6. Il metodo delle tangenti di Newton.

Il Metodo di Newton, o delle Tangenti
Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1
Politecnico di Milano
Corso di Analisi e Geometria 1
Federico Lastaria
[email protected]
Il Metodo di Newton, o delle Tangenti
6 Novembre 2016
Indice
1 Metodo di Newton, o delle tangenti
1.1
1.2
2
Il metodo dellle tangenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
√
Un esempio: calcolo di 2 con l’algoritmo di Erone . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
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Il Metodo di Newton, o delle Tangenti
1
Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1
Metodo di Newton, o delle tangenti
È spesso utile trovare il valore approssimato, con un alto grado di precisione, di una soluzione
di un’equazione. In genere, il metodo di bisezione converge alla soluzione in modo piuttosto
lento. Un metodo iterativo che converge in modo molto più rapido si basa sull’idea geometrica
di approssimare, a ogni passo, il grafico della funzione per mezzo della retta tangente.
1.1
Il metodo dellle tangenti
Il metodo di Newton – detto anche delle tangenti, di Newton-Fourier, o di Newton-Raphson – è
un metodo iterativo per calcolare gli zeri di una funzione.
f
Teorema 1.1 (Metodo di Newton, o delle tangenti) Sia [a, b] −→ R una funzione di classe C 2 [a, b] (vale a dire, derivabile due volte su [a, b], con derivata seconda continua su [a, b]).
Facciamo le ipotesi seguenti:
(1) f (a) > 0, f (b) < 0 .
(2) f 0 (x) < 0 per ogni x in [a, b].
(3) f 00 (x) > 0 per ogni x in [a, b].
Allora:
(a) Esiste un unico punto x∗ ∈ (a, b) in cui la funzione f si annulla.
(b) La successione

 x0
= a
 xn+1 = xn −
f (xn )
f 0 (xn )
n = 1, 2, ...
(1.1)
converge al punto x∗ .
(c) Esiste una costante K > 0 per la quale si ha, per ogni n ∈ N,
|xn+1 − x∗ | < K|xn+1 − x∗ |2
(1.2)
Dimostrazione
(a) (Esistenza e unicità della soluzione)
La prima ipotesi (f (a) > 0, f (b) < 0) implica, per il teorema degli zeri, che esiste almeno
un punto x∗ in (a, b) per il quale f (x∗ ) = 0. Per la seconda ipotesi (f 0 < 0), la funzione f è
strettamente decrescente. Quindi il punto x∗ in cui la funzione f si annulla è unico.
(b) (Il metodo iterativo)
Approssimiamo ora il valore x∗ . L’idea del metodo è la seguente. Partiamo dal valore x0 = a
e consideriamo la retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa x0 :
y − f (x0 ) = f 0 (x0 )(x − x0 )
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Denotiamo con x1 l’ascissa del punto in cui tale retta tangente interseca l’asse delle x. Ponendo
y = 0 nell’equazione della retta tangente scritta sopra, si ricava:
x1 = x0 −
f (x0 )
f 0 (x0 )
Adesso iteriamo il procedimento: per ogni n = 1, 2, 3, ... chiamiamo xn+1 l’ascissa del punto in
cui la tangente al grafico di f nel punto di ascissa xn interseca l’asse delle x. Si ottiene in questo
modo la successione ricorsiva:

= a
 x0
f (xn )
(1.3)
n = 1, 2, ...
 xn+1 = xn − 0
f (xn )
Dimostriamo che la successione (1.3) converge allo zero x∗ di f .
f (x0 )
f (x1 )
f (x2 )
x∗
x0 = a
x1
x2
b
Anzitutto dimostriamo che la successione (1.3) è crescente e superiormente limitata dal numero
x∗ :
x0 < x1 < x2 < x3 < · · · < xn < xn+1 < · · · < x∗
(1.4)
Per cominciare, si ha
x0 < x1 < x∗
Infatti il punto
x1 = x0 −
f (x0 )
f 0 (x0 )
sta alla destra di x0 , perché il rapporto f (x0 )/f 0 (x0 ) è negativo. (Per ipotesi, f (x0 ) = f (a) > 0
e f 0 (x0 ) = f 0 (a) < 0). D’altra parte si ha x1 < x∗ . Infatti, poiché, per l’ipotesi (3) (cioè, f 00 > 0)
f è convessa, il suo grafico sta tutto al di sopra della retta tangente (chiamiamola T0 ) nel punto
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di ascissa x0 . In particolare, l’ordinata f (x1 ) – calcolata al di sopra del punto x1 sul grafico di
f – è maggiore del valore dell’ordinata calcolata, in corrispondenza di x1 , sulla retta tangente
T0 , valore che è uguale a zero. Dunque f (x1 ) > 0. Ora, poiché
f è decrescente, f (x1 ) > 0 e f (x∗ ) = 0,
si deve avere necessariamente x1 < x∗ . In modo simile si prova che ogni termine della successsione
xn+1 è maggiore di xn e minore di x∗ . Dunque la (1.4) è dimostrata. Siccome in R le successioni
crescenti e limitate convergono1 , si ha che la successione (xn ) tende a un limite, che chiameremo
c∗ . In
f (xn )
xn+1 = xn − 0
f (xn )
facciamo tendere n a +∞. Poiché f e f 0 sono continue e f 0 (x) è diverso da zero (per ipotesi è
negativo), si ottiene
f (c∗ )
c∗ = c∗ − 0 ∗
f (c )
Dunque f (c∗ ) = 0. Ma l’unico zero di f è x∗ , quindi c∗ = x∗ . Abbiamo allora dimostrato che la
successione (1.3) converge all’unico zero x∗ della funzione f .
(c) (Dimostrazione della convergenza quadratica)
Da
xn+1 = xn −
segue, sottraendo x∗ ,
xn+1 − x∗ = −
f (xn )
f 0 (xn )
f (xn ) + f 0 (xn )(x∗ − xn )
f 0 (xn )
(1.5)
Applicando la formula di Taylor sull’intervallo [xn , x∗ ], con il resto nella forma di Lagrange, si
ottiene:
f 00 (cn ) ∗
0 = f (x∗ ) = f (xn ) + f 0 (xn )(x∗ − xn ) +
(x − xn )2
(1.6)
2
dove cn è un punto opportuno compreso tra xn e x∗ . Da (1.6), si ricava
f (xn ) + f 0 (xn )(x∗ − xn ) = −
f 00 (cn ) ∗
(x − xn )2
2
Sostituendo in (1.5), si ha
xn+1 − x∗ =
f 00 (cn ) (x∗ − xn )2
f 0 (xn )
2
(1.7)
Se m è il minimo di |f 0 | su [a, b] e M è il massimo di f 00 su [a, b], si ottiene la maggiorazione
|xn+1 − x∗ | ≤
M |x∗ − xn |2
m
2
(1.8)
(Sicuramente m 6= 0. Infatti, per il teorema di Weierstrass, si ha m = |f 0 (p)| per un p opportuno
in [a, b] e f 0 (p) < 0, perché f 0 (x) < 0 per ogni x ∈ [a, b]). La disuguaglianza (1.8) dice che l’errore
al passo (n + 1)-esimo è maggiorato dal prodotto di una costante per il quadrato dell’errore
1
Si tratta di una proprietà equivalente all’assioma di completezza di R.
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commesso al passo precedente. Il procedimento dunque converge molto rapidamente non appena
si abbia |x∗ − xn | < 1.
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Osservazione. (Altre condizioni che garantiscono la validità del Metodo di Newton.)
Abbiamo dimostrato la validità del metodo delle tangenti di Newton-Fourier nel caso di funzioni di classe C 2 [a, b], con f 0 < 0, con f (a) > 0 e f (b) < 0 (e quindi con un unico zero in (a, b))
e con f 00 > 0. Sostanzialmente nello stesso modo, si dimostra la validità del metodo di Newton
anche per funzioni di classe C 2 [a, b] soddisfacenti la condizione f (a)f (b) < 0 (che garantisce
l’esistenza di uno zero tra a e b), con f 0 < 0 e f 00 < 0, oppure con f 0 > 0 e f 00 > 0, oppure con
f 0 > 0 e f 00 < 0.
1.2
Un esempio: calcolo di
√
2 con l’algoritmo di Erone
√
Il numero 2 è la radice positiva dell’equazione x2 − 2 = 0. Applichiamo allora il metodo delle
2
tangenti di
√ Newton-Fourier alla funzione f (x) = x − 2, ristretta a un intervallo che contenga
la radice 2; ad esempio, l’intervallo [1, 2]. In questo caso, la funzione f è crescente e convessa
sull’intervallo [1, 2]. Poiché f (xn ) = x2n − 2 e f 0 (xn ) = 2xn , la formula ricorsiva, partendo da
x0 = 2, è la seguente:

= 2
 x0
f (xn )
1
2
(1.9)
x
=
x
−
=
x
+
(per n intero ≥ 1.)
 n+1
n
n
f 0 (xn )
2
xn
Questa formula coincide, sostanzialmente, con la formula iterativa dell’algoritmo per il calcolo
della radice quadrata, attribuito al matematico alessandrino Erone.
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