Un modello matematico di investimento ottimale

Investimento - 1 agente
Investimento - più agenti
Ottimi di Pareto
Un modello matematico di investimento ottimale
Tiziano Vargiolu1
1 Università
degli Studi di Padova
Liceo Scientifico ”Benedetti”
Venezia, giovedı̀ 30 marzo 2011
Equilibrio
Investimento - 1 agente
Investimento - più agenti
Outline
1
Investimento per un singolo agente
2
Investimento nel caso di più agenti
3
Ottimi di Pareto
4
Equilibrio
Ottimi di Pareto
Equilibrio
Investimento - 1 agente
Investimento - più agenti
Outline
1
Investimento per un singolo agente
2
Investimento nel caso di più agenti
3
Ottimi di Pareto
4
Equilibrio
Ottimi di Pareto
Equilibrio
Investimento - 1 agente
Investimento - più agenti
Outline
1
Investimento per un singolo agente
2
Investimento nel caso di più agenti
3
Ottimi di Pareto
4
Equilibrio
Ottimi di Pareto
Equilibrio
Investimento - 1 agente
Investimento - più agenti
Outline
1
Investimento per un singolo agente
2
Investimento nel caso di più agenti
3
Ottimi di Pareto
4
Equilibrio
Ottimi di Pareto
Equilibrio
Investimento - 1 agente
Investimento - più agenti
Ottimi di Pareto
Equilibrio
Tipi di titoli
Supponiamo di avere 2 date, 0 (presente) e 1 (futuro). A seconda
della possibile dinamica del prezzo dei titoli finanziari, possiamo
dividerli in
titolo senza rischio (bond):
B1 = B0 (1 + r )
al tempo 0 lo compro al prezzo B0 e per il tempo 1 mi rende
un tasso di interesse r > 0 certo e deterministico.
titolo rischioso (stock): al tempo 0 lo compro al prezzo S0 ,
ma il suo valore S1 al tempo 1 è in generale aleatorio.
Investimento - 1 agente
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Ottimi di Pareto
Equilibrio
Tipi di titoli
Supponiamo di avere 2 date, 0 (presente) e 1 (futuro). A seconda
della possibile dinamica del prezzo dei titoli finanziari, possiamo
dividerli in
titolo senza rischio (bond):
B1 = B0 (1 + r )
al tempo 0 lo compro al prezzo B0 e per il tempo 1 mi rende
un tasso di interesse r > 0 certo e deterministico.
titolo rischioso (stock): al tempo 0 lo compro al prezzo S0 ,
ma il suo valore S1 al tempo 1 è in generale aleatorio.
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Ottimi di Pareto
Equilibrio
Tipi di titoli
Supponiamo di avere 2 date, 0 (presente) e 1 (futuro). A seconda
della possibile dinamica del prezzo dei titoli finanziari, possiamo
dividerli in
titolo senza rischio (bond):
B1 = B0 (1 + r )
al tempo 0 lo compro al prezzo B0 e per il tempo 1 mi rende
un tasso di interesse r > 0 certo e deterministico.
titolo rischioso (stock): al tempo 0 lo compro al prezzo S0 ,
ma il suo valore S1 al tempo 1 è in generale aleatorio.
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Ottimi di Pareto
Equilibrio
Portafogli
Un portafoglio è semplicemente una combinazione lineare di titoli.
In particolare, supponiamo di avere x titoli senza rischio e y titoli
rischiosi.
Valore del portafoglio ai tempi t = 0, 1:
Vt = xBt + ySt
V0 tipicamente è noto, e uguale al capitale iniziale, che alloco
in titolo senza rischio e titolo rischioso;
V1 è invece una variabile aleatoria.
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Equilibrio
Portafogli
Un portafoglio è semplicemente una combinazione lineare di titoli.
In particolare, supponiamo di avere x titoli senza rischio e y titoli
rischiosi.
Valore del portafoglio ai tempi t = 0, 1:
Vt = xBt + ySt
V0 tipicamente è noto, e uguale al capitale iniziale, che alloco
in titolo senza rischio e titolo rischioso;
V1 è invece una variabile aleatoria.
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Equilibrio
Portafogli
Un portafoglio è semplicemente una combinazione lineare di titoli.
In particolare, supponiamo di avere x titoli senza rischio e y titoli
rischiosi.
Valore del portafoglio ai tempi t = 0, 1:
Vt = xBt + ySt
V0 tipicamente è noto, e uguale al capitale iniziale, che alloco
in titolo senza rischio e titolo rischioso;
V1 è invece una variabile aleatoria.
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Equilibrio
Portafogli
Un portafoglio è semplicemente una combinazione lineare di titoli.
In particolare, supponiamo di avere x titoli senza rischio e y titoli
rischiosi.
Valore del portafoglio ai tempi t = 0, 1:
Vt = xBt + ySt
V0 tipicamente è noto, e uguale al capitale iniziale, che alloco
in titolo senza rischio e titolo rischioso;
V1 è invece una variabile aleatoria.
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Ottimi di Pareto
Equilibrio
Investimento ottimale
Supponendo che l’agente sia avverso al rischio, il suo problema é di
determinare, dato il capitale iniziale V0 , il portafoglio (x, y ) che
massimizzi la sua utilitá finale
E[U(V1 )]
Le 2 variabili (x, y ) sono legate dal fatto che V0 è fissato a priori, e
alla fine c’è sempre una sola variabile libera: y , oppure la
proporzione h1 di investimento rischioso, con
h1 =
yS0
,
V0
h0 =
xB0
= 1 − h1
V0
le proporzioni di ricchezza investite, rispettivamente, nel titolo
senza rischio e nel titolo rischioso.
Esempio: per h1 = 1, tutta la ricchezza é investita nel titolo
rischioso, per h1 = 0, tutta la ricchezza é investita nel titolo senza
rischio.
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Equilibrio
Investimento ottimale
Supponendo che l’agente sia avverso al rischio, il suo problema é di
determinare, dato il capitale iniziale V0 , il portafoglio (x, y ) che
massimizzi la sua utilitá finale
E[U(V1 )]
Le 2 variabili (x, y ) sono legate dal fatto che V0 è fissato a priori, e
alla fine c’è sempre una sola variabile libera: y , oppure la
proporzione h1 di investimento rischioso, con
h1 =
yS0
,
V0
h0 =
xB0
= 1 − h1
V0
le proporzioni di ricchezza investite, rispettivamente, nel titolo
senza rischio e nel titolo rischioso.
Esempio: per h1 = 1, tutta la ricchezza é investita nel titolo
rischioso, per h1 = 0, tutta la ricchezza é investita nel titolo senza
rischio.
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Equilibrio
Investimento ottimale
Supponendo che l’agente sia avverso al rischio, il suo problema é di
determinare, dato il capitale iniziale V0 , il portafoglio (x, y ) che
massimizzi la sua utilitá finale
E[U(V1 )]
Le 2 variabili (x, y ) sono legate dal fatto che V0 è fissato a priori, e
alla fine c’è sempre una sola variabile libera: y , oppure la
proporzione h1 di investimento rischioso, con
h1 =
yS0
,
V0
h0 =
xB0
= 1 − h1
V0
le proporzioni di ricchezza investite, rispettivamente, nel titolo
senza rischio e nel titolo rischioso.
Esempio: per h1 = 1, tutta la ricchezza é investita nel titolo
rischioso, per h1 = 0, tutta la ricchezza é investita nel titolo senza
rischio.
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Equilibrio
Più agenti nel mercato
Supponiamo di avere n agenti nel mercato. Ogni agente
i = 1, . . . , n può formare il suo portafoglio con (x i , y i ), il cui valore
al tempo t = 0, 1 è dato da
Vti = x i Bt + y i St
x i : n. di titoli senza rischio dell’i-esimo agente,
y i : n. di titoli rischiosi dell’i-esimo agente.
Ogni agente decide il portafoglio ottimale usando la sua funzione
di utilità Ui , risolvendo
max E[Ui (V1i )]
x i ,y i
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Equilibrio
Piccoli e grandi investitori
Se gli investitori sono “piccoli” e/o le risorse sul mercato (i.e. il
numero di titoli) sono illimitate, allora ognuno può risolvere il
problema separatamente dagli altri.
Cosa succede se invece gli investitori sono “grandi” e/o le risorse
sul mercato sono limitate?
Situazione tipica:
y1 + . . . + yn = Y
cioè il numero di titoli rischiosi è fissato.
Gli agenti non sono più liberi di fare quello che vogliono; in
particolare, la funzione obbiettivo E[Ui (V1i )] dell’agente i dipende
anche dalle strategie degli altri agenti
gioco non cooperativo!
Che criterio possono usare gli agenti per spartirsi le risorse in modo
“ottimale”?
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Equilibrio
Piccoli e grandi investitori
Se gli investitori sono “piccoli” e/o le risorse sul mercato (i.e. il
numero di titoli) sono illimitate, allora ognuno può risolvere il
problema separatamente dagli altri.
Cosa succede se invece gli investitori sono “grandi” e/o le risorse
sul mercato sono limitate?
Situazione tipica:
y1 + . . . + yn = Y
cioè il numero di titoli rischiosi è fissato.
Gli agenti non sono più liberi di fare quello che vogliono; in
particolare, la funzione obbiettivo E[Ui (V1i )] dell’agente i dipende
anche dalle strategie degli altri agenti
gioco non cooperativo!
Che criterio possono usare gli agenti per spartirsi le risorse in modo
“ottimale”?
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Equilibrio
Piccoli e grandi investitori
Se gli investitori sono “piccoli” e/o le risorse sul mercato (i.e. il
numero di titoli) sono illimitate, allora ognuno può risolvere il
problema separatamente dagli altri.
Cosa succede se invece gli investitori sono “grandi” e/o le risorse
sul mercato sono limitate?
Situazione tipica:
y1 + . . . + yn = Y
cioè il numero di titoli rischiosi è fissato.
Gli agenti non sono più liberi di fare quello che vogliono; in
particolare, la funzione obbiettivo E[Ui (V1i )] dell’agente i dipende
anche dalle strategie degli altri agenti
gioco non cooperativo!
Che criterio possono usare gli agenti per spartirsi le risorse in modo
“ottimale”?
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Equilibrio
Piccoli e grandi investitori
Se gli investitori sono “piccoli” e/o le risorse sul mercato (i.e. il
numero di titoli) sono illimitate, allora ognuno può risolvere il
problema separatamente dagli altri.
Cosa succede se invece gli investitori sono “grandi” e/o le risorse
sul mercato sono limitate?
Situazione tipica:
y1 + . . . + yn = Y
cioè il numero di titoli rischiosi è fissato.
Gli agenti non sono più liberi di fare quello che vogliono; in
particolare, la funzione obbiettivo E[Ui (V1i )] dell’agente i dipende
gioco non cooperativo!
anche dalle strategie degli altri agenti
Che criterio possono usare gli agenti per spartirsi le risorse in modo
“ottimale”?
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Equilibrio
Piccoli e grandi investitori
Se gli investitori sono “piccoli” e/o le risorse sul mercato (i.e. il
numero di titoli) sono illimitate, allora ognuno può risolvere il
problema separatamente dagli altri.
Cosa succede se invece gli investitori sono “grandi” e/o le risorse
sul mercato sono limitate?
Situazione tipica:
y1 + . . . + yn = Y
cioè il numero di titoli rischiosi è fissato.
Gli agenti non sono più liberi di fare quello che vogliono; in
particolare, la funzione obbiettivo E[Ui (V1i )] dell’agente i dipende
gioco non cooperativo!
anche dalle strategie degli altri agenti
Che criterio possono usare gli agenti per spartirsi le risorse in modo
“ottimale”?
Investimento - 1 agente
Investimento - più agenti
Ottimi di Pareto
Equilibrio
Piccoli e grandi investitori
Se gli investitori sono “piccoli” e/o le risorse sul mercato (i.e. il
numero di titoli) sono illimitate, allora ognuno può risolvere il
problema separatamente dagli altri.
Cosa succede se invece gli investitori sono “grandi” e/o le risorse
sul mercato sono limitate?
Situazione tipica:
y1 + . . . + yn = Y
cioè il numero di titoli rischiosi è fissato.
Gli agenti non sono più liberi di fare quello che vogliono; in
particolare, la funzione obbiettivo E[Ui (V1i )] dell’agente i dipende
gioco non cooperativo!
anche dalle strategie degli altri agenti
Che criterio possono usare gli agenti per spartirsi le risorse in modo
“ottimale”?
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Ottimi di Pareto
Equilibrio
Un esempio con 2 agenti
√
Supponiamo che entrambi gli agenti abbiano Ui (x) = x 1/2 = x
come funzione di utilità, e di avere B0 = 100, S0 = 100, r = 0.1, e
che
P{S1 = U} = p,
P{S1 = D} = 1 − p
con U = 200, D = 50, p = 21 . Se V0 = 10000, sappiamo che per
entrambi gli agenti l’allocazione ottimale si ha per h1i = 0.615, che
corrisponde a
yi =
10000
h1i V0
= 0.615
= 61.5
S0
100
Se però Y = y 1 + y 2 = 100, non è possibile che entrambi gli
agenti raggiungano l’ottimo, poichè 61.5 + 61.5 6= 100 . . .
. . . chi cede?
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Ottimi di Pareto
Equilibrio
Un esempio con 2 agenti
√
Supponiamo che entrambi gli agenti abbiano Ui (x) = x 1/2 = x
come funzione di utilità, e di avere B0 = 100, S0 = 100, r = 0.1, e
che
P{S1 = U} = p,
P{S1 = D} = 1 − p
con U = 200, D = 50, p = 21 . Se V0 = 10000, sappiamo che per
entrambi gli agenti l’allocazione ottimale si ha per h1i = 0.615, che
corrisponde a
yi =
10000
h1i V0
= 0.615
= 61.5
S0
100
Se però Y = y 1 + y 2 = 100, non è possibile che entrambi gli
agenti raggiungano l’ottimo, poichè 61.5 + 61.5 6= 100 . . .
. . . chi cede?
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Ottimi di Pareto
Equilibrio
Un esempio con 2 agenti
√
Supponiamo che entrambi gli agenti abbiano Ui (x) = x 1/2 = x
come funzione di utilità, e di avere B0 = 100, S0 = 100, r = 0.1, e
che
P{S1 = U} = p,
P{S1 = D} = 1 − p
con U = 200, D = 50, p = 21 . Se V0 = 10000, sappiamo che per
entrambi gli agenti l’allocazione ottimale si ha per h1i = 0.615, che
corrisponde a
yi =
10000
h1i V0
= 0.615
= 61.5
S0
100
Se però Y = y 1 + y 2 = 100, non è possibile che entrambi gli
agenti raggiungano l’ottimo, poichè 61.5 + 61.5 6= 100 . . .
. . . chi cede?
Investimento - 1 agente
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Ottimi di Pareto
Equilibrio
Gioco non cooperativo, a somma non zero
I problemi dei due agenti sono:
per l’agente 1: max W1 (x 1 , y 1 , x 2 , y 2 );
(x 1 ,y 1 )
per l’agente 2: max W2 (x 1 , y 1 , x 2 , y 2 );
(x 2 ,y 2 )
dove per i = 1, 2 definiamo
Wi (x 1 , y 1 , x 2 , y 2 ) = E[Ui (V1i )] = E[Ui (x i B1 + y i S1 )]
e (x 1 , y 1 , x 2 , y 2 ) ∈ X , dove X è l’insieme delle soluzioni del sistema
 1
 x B0 + y 1 S0 = V01 ,
x 2 B0 + y 2 S0 = V02 ,
 1
y + y2
=Y
3 equazioni, 4 incognite: come prima, infinite soluzioni che
dipendono da 1 solo parametro (vedi dopo).
Investimento - 1 agente
Investimento - più agenti
Ottimi di Pareto
Equilibrio
Ottimi di Pareto
Per giochi non cooperativi a somma non zero, si hanno diversi
concetti di equilibrio.
Quello classico in Economia (Pareto 1896) è quello di ottimo di
Pareto.
Wikipedia: Si ha ottimo paretiano (detto anche efficienza
allocativa) quando non è possibile alcuna riorganizzazione della
produzione che migliori le condizioni di almeno una persona senza
diminuire quelle degli altri. In tale situazione, l’utilità di una
persona può essere aumentata soltanto da una diminuzione
dell’utilità di qualcun altro; vale a dire che nessuna persona può
migliorare la propria condizione senza che qualcun altro peggiori la
sua.
Investimento - 1 agente
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Ottimi di Pareto
Equilibrio
Ottimi di Pareto
Per giochi non cooperativi a somma non zero, si hanno diversi
concetti di equilibrio.
Quello classico in Economia (Pareto 1896) è quello di ottimo di
Pareto.
Wikipedia: Si ha ottimo paretiano (detto anche efficienza
allocativa) quando non è possibile alcuna riorganizzazione della
produzione che migliori le condizioni di almeno una persona senza
diminuire quelle degli altri. In tale situazione, l’utilità di una
persona può essere aumentata soltanto da una diminuzione
dell’utilità di qualcun altro; vale a dire che nessuna persona può
migliorare la propria condizione senza che qualcun altro peggiori la
sua.
Investimento - 1 agente
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Ottimi di Pareto
Equilibrio
Ottimi di Pareto
Per giochi non cooperativi a somma non zero, si hanno diversi
concetti di equilibrio.
Quello classico in Economia (Pareto 1896) è quello di ottimo di
Pareto.
Wikipedia: Si ha ottimo paretiano (detto anche efficienza
allocativa) quando non è possibile alcuna riorganizzazione della
produzione che migliori le condizioni di almeno una persona senza
diminuire quelle degli altri. In tale situazione, l’utilità di una
persona può essere aumentata soltanto da una diminuzione
dell’utilità di qualcun altro; vale a dire che nessuna persona può
migliorare la propria condizione senza che qualcun altro peggiori la
sua.
Investimento - 1 agente
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Ottimi di Pareto
Equilibrio
Esempio: dilemma del prigioniero
Due noti ladri vengono arrestati con l’accusa di aver fatto una
rapina insieme, per cui però non ci sono testimoni. Interrogati
separatamente, ad entrambi viene detto che se confessano avranno
uno sconto di pena; in particolare, gli anni di carcere per questa
rapina dei due ladri (NC = non confessa, C = confessa) saranno i
seguenti:
1
2
NC
C
NC
C
(1,1)
(6,0)
(0,6)
(4,4)
Con questa matrice di pagamenti (dove ovviamente i ladri vogliono
minimizzare i propri anni di galera!), (NC,NC) è (l’unico) ottimo
di Pareto!
Nota: L’unico equilibrio di Nash è invece (C,C).
Investimento - 1 agente
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Ottimi di Pareto
Equilibrio
Ottimi di Pareto nel problema dei 2 agenti
Diciamo che (x̃ 1 , ỹ 1 , x̃ 2 , ỹ 2 ) ∈ X è ottimo di Pareto se non esiste
(x 1 , y 1 , x 2 , y 2 ) ∈ X tale che
W1 (x 1 , y 1 , x 2 , y 2 ) > W1 (x̃ 1 , ỹ 1 , x̃ 2 , ỹ 2 ),
W2 (x 1 , y 1 , x 2 , y 2 ) ≥ W2 (x̃ 1 , ỹ 1 , x̃ 2 , ỹ 2 )
oppure
W1 (x 1 , y 1 , x 2 , y 2 ) ≥ W1 (x̃ 1 , ỹ 1 , x̃ 2 , ỹ 2 ),
W2 (x 1 , y 1 , x 2 , y 2 ) > W2 (x̃ 1 , ỹ 1 , x̃ 2 , ỹ 2 )
Questo significa che, se vogliamo che una delle due utilità aumenti,
l’altra deve diminuire.
Investimento - 1 agente
Investimento - più agenti
Ottimi di Pareto
Equilibrio
Riparametrizzazione
Abbiamo visto che X ha infinite soluzioni, parametrizzabili da una
singola variabile (“segmento” nello spazio a 4 dimensioni!).
Questa volta scegliamo come parametro t1 (t2 ) la proporzione di
titolo rischioso in mano all’agente 1 (2):
t1 =
y1
y1
= 1
,
Y
y + y2
t2 =
y2
y2
= 1
Y
y + y2
Quindi il numero di titoli rischiosi in mano all’agente 1
(risp. all’agente 2) è y 1 = t1 Y (risp. y 2 = t2 Y ).
È chiaro che t2 = 1 − t1 , e se vogliamo che non siano possibili
vendite allo scoperto, dobbiamo imporre che t1 ∈ [0, 1]. In
particolare:
t1 = 0: tutti i titoli rischiosi sono in mano all’agente 2;
t1 = 1: tutti i titoli rischiosi sono in mano all’agente 1;
Investimento - 1 agente
Investimento - più agenti
Ottimi di Pareto
Equilibrio
Riparametrizzazione
Abbiamo visto che X ha infinite soluzioni, parametrizzabili da una
singola variabile (“segmento” nello spazio a 4 dimensioni!).
Questa volta scegliamo come parametro t1 (t2 ) la proporzione di
titolo rischioso in mano all’agente 1 (2):
t1 =
y1
y1
= 1
,
Y
y + y2
t2 =
y2
y2
= 1
Y
y + y2
Quindi il numero di titoli rischiosi in mano all’agente 1
(risp. all’agente 2) è y 1 = t1 Y (risp. y 2 = t2 Y ).
È chiaro che t2 = 1 − t1 , e se vogliamo che non siano possibili
vendite allo scoperto, dobbiamo imporre che t1 ∈ [0, 1]. In
particolare:
t1 = 0: tutti i titoli rischiosi sono in mano all’agente 2;
t1 = 1: tutti i titoli rischiosi sono in mano all’agente 1;
Investimento - 1 agente
Investimento - più agenti
Ottimi di Pareto
Riparametrizzazione - II
Di conseguenza ogni (x 1 , y 1 , x 2 , y 2 ) ∈ X viene parametrizzato,
1
rispetto a t1 = yY , cosı̀:

V01 −t1 YS0
 1

x1 =

1
1
B0

 x B0 + y S0 = V0 ,
 1
y = t1 Y ,
2
2
2
x B0 + y S0 = V0 ,
2
2 = V0 −(1−t1 )YS0

 1
2
x

y +y
=Y

B0
 2
y = (1 − t1 )Y ,
I portafogli dei due agenti daranno
V01 − t1 YS0
B1 + t1 YS1 =
B0
= V01 (1 + r ) + t1 Y (S1 − S0 (1 + r )),
V11 (t1 ) =
V02 − (1 − t1 )YS0
B1 + (1 − t1 )YS1 =
B0
= V02 (1 + r ) + (1 − t1 )Y (S1 − S0 (1 + r )),
V12 (t1 ) =
Equilibrio
Investimento - 1 agente
Investimento - più agenti
Ottimi di Pareto
Riparametrizzazione - II
Di conseguenza ogni (x 1 , y 1 , x 2 , y 2 ) ∈ X viene parametrizzato,
1
rispetto a t1 = yY , cosı̀:

V01 −t1 YS0
 1

x1 =

1
1
B0

 x B0 + y S0 = V0 ,
 1
y = t1 Y ,
2
2
2
x B0 + y S0 = V0 ,
2
2 = V0 −(1−t1 )YS0

 1
2
x

y +y
=Y

B0
 2
y = (1 − t1 )Y ,
I portafogli dei due agenti daranno
V01 − t1 YS0
B1 + t1 YS1 =
B0
= V01 (1 + r ) + t1 Y (S1 − S0 (1 + r )),
V11 (t1 ) =
V02 − (1 − t1 )YS0
B1 + (1 − t1 )YS1 =
B0
= V02 (1 + r ) + (1 − t1 )Y (S1 − S0 (1 + r )),
V12 (t1 ) =
Equilibrio
Investimento - 1 agente
Investimento - più agenti
Ottimi di Pareto
Riparametrizzazione - II
Di conseguenza ogni (x 1 , y 1 , x 2 , y 2 ) ∈ X viene parametrizzato,
1
rispetto a t1 = yY , cosı̀:

V01 −t1 YS0
 1

x1 =

1
1
B0

 x B0 + y S0 = V0 ,
 1
y = t1 Y ,
2
2
2
x B0 + y S0 = V0 ,
2
2 = V0 −(1−t1 )YS0

 1
2
x

y +y
=Y

B0
 2
y = (1 − t1 )Y ,
I portafogli dei due agenti daranno
V01 − t1 YS0
B1 + t1 YS1 =
B0
= V01 (1 + r ) + t1 Y (S1 − S0 (1 + r )),
V11 (t1 ) =
V02 − (1 − t1 )YS0
B1 + (1 − t1 )YS1 =
B0
= V02 (1 + r ) + (1 − t1 )Y (S1 − S0 (1 + r )),
V12 (t1 ) =
Equilibrio
Investimento - 1 agente
Investimento - più agenti
Ottimi di Pareto
Ottimi di Pareto con la riparametrizzazione
Diciamo che t̃1 ∈ [0, 1] definisce un ottimo di Pareto (che sarà
(x 1 (t̃1 ), y 1 (t̃1 ), x 2 (t̃1 ), y 2 (t̃1 )) ∈ X ) se non esiste t1 ∈ [0, 1] tale
che

 E[U1 (V11 (t1 ))] > E[U1 (V11 (t̃1 ))],

E[U2 (V12 (t1 ))] ≥ E[U2 (V12 (t̃1 ))]
oppure

 E[U1 (V11 (t1 ))] ≥ E[U1 (V11 (t̃1 ))],

E[U2 (V12 (t1 ))] > E[U2 (V12 (t̃1 ))]
Equilibrio
Investimento - 1 agente
Investimento - più agenti
Ottimi di Pareto
Equilibrio
Caratterizzazione degli ottimi di Pareto
Nel nostro esempio, gli ottimi di Pareto possono essere
caratterizzati in modo molto semplice.
Consideriamo il caso in cui gli agenti non abbiano vincoli, tranne
0 ≤ y i ≤ Y per i = 1, 2.
Supponiamo che l’agente 1 realizzi il suo ottimo per un certo ỹ 1 , a
1
cui corrisponde un t1 (ỹ 1 ) (= ỹY ) . . .
. . . e che l’agente 2 realizzi il suo ottimo per un certo ỹ 2 , a cui
2
corrisponde un t1 (ỹ 2 ) (= 1 − ỹY ).
Tutti gli ottimi di Pareto stanno esattamente sul segmento di
estremi t1 (ỹ 1 ) e t1 (ỹ 2 )!
Investimento - 1 agente
Investimento - più agenti
Ottimi di Pareto
Equilibrio
Caratterizzazione degli ottimi di Pareto
Nel nostro esempio, gli ottimi di Pareto possono essere
caratterizzati in modo molto semplice.
Consideriamo il caso in cui gli agenti non abbiano vincoli, tranne
0 ≤ y i ≤ Y per i = 1, 2.
Supponiamo che l’agente 1 realizzi il suo ottimo per un certo ỹ 1 , a
1
cui corrisponde un t1 (ỹ 1 ) (= ỹY ) . . .
. . . e che l’agente 2 realizzi il suo ottimo per un certo ỹ 2 , a cui
2
corrisponde un t1 (ỹ 2 ) (= 1 − ỹY ).
Tutti gli ottimi di Pareto stanno esattamente sul segmento di
estremi t1 (ỹ 1 ) e t1 (ỹ 2 )!
Investimento - 1 agente
Investimento - più agenti
Ottimi di Pareto
Equilibrio
Caratterizzazione degli ottimi di Pareto
Nel nostro esempio, gli ottimi di Pareto possono essere
caratterizzati in modo molto semplice.
Consideriamo il caso in cui gli agenti non abbiano vincoli, tranne
0 ≤ y i ≤ Y per i = 1, 2.
Supponiamo che l’agente 1 realizzi il suo ottimo per un certo ỹ 1 , a
1
cui corrisponde un t1 (ỹ 1 ) (= ỹY ) . . .
. . . e che l’agente 2 realizzi il suo ottimo per un certo ỹ 2 , a cui
2
corrisponde un t1 (ỹ 2 ) (= 1 − ỹY ).
Tutti gli ottimi di Pareto stanno esattamente sul segmento di
estremi t1 (ỹ 1 ) e t1 (ỹ 2 )!
Investimento - 1 agente
Investimento - più agenti
Ottimi di Pareto
Il prezzo iniziale è davvero giusto?
Se t1 (ỹ 1 ) 6= t1 (ỹ 2 ), questo significa che in ogni ottimo di Pareto
c’è almeno un agente scontento (= non al suo ottimo) . . .
. . . come facciamo ad accontentarli entrambi?
O meglio, come facciamo a far loro credere che l’allocazione è
ottimale per entrambi?
C’è ancora un parametro che non abbiamo toccato: S0 !
Chi decide il prezzo iniziale?
Equilibrio
Investimento - 1 agente
Investimento - più agenti
Ottimi di Pareto
Equilibrio
Perchè modificare S0 ?
Siccome chi tratta il titolo S sono solo i due agenti del mercato,
niente impedisce che siano loro a decidere il suo prezzo al tempo 0!
Supponiamo che t1 (ỹ 1 ) (frazione di titolo S in mano all’agente 1
secondo il suo ottimo) e 1 − t1 (ỹ 2 ) (frazione di titolo S in mano
all’agente 2 secondo il suo ottimo) siano tali che
t1 (ỹ 1 ) + 1 − t1 (ỹ 2 ) > 1
il titolo S non basta per soddisfare entrambi gli agenti . . .
. . . e se costasse un po’ di più?
Entrambi gli agenti ne vorrebbero un po’ di meno!!!
Viceversa, se
t1 (ỹ 1 ) + 1 − t1 (ỹ 2 ) < 1
allora uno dei due ne avrebbe più di quanto vorrebbe . . .
. . . se costasse un po’ di meno, entrambi gli agenti ne vorrebbero di
più!
Investimento - 1 agente
Investimento - più agenti
Ottimi di Pareto
Equilibrio
Prezzo di equilibrio per S0
Diciamo che S0∗ è un prezzo di equilibrio per S se per quel prezzo
iniziale esistono due quantità di titolo rischioso ỹ 1 e ỹ 2 (= gli
ottimi per gli agenti 1 e 2) tali che:
pulizia del mercato:
t1 (ỹ 1 ) + 1 − t1 (ỹ 2 ) = 1
ottimalità: per ogni altro y 1 , y 2 si ha
E[U1 (V11 (y 1 ))] ≤ E[U1 (V11 (ỹ 1 ))],
E[U2 (V12 (y 2 ))] ≤ E[U2 (V12 (ỹ 2 ))]