principio di incertezza, gravitazione e temperatura dei buchi neri

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principio di incertezza, gravitazione e temperatura dei buchi neri
PRINCIPIO DI INCERTEZZA,
GRAVITAZIONE
E TEMPERATURA DEI BUCHI NERI
Fabio Scardigli
YITP, Kyoto & Politecnico, Milano
Planetario di Milano, 21 Febbraio 2013
MECCANICA QUANTISTICA
๏‚ง Corpo Nero (Planck 1900)
Effetto Fotoelettrico (Einstein 1905)
Lโ€™energia elettromagnetica (portata dalle onde e.m.) puoโ€™ essere
emessa o assorbita, e viaggia, in quantitaโ€™ finite = pacchetti di
energia = quanti di luce = fotoni
๐‘ฌ=๐’‰๐‚
๏‚ง Atomo di Bohr (1913)
Le orbite stabili degli elettroni negli atomi sono in
corrispondenza con i numeri interi! In queste orbite stabili
lโ€™elettrone non emette (come dovrebbe fare secondo
lโ€™elettrodinamica classica). Il passaggio da un livello ad un altro
avviene emettendo o assorbendo un fotone = pacchetto
dโ€™energia
๐‘ฌ๐Ÿ โˆ’ ๐‘ฌ๐Ÿ = ๐’‰ ๐‚๐Ÿ๐Ÿ
Heisenberg Principle (1927)
NON Eโ€™ POSSIBILE MISURARE
CONTEMPORANEAMENTE, CON PRECISIONE
ARBITRARIA, LA POSIZIONE E LA VELOCITAโ€™ DI UNA
PARTICELLA
Heisenberg Microscope: GEDANKEN EXPERIMENT
Cerco di misurare la posizione di un elettrone: gli sparo
addosso un fotone, cioeโ€™ lo illumino con luce di lunghezza
dโ€™onda ๐œ†. Errore sulla posizione
๐œŸ๐’™ ~ ๐€
๐‘ฌ
๐’‰๐‚
๐’‰
=
=
๐’„
๐’„
๐€
che viene trasferito piuโ€™ o meno tutto allโ€™elettrone. Lโ€™incertezza
sul momento dellโ€™elettrone eโ€™ quindi
Il fotone eโ€™ dotato di un momento
Quindi
๐’‘=
๐’‰
๐œŸ๐’‘ ~
๐€
๐œŸ๐’™ ๐œŸ๐’‘ ~ ๐’‰
๏‚ง 1929 - Robinson-Schrodinger: Il principio di incertezza diventa un
teorema nellโ€™ambito della meccanica quantistica. Formulato in
termini di operatori
[๐’™, ๐’‘] = ๐’Šโ„
Formulato in Meccanica Classica. Non si considera la Gravitaโ€™.
โ€ข 1947 - Vari tentativi di generalizzazione: C.N. Yang, Snyder
(lunghezza minima, spaziotempo discreto)
โ€ข 1964 โ€“ 1966 - Altre generalizzazioni che includono la gravitazione:
Karolyhazy, Mead
โ€ข Fine anni 80 - Veneziano, Gross, etc. Uncertainty principle in string
theory
โ€ข 1999 - R.Adler, F.Scardigli - Generalized Uncertainty Principle:
Gravitational Interaction between photons and electrons
TENER CONTO DELLA GRAVITAโ€™!
GRAVITAโ€™
โ€ข Newton 1687
โ€ข Einstein 1915
๐Œ๐ฆ
๐ซ๐Ÿ
๐…=๐†
๐‘น๐๐‚ โˆ’
๐Ÿ
๐Ÿ
FORZA ISTANTANEA
AZIONE A DISTANZA
๐’ˆ๐๐‚ ๐‘น = โˆ’
๐Ÿ–๐…๐‘ฎ
๐’„๐Ÿ’
๐‘ป๐๐‚
gravitazione โ‰ก campo che si propaga a velocitaโ€™ c
Idea di BUCO NERO: LAPLACE
~ 1790
SCHWARZSCHILD ~ 1916
OPPENHEIMER โ€“ SNYDER ~ 1939 - collasso gravitazionale di
una stella massiva
Anni 60: Scoperti oggetti compatti tipo Cygnus-X1, etc.
Teoremi di Hawking e Penrose: IL COLLASSO GRAVITAZIONALE, cioeโ€™ LA
FORMAZIONE DI BUCHI NERI Eโ€™
INEVITABILE
Idea di buco nero:
Velocitaโ€™ di fuga:
๐Ÿ
๐’— =
๐Ÿ๐‘ฎ๐‘ด
๐‘น
๐‘ฌ=
๐Ÿ
๐Ÿ
๐Ÿ
๐’Ž๐’— โˆ’
๐‘ฎ๐‘ด๐’Ž
๐’“
๐Ÿ
๐’— โŸถ ๐’„
๐‘๐ฌ =
๐Ÿ๐†๐Œ
๐œ๐Ÿ
=
= ๐ŸŽ
๐’„ =
๐Ÿ๐†๐„
๐œ๐Ÿ’
๐Ÿ๐‘ฎ๐‘ด
๐‘น๐’”
(๐„ = ๐Œ๐’„๐Ÿ )
Qualsiasi cosa puoโ€™ essere trasformata in un buco nero, purcheโ€™ si
concentri la sua massa allโ€™interno del suo raggio di Schwarzschild
Esempio: un essere umano: M = 70 Kg ---> ๐‘น๐’” = ๐Ÿ๐ŸŽโˆ’๐Ÿ๐Ÿ“ ๐’Ž โ‰ช ๐Ÿ๐ŸŽโˆ’๐Ÿ๐Ÿ“ ๐’Ž size protone
Generalized Uncertainty Principle
Gedanken experiment che include la gravitaโ€™
Principio di Heisenberg: errore piccolo a piacere pur di utilizzare fotoni abbastanza
energetici
โˆ†๐’™ ~ ๐€
โˆ†๐’™
๐’‰๐’„
๐’‰๐’„
๐‘ฌ=
=
๐€
๐œŸ๐’™
๐’‰๐’„
๐œŸ๐’™ ~
๐‘ฌ
Questa eโ€™ la ragione per costruire acceleratori di particelle sempre piuโ€™ potenti
Ma osservare un dettaglio โˆ†๐’™ sempre piuโ€™ piccolo,
significa concentrare in quella regione spaziale un fotone
con una energia E sempre piuโ€™ grande. Ma quando si concentra
una energia (=massa) allโ€™interno del proprio raggio Rs,
si forma un buco nero! E allโ€™interno di un BH,
per definizione, non si puoโ€™ GUARDARE!
๐‘ฌ
Qual eโ€™ la lunghezza minima che si puoโ€™ osservare, prima che il fotone
โ€œtroppo concentratoโ€ si trasformi in un micro buco nero?
โ„๐‘
ฮ”๐‘ฅ ๐‘ 4
=๐ธ=
2 ฮ”๐‘ฅ
2๐บ
ฮ”๐‘ฅ =
๐บโ„
๐‘3
LUNGHEZZA DI PLANCK = ๐Ÿ๐ŸŽโˆ’๐Ÿ‘๐Ÿ‘ cm !!!
BLACK
HOLE !!!
Se aumento lโ€™energia del fotone per โ€œvedereโ€ dettagli piuโ€™ raffinati,
il risultato eโ€™ โ€œNUTRIREโ€ il BUCO NERO!!!
NASCONDO dettagli dietro il suo ORIZZONTE DEGLI EVENTI
Riassumendo:
ERRORE commesso
in una misura:
G.U.P.
Non cโ€™eโ€™ ancora una teoria
completa della
Quantum Gravity, quindi
questo NON eโ€™ un Teorema
come lo eโ€™ HUP in QM, ma eโ€™
il risultato di un
GEDANKEN EXPERIMENT
๐œŸ๐’™ ๐œŸ๐’‘
โ‰…
โ„
๐Ÿ + ๐œท โ„“๐’‘ ๐Ÿ ๐œŸ๐’‘๐Ÿ
๐Ÿ
Principio di incertezza e Temperatura dei Buchi Neri
โ€ข Sapete che i buchi neri NON sono proprio neri !?!?!
โ€ข Se li studio solo con GR ----> NULLA PUOโ€™ USCIRE da un BH
โ€ข Se aggiungo al modello anche QM -----> qualcosa puoโ€™ sfuggire !!!
RADIAZIONE DI HAWKING (1974)
Idea intuitiva: coppie di fotoni virtuali si formano sul bordo โ€“ orizzonte degli eventi โ€“
del buco nero ----> Una cade nel buco, lโ€™altra scappa allโ€™infinito
QUINDI IL BUCO NERO EMETTE UNA RADIAZIONEโ€ฆ.
POSSO CALCOLARE LA
TEMPERATURA DELLA
RADIAZIONE DI HAWKING?
SI !
come?
col PRINCIPIO DI INCERTEZZA !!!
GAS DI FOTONI APPENA โ€œEMESSIโ€ DAL black hole
โ€ข Incertezza nella posizione dei fotoni:
๐šซ๐’™ ~ ๐Ÿ ๐‘น๐’”
๐‘ฌ=
โ€ข Corrispondente energia dei fotoni:
โ€ข Ma energia del gas di fotoni <--> temperatura:
โ€ข Inoltre:
๐‘น๐’” =
๐Ÿ๐‘ฎ๐‘ด
๐’„๐Ÿ
โ„ ๐’„
๐Ÿ ๐œŸ๐’™
๐‘ฌ=
=
โ„๐’„
๐Ÿ’ ๐‘น๐’”
๐Ÿ‘
๐Ÿ
๐’Œ๐‘ฉ ๐‘ป
QUINDIโ€ฆ
TEMPERATURA DI HAWKING
M
๐‘ป=
โ„๐’„๐Ÿ‘
๐Ÿ– ๐… ๐‘ฎ ๐’Œ๐‘ฉ ๐‘ด
T
Secondo questa formula lโ€™evaporazione del BH va avanti fino a massa
zero. E un istante prima di scomparire il buco ha temperatura โˆž !!!
๏ถ come evitare questo infinito???
๏ถ cosa accade se invece di usare lโ€™ HUP utilizzo il GUP ???
Il risultato eโ€™ il seguente:
๐‘ด โ‰…
๐Ÿ
๐‘ป
+ ๐œท ๐‘ป
MODIFICA DELLA FORMULA DI HAWKING
DOVUTA AL GUP
Lโ€™evaporazione si arresta alla massa di Planck (๐Ÿ๐ŸŽโˆ’๐Ÿ“ gr)
Temperatura finita alla fine dellโ€™evaporazione
I resti dellโ€™evaporazione sono โ€œpallineโ€ inerti con massa โ‰ˆ ๐‘ด๐’‘
i cosiddetti
BLACK HOLE REMNANTS
BLACK HOLE REMNANTS:
candidati per la materia oscura:
massa mancante dalle curve di
rotazione delle galassie
Dark matter: galaxiesโ€™ Clusters Collisions
Bullet Cluster: due ammassi di galassie si scontrano e si attraversano.
Plasma e gas interagiscono fortemente (zona rossa) e rimangono โ€œindietroโ€ rispetto
alla materia visibile (stelle/galassie). La massa di ciascun ammasso viene misurata
dopo lo scontro (gravitational lensing), e risulta maggiore della massa dovuta alla
sola materia visibile.
La dark matter (evidenziata in colore blu) non ha interagito (con altra materia), ed eโ€™
rimasta legata gravitazionalmente alla materia visibile (stelle/galassie).
Conseguenze del GUP:
Bubbling Spacetime at the Planck Scale
SPACETIME FOAM
๐Ÿ๐ŸŽ
โˆ’๐Ÿ‘๐Ÿ‘
cm