Numeri complessi. Rappresentazione trigonometrica ed

LEZIONE 14
14.1. Numeri complessi.
Sappiamo già come sommare le coppie di numeri reali. Se (a0 , b0 ), (a00 , b00 ) ∈ R2
allora la coppia somma è
(a0 , b0 ) + (a00 , b00 ) = (a0 + a00 , b0 + b00 ) ∈ R2 .
Vogliamo ora definire anche un’operazione di prodotto in R2 .
Definizione 14.1.1. Definiamo prodotto di (a0 , b0 ), (a00 , b00 ) ∈ R2 la coppia, indicata con (a0 , b0 )(a00 , b00 ), definita da
(a0 , b0 )(a00 , b00 ) = (a0 a00 − b0 b00 , a0 b00 + a00 b0 ) ∈ R2 .
L’insieme R2 con le operazioni di somma già nota e quella di prodotto sopra
definita sarà indicato con C. I suoi elementi sono detti numeri complessi. Il
numero complesso (0, 1) verrà indicato con il simbolo i e verrà spesso chiamato
unità immaginaria di C.
Se (a, b) ∈ C, Re(a, b) = a viene detta parte reale e Im(a, b) = b coefficiente
dell’immaginario. I numeri complessi della forma (0, b) vengono detti immaginari
puri.
Si ha
(0, 0) + (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b),
(14.1.2)
(1, 0)(a, b) = (1 · a − 0 · b, 1 · b + 0 · a) = (a, b),
(0, 1)(0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1, 0 · 1 + 1 · 0) = (−1, 0).
Inoltre
(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0 + 0) = (a + b, 0),
(a, 0)(b, 0) = (a · b − 0 · 0, a · 0 + 0 · b) = (ab, 0),
quindi la somma e il prodotto di numeri complessi con coefficiente dell’immaginario
nullo coincide con la somma ed il prodotto delle loro parti reali.
In particolare l’applicazione R → C definita da a → (a, 0) identifica R con
un sottoinsieme di C: precisamente, l’insieme dei numeri reali è identificato con
l’insieme dei numeri complessi aventi coefficiente dell’immaginario nullo.
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1
2
14.1. NUMERI COMPLESSI
Scriveremo perciò a ∈ C intendendo (a, 0): per esempio 0, 1 ∈ C indicano
rispettivamente le coppie (0, 0) e (1, 0). Perciò si può scrivere
(a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = (a, 0) + (b, 0)i = a + bi.
Questa è la cosiddetta rappresentazione cartesiana o algebrica del numero complesso (a, b) e si scrive Re(a + bi) = a e Im(a + bi) = b. Possiamo affermare che un
numero z ∈ C è reale se e solo se Im(z) = 0, è immaginario se e solo se Re(z) = 0.
Con tale convenzione, tenendo conto dell’ultima delle Relazioni (14.1.2), si può
scrivere
i2 = i · i = −1.
(14.1.3)
Il vantaggio di scrivere i numeri complessi in forma algebrica è che le operazioni
di somma e prodotto si riducono alla somma e prodotto di polinomi a coefficienti
reali nell’indeterminata i tenendo conto della Condizione (14.1.3).
Esempio 14.1.4. Per esempio
(3 + 4i)(2 − 3i) = 6 − 9i + 8i − 12i2 = 18 − i.
È chiaro quanto sia più facile calcolare il prodotto di due numeri complessi con
questa osservazione, rispetto a ricordarsi la definizione di prodotto.
Avendo definito delle operazioni è naturale domandarsi quali proprietà valgano
per esse. La precedente osservazione ci permette di ottenere immediatamente la
seguente
Proposizione 14.1.5. Valgono le seguenti proprietà:
(S1) per ogni a0 + b0 i, a00 + b00 i ∈ C si ha a0 + b0 i + a00 + b00 i = a00 + b00 i + a0 + b0 i
(la somma è commutativa);
(S2) per ogni a0 +b0 i, a00 +b00 i, a000 +b000 i ∈ C si ha a0 +b0 i+(a00 +b00 i+a000 +b000 i) =
(a0 + b0 i + a00 + b00 i) + a000 + b000 i (la somma è associativa);
(S3) il numero complesso 0 = 0+0i ∈ C è l’unico elemento neutro per la somma,
cioè è l’unica coppia tale che 0 + a + bi = a + bi, per ogni a + bi ∈ C;
(S4) per ogni a + bi ∈ C, −a − bi è l’unico elemento opposto di a + bi, cioè è
l’unico numero complesso tale che a + bi + (−a − bi) = 0;
(P1) per ogni a0 + b0 i, a00 + b00 i ∈ C si ha (a0 + b0 i)(a00 + b00 i) = (a00 + b00 i)(a0 + b0 i)
(il prodotto è commutativo);
(P2) per ogni a0 +b0 i, a00 +b00 i, a000 +b000 i ∈ C si ha (a0 +b0 i)((a00 +b00 i)(a000 +b000 i)) =
((a0 + b0 i)(a00 + b00 i))(a000 + b000 i) (il prodotto è associativo);
(P3) il numero complesso 1 = 1 + 0i ∈ C è l’unico elemento neutro per il
prodotto, cioè è l’unica coppia tale che 1(a+bi) = a+bi, per ogni a+bi ∈ C;
(P4) per ogni a + bi ∈ C con a + bi 6= 0, (a + bi)−1 = √a2a+b2 − √a2b+b2 i è
l’unico elemento
inverso di a + bi, cioè è l’unica numero complesso tale
a
che (a + bi) √a2 +b2 − √a2b+b2 i = 1;
LEZIONE 14
3
(PS) per ogni a0 + b0 i, a00 + b00 i, a000 + b000 i ∈ C si ha (a0 + b0 i)((a00 + b00 i) +
(a000 + b000 i)) = (a0 + b0 i)(a00 + b00 i) + (a0 + b0 i)(a000 + b000 i) (il prodotto è
distributivo). Con l’usuale identificazione di R2 con il piano affine A2 con fissato sistema di
riferimento, la somma di numeri complessi può essere appresentata geometricamente tramite la regola del parallelogramma descritta dalla figura seguente.
Im(z)
b' +b''
b''
z'+z''
z''=a''+b''i
b'
z'=a'+b'i
a''
a'
a' +a''
Re(z)
Figura 14.1
Meno chiaro è il significato geometrico di prodotto che spiegheremo in seguito,
dopo aver descritto la rappresentazione trigonomentrica dei numeri complessi.
Definizione 14.1.6. Sia z = a + bi ∈ C. Definiamo:
i) coniugato di z il numero complesso z = a − bi;
√
ii) modulo di z il numero reale |z| = a2 + b2 .
La dimostrazione della seguente proposizione è immediata ed è solo questione
di conti.
Proposizione 14.1.7. Valgono le seguenti proprietà:
(C1)
(C2)
(M1)
(M2)
(M3)
(CM)
z = z se e solo se z ∈ R;
per ogni z ∈ C si ha z = z;
per ogni z ∈ R ⊆ C il modulo di z ∈ R coincide con il modulo di z ∈ C;
per ogni z 0 , z 00 ∈ C si ha |z 0 + z 00 | ≤ |z 0 | + |z 00 |;
per ogni z 0 , z 00 ∈ C si ha |z 0 z 00 | = |z 0 ||z 00 |;
per ogni z ∈ C si ha |z|2 = zz. Anche la nozione di coniugato e di modulo hanno un’evidente interpretazione
geometrica. Infatti il coniugato di un numero complesso z = a + bi corrisponde al
punto del piano simmetrico a z rispetto all’asse reale
4
14.2. RAPPRESENTAZIONI TRIGONOMETRICA ED ESPONENZIALE
Im(z)
b
z=a+bi
a
-b
Re(z)
z=a-bi
Figura 14.2
Invece il modulo di z = a + bi non è altro che la lunghezza del segmento avente
un vertice nell’origine e l’altro in z.
14.2. Rappresentazioni trigonometrica ed esponenziale.
Come osservato sopra ogni numero complesso può essere pensato geometricamente come un punto del piano S2 . In particolare dato z = a + bi ∈ C o esso
è zero, oppure è secondo estremo di un vettore applicato nell’origine 0, quindi
è completamente individuato dall’angolo che forma con il semiasse positivo dei
numeri reali e dal suo modulo. Più precisamente
p
b
a
2
2
a + bi = a + b √
+√
.
a2 + b2
a 2 + b2 i
Poiché
a
√
2
a + b2
2
+
b
√
2
a + b2
2
=1
segue l’esistenza di un unico ϕ ∈ [0, 2π[, detto argomento principale di z ed indicato
con arg(z), tale che
cos ϕ = √
sicché, posto % =
nometrica di z:
(14.2.1)
√
a
,
a2 + b2
sin ϕ = √
b
,
a2 + b2
a2 + b2 = |z|, otteniamo la cosiddetta rappresentazione trigo-
z = %(cos ϕ + i sin ϕ).
In generale ogni ϕ ∈ R per cui vale la Relazione (14.2.1) viene detto argomento di
z.
LEZIONE 14
5
Esempio 14.2.2. Ogni numero reale a 6= 0 ha modulo complesso coincidente con
quello reale. Inoltre arg(a) = 0 se a è positivo, arg(a) = π se a è negativo. Per
esempio
1 = 1(cos 0 + i sin 0).
Similmente ogni numero immaginario bi 6= 0 ha modulo complesso coincidente con
quello reale del coefficiente dell’immaginario. Inoltre arg(bi) = π/2 se b è positivo,
arg(bi) = 3π/2 se b è negativo. Per esempio
π
π
.
i = 1 cos + i sin
2
2
p
Il numero z = 4 − 3i ha modulo |z| = 42 + (−3)2 = 5. Il suo argomento lo si
oitiene osservando che
4
3
cos z = ,
sin z = − .
5
5
In particolare un argomento di z è − arccos( 45 ). Invece il suo argomento principale
è 2π − arccos( 45 ).
Siamo ora in grado di dare un’interpretazione geometrca del prodotto di due
numeri complessi
z 0 = a0 + b0 i = %0 (cos ϕ0 + i sin ϕ0 ),
z 00 = a00 + b00 i = %00 (cos ϕ00 + i sin ϕ00 ).
Utilizzando le usuali regole si ottiene
z 0 z 00 = %0 %00 (cos ϕ0 + i sin ϕ0 )(cos ϕ00 + i sin ϕ00 ) =
= %0 %00 ((cos ϕ0 cos ϕ00 − sin ϕ0 sin ϕ00 ) + i(cos ϕ0 sin ϕ00 + cos ϕ00 sin ϕ0 )) =
= %0 %00 (cos(ϕ0 + ϕ00 ) + i sin(ϕ0 + ϕ00 )).
Poiché |z 0 z 00 | = %0 %00 segue che ϕ0 + ϕ00 è un argomento, non necessariamente
principale, di z 0 z 00 : quindi abbiamo provato che il prodotto di due numeri complessi
è un numero complesso avente come modulo il prodotto dei loro moduli e come
argomento la somma dei loro argomenti.
In particolare i numeri complessi di modulo 1 sono legati alla nozione di rotazione. Infatti se z0 ga e un numero complesso di modulo 1 ed argomento ϕ,
nell’identificazione standard di C con R2 l’applicazione
δϕ : C −→ C
z −→ zz0
corrisponde, per quanto visto sopra, alla rotazione dell’angolo ϕ in senso antiorario.
Se, invece, facciamo cadere la condizione che |z0 | allora l’applicazione δϕ sopra
indicata corrisponde alla rotazione dell’angolo ϕ in senso antiorario seguita da un
riscalamento (dilatazione o contrazione) di un fattore |z0 |.
6
14.3. RADICI DI UN NUMERO COMPLESSO
Questa osservazione e la definizione di somma motivano l’uso dell’esponenziale.
Convenzionalmente si scrive
eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ
sicché se z ∈ C è un numero complesso di modulo % ed argomento ϕ definiamo la
rappresentazione esponenziale di z come la scrittura
z = %eiϕ .
0
Per la caratterizzazione del prodotto di numeri complessi se z 0 = %0 eiϕ e z 00 =
00
%00 eiϕ si ha allora
0
00
0
00
%0 %00 ei(ϕ +ϕ ) = z 0 z 00 = %0 eiϕ %00 eiϕ
che è formalmente la ben nota regola del prodotto di potenze aventi la stessa base.
Inoltre se ϕ0 = ϕ = ϕ00 i due numeri complessi, pensati come vettori del piano R2
sono paralleli, quindi la loro somma è semplicemente un vettore avente per modulo
la somma %0 + %00 , cioè
0
(%0 + %00 )eiϕ = z 0 + z 00 = %0 eiϕ + %00 eiϕ
Si noti che la forma esponenziale dei numeri complessi permette di scrivere la
seguente importantissima Formula di Eulero
eiπ + 1 = 0
che coinvolge i principali numeri notevoli cioè 0, 1, π, e, i.
In particolare se la forma trigonometrica di z è quella indicata nella Formula
(14.2.1), per ogni intero n ≥ 0 si ha
(14.2.3)
z n = zz n−1 = %n (cos(nϕ) + i sin(nϕ)).
Se, invece, n è un intero negativo, diciamo n = −n0 con n0 > 0, allora si definisce,
0
come d’uso, z n = (z −1 )n . Poiché (si veda la Proposizione 14.1.5 (P4))
n0 n0
1
1
n
−1 n0
(a − bi)
=
(cos ϕ − i sin ϕ)
=
z = (z ) = √
%
a2 + b2
0
1
= n0 (cos n0 ϕ − i sin n0 ϕ) = %−n (cos(−n0 ϕ) + i sin(−n0 ϕ)) =
%
= %n (cos(nϕ) + i sin(nϕ)),
ovvero la Formula (14.2.3) vale per ogni intero n.
14.3. Radici di un numero complesso.
Vogliamo sfruttare la Formula (14.2.3) per risolvere il seguente problema. Sia
w ∈ C e sia n ≥ 1 un intero. Vogliamo determinare tutti i numeri complessi z ∈ C
tali che z n = w: si dice, in tal caso, che vogliamo determinare le radici n–esime di
w.
LEZIONE 14
7
Esempio 14.3.1. Sia w = 1 ∈ C e sia n = 3: quali sono le radici cubiche di w?
Chiaramente 13 = 1 e tale radice è anche l’unica radice cubica di 1 pensato come
numero reale: esistono altre radici complesse
di 1 ∈ C?
√
1
Prendiamo ad esempio z = 2 (−1 + i 3). Allora
√
√
√
√
√
1
1
(−13 + 3(i 3) − 3(i 3)2 + (i 3)3 ) = (−1 + 3 3i + 9 − 3 3i) = 1.
8
8
√
Verificare che anche z = 12 (−1 − i 3) è radice cubica di 1.
z3 =
Il caso w = 0 è banale: in tal caso esiste un’unica radice n–esima per ogni
n che è z = 0. Supponiamo allora che w = r(cos ϑ + i sin ϑ) 6= 0. Allora la
Formula (14.2.3) ci permette di affermare che le radici n–esime di w sono della
forma z = %(cos ϕ + i sin ϕ) ove % e ϕ soddifano l’equazione
%n (cos nϕ + i sin nϕ) = r(cos ϑ + i sin ϑ).
(14.3.2)
Ma due numeri complessi non nulli conincidono se e solo se hanno lo stesso modulo
e i loro argomenti coincidono a meno di multipli interi di 2π: quindi l’Equazione
(14.2.4) si trasforma nel sistema di equazioni reali
n
% =r
(14.3.3)
nϕ = ϑ + 2kπ k ∈ Z.
Segue, pertanto, che il modulo di z è esattamente la radice n–esima aritmetica del
numero reale positivo r = |w|. Invece ϕ si ottiene assegnando a k valori interi: per
esempio se k = 0 si ha ϕ = nϑ . Invece se, per esempio, k 0 = k ± n segue che
ϕ=
ϑ + 2(k ± n)π
ϑ + 2kπ 2nπ
ϑ + 2kπ
=
+
=
+ 2π.
n
n
n
n
Tale numero reale differisce da quello ottenuto prima per ±2π: in particolare
ϑ
ϑ + 2(k ± n)π
ϑ
ϑ + 2(k ± n)π
cos
= cos
,
sin
= sin
.
n
n
n
n
Quindi, pur essendo soluzioni diverse del Sistema (14.3.3), definiscono la stessa
soluzione dell’Equazione (14.3.2) di partenza.
D’altra parte se k e k 0 sono interi distinti tali che |k − k| < n allora i corrispondenti argomenti differiscono per una quantità non nulla minore di 2π, quindi
i corrispondenti numeri complessi sono distinti. È facile allora convincersi che
Proposizione 14.3.4. Sia w ∈ C non nullo e sia n un intero positivo. Allora
l’equazione
z n = w ha esattamente n soluzioni a due a due distinte aventi modulo
p
n
|w| ed argomenti
arg w + 2kπ
,
n
k = 0, 1, . . . , n − 1.
8
14.3. RADICI DI UN NUMERO COMPLESSO
Esempio 14.3.5. Ritorniamo al numero complesso w = 1 ∈ C. Allora le radici
cubiche di w hanno modulo % = 1 e argomento ϕ che si ottiene da
ϕ=
0 + 2kπ
,
3
k = 0, 1, 2,
ovvero ϕ0 = 0, ϕ1 = 2π/3, ϕ2 = 4π/3. Le radici cubiche di 1 ∈ C perciò sono
z0 = 1,
2π
2π
+ i sin
z1 = cos
=
3
3
4π
4π
z2 = cos
+ i sin
=
3
3
√
1
(−1 + i 3),
2
√
1
(−1 − i 3).
2
Si noti che le tre radici sono, per costruzione, i vertici di un triangolo equilatero
inscritto nella circonferenza centrata nell’origine di raggio 1 ed avente uno dei
vertici in z0 .
Im(z)
z1
z0
Re(z)
z2
Figura 14.3
√
Consideriamo ora il numero complesso w = −1 + 3i ∈ C.√ Si ha |w| = 2 e
arg(w) = 2π/3. Allora le radici quarte di w hanno modulo % = 4 2 e argomento ϕ
che si ottiene da
ϕ=
2π + 6kπ
π + 3kπ
2π/3 + 2kπ
=
=
,
4
12
6
k = 0, 1, 2, 3,
ovvero ϕ0 = π/6, ϕ1 = 2π/3, ϕ2 = 7π/6, ϕ2 = 5π/3. Le radici quarte di
LEZIONE 14
−1 +
√
9
3i ∈ C perciò sono
√
!
3 1
1 √
z0 = 2
3
+
i
,
+ i = √
4
2
2
8
√ !
√
√ 3
1 2
4
z1 = 2 − +
i = √
−1 + 3i ,
4
2
2
8
!
√
√
1 √
3 1
4
− i = √
− 3−i ,
z2 = 2 −
4
2
2
8
√ !
√
√ 2
3
1 4
1
−
3i .
z3 = 2
−
i = √
4
2
2
8
√
4
Si noti che le quattro radici sono, per costruzione, i√vertici di un quadrato inscritto
nella circonferenza centrata nell’origine di raggio 4 2 ed avente uno dei vertici in
z0 .
Im(z)
z1
z0
Re(z)
z2
z3
Figura 14.4
In generale le radici n–esime di un numero complesso w si possono rappresentare
graficamente come vertici di un
p n–agono regolare inscritto nella circonferenza
centrata nell’origine di raggio n |w| avente uno dei vertici coincidente con una
radice n–esima qualsiasi di w.
14.4. Rappresentazione matriciale: i quaternioni di Hamilton.
Oltre alle rappresentazioni cartesiana, trigonometrica ed esponenziale di un
numero complesso z si può introdurre un altro tipo di rappresentazione che permette di interpretare le operazioni fra numeri complessi in termini di analoghe
operazioni fra matrici 2 × 2.
10
14.4. RAPPRESENTAZIONE MATRICIALE: I QUATERNIONI DI HAMILTON
Sia z = a + bi ∈ C con a, b ∈ R. Allora definiamo rappresentazione matriciale
di z la matrice
a −b
M at(z) =
.
b a
Siano dati due numeri complessi z 0 = a0 + b0 i, z 00 = a00 + b00 i. Allora risulta
z + z 00 = (a0 + a00 ) + (b0 + b00 )i, dunque
0
0
00
a0 + a00
b0 + b00
a0
b0
M at(z + z ) =
=
−(b0 + b00 )
=
a0 + a00
00
−b0
a
−b00
+
= M at(z 0 ) + M at(z 00 ).
a0
b00 a00
Si ha poi z 0 z 00 = (a0 a00 − b0 b00 ) + (a0 b00 + a00 b0 )i, dunque
a0 a00 − b0 b00 −(a0 b00 + a00 b0 )
=
M at(z z ) =
a0 b00 + a00 b0
a0 a00 − b0 b00
00
0
a
−b00
a −b0
= M at(z 0 )M at(z 00 ).
=
b00 a00
b0 a0
0 00
Si noti, infine, che in questa rappresentazione, il coniugato di un numero complesso corrisponde alla matrice trasposta e l’inverso, ovviamente, alla matrice
inversa.
Ci si può porre il problema se sia possibile introdurre più in generale delle
operazioni di somma e prodotto su Rn , n ≥ 3 in modo tale che una proposizione
simile alla Proposizione 14.1.5 continui a valere. Si può dimostrare che ciò è
possibile, oltre che per n = 1, 2, solo per n = 4 (e, in questo caso, la moltiplicazione
non è commutativa) e per n = 8 (e, in questo caso, la moltiplicazione non è più né
commutativa né associativa): nel primo caso si parla dell’insiee H dei quaternioni
(di Hamilton), nel secondo dell’insieme O degli ottonioni (di Cayley).
In tutti i casi la somma è quella naturale di Rn : si tratta perciò solo di definire
la moltiplicazione in maniera opportuna. Nel caso dei numeri complessi abbiamo
visto che la moltiplicazione è definita nel momento in cui si dà a i2 = i · i il valore
−1.
Nel caso, per esempio, dei quaternioni vale un discorso analogo: se scriviamo
un numero complesso come a + bi + cj + dk la moltiplicazione può essere fatta
semplicemente utilizzando la distributività rispetto alla somma dopo aver posto
i2 = j 2 = k 2 = ijk = −1. Per esempio ij = −ijk 2 = −(ijk)k = k. Anche per i
quaternioni ossiamo dare una forma matriciale: precisamente se z = a + bi + cj +
dk ∈ H si pone


a −b d c
a c −d 
 b
M at(z) = 
.
−d −c a −b
−c d b a
LEZIONE 14
11
Tale rappresentazione matriciale mette in evidenza l’inclusione C ⊆ H come sottocampo numerico.
I quaternioni hanno un’importante applicazione alla grafica computerizzata
perché permettono di rappresentare in maniera efficiente le rotazioni nello spazio
(cosı̀ come i numeri complessi rappresentano in maniera efficiente le rotazioni nel
piano).
14.5. Algebra lineare su C.
Concludiamo questa Lezione osservando che le nozioni introdotte, i risultati
enunciati ed i procedimenti descritti per matrici, sistemi, equazioni a coefficienti
in R si possono ripetere per matrici, sistemi, equazioni a coefficienti nel campo
complesso C.
Per questo motivo, da adesso in poi, nelle definizioni e negli enunciati delle
proposizioni spesso sostituiremo il simbolo k al simbolo R: esso indicherà o il
campo reale R o il campo complesso C.
Diamo solo un esempio.
Esempio 14.5.1. Si consideri la matrice
A=
1
i
i
1
∈ C2,2 .
Vogliamo calcolare, se esiste, l’inversa di A.
−→
1
i
1
0
i 1 0 R2 →R2 −iR1 1 i 1 0 R2 →R2 /2
−→
−→
1 0 1
0 2 −i 1
i 1
0
1 0 1/2 −i/2
R1 →R1 −iR2
−→
.
1 −i/2 1/2
0 1 −i/2 1/2
Quindi A−1 esiste e si ha
A
−1
=
1/2
−i/2
−i/2
1/2
.