Giuseppe Accascina Problem solving con software didattico

Giuseppe Accascina
Problem solving con software didattico
Inquadramento generale delle ricerche
Le ricerche rientrano nell'ambito delle ricerche del progetto coordinato da Mariolina Bartolini
Bussi.
Il nostro gruppo di ricerca studia l’attività di problem solving con software didattico a livello di
scuola secondaria superiore e a livello di docenti di scuola secondaria superiore in formazione.
In particolare attualmente l’attenzione di tutto il gruppo è concentrata sull’uso di software di
geometria dinamica (DGS) nella geometria del piano.
I DGS possono essere molto utili nel problem solving nel campo della geometria. Lo studente
abituato a leggere in un testo le dimostrazioni di teoremi e a memorizzarle, non appena coinvolto in
attività di problem solving con DGS, comincia a lavorare e a pensare come un ricercatore di
matematica. Vedere per esempio [Schattschneider and King, 1997], [Furinghetti, Paola, 2003].
Inoltre un’attività di problem solving con DGS può aiutare gli studenti ad apprezzare la natura e gli
obiettivi delle dimostrazioni matematiche. Vedi [Hoyles, Jones, 1998], p. 124. Vedere anche
[Olivero, 1999], [Hadas et al, 2000], [Hanna, 2000], [Laborde, 2000], [Mariotti, 2000], [Jones,
2000], [Mariotti, 2001], [Mariotti, 2005].
Nell’attività di problem solving il docente chiede agli studenti di disegnare un diagramma con
l’ausilio di un DGS, di fare congetture sulle proprietà geometriche della configurazione ottenuta e
di dimostrarne la verità o falsità.
Tema della ricerca
Abbiamo osservato in vari esperimenti che molti studenti che usano un DGS vedono soltanto alcune
proprietà ma non altre. Il nostro gruppo di ricerca sta studiando proprio questi casi.
Gli esperimenti fatti con studenti di scuola secondaria superiore, con futuri docenti (specializzandi
SSIS) e anche con docenti in servizio sembrano mostrare che le proprietà non viste dagli studenti
abbiano caratteristiche comuni.
Parte dei risultati ottenuti sono stati descritti in [Accascina et al. 2004a], [Accascina et al, 2004b],
[Accascina, Margiotta, Rogora, 2005a], [Accascina, Margiotta, Rogora, 2005b].
L’analisi di queste caratteristiche suggerisce il tipo di modifiche da apportare ai problemi assegnati
agli studenti in modo tale che la maggior parte di loro sia in grado di vedere le proprietà che prima
gli erano rimaste nascoste. D’altro canto appare anche necessario esporre piu’ volte gli studenti
proprio a problemi in cui alcune proprietà non vengono viste e discutere con essi di ciò. Si stanno
preparando alcuni esperimenti per ambedue le situazioni.
Composizione del gruppo di ricerca.
G.Accascina, E. Rogora (docenti universitari),
M. Batini, F. Del Vecchio, G. Margiotta, E. Pietropoli, D. Valenti (docenti di scuole secondarie
superiori).
Riferimenti bibliografici.
[Accascina et al. 2004a]
Accascina, G., Batini, M., Del Vecchio, F., Margiotta, G., Pietropoli,
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[Accascina et al. 2004b]
Accascina, G., Batini, M., Del Vecchio, F., Pietropoli, E., Valenti D.,
(2004), Problem posing e problem solving con software di geometria dinamica, in (Accascina G,,
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[Accascina , Margiotta, Rogora, 2005a]
Accascina G., Margiotta G, Rogora E. Making Bad
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[Accascina , Margiotta, Rogora, 2005b]
Accascina G., Margiotta G., Rogora E., Pitfalls Caused
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Mammana, C. and Villani, V. Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21st Century,
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[Jones, 2000]
Jones, K. Providing foundation for deductive reasoning: students’
interpretations when using dynamic geometry software and their evolving mathematical
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[Laborde, 2000]
Laborde, C. Dynamic geometry environments as a source of rich learning
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[Mariotti, 2000]
Mariotti, M.A. Introduction to proof: the mediation of a dynamic software
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Mariotti, M.A. Justifying and proving in the Cabri environment, International
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[Mariotti, 2005]
Mariotti, M.A. La geometria in classe. Riflessioni sull’insegnamento e
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[Olivero, 1999]
Cabri-Géomètre as a mediator in the process of transition to proofs in open
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[Schattschneider, King, 1997] Schattschneider, D., King, J. Making Geometry Dynamic, in eds.
Schattschneider, D., King, J. Geometry Turned On, Cambridge University Press, London
Giuseppe Accascina e Enrico Rogora
Il problema del raccordo tra scuola e università. Materiali e possibili interventi.
Inquadramento generale delle ricerche
Le ricerche rientrano nell'ambito delle ricerche del sottogruppo Azione trasversale del Progetto
Lauree Scientifiche coordinato da Gabriele Anzellotti.
Il problema del raccordo in matematica tra scuola e università è stato ben descritto in una tavola
rotonda durante l’ICM 1998 di Berlino [De Guzmàn et al., 1998]:
The passage from secondary school to tertiary mathematics education is determined by procedures
varying considerably from one country to the other, and even within one country, from one
institution to another. But whatever the context, this transition often presents major difficulties for
an important part of those students who take mathematics courses at the tertiary level. This is true
whether the students being considered are specializing in mathematics or are registered in a
program for which mathematics is a service subject.
Le difficoltà sono di varia natura: epistemologica e cognitiva, sociologica e culturale, didattica.
Le difficoltà di natura epistemologica e cognitiva sono state studiate in [Accascina et al., 1998]. Da
questa ricerca emerge che gli studenti non sanno, non sanno di non sapere, non sanno che la loro
ignoranza influirà sui loro studi.
[De Guzmàn et al., 1998] suggeriscono 12 azioni che potrebbero alleviare queste difficoltà. Le
prime tre sono:
1. Stabilire un migliore dialogo tra docenti di scuola secondaria superiore e di università
2. Organizzare attività di orientamento per gli studenti
3. Organizzare attività di aiuto individuale per gli studenti.
Tema della ricerca
Il nostro gruppo di ricerca studia le difficoltà epistemologiche e cognitive incontrate dagli studenti e
prepara materiali che possano essere utili a superarle avendo come obiettivi i tre punti indicati
sopra. Ha in particolare pubblicato il CD AMBO [Accascina, Rogora et al., 2004]. Il CD si rivolge
• agli studenti degli ultimi anni di scuola secondaria che intendano proseguire i loro studi in
campo scientifico; per costoro il CD realizza il duplice obiettivo di orientare verso la scelta
universitaria e di rafforzare le conoscenze matematiche di base;
• ai docenti universitari e di scuola secondaria che vogliano organizzare percorsi di recupero sulle
conoscenze matematiche.
In [Accascina, Mastrogiovanni, Rogora, 2004 ] sono descritti gli aspetti informatici del CD (e le
loro implicazioni didattiche), basati sulle metodiche di archiviazione di materiale didattico in
formato elettronico, descritti in [Rogora, Sterbini, 2001] e in [Rogora, Roselli, 2001].
Il nostro gruppo sta attualmente conducendo delle analisi sull’uso del CD in diversi contesti; a
scuola, dove è stato utilizzato come materiale per attività di ripasso coordinate dagli insegnanti e
all’università, dove è stato utilizzato come materiale per l’autoformazione. Sono state distribuite più
di 4000 copie del CD alle matricole dei corsi di laurea di Ingegneria e di Scienze dell’Università di
Roma “La Sapienza”. I risultati delle analisi sull’uso del CD sono alla base progetto che stiamo
approntando per una sua nuova versione in cui inoltre intendiamo aggiungere nuovi argomenti
(probabilità) e includere nuovi strumenti (percorsi di autoformazione che usino software
matematico CAS, DGS,…).
Composizione del gruppo di ricerca.
G.Accascina, E. Rogora (docenti universitari),
M. Batini, A. Celentano, C. Ipsevich, G. Olivieri, D. Proia, F. Rohr, S. Volpe (docenti di scuole
secondarie superiori).
Riferimenti bibliografici.
[Accascina et al., 1998]
G. Accascina, P.Berneschi, S.Bornoroni, M.De Vita, G.Della Rocca, G.Olivieri, G.P.Parodi,
F.Rohr. La strage degli innocenti. Problemi di raccordo in matematica tra scuola e università, Ed.
Battagin, Bassano del Grappa, 1998
[Accascina, Rogora et al., 2004]
G.Accascina, E. Rogora, M. Batini, A. Celentano, C. Ipsevich, G. Olivieri, D. Proia, F. Rohr, S.
Volpe A.M.B.O. (Argomenti di Matematica di Base per l’Orientamento) v. 1.9, CD, Università “La
Sapienza” di Roma, 2004
[Accascina, Mastrogiovanni, Rogora, 2004]
G. Accascina, M. Mastrogiovanni, E. Rogora Bridging the gap between high school and university
mathematics, Atti Didamatica 2004, Ferrara.
[De Guzmàn et al, 1998]
M. De Guzmàn B. Hodgson, A. Robert, V.- Villani Difficulties in the passage from secondary to
tertiary education Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Berlin 1998,
Documenta Matematica, vol. 3, pp 747-762.
[Rogora, Sterbini, 2001]
E. Rogora, A. Sterbini Multiple choice quiz in a web teaching environment, Atti del convegno
Didamatica 2001, Bari
[Rogora, Roselli, 2001]
E. Rogora, P. Roselli Archiving, delivering and using Electronic teaching resources, Atti del
convegno Didamatica 2001, Bari
Contributo in collaborazione tra le unità di ricerca di Salerno e di Alessandria
Giovannina Albano, Pier Luigi Ferrari
Questo contributo si propone di illustrare una ricerca sull’utilizzo di piattaforme per l’e-learning per
l’insegnamento/apprendimento universitario della matematica.
E’ indubbio che le ICT (Tecnologie dell’Informazione e della Comunicazione) sono ormai parte della nostra
vita quotidiana, investendo ogni attività privata o pubblica che ci coinvolge. La Commissione Europea ha
lanciato il Programma eLearning il cui obiettivo globale è quello di sostenere e sviluppare ulteriormente l'uso
efficace delle ICT nei sistemi europei di istruzione e formazione, come contributo a un'istruzione di qualità e
come elemento essenziale per adeguare tali sistemi alle esigenze della società della conoscenza nel contesto
di una formazione permanente.
La nostra ricerca si concentra sull’uso blended (cioè a supporto di attività tradizionali) di piattaforme di elearning per l’insegnamento/apprendimento della matematica a livello universitario. Sono di interesse sia i
fattori affettivi sia gli aspetti metacognitivi. Le domande di ricerca sono finalizzate a comprendere:
Quali sono le aspettative e le convinzioni degli studenti sull’e-learning.
In che modo e attraverso quali delle funzionalità disponibili l’uso di una piattaforma di e-learning
può cambiare:
la motivazione all’apprendimento;
gli atteggiamenti;
il rapporto con la matematica;
il rapporto col docente;
le strategie di apprendimento.
Come e attraverso quali funzionalità l’uso di una piattaforma di e-learning può creare nuove
occasioni di studio e apprendimento.
La ricerca in atto si immette nel filone teorico del costruttivismo e dell’apprendimento significativo di
Jonassen (2003). La teoria di David Jonassen si muove all'interno della versione costruttivistica, aperta da
Papert, in cui gli strumenti informatici fanno parte dei contesti di apprendimento. Secondo Jonassen (2000)
la tecnologia può essere considerata come tool per accedere alle informazioni, per rappresentare idee e
comunicare con gli altri, per realizzare prodotti; partner intellettuale o mindtool per organizzare ciò che si
apprende, rappresentare la propria conoscenza, per riflettere su quanto si è appreso e su come lo si è fatto,
per sostenere la negoziazione interna e la creazione di significato, per costruire rappresentazioni personali e
sostenere l’attenzione; contesto per rappresentare e assimilare problemi, situazioni e contesti dei mondo
reale, per rappresentare credenze, prospettive e storie di altri, per sostenere il discorso in comunità di studenti
che costruiscono conoscenza.
L’apprendimento significativo è caratterizzato dall’essere:
• attivo, ovvero rende responsabile l'allievo dei propri risultati;
• costruttivo, attraverso l'equilibrio tra i processi di assimilazione ed accomodamento;
• collaborativo, in particolare attraverso l'insegnamento reciproco (reciprocal teaching) ed il sostegno
(scaffolding e coaching) offerto dall’insegnante;
• conversazionale, perché coinvolge i processi sociali e in particolare quelli dialogico-argomentativi;
• intenzionale, in quanto coinvolge attivamente e pienamente l’allievo nel perseguimento degli
obiettivi cognitivi;
• contestualizzato, in quanto i compiti di apprendimento coincidono con i compiti significativi del
mondo reale;
• riflessivo, in quanto gli studenti organizzano quello che hanno appreso riflettendo sui processi svolti
e sulle decisioni che hanno comportato.
In questo quadro l’uso di piattaforme è compatibile con metodi costruttivi e interattivi, e in particolare
all’approccio discorsivo alla matematica. In breve sono offerte diverse possibilità:
interazione fra pari;
ruolo flessibile dei tutori (semplici monitori, agenti provocatori, correttori, docenti, …);
diversi sistemi semiotici: testi verbali, espressioni simboliche, figure;
diverse funzioni cognitive dei testi verbali: da testi/processi (forum) a testi/oggetti
(workshop);
il gioco di ruoli, che è una variante sul tema della cooperazione e ha la funzione di proporre
agli studenti ruoli non passivi e di ribaltare l’atteggiamento nei confronti dei problemi.
Per quanto riguarda i fattori affettivi, una prima indagine è stata condotta all’Università di Salerno per
individuare le attese degli studenti circa un corso blended: qual è l’influenza delle ICT sulla qualità del
corso, sull’apprendimento in oggetto, sulla relazione con la matematica e con il docente (Albano, 2005a).
E’ interessante notare come i primi risultati sottolineino come il docente da un lato risulti essere la chiave del
successo per un uso efficace di strumenti di e-learning, dall’altro venga finalmente percepito vicino in un
ambiente dove per forza di cose (gran numero di studenti, modus operandi etc) risulta mediamente lontano o
assente.
D’altro canto si è potuto notare un certo parallelismo tra le convinzioni/attese dei docenti che usano il PC
rilevate in (Bottino, Furinghetti, 1994, 1996) e quelle degli studenti: da un lato ci sono docenti che
considerano il computer come uno strumento utile per introdurre argomenti di matematica in modo più
veloce, semplice o interessante, dall’altro ci sono studenti che, grazie al computer, si aspettano di imparare
più velocemente e facilmente e di trovare la matematica più interessante; da un lato abbiamo docenti che
mirano a dare agli studenti una visione dell’utilità pratica dei computer e del loro impatto sulla vita sociale,
dall’altro abbiamo studenti che si aspettano di imparare ad usare il computer perché ne hanno/avranno
bisogno nella quotidianità della nostra società.
Una più raffinata indagine è in corso tenendo conto degli studi di Zan (1996) che evidenziano come la
modifica di atteggiamenti negativi influenza il successo nell’apprendimento.
Per quanto riguarda gli aspetti metacognitivi, l’idea è di supportare gli studenti con attività on-line, basate sui
giochi di ruolo, che li coinvolgano attivamente e che mirino a far affrontare loro i temi di studio in una
maniera meno mnemonica e più critica. Nell’impostazione che abbiamo scelto, ogni studente ha assegnati tre
argomenti: per il primo di essi, deve preparare delle domande come fosse un docente che verifica
l’apprendimento di uno studente; per il secondo, deve rispondere alle domande preparate da un collega; per il
terzo torna nel ruolo del docente correggendo le risposte date da un altro. Alla fine di ogni ciclo il docente
aggiunge i suoi commenti. Per ciascuna attività ognuno ha un tempo da rispettare, poiché l’attività di
ciascuno è presupposto per quelle successive di altri. I file elaborati da ciascuno vengono messi in un’area di
condivisione, accessibile a tutti gli studenti coinvolti nel gioco. Una prima sperimentazione è stata condotta
con gli studenti del primo anno di Ingegneria Elettronica all’università di Salerno nello scorso anno
accademico. Questo gioco di ruoli ha riscosso molto successo. Tutti hanno lavorato con impegno. I feedback
sono stati raccolti a fine corso attraverso interviste (Albano, 2005b), che hanno mirato a capire in che modo
le attività fatte hanno influito sul modo di studiare, quali benefici sono stati riscontrati dagli studenti stessi,
quale ruolo giocato è stato ritenuto maggiormente utile e perché. I ruoli di docente che verifica
l’apprendimento e di studente che risponde a domande tra le più svariate preparate da altri sono stati i più
apprezzati, perché ritenuti particolarmente utili per abituarsi ad un modo di studiare più critico e più
approfondito.
Questa idea iniziale, che si collega al tema del problem posing, è stata ampliata in collaborazione con
P.L.Ferrari ed è in corso una sperimentazione parallela tra l’università di Salerno e quella del Piemonte
Orientale. Nell’esperienza di Alessandria il docente rimane dietro le quinte, e i rapporti con gli studenti
coinvolti nella sperimentazione sono gestiti da due tutori. Le altre modifiche consistono nell’estensione del
gioco di ruolo anche ai problemi, con una marcata attenzione al coordinamento fra sistemi semiotici (e.g.,
testi verbali-espressioni simboliche-grafici). Inoltre è stato creato un gruppo di controllo a cui lo staff
(docente + tutori) assegna dei problemi (riguardo aspetti teorici e pratici); ogni studente lavora in autonomia
alla risoluzione entro un tempo fissato, alla fine del quale lo staff mette a disposizione un modello di
risoluzione attraverso cui gli studenti possono autovalutarsi. Il gruppo di controllo utilizza quindi la
piattaforma senza però praticare il gioco di ruoli.
La ricerca prosegue in due direzioni principali:
Raccolta di ulteriori dati e raffinamento delle analisi delle attività cooperative basate su
piattaforma, in particolare per quanto riguarda l’uso del linguaggio e gli atteggiamenti verso la
matematica.
Costruzione e sperimentazione di percorsi individuali di recupero per studenti in difficoltà,
sfruttando al massimo l’estrema flessibilità del supporto, che consente modalità di lavoro sia
molto aperte (messa a disposizione di materiali con prove di autovalutazione finali) sia guidate
in modo più stretto (percorsi personalizzati, questionari di autovalutazione intermedi e di
comprensione dei testi, …).
Riferimenti
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Albano, G. (2005b). A case study about Mathematics and E-learning: first investigations. (in progress).
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Bottino, R. M., Furinghetti, F. (1996). Teachers’ behaviours in teaching with computers. In A. Gutierrez & L. Puig
(editors), Proceedings of PME 20 (Valencia), v.2, 129-136.
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http://europa.eu.int/eur-lex/pri/en/oj/dat/2003/l_345/l_34520031231en00090016.pdf
Jonassen, D.H. (2000). Computers as mindtools for schools: Engaging Critical Thinking. Upper Saddle River, NJ:
Merril/Prentice Hall.
Jonassen, D.H., Howland, J., Moore, J. Marra R.M. (2003). Learning to Solve Problems with Technology: A
Constructivist Persepective. Upper Saddle River, NJ: Merril/Prentice Hall.
Zan, R. (1996). Un intervento metacognitivo di ‘recupero’ a livello universitario. La Matematica e la sua didattica,
num. 1, pp. 65-89, 1996.
DIMOSTRARE PER ASSURDO
Samuele Antonini
Università di Pavia
Lavoro eseguito nell’ambito del progetto PRIN 2003 “Problemi di insegnamento-apprendimento in
matematica: significati, modelli, teorie” (coord. Maria G. Bartolini Bussi)
Problema di ricerca
L’obiettivo della ricerca è quello di studiare le difficoltà degli studenti di scuola superiore e
università con le dimostrazioni per assurdo.
Le poche ricerche che si sono occupate della dimostrazione per assurdo in campo didattico hanno
evidenziato quella che sembra una contraddizione: da un lato gli studenti manifestano profonde
difficoltà con la dimostrazione per assurdo (per esempio Thompson, 1996), dall’altra argomentare
per via indiretta sembra un modo di pensare "naturale": gli studenti producono spontaneamente
argomentazioni indirette nell’esperienza quotidiana e anche in matematica, allo scopo di formulare
congetture e di convincersi della verità di certi enunciati (Freudenthal, 1973; Polya, 1967;
Thompson, 1996, Antonini, 2003a/b).
Diventa quindi interessante andare a studiare i legami tra i processi che gli studenti attuano nella
produzione di argomentazioni indirette (cioè, seguendo la definizione di Freudenthal, 1973, del tipo
“se così non fosse, avremmo che…”), e i processi di costruzione di dimostrazioni per assurdo.
Un quadro teorico adeguato per questo studio è quello dell’Unità Cognitiva (Garuti et al., 1996a/b,
Pedemonte, 2002) che si occupa proprio dello studio dei processi di costruzione di argomentazioni
in relazione a quelli attuati per costruire una dimostrazione.
Lo scopo è quello di analizzare e modellizzare i processi argomentativi ed esplorativi per
individuare alcune variabili che possono favorire (o inibire) la costruzione di argomentazioni
indirette e la transizione da un’argomentazione indiretta ad una dimostrazione per assurdo.
Risultati ottenuti
E’ stato costruito un modello di dimostrazione per assurdo (Antonini, 2003a) che si basa sulla
nozione di teorema come terna composta da enunciato, dimostrazione e teoria di riferimento,
esposta in Mariotti (2000). La nozione di teorema come terna è stata opportunamente raffinata per
tener conto della struttura logica della dimostrazione per assurdo, e della rilevanza che alcuni
elementi sembrano assumere dal punto di vista cognitivo. In particolare, in una dimostrazione per
assurdo sono stati individuati due livelli teorici e tre enunciati, formulati su diversi livelli teorici. Il
modello si è rivelato particolarmente efficace quale strumento per l’individuazione, la descrizione e
l’analisi fine delle difficoltà, e per la formulazione di precise questioni di ricerca.
Per quanto riguarda l’argomentazione, sono state individuate alcuni variabili che sembrano rilevanti
per la genesi di argomentazioni indirette. In particolare, sembra che la produzione durante
l’esplorazione di certi esempi (che abbiamo chiamato non-esempi) che non verificano le condizioni
del problema, possa portare i soggetti alla produzione di argomentazioni indirette della congettura
(Antonini, 2003b).
Problemi aperti
Lo studio sulle relazioni tra i processi esplorativi (per esempio quelli modellizzati da Boero et al,
1999) e la struttura dell’argomentazione e della dimostrazione in fase di produzione di congetture
non è ancora ben approfondito in letteratura e ci sembra possa essere rilevante sia dal punto di vista
teorico, sia per le ricadute didattiche. Sarà necessario definire in termini più precisi cosa si intende
con struttura di un’argomentazione, argomentazione indiretta, argomentazioni con strutture simili.
Parallelamente, dagli studi fatti, risulta che uno dei problemi maggiori degli studenti è quello
dell’accettabilità di una dimostrazione per assurdo come argomentazione che effettivamente valida
un enunciato. Lo studio dell’accettabilità pone profondi problemi di natura cognitiva, linguistica, e
storico-epistemologica.
Si tratta innanzitutto di definire cosa si intende con accettabilità di una dimostrazione, o in generale,
di un’argomentazione. A tal fine, una prima proposta può essere quella che si rifà alla nozione di
accettabilità intuitiva di Fischbein (1987).
Inoltre, un’attenta ricerca sull’origine della dimostrazione e in particolare della dimostrazione per
assurdo, può rivelare elementi significativi dal punto di vista culturale e linguistico. A questo
proposito, riteniamo adeguata la linea di Szabó (1978) che avanza e motiva l’ipotesi che la
dimostrazione matematica trova le sue radici nelle argomentazioni della filosofia eleatica.
Dal punto di vista cognitivo riteniamo anche che non si possa ignorare il ruolo di certe dinamiche
mentali, soprattutto di carattere temporale (Guala & Boero, 1999), non solo nella produzione ma
anche nell’accettazione di argomentazioni indirette e di dimostrazioni per assurdo.
Infine, in un approccio di natura linguistica, la pragmatica può spiegare la non accettabilità di una
dimostrazione per assurdo a partire dal fatto che tali dimostrazioni, per un certo soggetto, possono
violare alcune regole conversazionali, nel senso di (Grice, 1975).
Riferimenti bibliografici
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Dottorato, Dipartimento di Matematica, Università di Pisa.
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Garuti,R.,Boero,P.,Mariotti,M.A.(1996a), Some dynamic mental processes underlying producing
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Grice,H.P. (1975), Logic and conversation, in Cole, P.&J.L.Morgan (Eds.), Syntax and semantics:
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F. Arzarello, O.Robutti, F, Ferrara, C. Sabena, insegnanti (COFIN BARTOLINI)
Università di Torino
La nostra ricerca più recente è basata su studi in ambito psicologico (Antinucci, 2001), neurologico
(Gallese & Lakoff, 2005) e di educazione matematica (Nemirovsky et al., 2003; Tall, 2002). In
particolare è fondata sul paradigma dell’embodied mind, che sfida la comune concezione secondo
cui tutti i concetti sono simbolici ed astratti, e sostiene che la conoscenza concettuale è radicata
nelle esperienze percettivo-motorie dell’individuo. Gli esseri umani sono caratterizzati rispetto agli
animali dalla manipolazione di simboli, ma tale uso è strutturato dall’azione e dai sistemi percettivi
comuni che si sviluppano sia in ambienti naturali che in contesti in cui sono presenti artefatti. E’ in
tali ambienti che la matematica, prodotto culturale dell’umanità, si sviluppa come costruzione
umana fondata sull’esperienza senso-motoria (Lakoff & Nunez, 2000). Certamente, la riduzione di
concetti astratti a fenomeni concreti non spiega completamente i processi fondamentali che sono
coinvolti negli atti di astrazione. Infatti, le esperienze senso-motorie possono essere strutturate in
modo vario da quelle predisposizioni neurofisiologiche che noi in quanto esseri umani possediamo
geneticamente, ma mediate dai fattori ambientali che includono i sistemi simbolici e culturali nei
quali siamo immersi, sia come individui che come gruppi (Schiralli & Sinclair, 2003). Evoluzione
genetica e culturale rappresentano i due quadri profondamente intrecciati entro cui vivono e vanno
studiati i processi di astrazione, in particolare quelli di chi apprende la matematica. I processi di
apprendimento procedono, in modo sociale, per appropriazione, creazione, condivisione di nuovi
segni legati profondamente alle esperienze senso-motorie, in particolare a quelle con gi strumenti;
tali processi sono rivelati da gesti, parole, azioni, sguardi, atti di immaginazione, che rappresentano
elementi
di
oggettificazione
della
conoscenza
(Radford,
2005).
La nostra ricerca è rivolta a studiare tali elementi, nello specifico dell’apprendimento-insegnamento
della matematica: da una parte le relazioni tra gesti, sguardi, e l’immaginazione in matematica
(indicatori di tale processo, come illustrato nel passato da famosi matematici quali Poincaré,
Hilbert, Hadamard); dall’altra l’interazione tra strumenti e pensiero matematico (mediatori della
conoscenza, secondo una tradizione millenaria, oggi fondamentale per il ruolo delle nuove
tecnologie). Su questo versante, si utilizzano approcci teorici che mettono in luce il tipo di utilizzo
dell’artefatto secondo il processo di strumentalizzazione che il soggetto intraprende (Verillon &
Rabardel, 1995) o la maggiore/minore trasparenza che un artefatto può avere per l’utilizzatore
(Meira, 1998; Ainley, 2000). Questo quadro teorico è stato utilizzato per sviluppare due studi di
tipo sperimentale in continuità con quelli precedenti: 1) la costruzione dei concetti matematici e la
genesi delle dimostrazioni in ambiente geometrico bi- e tridimensionale, con l’uso di materiali
concreti e di ambienti virtuali di geometria dinamica (la geometria nel piano e su sfera, cilindro,
cono, con l’obiettivo di investigare sul ‘senso dello spazio’); 2) La genesi del concetto di funzione e
delle sue rappresentazioni grafiche, simboliche, numeriche a partire da esperienze in contesti vari:
scienze fisiche e sperimentali, economia, informatica e matematica (invariante, variazione, modello,
funzione, grafico, pendenza, variazione di pendenza, derivata, integrale). L’approccio adottato è
embodied e particolare attenzione viene rivolta al ruolo di mediazione semiotica degli strumenti.
I nostri studi hanno due finalità, in parte già raggiunte: costruire un modello cognitivo comune,
applicabile in generale a situazioni di apprendimento in cui gli allievi sono coinvolti in interazione
sociale, e legare le attività di ricerca e di didattica con ricadute da entrambe le parti. Un risultato
ottenuto, legato alla prima finalità, è il costrutto teorico dello Spazio di Azione, Produzione e
Comunicazione, che intreccia gli elementi percettivo-motori dell’attività di apprendimento con
quelli semiotici della costruzione di conoscenza matematica da parte degli allievi. Un lavoro in
corso, legato alla seconda finalità, è l’analisi di test tipo OCSE, PISA, o Invalsi, con il duplice
obiettivo di ricerca e di didattica, per trovare un equilibrio in una dialettica tra due polarità: quella
di analisi dei processi da una parte e quella di valutazione dei prodotti dall’altra.
I primi risultati dei nostri studi sono stati presentati nel 2005 al CERME4 (Barcellona), al PME29,
al convegno “Interacting Bodies” (Lione) e al Convegno ICTMT7 (Bristol).
L. Bazzini, F. Morselli, L. Bertazzoli (COFIN BOERO)
La nostra ricerca più recente si rivolge essenzialmente a due temi:
• La sinergia di ambienti diversi (in particolare “carta e penna” e CABRI) nella costruzione di
conoscenza matematica da parte degli studenti;
• L’influsso che i modelli teorici, elaborati dalla ricerca didattica relativamente al
comportamento cognitivo degli allievi,
possono esercitare sul comportamento
dell’insegnante che ha studiato e interiorizzato tali modelli.
Riguardo al primo tema, ci inseriamo nel dibattito sul ruolo delle nuove tecnologie, che possono
modificare sensibilmente il modo di insegnare ed apprendere la matematica.
Studi recenti hanno evidenziato le potenzialità di software di Geometria Dinamica nel favorire la
comprensione di concetti matematici e procedure (si vedano ad esempio Mariotti, 2000; Marrades
& Gutiérrez, 2000, Arzarello et al.,2002, Lagrange & Grugeon, 2003 ).
Le potenzialità del software a volte accompagnano e a volte sono in contrasto con l’attività
tradizionale in ambiente carta-penna: interessante al riguardo l’analisi di Assude e Gelis (2002)
sulla dialettica tra il vecchio e il nuovo. Questi autori sottolineano la necessità di trovare un buon
equilibrio attraverso l’integrazione dei due ambienti: condividendo questa prospettiva abbiamo
progettato e svolto un teaching-experiment in cui l’esplorazione dinamica in Cabri è accompagnata
da momenti di riflessione, verbalizzazione e interazione coi compagni e con l’insegnante. In questo
teaching-experiment l’alternanza e l’integrazione dei due ambienti, adattata alle condizioni e alla
cultura della classe, ha prodotto sinergia (in particolare nella produzione e validazione di
congetture). Il processo di apprendimento, caratterizzato da componenti diverse (azioni e
interazioni, produzioni e comunicazioni) conferma inoltre la necessità di un approccio globale,
secondo il modello teorico dello Spazio di Azione, Produzione e Comunicazione (APC Space,
Arzarello, 2004).
Per quanto riguarda il secondo tema, ci collochiamo nel filone di ricerca che studia la natura
dialettica del rapporto teoria-pratica e la necessità di un’ottica collaborativa (si vedano i lavori di
Brown & Cooney, 1991, Bazzini, 1991, Burton, 1991, Wittmann, 1991, Steinbring, 1994).
La nostra attenzione si rivolge al ruolo dei modelli teorici nei processi di insegnamentoapprendimento della matematica, con riferimento alla figura dell’insegnante.
E’ interessante vedere come la conoscenza e l'interplay di costrutti teorici influenza e modella il
comportamento dell'insegnante nelle fasi di progettazione, gestione, analisi delle attività in classe.
Punto di partenza per questo studio è l’analisi del comportamento professionale di un’insegnante
che ha subito un certo imprinting teorico, ha interiorizzato correttamente i modelli teorici e li usa
proficuamente, riuscendo a cogliere e potenziare le intuizioni degli alunni con opportune
microdecisioni. Riteniamo che l’esame di questo case study potrà fornirci indicazioni
sull’individuazione di strategie compatibili con l’apparato teorico (e presumibilmente ispirate da
esso), non escludendo che in altre situazioni possano verificarsi strategie diverse, anche non
compatibili coi modelli teorici appresi.
Giorgio T. Bagni
Dipartimento di Matematica e Informatica, Università di Udine
ARTEFATTI E LINGUAGGIO NELLA DIDATTICA DELLA MATEMATICA
1. La presente ricerca si inquadra nel COFIN 2005 coordinato da Paolo Boero (Unità di Roma,
coordinata da Lucilla Cannizzaro) e rientra nell’ambito della Didattica della Matematica con
particolare attenzione agli aspetti storico ed epistemologico, i quali meritano considerazione anche
nel settore di formazione degli insegnanti.
Una sperimentazione (Bagni, forthcoming-a) è stata incentrata su di un approccio interculturale che
può essere assai produttivo in ambito didattico: essa non prevede infatti un semplice accostamento
di esperienze derivanti dalle diverse culture, bensì è basata su di un’efficace interazione, su di un
confronto paritetico che porti alla valorizzazione delle differenze (Rorty, 2003). Nella presente
ricerca, in particolare. è stata studiata un’esperienza didattica basata sull’uso di artefatti derivati
dalla tradizione matematica cinese (bastoncini e tavola da calcolo), applicati alla risoluzione di
alcuni problemi originali (equivalenti a sistemi di equazioni lineari) proposti ad allievi di 11 anni.
L’applicazione delle bacchette da calcolo nel campo della ricerca in didattica della matematica
richiede la precisazione di un apposito quadro teorico: ci siamo basati su quanto proposto da
Bartolini Bussi, Mariotti e Ferri (2005) che si collega a lavori di Vygotskij (1974, 1990), Rabardel
(1995) e Wartofsky (1979). In particolare, com’è noto, Vygotskij riconosce funzioni di mediazione
agli strumenti tecnici e psicologici (e, per quanto riguarda l’uso, ne sottolinea l’intenzionalità);
Wartofsky identifica gli strumenti tecnici come artefatti primari; gli artefatti secondari sono usati
per fissare e trasmettere le modalità di azione.
Nella situazione sperimentale in esame, le bacchette da calcolo sono considerate, in prima lettura,
artefatti primari; regole e convenzioni rappresentative corrispondono ad artefatti secondari; una
teoria matematica è un artefatto terziario che organizza gli artefatti secondari (Wartofsky, 1979).
Didatticamente significativo è che l’uso degli artefatti primari richieda la loro manipolazione;
l’importanza degli aspetti corporei si accorda con la recente posizione della scienza cognitiva basata
sui lavori di Lakoff, Johnson e Núñez (Lakoff & Núñez, 2000), secondo la quale la formazione di
idee matematiche si basa sull’esperienza sensoriale-motoria (Antinucci, 2001; Robutti & Ghirardi,
2004; Arzarello & Robutti, forthcoming).
La ricerca sperimentale è in progress, ma alcuni risultati sono già stati ottenuti e presentati alla
comunità scientifica (Bagni, forthcoming-a, b, c). La più ampia riflessione sul linguaggio ha portato
alla pubblicazione di alcuni lavori (Bagni, 2005-a, b; D’Amore, Radford & Bagni, forthcoming);
un’esposizione più organica delle problematiche affrontate è in preparazione.
2. Per quanto riguarda l’approfondimento teorico delle questioni collegate al linguaggio, ci
riferiamo ad Gadamer (2000) e Rorty (2004); alcuni spunti sono tratti da Wittgenstein (1971, 1999),
Radford (2003) e dallo studio delle diverse radici della razionalità (seguendo: Habermas, 2001).
Si consideri, ad esempio, la celebre possibilità di collegare una proposizione geometrica ad un
dispositivo meccanico descritta in alcuni passi delle Osservazioni sopra i fondamenti della
matematica (Wittgenstein, 1971, III, § 49, p. 168 e V, § 51, p. 256). Un primo accenno a tale
dispositivo meccanico è nella III parte dell’opera, in cui Wittgenstein scrive: «supponiamo che io
abbia davanti a me le fasi del movimento di
sotto forma di immagine. Questo mi aiuta a formulare una proposizione che io ricavo, per così dire,
dalla lettura di quest’immagine. […] È strano che dalla lettura di un’immagine si debba poter
ricavare una proposizione. Tuttavia la proposizione non tratta dell’immagine che io vedo. Non dice
che in quest’immagine si può vedere questo e quest’altro. Ma non dice nemmeno che cosa farà il
meccanismo reale, per quanto lo faccia capire» (Wittgenstein, 1971, III, § 49, p. 168).
Nel passo sopra riportato, dunque, Wittgenstein introduce e discute la possibilità di “formulare una
proposizione” ricavata dalla “lettura di un’immagine”. Ma quando riprenderà l’argomento, nella V
parte dell’opera (nel paragrafo conclusivo delle Osservazioni sopra i fondamenti della matematica),
la sua posizione andrà ben oltre quella ora ricordata. Seguiamo la citazione originale: «considera un
meccanismo; per esempio questo:
Mentre il punto A descrive un cerchio, B descrive una figura a forma di otto. Questa proposizione la
scriviamo come una proposizione della cinematica. Mettendo in moto il meccanismo, il suo
movimento mi prova la proposizione, proprio come farebbe una costruzione disegnata sulla carta.
La proposizione corrisponde, poniamo, a un’immagine del meccanismo in cui siano disegnate le
traiettorie descritte dai punti A e B. Dunque, per un certo aspetto, la proposizione è un’immagine di
quel movimento. Tien fermo ciò di cui la prova mi convince» (Wittgenstein, 1971, V, § 51, p. 256).
L’enfasi, in questo secondo caso, non è più sulla possibilità che il meccanismo avrebbe di suggerire
la proposizione, bensì sul fatto che “la proposizione è un’immagine di quel movimento”. Non c’è,
dunque, la necessità di alcun “suggerimento”: è il movimento stesso che prova la proposizione. E,
prosegue Wittgenstein, «se la prova registra il procedere secondo la regola allora, così facendo,
produce un nuovo concetto» (Wittgenstein, 1971, V, § 51, p. 256). La conclusione è importante: «la
prova deve mostrare il sussistere di una relazione interna […] perché la relazione interna è
l’operazione che produce una struttura dall’altra […] – così che il passaggio conforme a questa
successione di immagini è, eo ipso, un passaggio conforme a quelle regole di operazione»
(Wittgenstein, 1971, V, § 51, p. 256).1
È essenziale notare che il meccanismo sopra descritto da Wittgenstein funziona: ed esso funziona
indipendentemente dalla sua eventuale interpretazione in chiave matematica. Ma la coincidenza del
1
Per comprendere quest’ultima delicata frase ne proponiamo le versioni originali in tedesco e in inglese: «so
daβ nun der Übergang dieser Bilderreihe gemäβ, eo ipso ein Übergang jenen Operationregeln gemäβ ist» e
«so that now the transitino according to this series of configuration is eo ipso a transition according to those
rules for operating» (Bemerkungen über die Grundlagen der Mathematik – Remarks on the Foundations of
Mathematics. Blackwell, Oxford 1956, pp. 196 e 196e).
“funzionamento fisico” e del “funzionamento matematico”, ovvero della descrizione del moto dei
punti mediante equazioni di un certo tipo, non può, ovviamente, ridursi ad una casuale analogia. È
segnatamente la necessità della natura fisica che si rispecchia nella matematica (concetti, segni,
regole algebriche etc.) mediante la quale il dispositivo meccanico viene descritto.
La nostra ricerca è dunque incentrata, dal punto di vista teorico, ad approfondire questo legame
fondamentale e dal punto di vista didattico (Ferrari, 2004; Mariotti, 2005) a studiare i possibili
processi di insegnamento-apprendimento basati sul quadro teorico delineato.
Grazie a Ferdinando Arzarello, Mariolina Bartolini Bussi, Paolo Boero, Bruno D’Amore, Pier Luigi Ferrari,
Donatella Iannece, Maria Alessandra Mariotti, Ornella Robutti per le preziose indicazioni.
PRINCIPALI RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI
Antinucci, F.: 2001, La scuola si è rotta. Laterza, Bari.
Arzarello, F. & Robutti, O.: forthcoming, Approaching functions through motion experiments. Educational
Studies in Mathematics.
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Bollettino dei docenti di matematica, 50, 81-95.
Bagni, G.T.: 2005-b, Esistono infiniti primi gemelli? Nel cinquantenario della pubblicazione di
“Bemerkungen über die Grundlagen der Mathematik” (Osservazioni sopra i fondamenti della matematica)
di Ludwig Wittgenstein (Oxford, 1956). La matematica e la sua didattica 4, 413-436.
Bagni, G.T.: forthcoming-a, Bacchette da calcolo cinesi e sistemi di equazioni, Atti del Seminario Franco
Italiano di Didattica dell’Algebra, VI.
Bagni, G.T.: forthcoming-b, Some cognitive difficulties related to the representations of two major concepts
of Set Theory. Educational Studies in Mathematics.
Bagni, G.T.: forthcoming-c, Il re degli abitanti della luna è calvo? Nel centenario della pubblicazione di “On
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Bartolini Bussi, M.G., Mariotti, M.A. & Ferri, F.: 2005, Semiotic mediation in primary school: Dürer’s glass.
Hoffmann, M.H.G.; Lenhard, J. & Seeger, F. (Eds.), Activity and sign. Grounding mathematics
education. Festschrift for Michael Otte. Springer, New York, 77-90.
D’Amore, B. & Radford, L. & Bagni, G.T.: forthcoming, Ostacoli epistemologici e prospettiva socioculturale. L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate.
Ferrari, P.L.: 2004, Matematica e linguaggio. Quadro teorico e idee per la didattica. Pitagora, Bologna.
Gadamer, H.G.: 2000, Verità e metodo, traduzione di G. Vattimo. Bompiani, Milano (Warheit und Methode:
Gründzuge einer philosophischen Hermeneutik. Mohr, Tübingen 1960).
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Philosophische Aufsätze. Suhrkamp, Frankfurt a.M. 1999).
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Robutti, O. & Ghirardi, S.: 2004, Dai moti alle rappresentazioni simboliche: un’esperienza nella scuola
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Oxford 1953).
Una ricerca sulla mediazione semiotica nella scuola elementare2
Maria G. Bartolini Bussi (Università di Modena – Reggio Emilia)
Franca Ferri (Scuola Elementare Palestrina, Modena)
Maria Alessandra Mariotti (Università di Siena)
Michela Maschietto (Università di Modena – Reggio Emilia)
Il costrutto teorico della mediazione semiotica è stato introdotto nella psicologia
dell'educazione da Vygotskij negli anni 30. Esso può essere riferito sia a sistemi di segni scritti
(es. i sistemi di numerazione; il formalismo algebrico; i sistemi di coordinate) che a strumenti
'concreti' che consentono di compiere certe operazioni (es. abaco; compasso; prospettografo;
PC con software di calcolo simbolico; PC con software di geometria dinamica, ecc.).
L'applicazione alla didattica della matematica del costrutto teorico della mediazione semiotica
è stato messo a punto con la pianificazione e la realizzazione di uno studio pubblicato in
(Bartolini Bussi, Mariotti & Ferri, 2005). Si è così costruito un quadro teorico complesso, che
prevede l’articolazione di tre componenti:
- una componente storico culturale, che descrive le caratteristiche polisemiche degli strumenti
tecnici e psicologici che hanno la potenzialità di creare nuove forme di processi psicologici
culturalmente fondati; sono qui essenziali i riferimenti a Vygotskij, Wartofsky (artefatti
primari, secondari e terziari), Rabardel.
- una componente didattica, che descrive il modo di progettare, realizzare a scuola ed
analizzare processi di mediazione semiotica; sono qui essenziali i riferimenti a Bartolini e alla
sua caratterizzazione della discussione matematica.
- una componente cognitiva, che descrive i processi di internalizzazione dell’attività
interpsichica, che costruisce il piano della coscienza; qui il riferimento fondamentale sono i
lavori di Vygotskij.
Nel caso particolare di un esperimento didattico riguardante attività sul disegno prospettico
con l’uso di strumenti nella scuola elementare, si sono formulate due ipotesi, che hanno
trovato puntuale riscontro nell’analisi dell’attività in classe.
1° ipotesi (Polisemia): la polisemia intrinseca dell’artefatto favorisce la produzione della
polifonia di voci (discussione matematica) nell’attività in classe.
2° ipotesi (Embodiment): la concretezza dell’artefatto induce la produzione di gesti, disegni e
metafore che sono conservate anche nello stadio degli artefatti secondari e oltre.
In questo intervento si intende presentare lo schema dell’esperimento citato ed alcuni risultati
particolari relativi all’ipotesi di Embodiment, in cui si mostra come è proprio lo sviluppo parallelo
dell’uso di vari sistemi semiotici (gesti, disegni, testi orali e scritti) a produrre l’internalizzazione
della polisemia, sotto la guida dell’insegnante (Bartolini Bussi e Maschietto, 2005).
2
Lavoro eseguito nell’ambito del progetto PRIN 2003 (2003011072) “Problemi di insegnamento-apprendimento in
matematica: significati, modelli, teorie” (coord. Maria G. Bartolini Bussi).
Riferimenti bibliografici.
BARTOLINI BUSSI M.G., MARIOTTI M. A., FERRI F. (2005). SEMIOTIC MEDIATION IN
THE PRIMARY SCHOOL: DÛRER'S GLASS. In HOFFMANN H.; LENHARD J.; SEEGER F.
Activity and Sign - Grounding Mathematics Education(Festschrift for Michael Otte), New York:
Springer .
BARTOLINI BUSSI M. G. & MASCHIETTO M. (2005), Meaning construction through semiotic
means: the case of the visual pyramid, Proc. PME29 (Melbourne, 2005)
Il ruolo delle emozioni veicolate dall’uso di fumetti nella costruzione del milieu per la
negoziazione delle conoscenze matematiche nella scuola secondaria inferiore.
Claudia Sortino – Filippo Spagnolo
G.R.I.M. Gruppo di Ricerca sull’Insegnamento delle Matematiche
Dipartimento di Matematica ed Applicazioni - Via Archirafi, 34 - 90123 PALERMO Italy
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Problema di ricerca
In questo lavoro ho cercato di studiare i processi di insegnamento/apprendimento nella scuola
secondaria inferiore finalizzati alla costruzione di particolari ambienti didattici (“milieu”) e al
raffinamento di particolari “strumenti o atteggiamenti” che l’insegnante può utilizzare durante
l’attività didattica per cercare di favorire la comprensione di argomenti matematici. Gli strumenti
utilizzati di natura epistemologica e storica sono dei fumetti realizzati personalmente e il gioco
dell’indovina il numero. Gli strumenti di indagine sono qualitativi ma si pensa di poter utilizzare
anche degli strumenti quantitativi.
Attraverso queste attività, risulta che i ragazzi registrano molte esperienze di movimento nel quale il
loro “cognitive unconscious” (Lakoff & Nùñez, 2000) viene evocato, attualizzato ed esplicitato.
Nell’uso multisensoriale dei fumetti come mediatori linguistici l’approccio con la realtà è
fondamentalmente lontano dall’essere un semplice legame tra apprendimento scolastico ed
esperienza di ogni giorno. In relazione ai risultati ottenuti con la sperimentazione mi sono
chiesta entro i limiti delle conoscenze scientifiche, come avvengono certi processi di
apprendimento dal punto di vista biologico e quindi quale sia effettivamente il ruolo delle
emozioni nell’apprendimento e se è possibile utilizzarle per non ‘imporre’ la conoscenza ma
per favorire che l’apprendimento diventi un ‘desiderio di apprendere’ (apetitus noscendi,
Changeux 2003). L’attenzione si é concentrata in particolare sulla possibilità di utilizzare un
linguaggio prettamente iconico che tenda a ridurre al minimo il linguaggio scritto cercando di
ridurre il più possibile l’uso della lingua naturale. All’interno di una prospettiva multiculturale
o all’interno di situazioni di handicap, si è cercato di costruire degli ambienti didattici
facilmente riconoscibili dagli studenti per favorire il più possibile la comunicazione e la
negoziazioni significati matematici.
Il lavoro sperimentale organizzato nel seguente modo:
è stata fatta una sperimentazione in classe in cui il riferimento teorico per quanto attiene
all’aspetto metodologico-sperimentale è quello della Teoria delle Situazioni [Brousseau G, 1997]. I
dati sperimentali sono analizzati qualitativamente attraverso l’analisi dell’atteggiamento sia
dell’insegnante che degli studenti che dei protocolli in riferimento ai recenti studi di
neurofisiologia (Changeux J P, Damasio A, Edelman G) e alla teoria di Embodied Mathematics
(Lakoff & Nùñez, 2000), studi sulla Semiotica (McCloud S) e la Psicologia (L S Vygotskij).
Conclusione e Problemi aperti
Alla luce dell’ipotesi posta in particolare con l’uso dei fumetti, il variegato linguaggio di
mediazione tra l’insegnante, l’alunno e la situazione didattica nasce da un approccio alla
matematica percettivo-motorio legato ad un approccio simbolico-ricostruttivo. Questo, in un
contesto di interazione sociale gestito dall’insegnante, produce non solo un apprendimento basato
sul fare, sul toccare, muovere e vedere (Nemirovsky, 2003) ma anche sul riconoscere il particolare
ambiente didattico facendo uso di un esperienza vissuta nella realtà. Le emozioni sono
indispensabili per la creazione di un ricordo perché lo organizzano in una sequenza di eventi. In
questo modo ne stabiliscono l’importanza.
Problemi aperti.
L’analisi proseguirà con ulteriori approfondimenti del lavoro in ambienti di multicultura e in
situazioni di handicap.
Riferimenti bibliografici fondamentali
- Azzarello F., 2004, “Mathematical landscapes and their inhabitants: Perceptions, languages,
theories”, proc. ICME – 10, Copenhagen, Denmark.
- Barberi Daniele, 2002, “I Linguaggi del Fumetto”, Strumenti Bompiani.
- Brousseau Guy, 1997, Theory of Didactical situations in mathematics. 1970-1990, (304 pages)
traduction M. Cooper, N. Balacheff, Rosamund Sutherland et Virginia Warfield. (KLUWER
Academic Publishers).
- Changeux Jean Pierre, 1998, L’uomo neuronale, trad. Cesare Sughi, Feltrinelli, Milano.
- Changeux Jean Pierre, 2003, L’uomo di verità, trad. Alessandro Serra, Feltrinelli, Milano.
- Cipolla Michele, 1949, “Matematica ricreativa”, Enciclopedia delle Matematiche Elementari e
Complementi a cura di L.Berzolari, ristampa 1972, Hoepli, Milano.
- Damasio Antonio R., 1995, “L’errore di Cartesio”, Adelphi.
- Kandel E.R.- Schwartz J.H.- Jessel T.M., 1999, Fondamenti della Neuroscienze e del
comportamento, c.ed. Ambrosiana, Milano.
- Lakoff G. & Núñez E.R., 2000, Where Mathematics comes from, .
- McCloud Scott, 1996a, “Capire il fumetto - L’arte invisibile”, Torino, ed. Vittorio Pavesio
Productions.
- Vygotskij L.S. 1934, 1992, “Thought and Language”, Italian translation from the two editions by
L.Mecacci, Bari, Laterza.
Il passaggio dal Pensiero Aritmetico al Pensiero Algebrico
in situazioni di multicultura
Benedetto Di Paola3
G.R.I.M. Gruppo di Ricerca sull’Insegnamento delle Matematiche
Dipartimento di Matematica ed Applicazioni - Via Archirafi, 34 - 90123 PALERMO Italy
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Problema di ricerca
Uno dei problemi più interessanti che si pongono oggi è certamente quello di confrontarsi con la “diversabilità” in situazioni di
multicultura, realtà ormai presente nella nostra società, in continuo mutamento socio-culturale, e quindi nodo centrale per la ricerca
in didattica.
Se infatti i fenomeni di insegnamento/apprendimento delle discipline hanno già sistemi complessi di indagine, la “diversabilità” ne
aumenta notevolmente la difficoltà. Come evidenziato dalla ricerca in didattica (in ambienti non multiculturali), ogni persona,
3 Progetto di Dottorato di Ricerca in: STORIA E DIDATTICA DELLE MATEMATICHE, DELLA FISICA E DELLA CHIMICA,
Università di Palermo, A.A. 2005/2006.
appartenente ad una stessa cultura, possiede differenze cognitive rispetto ai suoi simili; in ambienti multiculturali queste si sommano
a quelle riscontrabili nei diversi saperi che interagiscono.
Analizzare gli stili cognitivi nelle diverse culture, evidenziando quelle che possono essere gli schemi di ragionamento, i
comportamenti, le credenze e le concezioni riguardo all’acquisizione di un particolare concetto è certamente un’operazione
complessa ma può essere la chiave per una didattica più attenta alle diverse abilità e quindi al rispetto dell’altro.
La ricerca in didattica negli ultimi anni si è mostrata molto sensibile alla problematica trattata: gli studi portati avanti hanno
permesso di mettere in evidenza il ruolo della storia delle matematiche come strumento di osservazione ed analisi di situazioni di
insegnamento/apprendimento in condizioni di multiculturalità; il ruolo del linguaggio e della logica nello sviluppo della disciplina e
del pensiero matematico autonomo; il ruolo del contesto socio-culturale dell’ambiente nel quale si inserisce e si analizza la situazione
di insegnamento/apprendimento multiculturale.
Il progetto di ricerca, mirando all’analisi dei processi cognitivi in relazione al passaggio dal pensiero aritmetico al pensiero
algebrico, si inserisce in questo contesto nella comparazione specifica tra il pensiero europeo e quello cinese.
- Gli allievi cinesi ed europei, nella risoluzione di particolari problemi, mettono in atto differenti strategie risolutive riferite alla loro
cultura di origine (Lingua Naturale, schemi logico argomentativi, algoritmi, etc…)?
- Nel passaggio dal pensiero aritmetico a quello algebrico si evidenziano queste differenze?
- Lo studio di tali differenze può aiutare la comprensione dei fenomeni di insegnamento/apprendimento in situazioni di multicultura?
Per poter interpretare lo studio comparativo tra il pensiero cinese e quello europeo in situazioni di insegnamento/apprendimento in
prospettiva multiculturale, ci si riferisce agli studi di J.G. Gherghese (1987) e U. D’Ambrosio (2002).
Un primo confronto tra le due civiltà considerate viene proposto dal punto di vista storico epistemologico attraverso l’analisi criticocomparativa dei due testi più rappresentativi delle due culture nell’antichità: I Nove Capitoli di arte matematica e gli Elementi di
Euclide. Naturalmente, ove c’e ne fosse bisogno, gli argomenti saranno approfonditi con altri riferimenti storico-epistemologici.
Particolare attenzione in questo senso è rivolta alla comparazione dei riferimenti logico-argomentativi rispetto alla lingua naturale e
alla Matematica (Chemla, 2001; Granet, 1988).
Il riferimento teorico per quanto attiene all’approccio metodologico-sperimentale è quello della Teoria delle Situazioni di
G.Brousseau (Brousseau, 1997). Mettere in evidenza la socializzazione degli stili cognitivi (fase di validazione della situazione
a-didattica) sarà l’elemento portante per la comprensione dei fenomeni.
Metodologia e strumenti di indagine
Per quanto riguarda la parte storico-epistemologica saranno utilizzati gli strumenti ed i metodi di indagine storica.
Sono previste due situazioni a-didattiche in classe messe a punto secondo la teoria delle Situazioni di G. Brousseau. In questa
fase di ricerca sarà privilegiata l’analisi qualitativa dei dati: classificazione di schemi di ragionamento, classificazione di
indicatori semantici nelle fasi argomentative e congetturali. Lo studio del materiale di supporto sarà analizzato anche in funzione
del loro ruolo di mediazione didattica.
Prima e dopo la sperimentazione delle situazioni a-didattiche verranno proposti questionari con problemi aperti ma analizzabili
quantitativamente. Le indagini quantitative utilizzeranno la statistica non parametrica: analisi fattoriale delle corrispondenze,
analisi statistica implicativa etc…
Al fine di favorire una riflessione più profonda sul processo di integrazione scolastica e le relative implicazioni sul pensiero
matematico, le sperimentazioni previste verranno condotte parallelamente e secondo le stesse modalità in Italia ed in Cina.
Riferimenti bibliografici fondamentali
K. Chemla (2001), I “Nove capitoli sui procedimenti matematici”: la costituzione di un canone nella matematica, Storia della
Scienza: Cina, India, Americhe, Istituto della Enciclopedia Italiana fondata da Giovanni Treccani S.p.a.
M. Granet (1988), La pensée chinoise, Editions Albin Michel, Paris.
J. Needham (1981), Scienza e Civiltà in Cina (Original title: Science and Civilisation in China, Cambrige University Press,
1959), I e II Vol., Einaudi.
F. Spagnolo et alii, Cultural differences in scholastic and non-scholastic environments: reasoning patterns and logical-linguistic
questions in European and Chinese cultures, ICMI 2004, Copenhagen, with referee. http://www.icme-10.dk/ TG25.
Persone Coinvolte
Il lavoro si inserisce in un quadro di un più vasto progetto di ricerca sui problemi di insegnamento/apprendimento in ambienti
multiculturali che si stanno affrontando all’interno del G.R.I.M.
Il Laboratorio delle Macchine Matematiche:
processi di produzione di congetture e costruzione di dimostrazioni4
Michela Maschietto e Maria G. Bartolini Bussi
Università di Modena – Reggio Emilia
4
Lavoro eseguito nell’ambito del progetto PRIN 2003 (2003011072) “Problemi di insegnamento-apprendimento in
matematica: significati, modelli, teorie” (coord. Maria G. Bartolini Bussi).
L’analisi dettagliata da un punto di vista epistemologico, cognitivo e didattico del campo di
esperienza delle macchine matematiche è oggetto di un volume appena pubblicato (Bartolini Bussi
& Maschietto, 2005), nel quale sono presentati numerosi esperimenti didattici che hanno consentito
di interpretare questi artefatti come strumenti di mediazione semiotica per l’appropriazione di
significati relativi ad alcuni concetti geometrici (es. conica, trasformazione geometrica) e per la
realizzazione di processi di produzione di congetture e costruzione di dimostrazioni ad essi relativi.
Oltre agli esperimenti già pubblicati e recensiti nel volume citato, nel corso del 2005 sono state
condotte decine di visite guidate con attività di laboratorio strutturato per le classi di scuola
secondaria superiore ospiti, con i loro insegnanti, del Laboratorio delle Macchine Matematiche
aperto presso il Dipartimento di Matematica di Modena.
La ricchezza dei processi emergenti ha suggerito di avviare una ricerca osservativa strutturata, di
cui si sta mettendo a punto la metodologia. In particolare ci si propone di investigare la produzione
di gesti da parte degli studenti nelle due situazioni di esplorazione di macchine matematiche reali
(es. pantografi meccanici) e macchine matematiche virtuali (simulazioni di pantografi realizzati al
calcolatore).
In parallelo si intende investigare le possibile modifiche negli atteggiamenti e nelle pratiche
didattiche degli insegnanti che visitano il Laboratorio con le loro classi, incoraggiati dal fatto che
vari insegnanti, anche da sedi lontane, chiedono di ripetere l’esperienza del laboratorio con una
classe diversa, dandone implicitamente una valutazione molto positiva. Questo dato suggerisce di
intervistare in modo sistematico gli insegnanti con questionari relativi alla situazione precedente,
alle aspettative, alle possibili ricadute di una visita – anche breve – al Laboratorio.
In questo intervento, dopo avere illustrato brevemente i risultati raccolti nel volume citato, si
presenterà lo schema tipico della visita al Laboratorio ed alcuni formati delle schede di esplorazione
proposte ai ragazzi. Si darà anche qualche cenno sulla metodologia ipotizzata per la realizzazione
delle ricerche previste per il prossimo futuro.
Riferimenti bibliografici
Bartolini Bussi M. G. e Maschietto M. (2005), Macchine matematiche: dalla storia alla scuola,
editore Springer.
Maschietto M. (2005), The Laboratory of Mathematical Machines of Modena, Newsletter of the
European Mathematical Society, no. 57.
PROBLEMI DI ORDINAMENTO FRA NUMERI E FRA PAROLE
Claudio Bernardi e Paolo Francini
Università La Sapienza di Roma
INQUADRAMENTO GENERALE DELLA RICERCA
La ricerca rientra nell'ambito delle Matematiche Complementari. L'idea generale è che argomenti e
concetti, usualmente trattati a livello pre-universitario, meritano un approfondimento teorico
assolutamente non scontato.
Si tratta quindi da un lato di analizzare teoricamente situazioni solo apparentemente elementari,
dall'altro di discuterne la ricaduta didattica, specie in riferimento a errori e misconcezioni frequenti.
La ricerca rientra nel COFIN 2005 coordinato da Mariolina Bartolini Bussi.
TEMA DELLA RICERCA
Fin dalle Elementari si imparano a scrivere numeri naturali e decimali come sequenze di cifre. Tale
scrittura si rivela opportuna per vari scopi; in particolare consente di ordinare i numeri.
Una situazione concettualmente analoga si presenta quando si ordinano le parole secondo l'ordine
alfabetico: anziché cifre e numeri abbiamo lettere e parole, ma c'è sempre l'idea che l'ordinamento
fra i simboli base permette di confrontare sequenze finite. Tutto appare semplice e naturale, tanto
che a scuola non si dedica troppo tempo all'argomento.
In realtà, se si vogliono precisare i criteri di confronto, ci si rende conto che il discorso è complesso.
In particolare, i tre criteri che si introducono negli insiemi dei numeri naturali, dei numeri decimali
limitati, delle parole, sono nettamente diversi tra loro. Basti notare che l'ordine dei naturali è
discreto, l'ordine dei decimali è denso, l'ordine alfabetico non è né discreto né denso.
Nella pratica, ci si appoggia molto spesso al significato concreto dei numeri: ciò può essere causa di
difficoltà in chi privilegia un approccio puramente sintattico-procedurale.
BASE DI PARTENZA SCIENTIFICA
Ricerche didattiche mettono in evidenza i modelli impliciti che gli alunni hanno dei numeri
decimali, e il variare di questi e suggeriscono, a livello didattico, forme di esplicitazione delle
regole formali. Altri studi esaminano e cercano di classificare errori nel confronto fra numeri.
Il discorso presenta anche aspetti di carattere epistemologico, ad esempio su quanto siano "naturali"
notazioni e convenzioni che impariamo fin dai primi anni scolastici.
Da notare che la ricerca ha portato a mettere in evidenza legami fra vari concetti matematici diversi,
quali l'insieme ternario di Cantor, gli insiemi bene ordinati, la divisibilità fra numeri naturali, ecc.
ASPETTI DI METODO, RISULTATI, OBIETTIVO DELLO STUDIO
La ricerca è in progress. Dopo aver sostanzialmente concluso la parte teorica, si intende predisporre
uno studio sperimentale nel primo biennio del Secondo Ciclo (Superiori).
Si pensa di organizzare lavori e discussioni in gruppo, elaborando schede con le richieste di:
formulare congetture, costruire esempi e controesempi, descrivere esplicitamente i criteri di
confronto che si conoscono bene nella pratica. In queste attività l'insegnante deve essere osservatore
partecipe e guida (discreta) nei momenti critici.
L'obiettivo generale è di ottenere informazioni sul rapporto fra competenze operative, generalmente
acquisite dagli studenti, e le capacità linguistiche e teoriche di precisare i procedimenti usati e di
inquadrarli in modo appropriato. Si tratta, fra l'altro, di confrontare il comportamento degli studenti
in contesti didattici diversi (ordine sul vocabolario e in un insieme di numeri).
Un'ipotesi di ricerca è che gli studenti più abili nella costruzione di esempi e controesempi siano
anche coloro che meglio riescono a descrivere i loro stessi procedimenti, mentre lacune teoriche si
riflettano in difficoltà operative.
Grande interesse ha la fase delle congetture, vista come primo passo verso la dimostrazione, in un
contesto familiare, ma in cui tradizionalmente non si segue un metodo deduttivo.
RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI FONDAMENTALI
C. Bernardi, L. Cannizzaro, M. Ferrari, M. Reggiani, "Facciamo i conti con l'euro - la nuova
moneta europea e i numeri decimali a scuola", Ministero Pubblica Istruzione, 2001
C. Bernardi, P. Francini, "Ordinare numeri e ordinare parole", sottoposto per la pubblicazione
K.C. Irwin, "Using everyday knowledge of decimals to enhance understanding", Journal for
Research in Mathematics Education, n. 32, pag. 399-420 (2001)
I. Peled, J.A. Shahbari, "Improving decimal number conception by transfer from fractions to
decimals", Proceedings PME 27, vol. 4, p. 1-6 (2003)
L.B. Resnick, P. Nesher, F. Leonard, M. Magone, S. Omanson, I. Peled, "Conceptual bases of
arithmetical errors: the case of decimal fractions", Journal for Research in Mathematical
Education, vol. 20, p. 8-29 (1989)
SULLA FUNZIONE COSTRUTTIVA DEL LINGUAGGIO VERBALE
NELL’INTERAZIONE TRA PARI
Valeria Consogno, Teresa Gazzolo, Paolo Boero
PRIN 2005-06: “Aspetti linguistici e di rappresentazione nell’insegnamento-apprendimento della
matematica” - Unità Operativa di Genova
Come è noto, Vygotskij ipotizza che il linguaggio verbale sia uno strumento cruciale per la
costruzione del pensiero. Nel campo dell’educazione matematica, tale ipotesi generale ha suggerito
studi approfonditi per capire: se e come la funzione costruttiva, ipotizzata da Vygotskij in generale,
si realizza, in particolare, in campo matematico; quale portata essa può avere (cioè quali
competenze matematiche sono “costruite”); e quali implicazioni ne possono derivare per le scelte
didattiche dell’insegnante. Gli studi finora compiuti sottolineano, tra l'altro, il ruolo dell’insegnante
nell’ “orchestrare” l’interazione tra pari in modo che sia produttiva per lo sviluppo delle
competenze matematiche (vedi ricerche di Bartolini ed altri pubblicate negli anni ’90: ESM 1996,
ESM 1999), il ruolo dell’argomentazione nella costruzione dei concetti (vedi Douek, ESM 1999, e
tesi di dottorato, 2003), la funzione costruttiva del “discorso” nei confronti della conoscenza
matematica (fino a teorizzarne la genesi discorsiva: Sfard, ESM 2001). Sono relativamente pochi gli
studi che considerano in dettaglio come, nel procedere dell’argomentazione personale o di gruppo,
la conoscenza matematica si trasforma e si accresce. Nella sua tesi di laurea, e nel successivo report
presentato a CERME-IV (2005), Consogno analizza il comportamento di studenti del IV anno del
corso di laurea in matematica (quindi, giovani adulti “esperti”) che “costruiscono” congetture e
dimostrazioni, studiando la “funzione di trasformazione semantica” del linguaggio verbale quando
il soggetto ritorna sulle frasi da lui scritte e ne ricava (attraverso “espansioni discorsive” suggerite
da “parole chiave”) interpretazioni che vanno al di là del significato da lui concepito nel momento
della produzione di tali frasi, procedendo così nell’attività costruttiva del suo pensiero.
D’altra parte, Teresa Gazzolo ha condotto (tra il 2001 e il 2004) un teaching experiment
riguardante la costruzione a lungo termine (dalla classe I alla classe IV elementare) di elementi del
“pensiero probabilistico” attraverso attività argomentative individuali e collettive su compiti mirati
per mettere a fuoco particolari nodi concettuali della modellizzazione probabilistica delle
situazioni aleatorie (come la distinzione tra “evento” e “caso favorevole”). Era quindi naturale
cercare di analizzare i dossier raccolti durante tale teaching experiment per individuare se e come la
“funzione di trasformazione semantica” del linguaggio verbale (già individuata nel rapporto tra il
soggetto “esperto” e il testo scritto da lui prodotto) potesse permettere di descrivere e interpretare i
progressi nel processo di concettualizzazione che si erano registrati, in tale teaching experiment,
nell’interazione tra pari nelle fasi di discussione collettiva orchestrata dall’insegnante. Precisamente
si trattava di analizzare in che misura tali progressi potessero essere frutto di un meccanismo
generativo a più voci, in cui il testo orale prodotto da un bambino veniva interpretato da altri
bambini che “restituivano” al primo bambino interpretazioni più ricche, o comunque diverse dalle
sue (suggerite da parole-chiave, e realizzate attraverso espansioni linguistiche del testo originario)
che a loro volta consentivano al primo bambino di avanzare nel processo di concettualizzazione.
Sono stati individuati alcuni episodi in cui le cose hanno funzionato proprio in tal modo,
generando embrioni di nuova conoscenza che, opportunamente valorizzati dall’insegnante, hanno
costituito momenti di svolta per il “pensiero probabilistico” dei bambini della classe.
Attraverso gli episodi individuati si possono ulteriormente precisare i meccanismi che
rendono produttiva la "funzione di trasformazione semantica" del linguaggio verbale nel caso
dell'interazione tra pari, in particolare, distinguendo tra funzioni diverse (di esplicitazione; di
arricchimento/integrazione; di supporto testuale oggettivante) degli interventi verbali dei pari che
consentono il progredire della concettualizzazione. L'analisi fatta pone anche il problema delle
scelte didattiche e pedagogiche che possono produrre, sui tempi lunghi del lavoro di un insegnante
di scuola primaria nella sua classe, effetti quali: la libertà di produrre un discorso orale incompiuto;
l'ascolto "in profondità" degli interventi dei compagni; la disponibilità e l'interesse ad "approfittare"
dei contributi altrui - tutte condizioni che appaiono necessarie affinché si realizzi al meglio la
"funzione di trasformazione semantica" del linguaggio verbale nell'interazione tra pari.
IL CONGETTURARE E IL DIMOSTRARE
COME “COMPORTAMENTO RAZIONALE” SECONDO HABERMAS
Paolo Boero
PRIN 2005-06: “Aspetti linguistici e di rappresentazione nell’insegnamento-apprendimento
della matematica” - Unità Operativa di Genova
Da tempo la ricerca didattica ha segnalato le difficoltà di insegnare la dimostrazione e, più un
generale, di trasmettere agli allievi quella “cultura dei teoremi” che costituisce uno dei punti
nodali della cultura matematica. Queste difficoltà, come è noto, hanno indotto tra gli anni ’80 e
gli anni ’90 alcuni Paesi (tra cui gli Stati Uniti) ad abbandonare tale obiettivo nelle scuole
secondarie, mentre in altri Paesi (tra cui l’Italia) il lavoro sui teoremi si è ridotto (anche nelle
scuole secondarie di indirizzo scientifico, e nei corsi di laurea di indirizzo scientifico o
tecnologico diversi da Matematica, Fisica e Informatica) allo studio e all’applicazione di
enunciati di teoremi, e allo studio e ripetizione di poche dimostrazioni assai semplici. Le
conseguenze di tali scelte hanno allarmato i matematici e, più in generale, il mondo scientifico;
in particolare negli Stati Uniti le scelte operate a livello di scuole secondarie hanno avuto effetti
tali sulla prosecuzione degli studi matematici nei College, da indurre (in particolare negli
Standard NCTM del 2000) a una rivalutazione della dimostrazione e delle abilità connesse con il
dimostrare come obiettivi di insegnamento da perseguire fin dalla scuola primaria. Restano però
aperti, e oggetti di ampio dibattito, il “come” perseguire tali obiettivi, e la possibilità di
raggiungerli nella scuola reale di oggi. In termini molto schematici, che nella realtà non
rappresentano bene la complessità delle posizioni emerse negli ultimi quindici anni, possiamo
dire che si sono fronteggiate a lungo due posizioni diverse (in particolare, per il peso diverso
attribuito al modello della dimostrazione come "derivazione formale"): quella di chi riteneva che
tra l’argomentazione ordinaria (anche in campo matematico) e la dimostrazione ci fosse un gap
profondo, una “rottura” a livello epistemologico di cui gli studenti dovevano essere resi
consapevoli con attività specifiche mirate, come condizione necessaria per il loro accesso
corretto e consapevole alla dimostrazione (cfr. Duval,ESM 2001); e quella di chi riteneva che si
potesse realizzare un approccio graduale e senza “rotture” al dimostrare, sfruttando, anzi, gli
elementi di continuità che possono esistere tra i processi, di natura argomentativa, del
congetturare e del dimostrare (posizione condivisa, sia pure con diverse premesse culturali, in
varie ricerche condotte a Genova e in Italia negli anni ’90, e nel progetto longitudinale di C.
Maher negli USA). All’interno di questa seconda posizione è progressivamente emersa (nelle
ricerche italiane e in ricerche ad esse collegate – Douek, CERME 2 e PME-XXIII) la necessità
di distinguere tra il processo di produzione di congetture e dimostrazioni, di natura
argomentativa-ordinaria, e il prodotto, sottoposto a regole di confezione derivanti dal contesto
culturale. Più recentemente, studi come quelli di Bettina Pedemonte (tesi di dottorato, Grenoble
2002) hanno sottolineato, accanto alla conferma dell’esistenza di possibili aspetti di continuità
tra il congetturare e il dimostrare come elementi facilitatori del dimostrare, la possibilità che nel
passaggio dal processo di dimostrazione al suo prodotto si verifichino delle “discontinuità
strutturali” che possono bloccare gli allievi.
Si avverte, quindi, l’esigenza di una visione unitaria dell’attività che conduce dalla
produzione di congetture ai prodotti finiti (il testo della congettura, il testo della dimostrazione
confezionati secondo le “regole” della cultura matematica), visione unitaria che possa costituire
un riferimento, per il ricercatore e per l’insegnante, al fine di individuare le fasi dell’attività che
possono essere affidate agli allievi e gli elementi di “cultura matematica” che devono essere
invece introdotti dall’insegnante, e di interpretare le difficoltà degli allievi.
La proposta, che verrà argomentata e sviluppata nell’intervento orale, è che la
definizione di “comportamento razionale” prodotta da Habermas (in "Verità e giustificazione",
Laterza 2001) possa costituire (opportunamente adattata e precisata in relazione alla specificità
della “cultura dei teoremi”) il quadro teorico unitario in cui realizzare tale obiettivo. In effetti la
definizione di Habermas dà piena legittimità alla varietà dei comportamenti necessari per
arrivare da un “problema di congettura e dimostrazione” ai prodotti finiti (comportamenti che
possono includere l’esplorazione libera, il ricorso ad analogie e metafore, l’abduzione,
l’induzione... – ma anche la produzione e il controllo di trasformazioni di formule algebriche, e
la sistemazione deduttiva finale di “argomenti”), e in particolare sembra adatta per valorizzare la
tensione consapevole che deve essere mantenuta, nei processi produttivi che conducono ai
prodotti finiti, tra la “libertà creativa” dei processi produttivi e costruttivi e la loro finalizzazione
a prodotti sottoposti alle “regole” della cultura dei teoremi.
Seminario nazionale di ricerca
Rimini, 26-27-28 gennaio 2006
Proposta del NRD di Bologna inserito nel RSDDM di Bologna (sito in preparazione)
Tema di ricerca 2003-2006 del Nucleo di Bologna:
Aspetti metodologici (teorici ed empirici) della formazione iniziale ed in servizio
degli insegnanti di matematica di ogni livello scolastico
Ci limitiamo a fornire riferimenti relativi agli anni 2003-04-05-inizio 2006
Filoni di ricerca seguiti:
A: cambi di convinzione
B: lavori di riflessione epistemologica
B1: concetti
B2: teorie
B3: ruolo dell’epistemologia nella formazione degli insegnanti
B4: semiotica e noetica
B5: uso della sociologia
B6: riferimenti all’etnomatematica
B7: valutazione, curricolo, sperimentazione
C: osservazione ed interazione con l’ambiente d’aula
C1: l’apprendimento della dimostrazione:
D’Amore B. (2005). Secondary school students’ mathematical argumentation and Indian logic
(nyaya). For the learning of mathematics. (Edmonton, Alberta, Canada). 25, 2, 26-32.
C2: misconcezioni
C3: area e perimetro
C4: frazioni
C5: infinito
Nel corso del Seminario Nazionale di Ricerca vorremmo dare ai Nuclei presenti l’elenco delle
pubblicazioni del 2003-04-05 ed inizio 2006, con l’indirizzo del sito in costruzione dal quale, lungo
il corso del 2006, potranno essere prelevati i lavori citati.
Se ci sarà dato spazio per presentare un lavoro, vorremmo presentare l’unico citato qui sopra, alla
voce C1.
Proposte per un insegnamento della matematica tendenzialmente più semplice e più
adeguato ai bisogni della società di quello attuale, basato sulla visualizzazione, sulla
geometria dinamica e sul collegamento fra vari settori della matematica
Mario Barra
La ricerca si inserisce nella tradizione didattica di Federico Enriques, con la sua convergenza
fra filosofia e scienza, Emma Castelnuovo, con i suoi libri e le sue esposizioni di matematica,
Lucio Lombardo Radice, con il suo “laboratorio didattico” e Bruno de Finetti con il suo
“saper vedere” e il suo “fusionismo”. Tale ricerca si ispira anche alle idee di Felix Klein,
George Polya, Hans Freudenthal, Jaques Salomon Hadamard e Pierre Simon de Laplace.
Gran parte di questi autori considerano la concretezza come una componente importante
della creatività, come un presupposto per una scuola di tipo greco e rinascimentale, concepita
come laboratorio artigiano in una classe di lavoro. Questo ambiente privilegia lo sviluppo del
pensiero geometrico per dar corpo e rappresentazione a concetti, situazioni e problemi, di
carattere generale, non necessariamente geometrico. Tale pensiero può rappresentare
l’evoluzione fisiologica del pensiero naturale, il collegamento più diretto fra il concreto e
l’astratto, e divenire una dottrina dello schema mentale adatto per afferrare intuitivamente tutti
i problemi pratici la cui impostazione scientifica richiede lo strumento matematico.
Inquadramento delle ricerche condotte nell'ambito della Storia e della Didattica:
a) uno studio storico condotto su:
- l’evoluzione delle idee della matematica
- gli errori più frequenti e gli ostacoli epistemologici relativi ad un argomento
b) le nuove possibilità offerte dai software di geometria dinamica visti come strumenti per:
- eseguire dei disegni in modo preciso
- mettere in evidenza alcuni aspetti di un disegno con il colore
- deformare con continuità un’immagine mantenendo valide alcune proprietà, per indagare e
scoprire le proprietà matematiche di un argomento,
c) alcune considerazioni didattiche, relative alla visualizzazione, indicate dalla ricerca
didattica e da alcuni grandi matematici,
hanno fornito alcune indicazioni per elaborare dei percorsi didattici da proporre agli studenti,
indirizzati ad una migliore preparazione matematica, alla diminuzione delle difficoltà di
apprendimento e al miglioramento delle possibilità di memorizzazione, rispetto ad alcune
proposte appartenenti alla tradizione dell’insegnamento.
I settori della matematica principali nei quali si sono ottenuti dei risultati sono: la geometria,
l’analisi infinitesimale e il calcolo delle probabilità.
1) per quanto riguarda la geometria e il calcolo infinitesimale i principali risultati raggiunti
sono:
- collegamento fra il teorema di Pitagora e il calcolo infinitesimale
- una nuova trasformazione non lineare, denominata “radialità” o “avvolgimenti radiali”, che
permette di determinare facilmente sia l’area di alcune figure geometriche classiche, quali
ad es. la spirale di Archimede, la cardioide, la sinusoide, sia l’area di nuove curve quali il
“petalo”, la “lancia”… Si tratta di una trasformazione molto “concreta” con la quale
ottenere con continuità delle nuove forme a partire da figure geometriche semplici quali il
triangolo, il quadrato e il cerchio, il cui baricentro permette di determinare molto
semplicemente l’area della figura trasformata.
- vari modi originali per determinare l’area della cicloide
- un nuovo modo di ottenere il volume della sfera
- varie proposte per giochi tipo “Tangram nello spazio”
- integrali e derivate dei polinomi, ottenuti in modo “visivo”, senza epsilon e delta,
attraverso le proprietà degli ipercubi e degli ipertetraedri.
- vari risultati relativi all’equiscomponibilità (III problema di Ilbert)
- varie dimostrazioni molto semplici relative a: “piccolo teorema di Fermat”, somma delle
potenze degli interi (in collegamento con alcuni integrali), numeri di Eulero, di Stirling, …
Molti di questi argomenti, permettono di collegare la geometria, con il calcolo delle
probabilità, l’analisi, la teoria dei numeri e l’analisi numerica.
2) per quanto riguarda il calcolo delle probabilità:
- lo studio delle risposte ad 800-1000 questionari di 15 domande rivolto agli studenti di
matematica con più di 19 anni (studenti degli ultimi anni della laurea triennale e della
specializzazione o della SSIS), e di un centinaio di risposte degli studenti di 16-18 anni,
ottenute a partire da almeno il 1984, e lo studio delle risposte fornite anche attualmente,
hanno permesso di individuare dei percorsi del pensiero che portano gli studenti agli errori
più frequenti relativi ad argomenti di probabilità
- la ricerca condotta durante 20 anni di insegnamento universitario di calcolo delle
probabilità basato molto sulla visualizzazione, resa possibile dal collegamento fra
probabilità, geometria e solidi in dimensioni qualsiasi,
hanno permesso di elaborare dei percorsi didattici, proposti agli studenti, che hanno portato ad
una diminuzione sensibile degli errori e al miglioramento delle possibilità di memorizzazione,
rispetto ad alcune proposte appartenenti alla tradizione dell’insegnamento.
Il miglioramento della percentuale di risposte esatte degli studenti è stato ottenuto attraverso:
- la comprensione del collegamento fra alcuni errori e l’uso di alcune parole, come ad
esempio “permutazioni” ed “eventi”, sostituite da “anagrammi” e “affermazioni incerte”
- la semplificazione delle operazioni con gli eventi attraverso lo “spazio strutturato”
- il collegamento fra evento complementare, unione e partizione di un evento, ottenuto
mediante la geometria analitica
- l’elaborazione di uno schema globale del calcolo combinatorio basato sui diagrammi ad
albero, gli anagrammi ed i sottoinsiemi
- la priorità ed universalità del concetto di probabilità subordinata, stabilita per motivi
epistemologici e per rendere più comprensibile il concetto di indipendenza stocastica
- la possibilità di rendere automatica la determinazione della formula di Bayes
- l’elaborazione di alcuni strumenti didattici per rendere chiaro il ruolo della frequenza
relativa nella legge dei grandi numeri
- la creazione di un modello geometrico originale delle differenze finite che permette di
introdurre in modo semplice, anche nella scuola, la somma di variabili aleatorie discrete e
continue (senza passare attraverso la convoluzione). Tale argomento si considera
fondamentale per la comprensione delle proprietà principali del calcolo delle probabilità
- la creazione di immagini che permettano una visione dinamica della legge dei grandi
numeri e del teorema del limite centrale
- uno studio storico per corroborare l’ipotesi della nascita in Italia della probabilità.
La ricerca, condotta per individuare dei metodi semplici per introdurre e approfondire gli
argomenti indicati, ha permesso anche di mettere in luce alcuni ostacoli per l’apprendimento,
rappresentati da alcuni errori presenti nell’insegnamento, di stabilire alcuni collegamenti con
la fisica e di costruire alcune schede di auto-apprendimento.
Attualmente vengono compiute alcune ricerche per costruire un modello bayesiano
dell’apprendimento.
Un obiettivo generale è quello di ottenere informazioni sul rapporto fra competenze
operative, generalmente acquisite dagli studenti, e le loro capacità linguistiche, che vengono
verificate in alcuni casi attraverso dei “temi di matematica”.
La ricerca presenta alcune affinità con la ricerca condotta da Mariolina Bartolini Bussi, che
coordina il COFIN 2005, di cui fa parte.
MATEMATIZZARE IL QUOTIDIANO E QUOTIDIANIZZARE LA MATEMATICA:
IL RUOLO DI PARTICOLARI ARTEFATTI
C. BONOTTO(1), R. BACCARIN(2), M. BASSO(2), M. FELTRESI(2)
ATTUALI FILONI DI RICERCA
- elaborazione un quadro di riferimento teorico, già suffragato da numerosi studi empirici
[explorative studies, quasi experimental studies, ecc] in cui si cerca di cambiare il rapporto tra
matematica informale e matematica formale [Bonotto 2004, RL, X ICME; Bonotto, 2005, XI
EARLI];
- progettazione e la realizzazione di teaching esperiments in cui si indaga la possibilità di
ricreare in classe, almeno parzialmente, quelle condizioni che rendono l’apprendimento
extrascolastico spesso più efficace, attraverso situazioni didattiche in cui oltre a matematizzare
il quotidiano si cerca di quotidianizzare la matematica;
In questi teaching experiments si privilegia un approccio centrato sia su attività di problem
solving che di problem posing (English, 2003) e su una modellizzazione matematica di tipo
realistico (Reusser & Stebler, 1997; Gravemeijer, 1999 e 2004; Bonotto, ICMI Study 14, 2006,
in press). Esempi di questi studi si trovano in Bonotto, 4th Colloquium on the Didactics of
-
-
-
Mathematics, Crete, 2005; Bonotto, ICTMA 12, Londra, 2005; Bonotto, Proceedings ICMI
Study 14, Dortmund, 2004; Bonotto, New ICMI Studies Series n. 10 su Modelling and
Applications in Mathematics Education, Springer, 2006 ( in press);
analisi di come particolari artefatti culturali possono svolgere un ruolo nel creare una nuova
tensione tra la matematica scolastica e la realtà extrascolastica, con la sua matematica
incorporata, ed abbattere così “l’impermeabilità della membrana che separa l’esperienza della
scuola e dell’aula da quella della vita” (Freudenthal, 1991) diventando così strumenti di
matematizzazione e significativi trampolini di lancio per introdurre nuove conoscenze
matematiche.
Esempi di questi studi: Bonotto & Cella, IMSI, 2004; Bonotto, Basso, Baccarin & Feltresi,
Convegno UMI-CIIM, 2004; Bonotto, Thinking Classroom/ Peremena 2006 (in press);
Bonotto, Mathematical Thinking and Learning, 2005.
In quest’ultimo studio ad esempio si introducono aspetti della struttura moltiplicativa dei numeri
decimali [dando risposta alle problematiche sollevate da Hiebert, 1985, sul rapporto tra “form” e
“understanding” dei numeri decimali], attraverso l’uso e di opportuni artefatti culturali e di
processi di stima e di approssimazione, come auspicato anche dai recenti NCTM 2000
Principles and Standards; si vuole continuare questa analisi anche in relazione ad altri quadri di
riferimento [ad es. Rabardel et al.];
analisi di alcune difficoltà emerse nel corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria
per quanto riguarda i corsi dell’area scientifica ed in particolare dell’area matematica,
evidenziando i principali problemi affrontati e come si è tentato, o si sta tentando, di risolverli
[Bonotto, ICMI Study 15, Brasile, 2005].
studio sulla costruzione del numero naturale attraverso la conta, il senso e la grandezza del
numero, la stima di calcolo e il calcolo mentale nelle operazioni aritmetiche, le strategie mentali
e le procedure non formali degli alunni nel calcolo scritto. Questo studio è trasversale ai primi
tre filoni di ricerca (rapporto tra matematica informale e matematica formale, problem posing e
modellizzazione matematica di tipo realistico, uso di opportuni artefatti culturali). In questa
(1)
Università di Padova, Dipartimento di Matematica P. e A., [email protected]
(2)
Nucleo di Ricerca in Didattica della Matematica dell’Università di Padova
ricerca si è evidenziata la capacità dei bambini di costruire “il senso del numero” e di inventare
strategie mentali e procedure di calcolo informali senza l’istruzione scolastica; si ipotizza quindi
l’efficacia di far utilizzare in un primo momento ai bambini questa loro capacità e di ritardare
l’introduzione di algoritmi standard [fatti con carta e penna] fino a quando non ci sia da parte
degli studenti la comprensione che i loro modi di operare incorporano le proprietà delle
operazioni aritmetiche e che gli algoritmi standard altro non sono che forme contratte delle
procedure da loro stessi messe in atto.
Si sono presi in considerazione gli studi:
-sulla conta di Fuson K. C. (1988), Fuson, K. C. (1992), Gallistel C.R., Gelman R. (1990,
1992); essi hanno evidenziato come la conta i) faciliti l’apprendimento della lista
convenzionale delle parole-numero e l'integrazione dei loro significati, delle relazioni
d'ordine e di inclusione, ii) favorisca il passaggio da un formato simbolico del numero
all'altro, iii) generi legami con le operazioni numeriche;
- di Steffe L.P. ,Cobb P. e von Glasersfeld E. (1988) i quali affrontano il problema di che cosa
si conta, cioè degli oggetti della conta e della costruzione del concetto di "item-unità"; il
bambino può contare item-unità percettivi, figurali, motori, verbali, astratti e ognuno di questi
tipi di item corrisponde ad un livello evolutivo dell’abilità di contare; l'alunno può passare da un
livello all'altro di ordine sempre più astratto attraverso processi di interiorizzazione;
- sul senso del numero e sulle strategie di calcolo mentale di diversi autori a livello
internazionale: Baroody A.J.(1999); Heirdsfield A. (2000); Greeno J.G. (1991); Reys R. E.
et al. (1982); Sowder J. (1992); Tompson I. (2000), i quali discutono dell’importanza del
calcolo mentale, apprezzano, anzi incoraggiano e ritengono prioritarie, le procedure
mentali e informali usate da ciascun alunno.
Si è tenuto conto anche degli studi in neuroscienze sulla rappresentazione dei numeri nel nostro
cervello (Dehaene S., 2000; Butterworth B., 1999; Zorzi M., 2002) e degli studi in storia della
matematica vista l’esigenza di inserire il numero e nella sua dimensione storica e come processo
di ricerca e di scoperta in continuo sviluppo (Bagni G. T., 1994; Boyer G.T., 1980; Dantzig T.,
1965; Ifrah G., 1984; Picutti E., 1977).
BIBLIOGRAFIA (Artefatti culturali e Modellizzazione Matematica)
- Bonotto, C. 2004a “On the relationships between informal out-of-school mathematics and
formal in-school mathematics in the development of abstract mathematical knowledge”,
Regular Lecture at ICME X, Copenhagen, 4-11 luglio 2004.
- Bonotto, C. 2004b “Portare la matematica nella realtà o la realtà nella matematica?”,
Convegno IRRE Lombardia su “Matematica e scuola; facciamo il punto”, 13-15 ottobre,
Milano.
- Bonotto, C., Basso, M., Baccarin F. & Feltresi, M. 2004 “Studi esplorativi basati su attività di
problem solving e modellizzazione matematica di tipo realistico”, XXIV Congresso UMI-CIIM,
su “Matematica, scuola, società”, Acireale, 21-23 ottobre 2004.
- Bonotto, C. & Cella, F. 2004 “Introduzione del concetto di estensione valorizzando il
confronto visivo e la misurazione diretta”, L’ins. della matematica e delle scienze integrate, 27
A-B, n.5, (settembre-ottobre 2004), pp. 445-477.
- Bonotto, C. 2005a “Mathematizing the everyday or ‘everydaying’ mathematics?”, in M.
Kourkoulos , G. Trouli , C. Tzanakis (eds) Proceedings of 4th International Colloquium on the
Didactics of Mathematics, University of Crete, 2005, pp. 191-203.
- Bonotto, C. 2005b “The Mathematical Preparation of Primary Teachers in Italy”, presentato
su invito all’ICMI Study 15 on The Professional Education and Development of Teachers of
Mathematics, Brasile, maggio 2005.
- Bonotto, C. 2005c “Explorative Studies on Realistic Mathematical Modeling”, XII ICTMA su
Model transitions in the real world: Research, Teaching, Practice, 10 - 14 July 2005, Cass
Business School, City of London.
- Bonotto, C. 2005d “How to create a new tension between in school mathematics and everydaylife knowledge with its incorporated mathematics”, EARLI 2005, 23/27 agosto, Nicosia, Cipro.
Contributo del gruppo di Milano-Cittàstudi e Milano-Bicocca (Marina Cazzola)
L’attività di ricerca del gruppo si articola in diversi settori, per ognuno dei quali si è costituita una
unità di lavoro con un proprio responsabile.
Gli ambiti di ricerca sono:
1) La formazione degli insegnanti, sia all’inizio della loro carriera sia in itinere. In particolare si
rivolge l'attenzione alle maniere con le quali la competenza disciplinare dell’insegnante incide
sulla efficacia e sulla ricchezza della proposta didattica e alle maniere con le quali tale
competenza disciplinare possa essere costruita o recuperata a una lettura consapevole, quando
ciò non accade già. I primi esiti di questa ricerca sono la base sulla quale vengono costruite le
attività di supporto che il gruppo offre agli insegnanti in servizio, in particolare, ma non solo,
con attività a distanza tramite il sito internet www.quadernoaquadretti.it.
Espressioni chiave: didattica per problemi, laboratorio di matematica, strumenti informatici
per la didattica della matematica.
Bibliografia
• G. Bolondi, La matematica quotidiana, Quaderni a quadretti-Mimesis, Milano, 2005.
• F. Burton Jones, “The Moore method”, The American Mathematical Monthly, Vol. 84,
No. 4 (1977), 273-278.
• M. Cazzola, “L'insegnamento della matematica: una didattica metacognitiva”, in O.
Albanese (a cura di), Metacognizione ed educazione, Franco Angeli, Milano, 2003.
• M. Cazzola, “Simmetria, giochi di specchi in un curriculum per i futuri insegnanti”,
L'insegnamento della Matematica e delle Scienze integrate, Vol. 27A, n. 1 (2004), 37-56.
• M. Dedò, “Più matematica per chi insegna matematica”, Bollettino UMI “La matematica
nella società e nella cultura”, Serie VIII, Vol. IV-A, Agosto 2001, p. 247-275.
• J. Dewey, Esperienza e educazione, La Nuova Italia, Firenze, 1993.
• S. Di Sieno, “Doing mathematics: a crucial step in mathematical teacher's training”, ICM2002 Satellite Conference on mathematics education, 12-17 agosto 2002, Lhasa, China.
• E. Fischbein, “Concreto ed astratto nell’insegnamento della matematica elementare”, in
Processi cognitivi e apprendimento della matematica nella scuola elementare, a cura di
G. Prodi, La Scuola, Brescia, 1992.
• K. Ha Ro, Problem based learning in mathematics, ERIC Digest (2003), www.ericse.org.
• B. Martini, “Didattica per problemi”, dalla rivista “Vita dell'Infanzia”, Opera Nazionale
Montessori (2004).
• G. Polya, La scoperta matematica, vol 1 e 2, Feltrinelli, Milano, 1970.
2) L’apprendimento informale: il suo ruolo nella costruzione di un apprendimento cosciente e
aderente agli stili cognitivi di ognuno, le caratteristiche perché un tale apprendimento sia reso
possibile su larga scala, come strumento che accompagna il curriculum scolastico.
Espressioni chiave: l’uso del gioco nella didattica della matematica, la costruzione di
esposizioni di matematica, l’attività di costruzione e fruizione di kit di matematica, immagini
per la matematica.
Bibliografia
●
●
●
M. Bertolini, M. Cazzola, M. Dedò, S. Di Sieno, E. Frigerio, D. Luminati, G. Poldi,
M. Rampichini, I. Tamanini, G. M. Todesco, C. Turrini, matemilano, percorsi matematici in
città, Springer-Verlag Italia (2005, seconda edizione)
M. Dedò, Mostre di matematica: divulgazione e rinnovamento didattico, BUMI, sez. A,
serie VIII, Vol. VII-A, aprile 2004, pp. 77-99.
S. Di Sieno, Mostre di matematica: soltanto una nuova moda o una strategia interessante?,
BUMI, sez. A, serie VIII, vol. V-A, dicembre 2002, pp. 491-514.
3) La costruzione del senso della quantità e la costruzione del senso dello spazio nella scuola
elementare.
Espressioni chiave: generalizzazione induttiva, manipolazione di espressioni, ragionamento
spaziale.
Bibliografia: si veda la bibliografia dell'intervento di Rottoli
Progettazione, sviluppo e valutazione di nuovi artefatti digitali per l’insegnamento e
l’apprendimento della matematica
Giampaolo Chiappini
Istituto Tecnologie Didattiche – CNR
Presso ITD-CNR è attiva da anni una ricerca volta alla progettazione, sviluppo e valutazione di
nuovi strumenti digitali per favorire un miglioramento sostanziale nel processo di
insegnamento/apprendimento della matematica.
Si tratta di una ricerca attiva da più di 10 anni grazie a vari finanziamenti di progetti nazionali ed
europei e che ha portato alla realizzazione del sistema Ai-Lab 2 nelle versioni stand alone e on line
su web (Ari@Itales). Il dominio matematico di riferimento per questi prodotti è l’aritmetica e il
primo approccio all’algebra, a livello di scuola elementare e media.
Attualmente, grazie al coinvolgimento del nostro gruppo di ricerca in un nuovo progetto europeo
(ReMath Project), l’attività di ricerca è orientata allo sviluppo di un nuovo sistema denominato
ALNUSET, volto a favorire un approccio integrato nello studio degli insiemi numerici e delle loro
proprietà, nello studio dell’algebra delle trasformazioni simboliche e della soluzione di equazioni,
disequazioni, sistemi lineari di equazioni, nello studio alle funzioni numeriche.
Nella progettazione e realizzazione di un nuovo artefatto digitale per l’apprendimento della
matematica risultano coinvolte competenze di natura diversa; più in particolare risultano coinvolte
competenze relative alla ricerca in didattica della matematica e competenze relative alla Human
Computer Interaction (HCI), cioè al settore di ricerca che si è sviluppato per fornire una
comprensione dell'usabilità di un sistema e di come progettare un artefatto informatico realmente
efficace (in relazione agli scopi per cui esso viene realizzato).
Nel seminario verranno illustrate le problematiche che risultano coinvolte nella progettazione e
valutazione di nuovi sistemi per l’apprendimento matematico e i riferimenti teorici da noi utilizzati
per affrontarle. Le problematiche riguardano: (i) la modellizzazione dell’attività matematica
coinvolta nel processo di insegnamento/apprendimento, (ii) la modellizzazione dei bisogni degli
utenti (insegnanti e alunni) che sono di natura profondamente diversa (natura didattica per
l’insegnante, natura cognitiva per gli studenti); (iii) la modellizzazione delle funzioni operative e
rappresentative da incorporare nell’artefatto; (iv) la modellizzazione dell’interfaccia dell’artefatto
sia per quanto riguarda l’input e l’output delle funzioni nel linguaggio di interfaccia ; (v) la
modellizzazione dell’ambiente di apprendimento che l’uso del sistema consente di strutturare.
In relazione alle problematiche di progettazione descritte, presentiamo di seguito i principali
riferimenti teorici e le relative nozioni che usiamo per affrontarle
(i)
Quadro antropologico di Chevallard.
Oggetti matematici non sono oggetti assoluti, sono entità che emergono in specifiche
pratiche di date istituzioni . Una pratica matematica può essere descritta in termini di
compito, tecniche per risolverlo e discorso che le giustifica Una tecnica matematica è un
modo di risolvere un compito, un insieme di ragionamenti e di routine automatizzate.
Una tecnica matematica è caratterizzata da un valore pragmatico e da uno epistemico
(ii)
Ricerca in didattica della matematica.
Natura degli ostacoli nell’apprendimento della matematica ed in particolare analisi delle
difficoltà nel tenere sotto controllo senso e denotazione di espressioni matematiche in
attività di costruzione, interpretazione e trasformazione delle stesse
(iii)
Teoria ergonomia di Rabardel.
Distinzione tra artefatto e strumento. Processo di genesi in strumentale. Distinzione tra
processo di instrumentazione e in strumentalizzazione Instrumentalizzazione :
trasformazione dell’artefatto, introduzione di nuove funzioni nell’artefatto. Con
l’introduzione di nuove funzioni, specifiche tecniche orientate a scopi definiti sono
instrumentate nell’artefatto. Alle funzioni instrumentate sono soggiacenti schemi d’uso
che organizzano l’azione del soggetto. La funzione permette di agire sull’oggetto
producendo effetti
(iv)
Embodied cognition. Ricerche realizzate nell’ambito della HCI.
Schemi d’uso associati alle funzioni sfruttano l’esperienza percettiva, spaziale, motoria
del soggetto e permettono di attivare importanti metafore concettuali. Metafora
concettuale : Struttura cognitiva che ci permette di ragionare in un dominio
relativamente astratto sfruttando schemi di un dominio relativamente concreto
(es: i numeri sono punti sulla retta euclidea - Le operazioni tra numeri sono operazioni
geometriche tra punti ad essi corrispondenti sulla retta euclidea,…)
Usabilità di un sistema:conformità tra performance del sistema e performance desiderata
(v)
Activity Theory.
Activity Theory fornisce un modello per analizzare le relazioni tra gli elementi che
strutturano l’attività mediata da un artefatto: modello di Engeström
Questo inquadramento della ricerca verrà realizzato facendo costante riferimento, da una parte, agli
artefatti digitali che abbiamo già realizzato e ai risultati ottenuti nella loro sperimentazione e,
dall’altra, al nuovo artefatto in fase di progettazione e agli scenari d’uso che orientano e guidano la
sua realizzazione.
La comunicazione potrà essere utile non solo a coloro che si occupano di progettazione e sviluppo
di nuovi sistemi per l’apprendimento della matematica (molto pochi in Italia), ma anche a coloro
che usano artefatti digitali per scopi didattici.
Bottino R.M., Chiappini G., Advanced technology and learning environment, In Lyn D. English
(ed) Handbook of international research in mathematics education, pp 757-786, Lawrence Erlbaum,
Associates Publisher, 2002
"EFFETTIVAMENTE MATEMATICA: PENSARE,FARE,COMUNICARE (CON) LA MATEMATICA"
F. Conti - Dip. Matematica e Informatica dell'Università di Perugia
M.A. Pannone - Dip. Statistica dell'Università di Perugia - CIRDIS
Il Progetto "EFFETTIVAMENTE MATEMATICA: PENSARE, FARE, COMUNICARE (CON) LA MATEMATICA", in
collaborazione con la Direzione Scolastica Regionale dell'Umbria e di durata triennale, si sta sviluppando in
classi di II, IV della scuola primaria e I della scuola secondaria di I grado della Provincia di Perugia (Perugia,
Magione) e di Terni (Orvieto) e coinvolge circa 600 alunni.
Si tratta di un progetto di ricerca-azione che intende proporre strategie didattiche innovative per un più
efficace apprendimento della matematica, tenendo conto dei processi di apprendimento e degli interessi degli
alunni di 6-14 anni ed in accordo con le Indicazioni per i piani di studio personalizzati della scuola di base.
Il progetto si propone di:
- rileggere contenuti e metodi dell’insegnamento della matematica anche alla luce di una concreta
applicazione di essa allo studio di fenomeni reali;
- stimolare una riflessione comune sulle strategie didattiche più appropriate per favorire negli alunni
l’acquisizione e la padronanza del ragionamento e del linguaggio matematico, con particolare attenzione al
linguaggio statistico-probabilistico;
- favorire un apprendimento efficace del nucleo tematico “Dati e previsioni” utilizzandolo come tematica
trasversale nella Matematica e in altri contesti disciplinari;
- fornire proposte di UdA che mettano in risalto la valenza applicativa della matematica e della statistica per
lo studio di fenomeni caratteristici della realtà.
Il progetto di ricerca si muove nell'ottica della continuità educativa e metodologica della scuola di base con
l’intento di delineare un unico percorso formativo, che consenta la costruzione di un curriculum didattico di
lungo respiro per attuare un apprendimento motivato e per fare acquisire solide competenze matematiche.
Si vuole delineare un curriculum sperimentabile e verificabile per contribuire a dare una risposta concreta
alle difficoltà che gli studenti incontrano con la matematica, testimoniate dalle varie ricerche in didattica
della matematica e dai Rapporti nazionali e internazionali (PISA, INVALSI, …). Come è noto, molto spesso
il rapporto degli studenti con la matematica è intriso di pregiudizi, paure, convinzione di “non essere portati”,
ed è caratterizzato da un profondo senso di estraneità della matematica dalla vita quotidiana (Zan,
Accascina, e altri).
La proposta di curriculum si pone l’obiettivo di realizzare un processo di insegnamento-apprendimento a
spirale, in cui l'esperienza interagisca con il bagaglio di strumenti operativi e concettuali forniti dalla
matematica. Si tratta, quindi, di mettere in grado lo studente di "matematizzare", nel senso teorizzato da
Freudenthal, dandogli strumenti idonei ad accrescere le proprie capacità di comunicazione attraverso l'uso
consapevole di codici via via più complessi, più specializzati, più integrati. E' per questo che, nel progetto, la
statistica ha un ruolo importante come strumento di conoscenza, di rappresentazione e di interpretazione
della realtà.
Le diverse esperienze condotte in questi anni nell'ambito del CIRDIS nei vari livelli di scuola hanno
mostrato che l’insegnamento della statistica, impostato sull’uso di dati reali, può dare un contributo
decisivo al miglioramento dell'apprendimento della matematica, in quanto contribuisce a sviluppare
l’attitudine all’analisi e all’interpretazione della realtà, favorisce lo sviluppo dei processi che portano
alla costruzione di modelli, educa ad avere uno spirito critico e permette anche di recuperare concetti
“difficili” (rapporti e percentuali, proporzionalità, misurazione e misura, … ).
Allo stato attuale sono state proposte, dopo la somministrazione di prove d’ingresso concordate con i docenti
sperimentatori, due UdA: sul Numero (nei vari aspetti di rappresentazione, conteggio, ordinamento, misura,
etichetta; operazioni e algoritmi) e sulla Misura (misurazione e protocollo di misura, approssimazione e
rappresentazione di misure, indici statistici,...). Entrambe le UdA, che sviluppano anche alcuni aspetti dei
nuclei tematici Introduzione al pensiero razionale e Dati e previsioni, hanno preso le mosse dai dati
riguardanti le esperienze degli alunni, raccolti attraverso un unico Questionario proposto a tutti gli alunni
all'inizio di quest’anno scolastico. Nell’impostazione di queste UdA si è utilizzato come paradigma didattico
la “teoria delle situazioni” di Brousseau e si è molto tenuto conto del lavoro condotto dall'UMI con
Matematica 2001 e dei lavori sviluppati nell’ambito di progetti e di sperimentazioni condotte in questi ultimi
anni dal CIRDIS (Progetto Sperimentazione di nuove strategie didattiche per l’apprendimento della
statistica, Progetto Censimento a scuola ).
Alla fine della sperimentazione si intende diffondere, attraverso la rete, sia le UdA prodotte e
sperimentate nelle classi che i vari materiali utilizzati per la formazione/aggiornamento degli
insegnanti.
La riflessione sulla pratica come attività di formazione dei docenti
Margherita D’Aprile
Dipartimento di Matematica dell’Università della Calabria
La ricerca ha preso l’avvio recentemente, sulla spinta delle concomitanti esigenze di riflettere sulla
formazione degli insegnanti, di fornire un punto di incontro per alcuni insegnanti neo-abilitati,
desiderosi di confrontarsi sui problemi didattici che incontrano, e di adoperarsi per il re-inserimento
della geometria nell’insegnamento scolastico. Poiché il piccolo gruppo è costituito principalmente
da insegnanti che, pur usciti dalla stessa SSIS, hanno trovato impiego in luoghi lontani tra loro,
necessariamente i contatti sono tenuti soprattutto per posta elettronica.
Ci proponiamo, dunque, di affrontare contemporaneamente due questioni:
1. come mettere in atto efficacemente attività non tradizionali per la formazione degli
insegnanti in servizio
2. come rinnovare la didattica della geometria euclidea nel biennio iniziale della scuola
superiore.
Traendo ispirazione da un metodo proposto da Artz e Armour-Thomas per formare insegnanti che
siano “reflective practitioner”, usiamo lo scambio di messaggi e materiali tramite la posta
elettronica per affrontare il problema didattico e concettuale del passaggio dalla geometria
sperimentale ed intuitiva della scuola media a una teoria geometrica, anche parziale, di tipo
deduttivo.
Quadro teorico
Il ricorso al confronto e alla collaborazione professionale in un gruppo di insegnanti (un caso di
teachers’ professional community, secondo Secada-Adajian, citati in Nickerson a Moriarty, 2005)
viene da molti autori considerato il mezzo più efficace per la riqualificazione e il rinnovamento
della didattica nella prospettiva della riforma della scuola. D’altra parte, Anna Sfard, nell’esaminare
criticamente le metodologie didattiche ispirate al movimento di riforma del NCTM degli Stati Uniti
d’America, sottolinea la necessità, sia per gli studenti a scuola, che per gli insegnanti nell’esercizio
della loro professione, di accompagnare momenti di riflessione individuale a quelli del confronto
sociale.
Quanto all’approccio alla geometria, Kuzniak e Houdement hanno proposto un’organizzazione
della geometria elementare secondo tre livelli (intuitivo, sperimentale, deduttivo) che hanno
utilizzato per studiare futuri maestri elementari, confrontandolo ed integrandolo con quello dei van
Hiele.
Per l’attenzione dedicata agli atteggiamenti dell’insegnante, alle sue convinzioni sulla matematica e
in particolare sulla geometria, alla comunicazione, alla costruzione di un lessico comune e adeguato
per un approccio graduale alla geometria, all’uso di rappresentazioni e all’avviamento alla
dimostrazione, questo lavoro si collega alle ricerche di R. Zan e P. L. Ferrari.
Aspetti di metodo
Per aiutare gli insegnanti a riflettere sul proprio operato, Artz (1999) suggerisce, in base ad uno
schema detto di “fase-dimensione” ideato da Artzt e Armour-Thomas, di registrare per iscritto i
propri pensieri prima, dopo ogni lezione, e settimanalmente. A questa metodologia affianchiamo
l’uso della posta elettronica come mezzo per scambiare piani di attività didattiche e valutazioni
sulle attività svolte, tenendo conto di aspetti linguistici, di rappresentazione, di capacità di
argomentazione. La caratterizzazione del gruppo come “comunità virtuale”, pur motivata dalla
lontananza geografica tra i membri, dovrebbe favorire il ricorso alla scrittura e alla riflessione sulla
pratica, aiutando a superare diffidenze e pigrizie nei riguardi del metodo del “reflective
practitioner”.
Uno scambio di opinioni su “chi è il buon insegnante di matematica” ha permesso di costituire il
gruppo sulla base dell’interesse per una didattica centrata sull’alunno. Alcuni partecipanti hanno
diffuso tramite posta elettronica delle loro proposte di attività didattiche di geometria da svolgere
all’inizio della scuola secondaria, su cui tutti sono stati invitati a discutere. Si prevede di produrre
materiali per attività didattiche, da sperimentare anche in anni futuri. Verso la fine del corrente anno
scolastico, i partecipanti saranno invitati a verificare se l’attività svolta abbia in qualche misura
contribuito a modificare il loro atteggiamento nei riguardi della geometria e degli studenti.
Riferimenti bibliografici
Alice F. Artzt, A structure to enable preservice teachers of mathematics to reflect on their teaching,
Journal of Mathematics Teacher Education 2: 143-166, 1999
Alice F. Artzt and Eleanor Armour-Thomas, A cognitive model for examining teachers’
instructional practice in mathematics: a guide for facilitating teacher reflection, Educational
Studies in Mathematics 40: 211-235, 1999
Alice F. Artzt, Eleanor Armour-Thomas, Becoming a reflective Mathematics Teacher – A guide for
observations and self-assessment, Lawrence Erlbaum Ass., Mahwah N.J. 2002
Catherine Houdement and Alain Kuzniak, Un exemple de cadre conceptuel pour l’ètude de
l’enseignement de la géométrie en formation des maitres, Educational Studies in Mathematics, 40:
283-312, 1999
K. Krainer, Editorial – What is “Good” Mathematics Teaching, and How Can research Inform
Practice and Policy?, J. of Math. Teacher Education, 8, Issue 2, Apr 2005, 75–81
N.C.T.M.: Professional Standards for Teaching Mathematics, Reston, VA, 1991
Susan D. Nickerson, Gail Moriarty, Professional Communities in the Context of Teachers’
Professional lives: A Case of Mathematics Specialists, Journal of Mathematics Teacher Education,
8, Issue 2, Apr 2005, 113 - 140
J. P. da Ponte, P. Oliveira, J. M. Varandas, H. Oliveira, H. Fonseca, Exploring the role of virtual
interactions in pre-service mathematics teacher education, CERME 4, Group 12, 2005
Anna Sfard, On reform movement and the limits of mathematical discourse, Mathematical Thinking
and Learning (2000), 2(3), 157-189
Franco Favilli, Giuseppe Fiorentino, Laura Maffei, Carlo Romanelli, Stefania Tintori
Problema di ricerca:
Come rendere conoscenze ed attività matematiche di culture minoritarie didatticamente fruibili
dagli insegnanti ed utili per tutti gli alunni, in contesti scolastici diversi, anche (ma non solo) in
presenza di situazioni di multiculturalità.
Quadro teorico:
La ricerca si colloca negli studi in atto finalizzati a rafforzare la relazione fra etnomatematica ed
educazione matematica, così come auspicato da Vithal & Skovmose (1997) i quali, dopo aver
evidenziato che quattro sono i filoni di ricerca in ambito etnomatematico [sfida/critica alla
ricostruzione tradizionale della storia della matematica, analisi della matematica delle culture
tradizionali (incluse quelle oggetto di colonizzazione), studio della matematica sviluppata ed
utilizzata da gruppi (sociali, professionali, etc.) differenti in contesti di vita quotidiana, relazione fra
etnomatematica ed educazione matematica], sottolineavano come questo ultimo filone richiedesse
una maggiore attenzione.
Presupposto teorico della ricerca sono le indicazioni ed i risultati di ricerca riguardo a matematica e
cultura, con particolare riferimento a quelli di D’Ambrosio (1985) e Bishop (1988).
Aspetti di metodo:
Ricerca di conoscenze ed attività matematiche di culture minoritarie o scomparse.
Identificazione dei contenuti di tali conoscenze ed attività ed interpretazione del loro ruolo e
funzione in tali culture.
Comparazione di tali conoscenze ed attività con analoghe in culture maggioritarie.
Verifica dell’esistenza, in tali conoscenze ed attività, di nozioni matematiche che coincidano, anche
parzialmente, con elementi di un percorso didattico standard per la matematica in contesti educativi
occidentali.
Elaborazione, in collaborazione con insegnanti-ricercatori dell’ordine scolastico interessato e con
riferimento a tali conoscenze ed attività, di proposte didattiche innovative, che possono anche
prevedere l’utilizzo delle nuove tecnologie e la produzione di software didattici.
Sperimentazione delle proposte didattiche ed analisi, in collaborazione con gli insegnantiricercatori, delle indicazioni che da tali sperimentazioni scaturiscono.
Risultati:
Le proposte didattiche recentemente elaborate e per le quali è stata effettuata od è in corso una
attività di sperimentazione traggono origine da:
- la costruzione della zampoña (flauto di Pan), prodotto artigianale della cultura andina;
- i sona, disegni sulla sabbia propri di popolazioni dell’Africa sub-sahariana e Tamil;
- la yupana, abaco utilizzato dagli Incas.
Per la prima proposta (la zampoña) – principalmente rivolta alla scuola secondaria di I grado – si è
ricorsi alla produzione di un CD-rom multimediale che, oltre alla descrizione della proposta
didattica stessa e di alcune esemplificazioni ed osservazioni relative alle sue prime sperimentazioni,
contiene, fra l’altro, una introduzione alle problematiche connesse alla didattica interculturale della
matematica ed i risultati di una indagine sui comportamenti ed atteggiamenti degli insegnanti di
matematica con alunni di cultura minoritaria in classe. La proposta consente di introdurre o
rafforzare diversi concetti matematici di base; in particolare: relazioni e funzioni, rapporti e
proporzioni, approssimazioni ed arrotondamenti, media aritmetica.
A supporto della seconda proposta (i sona) – principalmente rivolta alla scuola secondaria di I
grado – è stato prodotto un software grafico. La proposta è principalmente finalizzata
all’acquisizione della nozione di MCD., anche se l’avvenuta produzione di ulteriori software rende
possibile la predisposizione di altre proposte didattiche, anche per ordini scolastici superiori.
La terza proposta didattica (la yupana) – principalmente rivolta alla scuola primaria – è nella fase
iniziale della sua sperimentazione e si appoggia, in maniera sostanziale, sull’utilizzo di un software,
appositamente prodotto per fornire una versione elettronica di una doppia yupana. La proposta è
principalmente finalizzata all’acquisizione dei concetti di numero, rappresentazione del numero in
base diversa, addizione e sottrazione.
Al di là del grande interesse dimostrato dagli insegnanti-ricercatori alle proposte, sia in fase di loro
sviluppo elaborativo che in fase di sperimentazione, l’impatto che le stesse hanno avuto e stanno
avendo sugli alunni è da ritenersi estremamente positivo, sia in termini di apprendimento che di
atteggiamento nei confronti della matematica.
Riferimenti bibliografici fondamentali:
Bishop, A. J. (1988). ‘Mathematics Education in its cultural context’, Educational Studies in Mathematics,
19, 179-191.
D’Ambrosio, U. (1985). ‘Ethnomathematics and its place in the history and pedagogy of mathematics’. For
the learning of Mathematics, 5(1), 44-48.
Vithal, R. and Skovmose, O. (1997). 'The end of Innocence: a Critique of ‘Ethnomathematics’”. Educational
Studies in Mathematics, 34, 131-157.
Persone coinvolte:
Franco Favilli, Giuseppe Fiorentino, Laura Maffei, Carlo Romanelli, Stefania
Mario Ferrari
Gruppo di Pavia
(nell’ambito del progetto PRIN 2004: “Aspetti linguistici e di rappresentazione
nell’insegnamento-apprendimento della matematica”, coord. P. Boero, Genova)
Titolo del progetto sviluppato dall’Unità Operativa di Pavia:
“Linguaggi verbali e non verbali per comunicare in matematica: aspetti storico
epistemologici, situazioni di classe, mediazioni tecnologiche”
1 – Base di partenza scientifica.
Il problema di interventi adeguati per la preparazione professionale di insegnanti in servizio è sul
tappeto da molti anni. Ora è diventato ancor più urgente per i cambiamenti cui la scuola va incontro
con la ultima riforma varata dal Governo.
La preparazione professionale coinvolge la dimensione teorica della disciplina e gli aspetti storici,
epistemologici e didattici.
Trattandosi di adulti senza una preparazione specifica in matematica (insegnanti elementari e medi),
importante è trovare un linguaggio semplice, accattivante e, nello stesso tempo, rigoroso.
Gli interventi “sul campo” a questo proposito, cioè le attività di formazione in modo particolare per
insegnanti elementari, hanno riguardato i diversi “Mondi numerici” che essi incontrano nella loro
attività didattica, sia relativamente agli “elementi unificanti” che relativamente alle “proprietà
specifiche”. Gli “elementi unificanti” sono stati raggruppati in tre “centri di aggregazione” attorno
ai quali si svolge la “vita sociale” dei numeri: il centro di aggregazione legato alla struttura additiva,
quello legato alla struttura moltiplicativa, e quello legato alla struttura di ordine con tutti i loro
rapporti reciproci.
Le “proprietà specifiche” sono state distinte in tipiche, esclusive di un dato mondo numerico, e
proprietà ereditarie che passano al successivo mondo numerico.
2 – Programma di ricerca
Gli interventi sopra descritti si inquadrano nel tema A del programma di ricerca del gruppo di
Pavia: “Riflessioni didattiche, storiche, epistemologiche: la comunicazione agli insegnanti.
La ricerca, limitatamente ai “Mondi numerici”, è conclusa ed ha portato alla pubblicazione di 7
articoli di cui 6 segnalati nel punto [1] della Bibliografia ed 1 segnalato nel punto [2] della stessa.
Sulla stessa rivista durante il 2006 saranno pubblicati altri 4 articoli, già ultimati ed accettati, per
completare lo studio dei vari “Mondi numerici”. Il primo è apparso sul numero di gennaio 2006
segnalato al punto [1] della Bibliografia.
La ricerca ha portato anche alla incisione di 3 DVD, finanziati dall’Ufficio Scolastico Regionale per
la Lombardia e a un quaderno di supporto cartaceo che dovrebbero essere messi a disposizione delle
scuole. Si è, però, in attesa di decisioni da parte dello stesso USR per la Lombardia.
Parallelamente a questa ricerca è stata ripresa quella, per laureati in matematica, riguardante gli
“angoli di contingenza” o “angoli di contatto”.
Questa ricerca è iniziata con una tesi di laurea della dottoressa Federica Pizzetti (anno accademico
1996-97) dedicata a “Angoli e angoli di contatto”. E’ proseguita, poi, con uno studio su “Il
concetto di angolo nella matematica greca” che ha dato origine all’articolo [3] della Bibliografia.
Ci si è, poi, concentrati sugli angoli di contingenza iniziando la studio dalla antica Grecia come
testimonia l’articolo [4] nel quale si prende in esame il pensiero di Democrito, di Euclide e di
Apollonio.
Con un salto di più di mille anni le riflessioni e le discussioni sugli angoli di contingenza vengono
ripresi nel Basso Medioevo. Nell’articolo [5], già accettato per la pubblicazione, vengono esaminate
le posizioni di Giordano Nemorario e di Campano.
3 – Bibliografia
[1] M. Ferrari (2005), Esplorare i mondi numerici del primo ciclo scolastico, L’Insegnamento della
Matematica e delle Scienze Integrate (IMSI), vol. 28 A, Parte prima 1° N. 1 (9-32); Parte prima 2°
N. 2 (107-124); Parte prima 3° N. 3 (207-222); Intermezzo N. 4 (307-326); Parte seconda 1° N. 5
(409-428); vol. 29 A, Parte seconda 2°, N. 1 (17-30).
[2] M. Ferrari (2005), I numeri dalla prima elementare alla terza media, IMSI, vol. 28 A-B (621642)
[3] M. Ferrari - F. Pizzetti (1999), Il concetto di angolo nella matematica greca, IMSI, vol. 22 B, N.
5 (407-431)
[4] M. Ferrari - F. Pizzetti (2001), Gli angoli di contingenza nell’antica Grecia, IMSI, vol. 24 B, N.
3 (407-431)
[5] M. Ferrari - F. Pizzetti (2006), Gli angoli di contingenza tra il Basso Medioevo e la Rivoluzione
scientifica, IMSI, vol. 29 B, (in corso di pubblicazione).
IL SISTEMA ABDUTTIVO
Elisabetta Ferrando
PRIN 2005-06: “Aspetti linguistici e di rappresentazione nell’insegnamento-apprendimento della
matematica” - Unità Operativa di Genova
Lo scopo del presente studio è stato quello di costruire un modello attraverso cui identificare
e descrivere possibili processi cognitivi di natura creativa-abduttiva utilizzati dagli studenti nell’atto
di provare affermazioni nell’ambito dell’Analisi Matematica. A tale proposito si è fatto riferimento
alla Teoria sull’Abduzione di Charles S. Peirce, ed alla teoria del Transformational Proof Scheme di
G. Harel.
Considerando la definizione di abduzione data da Peirce, le domande che inizialmente
hanno guidato i primi passi del progetto di ricerca sono state: 1. Quando gli studenti utilizzano
l’abduzione nei processi dimostrativi? 2. Se utilizzano l’abduzione, come la utilizzano? Vi sono
contesti in cui più facilmente essa viene impiegata?
Il passo successivo è stato quello di individuare due esercizi differenti da proporre, in due
periodi distinti del I semestre, ad un gruppo di studenti volontari del corso di Analisi Matematica
del primo anno di Ingegneria, Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale di Savona, per i quali
svolgevo attività di "guida allo studio dell'analisi".
Problem 1: Sia f una funzione continua e surgettiva da [0,1] a [0,1]. Questa funzione ha
punti fissi? (Nota: c è un punto fisso se f(c)= c)
Problem 2: data f funzione derivabile in R, cosa puoi dire del seguente limite?
f ( x 0 + h) − f ( x 0 − h)
lim
h →0
2h
Un primo tentativo di analisi a priori dei suddetti problemi ha ben presto evidenziato alcune
difficoltà nell’ipotizzare possibili meccanismi creativi dello studente nel quadro della teoria di
Peirce. Tale difficoltà dipendeva dal modo in cui l’abduzione peirceana fa riferimento alla creazione
di un’ipotesi che spiega un fatto osservato (quindi "vero"). In effetti in entrambi gli esercizi allo
studente viene chiesto non solo di trovare una o più ipotesi che giustifichino un "fatto", ma anche di
cercare un "fatto" (plausibile!) da giustificare. Tale particolarità suggerisce di analizzare i processi
abduttivi sotto una nuova luce, nel senso che la natura del "fatto" e i legami tra "ipotesi" e "fatto"
devono essere considerati in modo differente rispetto a quello del processo abduttivo standard.
Il risultato è stato la costruzione del Sistema Abduttivo i cui elementi sono {fatti, congetture,
enunciati, azioni}. Alla base della costruzione del Sistema Abduttivo vi è l’intenzione di mostrare
che i processi creativi possono essere analizzati in termini di "componenti" e di "relazioni tra le
componenti", superando la convinzione che non sia possibile parlarne in termini analitici in quanto
considerati qualcosa di indefinibile, del tipo dei “colpi di genio”. In effetti (come vedremo
attraverso l'analisi degli elaborati prodotti dagli studenti alle prese con i due problemi prima citati)
la definizione di Sistema Abduttivo permette al ricercatore un’analisi dettagliata di una parte dei
processi creativi, e fornisce l’opportunità di dare un nome e riconoscere le componenti creative di
tipo abduttivo presenti nei protocolli.
Dal punto di vista didattico, il quadro teorico proposto potrebbe aiutare gli insegnanti ad
essere più coscienti di ciò che deve essere 1) riconosciuto, 2) rispettato, 3) migliorato, se si vogliono
sviluppare capacità di "pensiero produttivo" negli allievi; contro, dunque, una cultura didattica della
“certezza”, che segue schemi prestabiliti.
L’interpretazione dei condizionali in contesto matematico
Pier Luigi Ferrari
Unità di ricerca di Alessandria
Sono ampiamente documentate in letteratura le difficoltà dell’interpretazione di costruzioni
condizionali5, espresse sia nel linguaggio verbale, sia nei formalismi della logica matematica.
Queste difficoltà sono rilevanti dal punto di vista cognitivo e da quello linguistico.
La padronanza delle costruzioni condizionali sembra infatti essere uno snodo importante nella
transizione verso il pensiero matematico astratto. L’importanza delle costruzioni condizionali
nell’organizzazione ipotetico-deduttiva della matematica non ha bisogno di essere sottolineata.
Moltissimi teoremi sono della forma ‘Se P allora Q’ e riconoscere che un teorema espresso in
questa forma è conseguenza di un altro espresso nella stessa forma è una delle prime difficoltà sul
cammino del ragionamento matematico. La semantica degli enunciati della forma ‘P⇒Q’ in logica
classica è un ben documentato ostacolo.
Dal punto di vista della linguistica le costruzioni condizionali sono tipiche dei registri evoluti e sono
fondamentali nella transizione da uno stile iconico-congruente (tipico, ad esempio, delle narrazioni
in ordine cronologico) a uno stile simbolico-metaforico (più adatto al pensiero progettuale e
astratto).
Dal punto di vista psicologico i condizionali giocano un ruolo rilevante in diversi quadri teorici,
come nella teoria dei modelli mentali (come documentato ad esempio dai lavori di Johnson-Laird,
1986, e Barrouillet & Lecas, 1999) e, a maggior ragione, nelle teorie (di matrice Vygotskiana e non
solo) che interpretano il pensiero come una forma di comunicazione e per le quali la qualità del
linguaggio influenza in modo decisivo quella del pensiero.
È fuori discussione che la ricerca sull’apprendimento deve focalizzare sul linguaggio verbale (che è
quello utilizzato nelle pratiche didattiche) piuttosto che sui linguaggi della logica classica, ma
questo non richiede il travisamento delle legittime, diverse funzioni che questi ultimi svolgono in
matematica.
I legami fra gli enunciati condizionali della logica classica [P⇒Q] e le frasi del linguaggio verbale
sono tutt’altro che semplici. In diversi lavori, anche recenti, sembra trasparire (seppur
confusamente) l’assunzione che l’interpretazione dei condizionali nel linguaggio verbale è
sostanzialmente basata su quella vero-funzionale della logica classica, con qualche aggiunta e
cambiamento dovuti principalmente alla pretesa inadeguatezza di quest’ultima. A mio giudizio è
5
Uso l’espressione ‘costruzioni condizionali’ per indicare genericamente diverse tipologie sia di frasi del
linguaggio verbale sia di formule della logica matematica, per evitare assunzioni implicite sui rapporti fra le
prime e le seconde.
invece necessario riconoscere la netta differenza fra le due interpretazioni. La grande ricchezza di
forme e significati dei condizionali nel linguaggio verbale non può in alcun modo essere ricondotta
all’interpretazione vero-funzionale, con o senza qualche aggiustamento. Inoltre viene mai spiegato
perché la logica classica venga preferita ad altre logiche più vicine al ragionamento quotidiano.
Nel linguaggio verbale il funzionamento dei condizionali (con le relative difficoltà di
apprendimento e uso) è difficilmente spiegabile senza tener conto dei contesti e, quindi, degli
aspetti pragmatici, come mostrato, ad esempio, dagli studi di Rumain et al. (1983), Valiña et al.
(1997), Barrouillet & Lecas (2002) e dall’ampia panoramica di Dancyger (1998). Gli strumenti
della pragmatica, insieme all’analisi comparata delle funzioni e delle caratteristiche dei condizionali
nel linguaggio verbale e in logica matematica sono in grado di dare spiegazioni credibili e
predittive.
Nella ricerca verranno utilizzati anche alcuni miei risultati sui legami tra i registri quotidiani e quelli
matematici, come ad esempio il fatto che i questi ultimi sono casi estremi di registri evoluti (Ferrari,
2004a,b,c). Questi risultati suggeriscono percorsi didattici orientati a favorire la capacità di usare i
registri evoluti e di controllare la transizione fra i diversi registri, attraverso la consapevolezza del
contesto e degli scopi. La capacità di usare le costruzioni condizionali della matematica rappresenta
quindi la conquista non di un nucleo profondo di significato, ma di un’altra modalità di uso adatta
in certi contesti e non adatta in altri.
Obiettivo della ricerca è dare un’interpretazione credibile delle difficoltà di cui all’inizio che
consenta di progettare percorsi di insegnamento efficaci, con un occhio al fatto che questo tema è
sicuramente un terreno adatto per esperienze di insegnamento integrato di matematica e lingua e
comunque per momenti di collaborazione fra insegnanti delle due discipline.
La ricerca prende in considerazione diverse fasce d’età, ma è focalizzata soprattutto sugli anni finali
della secondaria e sul primo anno di università. Una grande quantità di dati relativi a matricole
universitarie è già stata raccolta. I primi risultati hanno messo in luce la rilevanza di aspetti quali
l’organizzazione testuale, il lessico, la dimensione temporale, il contesto, gli scopi percepiti dai
soggetti. È in corso un esperimento didattico in una IV liceo scientifico la cui programmazione
prevede un’ora settimanale di attività integrata matematica-lingua. Nell’esperimento si affronta
anche il problema, sottolineato in modo convincente da Bruner (1990), del rapporto tra pensiero
narrativo e pensiero logico, e quello tra le corrispondenti organizzazioni testuali.
La ricerca, anche se adotta quadri di riferimento e punti di vista, come già anticipato, diversi, tiene
conto di recenti ricerche sullo stesso tema, come quelle di Hoyles e Küchemann (2002), di DurandGuerrier (2003) e di Deloustal-Jorrand (2004). La ricerca è svolta in collaborazione con Anna
Grazia Diaferia e Marina Garbarino del Liceo Scientifico ‘Vercelli’ di Asti.
Riferimenti
Barrouillet P., Lecas J.F.: 1999, ‘Mental Models in Conditional Reasoning and Working Memory’, Thinking
and Reasoning, Vol.5 n.4, 289-302.
Barrouillet P., Lecas J.F.: 2002, ‘Content and context effects in children's and adults' conditional reasoning’,
Q.J. Exp. Psychol. A , 55(3), 839-54.
Bruner, J.: 1990, Acts of meaning, Cambridge (Massachusetts): Harvard University Press.
Dancygier, B: 1998, Conditional and prediction, Cambridge University Press.
Deloustal-Jorrand, V.:2004, ‘Studying the mathematical concept of implication through a problem on written
proofs’, in Johnsen Høines, M. & Berit Fuglestad, A. (Eds.), Proceedings of the 28th Conference of the
International Group for the Psychology of Mathematics Education, Bergen (Norway), vol.2, pp.263270.
Durand-Guerrier, V.: 2003, ‘Which notion of implication is the right one? From logical considerations to a
didactic perspective’, Educational Studies in Mathematics 53: 5–34.
Ferrari, P.L.: 2004a, Matematica ed Educazione: il ruolo fondamentale dei linguaggi, Seminario Nazionale
di
Ricerca
in
Didattica
della
Matematica
(XXI
Sessione
indirizzo
web:
http://www.mfn.unipmn.it/~pferrari/SN.htm) .
Ferrari, P.L.: 2004b, ‘Mathematical Language and Advanced Mathematics Learning’, in Johnsen Høines, M.
& Berit Fuglestad, A. (Eds.), Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the
Psychology of Mathematics Education, Bergen (N), vol.2, pp.383-390.
Ferrari, P.L.: 2004c, Matematica e linguaggio. Quadro teorico e idee per la didattica, Bologna: Pitagora
Editrice.
Hoyles, C. & D. Küchemann: 2002, ‘Students’ understandings of logical implication’, Educational Studies in
Mathematics, 51, 193-223.
Johnson-Laird, P.N.: 1986, ‘Conditionals and mental models’, in Ferguson, C., Reilly, J., ter Meulen, A., and
Traugott, E.C. (Eds.), On Conditionals, Cambridge: Cambridge University Press.
Rumain, B.; J.Connell & M.D.S.Braine: 1983, ‘Conversational Comprehension Processes Are Responsible
for Reasoning Fallacies in Children As Well As Adults: If Is Not the Biconditional’, Developmental
Psychology, Vol.19, No.4, 471-481.
Valiña, M. Dolores, Seoane, Gloria, Ferraces, M. José and Martín, Montserrat (1997). Pragmatic factors in
Conditional Reasoning with narrative texts. In Shafto, Michael G. and Langley, Pat, Eds. Proceedings
Nineteenth Annual Conference of the Cognitive Science Society, pages 1076, Stanford University.
Nicoletta Lanciano
PROBLEMI DI LINGUAGGIO VERBALE, GRAFICO E GESTUALE NELLE
RAPPRESENTAZIONI GEOMETRICHE DI FENOMENI NATURALI
INQUADRAMENTO GENERALE DELLA RICERCA
La ricerca rientra nell'ambito del Tema 1 dell’unità locale di Roma del COFIN 2005
coordinato da Paolo Boero.
L’attenzione è sulla descrizione e la rappresentazione geometrica dei fenomeni del campo di
esperienza delle ombre del Sole, in particolare sugli aspetti riconducibili a concezioni protogeometriche in studenti e in adulti anche non specialisti. La ricerca si è focalizzata sull’analisi
di attività manipolative, cognitive e linguistiche attivate dall’uso di strumenti astronomicogeometrici o in attività ad essi collegate per aspetti inerenti al linguaggio verbale, grafico e
gestuale.
In ambito di progetto COFIN lavora su temi vicini l’Unità di Genova (Boero)
TEMA DELLA RICERCA
Analisi dei processi cognitivi, in particolare delle difficoltà degli allievi, nel passaggio
dall’esperienza alla costruzione dei significati, in campo astronomico e matematico, mediati
dall’uso di artefatti, con un focus didattico: quali problemi didattici si pongono, quali
difficoltà si evidenziano, come si costruiscono nuove conoscenze in un ambito di interazione
sociale. Quali concezioni iniziali vengono espresse, e quali modalità si adottano per farle
evolvere.
BASE DI PARTENZA SCIENTIFICA
Gli spazi dell’esperienza sono di diverse taglie, dal micro, al meso, al macro, al mega spazio
(Berthelot e Salin, Lanciano 1996) e queste hanno influenza sull’uso dello spazio e sul tipo di
geometria coinvolta. L’attenzione a spazi di diversa taglia (micro, meso, macro e mega)
coinvolge inoltre problemi grafici specifici.
Le ricerche e i risultati di ricerca legati all’embodied cognition costituiscono un ulteriore
riferimento.
Le attività analizzate e gli artefatti utilizzati, rientrano nel Progetto di ricerca-azione più
ampio di “Geometria e astronomia in città”, sull’utilizzo della città come luogo educativo, e
sugli stili di conduzione delle attività educative e formative (Benvenuto, Lanciano 2002)
ASPETTI DI METODO, RISULTATI, OBIETTIVO DELLO STUDIO
Si tratta di una ricerca-azione svolta con allievi di scuola e di corsi universitari, anche non
scientifici, e con adulti insegnanti in formazione e in servizio. Lo studio attualmente verte
sull’analisi di attività di misura della propria ombra prodotta dal Sole, senza uso di
“strumenti” esterni al proprio corpo, quindi in condizioni di in-strumentazione del corpo. Il
focus didattico è sulla gestualità degli allievi per rispondere al compito; sui collegamenti
scoperti, nominati e rappresentati tra la propria altezza (misura lineare) la lunghezza della
propria ombra (misura lineare) e l’altezza del Sole sull’orizzonte (misura angolare); sulle
capacità di fare previsioni in relazione al fenomeno oggetto di studio; sulla comprensione
dell’attività di misura effettuata che comporta l’uso esplicito della proporzionalità. Le
rappresentazioni esaminate sono effettuate con l’ausilio della memoria dell’esperienza
vissuta. Le diverse taglie dello spazio osservato e rappresentato portano ad esempio a
considerare la confusione tra il cilindro di luce e il cono di luce prodotti dal Sole. Le
rappresentazioni grafiche di un fenomeno complesso, in cui diverse sono le variabili che
entrano contemporaneamente in gioco e che possono essere considerate, fa produrre agli
allievi grafici cartesiani che rivelano modelli impliciti e proto-geometrici.
Nell’ambito della ricerca è stata già realizzata una discussione circa gli ostacoli
epistemologici inerenti la definizione, la rappresentazione e la misura di angoli nello spazio
fisico-astronomico (non isotropo) in relazione a quello geometrico (isotropo) con allievi di
diversa età in Italia e in Argentina (Lanciano, Camino, inviato per la pubblicazione). Analisi
relative ad altri strumenti sono state presentate in Convegni CIEAEM 2003 e 2005. (Lanciano
2003, e Lanciano, Tomassetti 2005)
Sono tuttora aperte altre domande in questo stresso ambito relative alle rappresentazioni di
angoli e misure lineari in attività che coinvolgono il meso spazio del movimento.
Gruppo di Ricerca
Nicoletta Lanciano (Università di Roma), Nestor Camino (Università della Patagonia –
Argentina)
Marina Tutino, Teodora Tomassetti, Leonarda Fucili (Insegnanti)
RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI FONDAMENTALI
- Tesi di dottorato di N.Lanciano, Università di Ginevra 1996
- Benvenuto G., Lanciano N., “Didattica delle scienze e riflessioni su alcune forme di
insegnamento e alcune modalità di apprendimento nell’università”, Università e scuola, n
2/R, 2002, p 50-60
- Lanciano N., Instruments non conventionnels dans le champs d’expérience des ombres du Soleil:
les difficultées de mathématisation et de représentation”, in stampa negli Atti della 55 CIEAEM,
luglio 2003, Polonia
- Lanciano N., Tomassetti T., « Perception de soi sur une planète sphérique dans le méga
espace: observation, représentation, conceptualisation », in stampa Atti della CIEAEM, 2005
- Lanciano N., Camino N., “Del angulo de la geometrìa a los àngulos en el cielo. Obstàculos
para la conceptualizaciòn de las coordenadas astronòmicas”, (inviato per la pubblicazione a
Ensenanza de las Ciencias, Spagna)
Gruppo di ricerca coordinato da N.A. Malara
Le ricerche che si intendono presentare, svolte tutte -tranne una- nell’ambito progetto
nazionale PRIN coordinato da P. Boero, riguardano il tema: Processi di insegnamentoapprendimento per l’approccio al linguaggio algebrico, alla sua interpretazione in vari ambiti ed
allo studio degli oggetti dell’algebra. Esse si sviluppano secondo tre filoni che si articolano in
relazione alla pianificazione/sperimentazione di percorsi innovativi in (early) algebra.
A.
Il primo filone riguarda lo studio di concezioni, comportamenti e produzioni degli
allievi come emergono dal processo di classe (modi di vedere una data situazione,
contributi alla discussione sulla validità dei singoli punti di vista, reti di interventi per la
costruzione di un dato elemento di conoscenza, difficoltà interpretative …).
B.
Il secondo filone riguarda: a) la messa a punto di modelli prototipo di processi didattici
innovativi in early algebra; b) lo studio congiunto con e per gli insegnanti circa l’analisi e la
riflessione su percorsi di classe (propri ed altrui) per l’affinamento delle loro capacità di
orchestrazione delle discussioni, di controllo della partecipazione degli allievi e di decisioni
nel vivo dell’azione (abilità di previsione, di reazione, di “improvvisazione”, …); c) lo
studio, più in generale, dei ruoli assunti dall’insegnante e l’incidenza dell’intreccio
conoscenze-concezioni-emozioni.
C.
Il terzo filone riguarda le recenti iniziative di divulgazione e di formazione a distanza
(e-learning) delle tematiche di approccio precoce all’algebra e la realizzazione di oggetti
web (UAR) per favorire la riflessione su date situazioni problematiche (concatenate) e su
frammenti di processi di classe ad esse relativi in modo da (costruire/)affinare negli
insegnanti l’abilità di prevedere risposte e difficoltà degli allievi in riferimento a particolari
risultati di loro interazione.
In riferimento ai vari punti si propongono i contributi sottoelencati (i nomi sottolineati
indicano i presentatori). Di seguito si riportano i sunti delle singole presentazioni.
Punto A.
Roberta Fantini, Loredana Gherpelli, Nicolina Malara
Lo sviluppo del pensiero proporzionale: aspetti di un percorso didattico attuato nell’arco dei tre
anni di scuola media
Rosa Iaderosa , Nicolina Malara
MODELLIZZAZIONE DI PROBLEMI E QUESTIONI ALGEBRICO-GEOMETRICHE CORRELATE: ASPETTI
PROBLEMATICI E INDIVIDUAZIONE DI DIFFICOLTÀ NEI COMPORTAMENTI DI STUDENTI DELLA SCUOLA
SECONDARIA SUPERIORE SUL PIANO DEL COORDINAMENTO DI REGISTRI RAPPRESENTATIVI E DELLE
RELATIVE INTERPRETAZIONI.
Nicolina Malara, Giancarlo Navarra
LA COSTRUZIONE DI SIGNIFICATI E DI CONCETTI IN EARLY ALGEBRA DA PARTE DI
SCUOLA ELEMENTARE E MEDIA: ANALISI DI DUE CASI
Cusi Annalisa, Nicolina Malara
Sulle concezioni della matematica in allievi degli ultimi anni del liceo scientifico6
Punto B
Nicolina Malara:
STUDI CON E PER
ALLIEVI DELLA
GLI INSEGNANTI SULL’OSSERVAZIONE DI PROCESSI DI CLASSE: ESPERIENZE E
PROSPETTIVE
Nicolina Malara e Sandra Marchi:
Un esempio di analisi congiunta di una complessa discussione di classe
Nicolina Malara e Nasi Romano: Pattern di modellizazione della partecipazione degli allievi nella
discusione cognitiva
Punto C
Nicolina Malara, Nicola Miolo, Giancarlo Navarra,
Nuove tecnologie, internet, E-learning nella formazione insegnanti: le Unità di Apprendimento in
Rete (UAR) nel Progetto ArAl; loro strutturazione, finalità e modalità di attuazione
6
Questo lavoro è realizzato nell’ambito di una collaborazione con il progetto nazionale FIRB, coordinato da R. Zan,
sull’atteggiamento negativo verso la matematica.
STUDI CON E PER GLI INSEGNANTI RELATIVI ALLA OSSERVAZIONE DI PROCESSI DI CLASSE
IN EARLY ALGEBRA: ESPERIENZE E PROSPETTIVE
Nicolina Malara
Dipartimento di Matematica, Università di Modena e Reggio E.
Il contributo che si intende presentare si inquadra - dai punti di vista teorico, metodologico e
dei contenuti - nelle tematiche del progetto ArAl. Ricordiamo che l’ipotesi di fondo del progetto è
che i modelli mentali propri del pensiero e del linguaggio algebrico debbano essere costruiti sin dai
primi anni della scuola elementare, attraverso la costruzione di un ambiente che stimoli in modo
informale l’elaborazione autonoma del ‘balbettio algebrico’, ossia l’appropriazione sperimentale di
un nuovo linguaggio nel quale le regole vengono a trovare la loro collocazione gradualmente,
all’interno di un contratto didattico tollerante verso momenti iniziali sintatticamente promiscui e
che - attraverso il confronto e la riflessione - promuova una crescente consapevolezza dei significati
delle rappresentazioni algebriche.
Il lavoro, ideale prosecuzione di quello documentato in Malara & Altri (2004), riguarda la
progettazione, sperimentazione e analisi di sequenze di insegnamento-apprendimento, realizzate
con un piccolo gruppo di insegnanti, finalizzate ad un approccio alle funzioni nel più generale
quadro delle relazioni binarie.
Oggetto specifico della presentazione sarà: a) una riflessione sulla metodologia di lavoro
adottata ed in particolare sull’analisi congiunta dei processi di classe (analisi svolta guardando a tre
diverse componenti: le conoscenze costruite dagli allievi e gli eventuali ostacoli incontrati; le
influenze delle dinamiche affettivo-relazionali e dei comportamenti dell’insegnante sulla
costruzione; c) le ricadute del lavoro di analisi sui partecipanti, sia per quanto riguarda la loro
maggiore capacità di osservazione del processo (riconoscimento di atteggiamenti produttivi o al
contrario di sviste, trascuratezze, errori di approccio), sia più in generale sul loro sviluppo
professionale. Si attuerà infine un confronto con studi svolti in altri contesti culturali ma con
analoghe modalità da ricercatori stranieri e si rifletterà sulla frubilità di alcuni loro costrutti per le
nostre ricerche future.
Riferimenti Bibliografici
MALARA, N.A.: 2003A, DIALECTICS BETWEEN THEORY AND PRACTICE: THEORETICAL ISSUES AND ASPECTS OF PRACTICE
FROM AN EARLY ALGEBRA PROJECT, CONFERENZA PLENARIA, PROC. PME 27, VOL.1, 33-48
Malara, N.A.: 2003b, Promoting teachers’ changes: examples from an educational process in early algebra, conferenza
plenaria, in A. Rogerson (ed) Proc. International Conference ‘The Mathematics Education into the 21st
Century’, University of Brno, 5-16
Malara, N.A.: 2004, Early Algebra: from teachers education to classroom culture, conferenza su invito, ICME 10
(Copenhagen, July 2004), in stampa
Malara, N.A.: 2005a, Leading In-Service Teachers to Approach Early Algebra, conferenza su invito, proc. Conv. Int.
“Mathematics Education: Paths and Crossroads”, Lisbona, 285-304
Malara, N.A.: 2005b, L’azione con/per/su gli insegnanti: modelli a confronto, relazione al seminario di studi L’azione
sul piano disciplinare e sociale con gli insegnanti di matematica (dagli insegnanti ricercatori a quelli in
formazione o in servizio): modelli di ricerca a confronto, Università di Pavia, 29 novembre 2005
Malara N.A., Incerti, V., Fiorini, R., Nasi, R.: 2004, Percorsi di insegnamento in chiave pre-algebrica:
rappresentazione di problemi e di processi, segni simboli e negoziazione dei loro significati, Pitagora, Bologna
Malara, N.A., Navarra G.: 2003, Progetto ArAl: Quadro teorioco e glossario, Pitagora, Bologna
Malara N.A., Zan, R.: 2002, The Problematic Relationship between Theory and Practice, in English, L. (ed) Handbook of
International Research in Mathematics Education, LEA, Mahwah, NJ, 553-580
PATTERN DI MODELLIZAZIONE DELLA PARTECIPAZIONE DEGLI ALLIEVI NELLA
DISCUSIONE COGNITIVA
Nicolina Malara, Romano Nasi
Supervisore SSIS – Indirizzo FIM, Università di Modena e Reggio Emilia
Faccio parte di un gruppo di insegnanti che, con il coordinamento di N.A.Malara, è impegnato
sul fronte del rinnovamento della formazione degli insegnanti di matematica, correlata non solo con
gli aspetti curricolari ma soprattutto con l’acquisizione di nuovi modelli di insegnamento e nuove
prassi didattiche quotidiane, che richiedono un profondo mutamento dell’usuale modo di condurre
le attività di classe.
Puntando su un insegnamento di tipo costruttivo e quindi utilizzando in classe come
metodologia fondamentale la discussione collettiva, il gruppo ha fatto suo il bisogno di sviluppare
una pratica riflessiva sull’azione di classe, basata sul confronto tra i percorsi che noi insegnanti
effettivamente seguiamo, per discuterli a fondo. Ci è apparso indispensabile fissare delle prassi
comuni fondamentali. Abbiamo verificato, ad esempio, quanto sia importante il diario di bordo
delle lezioni, opportunamente commentato dal Docente stesso e da tutto il gruppo di ricerca, che
chiamiamo usualmente “protocollo” delle lezioni o protocollo di processo, tratto dalla sbobinatura
integrale delle videoregistrazioni delle lezioni. Abbiamo verificato anche come una analisi completa
dello stesso richieda l’utilizzo di tanti punti di vista differenti e l’attivazione di molti registri di
lettura diversi; solo in tal modo si riesce a rendere la complessità dei processi che si attivano
all’interno delle classi durante attività matematiche.
Nella presentazione verranno presentate diverse chiavi di lettura di protocollo che come gruppo
ci siamo dati e saranno discusse alcune da noi concepite per studiare la partecipazione del gruppo
classe alla discussione, ancora in fase di validazione. L’insieme appare inquadrarsi
progressivamente in un nuovo modello teorico di analisi.
Durante le nostre discussioni di bilancio abbiamo verificato anche come queste diverse lenti di
osservazione critica permettano di inquadrare in modo “costruttivo” il problema della valutazione
del singolo studente, nel suo intrecciarsi con quella del gruppo classe e del Docente.
Il lavoro svolto ha già avuto riscontri significativi, oltre che sulla prassi quotidiana dei Docenti
del nostro gruppo, sui processi di formazione e tirocinio di diversi allievi della locale SSIS.
Bibliografia
Jaworski, B.:1998, Mathematics Teacher Research: Process, Practice and the Development of Teaching,
Journal of Mathematics Teacher Education, n.1, 3-31
Malara, N.A.: 2005, Leading in-service teachers to approach early algebra, conferenza su invito al Congr.
Intern. ‘Mathematics education: paths and crossroads, Lisbona luglio 2005,
Malara, N.A., Incerti, V., Fiorini, R., Nasi, R.: 2004, Percorsi di insegnamento in chiave pre-algebrica:
rappresentazione di problemi e di processi, segni simboli e negoziazione dei loro significati, Pitagora,
Bologna
Malara, N.A., Navarra, G.: 2003, Progetto ArAl: Quadro teorico di riferimento e glossario, Pitagora,
Bologna
Mason, J., Spence, M.: 1999, Beyond mere Knowdlege of Mathematics: the Importance of Knowing-to Act
in the Moment, Educational Studies in Mathematics, 38, 135-16
UN ESEMPIO DI ANALISI CONGIUNTA DI UNA COMPLESSA
DISCUSSIONE DI CLASSE
Nicolina Malara e Sandra Marchi
GREM , Dipartimento di Matematica, Università di Modena & Reggio E.
La presentazione verterà sull’analisi di una complessa discussione relativa alla esplorazione di
una situazione coinvolgente due quantità variabili e finalizzata all’individuazione delle
relazioni, diretta ed inversa, soggiacenti e alla loro modellizzazione algebrica. La discussione
si è articolata in quattro passi fondamentali:
1) posizione del problema: dalla intuizione della relazione alle sue rappresentazioni sagittale e
cartesiana con l’introduzione delle lettere per indicare le variabili;
2) introduzione dello strumento tabella: dall’ampliamento del problema alla intuizione della
legge in termini generali;
3) Il ricorso a Brioshi: dalla catena di uguaglianze aritmetiche alla codifica algebrica della
legge e della sua inversa;
4) Il coordinamento delle rappresentazioni: dalle leggi algebriche di codifica delle relazioni
diretta ed inversa alla loro interpretazione geometrica e l’emergere del conflitto tra i
significati delle lettere x ed y nelle due rappresentazioni.
I punti nodali della analisi attorno ai quali si è sviluppata la riflessione congiunta sono stati: 1) la
difficoltà dei ragazzi di esplicitare verbalmente la relazione nella prima fase; 2) come l’introduzione
dello strumento tabella nella seconda fase non abbia risolto di per sé la difficoltà della
modellizzazione algebrica; 3) la produttività del ricorso a Brioshi nella terza fase e la complessità
del lavoro affrontato dagli allievi circa il coordinamento di varie rappresentazioni (sagittale,
insiemistica, tabulare e grafica); 4) i problematici effetti della scelta iniziale dell’insegnante di
riferirsi alle lettere x ed y nell’indicare le due variabili che portano al conflitto tra le appresentazioni
algebrica e cartesiana per la necessità dello scambio tra x ed y nella rappresentazione algebrica
dell’inversa in riferimento al sistema O(x,y).
Nella presentazione si evidenzieranno gli aspetti produttivi della analisi svolta riguardanti i
reciproci ripensamenti e le consapevolezze raggiunte dai due partner. Ci si soffermerà inoltre sulle
potenzialità educative del processo attuato in riferimento ai percorsi di tirocinio dei futuri
insegnanti.
Bibliografia
Jaworski, B.:1998, Mathematics Teacher Research: Process, Practice and the Development of Teaching,
Journal of Mathematics Teacher Education, n.1, 3-31
Malara, N.A.: 2005, Leading in-service teachers to approach early algebra, conferenza su invito al Congr.
Intern. ‘Mathematics education: paths and crossroads, Lisbona luglio 2005,
Malara, N.A., Incerti, V., Fiorini, R., Nasi, R.: 2004, Percorsi di insegnamento in chiave pre-algebrica:
rappresentazione di problemi e di processi, segni simboli e negoziazione dei loro significati, Pitagora,
Bologna
Malara, N.A., Navarra, G.: 2003, Progetto ArAl: Quadro teorico di riferimento e glossario, Pitagora,
Bologna
Mason, J., Spence, M.: 1999, Beyond mere Knowdlege of Mathematics: the Importance of Knowing-to Act
in the Moment, Educational Studies in Mathematics, 38, 135-16
LO SVILUPPO DEL PENSIERO PROPORZIONALE: ASPETTI DI UN PERCORSO DIDATTICO
TRIENNALE E STRATEGIE ATTUATE DAGLI ALLIEVI
Roberta Fantini, Loredana Gherpelli, Nicolina A. Malara
GREM – Dipartimento di Matematica, Università di Modena & Reggio E.
Lo studio riguarda i risultati di sperimentazioni da noi realizzate nell’ambito di un piano triennale
da noi progettato per la scuola media e finalizzato allo sviluppo del ragionamento proporzionale.
Esso si inquadra nel filone di studi, sviluppatosi a partire dalla seconda metà degli anni ’90, di tipo
qualitativo su percorsi di insegnamento-apprendimento di tipo costruttivo sulla proporzionalità in
cui viene data attenzione ai processi spontanei di pensiero che gli allievi attuano in relazione a
situazioni anche complesse (Ben Chaim et al.1998, Pesci 1998, 1999, De Bock et al. 2001, Christou
& Philippou 2002, Hino 2002, Nabors 2002 Malara & Ponzi 2003).
Il piano progettato si basa sull’ipotesi che la conquista del pensiero proporzionale sia un processo
lento che vada attuato attraverso attività sistematiche, articolate nell’intero arco della scuola
secondaria di primo grado, che diano la possibilità ai ragazzi di confrontarsi e vagliare criticamente
i loro pensieri e diano spazio alla riflessione su quanto via via attuato. Questo permette loro di
maturare nel tempo un atteggiamento mentale idoneo al riconoscimento di situazioni di
proporzionalità tra casi diversi e alla corretta gestione di situazioni anche non standard.
Gli obiettivi del lavoro sono stati quelli di: a) analizzare modelli intuitivi di ragionamento
proporzionale evidenziando ostacoli e concezioni errate, b) permettere la conquista da parte degli
allievi, attraverso la discussione, del significato della relazione di proporzionalità ed il
riconoscimento di costrutti linguistici che la rappresentano, c) analizzare ragionamenti/prestazioni
degli allievi posti di fronte a situazioni di proporzionalità complesse e/o con elementi di distrazione;
d) verificare la capacità degli allievi di distinguere relazioni di proporzionalità da altre date.
Nella presentazione, dopo aver tracciato brevemente i caratteri del percorso, si discuteranno
le prestazioni degli allievi relativamente ad alcune situazioni proposte in diverse fasi di esso. Si
concluderà con alcune riflessioni circa gli atteggiamenti rilevati negli allievi, sulla produttività
del percorso, su suoi possibili affinamenti ed espansioni e sulla possibilità di anticipazioni alla
scuola elementare.
Riferimenti bibliografici
Ben Chaim, D., Fey, J., Fritzgerald, W., Benedetto, C., Miller, J.: 1998, Proportional Reasoning among 7th grade
students with different curricular experience, Educational Studies in Mathematics, 36, 247-273
Clark,F.B., Kamii, C.: 1996, Identification of multiplicative thinking in children in grades 1-5, Journal for Research in
Mathematics Education, vol. 27, 41-51
De Bock, D., Van Dooren, W., Vesschaffel, L., Janssens D.: 2001, Secondary School Pupils’ improper proportional
reasoning: an in-depth study of the nature and persistence of pupils errors, proc. PME 25, vol. 2, 313-320
Hino, K.: 2002, Change in pupils’ approach to proportion problems through classroom teaching: from the
viewpoint of mediation by symbols, proc. PME 26, vol.3, 97-104
Nabors, W., 2002, On the path to proportional reasoning, proc. PME 26, vol. 3, 385-393
Pesci, A., 1998, Discussion as an opportunity for proportional reasoning, proc. PME 22, vol. 3, 343
Malara, N.A, Ponzi, S. 2003, Intuitive reasoning of pupils facing proportionality, in Rogers, L. & Novotna, J. (a
cura di), Theory, Principles and Research, Pitagora, Bologna, 105-126, in versione italiana su l’Insegnamento
della Matematica e delle Scienze Integrate, vol 28A n. 3, 245-269
Modellizzazione di problemi e questioni algebrico-geometriche correlate: aspetti problematici e
individuazione di difficoltà nei comportamenti di studenti della scuola secondaria superiore sul
piano del coordinamento di registri rappresentativi e delle relative interpretazioni.
Rosa Iaderosa
GREM – Dipartimento di Matematica, Università di Modena
Lo studio in oggetto è collegato alle ricerche didattiche sulla costruzione graduale del concetto
di funzione, e in particolare del suo grafico cartesiano. Tali ricerche, da noi intraprese nel
corso di diversi anni scolastici nella scuola media inferiore, sono state in gran parte presentate
In Iaderosa (2003).
L’approccio alle difficoltà didattiche in questo ambito viene nuovamente analizzato nelle esperienze
compiute in classi del biennio della scuola media superiore. Qui emerge nuovamente, nonostante la
maggiore maturità degli allievi, e l’introduzione e la precisazione graduale del quadro teorico
soggiacente alle rappresentazioni algebriche e quelle grafiche, la difficoltà reale di coordinare
autonomamente tali rappresentazioni nei due ambiti. Si tratta di mettere in gioco non soltanto le
conoscenze legate all’acquisizione di certi processi e di certe tecniche, ma anche e soprattutto le
competenze più ampie che consentono di padroneggiare l’interpretazione degli stessi oggetti
matematici nella forma algebrica e nella forma grafica. Proprio perché è nostra profonda
convinzione che nell’insegnamento preuniversitario sia da ricercare il più possibile la
contestualizzazione dei concetti matematici da insegnare in una situazione problematica, l’ambito
dei problemi di modellizzazione lineare ci è apparso particolarmente fecondo di situazioni
didattiche in cui affrontare le problematiche relative alla interpretazione del grafico di funzioni.
Essi richiedono poi un ritorno di interpretazioni, operate nei due ambiti (algebrico e grafico), nel
contesto del problema iniziale, e questo continuo ritorno da un quadro interpretativo all’altro
arricchisce indubbiamente l’attività culturale proposta alle classi.
Nel corso della presentazione si analizzeranno, nell’ambito della rappresentazione e della
risoluzione di problemi di questo tipo, i punti nodali che rimettono di nuovo in discussione le
conoscenze degli studenti riguardo alla scrittura di equazioni a partire da un problema, alla loro
interpretazione dal punto di vista funzionale, al loro studio e ai risvolti interpretativi in chiave
grafico-cartesiana.
Ci sembra che questo tipo di analisi attenta e puntuale possa risultare utile anche al fine di fornire
nuovi strumenti valutativi nella scuola superiore, visto che le verifiche dei concetti e delle abilità
richieste sull’apprendimento delle funzioni, eseguite in maniera frammentaria e decontestualizzata,
certamente non possono fornire un quadro esauriente ed attendibile del percorso formativo degli
studenti in questo ambito.
Bibliografia
Iaderosa, R.: 2003, Grafici e funzioni. Aspetti algebrici, geometrici e di modellizzazione del reale,
Pitagora, Bologna
YERUSALMY, M., STHERNBERG, G., GILEAD, S.: 1999, VISUALIZATION AS A VEHICLE FOR
MEANINGFUL PROBLEM SOLVING IN ALGEBRA, PROC. PME 23, VOL 1, 197-211
Sulle concezioni della matematica in allievi
di prossima uscita da indirizzi diversi del liceo scientifico
Cusi Annalisa, Nicolina Malara
GREM – Dipartimento di Matematica, Università di Modena & Reggio E.
Si espongono i risultati di uno studio rivolto al problema della immagine negativa della matematica
diffusa nella società e di riflesso nella scuola. Lo studio fa riferimento ad una serie di ricerche
rivolte alle concezioni di insegnanti e studenti circa la matematica ed in particolare circa la
costituzione di sistemi di convinzioni/credenze che determinano l’atteggiamento verso la
matematica (Nimier 1977, Schoenfeld 1989, Mac Leod 1002, Rodd 1993, Zan 2000, Leder Al.
2002).
Su questa base teorica si formula l’ipotesi che ciò di cui un insegnante deve preoccuparsi,
soprattutto se attribuisce al proprio insegnamento un ruolo educativo e non solo istruttivo, è di
partire dalle concezioni ed emozioni degli studenti verso la matematica per capirne gli
atteggiamenti e nel caso di atteggiamento negativo di porsi il compito di indagare circa le ragioni di
questo per poter progettare un adeguato recupero.
IN QUESTO QUADRO, ATTRAVERSO UN QUESTIONARIO ANONIMO CON DIECI DOMANDE A RISPOSTA
APERTA, SI È REALIZZATA UNA INDAGINE SULLE CONCEZIONI DI STUDENTI DEGLI ULTIMI ANNI DI DUE
CLASSI DI LICEO SCIENTIFICO DI INDIRIZZO DIVERSO FINALIZZATA A METTERE IN LUCE: A) LE LORO
CONCEZIONI CIRCA LA MATEMATICA E IL SUO RAPPORTO CON LE ALTRE SCIENZE, B) I LORO
SENTIMENTI VERSO LA DISCIPLINA E IL SUO APPRENDIMENTO, C) I CARATTERI DEL SUO
INSEGNAMENTO ED IL RUOLO DELL’INSEGNANTE.
NELLA PRESENTAZIONE SI ESPORRANNO I PRNCIPALI RISULTATI - CHE EVIDENZIANO UNA DIFFUSA
RIDUTTIVA IMMAGINE DELLA MATEMATICA, VISTA COME DISCIPLINA ASTRATTA, RIGOROSA, IL CUI
APPRENDIMENTO È SPESSO GIOCO FINE A SE STESSO - E SI RIFLETTERÀ SU UNA PREOCCUPANTE
PROIEZIONE DEI DATI RIGUARDANTE IL MODO IN CUI NEL SOCIALE SI GUARDA AL LICEO SCIENTIFICO, E
LA RICADUTA DI QUESTO CIRCA L’EDUCAZIONE SCIENTIFICA DEL PROSSIMO FUTURO.
RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI
Leder, G., Pehkonen. E, Torner, G.: 2002, Beliefs: a Hidden Variable in Mathematics Education,
Kluver Academic Publishers
Mac Leod, D.B.: 1992, Resarch on Affect in Mathematics Education: a reconceptualization, in in
Grows, D. (a cura di) Handbook of Research on Mathematics Learning and Teaching,
MacMillan, New York,575-597
Nimier. J.: 1977, Mathématiqes et affectivité, Educational Studies in Mathematics, vol. 8, 241-250
Rodd, M: 1993, ‘Students’ views on the nature of mathematics, Mathematics Teacher, n. 143, 8-10
Shoenfeld, A.H.: 1989, Explorations of Students’mathematical beliefs and behaviour, Journal for
Research in Mathematics Education, vol. 20, n. 4, 338-355
Siety, A.: 2003, Matematica, mio terrore, Salani, Milano
ZAN, R.: 2000, A) LE CONVINZIONI; B) EMOZIONI E DIFFICOLTÀ IN MATEMATICA I E II PARTE C)
ATTEGGIAMENTI E DIFFICOLTÀ IN MATEMATICA, L’INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA E DELLE
SCIENZE INTEGRATE, VOL 23A, A) N.2 161-183; B) I PARTE N.3, 207-232, II PARTE N. 4, 328-345; C)
N.5, 442-465
LA
COSTRUZIONE DI SIGNIFICATI E DI CONCETTI IN EARLY ALGEBRA DA PARTE DI ALLIEVI DI
SCUOLA ELEMENTARE E MEDIA: ANALISI DI DUE CASI
Nicolina Malara, Giancarlo Navarra
GREM - Università di Modena & Reggio E.
1. Costruzione del significato della proprietà distributiva (scuola primaria)
La conquista del significato della proprietà distributiva rappresenta il risultato di un processo che dall’esplorazione di situazioni problematiche concrete alle riflessioni sull’oggetto matematicorichiede tempi lunghi e conoscenza delle modalità attraverso le quali gli alunni possono realizzarla.
Ciò comporta l’impegno sia sul versante della ricerca che su quello della formazione dei docenti.
Nell’affrontare le prime situazioni problematiche aventi lo scopo di far emergere le due
rappresentazioni (a+b)×c e (a×c)+(b×c) l’aspetto percettivo sembra essere dominante per il formarsi
dei modelli mentali soggiacenti le rappresentazioni matematiche della proprietà. L’obiettivo di
questa prima fase è quindi quello di educare la percezione degli alunni, nel senso di renderli
consapevoli che esistono modi diversi di percepire una situazione, e che fra questi alcuni possono
essere più produttivi dal punto di vista matematico. Ciò favorisce una prima concettualizzazione del
fatto che le due rappresentazioni così diverse sono riconducibili al medesimo oggetto, e sono quindi
fra loro equivalenti.
In una fase successiva l’iniziale legame semantico forte con il contesto diminuisce
progressivamente, attraverso delle attività molto varie che conducono gli alunni all’elaborazione
della consapevolezza di una validità generale delle rappresentazioni della proprietà indipendente
dagli specifici valori numerici. Il confronto e la discussione collettiva sulle rappresentazioni
formulate dagli alunni (in linguaggio matematico, naturale, iconico) giocano un ruolo determinante
in questo senso; favoriscono infatti il distacco dalle situazioni problematiche e il loro
inquadramento in un unico schema indipendente dai valori numerici dei tre dati coinvolti, dalla
tipologia dei dati stessi e dalla strategia di conteggio adottata. Favoriscono, in altre parole, il
passaggio alla generalizzazione.
2. Costruzione del concetto di funzione (scuola secondaria di primo grado)
La presentazione riguarda un percorso didattico di tipo costruttivo da noi concepito per la
scuola dell’obbligo per l’approccio al concetto di funzione.
Obiettivo del percorso è inquadrare le funzioni nel più ampio quadro delle relazioni binarie
facendole nascere dall’osservazione di situazioni reali e di avviarne lo studio coordinando
simultaneamente i vari registri rappresentativi: verbale, tabulare, algebrico e grafico. Un
altro importante obiettivo riguarda le funzioni biunivoce e punta ad una visione paritetica
della coppia funzione-funzione inversa, superando anche problemi relativi al loro
rappresentazione grafica simultanea.
Durante la presentazione saranno presentate alcune schede chiave e analizzati stralci di discussioni
di classe che evidenziano produttive concettualizzazioni degli allievi sul versante della codifica
simbolica e una buona flessibilità nell’operare simultaneamente con la coppia funzione - funzione
inversa.
Riferimenti bibliografici
Malara, N.A., Navarra G.: 2005, Approaching the distributive law with young pupils, proc. CERME 4 (Saint Feliu de
Guixol, E, February 2005), in stampa in versione elettronica
AAVV: Progetto ArAl - U9: Verso le funzioni, in stampa
NUOVE TECNOLOGIE, INTERNET, E-LEARNING NELLA FORMAZIONE INSEGNANTI: LE UNITÀ DI
APPRENDIMENTO IN RETE (UAR) NEL PROGETTO ARAL; LORO STRUTTURAZIONE, FINALITÀ E
MODALITÀ DI ATTUAZIONE
Nicolina Malara, Nicola Miolo, Giancarlo Navarra
GREM Dipartimento di Matematica, Università di Modena
L’integrazione tra insegnamento/apprendimento in aula e insegnamento/apprendimento tramite risorse
disponibili in formato digitale (in rete o non) rappresenta oggi uno dei temi centrali nel mondo
dell’educazione. Da un lato, infatti, la scuola non può rinunciare al suo ruolo di luogo di socializzazione
attraverso attività didattiche basate sulla mediazione interpersonale, dall’altro non può non tener conto delle
implicazioni introdotte dalle innovazioni tecnologiche, se non altro perché gli stessi alunni, nel tempo non
scolastico, sperimentano quotidianamente la tecnologia nelle sue diverse realizzazioni (telefoni cellulari,
videogiochi, film, computer, …). In termini generali, le relazioni fra il mondo dell’informatica e quello
dell’educazione compongono oggi un quadro molto complesso da definire, sviluppatosi attraverso decenni di
ipotesi teoriche, ricerche, realizzazioni concrete. Esso rappresenta quindi anche per il Progetto ArAl una
sfida di frontiera in cui ci si misura con linee di tendenza e prospettive culturali del tutto aperte.
Il progetto ArAl è un progetto di innovazione didattica in matematica con alunni dai 5 ai 15 anni
nell’ambito dell’aritmetica e dell’algebra nella prospettiva del modello didattico socio-costruttivista. In tale
contesto, se l’alunno rappresenta il suo referente naturale, è l’insegnante l’elemento centrale attorno al quale
ruota il rinnovamento. Il problema quindi è rappresentato dalla necessità di formare l’insegnante in quanto
figura nodale del processo, impostando dei percorsi formativi che lo pongano nella condizione di riflettere
criticamente – anche in modo conflittuale – sulla sua personale epistemologia nel campo dell’educazione
matematica, affinando quelle che Mason chiama consapevolezza nell’azione, nella disciplina, nel progetto
educativo.
È naturale che l’insegnante, nel corso di tale processo formativo, usufruisca dei canali tradizionali
attraverso i quali si veicola la cultura: il contatto diretto con i docenti, pratiche laboratoriali ‘concrete’,
attività sperimentali nelle classi, letture di materiali su supporto convenzionale cartaceo, scambi de visu con
colleghi e ricercatori. Allo stesso tempo, però, formandi e formatori sono immersi –volenti o nolenti – nelle
complesse dinamiche attivate dallo sviluppo delle nuove tecnologie, ed è anche con questi nuovi canali che
essi devono misurarsi. È in tale contesto che si inseriscono il filone di ricerca nel progetto ArAl in relazione
all’universo noto come ICT (Information Communication Technology) e, in particolare, le iniziative
concernenti l’e-learning e la formazione (non necessariamente a distanza); in particolare, le UAR presenti nel
sito www.aralweb.it.
Il quadro teorico in cui si collocano le UAR è ancora quello dell’apprendimento socio-costruttivista. La
loro struttura si ispira al modello del Webquest, così come viene definito dagli autori B. Dodge e T. March.
Le UAR comprendono attualmente i Diari; è allo studio un nuovo filone, costituito da “Dialoghi e
Discussioni”. L’obiettivo di una UAR, nel processo di formazione dei docenti, è di favorire - attraverso un
percorso strutturato attorno a delle scene di classe (diari, dialoghi & discussioni) opportunamente strutturate
e intervallate da questioni per i docenti e da link con supporti presenti nel sito - una visione unitaria delle
relazioni fra la teoria e le pratiche, conducendo i docenti ad una rilettura profonda di convinzioni, modelli
culturali, stereotipi (come si è detto, della loro personale epistemologia).
La sperimentazione delle UAR con i docenti sta aprendo nel progetto un ampio fronte di domande
riconducibile ad una questione di fondo: come cambiano i processi formativi e le dinamiche
dell’apprendimento attraverso l’introduzione di uno strumento come la UAR dalle forti caratteristiche
ipertestuali? Soprattutto quando docenti e discenti sono – com’è inevitabile che continui ad essere per un
tempo medio-lungo – abituati a strategie di apprendimento, forme di comunicazione e modalità di
circolazione dell’informazione di natura prevalentemente extra-informatica? Spunti di riflessione molto
promettenti provengono dalle esperienze in atto con docenti partecipanti al progetto costruite
sull’integrazione fra le UAR
Difficoltà ed insuccesso nell'apprendimento/insegnamento della
matematica motivate da caratteristiche intrinseche alla matematica in
quanto disciplina - Il ruolo dell’Epistemologia
Unità locale di ricerca in Didattica della Matematica - Università di Parma
Grugnetti, L. & Maffini, A. & Marchini, C. & Rizza, A. & Zeroallazero.
Le ricerche. Si illustrano ricerche su Limite e Finito, Il quadro teorico è ispirato alla Storia della
Matematica e, per quanto riguarda gli aspetti didattici, a difficoltà ed ostacoli di varia natura, cfr.
Andriani et al., 2005.
Limite. Linee guida unificatrici delle ricerche sul limite sono:
Verticalità delle azioni. Per la complessità intrinseca, il concetto di limite deve essere preparato
lungamente con attività e problemi per dare corpo al concetto, ciò che non avviene con introduzione
intuitiva e definizione nei soli ultimi anni di scuola. Inoltre devono essere recuperate intuizioni degli
studenti, non sfruttate, ben prima che si parli di limiti.
Approssimazione. La parola approssimazione causa un atteggiamento quasi negativo, dato il
privilegio del risultato esatto nell’insegnamento. Così si oscura, ad esempio, il ruolo
dell’approssimazione nelle presentazioni dei numeri reali e nelle applicazioni.
Importanza dell’affrontare le difficoltà intrinseche dei concetti matematici. Si offrono indicazioni
fruibili didatticamente per affrontare esplicitamente in classe tali difficoltà, perché si ritengono
causa di ostacoli epistemologici e cognitivi, e proprio per questo occasione di innesco di nuove
conoscenze.
Le ricerche del Gruppo Zeroallazero, (cui partecipano ricercatori, studenti, insegnanti-ricercatori,
specializzandi e specializzati (SSIS)) capitanato da Lucia Grugnetti, si sono concretizzate in
Andriani et al., 2005. L’ampiezza dello spazio a disposizione ha permesso di presentare in modo
più esauriente anche materiale già apparso, mettendo meglio a fuoco vari aspetti ritenuti importanti.
L’argomento principale è il limite, assieme alla sua coorte: infinito, continuità, numeri reali,
linguaggio, scritture simboliche, ecc. Nel testo, aspetti teorici introdotti dal punto di vista
matematico e storico (prima parte), sono accompagnati (seconda parte) da proposte di attività e di
situazioni problema finalizzate a diagnosi e costruzione del concetto di limite (e concetti connessi),
in un percorso verticale, dalle materne, all’università. Per pubblicazioni in corso o in elaborazione:
cfr. Bibliografia
Progetti sul concetto di limite. Sono in realizzazione i progetti Menone e Zenone; altri, come
ad esempio, Spacca e Scappa, sono in elaborazione. Gli obiettivi di tali progetti riguardano:
Rilevazione di preconcezioni e competenze; Diagnosi di eventuali difficoltà; Costruzione di
concetti rilevanti.
Progetto Menone. Il progetto prende spunto dal Menone, dialogo di Platone. I nuclei concettuali
presenti sono: scoperta dell’irrazionalità (mediante l’approssimazione), ruolo dell’infinito, ruolo
della verifica e della dimostrazione.
Classi coinvolte (finora) V Primaria; II e III Secondaria di Primo Grado. Nella Scuola Primaria si
utilizzano le due seguenti formulazioni, per controllare se il non dare per scontata l’esistenza della
soluzione (formulazione B) può suggerire un diverso approccio al problema:
Formulazione A. Avete un quadrato bianco e 4 coppie di quadrati colorati. I quadrati sono tutti
uguali tra loro. Dovete costruire un quadrato che abbia area doppia di quello bianco. Per fare ciò
usate tutto il cartoncino di una delle coppie di quadrati colorati, che dovete ritagliare ed incollare
opportunamente sui fogli bianchi. Se non riuscite, riprovate con un’altra coppia di quadrati colorati.
Formulazione B. Avete un quadrato bianco e 4 coppie di quadrati colorati. I quadrati sono tutti
uguali tra loro. Utilizzando 2 quadrati dello stesso colore, riuscireste a costruire (ritagliando ed
incollando sui fogli bianchi i vari pezzi in modo opportuno) un quadrato di area doppia rispetto a
quella del quadrato bianco? Se ritenete di poterlo fare, ma di aver sbagliato strada, riprovate
utilizzando un’altra coppia di quadrati, sempre dello stesso colore.
Finora non sono rilevate differenze significative, forse a causa della prassi didattica che tende a
fornire problemi in cui la soluzione esiste sempre ed è (generalmente) unica.
La consegna consente di utilizzare colla, forbici e righello non graduato proibendo quello graduato,
ma l’uso diffuso di quest’ultimo evidenzia una tendenza ad identificare il segmento (lato) con la sua
misura, segnalando così maggiore dimestichezza con gli enti aritmetici e il conseguente tentativo di
riportare ad essi gli enti geometrici.
Nelle attività emergono ipotesi di accettabilità dei risultati. Tali ipotesi sono viste in termini
semantici come condizioni di approssimazione legate a problemi specifici. La percezione è che il
rapporto (come operazione matematica legata alla misura) evidenzia la differenza concettuale tra
misura fisica (condizione di determinazione) e misura matematica (condizione di esistenza).
Nella Scuola Secondaria di 1o Grado, si presenta il problema di Socrate utilizzando il testo
platonico come canovaccio noto solo all’insegnante (che “interpreta” Socrate) e non agli alunni. Si
osserva se gli alunni ricalcano lo stesso o un percorso analogo a quello seguito dal servo di Menone,
come verificato finora, nelle classi in cui è stato presentato.
Per gli alunni l’esistenza della lunghezza è condizione per l’esistenza della misura del segmento e
come condizione “fiduciale” sull’esistenza di un opportuno insieme numerico in cui “trovare” la
misura del segmento. È quindi una sorta di “bisogno” (il fatto che la relazione che associa un
opportuno numero (misura) ad un segmento sia una funzione), lo stesso che si riscontra nelle
condizioni di ampliamento degli insiemi numerici (e che fa diventare ovunque definite relazioni
solo funzionali). La sensibilità degli studenti ha colto i punti critici del dialogo
• «Se preferisci non fare calcoli, allora mostra »(cfr. Platone, 1991)
• «La comparsa dell’irrazionale nell’universo del logos» (cfr. Toth, 1998).
Dopo attività con la calcolatrice, la dimostrazione della non razionalità di √2, viene percepita dagli
studenti come condizione di economicità e come un modo per ottenere (al finito) certezze. Essi
hanno avvertito la necessità dell’ampliamento ai reali. Tali punti critici offrono l’innesco per
analizzare le concezioni su infinito e limite, e loro hanno reagito positivamente alla “provocazione”.
Progetto Zenone. Gli obiettivi di tale attività: Serie; Tempo; Spazio; Infinito; Uso dei Paradossi,
ecc. Classi coinvolte (finora): I e III Secondaria di Primo Grado. Due tipologie di problemi
(entrambi su progressioni geometriche di ragione ½): Achille e la Tartaruga (AT) e Acquisto (del
modello) di una Ferrari (F).
La differenza fondamentale tra
le due attività è la necessità di
trovare, se esiste, il punto in cui
termina l’inseguimento di Achille, oppure il procedimento necessario
per giungere ad un valore prefissato. Il problema AT è totalmente dinamico mentre il problema F ha
un arrivo statico e la modalità di sviluppo dinamico. Nel problema F si può focalizzare l’attenzione
sul montante (serie) oppure sulla differenza tra costo e risparmio (successione infinitesima).
In sintesi le risposte ottenute in questa attività (appena iniziata), mostrano: più attenzione al
processo che al risultato, uso dell’infinito, presenza di preconcezioni sul limite, presa in carico del
paradosso; conflitto tra intuizione e strumenti matematici ed infine presenza e ruolo di difficoltà
concettuali e fisiche.
Epistemologia in laboratorio. Si è organizzato un Laboratorio per l’eccellenza in due Licei di
Parma (15 Scientifico + 8 Socio-Psico-Pedagogico) con incontri pomeridiani su base volontaria, cui
partecipano studenti dalla 2a alla 5a, non tutti motivati verso la Matematica (scolastica), attività
“scatenata” dalla domanda: Cosa intendi per finito?
Obiettivi di ricerca:
•
Analizzare le dinamiche di un gruppo “in ricerca” su temi epistemologici “forti”, rilevando
preconcezioni e ostacoli, verificando anche se e come essi siano occasione di apprendimento.
•
Studiare l’influenza della diversa preparazione scolastica sui risultati e verificare se e come la
presentazione di temi complessi possa migliorare l’immagine della Matematica ed il rendimento
nella disciplina.
•
Osservare gli insegnanti che partecipano, diversi dagli insegnanti ricercatori (Maffini e Rizza e
Speroni come osservatore) di fronte a temi matematici non scolastici.
Obiettivi formativi:
• Educare allo spirito critico.
• Fornire l’occasione per riflettere sul ruolo di teorie matematiche, definizioni, teoremi.
• Familiarizzare gli studenti con l’ambiente universitario.
Primi risultati:
• Frequentazione di manuali e di testi, anche universitari, per evidenziare come il “finito” sia un
tema assai poco presente, e, quand’anche, solo come negazione di infinito.
• L’attività di Laboratorio ha perso presto il connotato di un’attività scolastica, generando
un’attenzione critica verso la conoscenza (in ambito matematico: natura ed esistenza degli
oggetti).
• Esigenza dei partecipanti di ‘interagire’ con la scuola mediante la produzione di un
questionario.
Primi risultati metacognitivi:
• Modifica dell’atteggiamento: consapevolezza della libertà di scelta e proposta di
assiomatizzazioni condivise nel gruppo.
• Individuazione di ambiti teorici per la gestione dei concetti matematici, come “luoghi” in cui
“fare le cose”.
• Analisi critica delle definizioni valutando il tipo di conoscenze che presuppongono.
• Immagine della Matematica “non assolutista” e quindi tendenzialmente diversa da quella
scolastica.
Primi risultati matematici:
• Individuazione del contesto insiemistico come necessario per la formulazione della definizione
richiesta.
• Percezione dell’esigenza di un impianto assiomatico e della strutturazione della conoscenza
matematica nella relazione tra termini primitivi e assiomi.
• Ruolo dei numeri naturali, concetto di funzione, assiomi (e in particolare assioma di infinito) di
ZF.
Bibliografia essenziale
Andriani, M.F. & Dallanoce, S. & Falcade, R. & Foglia, S. & Gregori, S., & Grugnetti, L., & Maffini, A., &
Marchini, C. & Rizza, A. & Vannucci, V., 2005, Oltre ogni limite – Percorsi didattici per insegnanti
spericolati, Pitagora Editrice, Bologna.
Grugnetti, L. & Rizza, A. & Marchini, C.: ‘A lengthy process for the establishment of the concept of limit
starting from pupils’ pre-conceptions’ In elaborazione
Grugnetti, L. & Maffini, A. & Marchini, C. & Zeroallazero, ‘Activités didactiques à caractère vertical pour la
construction du concept de limite’, in stampa su Annales de Didactique et de Sciences Cognitives Strasbourg.
Grugnetti, L. & Maffini, A. & Marchini, C., ‘Filosofia prima della filosofia: sulle tracce di Platone per
introdurre l’approssimazione’. In elaborazione.
Platone, 1991, Tutti gli scritti, Reale, V. (a cura di) Rusconi, Milano.
Toth, I.: 1998, Lo schiavo di Menone, Vita e Pensiero
Problem solving e RMT
Unità locale di ricerca in Didattica della Matematica - Università di Parma
Grugnetti, L & Marchini, C. & Medici, D. & Rinaldi, M.G.
Problem solving e sue contestualizzazioni. Il problem solving assume identità differenti in
rapporto a teorie didattiche di riferimento o ad epoche diverse [5, 6]. Nel socio-costruttivismo i
problemi divengono situazione problema, cioè tali da permettere l’utilizzazione delle conoscenze
presenti e la costruzione di nuove conoscenze indispensabili per superare gli ostacoli, e tutto ciò con
l’uso delle proprie idee in un ambiente di lavoro autonomo. (ad es. [2]).
Studi sul problem solving si focalizzano su soggetto in apprendimento e contenuto matematico; altri
[12] pongono attenzione agli aspetti metacognitivi: la difficoltà nel risolvere i problemi potrebbe
essere causa di disaffezione per la Matematica. Per mitigare i pericoli di rinuncia, nel sociocostruttivismo si può proporre il gruppo come spazio di negoziazione delle strategie risolutive e dei
concetti, per favorire l’apprendimento come adattamento.
Il Rally Matematico Transalpino (RMT). E’ una gara matematica cui partecipano intere classi;
ciascuna deve risolvere 5-7 situazioni problema; per ognuna di esse la classe deve fornire una (sola)
risposta, spiegando il metodo usato per risolverla. Nei 50 minuti concessi è improbabile che ci sia
un solo solutore, sicché la scolaresca deve organizzarsi in gruppi per raggiungere l’obiettivo.
Durante la prova si attua una devoluzione: l’insegnante di classe non è presente e la responsabilità è
solo della classe.
Il primo Rally fu proposto nel 1992 in Svizzera da Math-Ecole come gara matematica tra 3e, 4e e 5e
elementari. Nel 2005 sono risultate coinvolte 2200 classi, dalla 3a elementare alla 2a superiore (8-15
anni), in Svizzera Romanda, Canton Ticino, Italia, Francia, Israele, Lussemburgo, Belgio ed in via
sperimentale alcune classi negli Stati Uniti. In Italia partecipano al RMT scuole distribuite in varie
zone. Sono attivi nel RMT membri delle Unità locali di Ricerca in Didattica della Matematica di
Cagliari, Modena, Parma e Siena.
‘Sintomi’ del successo internazionale del RMT sono le adesioni di nuove classi e paesi, e l’invito
ufficiale a partecipare all’ ICMI 16.
La competizione è il fenotipo del progetto RMT. Il genotipo è il problem-solving inserito in un
contesto di ricerca.
Il RMT propone situazioni problema che devono soddisfare i seguenti criteri di qualità [6]:
- Testo chiaro e privo di ambiguità, con stile e linguaggio accessibili agli allievi; il problema deve
differire dagli esercizi scolastici stereotipati. Queste esigenze vengono in parte soddisfatte dal
confronto-scontro con le diverse tradizioni scolastiche degli stati partecipanti, nonché con i
problemi di traduzione dei testi (per ora) in Francese, Italiano, Tedesco, Ebraico e Inglese.
- Dal punto di vista matematico: esistenza di una o più soluzioni e conoscenza richiesta alla
portata degli allievi.
- Dal punto di vista didattico: la situazione problema deve permettere che ogni classe dia risposte,
anche solo parziali, con vari strumenti di rappresentazione. Pertanto il RMT diventa una sorta di
sfida adatta a sistemi scolastici diversi. Il RMT offre l’opportunità di analizzare nel dettaglio i
risultati delle situazioni problema e di mettere in evidenza le rappresentazioni e le difficoltà del
processo di problem solving. Le stesse situazioni problema vengono sottoposte a classi di ordini
diversi permettendo di interpretare le procedure adottate in base alla maturità scolastica degli
allievi. E’ importante investigare procedure che producono errori tipici perché rivelano
concezioni o modelli inappropriati.
Il RMT come occasione e strumento di ricerca. Il RMT è utilizzato come strumento di ricerca.
Esso fornisce dati per studi comparativi; per approfondire e verificare costrutti teorici quali:
- variabile didattica, un dato del problema la cui modifica implica un cambiamento nelle
procedure di risoluzione;
- analisi a priori svolta prima della somministrazione della situazione problema, mediante la quale
prevedere le strategie di risoluzione degli allievi. Nella gara essa è integrata da una griglia di
attribuzione punti, assegnata, a partire dall’analisi a priori, con la situazione problema. Mediante
la griglia si cerca di ottenere che nella gara i ‘giudici’ attribuiscano in modo uniforme il
punteggio allo stesso problema, per il
Convegni RTM
confronto tra i risultati di classi diverse
1-2. Quali apporti per la Didattica (Brigue(CH) 1997-1998);
3. L’evoluzione delle conoscenze (Siena 1999);
(sezioni e paesi diversi).
4. Valutazione dei saperi (Neuchâtel(CH) 2000);
L’elenco dei temi dei convegni, mostra
5. Dal problema alla formazione didattica (Parma 2001);
6. Formazione docenti (Torre delle Stelle(CA) 2002);
che alcuni sono sui contenuti e sugli
7. Valutazione (Mondorf-les-Bains(L) 2003);
allievi, altri più trasversali, riguardano
8. Cos’è un buon problema (Bourg-en-Bresse(F) 2004);
formazione, pratiche dell’insegnante,
9. Costruzione di concetti attraverso i problemi (Arco di Trento(TN) 2005);
10. I problemi come supporto per l'apprendimento: il ruolo del RMT (Parma
utilizzazione didattica in ottica di
2006).
continuità.
Ricerche dell’Unità locale di Ricerca di Parma, connesse col RMT, (L. Grugnetti, D. Medici, M.G.
Rinaldi con altri):
1) RMT e formazione; 2) RMT e valutazione; 3) I problemi di terza elementare del RMT.
RMT e formazione. Il quadro teorico è relativo alla formazione (cfr. [8, 9, 15]), tenendo conto anche
della teoria delle situazioni didattiche e del metodo di insegnamento-apprendimento socio-
costruttivista. L’ipotesi di ricerca è che il RMT abbia effetti positivi a qualunque livello di
formazione iniziale e in servizio. Per la formazione iniziale sono state esaminate
- nell’ambito dei corsi universitari: analisi delle tesine proposte dagli studenti nei corsi di Didattica
della Matematica.
- nell’ambito della SSIS: studio del caso di una specializzata SSIS che ha riflettuto su come i
problemi del RMT siano entrati nella sua formazione di studente ed insegnante.
Per la formazione in servizio (auto-formazione) si è proposto un questionario, per valutare l’azione
del RMT sui rapporti insegnante-sapere; allievo-sapere; allievo-insegnante; allievo-allievo;
ritenendo che tali rapporti influiscano sulla formazione più prettamente didattica e del cosiddetto
“terzo sapere” secondo [8]. Risultati di questa ricerca: [10, 13, 14, 17].
RMT e valutazione. Per la gara si deve attribuire uniformemente il punteggio delle risposte alle
situazioni problema proposte; per ottenere ciò l’analisi a priori della situazione problema è
articolata in parte teorica ed attribuzione dei punteggi.
L’ipotesi di ricerca è che l’esperienza e la pratica del RMT portino gli insegnanti ad accettare e ad
interiorizzare i criteri generali di valutazione che sottostanno al RMT, utilizzandoli anche nella loro
ordinaria attività didattica, criteri che vengono estrinsecati nell’analisi a priori. Il quadro teorico è
quello della valutazione [3, 4]. Le ricerche hanno riguardato Scuola Primaria e Secondaria. Per
verificare l’ipotesi si sono scelti:
- (Scuola Secondaria di 1° Grado) due problemi e, per ciascuno, 13 protocolli critici per
l’attribuzione punteggio; due gruppi d’insegnanti, con almeno tre anni di esperienza in qualità di
correttori del RMT (“esperti”) e insegnanti estranei al RMT (“vergini”). Ciascun docente ha
valutato i protocolli, senza la griglia di attribuzione punteggio, assegnando punteggi da 0 a 4.
- (Scuola Primaria) due problemi (9 protocolli dell’uno e 6 dell’altro) e 13 insegnanti “vergini”. La
correzione è avvenuta in tre fasi: singola senza griglia di attribuzione punteggi; singola con griglia;
in gruppi di due e tre insegnanti, con griglia.
La ricerca ha messo in luce le difficoltà a riconoscere: quando un’argomentazione esprime il
ragionamento seguito per la risoluzione; quando è una semplice verifica; la completezza o meno
dell’argomentazione; un “buon inizio di ricerca”. Questi aspetti risultano di difficile valutazione e
ciò apre nuovi campi di ricerca. I risultati sono apparsi in [11, 16].
RMT e i problemi di terza elementare. Ricerca in corso (Medici e Rinaldi) originata dall’ipotesi di
insegnanti “esperti”: col passare degli anni i problemi proposti per la categoria 3 sono diventati più
difficili. Per orientare la ricerca si sta indagando su:
• Quali problemi sono risultati difficili in modo specifico per la categoria 3 e non per le categorie
4 e 5.
• Quali sono le difficoltà legate all’età, cioè proprie del particolare stadio evolutivo.
• Quali difficoltà dipendono solo dalla struttura del problema e quali dagli ambiti concettuali.
Per rispondere sono in esame i punteggi dei problemi della categoria 3 tratti da 6 edizioni del RMT
(7a - 12a) confrontandoli con quelli delle altre categorie della Scuola Primaria. Per alcuni problemi
significativi si sono confrontati i punteggi della Sezioni RMT di Parma e Siena. Si propone un
indicatore che sia indice del miglioramento nella risoluzione di problemi dalla categoria 3 alla
categoria 4. Si vogliono individuare le difficoltà legate al particolare stadio evolutivo, di cui occorre
tenere conto durante la progettazione dei problemi.
Problem solving e ambiente di classe. Ricerca parzialmente collegata al RMT, per verificare gli
effetti dell’uso di situazioni problema sul rendimento scolastico relativo a problemi/esercizi
scolastici e sulla modifica positiva degli atteggiamenti verso la Matematica e i problemi. Il quadro
teorico è offerto dalla letteratura sul problem solving, sui problemi ricchi e situazioni problema,
sull’apprendimento cooperativo e su temi relativi all’affettività e metacognizione.
La ricerca si è svolta in 7 classi di V Primaria, costituenti un campione sperimentale (51 alunni) ed
un campione di controllo (48 alunni). Si sono svolte indagini preliminari di impianto metacognitivo
sui problemi e la matematica, ed un test di ingresso (8 problemi standard) in Ottobre-Dicembre. In
seguito si è svolta la fase di trattamento (Febbraio-Aprile) con 13 situazioni problema usati nel
RMT, risolti in gruppo e “lontani” dagli argomenti dei problemi standard. Si sono scelti problemi
del RMT, [5], per la ricchezza di spunti didattici e contenutistici. A seguire il test finale (eguale a
quello di ingresso) somministrato in Maggio e per concludere un’indagine metacognitiva sul lavoro
di gruppo. I risultati sono stati comunicati con un poster all’ ICME 10 e apparsi su [1].
Bibliografia essenziale:
[1] Bertazzoni, B. & Marchini, C.: 2005, ‘Improving classroom environment by problem solving’. Novotna J. (Ed.)
International Symposium Elementary Maths Teaching, SEMT '05. agosto 2005. pp. 78-86
[2] Brousseau G.: 2005, ‘Recherche en éducation mathématique’. Bulletin de L’APMEP, 457, 213–224.
[3] Domenici,G.: 2001, Manuale della valutazione scolastica, Laterza, Bari
[4] Fandiño Pinilla, M.I.: 2002, Curricolo e valutazione in Matematica, Pitagora editrice, Bologna
[5] Grugnetti, L. & Jaquet, F.: 1998, Problemi che passione!, Il Capitello, Torino
[6] Grugnetti L. & Jaquet F.: 2005, ‘A mathematical competition as a problem solving and a mathematical education
experience’ Journal of Mathematical Behavior 24, 373–384.
[7] Grugnetti L. & Jaquet F.: 2006, ‘D’un concours de mathématiques par classes à la formation des maîtres’, Actes
XXXIe Colloque COPILEREM des professeurs et des formateurs de mathématiques chargés de la formation de
maîtres. In stampa.
[8] Houdement, C., Kuzniak, A.: 1996, ‘Autour des stratégies utilisées pour former les maîtres du premier degré en
mathématiques’, RDM, 16/3
[9] Marchini, C.: 2002, ‘La formazione degli insegnanti, problemi culturali e didattici’, Atti del Convegno Nazionale
Mathesis, Mantova 24 novembre 2001, 43 – 57
[10] Marchini,C., Medici,D., Rinaldi, M.G.: 2003, ‘I problemi del RMT come strumento per la formazione: luci e
ombre’, RMT: potenzialità per la classe e la formazione, 214-226
[11] Mazzoni, C. & Medici, D. & Rinaldi, M.G., 2004, ‘Il signor Girasole nel pianeta dei bugiardi, attribuzione dei
punteggi: messa a fuoco di alcune difficoltà dei correttori’, RMT e valutazione,51-63
[12] McLeod, D. & Adams V. (Eds.): 1989, Affect and Mathematical Problem Solving, Springer Verlag, New York.
[13] Medici, D. & Rinaldi, M.G.:2004, ‘A teaching resource for teacher training’, Proceedings CERME 3 (Bellaria),
TG12_Medici_cerme3.pdf.
[14] Rizza, A. & Vannucci, V.: 2003, ‘Dalla parte di un insegnante in formazione’, RMT: potenzialità per la classe e la
formazione,, 177-183
[15] Stegen, P. & Colomb, J.: 2002, ‘E’ sufficiente sviluppare strumenti didattici per aiutare gli insegnanti che devono
affrontare le difficoltà di apprendimento dei loro allievi?’, L’educazione Matematica, prima parte giugno 2002, 83102; seconda parte ottobre 2002, 152 - 173
[16] Vannucci,V. & Marchini,C. & Rizza,A., 2004, ‘Lo stenditoio del signor Girasole, attribuzione dei punteggi: messa
a fuoco di alcune difficoltà dei correttori’, RMT e valutazione, 29-43.
La presenza di pre-concezioni su oggetti matematici. - La matematica della carta a quadretti
Problema di ricerca: La carta a quadretti è un ordinario strumento di lavoro nella scuola, in
particolare in matematica, ma spesso non si sfruttano appieno le sue potenzialità. Per
esempio, la si usa per misurare lunghezze solo “in orizzontale” o “in verticale”, mentre
sarebbe opportuno utilizzarla anche per “misurare” o meglio “confrontare” segmenti
“diagonali”. A partire da questa idea si è sviluppata una ricerca i cui risultati iniziali sono già
stati presentati in alcuni convegni internazionali (cfr. riferimenti bibliografici). E’ stata
effettuata una sperimentazione con allievi di quarta e quinta classe di scuola elementare con
l’obiettivo specifico di verificare se c’è la comprensione di come disegnare sulla carta a
quadretti segmenti congruenti senza misurarne le lunghezze direttamente, ma sfruttando la
possibilità, offerta da tale tipo di carta, di effettuare misure “indirette”. Un obiettivo più
generale è quello di preparare il terreno al metodo delle coordinate e al concetto di
coefficiente angolare di una retta. Un altro scopo è di evidenziare eventuali pre-concezioni
sull’argomento.
Quadro teorico: teoria delle situazioni didattiche di G. Brousseau. La sperimentazione si basa
su di una situazione-problema che è tipicamente una situazione a-didattica; la carta a quadretti
come artefatto culturale (Saxe, 1991) e (Bonotto, 1999); il teorema di Pitagora come ‘teorema in
atto’ (Vergnaud, 1990); concetto di lunghezza come grandezza (Chamorro, 2001).
Risultati: L’artefatto “carta a quadretti” può portare l’allievo a modificare le proprie azioni e
conoscenze, ma può essere un ostacolo anziché un aiuto. Emerge il problema, noto in letteratura,
dell’identificazione della lunghezza di un segmento con quella di una sua proiezione (persino gli
studenti universitari non ne sono immuni!). Una causa è il mancato uso della carta a quadretti e
delle sue potenzialità.
Persone coinvolte: Paola Vighi.
Riferimenti bibliografici:
Bonotto, C.: 1999, ‘About the use of cultural artefacts in the teaching/learning of mathematics’, L’Educazione
matematica, Anno XX, Vol. 1, (2), 62-95.
Brock, W. H and Price, M.H.: 1980, ‘Squared paper in the Nineteenth Century: Instrument of Science and
Engineering, and Symbol of Reform in Mathematical Education’, Educational Studies of Mathematics, 11, (4),
365-381.
Brousseau, G.: 1983, ‘Les obstacles épistemologiques et les problèmes en mathématiques’, Recherches en
Didactique des Mathématiques, 4, 2, 165-198.
Brousseau, G.: 1986, ‘Fondements et Méthodes de la Didactique des Mathématiques’, Recherches en Didactique
des Mathématiques, 7, 2, 33-115.
Chamorro, M.C. : 2001, ‘Le difficoltà nell’insegnamento-apprendimento delle grandezze nella scuola di base’,
parte I, La Matematica e la sua Didattica, n. 4, 332-351.
Cooper, M.: 1998, ‘The inescapable influence of the horizontal and vertical on geometrical and other human
behaviour’, L’Educazione Matematica, Anno XIX, Vol. 3, 81-99.
Saxe G.B.: 1991, Culture and Cognitive Development. Studies in Mathematical Understanding, Hillsdale, NJ:
Lawrence Erlbaum Ass., Inc.
Speranza, F., Vighi, P. and Mazzoni, C.: 1989, Imparare a scuola. Guida didattica per l’insegnamento in seconda
elementare, La Scuola Se, suppl.al N. 53 , Nicola Milano Editore, 10-14.
Speranza, F.: 1989 a, ‘La geometria’ (1° ciclo), Dossier Didattico, suppl. La Scuola Se, Nicola Milano Editore, 1821.
Speranza, F., Vighi, P. and Mazzoni, C.: 1989 b, Imparare a scuola. Guida didattica per l’insegnamento in seconda
elementare, La Scuola Se, suppl.al N. 53 , Nicola Milano Editore, 10-14.
Van Hiele, P.M.: 1986, Structure and insight: a theory of mathematics education, New York, Academic Press.
Vergnaud, G.:1990, ‘La théorie des champs conceptuels’, Recherches en Didactiques des Mathématiques, Vol.
10, 133-170.
Vighi, P.: 2003, ‘The triangle as a mathematical object’, Conference Proceedings, CERME 3, Bellaria (Italy).
http://www.dm.unipi.it/~didattica/CERME3/proceedings/Groups/TG7/TG7_Vighi_cerme3.pdf Bellaria
(Italy)
Vighi, P.: 2004, ‘The geometry of squared paper’, Proceedings ICME 10 (International Congress on Mathemathical
Education), Copenaghen (Danimarca), 4-11 luglio 2004, Disponibile in Internet : http://www.icme-10.dk/
Vighi, P.: 2005, ‘Measurement on the squared paper’, CERME 4, 17-21 febbraio, Sant Feliu de Guíxols, Spagna.
La presenza di pre-concezioni su oggetti matematici – Il conflitto perimetro-area
Problema di ricerca: La ricerca si svolge nell’ambito di un Progetto sul Laboratorio di
Matematica avviato già da alcuni anni in una scuola elementare. L’idea è quella di proporre
attività di tipo diverso, da affiancare all’insegnamento curricolare, con lo scopo di esplorare
alcuni concetti matematici. Il Laboratorio viene anche visto come strumento per superare
difficoltà di insegnamento-apprendimento. Si è scelto di lavorare su due concetti
fondamentali, quelli di perimetro e di area, proponendo anche situazioni che coinvolgano
entrambi i concetti, allo scopo di studiare come superare il cosiddetto “conflitto perimetroarea”, in cui molti ricercatori individuano un ostacolo epistemologico, che causa difficoltà
nella comprensione di questi importanti concetti geometrici. Allo scopo di indagare sulle preconcezioni e sulle procedure spontanee dei bambini si sono approntate e sperimentate alcune
schede ed attività.
Quadro teorico: conflitto perimetro-area (Jaquet, 2001); distinzione tra grandezza e misura
(Chamorro, 2002) e (Marchini, 1999).
Risultati: l’analisi dei risultati è stata basata soprattutto sugli atteggiamenti e sulle procedure degli
allievi. Piuttosto che conclusioni definitive, essa ci ha fornito idee per ulteriori ricerche. Gli allievi
hanno mostrato di lavorare meglio sull’estensione delle figure che sulla lunghezza dei loro contorni.
In generale, l’aspetto bidimensionale ha prevalso su quello unidimensionale.
Persone coinvolte: Paola Marchetti, Daniela Medici, Paola Vighi, Erica Zaccomer.
Riferimenti bibliografici:
Chamorro, M.C.: 2001, ‘Difficulties in teaching and learning quantities in primary schools, Part I’, La
Matematica e la sua Didattica, n.4, 332-351.
Chamorro, M.C.: 2002, ‘Difficulties in teaching and learning quantities in primary schools, Part II’, La
Matematica e la sua Didattica, n.1, 58-77.
Jaquet, F.: 2000, ‘Le conflit area-perimètre, Part I’, L’Educazione Matematica, n.2, 66-67.
Jaquet, F.: 2000, ‘Le conflit area-perimètre, Part II’, L’Educazione Matematica, n.3, 126-143.
Marchetti, P., Medici, D., Vighi, P:, Zaccomer, E.: 2005, ‘Comparing perimeters and areas. Childrens’ pre-conceptions
and spontaneous procedures’, CERME 4, 17-21 febbraio, Sant Feliu de Guíxols, Spagna.
Marchini, C.: 1999, ‘Il problema dell’area’, L’Educazione Matematica, n.1, 27-48.
La presenza di pre-concezioni su oggetti matematici - Il triangolo
Problema di ricerca: Il triangolo è una figura geometrica fondamentale che la tradizione
scolastica pone all’inizio dello studio della geometria nella scuola elementare. A questo livello
non ci si dovrebbe preoccupare di darne una definizione, ma piuttosto di sollecitare la
costruzione del concetto di triangolo da parte dell’allievo, proponendogli inizialmente attività
di riconoscimento e denominazione di forme geometriche, per poi passare ad una loro
classificazione (Speranza, 1998). Tuttavia spesso ci si attiene ad un approccio che segue la
tradizione euclidea e ci si limita a dare una definizione senza verificare che il concetto sia stato
interiorizzato. Ma qual è l’idea di triangolo che ha un bambino di scuola elementare? quanto
dista dal concetto geometrico di triangolo? e dal triangolo come oggetto matematico?
In precedenti ricerche si è indagato sugli aspetti empirico-percettivi, figurali e lessicali per
comprendere come partire da essi per arrivare a quelli teorici, facendo in modo che la
definizione di triangolo fosse “conquistata” solo dopo una graduale acquisizione del concetto
da parte degli allievi. I risultati ottenuti hanno offerto spunti di riflessione e di indagine su
ulteriori aspetti del concetto trattato, suggerendo nel contempo nuove idee da mettere alla
prova.
Persone coinvolte: Paola Vighi
Quadro teorico: registri di rappresentazione semiotica (Duval, 1993), significato istituzionale e
significato personale dei concetti matematici (Godino, Batanero, 2000), la definizione in
matematica (Tall, Vinner, 1981)
Risultati: La prosecuzione delle ricerche sul triangolo come oggetto matematico ha condotto ad
un’indagine sul significato istituzionale e sul significato personale (Godino, Batanero, 2000) della
parola “triangolo”. Si indaga sulla definizione (Tall, Vinner, 1981), da quella di Euclide a quelle
date dai bambini di scuola elementare.
Riferimenti bibliografici:
Duval, R., 1993, ‘Registres de répresentation sémiotiques et fonctionnement cognitif de la penséé’,
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La presenza di pre-concezioni su oggetti matematici. – Pattern
Problema di ricerca: Il disegno di “cornicette”, cioè di motivi modulari, viene spesso proposto
ai bambini dei primi anni della scuola primaria con diversi scopi: proporre semplici attività di
disegno su carta a quadretti, affinare la coordinazione oculo-manuale e la motricità fine,
tenere occupati gli allievi più svelti mentre gli altri terminano un lavoro. Si tratta di
un’attività che comporta una successione notevole di operazioni: osservare, ordinare,
ricopiare, iterare. Accanto alla “cultura della parola e del numero” (Arnheim, 1974) c’è anche
quella “dell’immagine” ed i cosiddetti pattern ne costituiscono un esempio. Dopo aver
studiato le caratteristiche dei pattern e le loro applicazioni nell’educazione matematica, si e’
indagato sui processi di concettualizzazione di alcuni concetti matematici: divisione,
seriazioni, spazio, infinito, simmetria, isometrie e gruppi.
Si è particolarmente interessati all'aspetto progettuale che la consegna di costruire o ripetere
pattern comporta, tenuto conto dei vincoli rappresentati dalla forma e dimensioni del foglio
su cui riportare il pattern.
Persone coinvolte: Carlo Marchini, Paola Vighi
Riferimenti bibliografici:
Arnheim R.: 1974, Il pensiero visivo, Einaudi, Torino
Devlin K.: Mathematics : 1994, The Science of Patterns: The Search for Order in Life, Mind and
the Universe, Scientifica American Library, New York
Marchini C.: 2004 ‘Different cultures of the youngest students about space (and infinity). Third
Conference of the European Society for Research in Mathematics Education’. 28 febbraio - 3
marzo 2003. (vol. CERME3 TG10_Mar.pdf).
Marchini, C., Vighi, P.: 2005, 'The richness of patterns. Applications to mathematics education in
Italy', EME 2004, Braga, 3-6 giugno 2004,
Sfard, A.: 1991,‘On the dual nature of mathematical conceptions: Reflection on process and objects
as different sides of the same coin’, Educational Studies in Mathematics, 22, 1 - 36.
La presenza di pre-concezioni su oggetti matematici. - Lo spazio
E’ appena iniziata una ricerca congiunta tra Carlo Marchini, Paola Vighi e la collega polacca Ewa
Swoboda sulla presenza di strutture a livello visuale in bambini della scuola materna e della scuola
elementare. La ricerca è stata iniziata in Polonia negli scorsi anni con circa un migliaio di alunni tra
i 5 e 7 anni che hanno lavorato in gruppo ed ora sta svolgendosi in Italia con un campione più
ridotto di circa 200 alunni.
Rispetto a quanto fatto in precedenza si è ritenuto indispensabile osservare singolarmente gli alunni
alle prese con compiti di ricopertura di uno spazio ristretto (un foglio A4) con mattonelle quadrate
precostruite in quattro disegni differenti dedotti da F. Kurina. Tre di questi disegni presentano 2
simmetrie assiali, l’altro una simmetria rispetto ad una diagonale. La scelta delle mattonelle è
devoluta al bambino. Le dimensioni delle mattonelle (2,5 cm di lato) sono studiate in modo da
presentare un conflitto dato che non è possibile ricoprire esattamente il foglio. Si osservano le
abilità di rispettare i bordi del foglio o di superarli volutamente, di mantenere l’allineamento, le
modalità di copertura (per righe, per cornici, altro). Sono importanti quelle che vengono dette
strutture deboli o forti e che si realizzano nella composizione di disegni “regolari” mediante sovraunità realizzate con più mattonelle opportunamente scelte. Il video rileva anche se il bambino
procede a caso, se ha un progetto da realizzare, se apprende mentre lavora, trovando regolarità e
strutture nello svolgimento del compito. Si osservano anche i gesti compiuti e l’eventuale
correlazione tra progettazione ed esecuzione.
Si intende anche fare un confronto con quanto prodotto in Polonia, per paragonare eventuali
differenze statisticamente significative rilevabili tra le due esperienze.
I protocolli ed i video verranno valutati separatamente dai tre ricercatori coinvolti.
Persone coinvolte: Carlo Marchini, Ewa Swoboda, Paola Vighi
Riferimenti bibliografici:
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Van Hiele, P.: 1986, Structure and Insight. A Theory of Mathematics Education, Accademica Press,
London.
Kurina, F.: 1995, ‘The first Geometrical Experience of a Child’, SEMT 95, 42 – 45
Marchini C.: ‘Different cultures of the youngest students about space (and infinity). Third
Conference of the European Society for Research in Mathematics Education’. 28 febbraio - 3 marzo
2003. (vol. CERME3 TG10_Mar.pdf).
Swoboda E., Structures ov Van Hiele’s visual level in work of 5-7 years old children, Semt 05, 299
– 307.
CULTURA MATEMATICA E PROBLEM SOLVING APPLICATIVO: COME IL SAPERE
INFLUENZA LE DINAMICHE MENTALI NEL CASO DELLA TEORIA DEI GIOCHI
Francesca Martignone
PRIN 2005-06 “Aspetti linguistici e di rappresentazione nell’insegnamento-apprendimento della
matematica”, Unità Operativa di Genova
L’obiettivo principale della mia ricerca consiste nell’analizzare come la conoscenza di teorie e
strumenti provenienti dalla matematica possa influenzare la strutturazione delle strategie
risolutive attivate durante attività di problem solving, con una particolare attenzione rivolta allo
studio dei processi di anticipazione. Questo mio lavoro si situa nell’ambito della ricerca di base
in Didattica della Matematica perché si collega alla problematica dei cambiamenti dei modi di
ragionare e di risolvere problemi indotti dall'apprendimento di modelli matematici. Tale
problematica generale è importante per le ricadute sul rinnovamento dei curricula di
matematica a tutti i livelli dell'istruzione. Dallo studio e dalla conseguente individuazione di
percorsi risolutivi privilegiati, infatti, si potranno ricavare informazioni utili per la
formulazione di futuri progetti di ingegneria didattica.
Nella mia ricerca ho scelto di analizzare problemi di interazione strategica. La scelta di tale
settore è stata fatta sia perché in quest’ambito i processi di anticipazione svolgono un ruolo
determinante per l’elaborazione di strategie risolutive, sia perché si tratta di un ambito abbastanza
ben circoscritto in cui è possibile distinguere tra chi non possiede conoscenze riguardanti i modelli
proposti dalla Teoria dei Giochi (pur avendo una buona preparazione matematica) e chi invece sa
utilizzare questi strumenti. In effetti, presentata abitualmente in un corso opzionale, la Teoria dei
Giochi è un ambito specialistico che può essere conosciuto (o non conosciuto per nulla) da studenti
universitari e laureati con background culturali molto simili. D’altra parte i problemi tipici che
possono essere affrontati con la Teoria dei Giochi richiedono la scelta di strategie d’azione col fine
di assicurarsi maggiori vantaggi possibili dalla situazione presa in considerazione. In sostanza, un
decisore razionale deve scegliere come comportarsi immaginando “tutte” le possibili reazioni di un
altro decisore razionale che si trova nella sua stessa situazione e che possiede le stesse informazioni.
L’analisi da parte di un soggetto risolutore (competente in teoria dei giochi) delle possibili strategie
d’azione si traduce nell’utilizzo di schemi (collegati ai modelli della teoria) gestiti da dinamiche di
esplorazione di tempi virtuali (passato-futuro) senza che effettivamente queste azioni debbano
avvenire o siano state precedentemente esperite. Un risolutore che non conosce la teoria dei giochi
cercherà a sua volta di costruirsi volta per volta delle strategie ad hoc per raggiungere gli stessi
obiettivi.
Per questi motivi le risoluzioni di problemi di questo tipo sembrano essere un buon campo per lo
studio comparativo delle dinamiche mentali, in particolare di quelle temporali.
Le domande di ricerca a cui sto cercando di rispondere sono:
•
Esistono delle difficoltà di risoluzione "universali" per problematiche di tipo "gioco"? Quali
di queste sono superate attraverso l'utilizzo di modelli tratti dalla teoria dei giochi?
•
Come cambiano le dinamiche mentali attivate nel corso della risoluzione di un problema di
elaborazione di strategie dopo aver appreso la teoria dei giochi?
•
Quali sono le analogie riscontrabili tra i modelli di teoria dei giochi e quelli utilizzati in altre
attività di problem solving nel campo della matematica applicata
Riferimenti bibliografici
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teaching in games", American Economic Review,, 192-5
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Università degli Studi di Genova
Minsky, M.: 1989, La società della mente, Adelphy
Pontecorvo, C.: 1984, “Concettualizzazione ed insegnamento”, Concetti e conoscenza, Loescher
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vol. 10, pp.133-169
Difficoltà in matematica: strumenti e aspetti di metodo.
Correlazione con la dispersione.
Manuela Moscucci & Maria Piccione
Dipartimento di SMI “R.Magari”- Siena
La ricerca si colloca nell’ambito generale degli studi sul problema delle difficoltà in
matematica e su quello, ad esso correlato, del disagio affettivo nei confronti della disciplina.
Essa si avvale dei risultati acquisiti attraverso i numerosi e fondamentali contributi di
ricercatori di tutto il mondo nell’ambito delle Scienze dell’Educazione e della Didattica della
Matematica. In particolare, essa si fonda sull’attribuzione di valore alle relazioni positive
intercorrenti tra docente-studente, docente-disciplina, studente-disciplina, studente-compagni
di classe (Prawat &Anderson, 1994; Alro & Skovsmose, 2002) e utilizza gli strumenti che
risultano idonei alla costruzione concettuale e all’acquisizione della significatività dello
studio, in generale, e dello studio della matematica nello specifico (Arcavi, 1994; Sfard, 1991;
Schoenfeld, 1985).
La ricerca è finalizzata a:
1. reperimento di strumenti preposti
-alla prevenzione e al superamento delle difficoltà in matematica (Mc Leod, 1992; Zan, 2000)
-all’attribuzione di un ruolo educativo alla matematica
2. divulgazione degli strumenti in forma idonea all’utilizzo da parte degli insegnanti
(Boero,1996; Pellerey, 1996)
3. definizione del ruolo della matematica, nella sua qualità di “disciplina scolastica”, in
relazione al problema della dispersione scolastica (Iacomella et al., 1997; Moscucci et al.,
2005).
Reperimento di strumenti. Le nostre ricerche nel settore delle difficoltà sono state condotte dal
1995 ad oggi in scuole di diverso ordine e grado:
-secondarie di primo grado (circa 550 studenti coinvolti)
-secondarie di secondo grado (circa 370 studenti coinvolti)
-primarie (circa 80 studenti coinvolti).
Contemporaneamente, sono state condotte indagini in ambito universitario:
corsi istituzionali (circa 320 studenti convolti)
corsi SSIS FIM-SN-Sostegno (circa 530 studenti coinvolti).
Esse, nel complesso, hanno messo in chiara evidenza un risultato inatteso e, per quanto a noi
noto, non riportato in letteratura, che concerne la natura qualitativa delle difficoltà in
matematica.
Precisamente, abbiamo rilevato che anche studenti non valutati in difficoltà presentano
sostanziali lacune nella costruzione concettuale.
Questa constatazione ci ha indotto a formulare l’ipotesi che il superamento delle difficoltà in
matematica sia subordinato alla attuazione di un sistema integrato di interventi, dei quali
indichiamo gli elementi principali e qualificanti:
-la ricomposizione del rapporto affettivo nei confronti della matematica
-l’analisi delle difficoltà disciplinari individuali
-la ristrutturazione dei nodi concettuali della disciplina
-la costruzione della consapevolezza del senso dell’intero percorso e dei singoli oggetti
disciplinari che ne delineano la struttura [Schoenfeld, 1992].
Di conseguenza, i modelli di recupero delle difficoltà costruiti inizialmente per i casi di
insufficienza “certificata” e utilizzati in sedute di analisi/terapia al di fuori della classe, si sono
evoluti in strutture applicative da usare in classe, fuori dalla classe o in contesti extrascolastici
per:
-il recupero della significatività degli oggetti matematici già trattati
-la prosecuzione del percorso educativo, anche attraverso nuovi oggetti, con impostazione
preventiva delle difficoltà
-la prevenzione delle difficoltà nei percorsi educativi iniziali (scuole dell’infanzia e primaria).
Le strutture applicative consentono agli insegnanti di mettere in atto un’azione coordinata di
interventi di recupero della significatività dello studio e dello studio della matematica.
Osserviamo esplicitamente che, in esse, la matematica è utilizzata come mezzo di promozione
delle potenzialità della persona.
La natura delle strutture applicative si fonda sulle seguenti scelte, rispettivamente, di
didattica generale e di didattica disciplinare
• integrazione tra la concezione costruttivista e la concezione socio-genetica e relazionale
nella quale la conoscenza è interpretata come un processo determinato dalla
interazione sociale e dalla condivisione e negoziazione dei significati . Da essa scaturisce
un insegnamento ispirato alla teoria delle situazioni didattiche di Brousseau e ai
modelli di lavoro ( Margiotta, 1997).
• selezione di oggetti di apprendimento non disciplinari, quali: ruolo della matematica
nell’educazione della persona, predisposizione all’apprendimento della matematica
(trattati attraverso l’analisi delle convinzioni, degli atteggiamenti nei confronti dello
studio e dello studio della matematica), costruzione/ricostruzione delle relazioni
docente-studente, docente-disciplina, studente-disciplina, studente-compagni di classe e
consapevole definizione dei rispettivi ruoli.
• selezione di oggetti di apprendimento disciplinari, collegati ai nodi concettuali della
disciplina, con particolare attenzione all’analisi dello stato e alla ristrutturazione o
strutturazione dei nodi medesimi.
Sperimentazione delle strutture applicative. Tali strutture sono attualmente in sperimentazione
sia nel contesto scolastico che extrascolastico. Precisamente, in riferimento alla didattica
ordinaria, è in corso una sperimentazione al II anno in due scuole secondarie statali (circa 220
studenti coinvolti), mentre, nell’ambito della didattica speciale, è in corso una sperimentazione
collegata al lavoro di specializzati e specializzandi SSIS Sostegno.
Sono, inoltre, condotte sperimentazioni su soggetti in terapia riabilitativa in collaborazione con
ricercatori del Dipartimento di Neuroscienze dell’ Università di Siena, su soggetti con
difficoltà in matematica.
Infine, è in atto una sperimentazione all’interno di Corsi universitari di matematica di base
per non matematici.
Il lavoro nel contesto scolastico-didattica ordinaria riguarda attualmente anche la produzione
di modelli di moduli all’interno di un percorso per l’educazione algebrica e l’educazione
geometrica nel biennio della scuola secondaria.
Divulgazione degli strumenti. Nell’ambito del lavoro di ricerca descritto, è stato parallelamente
affrontato il problema della divulgazione dei risultati conseguiti. A tal fine sono stati
individuati i seguenti canali di comunicazione:
la formazione iniziale degli insegnanti (SSIS FIM, SN, Sostegno), apprezzabile per lo spazio
temporale adeguato alla proposta di un percorso completo;
l’aggiornamento degli insegnanti in progetti di ricerca-azione, presso istituti scolastici (spesso
istituti comprensivi), che, al contrario, presenta alcuni difetti, dalla disomogeneità culturale e
motivazionale dei corsisti, alla richiesta di notevole impegno professionale e, su un piano
diverso, alla disponibilità di tempo inadeguata (15 ore in media);
l’aggiornamento degli insegnanti in corsi intensivi, dove si incontrano gli stessi problemi, a parte
la disponibilità di tempo, che è generalmente il triplo.
Tale lavoro di divulgazione è caratterizzato dalle seguenti modalità specifiche:
-circolarità teoria-prassi: i modelli di moduli sono sottoposti a periodica valutazione durante
incontri tra i ricercatori e i docenti che partecipano alla ricerca
-pluralità di piani di intervento: ricercatori-insegnanti: rivisitazione delle metodologie didattiche
e della didattica disciplinare adottate dagli insegnanti; monitoraggio della conseguente
riprofessionalizzazione. Tale attività è essa stessa oggetto integrante della ricerca [Goulding,
1997]; ricercatori-studenti: interventi didattici nelle classi, sedute di analisi-terapia delle
difficoltà fuori dalle classi; insegnanti-studenti: monitoraggio dell’ attuazione delle scelte di
didattica disciplinare operate.
Risultati della sperimentazione. La sperimentazione ha permesso già di raccogliere dati
interessanti sia riguardo l’analisi dei processi cognitivi, metacognitivi e affettivi attivati nei
soggetti
coinvolti nel lavoro (studenti e insegnanti), sia in merito all’abbattimento
dell’attribuizione dei debiti formativi in matematica per gli studenti in difficoltà.
In particolare, il lavoro svolto presso l’IPTSSM “A.Civitali” di Lucca, richiesto dal Dirigente
scolastico per il contenimento dei debiti formativi in matematica, che superavano limiti
accettabili, ci ha consentito di verificare che il superamento delle difficoltà in matematica ha un
riflesso positivo sulla relazione con la scuola.
Definizione del ruolo della matematica in relazione alla dispersione scolastica. Nel corso della
ricerca quinquennale è stata rilevata una correlazione assai significativa: il disagio in
matematica è sempre presente nei casi di disagio scolastico dovuto solo a fattori scolastici.
Da questo dato si è sviluppata una ricerca parallela (in collaborazione con alcuni membri del
NRD dell’Università di Parma) che si avvale dei risultati di un’analisi statistica MIUR e di
un’indagine conoscitiva governativa, per approfondire gli aspetti della correlazione tra
disagio in matematica e dispersione scolastica. Nell’indagine governativa, colpisce l’assenza
della considerazione di elementi legati strettamente alle discipline, in particolare, alla
matematica. Al contrario, proprio l’insuccesso in matematica ha costituito il centro della
riflessione nel lavoro suddetto.
Attraverso un’indagine condotta con interviste e questionari in quattro “scuole di recupero”
(179 studenti intervistati) e in cinque istituti professionali (300 studenti circa per scuola) si è
rilevato, rispettivamente, che
il fallimento in matematica è una variabile endogena del drop-out
e che
il fallimento in matematica è un fattore costante nel fallimento scolastico.
Tali risultati inducono a considerare il successo in matematica come strumento per
contrastare la dispersione (Moscucci et al., 2005).
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Sfard, A.: 1991, On the Dual Nature of Mathematical Conception: Reflections on Processes and Objects as Different Sides of the
Same Coin, Educational Studies in Mathematics, vol.22, 1-36.
Zan, R.: 2000, Emozioni e difficoltà in matematica, L’insegnamento della Matematica e delle Scienze integrate, vol.3.
Zan, R.: 2000, Emozioni e difficoltà in matematica, L’insegnamento della Matematica e delle Scienze integrate, vol.4.
Marta Menghini
Il ruolo della geometria proiettiva nell'insegnamento e nelle istituzioni italiane alla fine del 19°
secolo.
Inquadramento delle ricerche condotte nell'ambito di Storia e Didattica della matematica:
a) Lo studio dell'evoluzione di temi nel corso della storia della matematica permette di
riconoscere radici epistemologiche e di collocare i vari argomenti da un punto di vista storico,
scientifico e didattico. Ad esempio l'evoluzione del rapporto fra geometria ed algebra (Menghini,
2004) mette in luce la difficoltà di distinguere nettamente il pensiero algebrico da quello
geometrico; mentre il ruolo svolto dal Programma di Erlangen a cavallo tra il 19° e il 20° secolo
(Bernardi & Menghini, 2003) mette in evidenza il legame tra le varie geometrie che sono oggi
oggetto di studio scolastico. Entrambe queste ricerche sono rientrate nel programma COFIN 2003
coordinato da Mariolina Bartolini Bussi.
b) La storia dell’insegnamento della matematica offre molti spunti per riflettere sulla costruzione
di teorie didattiche. Non solo essa permette di delineare un panorama più chiaro delle motivazioni
soggiacenti a scelte operate nell’ambito dei programmi scolastici, riconoscendo quelle radici
culturali che le hanno determinate, ma - come ramo della storia della matematica - consente di
valutare lo status della matematica come materia di insegnamento e il suo ruolo culturale e sociale
nelle varie epoche (Schubring 2005). Indicativa, in tale senso, è l’evoluzione dell’insegnamento
della geometria negli ultimi 150 anni. In quest'ambito sto conducendo diverse ricerche, una delle
quali è esposta nel seguito.
In ambito di progetto COFIN, lavora sugli stessi temi l'Unità di Genova (Furinghetti).
Tema della ricerca:
Alla fine del 19° secolo la geometria proiettiva era alla base di tutte le ricerche geometriche. Inoltre,
per il suo profondo collegamento con la geometria descrittiva, sembrava in grado di rispondere ad
esigenze sociali e educative.
In Italia, una riforma degli Istituti Tecnici portò la geometria proiettiva nei programmi scolastici; e
il libro di Luigi Cremona Elementi di geometria proiettiva aiutò a diffondere il metodo sintetico in
Italia e in Europa.
In questo studio si esamina il legame tra geometria proiettiva e insegnamento, dal punto di vista
personale di Luigi Cremona e dal quello istituzionale dell'istruzione tecnica nelle scuole e nelle
università.
Le informazioni sulla ricezione del libro di Cremona in Europa e alcune lettere del fondo Cremona
contribuiscono a comprendere il clima scientifico del periodo (Menghini 2005)
Riferimenti bibliografici fondamentali:
C. Bernardi, M. Menghini, Mettiamo ordine fra le geometrie: il programma di Erlangen ed altri
approcci, L’Insegnamento della Matematica e delle Scienze integrate, vol. 26 A-B (2003), n. 3, pag.
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Menghini M.: 2005,"The Educational and Institutional Role of Projective Geometry ay the End of
the 19th century", Symposium History of Modern Geometry, Luminy.
Una ricerca sulla visualizzazione spaziale
Carmela Milone
Nucleo di Ricerca Didattica, Dipartimento di Matematica e Informatica, Università di Catania
Introduzione
La visualizzazione spaziale è una delle abilità mentali alle quali non viene riconosciuta, nella
pratica didattica, la giusta valenza ai fini della formazione di una vera conoscenza; per di più, molto
spesso, non si crea la giusta connessione fra percezione, visualizzazione e ragionamento induttivo.
(cfr. [1] )
La conoscenza spaziale è un processo che si lega all'abilità di immaginare spazialmente una
figura in configurazioni non statiche. Tale processo però può non avvenire in maniera corretta se c’è
conflittualità fra immagini mentali e concetti geometrici. E questo avviene quando la “visione
mentale”, fondandosi su un numero limitato di esperienze proposte secondo modelli statici e
ripetitivi, produce una visione distorta della realtà e conduce facilmente a stereotipi che risulta
difficile rimuovere.
Fermamente convinti che un approccio dinamico della geometria conduca, attraverso una corretta
visualizzazione spaziale, alla formazione di concetti geometrici che coniughino armonicamente in
sé l’aspetto figurale e l’aspetto concettuale, in continuità con una sperimentazione già condotta
all’interno del Nucleo di Ricerca Didattica di Catania e riportata nel libretto ICME 10 del 2004,
abbiamo voluto realizzare una ulteriore indagine finalizzata a mettere a fuoco i processi mentali
messi in atto, durante l’osservazione e la successiva rielaborazione mentale di oggetti in
movimento.
Le attività proposte nella sperimentazione del 2001 [8] avevano lo scopo di: indagare sulle
difficoltà incontrate dai ragazzi (età fra gli 11 e i 13 anni), nella rappresentazione grafica di oggetti
tridimensionali; mettere a fuoco le dinamiche seguite dagli alunni nella ricostruzione mentale della
forma di un oggetto; controllare in quale misura le fasi dell’attività contribuiscono alla formazione
delle immagini mentali.
Dall’analisi dei risultati emersi durante le attività proposte si era giunti ad alcune conclusioni, fra
cui:
− esistono determinate difficoltà nella rappresentazione bidimensionale di oggetti tridimensionali
che non possono essere considerate caratteristiche di ragazzi che hanno insufficienti abilità
matematiche ed anzi possono essere più marcate nei ragazzi “più bravi”, in quanto questi,
condizionati dalle loro conoscenze, riescono a vedere con la mente particolari di oggetti che di
fatto non vedono con gli occhi;
− non c’è univocità fra l’oggetto e le sue sezioni e fra l’oggetto e le sezioni d’ombra sul muro e
viceversa.
Sulla base di questi risultati, abbiamo proseguito la ricerca con una sperimentazione
articolata in:
Attività 1 - Previsione di sezioni d’ombra di un tetraedro regolare e di un cubo in rotazione. [6]
Attività 2 - Previsione delle sezioni di un tetraedro regolare e di un cubo al variare del livello di
acqua contenuta. [7]
Nella progettazione dell’indagine ci siamo prefissi alcuni obiettivi, fra i quali:
a) stabilire se e in che misura le difficoltà incontrate nel passaggio dal tridimensionale al
bidimensionale sono da mettere in relazione con le conoscenze matematiche possedute dai ragazzi;
b) indagare sulla capacità di: fare previsioni di sezioni e sezioni d’ombra sia su modelli statici che
dinamici; usare strategie di decisione e strategie di elaborazione delle rappresentazioni mentali
(cfr.[5]); pervenire con gradualità all’astrazione e alla costruzione delle immagini mentali;
giustificare le intuizioni con argomentazioni; relazionare sulle esperienze fatte riportando
osservazioni ed eventuali relazioni colte.
Durante e a conclusione di ogni attività i ragazzi sono stati stimolati a riflettere sui vari momenti
per confrontare i risultati di esperienze condotte con modalità diverse e cogliere, attraverso
eventuali sequenze, analogie e relazioni.
La sperimentazione è stata condotta in cinque classi, per un totale di 118 alunni, di due scuole
diverse per ubicazione e per utenza, in due anni scolastici consecutivi (2002/03 e 2003/04).
In un incontro preliminare è stato presentato il progetto di sperimentazione ai docenti delle classi
interessate, i quali, durante le attività condotte dagli insegnanti responsabili della sperimentazione,
hanno collaborato nella gestione della classe e nella moderazione e registrazione degli interventi.
Sviluppo e modalità di conduzione dell’Attività 2
In particolare ci limiteremo (per problemi di spazio) ad analizzare alcuni momenti della Attività 2
soffermandoci sui risultati della sperimentazione.
Per la realizzazione dell’attività ci siamo serviti di due modellini in plexiglas di tetraedro regolare
e di cubo in cui sono stati praticati due fori per inserire acqua colorata e di un piccolo imbuto. In
una fase preliminare è stato chiesto ai ragazzi di provare ad elencare le possibili sezioni di un cubo
prima e di un tetraedro regolare dopo, sezioni che poi sono state evidenziate versando nel cubo di
plexiglas dell’acqua colorata.
In un momento successivo, i ragazzi sono stati guidati a cogliere la dipendenza del numero
di lati del poligono sezione dal numero di facce secate e la corrispondenza fra parallelismo di
facce secate e parallelismo di lati del poligono sezione per metterle in relazione con le
caratteristiche del poligono stesso. Si sono confrontate le risposte con le previsioni fatte
inizialmente ed è stata verificata la presenza dei poligoni sezione versando acqua colorata nel
cubo di plexiglas.
Si è quindi passati alla realizzazione dell’attività vera e propria. Sono stati disposti in
momenti successivi il tetraedro e il cubo su un supporto fisso in modo che un asse di
simmetria o un asse di simmetria rotazionale risultasse perpendicolare al piano orizzontale.
Dopo aver versato un po’ di acqua colorata è stato chiesto di osservare il tipo di sezione e di
prevedere, elencandole in una scheda opportunamente predisposta, le possibili sezioni che si
ottengono continuando a versare acqua colorata nei solidi in esame. Successivamente la
posizione del cubo o del tetraedro è stata cambiata in modo che un asse di tipo diverso fosse
perpendicolare al piano orizzontale.
Le modalità di gestione dell’attività nelle due fasi, sono state differenti, in quanto in quella
relativa al tetraedro regolare si è tenuto conto degli interventi durante la discussione che è stata
guidata nell’individuazione della sequenzialità. Nella seconda fase i ragazzi dovevano cogliere
(individualmente) la sequenzialità delle sezioni prima che l’acqua fosse versata nel cubo ed annotare
le previsioni sulla scheda.
La fase di verifica (riempimento graduale del cubo) è stata eseguita lentamente, soffermandosi al
cambiamento della figura sezione, e, a richiesta dei ragazzi, è stata ripetuta per dar modo di fare
osservazioni riguardanti eventuali relazioni di isoperimetria e di equiestensione, per caratterizzare
particolari figure geometriche ottenute di volta in volta, e per individuare casi limite. Durante questa
fase è stato chiesto ai ragazzi di argomentare le risposte.
Risultati della sperimentazione relativi all’Attività 2
Nel caso del tetraedro con asse di simmetria passante per i punti medi di due spigoli opposti
perpendicolare al piano orizzontale, solo in un momento successivo i ragazzi sono riusciti ad
individuare il quadrato nella famiglia di rettangoli e pochi hanno colto l’inversione dei rettangoli
rispetto alla figura centrale della sequenza. Anche l’isoperimetria dei rettangoli è stata individuata
da pochi ragazzi e in modo approssimativo:“un lato si accorcia e l’altro si allunga”. Una volta
scoperta l’isoperimetria, però, quasi tutti hanno individuato nel quadrato (vertici della sezione
coincidenti con i punti medi degli spigoli non tagliati dall’asse) il rettangolo di area massima.
Nella seconda fase dell’Attività 2, quella riguardante il cubo, le posizioni che hanno comportato
maggiori difficoltà sono state quella relativa all’asse di simmetria passante per i punti medi di due
spigoli opposti e quella relativa all’asse di simmetria rotazionale passante per due vertici opposti. In
riferimento alla prima, l’analisi delle schede ha permesso di estrapolare i seguenti dati oggettivi:
a) la presenza del quadrato viene percepita solo dal 41% e solamente il 19% nella giusta sequenza;
b) solo pochi ragazzi includono nella sequenza anche i casi limite (8%);
c) quasi tutti colgono che i rettangoli ottenuti non hanno né lo stesso perimetro, né la stessa area.
Relativamente al punto a) alcuni hanno proposto la sequenza rettangolo – quadrato – rettangolo,
attribuendo erroneamente al quadrato una posizione di centralità. Probabilmente i ragazzi erano memori
di quanto succedeva a proposito del tetraedro regolare.
Relativamente al punto c), i ragazzi solo sotto la guida dell’insegnante sono riusciti a motivare la
variazione di perimetro e area, attraverso l’individuazione dell’invarianza di un lato.
La posizione che ha creato maggiori difficoltà è stata quella in cui l’asse di simmetria rotazionale
passante per due vertici opposti è perpendicolare al piano orizzontale:
a) solo il 25% dei ragazzi riesce a visualizzare l’esagono, e solo il 7% nella sequenza corretta;
b) quasi tutti affermano che il triangolo equilatero di area massima si ottiene quando il livello
dell’acqua raggiunge i primi tre vertici che si trovano sullo stesso piano parallelo al piano
orizzontale;
c) pochi (7,3%) si pronunciano relativamente a relazioni di isoperimetria e di equiestensione e in
maniera incompleta.
Relativamente al punto c) il problema è stato affrontato da tutti solo quando l’insegnante,
versando gradualmente acqua nel cubo, ha fatto visualizzare la sequenza esatta e ha chiesto di
concentrare l’attenzione sulla famiglia degli esagoni. Pochi, tuttavia, (15%) sono riusciti a
individuare l’isoperimetria degli esagoni, motivandola, con affermazioni del tipo: “un lato aumenta
di quanto diminuisce l’altro”.
Solo opportunamente guidati sono riusciti a riconoscere le caratteristiche comuni agli esagoni e a
giustificare quindi la presenza dell’esagono regolare. Per verificare l’isoperimetria degli esagoni, è
stato proposto lo sviluppo piano di un cubo in cui sono stati segnati sulle facce, con colori diversi, i
segmenti che rappresentano i lati di sezioni esagonali successive.
Relativamente alle esperienze con il cubo, i risultati a cui giungono i ragazzi durante la fase di
discussione, sono frutto di una ricostruzione mentale delle successive posizioni assunte dal livello
dell’acqua colorata. Date le difficoltà che comporta il vedere con la mente una figura in movimento,
i ragazzi hanno chiesto di poter osservare dall’alto il cubo con poca acqua colorata per poter
immaginare con più facilità quali facce vengono secate all’aumentare del livello dell’acqua.
Questi momenti costituiscono una mediazione fra l’immaginazione delle sezioni relative a situazioni
dinamiche di un oggetto e la loro visione diretta (mediante versamento di acqua).
Durante la discussione sulle sequenze delle sezioni relative all’asse di simmetria passante per i
punti medi di due spigoli opposti e all’asse di simmetria rotazionale passante per due vertici
opposti, qualche ragazzo ha osservato che, solo nel primo caso, il modo simmetrico in cui si
presentano le figure sezione rispetto alla figura centrale della sequenza trova riscontro in una
effettiva simmetria geometrica, nel secondo alla simmetria presentata dalla sequenza delle parole
(triangoli equilateri, esagoni, triangoli equilateri) non corrisponde una simmetria geometrica.
Conclusioni
Durante le Attività sono stati rimessi in discussione concetti quali :
- configurazioni privilegiate caratteristiche di determinate figure piane (“non è un quadrato,
perché ha la forma di un rombo”); [Attività 1 tetraedro]
- classificazione per partizione delle famiglie di figure piane (“un quadrato non è un
rettangolo”).
L’analisi dei risultati dell’indagine ha portato ad alcune conclusioni, fra cui:
a) contrariamente a quanto emerso dalla prima sperimentazione ([8], pag. 249), i contributi più
significativi si sono avuti proprio da parte dei ragazzi con migliori abilità matematiche e con un
bagaglio di conoscenze più ricco; probabilmente, mentre nella precedente sperimentazione,
l’osservazione statica consentiva il prevalere del ricordo dell’oggetto sulla effettiva visione dello
stesso, nell’attività ora presentata la proposta di una visione dinamica degli oggetti, non
richiamando esperienze collegate al vissuto, scolastico o no, attiva le capacità di intuizione e
logiche dei ragazzi più dotati, per i quali il bagaglio culturale non costituisce un ostacolo a
“vedere”, ma agevola l’intuizione di particolari regolarità;
b) senza guardare, solo ragionando, è possibile dedurre la presenza di eventuali sezioni dei solidi, la cui
presenza va successivamente verificata;
c) l’osservazione di alcune proprietà delle facce del cubo porta a dedurre non solo la possibilità di trovare
delle sezioni con determinate caratteristiche, ma anche ad escluderne con certezza altre (aquilone).
Altro punto oggetto di riflessione è stato il fatto che il parallelismo di due facce di un solido è una
condizione sufficiente affinché il poligono sezione presenti due lati paralleli. Non è però una
condizione necessaria, infatti anche nel tetraedro regolare si ottengono sezioni che hanno lati
paralleli (rettangoli, quadrati). Riteniamo che tali considerazioni possano costituire un momento di
riflessione utile ai ragazzi, in quanto li abituano a familiarizzare con certe terminologie (condizione
necessaria e sufficiente) che incontreranno più frequentemente nel successivo ciclo di studi e
possano contribuire a realizzare il raccordo tra geometria come scienza descrittiva dello spazio in
cui viviamo e geometria come sistema ipotetico-deduttivo.
Attività di questo tipo contribuiscono a svincolare le figure piane dal piano e a immaginarle in
maniera dinamica nello spazio, offrendo una molteplicità più ampia di configurazioni che favorisce
la generalizzazione delle immagini mentali e la formazione dei concetti geometrici.
Bibliografia
[1] E. Azzali Carminati, I. Visintin Mancino, La formazione dei concetti geometrici nel primo ciclo: dalle sensazioni
alle immagini mentali, L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate, vol. 16, n. 9, 1993
[2] A. Bishop, Spatial Abilities and Mathematics Education, Educational Studies in Mathematics,11, 257/269, 1980
[3] M. Dedò, Modelli di poliedri, Atti del XVII Convegno sull’Insegnamento della matematica: L’insegnamento della
geometria a cura di B. Micale e S. Pluchino , Notiziario UMI, supplemento al n.8-9, 1995
[4] E. Fischbein, Intuition in science and mathematics: an educational approach , Dordrecht: D. Reidel, 1987
[5] N. Gorgoriò, Spatial processing abilities: its implications for teaching geometry, ICMI Study – Perspectives on the
teaching of geometry for the 21st century – pre-proceedings for Catania Conference 28 settembre/2 ottobre 1995 –
Editor: C. Mammana, Department of Mathematics – University of Catania
[6] A. Lo Cicero, B. Micale, C. Milone, Visualizzazione in geometria: previsioni di regolarità fra ombre e colori Parte
I, L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate, vol.28A, n.2, 2005
[7] A. Lo Cicero, B. Micale, C. Milone, Visualizzazione in geometria: previsioni di regolarità fra ombre e colori Parte
II, L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate, vol.28A, n.3, 2005
[8] B. Micale, C. Milone, L’interpretazione della visualizzazione spaziale: lo spazio fa paura?, L’insegnamento della
matematica e delle scienze integrate, vol.25A, n.3, 2002
[9] V.Villani, Geometria dello spazio, L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate, vol.10, n.5,1987
LA “CULTURA DEGLI ESEMPI”
NEL CONGETTURARE E NEL DIMOSTRARE: UNO STUDIO ESPLORATIVO
Francesca Morselli
PRIN 2005-06: “Aspetti linguistici e di rappresentazione nell’insegnamento-apprendimento
della matematica”, Unità Operative di Genova e Torino
In questo intervento si espongono alcuni risultati relativi all’uso ed al valore degli esempi numerici
all’interno dei processi di congettura e dimostrazione attuati da studenti universitari, nel contesto
della Teoria Elementare dei Numeri. Lo studio esplorativo condotto è volto a meglio delineare gli
elementi di una “cultura degli esempi” e si inserisce nella più ampia ricerca, argomento della mia
tesi di dottorato, sulla “cultura matematica” in azione nella attività di congettura e dimostrazione.
Nel mio studio, le attività di congettura e dimostrazione sono intese come casi particolari di
problem solving di tipo “aperto” (Pehkonen, ZDM 1991). In How to Solve It, Polya (1945),
riflettendo sulle fasi di risoluzione di un problema (understanding the problem, devising a plan,
carrying out the plan, looking back), sottolinea l’importanza di vedere il problema da vari punti di
vista, alla ricerca di un’”idea feconda”. Tra le tecniche euristiche, volte cioè a favorire la scoperta e
l’invenzione, Polya cita esplicitamente l’induzione, cioè la scoperta di leggi generali a partire
dall’osservazione e combinazione di esempi particolari. Alcock (PME-28) ha effettuato uno studio
sull’uso degli esempi da parte di docenti universitari, nel quale emerge che gli esperti fanno
riferimento ad esempi in tre classi di situazioni (understanding a statement, generating an
argument, checking an argument). Gli stessi docenti lamentano il fatto che i loro studenti non
sembrano in grado di utilizzare gli esempi nello stesso modo. Alcock cerca di individuare ragioni
per questo mancato utilizzo da parte degli studenti: in particolare, gli studenti tenderebbero a vedere
l’esercizio dell’attività matematica come mera riproduzione ed attuazione di procedure. D’altra
parte Alcock e Weber (ESM 2004, PME-29) hanno mostrato l’utilità di un referential approach to
proof, caratterizzato dall’utilizzo di particolari o generiche istantiations degli oggetti coinvolti nello
statement per guidare le inferenze formali. Tale approccio è contrapposto al syntactic approach to
proof, in cui la dimostrazione è prodotta mediante la sola manipolazione di definizioni ed
affermazioni.
Il mio studio è condotto a partire da protocolli di congettura e dimostrazione prodotti da
studenti universitari. Gli studenti hanno lavorato individualmente sui problemi proposti,
producendo risoluzioni scritte (era stato esplicitamente richiesto di documentare per iscritto tutti i
passaggi e, per quanto possibile, di commentarli); successivamente, sono state realizzate interviste
individuali semi-strutturate, in cui gli studenti sono stati invitati a ripercorre il loro processo
risolutivo a partire dalla traccia scritta ed a commentarlo. Nei casi di mancato completamento della
risoluzione per iscritto, gli studenti hanno potuto completare la risoluzione interagendo con
l’osservatore-intervistatore. Le interviste sono state audio-registrate. Agli studenti è proposta un
attività di congettura e dimostrazione in cui almeno teoricamente il ricorso agli esempi dovrebbe
essere fortemente favorito. Ci chiediamo dove, come e perché gli studenti utilizzano gli esempi
numerici. Ci chiediamo come gli studenti utilizzano gli esempi numerici in fase di scoperta della
congettura e se tale esplorazione numerica fornisce argomenti utili per produrre la successiva
dimostrazione (cfr. “Unità cognitiva”, Boero, Garuti e altri, PME-XX, XXI, XXII). Ci interessiamo
al tipo di esplorazione prodotta, a come è organizzata e sfruttata, a quali aspettative nutre lo
studente a riguardo. Ci interessiamo anche all’eventuale utilizzo di esempi in fase di costruzione
della dimostrazione ed alle modalità di gestione di un approccio “sintattico” o “semantico” alla
dimostrazione. Inoltre, avendo a disposizione protocolli di studenti universitari con un background
matematico diverso (studenti del corso di Laurea in Matematica al primo e terzo anno, studenti del
corso di Laurea in Scienze della Formazione Primaria), ci chiediamo se esistono differenze nell’uso
degli esempi numerici tra i vari gruppi.
LE GIOVANI GENERAZIONI LEGGONO
E CAPISCONO SEMPRE MENO: CHE FARE?
Consolato PELLEGRINO (°) e Luciana ZUCCHERI (*)
°
Dipartimento di Matematica, Università di Modena e Reggio Emilia, <[email protected]>.
*
Dipartimento di Matematica e Informatica, Università degli Studi di Trieste, <[email protected]>.
1. Premessa/Base di partenza
L’OCSE, con il progetto PISA varato nel 1997, a partire dal 2000 sta effettuando indagini triennali
a campione, sui quindicenni di vari Paesi (tra cui i suoi trenta stati membri), mirate a stabilire i
livelli di competenza in: comprensione di testi in lingua madre; matematica; scienze. I dati relativi
all’indagine PISA 2003 (cfr. ad es. rapporto INValSI, 2005; o Bolletta, 2005) hanno visto le
prestazioni della media degli studenti italiani collocarsi nelle fasce più basse in tutti e tre gli ambiti
disciplinari considerati. Tale indagine ha perciò verificato, su vasta scala, anche la forte
interconnessione che sussiste tra le competenze linguistiche e l’apprendimento della matematica già
evidenziata da altri studi (cfr. ad es. Ferrari 2004).
Noi non abbiamo soluzioni sperimentate da proporre per risolvere problemi così complessi,
ma, avendo avvertito questo fenomeno, già da tempo abbiamo ben presente l’importanza
della divulgazione e della cura dell’immagine della matematica a tutti i livelli, che comprende
la:
a) diffusione sui mass-media di notizie riguardanti la matematica;
b) divulgazione rivolta al grande pubblico;
c) divulgazione rivolta agli appassionati della matematica;
d) divulgazione rivolta ai vari ordini di scuola;
e) formazione ad hoc degli insegnanti.
La comunità matematica internazionale, in passato scarsamente sensibile all’immagine che dava di
sé e della disciplina di cui si occupa, ha cominciato a porsi il problema della divulgazione e della
immagine della matematica, tant’è che, negli anni attorno al 1990, sono stati organizzati vari
convegni per dibattere la questione e cercare dei correttivi. Di questi convegni ricordiamo qui
l’“ICMI Study”, svoltosi nel 1989 a Leeds nel Regno Unito (cfr. Howson e Kahane, 1990).
Da qualche tempo, però, l’importanza del punto (d) è condivisa da tutti, e non solo dai matematici,
soprattutto in base alla constatazione del fatto che la gran parte dei giovani non si orienta negli studi
superiori in settori scientifici. È infatti noto che i giovani che a livello preuniversitario non vengono
formati adeguatamente in matematica tendono a non proseguire gli studi superiori in campo
scientifico, o, se lo fanno, trovano maggiori difficoltà (cfr. ad es. Tobias, 1993, ed.it. 1994).
Da quanto finora evidenziato, consegue inoltre che la formazione degli insegnanti è un nodo
cruciale. È necessario però rompere il circolo vizioso di: i) una università che riceve dalla scuola
allievi poco preparati e li trasforma spesso in insegnanti con un bagaglio di conoscenze troppo
basso o troppo tecnicistico; ii) una scuola ove da tempo insegnanti con una cultura matematica
troppo bassa trasmettono all’università allievi sempre meno all’altezza delle difficoltà che devono
superare. Per fare ciò, riteniamo sia utile far nascere negli allievi e nei futuri insegnanti la curiosità
e l’interesse per la cultura matematica, con opportune iniziative. Ricordiamo qui quanto noi stessi
abbiamo fatto al riguardo, a partire da quando, nel corso di un Seminario Nazionale di circa dieci
anni fa, scoprimmo il comune interesse per la cura dell’immagine della matematica. Ciascuno di
noi aveva già seguito un suo percorso in questo ambito. Zuccheri aveva già progettato, realizzato
(cfr. Zuccheri, 1992 e 1996) e documentato con un video la mostra-laboratorio interattiva di
matematica Oltre lo specchio, che ha operato dal 1992 al 1996 nell’ambito de Il Laboratorio
dell’Immaginario Scientifico (7) di Trieste. Pellegrino invece, che già da tempo (cfr. ad es.
Pellegrino, 1986) si interessava di matematica e gioco, aveva preparato per l’ICME-8 di Siviglia,
assieme ad un’altra collega (cfr. Fiori e Pellegrino, 1996), una rassegna dei contributi dei ricercatori
italiani nell’ambito della cura dell’immagine della matematica. Il quadro ricco ed interessante
7
Science centre sorto per iniziativa di Paolo Budinich, uno dei fondatori dell’International Centre for
Theoretical Physics e della Scuola Internazionale Superiore di Studi Avanzati di Trieste, ed il sostegno di
Abdus Salam, premio Nobel (1979) per la Fisica.
emerso da tale studio ci spronò a intraprendere un percorso che descriveremo nel seguito, che è
stato, e continua ad essere, una piccola odissea.
2. La nostra (piccola) odissea
Il nostro progetto iniziale prevedeva la realizzazione di un video rivolto al grande pubblico, con il
proposito di presentare in modo semplice ma efficace le idee ed i metodi che da sempre
caratterizzano il lavoro dei matematici. A tale scopo abbiamo deciso di ricorrere ad una metafora,
già sviluppata e sperimentata con allievi di scuola media (cfr. Iaderosa e Pellegrino, 1990), basata
sulla sorprendente analogia che sussiste tra il giocare con il tangram e il fare matematica, inteso
come risoluzione dei problemi posti dallo stesso sviluppo delle conoscenze matematiche. Il video,
basato su un dialogo, prevedeva il ricorso ad attori o al cinema di animazione e ciò comportava
molte difficoltà, anche di carattere finanziario. Passando dalla forma dialogica a quella più
documentaristica, grazie al Servizio Televisivo Interdipartimentale dell’Università di Trieste, siamo
riusciti a realizzare, in italiano ed in inglese, una prima versione: “A che gioco giochiamo:
Tangram o Matematica?” (cfr. Pellegrino e Zuccheri, 1998) sin da allora visibile anche in rete (cfr.
<http ://www.univ.trieste.it/~nirtv/tanweb>). L’obiettivo era quello di arrivare ad una versione definitiva
per Il 2000 anno Internazionale della Matematica. In effetti, malgrado i riscontri positivi avuti
attraverso il sito e l’interesse suscitato in tutte le occasioni in cui abbiamo presentato il video, in
Italia ed all’estero (cfr. ad es. Pellegrino e Zuccheri, 2002), non siamo riusciti a trovare incentivi, né
indicazioni affidabili su a chi rivolgersi per realizzarne una versione più adatta al grande pubblico.
Nel 2001, per le difficoltà emerse, ma anche dopo aver constatato che la “globalizzazione”
dell'editoria stava producendo i suoi effetti anche sulla divulgazione della matematica, abbiamo
scelto una nuova strada, decidendo di spostare l’attenzione dal grande pubblico agli amanti della
matematica e della cultura, di accantonare temporaneamente i mezzi audiovisivi o multimediali e di
impegnarci in un progetto più tradizionale nella forma, ma innovativo nel contenuto. Abbiamo così
iniziato a trasformare il materiale preparato per la sceneggiatura del video in un libro-rassegna che
potesse fare da guida nella scelta di testi reperibili nelle librerie, ma anche nelle biblioteche
pubbliche e che, quindi, segnalando l’esistente, oltre a costituire un invito alla lettura, potesse essere
utile nella diffusione della cultura matematica, sempre più vittima di pregiudizi vecchi e nuovi.
A partire da una prima versione consistente in un articolo, già nel 2002 abbiamo realizzato una
prima stesura della monografia. Inizialmente un piccolo editore si offrì di pubblicarla, ma non
garantiva una vasta diffusione del libro e nel contempo ci impegnava a non pubblicare, senza suo
consenso, per ben dieci anni, un’altra opera della stessa natura. Successivamente, un importante
editore nazionale, cui due colleghi avevano trasmesso il nostro libro, non ritenne conveniente
pubblicarlo, dopo averci fatto attendere una risposta per quasi un anno.
Nel frattempo abbiamo continuato ad ampliare la monografia, incidendo più a fondo sulla sua
struttura. Per ampliare i temi trattati abbiamo anche aggiunto due capitoli, di cui una versione del
primo è stata pubblicata come articolo (cfr. Pellegrino e Zuccheri 2004), ed una del secondo è in
corso di pubblicazione (cfr. Pellegrino e Zuccheri 2005). Nel 2004, la pubblicazione del libro è
stata inserita, su richiesta di uno di noi (Pellegrino), in un programma di divulgazione del suo
dipartimento, e, superati altri imprevedibili scogli, finalmente sta per andare in stampa.
Il percorso da noi intrapreso ha quindi mostrato grosse difficoltà, nel momento di passaggio, dalla
fase di studio e progettazione, agli aspetti pratici connessi con la realizzazione e diffusione dei
prodotti finali: è impossibile curare l’immagine della matematica, come di qualunque altra cosa, con
prodotti a circolazione ristretta. È stato proprio in quel momento che abbiamo cominciato a
prendere coscienza del fatto che, malgrado l’importanza della questione, nel nostro ambiente,
perfino adesso che è stato varato il “Progetto Lauree Scientifiche”, non è facile avere i suggerimenti
giusti al momento giusto per superare difficoltà o, più semplicemente, per acquisire indicazioni utili
nella scelta dei mezzi (servizi, imprese, fondi, ...) necessari per realizzare prodotti destinati ad un
pubblico che non sia costituito solo da insegnanti o studiosi.
3. “Matematica da e-leggere”: una rassegna di/sulla matematica divulgativa
La monografia è corredata un ampio apparato di note, riferimenti bibliografici e web, riquadri di
approfondimento, figure (complete di didascalia) e riferimenti interni, in “risonanza” tra loro in
modo da:
– consentire una lettura a vari livelli di conoscenza, in più tempi (ad esempio, in prima lettura le
note possono essere tranquillamente saltate, anche se non si conosce la matematica o la sua
storia);
– puntare a soddisfare vari interessi (ad esempio, degli appositi riquadri possono suggerire un
percorso di lettura, evidenziare o mettere a fuoco aspetti particolari, suggerire riflessioni);
– offrire indicazioni ampie e dettagliate per approfondimenti (utili a non disperdere gli interessi
suscitati);
– offrire collegamenti (indispensabili per costruire o ampliare il proprio quadro di riferimento) tra
gli avvenimenti, i personaggi, le idee, il loro sviluppo e, più in generale, tra la matematica e le
altre discipline, le applicazioni, la società, la cultura, la quotidianità.
L' impostazione usata per la stesura di questo testo si propone di:
– stimolare la curiosità verso i vari aspetti della matematica;
– coltivare l'abitudine alla lettura anche nel campo della matematica;
– stimolare il desiderio di cercare approfondimenti di quanto si legge.
Queste possibilità, se verificate, mostrerebbero l’utilità del nostro elaborato per far fronte ai
problemi emersi con l’indagine PISA 2003. Per avere indicazioni sulla validità di questa ipotesi,
sulle abitudini di lettura dei giovani e sulle loro conoscenze, abbiamo predisposto un questionario
che stiamo proponendo agli allievi della SSIS e dei corsi di studi in matematica dell’Università di
Trieste e dell’Università di Modena e Reggio Emilia. L'analisi dei primi riscontri finora ci conforta
e ci dà buone indicazioni per continuare nel lavoro che abbiamo intrapreso.
Riferimenti Bibliografici
BOLLETTA R., 2005, L’Indagine PISA 2003, Archimede, n. 2, pp. 59-66
FERRARI P.L., 2004, Matematica e linguaggio, quadro teorico e idee per la didattica, Pitagora ed., Bologna,
pp. 112
FIORI C., PELLEGRINO C., 1996, The conceptual and popular images of mathematics, in MALARA N.A.,
MENGHINI M. e REGGIANI M. (eds.), Italian Research in Mathematics Education: 1988-1995, CNR,
Roma, pp. 176-191
HOWSON A.G., KAHANE J.-P. (eds), 1990, The popularization of Mathematics, Cambridge University Press,
Cambridge, pp. XI+210
IADEROSA R., PELLEGRINO C., 1990, Un'esperienza di utilizzo del Tangram in attività di matematica nella
Scuola Media, La Matematica e la sua didattica, n. 3, pp. 5-11
INValSI (SINISCALCO M.T., a cura di), 2005, Il Livello di competenza dei quindicenni italiani in
matematica, lettura, scienze e problem solving.
Prima sintesi dei risultati di PISA 2003,
<http://www.scienze.unipd.it/documenti/>, pp. 13)
PELLEGRINO C., 1986, Aspetti Matematici del Tangram, in Comune di Roma e ARCI (a cura di), 1986, Atti
Conv. Int. Scienza e Gioco (Roma, 1985), Sansoni, Firenze, pp. 345-367
PELLEGRINO C., ZUCCHERI L., 1998, A che gioco giochiamo: Tangram o Matematica?, Servizio Televisivo
Interd. Univ. Trieste, Trieste, video (durata 30’), in versione inglese, What are we playing: Tangram or
Math? (<http ://www.univ.trieste.it/~nirtv/tanweb>)
PELLEGRINO C., ZUCCHERI L., 2002, A Video about Mathematics, in Proc. CERME 2 (Czech Republic), part
1, pp. 260-261
PELLEGRINO C., ZUCCHERI L., 2004, Problemi & Congetture, Progetto Alice, n. 13, pp. 131-152
PELLEGRINO C., ZUCCHERI L., 2005, Gare & problemi, in stampa su Progetto Alice, pp. 40
TOBIAS S., 1993, ed.it. 1994, Come vincere la paura della matematica, Longanesi, Milano, pp. 262
ZUCCHERI L.,1992, Oltre lo specchio: storia e motivazioni di un’esposizione didattica, Atti del Conv. Media
e metodi 3: la matematica tra didattica e cultura (Trieste, 6-7 maggio 1992), Laboratorio
dell’Immaginario Scientifico, Trieste, pp. 143-150
ZUCCHERI L., 1996, Note per gli animatori della mostra laboratorio “Oltre lo specchio”, Quaderno
Didattico del Dipartimento di Scienze Matematiche, Università di Trieste, n. 32, pp. 30 (video allegato)
IL LABORATORIO DI MATEMATICA:
ATTIVITÀ DI RICERCA PER GLI STUDENTI
Mario Pennisi*
La ricerca nasce dall’esigenza di sviluppare appropriati metodi di insegnamento sia per
migliorare la preparazione matematica e sviluppare le capacità intellettuali degli allievi, sia per
superare quei problemi che nascono dalle difficoltà e dagli insuccessi che riguardano non pochi
giovani nell’ambito della loro educazione matematica. Ci siamo proposti quindi di ricercare e
battere nuove vie per risolvere il problema di fondo che consiste nel fare amare la matematica,
continuare a farla amare anche a coloro che già la amano, far prendere gusto a coloro che ancora
non l’apprezzano [9].
L’obiettivo generale di fondo consiste nel suscitare negli allievi un maggior interesse, occorre
quindi pensare ad un qualcosa di nuovo rispetto alla tradizionale attività che si tiene normalmente in
classe. Anche se l’idea di fondo su cui si basa la nostre proposta non è del tutto nuova, essa tuttavia
presenta delle variazioni e degli affinamenti rispetto a proposte, molto vicine a questa e portate
avanti già da molti anni, basate su un insegnamento per problemi.
L’idea consiste nel costituire in classe un laboratorio di ricerca matematica dove gli allievi
abbiano la possibilità di fare matematica, di provare il gusto di affrontare delle sfide intellettuali, di
sviluppare l’intuizione e le capacità argomentative e deduttive attraverso un’attività proporzionata
all’età, alle capacità, alle conoscenze. Nel laboratorio gli allievi formano una piccola comunità di
“ricercatori” guidati nella ricerca dall’insegnante e diventano protagonisti responsabili della
costruzione delle loro conoscenze.
Lo scopo principale del laboratorio consiste quindi nel rendere familiare agli allievi
l’atmosfera della ricerca, nel risvegliare in essi curiosità ed iniziativa, dando loro l’opportunità
di provare la gioia della scoperta e del raggiungimento del risultato.
Inoltre, in questo modo si possono maggiormente sviluppare la capacità di elaborazione
personale e l’educazione a pensare in modo autonomo. Gli insegnanti sanno che “i ragazzi riescono
a mobilitare notevoli risorse quando si appassionano ad un problema ed arrivano a sperimentare la
soddisfazione di risolverlo” [11].
Occorre precisare che tale attività di laboratorio non vuole sostituire quella tradizionale che si
svolge in classe e che rimane indispensabile per uno sviluppo unitario e sistematico della disciplina, ma
ad essa si affianca completandola e, al tempo stesso, consentendo di dare significato e motivazioni
concrete ad argomenti che spesso appaiono agli allievi come fini a se stessi e quindi inutili.
Per poter sviluppare una attività di laboratorio è necessario che l’insegnante abbia però a
disposizione una “biblioteca” di problemi, o meglio di “situazioni problematiche” da esplorare, che
richiedono una vera e propria attività di ricerca [12].
È opportuno proporre problemi la cui risoluzione richieda l’applicazione di nozioni e strumenti
già acquisiti, in quanto l’attività di laboratorio deve mirare soprattutto alle implicazioni di carattere
formativo più che all’acquisizione di nuove nozioni.
Inoltre i problemi devono essere ben calibrati, cioè non troppo facili ma nemmeno troppo
difficili: “Perché un problema matematico sia attraente deve essere difficile, ma non irresolubile,
altrimenti si ride dei nostri sforzi. Invece deve essere un vero proprio filo conduttore attraverso il
*
Nucleo di Ricerca Didattica, Dipartimento di Matematica e Informatica, Università di Catania
dedalo del labirinto delle verità nascoste e ricompensarci dei nostri sforzi con la gioia che ci procura
la scoperta della verità” [3].
L’insegnante non può però limitarsi a proporre il problema, egli deve predisporre una attività di
ricerca che, se necessario, indirizzi i ragazzi passo dopo passo, avendo cura di sostituire problemi di
una certa difficoltà con sequenze di problemi equivalenti di più facile approccio.
L’insegnante, nella “messa in opera” della ricerca, avrà cura, inizialmente, di richiamare gli
strumenti che saranno utilizzati nel corso dell’attività e di porre il problema con chiarezza e
precisione perché “ciò che è chiaro e limpido ci attira, ciò che è nebuloso e indeterminato ci
respinge” [3].
Gli allievi conseguiranno i vari risultati attraverso tentativi ed errori, sarà compito
dell’insegnante indirizzarli con appropriati suggerimenti, mettendone in crisi, mediante opportuni
contro-esempi, le proposte ancora da perfezionare e gratificandoli ogni qualvolta perverranno a un
risultato significativo.
In questa attività di ricerca e di scoperta può essere di valido aiuto l’uso del computer e in
particolare dei vari software didattici che si rivelano efficaci per proporre ed esplorare congetture,
per far intuire proprietà e suggerire possibili strategie di dimostrazione. Se la geometria come
scoperta è la strada privilegiata da seguire, i software di geometria dinamica rappresentano
sicuramente lo strumento ideale.
La ricerca si sviluppa in varie fasi. Abbiamo innanzitutto individuato e studiato numerose
situazioni problematiche da utilizzare come temi di ricerca [2, 5, 6, 7, 8, 10]. Di alcune di esse
abbiamo curato la trasposizione didattica in modo da progettare percorsi didattici da sperimentare in
classe [4]. Abbiamo inoltre avviato un’attività di sperimentazione in alcune classi del biennio delle
scuole superiori [2,8].
Diamo qualche cenno su alcune problematiche di ricerca affrontate.
Un tema di ricerca sviluppato è stato quello di determinare gli assi di simmetria in un qualsiasi
poligono (convesso o concavo) [4].
Tale argomento può essere affrontato mediante la teoria dei gruppi [1], oppure utilizzando i
metodi della geometria elementare e richiedendo come presupposti soltanto la conoscenza dei vari
tipi di isometrie e le loro composizioni [7]. Seguendo quest’ultimo approccio lo sviluppo del tema
non presenta particolari difficoltà e si presta bene ad essere utilizzato in una attività di laboratorio
che abbia le caratteristiche descritte sopra.
La ricerca sugli assi di simmetria nei poligoni può essere agevolata e resa più stimolante
mediante l’uso di un software geometrico di tipo dinamico come il Cabri Géomètre che,
semplificando la costruzione delle figure e permettendo la loro manipolazione, facilita la scoperta e
la verifica di congetture.
Il problema da affrontare, alla cui definizione l’insegnante perverrà assieme agli allievi, è: la
ricerca di una relazione tra il numero dei lati di un poligono e il numero dei suoi possibili assi di
simmetria. Esso sarà distinto nei casi n dispari ed n pari; inoltre, tenendo conto che nel caso pari vi
sono due tipi di assi di simmetria (assi passanti per vertici e assi non passanti per vertici), il caso
pari sarà suddiviso in tre sottocasi:
− poligoni aventi solo assi di simmetria passanti per vertici
− poligoni aventi solo assi di simmetria non passanti per vertici
− poligoni aventi sia assi di simmetria passanti per vertici che assi di simmetria non passanti per
vertici.
Il percorso da seguire nello studio dei vari casi può essere così schematizzato:
− studio di casi particolari (poligoni con un numero piccolo di lati)
− costruzione di poligoni aventi 1, 2, 3, …, d assi di simmetria
− determinazione di una condizione necessaria e sufficiente per l’esistenza di n-poligoni aventi un
determinato numero di assi di simmetria.
I risultati ottenuti potranno essere utilizzati per individuare classificazioni di n-poligoni.
Due altre attività di ricerche che stiamo sperimentando riguardano invece lo studio dei
quadrilateri.
La prima attività ha per oggetto l’insieme dei quadrilateri convessi aventi due lati consecutivi e
l’angolo compreso assegnati [2]. Cioè, fissato un triangolo ABC studiare l’insieme Q dei
quadrilateri convessi ABCD che si ottengono al variare del punto D del piano. Un generico
quadrilatero di Q non gode di caratteristiche geometriche particolari. Posizioni particolari del
vertice D determinano quadrilateri con specifiche proprietà. Gli studenti saranno indirizzati,
cercando di renderli via via sempre più autonomi, allo studio di quei sottoinsiemi di Q che si
determinano allorché il punto D varia o su una particolare retta o su una particolare conica. Si
individuano così in Q vari sottoinsiemi di quadrilateri che godono di particolari proprietà. I
numerosi sottoinsiemi di Q che si possono determinare presentano vari gradi di difficoltà per cui il
docente ha la possibilità di far lavorare gli allievi a piccoli gruppi, assegnando ad ogni gruppo lo
studio di uno o più sottoinsiemi. Una volta che i vari gruppi avranno portato a termine la ricerca, i
risultati trovati da ciascun gruppo potranno essere comunicati agli altri gruppi ed essere oggetto di
discussione in classe.
Successivamente gli allievi potranno studiare problemi di intersezione dei sottoinsiemi, che
permettono, tra l’altro, di ritrovare i vari tipi di quadrilateri convessi, e problemi di massimo e di
minimo per l’area e il perimetro di certi sottoinsiemi di quadrilateri.
La seconda attività nasce dal tentativo di estendere ai quadrilateri i concetti di mediana e
altezza di un triangolo [8].
Nel caso di un quadrilatero convesso le nozioni di bisettrice e asse possono essere
considerate senza alcuna variazione rispetto ai triangoli. In generale, però, non è detto che le
bisettrici concorrano in uno stesso punto; ciò accade se e solo se il quadrilatero è circoscrivibile
ad un cerchio. Un fatto analogo si ha per gli assi, che si incontrano in uno stesso punto se e solo
se il quadrilatero è ciclico.
Non è invece possibile estendere ai quadrilateri, in modo banale, le nozioni di mediana e
altezza, perché in un quadrilatero non si può parlare de lato opposto ad un dato vertice. Da qui il
problema: Come si possono estendere ai quadrilateri le nozioni di mediana e altezza, in modo da
ottenere proprietà analoghe a quelle relative ai triangoli?
L’attività mira a far pervenire gli studenti alla definizione dei concetti di bimediana ed maltezza. Studiando tali concetti si potranno scoprire interessanti proprietà sui quadrilateri, quali,
ad esempio, una semplice formula per calcolare l’area di un qualsiasi quadrilatero e un teorema
che caratterizza i quadrilateri le cui m-altezze concorrono in un punto.
Bibliografia
[1] M. Dedò, Forme. Simmetria e topologia, Zanichelli/Decibel, 2000.
[2] R. Greco – B. Micale – F. Milazzo, Le laboratoire de mathématique: an activité de recherche
sur les quadrilatères, Mathématique et Pédagogie, n. 146, 2004.
[3] D. Hilbert, Sur les problèmes futurs des Mathématiques, Congrès intern. Des math., Paris,
1900, trad. italiana in C.F. Manara – G. Lucchini, Momenti del pensiero matematico, Mursia,
1976.
[4] M.F. Mammana – M. Pennisi, Il laboratorio di matematica: un’attività di ricerca sugli assi di
simmetria di un poligono, L’Insegnamento della Matematica e delle Scienze Integrate, Vol. 28 B, n.
5, 2005.
[5] B. Micale, Problèmes de maximum et de minimum pour les triangles, Mathématique et
Pédagogie, n. 140, 2003.
[6] B. Micale – F. Milazzo, Famiglie di triangoli speciali, La Matematica e la sua Didattica, n. 4,
2004.
[7] B. Micale – M. Pennisi, Simmetrie nei poligoni, La Matematica e la sua Didattica, n. 3, 2003.
[8] B. Micale – M. Pennisi, On the altitudes of quadrilaterals, International Journal of
Mathematical Education in Science and Technology, Vol. 36, n. 1, 2005.
[9] Y. Noel, Congrès de Ferrières. Débat consacré à la philosophie des programmes, Mathématique
et Pédagogie, n. 95, 1994.
[10] M. Pennisi, Triangles et moyennes, Mathématique et Pédagogie, n. 99, 1994,.
[11] G. Prodi, Matematica come scoperta, vol. 1, 2a ed., Casa editrice G. D’Anna, 1989.
[12] G. Robert, Le triangle. Champ d'investigation et de découvertes, Mathématique et Pédagogie,
n. 91, 1993, 27-41; n. 92, 1993.
SULLA COMPRENSIONE DEL TESTO DI UN PROBLEMA
Mario Pennisi*
Negli ultimi anni, è stata posta dai ricercatori notevole attenzione alla formulazione e alla
comprensione del testo, come tema essenziale nell’insegnamento-apprendimento della
risoluzione del problema.
Obiettivo principale della ricerca è stato quello di studiare le difficoltà incontrate dagli
studenti di scuola media nell’interpretazione del testo. Essa è stata condotta mediante l’analisi
di questionari relativi a problemi proposti di vario tipo (standard, con più o nessuna
soluzione, allo stato grezzo, suddiviso in due parti proposte in alternanza a due questionari) e
successive interviste. Nei vari problemi erano presenti non solo dati essenziali alla risoluzione,
non sempre espressi attraverso numeri, ma anche informazioni sovrabbondanti o superflue,
anche di tipo numerico.
La ricerca è stata incentrata soprattutto sullo studio delle difficoltà che incontrano gli
studenti nel:
riconoscere le informazioni, anche se essenziali alla risoluzione del problema, qualora siano
espresse in forma non numerica;
distinguere i dati essenziali da quelli superflui;
comprendere alcuni termini specifici (ad es. doppio, triplo, maggiore, supera, ecc.), anche
nel caso che essi esprimano relazioni matematiche essenziali alla risoluzione di un
problema;
passare dal linguaggio naturale al linguaggio matematico e viceversa;
riconoscere problemi a più soluzioni o problemi incoerenti.
I principali risultati di questa ricerca sono contenuti nei lavori citati in bibliografia.
Hanno partecipato alla ricerca: D. Formica, G.B. Italia, A. Lo Cicero, C. Milone, A. Mirabella, M.
Pennisi, R. Riggio.
Principali riferimenti bibliografici:
[1] D. Formica - G.B. Italia - A. Lo Cicero - C. Milone - A. Mirabella – R. Riggio, Il problema dei
problemi: analisi di alcune difficoltà di comprensione del testo, L’Insegnamento della Matematica e
delle Scienze Integrate, Vol. 23 A, 4 (2000), 365-386.
[2] D. Formica - A. Mirabella – M. Pennisi, Un’indagine sulla comprensione del testo di un
problema: individuazione e analisi dei dati, L’Insegnamento della Matematica e delle Scienze
Integrate, Vol. 28 A, 4 (2005), 347-364.
[3] G.B. Italia – M. Pennisi – R. Riggio, Un’indagine sulle difficolta’ del linguaggio matematico, in
corso di stampa su Periodico di matematiche.
*
Nucleo di Ricerca Didattica, Dipartimento di Matematica e Informatica, Università di Catania
La riflessione dell’insegnante di matematica sulla propria relazione personale con la
disciplina di insegnamento: la mediazione verbale e non verbale del “discorso metaforico”
(“performativo”)
Angela Pesci
Dipartimento di Matematica, Università di Pavia
È ormai noto che nella formazione degli insegnanti sia necessario non limitarsi ad aspetti
strettamente disciplinari: la ricerca educativa ha sottolineato ampiamente che occorre tenere conto
dei soggetti nella loro globalità, fatta di esperienze pregresse, di personali motivazioni ad
apprendere, di personali convinzioni sulla disciplina e sul suo insegnamento, di specifiche qualità
cognitive, di particolari bisogni introspettivi ed interpersonali. Su questa base abbiamo realizzato,
con un gruppo di insegnanti di matematica, due esperienze specifiche8 (ed una terza è in corso),
intrecciando la dimensione disciplinare a quella personale, attraverso un discorso metaforico
artistico. Ci si è valsi, in modo particolare, della collaborazione di una esperta in tecniche
performative (la dott.ssa Anna Gallo Selva), sviluppando laboratori a partire dalla relazione
personale dei partecipanti con la disciplina di insegnamento.
Tali esperienze sono state connotate da precise caratteristiche: il ricorso ad attività di tipo
autobiografico, l’attenzione ai linguaggi non verbali (grafici, pittorici, gestuali,... sia nella
costruzione di sapere matematico che nello sviluppo di relazioni interpersonali) e soprattutto
l’utilizzo del discorso metaforico, da quello verbale a quello artistico.
Il discorso metaforico sembra capace di segnare in modo significativo la riflessione personale,
poiché coinvolge anche gli strati più profondi degli individui e questo è indispensabile per la
conoscenza. Ogni metafora comunica a due livelli, quello più superficiale del contenuto del
discorso e quello più profondo dei significati impliciti evocati; questo secondo livello è dato
dall’uso del linguaggio simbolico, che viene percepito dall’inconscio ed attiva interpretazioni
strettamente personali, spesso originali e significative.
La metafora dunque, proprio perchè è capace di parlare nel profondo alle persone, diventa una
modalità privilegiata per comunicare agli altri ma anche a se stessi, favorendo talvolta la propria
personale trasformazione.
8
La prima delle esperienze citate è stata descritta in dettaglio nella tesi dal titolo “La classe come
palcoscenico”, svolta a conclusione del master in “Linguaggi non verbali e della performance” che ho
frequentato
presso
l’Università
http://math.unipa.it/~grim/
di
Venezia
e
che
è
possibile
reperire
interamente
nel
sito
L’obiettivo delle esperienze svolte era duplice: da un lato si voleva offrire agli insegnanti coinvolti
nel progetto una esperienza significativa, che intrecciasse aspetti disciplinari (si è affrontato in una
esperienza il problema della duplicazione del quadrato e nell’altra il tema della dualità nei poliedri)
e personali e che favorisse sia la riflessione su di sé che un atteggiamento di accoglienza verso gli
altri (colleghi ed alunni); da un altro punto di vista si volevano avere a disposizione situazioni
privilegiate (come sono quelle performative) per analizzare meglio forme comunicative non usuali.
Negli studi svolti si è sviluppata l’analisi di alcuni aspetti specifici, ad esempio il cambiamento, in
alcuni insegnanti, della propria relazione con la disciplina matematica oppure lo sviluppo positivo
di modalità comunicative interpersonali (Pesci, 2005). Un’altra caratteristica delle esperienze svolte
è stato il riferimento continuo alle proprie storie professionali. E’ noto il ruolo svolto dalla
narrazione autobiografica nella formazione, in relazione al fatto che favorisce le relazioni in un
gruppo, la riflessione sulle proprie risorse, sulle proprie esperienze e la rivalutazione della propria
storia di insegnante.
In base alle esperienze svolte e a quella ancora in corso si vuole arrivare a progettare un modello di
intervento sugli insegnanti che intrecci la dimensione disciplinare a quella personale, si sviluppi con
una particolare attenzione alle modalità comunicative da utilizzare, favorisca la riflessione su di sé e
sulla disciplina di insegnamento ed abbia come obiettivo anche una ricaduta sull’attività di classe, a
livello disciplinare e relazionale.
BIBLIOGRAFIA
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in Psychotherapy, Brunner/Mazel Publ., NY, 1985
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relazioni d’aiuto, a cura di D. Demetrio, Unicopli
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problem solving, Proc.PME 22, Stellenbosch,Vol. 2, 176-183
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Cooney, T., Goffrey, F., Stephrns, M. & Nickson, M.: 1985, The professional life of teachers, For the
Learning of Mathematics, 5 (2), 24-30
Damasio A. R., 1999, Emozione e Coscienza, Adelphi
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Gallo Selva, A., Pesci, A.: 2004, Taking into account metaphors, autobiographies and non verbal languages
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professionale degli insegnanti di matematica: analisi di un’esperienza, Atti Convegno “Insegnare la
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Pesci A., 2005, La riflessione dell’insegnante sulla propria relazione con la matematica attraverso linguaggi
verbali e non verbali: una fase importante per poi affrontare in classe le difficoltà in matematica,
Matematica&Difficoltà n. 13, “Alunni, Insegnanti, Matematica Progettare, animare, integrare”, a
cura di A. Davoli, R. Imperiale, B. Piochi, P. Sandri, Pitagora, 49-64.
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risultati, Franco Angeli, Milano
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Ruggieri V., 2001, L’identità in psicologia e teatro, Ed. Scientifiche Ma.Gi., Roma
Lavoro svolto nell’ambito del progetto PRIN 2004: “Aspetti linguistici e di rappresentazione
nell’insegnamento-apprendimento della matematica”, coord. P. Boero, Genova.
Titolo del progetto sviluppato dall’Unità Operativa di Pavia: “Linguaggi verbali e non verbali per
comunicare in matematica: aspetti storico epistemologici, situazioni di classe, mediazioni
tecnologiche”
Matematica, tecnologie informatiche e modelli teorici:
una integrazione per rivedere materiali e attività.9
Maria Reggiani
Università di Pavia
Base di partenza scientifica
Lo studio dell’uso didattico dei C.A.S. costituisce un punto di incontro fra lo studio dei processi
legati all’insegnamento-apprendimento dell’algebra e quello sul ruolo della tecnologia
nell’educazione matematica.
9
Ricerche svolte nell’ambito del progetto “Aspetti linguistici e di rappresentazione
nell’insegnamento-apprendimento della matematica” (PRIN 2004 - Boero), sottoprogetto
“Linguaggi verbali e non verbali per comunicare in matematica: aspetti storico epistemologici,
situazioni di classe, mediazioni tecnologiche” (coord. A. Pesci)
Il contesto più ampio della ricerca è il problema dell’integrazione delle tecnologie informatiche
nell’insegnamento e della conseguente trasformazione della pratica didattica, in relazione al ruolo di
mediazione svolto dal particolare strumento tecnologico considerato ed alle complesse interazioni
fra oggetti matematici, strumenti, modalità di utilizzo, studenti, insegnanti. (fra i riferimenti su
questo punto Lagrange 2000, Artigue 2001, Mariotti 2002, Hoyles Noss 2003).
In particolare sono elementi centrali del quadro teorico di riferimento di questo lavoro:
- la distinzione tra strumenti tecnici e psicologici; il loro ruolo di mediazione semiotica (Vygotskij)
- la teoria ergonomica di Rabardel
- le diverse teorie sulla scuola come laboratorio (Dewey, scuola attiva, strutturalismo, De
Bartolomeis, approcci costruttivisti, Sociologia della Conoscenza Scientifica), a partire dalle quali
si sta studiando, in collaborazione con G. Chiappini (ITD CNR Genova) una nozione di laboratorio
di matematica che possa costituire un quadro teorico utile sia per la costruzione di software
didattico che per la progettazione e l’analisi di esperienze didattiche con l’uso di software.
Stato della ricerca
- Sono stati svolti studi comparati di diversi ambienti (calcolatrici grafico-simboliche, diverse
versioni di Derive, Autograph) relativamente a temi specifici. Questa analisi è stata effettuata
ponendosi dal punto di vista dell’insegnante, che, in generale, si trova a dover scegliere un
software commerciale o comunque progettato da altri. Spesso, come è noto, la scelta condiziona
le successive possibilità di progettare attività didattiche.
- Si sono analizzate attività didattiche già svolte con l’obiettivo di esaminare al loro interno:
- le diverse modalità di utilizzo del software
- gli oggetti matematici coinvolti
- gli aspetti simbolici/linguistici
- i diversi ruoli dell’insegnante
Una di tali analisi, relativa ad attività di approccio all’algebra, è stata presentata a Cerme 4
- Si intendono progettare revisioni mirate delle stesse attività a partire dalle analisi svolte e dallo
studio teorico sopra citato.
Nell’intervento, dopo avere illustrato i punti sopra citati, ci si è soffermati su due esempi: lo studio
di sistemi di curve dipendenti da parametri e lo studio della sintassi della funzione Vector in Derive.
Il primo esempio è stato utilizzato per mostrare come software diversi o anche differenti versioni
dello stesso software permettano di gestire in modo molto diverso le attività didattiche e i concetti
matematici ad esse collegati. Nel caso considerato ci si è soffermati sul ruolo che può essere svolto
dalla presenza o meno del colore nella rappresentazione e dalla possibilità di agire in modo
dinamico sul parametro a livello di rappresentazione grafica.
Il secondo esempio è stato invece utilizzato per proporre una attività didattica in cui gli aspetti
simbolico-linguistici e il modo in cui gli oggetti matematici sono “riconfigurati” dal software
giocano un ruolo essenziale.
Riferimenti bibliografici
Artigue, M.: 2001, ‘Learning mathematics in a CAS environment: the genesis of a reflection about
instrumentation and the dialectics between technical and conceptual work.’ 2° CAME
Symposium. Utrecht, The Netherlands.
Baldrighi, A., Belloni, A., Pani, R., Reggiani, M., Toma, D. & Vettore, S.: 2005, ‘L’insegnante
di matematica nel laboratorio di informatica: dalla proporzionalità all’equazione della
retta, fra scuola media e biennio di scuola superiore, con Derive.’ L’Insegnamento della
Matematica e delle Scienze integrate
Chiappini, G. & Reggiani, M.: 2003, ‘Toward a didactical practice based on mathematics laboratory
activities’, Proceedings of Cerme 3, http://www.dm.unipi.it/~didattica/CERME3/proceedings/
Lagrange, J.B. : 2000, ‘L’integration d’instruments informatiques dans l’ensegnement: une
approche par le techniques’ Educational studies in mathematics, 43, 1, 1-30.
Mariotti, M.: 2002, ‘The Influence of technological advances on students' mathematics learning’, in
English, L. et al. (eds.), Handbook of International Research in Mathematics Education,
Lawrence Erbaum Associates,695-723.
Hoyles, C. & Noss, R.: 2003, ‘What can digital technologies take from and bring to research in
mathematics education?’ In Bishop A. (ed.) Second International Handbook of Research in
Mathematics Education, Dordrecht: Kluwer, 323-349
Reggiani M. 2005 Mathematics laboratory activities with Derive: examples of approaches to
algebra, Cerme 4 http://merg.umassd.edu/cerme4-9/papers/
Vérillon, P. & Rabardel, P.: 1995, ‘Artefact and cognition: a contribution to the study of thought in
relation to instrumented activity’. European Journal of Psychology in Education, vol. IX, n°3.
Vygotskij, L.S.: 1978, Mind in society. The development of higher psychological processes.
Cambridge, MA:Harvard University Press.
Linee di ricerca della sede di Firenze
-
A Firenze la ricerca si è concentrata sui problemi degli studenti deboli (per disabilità o altri
motivi). Si tratta di un aspetto particolare delle difficoltà nell’apprendimento della matematica, dato
che si tratta di coniugare le problematiche generali della disciplina con situazioni di “difficoltà”
soggettive.
La linea adottata è stata quella di considerare l’integrazione (scelta generale della scuola
italiana) come una risorsa e non come un ostacolo aggiuntivo, sperimentando proposte di attività
che potessero rispondere ai bisogni generali, anche grazie a specifici inserimenti studiati per ragazzi
con problemi particolari.
Gli ordini di scuola principalmente considerati sono stati la Scuola primaria (oltre al
coordinatore B. Piochi, sono coinvolti una decina di insegnanti) e la Scuola Secondaria di II grado
(altri 4 insegnanti; in questo caso la ricerca è andata avanti parzialmente in parallelo con Bari).
Sono state predisposte e sperimentate attività su temi diversi:
Geometria, Problemi, Argomentare nelle Scuola primaria;
Matematica a partire da situazioni problematiche professionali o interdisciplinari nella
Scuola secondaria.
Le pubblicazioni (successive al 2003) in cui sono esposte le linee generali e riportati alcuni
esempi delle attività svolte sono le seguenti
Contardi A., Pertichino M. e Piochi B., 2004, Mathematical targets and personal autonomy, Down
Syndrome news and update vol 4, I (July 2004), pp. 17-21
Piochi B., R.L. Ancona, Mathematics in Italian Vocational Schools (‘Istituti professionali’),
ICME 10, Copenhagen 2004, www.icme-organisers.dk/tsg07/PIOCHI_ANCONA.pdf
Contardi A., Pertichino M. e Piochi B.: 2004, Insegnare la matematica a studenti disabili,
Edizioni ETS, Pisa
B. Piochi, A Contardi, M. Pertichino, Qualcosa in più: l’integrazione come valore aggiunto
nel viaggio di apprendimento della matematica. In A. Davoli, R. Imperiale, B. Piochi, P.Sandri (a
cura di), Alunni, insegnanti, matematica. Progettare, animare, integrare, Pitagora ed., Bologna
2005, pp. 65-78
B. Piochi, F. Pretelli, C. Rossetti, M. Cipriani, Zebre nella Savana. A. Davoli, R. Imperiale, B.
Piochi, P.Sandri (a cura di), Alunni, insegnanti, matematica. Progettare, animare, integrare,
Pitagora ed., Bologna 2005, pp. 231-234
B. Piochi, “Dictation” of geometrical shapes with 7yo pupils. In J. Novotnà (ed.),
Proceedings of International Symposium Elementary Maths Teaching, Praga August 21-26, 2005;
pp. 357-358.
B. Piochi, Quale contributo della matematica per una educazione trasversale? e Alcune idee
per una educazione matematica “trasversale”. In F. Cambi e M. Piscitelli (a cura di), Complessità
e narrazione. Paradigmi di trasversalità nell’insegnamento, Armando editore, Roma 2005; pp. 115128 e 248-255
Programmazione e Valutazione in Matematica negli Istituti Professionali
Problema di ricerca:
Sugli Istituti Professionali si dirigono i potenziali “candidati alla dispersione”, quei ragazzi
che sperano in una scuola “concreta” che possa anche quindi offrire una proposta di
matematica “concreta”, basata su applicazioni avanzate di matematica elementare più che su
applicazioni elementari di matematica avanzata.
A nostro avviso, una delle ragioni di questo fallimento sta nel non aver sufficientemente considerato la funzione duale
della conoscenza: una funzione teorica che produce nuova conoscenza e una funzione pratica che produce risultati in
particolari campi di applicazione.
L’insegnamento della matematica ha infatti una profonda valenza culturale e sociale, è una delle chiavi con cui si potrà
rispondere ai bisogni di conoscenza e democrazia nella “società conoscitiva”. Quindi, la nostra ricerca, in
collaborazione con il Prof. Brunetto Piochi (Università di Firenze), si inquadra nella necessità che apprendimenti
matematici in un istituto professionale debbano avere sempre ben presente la necessità di promuovere le competenze
necessarie a operare transfer di apprendimento su diversi livelli: da una situazione in classe a un’altra, dalla classe al
mondo del lavoro, ma anche da situazioni professionali a più generali questioni matematiche che potrebbero fornire
nuove strategie risolutive di problemi connessi al mondo del lavoro.
Quadro Teorico:
Molti autori mettono in evidenza come spesso le tecniche matematiche realmente utilizzate nel mondo del lavoro
sono molto differenti da quelle teoriche. Dal punto di vista “matematico” un applicazione della disciplina
coinvolge situazioni in cui specifici strumenti matematici possono essere individuati e applicati: i problemi sono
intesi come contesti applicativi. Dal punto di vista professionale, un’applicazione della matematica sembra
assumere significato se permette miglioramenti nel campo del lavoro.
Di conseguenza sembra indispensabile, una collaborazione fra disciplinaristi ed esperti del mondo del lavoro per
individuare percorsi di apprendimento e significative situazioni didattiche e a-didattiche di vario tipo, che mettano
in contatto questi due mondi, alla ricerca di proposte che possano essere feconde di significati sia per la
matematica che per l’esperienza professionale.
Aspetti di Metodo:
Dal confronto delle competenze matematiche richieste sul lavoro con quelle espresse nei programmi (e ancor di più con
la prassi didattica vigente) emergono notevoli differenze, ma scaturiscono valide indicazioni per un modo di “fare
matematica” strettamente intessuto con l’insegnamento delle discipline professionali. Conseguentemente l’insegnante di
matematica trae spunti per la proposta di attività contestualizzate nell’ambito professionale e al tempo stesso ricche di
contenuti matematici. La contestualizzazione permette all’alunno di “dare significato” al suo studio matematico e
influisce sulla motivazione ad apprendere. Accanto a queste attività, la proposta di altre occasioni di esercitazione non
contestualizzate sugli stessi contenuti permette agli alunni di rinforzare, generalizzare e rendere “trasferibile” quanto
appreso.
Si è avviata una collaborazione di ricerca e sperimentazione fra docenti di matematica e specialisti del mondo del
lavoro, finalizzata a una integrazione fra le reciproche proposte. Non soltanto infatti è necessaria l’introduzione di
specifici concetti, ma essi vanno sufficientemente approfonditi al punto tale da far emergere la loro connessione con la
realtà professionale. Il punto di forza di questo approccio risiede, quindi, non tanto nella ricerca di strategie didattiche
da attuare in aula, ma nella ricerca, a monte, di quali concetti trattare, nella strutturazione di una programmazione
funzionale alla formazione professionale.
Risultati:
- La sinergia tra insegnanti di matematica e di discipline professionali ha permesso di
rileggere dal punto di vista disciplinare una determinata situazione professionale, oltre che
riconoscere la propria responsabilità individuale per la conquista di “necessarie” competenze
matematiche finalizzate alla risoluzione di situazioni professionali.
- L’individuazione dei concetti matematici necessari ha motivato una fase di
approfondimento, richiamo, chiarimento degli stessi mediante strategie alternative più
prettamente matematiche ed esercizi di rinforzo.
- La crescita quantitativa degli studenti che riconoscono strumenti matematici utilizzabili in
ambiti diversi.
- La motivazione allo studio che porta ad interessarsi dei problemi proposti anche partendo
da livelli diversi di competenze disciplinari.
Problemi Aperti:
- Verificare in più indirizzi professionali l’efficacia della proposta.
- Il progettare in modo organico e non solo contingente un lavoro sinergico tra insegnanti di
matematica e docenti di discipline professionali.
- Monitorare in diversi ambienti di lavoro successivi alla qualifica l’efficacia dei risultati
ottenuti in ambito scolastico.
Persone Coinvolte:
R. L. Ancona, A. Angiolo, E. Faggiano, A. Montone, M. Pertichino , B. Piochi (Università di Firenze) e due classi
dell’Istituto Professionale Statale Santeramo (Ba) per i settori Operatore Chimico-Biologico e Operatore della moda..
Riferimenti Bibliografici:
[1] Angiulo A. and Pertichino M.:2001, L’esperienza di Beatrice dentro, contro, con la matematica: Un percorso di apprendimento nella secondaria
superiore. In Contardi A. e Piochi B. (eds.), 2002, Le difficoltà nell’apprendimento della matematica. Metodologia e pratica di insegnamento, Ed.
Erickson, Trento, pp. 247-257
[2] R. L. ancona, B. Piochi,Mathematics in Italian Vocational School, ICME10 2004, www.icme-organizers.dk/tsg07/PIOCHI_ANCONA.pdf
[3] R.L. Ancona, A. Montone, M. Pertichino, A Peer Tutoring project in a situation of learning difficulty:
Mathematics in Vocational School, CIEAEM 57, Italy 2005, pp. 114-119
[4] Bernardi, C., Arzarello, F.(Eds.): 1996, Educational System and Teacher Training in Italy, UMI-CIIM
[5] Bessot, A. & Ridgway, J. (eds): 2000, Education for Mathematics in the Workplace, Kluwer Acad.
[6] Ernest, P. : 1998, Mathematical Knowledge and Context. In A. Watson (Ed.), Situated Cognition and the Learning of Mathematics. Centre for
Mathematics Education Research: University of Oxford.
[7] Forman, S. L., and Steen, L. A. : 1995, Mathematics for Work and Life. In I.M. Carl (Ed.), Prospects for School Mathematics: Seventy Five Years
of Progress (pp. 21 9-241). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.
[8] Noss, R., and Hoyles, C. :1996, The Visibility of Meanings: Modelling the Mathematics of Banking. International Journal of Computers for
Mathematical Learning, 1(1), 3-31.
L’Educazione alla Matematica nella Formazione degli Adulti.
Problema di ricerca:
Lo studio dei mondi cognitivi adulti costituisce, oggi, uno dei territori di ricerca più ampi e
affascinanti e, nello stesso tempo, geografia quasi del tutto inesplorata anche per la
complessità che presenta l’incontro con l’adultità.
Da indagini internazionali è emerso che il 36,5% della popolazione è ai limiti
dell’analfabetismo riguardo al possesso di abilità necessarie alla comprensione di grafici,
schemi e tabelle e che il 32% lo è, per quanto riguarda le capacità nel calcolo, nelle operazioni
aritmetiche, nella risoluzione di problemi e nel calcolo delle percentuali. (CENSIS, 2000). Di
contro, l’incremento di un anno nel livello medio d’istruzione della popolazione in età
lavorativa produrrebbe, sul lungo periodo, un aumento del prodotto pro/capite compreso fra
il 3,8% e il 6,8%, come da Rapporto CENSIS, 2001. Dalla convinzione che le competenze
acquisite in Matematica dalla popolazione scolastica, costituiscano uno degli indicatori più
indicativi della qualità del sistema di istruzione di un Paese è nato un percorso di ricerca
dedicato al consolidamento delle competenze matematiche in un gruppo di adulti, presso il
Centro Territoriale Permanente di Barletta (Ba), strutturato intorno a tre unità: il Viaggio,
la Statistica, l’Alimentazione.
Quadro Teorico:
L’interpretazione degli scenari socio/economico/culturali, le analisi storiche, gli studi nel campo della didattica e gli
approdi in quello dell’andragogia, le tendenze rilevate a livello internazionale, la Strategia di Lisbona, le indicazioni
dell’UE circa gli obiettivi da raggiungere entro il 2010, gli imperativi posti dalla Società della Conoscenza ed un
ragionare del Mondo e dei Saperi che occorrono alla sua comprensione, tutto, oggi, sembra confermare la validità e,
nello stesso tempo, l’opportunità di continuare un lavoro intrapreso con molta fatica e qualche perplessità. Il modello di
riferimento è quello disegnato da M. Knowles, definito “Andragogico”.
Aspetti di Metodo:
Organizzazione del percorso per unità autonome, non in sequenza temporale;
Superamento della tradizionale gerarchia degli argomenti;
Matematizzazione di contesti di realtà, dentro ambienti/laboratorio;
Proposta di unità di indagine organizzate intorno a situazioni/problema;
Problem posing e solving;
Creazione di luoghi di ascolto e partecipazione;
Valorizzazione del vissuto esperenziale e riconoscimento dell’autonomia cognitiva;
Strutturazione di percorsi di apprendimento per ritrovamenti;
Ibridazione di modelli didattici;
Valutazione autentica.
Risultati:
Consapevolizzazione delle competenze possedute dai corsisti e delle procedure messe in campo attraverso momenti di
confronto, verifica e autovalutazione, dentro un processo teso a portare a sistema un intero, anche se a volte confuso ed
incerto, bagaglio di conoscenze e abilità che si è andato consolidando e irrigidendo nel tempo di una vita.
Scoperta, all’interno del bagaglio culturale di ogni corsista, dell’esistenza di competenze matematiche silenziose, forse
non ortodosse, legate al buon senso e a quella cultura esperenziale che nasce dalla volontà e dalla necessità di affrontare
e vincere le mille sfide di una quotidianità difficile, ma non impossibile da gestire.
Generalizzazione delle soluzioni di un problema e sviluppo delle capacità di trasferimento dello schema risolutivo
adottato ad altre situazioni.
Rilevazione, nei corsisti, di un alto grado di soddisfacimento;
Convinzione di continuare nel percorso intrapreso.
Problemi Aperti:
Individuare competenze matematiche in grado di migliorare il vissuto quotidiano degli adulti, rendendolo meno
difficoltoso e arduo
Individuare una varietà di contesti di vita matematizzabili;
Rilevare modalità per individuare e aggiornare le competenze cross- curricolari, forti, stabili ed grado di perdurare nel
tempo e di resistere all’urto di cambiamenti veloci, profondi ed incessanti.
La formazione dei formatori
Persone Coinvolte:
R. L. Ancona, G. Capotorti, S. Caputo, E. Faggiano, L. Faggiano, M.L. Laforgia, A. Montone, M. Pertichino e 31
corsisti adulti e giovani/adulti.
Riferimenti Bibliografici:
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CENSIS, 35^ Rapporto sulla situazione sociale del Paese, Milano, F. Angeli, 200/’01
Consiglio U.E. “Istruzione e Formazione 2010 “L’urgenza delle riforme” Bruxelles 2004
Demetrio D.(a cura di), Apprendere nelle organizzazioni, Carocci editore, Roma, 2000
Demetrio D., Educazione Permanente in Dizionario critico dell’Autonomia scolastica, L.Ruggiu (a cura di) Carocci editore, Roma 2000
Demetrio D., Manuale di educazione degli Adulti, Laterza editori, Bari 2003
Dichiarazione finale della V Conferenza internazionale sull'Educazione degli Adulti, Amburgo, luglio 1997
Direttiva del 6 febbraio 2001, n.22
Memorandum sull’Istruzione e la Formazione permanente, Bruxelles, 30/10/2000
M. Knowles, La Formazione degli adulti come autobiografia, Cortina editore, Milano 1996
M. Knowles, Quando l’adulto impara, editore Franco Angeli, Milano 1996
Ordinanza Ministeriale del 29 luglio 1997, n.455
OCSE, Literacy in the Information Age, Paris, 2000 - 12. OCDE, Lifelong Learning for all, Paris, 2000
OCDE, Measuring Student Knowledge and skills, Paris, 2000
Wedege T., To know or not to know- mathematics, that is a question of context, Educational studies in mathematics, n.39, 1999,
Maria Polo (Cagliari)
Rosetta Zan (Pisa)
Stato dell’arte delle ricerche sul tema “Atteggiamento negativo nei confronti della
matematica” realizzate nell’ambito del Progetto Nazionale FIRB - RBAU01S427_004,
responsabile scientifico nazionale R. Zan, Università di Pisa – Unità locali: Pisa, Alessandria,
Cagliari, Napoli
Persone coinvolte:
Personale strutturato: Rosetta Zan, Roberto Tortora, Maria Polo, Pier Luigi Ferrari, Nicolina
Malara, Fulvia Furinghetti, Donatella Iannece
Dottorandi, contrattisti, altro,..: Pietro Di Martino, Maria Mellone, Francesca Morselli,
Monica Alberti, Valentina Bigini
Problema di ricerca: indagare sull’evoluzione dell’atteggiamento nei confronti della
matematica.
Quadro teorico: Problematiche relative al costrutto di “atteggiamento verso la matematica”,
in particolare di “atteggiamento negativo/positivo”:
- definizione di atteggiamento (Ruffell e altri, 1998; Daskalogianni & Simpson,
2000; Di Martino e Zan, 2001, 2003)
- strumenti e dispositivi sperimentali per l’osservazione dell’atteggiamento (Leder,
1992; Schoenfeld, 2002; Mason & Waywood 1996)
- strumenti per l’analisi qualitativa e quantitativa dei dati dell’osservazione (Cohen
& Manion, 1994; Gras et al., 1996; Lieblich et al., 1998; Demazière e Dubar,
2000)
Risultati
Lavori pubblicati: Di Martino, 2004, Polo & Zan 2005, Di Martino & Mellone, 2005, Di
Martino & Zan 2005, Cusi & Malara, 2005, Polo 2005
Lavori in fase di redazione: Di Martino, Mellone, Morselli, ‘L’atteggiamento nei confronti
della matematica e la scelta degli studi universitari’
Lavori redatti come rapporti tecnici interni: griglie di interviste, schede di monitoraggio,
strumenti di analisi e analisi di dati preliminari,…
Problemi aperti: sul costrutto di atteggiamento, sui dispositivi sperimentali, sugli aspetti di
metodo.
Riferimenti bibliografici
Cohen L., Manion L. (1994). Research Methods in Education. London: Routledge.
Cusi A. & Malara N. La matematica nelle concezioni di studenti del liceo scientifico: risultati di un’indagine in alcune
classi. La Matematica e la sua Didattica, n.4, 2005
Daskalogianni K., & Simpson A. (2000). Towards a definition of attitude: the relationship between the affective and the
cognitive in pre-university students. Proceedings of PME 24 Demazière D., Dubar C. (2000). Dentro le storie.
Analizzare le interviste biografiche. Raffaello Cortina Editore.
Di Martino P. (2004) ‘From single beliefs to belief systems: a new observational tool.’ Proceedings of PME 28
Di Martino P., Mellone M. (2005) ‘Trying to change attitude toward maths: a one-year experiment’ (accettato per la
pubblicazione), Atti del Convegno Cerme, Febbraio 2005.
Di Martino P., Zan R. (2001). Attitude toward mathematics: some theoretical issues. Proceedings of PME 25 (Utrecht,
Netherlands), vol.3, 351-358.
Di Martino P., Zan R. (2003). What does ‘positive’ attitude really mean?, Proceedings of PME 27
Di Martino P. & Zan R. (2005), ‘Raccontare il contare. L’incontro-scontro con la matematica nei resoconti degli
allievi’. In P. Gisfredi (a cura di) Itinerari fra storie e cambiamento: momenti e processi formativi, Clueb Editrice
Gras R. et al (1996): L'implication Statistique, Collection Associée "Recherches en Didactique des Mathématiques", La
Pensée Sauvage, Grenoble
Leder G. (1992). Measuring Attitudes to Mathematics. Proceedings of PME 16
Lieblich A., Tuval-Mashiach R., Zilber T. (1998). Narrative research. Reading, analysis, and interpretation. SAGE
Publications.
Mason J. & Waywood A. (1996), the Role of Theory in Mathematics Education and research. In A. Bishop (Ed.)
International Handbook of Mathematics Education, Kluwer Academic Publishers
Polo M, 2005, Per vincere la paura e il rifiuto della matematica: cosa fare?, Atti Convegno Nazionale XIX Incontri con
la Matematica, Castel San Pietro 4-6 Novembre 2005.
Polo M & Zan R., Teachers use of construct ‘attitude’. Preliminary research findings (accettato per la pubblicazione),
Atti del Convegno Cerme, Febbraio 2005
Ruffell M., Mason J. & Allen B. (1998). Studying attitude to mathematics. Educational Studies in Mathematics, 35
Schoenfeld A. (2002). Research Methods in (Mathematics) Education. In L. English (Ed.) Handbook of International
Research in Mathematics Education, Lawrence Erlbaum Associates
Zan R. & Di Martino P. (2003). The role of affect in the research on affect: the case of ‘attitude’. Proceedings of the
3d Conference of the European Society for Research in Mathematics Education (CERME 3)
Materiali e tecnologie per l’insegnamento della geometria tridimensionale nelle scuole secondarie
superiori
Enrico Rogora
Inquadramento generale delle ricerche
La ricerca si collega a quella proposta da Accascina per il Cofin 2005 coordinato coordinato da Mariolina Bartolini
Bussi.
Attualmente la geometria euclidea dello spazio è poco insegnata nelle scuole secondarie superiori e nell’università.
Una delle principali ragioni dipende dal fatto che i diagrammi che rappresentano oggetti tridimensionali sono di difficile
interpretazione.
“The survey by the French Ministry of Education shows that the fifteen-year-old student most repulsive subjects in
mathematics were spatial geometry and statistics. Only ten percent of teachers taught spatial geometry. They said that
they did not have enough time to teach it, but the real reason is that the students cannot see in 3D. We mean this, as the
students cannot picture spatial situation of a teacher blackboard figure.” [Bako, 2003].
Non viene posta molta attenzione alle capacità di visualizzazione degli oggetti nello spazio da parte degli studenti.
“It seems that there is a hidden naïve assumption that somehow students do have visual thinking abilities and that they
apply visual reasoning when they have to.” [Hershkowitz et al., 1996], pp. 166.
L’assunzione di cui parla Hershkowitz nel brano citato, è non solo ingenua ma anche pericolosa, specialmente nel caso
della geometria dello spazio, in cui è molto facile avere idee vaghe e distorte sugli oggetti geometrici e sulle relazioni
intercorrenti tra essi ed è difficile eliminarle.
Per aiutare a sviluppare buone immagini concettuali [Tall, 1982] degli oggetti geometrici tridimensionali, gli insegnanti
hanno a disposizione alcuni strumenti: modelli, manipolativi e diagrammi.
Tema della ricerca
Il recente sviluppo di software di geometria dinamica tridimensionale, come Cabri 3D, permette di avere un nuovo
strumento potenzialmente importante per sviluppare l’educazione visuale della geometria solida.
Il nostro gruppo di ricerca analizza le possibilità didattiche di Cabri3D e le confronta con l’uso di modelli, manipolativi
e diagrammi. In particolare il gruppo sta studiando le misconcezioni che possono nascere dall’interpretazione dei
diagrammi di Cabri3D e il supporto che tale strumento può offrire per sviluppare le capacità visuali degli studenti e le
corrette immagini concettuali degli oggetti tridimensionali.
Abbiamo svolto esperimenti sia con studenti di scuole secondarie superiori che con futuri insegnanti (specializzandi
SSIS). I primi risultati sono stati presentati alla 7th International Conference on Technology in Mathematics
che si è svolta a Bristol nell’estate del 2005 [Accascina, Rogora, 2005a] e [Accascina, Rogora, 2005c].
In [Accascina, Rogora, 2005b] si propone lo sviluppo di agili percorsi tematici che, senza la pretesa di organicità,
possano illustrare aspetti importanti e circoscritti della geometria tridimensionale che sono importanti nell’educazione
matematica.
Composizione del gruppo di ricerca.
G.Accascina, E. Rogora (docenti universitari),
M. Batini, F. Del Vecchio, G. Margiotta, E. Pietropoli, D. Valenti (docenti di scuole secondarie superiori).
Riferimenti bibliografici.
[Accascina, Rogora, 2005a] G. Accascina, E. Rogora Using Cabri3D: First Impressions, Proceedings of 7th
International Conference on Technology in Mathematics Teaching, Bristol, 2005, pp.
[Accascina, Rogora, 2005b] G. Accascina, E. Rogora L’insegnamento della geometria 3D nella scuola: un’esperienza
presso la SSIS del Lazio, Comunicazione al convegno La matematica e la fisica nella scuola e nella formazione degli
insegnanti, Torino, Settembre 2005
[Accascina, Rogora, 2005c] G. Accascina, E. Rogora Using Cabri3d Diagrams For Teaching Geometry, Preprint
n.17/2005, Dipartimento di Matematica “G. Castelnuovo”, Università “La Sapienza” di Roma
[Bako, 2003] Bako, M (2003). Different projecting methods in teaching spatial geometry Proceedings of CERME III,
Thematic group 7.
[Hershkowitz et al., 1996] Hershkowitz, R. and Parzysz, B. and Van Dormolen, J. (1996). Shape and space In Eds.
A. J. Bishop et al. International Handbook of Mathematics Education. pp. 161-204. Kluwer.
[Tall, 1982] Tall D. and Vinner S. Concept image and concept definition in mathematics, with special reference to
limits and continuity, Educational Studies in Mathematics, 12 151-169 (1982).
La costruzione del concetto di quantità nella scuola elementare
Coordinatore: Ernesto Rottoli
1. Problema di ricerca
È possibile volgere il pensiero dei bambini verso l’algebra sin dai primi anni della scuola
elementare?
2. Quadro teorico
a. Difficoltà del metodo della generalizzazione induttiva (Radford, Morris)
b. “Intenzione: volgere la mente dei bambini verso …” (Wheathley)
c. Acquisire “sensibilità” verso l’utilizzo delle lettere e la trasformazione delle espressioni
mediante l’applicazione delle proprietà delle operazioni
3. Aspetti di metodo
Presentare le attività prima in forma giocosa e poi in forma laboratoriale
Le attività interessano
a. Il confronto tra grandezze
b. Il cambiamento
registrare, riconoscere, descrivere, discutere
c. L’utilizzo di espressioni
rappresentare il cambiamento mediante espressioni, rappresentare il significato di
espressioni mediante quantità fisiche, riconoscere le relazioni tra lettere
d. La manipolazione di espressioni
ristabilire l’uguaglianza, espandere o contrarre espressioni, passare dall’uguaglianza alla
disuguaglianza, preservare l’uguaglianza, determinare la quantità aggiunta
e. Problemi
rappresentare problemi, scrivere le corrispondenti espressioni, costruire problemi,
problemi con moltiplicazione e divisione
f. Ragionare su espressioni
espandere o contrarre espressioni
4. Risultati
Bambini di seconda: il controllo delle attività relative al cambiamento, all’utilizzo di espressioni
e alla rappresentazione di problemi ha dato risultati soddisfacenti
Bambini di terza: il controllo delle attività relative alle attività relativo alla manipolazione di
espressioni non ha dato risultati del tutto soddisfacenti
Bambini di quarta: il controllo delle attività relative alle attività di manipolazione delle
espressioni e alla rappresentazione di problemi ha dato risultati soddisfacenti
L’attività nella classe quinta è in corso.
5. Problemi
Al di la dei problemi di sistemazione delle singole parti dell’attività, la questione più grossa
rimane quella di stabilire se questo tipo di attività ha efficacia nella successiva introduzione
dell’algebra
6. Riferimenti bibliografici
Davydov V.V. (1982). The psychological characteristics of the formation of elementary
mathematical operations in children. In T.P. Carpenter, I.M. Moser & T.A. Romberg (Eds.),
Addition and Subtraction: A cognitive perspective (pp. 224-238). Hillsdale, NJ: Lawrence
Erlbaum.
7. Persone coinvolte
Marta Bonetto, Bonissoni Petronilla, Daniela Soffientini, insegnanti di scuola elementare
Le piegature
Coordinatore: Ernesto Rottoli
1. Aspetti di metodo
È estremamente difficile che i risultati della ricerca didattica raggiungano l’insegnante
È possibile un percorso diverso che avvicini l’insegnante alla ricerca didattica?
a. Esplorare – Curiosare
b. Scegliere
c. Provare
d. Riflettere
e. Confrontare
2. Persone coinvolte
a. Scuola elementare: Paola Ghiringhelli, Gemma Testin
b. Scuola media: Margherita Locatelli
c. Scuola superiore: Ernesto Rottoli
3. Quadro teorico
La conoscenza è costruita mediante la coordinazione di percorsi semiotici diversi [Duval]
Nella scuola elementare: per mezzo delle piegature l’obiettivo è guidare gli alunni verso la
costruzione di un testo geometrico, in un percorso che sfrutta l’analogia con la produzione di un
testo letterario.
Nella scuola media: proprio attraverso la fatica del costruire con le proprie mani, l’obiettivo è
determinare le proprietà delle figure e facilitare la loro memorizzazione.
Nella scuola superiore gli obiettivi sono: esplorare il ragionamento spaziale attraverso attività
pratiche, verificare e controllare risultati, comunicare attraverso dimostrazioni pratiche.
4. Problemi di ricerca
I problemi sono spesso legati alle difficoltà nelle abilità manuali
5. Risultati
Per il momento i risultati più evidenti sono stati ottenuti nella scuola media:
”La fatica della costruzione manuale ha facilitato la determinazione e la memorizzazione delle
proprietà delle figure; … gli alunni sono stati in grado di utilizzare queste proprietà nelle
successive analisi delle figure… Gli alunni sono stati coinvolti e motivati… e nonostante le
difficoltà nelle abilità manuali, non hanno percepito questa parte della matematica come un
ostacolo.”
6. Problemi aperti
Per quanto riguarda la scuola elementare il problema aperto è il livello di trasferibilità.
Per quanto riguarda la scuola superiore il problema è di verificare se l’introduzione di questo
strumento nello sviluppo delle attività geometriche può contribuire a creare motivazione e
coinvolgimento
7. Riferimenti bibliografici
Sundara: Paper Folding
VALUTAZIONE dei PROBLEMI ARITMETICI
Ezio Scali
Insieme ad un gruppo di insegnanti del mio circolo didattico mi occupo da anni dei bambini che
presentano difficoltà di apprendimento.
Quest’anno, anche su mandato del collegio docenti, avvieremo la costruzione di una griglia per la
valutazione dei problemi aritmetici dalla seconda alla quinta classe della scuola primaria. Una
delle funzioni della griglia è quella di essere utilizzata dagli insegnanti per avere il più possibile
criteri comuni di valutazione.
Un problema da affrontare riguarda la natura e gli obiettivi della valutazione. Una griglia (per come
la si pensa nel gruppo) dovrà essere uno strumento utile a leggere innanzitutto le prove di
valutazione sommative (ad esempio le verifiche quadrimestrali). Che è cosa diversa da valutare
il processo di pensiero che l’allievo mette in atto mentre risolve il problema (che concerne di
più una verifica in itinere, adatta a comprendere, ad esempio, la natura di blocchi cognitivi e/o
inerenti la sfera affettivo - relazionale). Occupandoci però di allievi con difficoltà di
apprendimento è interesse del gruppo lavorare affinché la griglia possano essere utilizzata
anche per leggere i (alcuni) processi di pensiero inerenti la risoluzione dei problemi. Anche
nella valutazione di una prova sommativa, infatti, è opportuno comprendere quale rete di
convinzioni e di competenze ha sviluppato ogni allievo rispetto ai significati della matematica e
rispetto alla capacità di governare consapevolmente il processo risolutivo.
Noi abbiamo dei materiali orientativi su cui lavorare, che sono le riflessioni prodotte dal lavoro del
gruppo negli anni scorsi e i risultati di ricerca del Nucleo di Ricerca Didattica di Genova.
E’ però nostro interesse conoscere altri materiali eventualmente prodotti da Gruppi o singoli
che hanno lavorato su questi temi. Tali materiali non necessariamente devono essere già
rifiniti e pronti per l’uso. Possono essere anche sotto forma di riflessioni, di bozze, linee
teoriche sui temi … che però potrebbero essere estremamente utili per il nostro compito.
Naturalmente a chi è interessato invieremo le riflessioni che il gruppo produrrà durante il lavoro…
UN MODELLO DI DINAMICA COGNITIVA FONDATO SULLA RISONANZA.
APPORTI DELLE NEUROSCIENZE
Donatella Iannece ([email protected]) & Roberto Tortora ([email protected])
Le esperienze maturate in molti anni di attività didattica con i bambini prevalentemente di scuola
elementare e con i loro insegnanti, e successivamente con futuri insegnanti, studenti del corso di
laurea in Scienze della Formazione Primaria, ci hanno condotto via via a mettere a punto un
modello di dinamica cognitiva, di ispirazione vygotskijana, ma con alcune caratteristiche proprie,
che abbiamo chiamato di risonanza (Guidoni, Iannece & Tortora, 2005). In esso convergono
assunzioni generali relative alla costruzione e alla trasmissione della conoscenza, nonché un modo
di intendere la natura della matematica, anche in quanto correlata ad altre discipline. La risonanza si
riferisce sia alle varie dimensioni cognitive (percezione-azione-linguaggio-pensiero astratto) sia al
raccordo tra le risorse disponibili in ciascun individuo, la realtà circostante e i vari contesti
disciplinari (in generale la cultura ufficiale). Dal modello di dinamica cognitiva scaturisce poi un
modello di insegnante come mediatore di risonanza. Vengono esplicitate le condizioni perché un
futuro insegnante possa essere preparato a questo compito e illustrate alcune attività didattiche volte
a questo fine, in cui sono essenziali aspetti di modellizzazione e di problem solving.
Di recente (Iannece, Mellone & Tortora, 200?) abbiamo cercato riscontri e convergenze tra le nostre
assunzioni teoriche ed alcuni risultati di neuroscienze, in particolare esaminando dati sperimentali
ottenuti con le tecniche di brain imaging da Houdé, e le sottostanti teorie sul funzionamento del
cervello di Changeux e di Damasio, in cui, mettendo in luce le zone del cervello coinvolte quando
un soggetto è impegnato in attività di tipo logico, si evidenzia il continuo intreccio tra razionalità ed
emozioni. Ricaviamo da ciò, anche alla luce di nuovi dati sperimentali nostri, interessanti
conseguenze sul piano della pratica didattica ed avanziamo ipotesi sulla particolare valenza di un
ambiente di apprendimento collaborativo.
RISCONTRI DEL MODELLO DELLA RISONANZA NELL’APPRENDIMENTO
DELL’ARITMETICA NELLA SCUOLA DI BASE
Maria Mellone ([email protected])
L’altro aspetto del nostro lavoro di ricerca è quello di indagare come la nostra ipotesi sul modello di
dinamica cognitiva della risonanza non solo sia teoricamente fondata, ma anche empiricamente
giustificata e euristicamente feconda. La scelta è stata quella di indagare sulle dinamiche che
immergono e coinvolgono l’insegnante “mediatore di risonanza” descritto in (Guidoni, Iannece &
Tortora, 2005).
L’azione di ricerca coinvolge una classe elementare e la sua insegnante lungo l’intero percorso dei
cinque anni del ciclo della scuola primaria (attualmente la classe si trova ad affrontare la terza
elementare), ed è centrata sulla comprensione e l’apprendimento delle strutture elementari
dell’aritmetica. La sperimentazione è costruita in accordo con (Guidoni, 1999), dove gli aspetti
matematici, gli aspetti cognizione-percezione-azione-linguaggio, gli aspetti didattici sono
strettamente correlati tra loro in una “risonante” ricerca di una strategia complessiva. I contesti
sperimentali sono stati costruiti in maniera da adattare i “fondamenti” della disciplina alle reali
radici delle potenzialità e della comprensione umana (e non viceversa), in maniera tale che la
comprensione possa crescere in una sequenza di espansioni risonanti, sostenute dal coinvolgimento
emozionale (“motivazione”).
I primi risultati, riportati in (Guidoni, Mellone & Pezzia, 2005), e il lavoro di ricerca attualmente in
corso mostrano non solo un ottimo livello di comprensione e motivazione dei bambini, ma
soprattutto la reale possibilità dell’insegnante di ricoprire il ruolo di mediatore attivo fra strutture
cognitive, emotive e disciplinari. "Capire” sembra quindi possibile, ma a determinate condizioni
strettamente legate all'azione creativa ed essenziale dell’insegnante coinvolta, che ci sta aiutando a
descrivere più chiaramente il percorso di insegnamento/apprendimento in cui lei stessa è coinvolta.
La nostra indagine sta proseguendo quindi nell’individuare queste condizioni, condizioni che
avranno delle influenze dirette soprattutto sul piano della formazione insegnanti, in quanto nessun
percorso concettuale già pronto può “funzionare realmente” così come è, ma sta al ruolo
professionale degli insegnanti permettere un riadattamento "creativo" e continuo delle attività di un
percorso alle dinamiche cognitive-emozionali-percettive in corso nei bambini a livello sia
individuale che di gruppo.
Alcuni riferimenti bibliografici comuni ai due lavori
Guidoni, P. (1999). Steps towards a “resonance” approach in the dynamics of
explaining/understanding elementary mathematics, Proc. of SEMT 99, Prague, 138-142.
Guidoni, P.; Iannece, D. & Tortora, R. (2005). Forming Teachers as Resonance Mediators. Proc. of
PME29, Melbourne, 3, 73-80.
Guidoni, P.; Mellone, M. & Pezzia, M. (2005). Understanding basic arithmetics by “Resonance”
approach: from addition to multiplication in first grade. Proc. of SEMT 05, Praga, agosto 2005.
Iannece, D.; Mellone, M. & Tortora, R. (200?). New insights into learning processes from some
neuroscience issues. Inviato a PME 30, Praga, 2006.
Forme del pensiero nella didattica della matematica:
riflessioni e ricadute didattiche
Evi Azzali e Maurizio Trombetta
Università degli Studi di Udine
Problema di ricerca.
Nasce dall'osservazione di alcune difficoltà dei ragazzi, crescenti col passare degli anni: da un lato,
difficoltà a organizzare la grande massa di dati che giungono loro dall'ambiente circostante e,
dall'altro, difficoltà a interpretare in modo elastico, creativo e critico dati che giungono già
organizzati. Il problema è come ovviare a questi inconvenienti: non si tratta di aggiungere
argomenti matematici ai programmi scolastici, ma di trovare il modo di porre l'accento sul problema
nella normale attività didattica. Alcune letture ci hanno ispirato delle riflessioni e delle conseguenti
proposte didattiche.
Quadro teorico.
Il metodo didattico a cui facciamo riferimento è la "Didattica per concetti", nella forma elaborata da
E. Damiano che, a sua volta, poggia su cognitivismo e costruttivismo.
Le nostre proposte toccano argomenti molto grossi, che ci piacerebbe approfondire, quali:
– I ruoli del pensiero in forma proposizionale e di quello in forma narrativa o non strutturata nel
processo di apprendimento.
– I legami tra concetto, immagine mentale relativa e i diversi tipi di rappresentazione esterna.
– I vari ruoli che la Storia della Matematica può avere nell'insegnamento (al di là dell'aneddoto
divertente o della storiella):
– Le relazioni tra semplice e complesso nel campo della conoscenza, tra testo e ipertesto, ecc.
Per il momento, ci siamo limitati ad usare questi concetti in modo 'ingenuo', perché avevamo
l'urgenza di trovare e presentare alcune proposte didattiche concrete che ci sono sembrate utili.
Problema aperto.
Ora ci troviamo di fronte al problema di scegliere quale tra questi vasti campi interdisciplinari
approfondire da un punto di vista teorico.
Riferimenti bibliografici.
La bibliografia del Quaderno che vi alleghiamo è quella da cui siamo partiti ma, per quanto scritto
sopra, non è indicativa per chi volesse un quadro teorico per la ricerca sui problemi affrontati.
Persone coinvolte.
I componenti del Nucleo che hanno svolto la ricerca sono: Evi Azzali, Sylviane Beltrame, Diana
Bitto, Alba De Michele, Agostino Margari. Maurizio Trombetta, Caterina Vicxentini, Ida Visintin.
Da quest'anno avremo anche Giorgio T. Bagni che ci guiderà nell'affrontare il seguito; si sono
aggiunti tre insegnanti si scuola media superiore.
Emanuela Ughi (collabora Judit Jassó)
La mostra “Giocare con le costruzioni: la matematica che esiste” è una collezione di circa cento
oggetti che ho ideato, progettato, costruito personalmente, negli ultimi 7-8 anni, in materiale povero
e in forma rudimentale.
Sin dai primi timidi allestimenti il successo di pubblico è stato tale da farmi continuare, e da far
diventare la mostra una realtà in continuo divenire, e il cuore di varie attività correlate.
Il materiale viene conservato presso il Dipartimento di Matematica e Informatica dell’Università di
Perugia presso il quale si è creata un’Area Operativa di Matematica del Centro d’Ateneo per i
Musei Scientifici. Su richiesta, la mostra viene allestita frequentemente presso scuole ed enti.
Finora, dal 1998, possiamo contare circa 15 allestimenti in tutta Italia e all’estero, e circa 20.000
visitatori.
Sono anche attive alcune collaborazioni con scuole che organizzano – a partire da un “prestito” di
pochi pezzi della mostra – varie attività didattiche, su temi ben precisi.
Intorno a tale attività nascono in modo naturale domande e spunti di ricerca di cui ci stiamo
occupando:
1) i perché del successo di questa e di simili iniziative, che sembrano andare a colmare esigenze
molto sentite.
La mia congettura è che le persone sono ormai molto spesso “rassegnate a non capire”, in questo
mondo in cui delegare sembra la cosa più naturale, e che riuscire a superare tale sensazione sia
gratificante.
Inoltre, nella nostra realtà dominata da immagini, sembra estremamente interessante analizzare la
questione dell’apprendimento anche tramite canali visuali.
Un altro tema di interesse è lo studio del rapporto fra matematica e realtà, e come ciò sia collegato
al passaggio da un agire concreto alla formulazione di concetti astratti.
2) Ci domandiamo se e quali effetti ha sull’apprendimento il “fare”, il “costruire” in prima
persona: ne consegue un apprendimento più profondo? più duraturo? Per affrontare questo tema,
una scelta metodologica importante è quella di stimolare gli utilizzatori della mostra a ri-costruire
gli oggetti con le loro mani (a casa, o in classe), costruendo così anche il proprio sapere a riguardo.
Per ciò cerchiamo di offrire più possibile materiale ai visitatori. Un altro fattore che secondo noi
influenza l’apprendimento è il tipo di materiale usato: riteniamo che il materiale "povero" sia un
fattore positivo, perché accorcia le distanze fra il “discente” e lo strumento. Permette, inoltre, anche
la facile riproducibilità degli exhibit.
3) Tecnologie “povere” e “ricche” (vecchie e nuove) a confronto
Stiamo studiando i pro e i contro delle possibili tecnologie come ambienti di apprendimento, le
metodologie necessarie per un loro efficace uso didattico, le possibili interazioni e cooperazione tra
diverse tecnologie.
4) Progettazione di particolari materiali strutturati e di software su temi particolari, pensati
anche per il recupero in caso di disabilità e difficoltà relative al concetto di numero ed all’abilità di
calcolo, di cui vorremmo esaminare l’utilità didattica.
Le varie attività sopra indicate costituiscono la base anche per numerosi corsi di formazione e di
aggiornamento insegnanti in cui siamo state coinvolte negli ultimi anni (tutti i livelli scolastici e di
sostegno), e attività di divulgazione nell’ambito dell’orientamento universitario (settimana della
cultura scientifica, i venerdì della scienza, Perugia Science Festival).
Referenze:
Sito Web della mostra: http://www.dipmat.unipg.it/iniziative/mostre
Judit Jassó, Irene Stella, Concrete and Visual Approaches in Teacher Training, Varga Methodical
Days, 2005, Budapest
Emanuela Ughi, “Giocare con le costruzioni: la matematica che esiste” – “To play building things:
the mathematics of things that do really exist”, Workshop “Le meraviglie tangibili – alcuni nuovi
strumenti illustrativi nell’insegnamento della matematica”, 2005, Budapest
Emanuela Ughi, Judit Jassó, Physical and virtual worlds in teaching mathematics: possibilities for
an effective cooperation? Cerme, 2005, Barcellona, http://merg.umassd.edu/cerme4-9/papers/jasso/
Emanuela Ughi, Judit Jassó, Tecnologie nell'insegnamento della matematica: “ricche” o
“povere”?, 3° Convegno Nazionale “Matematica, Formazione Scientifica e nuove tecnologie”,
Ferrandina (MT), 2004
Judit Jassó, Teacher Training with Cabri Geometry, International Journal for Mathematics Teaching
and Learning, 2004, http://www.cimt.plymouth.ac.uk/journal/default.htm
Emanuela Ughi, Judit Jassó, Cabri dietro le quinte, CabriWorld 2004, Roma,
http://italia2004.cabriworld.com/