Esercizi di geometria per la laurea triennale

Esercizi
1
Spazi vettoriali
1. Nello spazio vettoriale R3 si considerino i vettori
 
 
 
 
0
1
1
1
v1 =  1  , v2 =  0  , v3 =  1  , v4 =  1 
1
1
0
1
si determini un vettore non nullo appartenente a
span{v1 , v2 } ∩ span{v3 , v4 }
2. Si determini per quali valori del parametro reale t il seguente insieme è un
insieme di vettori linearmente indipendenti


 


0
t
t
v1 =  2t  , v2 =  0  , v3 =  2t 
t
1
2
Si determini inoltre la dimensione dello spazio W (t) = span{v1 , v2 , v3 },
al variare di t.
3. Rispondere Vero o Falso, motivando la risposta, alle seguenti affermazioni
(a) i vettori di una lista che contiene due vettori uguali sono sempre
linearmente dipendenti
(b) è possibile trovare una lista di vettori linearmente indipendenti che
contiene un vettore e il suo doppio
(c) togliendo un vettore a una lista di più di due vettori linearmente indipendenti ottengo ancora una lista di vettori linearmente indipendenti
3
(d) dal fatto che tre vettori di VO
sono due a due linearmente indipendenti, segue sempre che i tre vettori sono linearmente indipendenti.
3
(e) siano v1 , v2 , v3 ∈ VO
; si ha sempre che v1 , v2 , v1 ∧ (v1 ∧ v2 ) sono
linearmente dipendenti
4. Determinare una base ortonormale per lo spazio span{v1 , v2 }, dove


 
0
1
v1 =  1  , v2 =  1 
−1
1
1
2
Geometria analitica
1. Calcolare l’ampiezza degli angoli formati dalla diagonale principale del
cubo1 con un lato ad essa incidente e con un lato ad essa non incidente.
2. Un tetraedro2 regolare ha i lati di lunghezza 1 determinare le coordinate
dei suoi vertici rispetto a un opportuno riferimento cartesiano ortogonale
monometrico
3. Calcolare l’ampiezza dell’angolo formato da due faccie del tetraedro.
4. In un sistema di riferimento affine si considerino
rametriche


 x = t+1
 x
y = 3
y
r)
s)


z = 2t
z
le rette di equazioni pa= 2t − 1
= −t
= t
Determinare se sono coincidenti, incidenti, parallele o sghembe.
5. Nel riferimento cartesiano ortogonale monometrico RC(O, i, j, k) si consideri il punto P = (0, 1, 2) e i vettori v = 2i+j e w = i−2j+k. Determinare
se esiste un piano passante per P e
(a) parallelo a v e a w
(b) parallelo a v e ortogonale a w
(c) ortogonale a v e a w
6. Nel riferimento cartesiano ortogonale monometrico RC(O, i, j, k) sono dati
il punto P = (1, 1, 1)e la retta r di equazione
x+y+z =4
x−y =0
Determinare la distanza di P da r.
7. Nel riferimento cartesiano ortogonale monometrico RC(O, i, j, k) sia data
la retta di equazioni cartesiane
x+z =2
s)
x−y =0
e il punto P = (0, 1, 1). Determinare le equazioni dei piani che contengono
la retta di equazione parametrica

 x=t−1
y = 2t − 2

z=0
e che
1 quella
che collega due vertici opposti
le cui 4 faccie sono triangoli equilateri
2 poliedro
2
(a) passano per il punto P
(b) sono paralleli alla retta s
(c) sono ortogonali alla retta s
8. Nel riferimento cartesiano ortogonale monometrico RC(O, i, j, k) si considerino le rette di equazione cartesiana
x=1
x+y =0
r)
s)
y=0
z=1
Si determini l’equazione di una retta che passa per il punto O = (0, 0, 0)
e interseca sia r sia s.
3
Matrici e applicazioni lineari
1. Si determini il rango delle seguenti matrici in funzione del parametro t


0 0 t
t
 0 t 0 2t 
t 0 0 3t

1
 0

 1
0

t
1
1
t 

0
0 
1 −1
2. Si determini per quali valori del parametro t la seguente matrice è invertibile e per quei valori si calcoli l’inversa:


1 0 1
 0 t 0 
t 1 1
3. Sia T : R3 → R3 l’applicazione lineare associata, rispetto alle basi canoniche, alla matrice


1 2
1
 0 1
1 
1 0 −1
(a) Determinare una base per ImT e KerT , se esiste.
(b) Detrminare una base per l’immagine del sottospazio generato dal
vettore
 
1
 1 
1
(c) Stabilire se esiste la controimmagine del vettore


0
 −1 
2
e al caso determinarla.
3
4. Sia data l’applicazione lineare T : R2 → R3 definita da


x1 + x2
x1
T
=  x1 − x2  .
x2
x1
Si determini la matrice associata a T rispetto
(a) le basi standard di R2 e R3
(b) le basi
1
−1
1
,
1
  
  
−1
1 
 1
 0 , 0 , 1 


1
1
1
rispettivamente di R2 e R3 .
5. Si considerino in R2 e R3 le basi del punto (b) dell’esercizio precedente.
si consideri l’applicazione lineare G che ha (rispetto le basi suddette) la
seguente matrice associata


0 1
 2 1 
−1 0
x1
Si determini l’immagine del generico vettore
.
x2
6. Si consideri l’applicazione lineare T : R3

 
x1
T  x2  = 
x3
→ R3 definita da

x1 + x2
tx1 + tx2 
x2 − x3
Si determini al variare del parametro t la dimensione di Ker(T ) e Im(T ).
7. Siano T e G trasformazioni lineari da R2 in sé tali che
1
1
1
−2
T
=
T
=
1
−2
−1
1
1
2
1
3
G
=
G
=
0
−2
2
−3
Si osservi che T e G sono univocamente determinate dalle condizioni poste.
Si determini la dimensione dell’immagine di G ◦ T .
4
4
Diagonalizzazione degli operatori
1. Nello spazio VO3 si fissi un vettore non nullo w. Si consideri l’operatore3
T che al vettore v associa v ∧ w .
T è diagonalizzabile?
2. Indicare quali fra le seguenti coppie di matrici sono simili4 e quali no,
spiegandone il motivo
1 0
2 0
(a)
0 2
0 1
1 2
1 0
(b)
0 2
0 2
2 2
2 0
(c)
0 2
0 2
3. Nel caso in cui la risposta all’esercizio precedente sia positiva si determini
una matrice invertibile che realizza la similitudine.
4. L’operatore T di R3 è definito nella base canonica {i, j, k} da
T (i) = i + 2j − k,
T (j) = 2j − k,
T (k) = −2k
Dire se T è diagonalizzabile e, al caso, determinare una base di autovettori.
5
Operatori ortogonali, rotazioni
1. Si consideri l’operatore su R3 , T : x 7→ Ax dove x ∈ R3 e


a 0 b
A= 0 b a 
b a 0
Si determini per quali valori dei parametri a e b l’operatore é ortogonale.
2. Si consideri l’operatore su R3 , T : x 7→ Ax dove x ∈ R3 e


1 −2 −2
1
2 −1 
A=  2
3
2 −1
2
(a) Si provi che T è una rotazione.
(b) Si determini un versore dell’asse di rotazione.
(c) Si determini il coseno dell’angolo assoluto della rotazione.
3 endomorfismo
4 coniugate
5