Introdurremo una classe di varietà, dette nilmanifold, per le quali il calcolo della coomologia è
particolarmente semplice, riducendosi ad un problema di algebra lineare. Questa classe di varietà
è stata molto studiata dagli anni Sessanta in poi, sia perché, appunto, la costruzione e lo studio
di molte strutture geometriche su di esse si riduce a calcoli lineari, sia perché, nonostante questo,
tali varietà presentano una struttura molto flessibile e forniscono esempi piuttosto interessanti.
Lo scopo del seminario è quello di introdurre la teoria dei gruppi e delle algebre di Lie ed in
particolar modo la teoria delle nilmanifold, concentrandosi in particolare sul problema del calcolo
della coomologia. Vedremo, accennandone la dimostrazione, il teorema di Nomizu, secondo il
quale si può calcolare la coomologia di de Rham di una nilmanifold M limitandosi allo studio
delle forme invarianti (in altre parole, il modello minimale di una nilmanifold è il suo complesso di
Chevalley-Eilenberg). Infine, accenneremo all’analogo problema per la coomologia di Dolbeault
(allo stato attuale, non è ancora noto se la coomologia di Dolbeault sia sempre quella invariante,
ma si hanno risultati affermativi per varie classi di strutture complesse su nilmanifold).
Riferimenti Bibliografici
(mercoledı̀ 22 dicembre 2010, 09:40-10:20, Sala Riunioni)
[1] Y. Félix, J. Oprea, D. Tanré, Algebraic Models in Geometry, Oxford Graduate Text in
Mathematics 17, Oxford University Press, 2008.
Vogliamo dare una presentazione del processo di Dirichlet, accennandone una costruzione rigorosa
e sottolineandone le proprietà principali. Sfrutteremo poi l’oggetto cosı̀ ottenuto per introdurre
una particolare misura sullo spazio delle probabilità su una varietà riemanniana compatta: la
misura entropica.
[2] A. Tralle, J. Oprea, Symplectic Manifolds with no Kaehler structure, Lecture Notes in
Mathematics 1661, Springer, 1997.
Indirizzo: Scuola Normale Superiore — Piazza dei Cavalieri 7, 56126 Pisa, Italy
Email: luigiamedeo (DOT) bianchi (AT) sns (DOT) it
Alessandro Zucconi
I derivati sul tempo atmosferico
(mercoledı̀ 22 dicembre 2010, 10:20-11:00, Sala Riunioni)
Presento alcuni articoli in cui si affronta il problema del prezzaggio dei weather derivatives.
Il problema è complicato dal fatto che il mercato è incompleto perchè l’underlying (la temperatura
o altre variabili similari) non è scambiato su nessun mercato. Per lo stesso motivo la soluzione del
problema è particolarmente importante per chi emette questi prodotti in quanto non è possibile
fare hedge.
[3] S. Rollenske, Dolbeault cohomology of nilmanifolds with left-invariant complex structure,
arXiv:1006.4224v1 [math.DG].
[4] S. Console, Dolbeault cohomology and deformations of nilmanifolds, Revista de la Unión
Matemática Argentina 47 (2006), no. 1, 51–60.
Indirizzo: Dipartimento di Matematica “Leonida Tonelli”, Università di Pisa – largo Bruno Pontecorvo 5,
56127 Pisa, Italy
Email: angella (AT) mail (DOT) dm (DOT) unipi (DOT) it
URL: http://www.dm.unipi.it/~ angella/
Michele Terribilini
Compattezza compensata e sistemi di leggi di conservazione
(lunedı̀ 10 gennaio 2011, 12:10-12:50, Sala Riunioni)
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Nel seminario vedremo in particolare un risultato di esistenza per questa equazione con condizioni
al bordo di tipo Neumann, tramite la teoria delle sopra e sotto soluzioni.
In questo contesto utilizzeremo dei classici metodi del calcolo delle variazioni: dimostreremo,
infatti, l’esistenza di una soluzione come esistenza di un punto di minimo del funzionale associato
in un adeguato spazio di funzioni. Tramite argomenti di troncamento e moltiplicazione si riescono
a provare la coercività e la semicontinuità inferiore del funzionale che ci garantiscono l’esistenza
di un punto estremale che si vedrà poi essere la soluzione del problema originario.
Da ultimo aggiungeremo qualche osservazione riguardo l’esistenza di soluzioni estremali.
Indirizzo: Scuola di dottorato di ricerca in Environmental and Industrial Fluid Mechanics, Dipartimento
di Matematica e Informatica, Università di Trieste — Via Valerio 12/1, 34127 Trieste, Italy
Email: sabrina (DOT) rivetti (AT) phd (DOT) units (DOT) it
Valentina Tessoni
Controllo ottimo applicato a un modello epidemiologico
(lunedı̀ 10 gennaio 2011, 09:40-10:20, Sala Riunioni)
In questo seminario esporrò il lavoro che io e la Prof.ssa Groppi stiamo svolgendo in collaborazione
con due membri del dipartimento di Scienze Ambientali. Si tratta dello studio dello sviluppo di
una malattia in una popolazione e di come sia possibile controllarla tramite l’abbattimento. Il
controllo della malattia viene effettuato cercando di minimizzare i costi dovuti all’abbattimento
e agli individui infetti presenti nella popolazione. Lo strumento matematico che permette di
ottimizzare l’intervento è la teoria del controllo ottimo.
Dopo aver illustrato brevemente tale teoria, mi concentrerò sul caso che stiamo studiando
ed esporrò alcuni dei risultati ottenuti finora, con l’aiuto di grafici realizzati tramite simulazioni
numeriche.
Indirizzo: Dipartimento di Matematica, Università di Parma — Parco Area delle Scienze 53/A, 43124
Parma, Italy
Email: valentina (DOT) tessoni (AT) studenti (DOT) unipr (DOT) it
Federica Spoto
Shadowing Lemma e determinazione orbitale caotica
(lunedı̀ 10 gennaio 2011, 10:20-11:00, Sala Riunioni)
Nel 1987 Wisdom, occupandosi dello stato di rotazione caotico di Iperione, satellite di Saturno,
ha congetturato che la conoscenza acquisita dalle osservazioni su un sistema dinamico caotico
cresce esponenzialmente in funzione dell’intervallo di tempo coperto dalle osservazioni.
Lo scopo di questo seminario è quello di mostrare che tale congettura è falsa. Consideriamo
prima il controesempio dato dal procedimento dei minimi quadrati e delle correzioni differenziali
applicato alla mappa standard.
Introduciamo poi il concetto di Shadowing e un risultato noto nei sistemi dinamici come Shadowing Lemma fin dagli anni ’70. Come conseguenza di questo teorema possiamo generalizzare il
controesempio e dimostrare cosı̀ esistono dei casi in cui la congettura di Wisdom è falsa.
Indirizzo: Faculty of Economics, University of Zurich — Raemistrasse 71, CH-8006 Zurich, Svizzera
Email: alessandro (DOT) zucconi (AT) gmail (DOT) com
Silvia Gazzola
Il metodo agli elementi di contorno per problemi di propagazione ondosa
in multidomini bidimensionali
(mercoledı̀ 22 dicembre 2010, 11:30-12:10, Sala Riunioni)
I problemi dipendenti dal tempo sono oggetto di studio in molti settori della matematica applicata e dell’ingegneria. Spesso tali problemi sono modellati da equazioni differenziali alle derivate
parziali di tipo iperbolico, corredate da condizioni iniziali e da condizioni al bordo.
Tuttavia non è sempre possibile disporre di una soluzione analitica in forma chiusa; da qui nasce
l’esigenza di calcolare una soluzione approssimata.
Recentemente il metodo degli elementi di contorno (BEM) è stato utilizzato con successo per la
risoluzione numerica di modelli iperbolici riformulati mediante equazioni integrali di contorno, ottenute a partire dalla conoscenza analitica della soluzione fondamentale dell’operatore differenziale
e dall’impiego di formule di rappresentazione che esprimono la soluzione del problema considerato
attraverso integrali definiti sulla superficie laterale del dominio spazio-temporale del problema
originario. Tale approccio risulta particolamente favorevole quando l’equazione è omogenea a coefficienti costanti, le condizioni iniziali sono nulle, il dominio spaziale è omogeneo e indipendente
dal tempo.
Un vantaggio di questo metodo è la diminuzione delle dimensioni del problema; inoltre, quando
vengono ad esempio analizzati problemi di propagazione ondosa all’esterno di una regione finita,
un dominio illimitato viene ridotto ad un contorno limitato e le condizioni al bordo e di radiazione
all’infinito sono imposte in modo semplice e naturale.
Fra le varie possibilità presenti in letteratura per il calcolo numerico della soluzione del problema
integrale, considereremo il cosidetto metodo di Galerkin agli elementi di contorno energetico,
basato su una formulazione debole delle equazioni integrali ricavata da alcune immediate osservazioni su un’identità dell’energia. Decomponendo il dominio spazio-temporale del problema
ed introducendo opportuni spazi funzionali finito-dimensionali, si giunge infine ad una discretizzazione del problema.
I problemi definiti su multidomini (domini spaziali non globalmente omogenei ma costituiti da
zone localmente omogenee) interessano numerose applicazioni: fra le più importanti ricordiamo
lo studio della propagazione delle onde in terreni costituiti da diversi strati geofisici.
Per poter trattare tali modelli è necessario estendere la formulazione utilizzata per singoli domini
omogenei, imponendo particolari condizioni di compatibiltà fra i vari sottodomini.
Nel corso della presentazione verranno inoltre brevemente descritte alcune questioni di massima
importanza per la ricerca della soluzione numerica del problema integrale, quali l’utilizzo di efficienti schemi di integrazione e la struttura della matrice associata al problema discretizzato.
Verranno infine presentati numerosi risultati numerici ottenuti per problemi interni ed esterni con
condizioni al contorno di tipo Neumann e di tipo misto, definiti su bidomini e tridomini, facendo,
ove possibile, confronti con la letteratura esistente.
Indirizzo: Dipartimento di Matematica, Università di Padova — Via Trieste 63, 35121 Padova, Italy
Email: gazzola (AT) math (DOT) unipd (DOT) it
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Laura Cremaschi
Curvatura e topologia nella Geometria Riemanniana: un panorama
(mercoledı̀ 22 dicembre 2010, 12:10-12:50, Sala Riunioni)
Indirizzo: Scuola Normale Superiore — Piazza dei Cavalieri 7, 56126 Pisa, Italy
Email: laura (DOT) cremaschi (AT) sns (DOT) it
Marco Pasquali
Ideali abeliani di una sottoalgebra di Borel e gruppo di Weyl affine
(mercoledı̀ 22 dicembre 2010, 14:30-15:10, Sala Riunioni)
L’obiettivo del seminario è quello di esaminare il legame che intercorre tra gli ideali abeliani di una
sottoalgebra di Borel di un’algebra di Lie semisemplice ed un particolare sottoinsieme del gruppo
di Weyl affine (untwisted) associato all’algebra in questione. In un primo momento fornirò alcune
importanti motivazioni, contenute in un articolo di B. Kostant del 1963, che spingono verso lo
studio di questi oggetti, mentre nella seconda parte presenterò alcuni risultati fondamentali della
teoria, dovuti principalmente a P. Papi, P. Cellini e R. Suter. Qualora ci sia tempo e soprattutto
interesse, nell’ultima parte del seminario potrei parlare del mio problema di tesi, generalizzazione
al caso Z2 -graduato dei problemi esposti precedentemente.
Essendo consapevole della distanza Parma - Algebra Combinatoria, cercherò di definire tutti gli
oggetti “estranei” che incontreremo nel percorso, confidando nella pazienza del pubblico.
Indirizzo: Dipartimento di Matematica “Guido Castelnuovo”, Sapienza Università di Roma — Piazzale
Aldo Moro 5, 00185 Roma, Italy
Email: pasquali (AT) mat (DOT) uniroma1 (DOT) it
Email: supergioppa (AT) libero (DOT) it
Sara Azzali
Teoria dell’indice e invarianti secondari: risultati sull’operatore di segnatura
(mercoledı̀ 22 dicembre 2010, 16:10-16:50, Sala Riunioni)
Il teorema dell’indice di Atiyah e Singer stabilisce un legame fondamentale fra l’indice di un operatore ellittico e le caratteristiche topologiche dello spazio.
A partire da questo risultato, la teoria dell’indice si è sviluppata in molteplici direzioni, rivelando
vaste applicazioni e connessioni con vari campi della matematica e della fisica.
Nel seminario partiremo col descrivere l’approccio alla teoria dell’indice con l’equazione del calore.
Vedremo come queste tecniche, oltre ad essere lo strumento cruciale per otterere teoremi dell’indice su varietà con bordo e su spazi singolari, rendono le formule dell’indice più geometriche
ed esplicite, rivelando i cosiddetti invarianti secondari.
Nelle nostre ricerche ci siamo interessati a famiglie di varietà non compatte. Qui, in generale,
l’asintotica all’infinito del nucleo del calore non corrisponde alla classe indice che si vuole calcolare, e gli invarianti secondari non sono definiti.
Per l’operatore di segnatura, che è una radice del Laplaciano e ha quindi un forte legame con
la topologia, abbiamo invece calcolato esplicitamente il limite, dimostrando un teorema locale
dell’indice L2 .
Indirizzo: Mathematisches Institut, Georg-August-Universität Göttingen — Bunsenstraße 3-5, D-37073
Göttingen, Germany
Email: azzali (AT) uni-math (DOT) gwdg (DOT) de
URL: http://www.uni-math.gwdg.de/azzali/
Chiara Autelitano
Uno strano incontro tra un Matematico e l’economia
Lunedı̀ 10 gennaio 2011
(mercoledı̀ 22 dicembre 2010, 15:10-15:50, Sala Riunioni)
Partecipo alla creazione di un modello statistico che, tramite una metodologia precisa, dovrà
andare a calcolare la probabilità di insolvenza.
Sabrina Rivetti
L’equazione della Capillarità
Indirizzo: Cedacri S.p.A. — Via del Conventino 1, 43044 Collecchio (PR), Italy
Email: chiara.autelitano (AT) studenti (DOT) unipr (DOT) it
Giordano Orzetti
Approssimazione polinomiale su mesh debolmente ammissibili della palla
e del tetraedro
(mercoledı̀ 22 dicembre 2010, 16:10-16:50, Sala Riunioni)
(lunedı̀ 10 gennaio 2011, 09:00-09:40, Sala Riunioni)
Inizierò col rispondere alle classiche domande: Chi, Come e Perché un “matematico” sceglie
ad un certo punto del suo percorso di cambiare rotta ed iscriversi ad una scuola di dottorato
interdisciplinare a cavallo tra Fisica, Ingegneria e Matematica.
Dopo aver presentato il mio percorso iniziale di dottorato parlerò di quello di cui sono arrivata ad
occuparmi negli ultimi mesi: l’equazione della Capillarità.



 −div √ ∇u 2 = λ f (x, u) in Ω

1+|∇u|
Indirizzo: Dipartimento di Matematica, Università di Padova — Via Trieste 63, 35121 Padova, Italy
Indirizzo: Facultad de Matemáticas, Universidad de Sevilla — C/ Tarfia s/n, 41012 Sevilla, España
√ ∇u 2 · ν = k


1+|∇u|


u = φ
in
Γ1
in
Γ2