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FONDAMENTI DI AUTOMATICA Michele Basso, Luigi Chisci e Paola Falugi 22 novembre 2006 2 Indice 1 Analisi in frequenza di sistemi LTI 1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Analisi armonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Risposta in frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Diagrammi di Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Diagramma di Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Regole per il tracciamento qualitativo dei diagrammi di Nyquist 1.7 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 5 6 10 14 33 36 42 49 4 Indice Capitolo 1 Analisi in frequenza di sistemi LTI 1.1 Introduzione Questo capitolo integra l’analisi di sistemi LTI nel dominio del tempo svolta nel capitolo 3 con l’analisi nel dominio della frequenza. Quest’ultima costituisce un mezzo potente ed intuitivo per lo studio e la comprensione del comportamento di tali sistemi, nonché per l’analisi di alcune loro proprietà fondamentali particolarmente in riferimento ai sistemi retroazionati (vedi capitolo 7). Inoltre, come si vedrà nei capitoli 9 e 10, l’analisi in frequenza fornisce strumenti utili per la formulazione delle specifiche e per la sintesi di sistemi di controllo a retroazione. L’analisi in frequenza si basa sullo studio della risposta del sistema ad un ingresso di tipo sinusoidale (analisi armonica). Sfruttando il principio di sovrapposizione degli effetti e l’analisi di Fourier, che permette di sviluppare segnali come combinazioni lineari di un numero finito o infinito (numerabile o continuo) di sinusoidi di diverse pulsazioni (componenti armoniche), l’analisi armonica è estendibile ad una ampia classe di segnali comprendente di fatto tutti i segnali di interesse pratico nelle applicazioni ingegneristiche. Il capitolo tratterà in dettaglio i seguenti argomenti. • Determinazione della risposta ad un ingresso sinusoidale e teorema fondamentale dell’analisi armonica. • Definizione della risposta in frequenza, suoi legami con la funzione di trasferimento, sue proprietà e determinazione sperimentale. • Rappresentazione grafica della risposta in frequenza tramite diagrammi di Bode e di Nyquist e metodi per il tracciamento qualitativo di tali diagrammi. 5 6 Analisi armonica 1.2 Analisi armonica Si vuole determinare la risposta di un sistema LTI, con funzione di trasferimento G(s) = b(s)/a(s), ad un segnale di ingresso sinusoidale u(t) = Au sin(ωt + ϕu ) (1.2.1) di pulsazione ω > 0, ampiezza Au > 0 e fase ϕu ∈ [−π, π). Ampiezza e fase della sinusoide possono essere rappresentate in modo più compatto da un △ unico numero complesso U = Au ejϕu , detto fasore della sinusoide (1.2.1), nel seguente modo: u(t) = Au sin(ωt + ϕu ) = Im Au ej(ωt+ϕu ) = Im Au ejϕu ejωt 1 = Im U ejωt = U ejωt − U e−jωt 2j (1.2.2) Da (1.2.2) si deduce la trasformata di Laplace dell’ingresso U (s) = = 1 2j U U − s − jω s + jω = 1 U (s + jω) − U (s − jω) 2j (s − jω)(s + jω) Im U s + Re U ω 1 (U − U )s + j(U + U )ω = 2 2 2j s +ω s2 + ω 2 (1.2.3) La trasformata di Laplace della risposta cercata è quindi: Y (s) = = G(s)U (s) + p(s) G(s) (Im U s + Re U ω) p(s) = + 2 2 a(s) s +ω a(s) b(s) (Im U s + Re U ω) + p(s) (s2 + ω 2 ) a(s) (s2 + ω 2 ) (1.2.4) dove p(s) è un polinomio i cui coefficienti dipendono dalle condizioni iniziali. Si noti che (1.2.4) è una funzione razionale di denominatore a(s) (s2 + ω 2 ) e, pertanto, i suoi poli coincidono con: • i poli del sistema, cioè le radici del polinomio caratteristico a(s); • i poli dell’ingresso, cioè le radici ±jω del polinomio s2 + ω 2 a denominatore di U (s). Se ±jω sono poli semplici di Y (s) in (1.2.4), vale a dire se è soddisfatta la seguente ipotesi a(jω) 6= 0 (1.2.5) Analisi in frequenza di sistemi LTI 7 la (1.2.4) può essere posta nella forma Y (s) = dove K K q(s) + + s − jω s + jω a(s) K = [(s − jω)Y (s) ]s=jω Im U s + Re U ω p(s) = (s − jω)G(s) + (s − jω) (s − jω)(s + jω) a(s) s=jω = (1.2.6) (1.2.7) G(jω)U 2j è il residuo di Y (s) associato al polo s = jω mentre q(s) è un polinomio dello stesso grado di p(s). Antitrasformando (1.2.6) ed utilizzando (1.2.7): q(s) −jωt −1 jωt +L y(t) = Ke + Ke = 2 Re Kejωt + yT (t) a(s) G(jω)U jωt e + yT (t) = Im G(jω)U ejωt + yT (t) = Re j = yR (t) + yT (t) (1.2.8) dove si è posto: △ yR (t) = Im G(jω)U ejωt = |G(jω)|Au sin (ωt + ϕu + ∠G(jω))(1.2.9) q(s) △ yT (t) = L−1 (1.2.10) a(s) Pertanto la risposta y(t) in (1.2.8) risulta somma di due termini. Il termine yR (t), definito in (1.2.9), prende il nome di risposta a regime; è un segnale sinusoidale, della stessa pulsazione dell’ingresso, caratterizzato dal fasore Y = G(jω) U (1.2.11) o, equivalentemente, da ampiezza Ay e fase ϕy legate ad ampiezza Au e fase ϕu dell’ingresso dalle seguenti relazioni Ay = |G(jω)| Au ϕy = ϕu + ∠G(jω) (1.2.12) (1.2.13) Il termine yT (t), definito in (1.2.10), prende il nome di risposta transitoria ed è una combinazione lineare dei modi naturali del sistema. In particolare, se il sistema è stabile la risposta transitoria tende asintoticamente a zero, cioè lim yT (t) = 0, t→∞ 8 Analisi armonica qualunque siano le condizioni iniziali. Riassumendo i precedenti sviluppi, vale il seguente risultato noto come teorema fondamentale dell’analisi armonica. Teorema 5.1 - Se si applica ad un sistema LTI stabile con funzione di trasferimento G(s) un ingresso sinusoidale u(t) = Im(U ejωt ), l’uscita y(t) tende asintoticamente, indipendentemente dalle condizioni iniziali, alla risposta di regime yR (t) = Im(Y ejωt ) dove il fasore Y è legato al fasore U dell’ingresso dalla relazione (1.2.11). Più precisamente, lim y(t) − Im(Y ejωt ) = 0, t→∞ qualunque siano le condizioni iniziali. Osservazioni • Nel caso in cui il sistema sia instabile, cioè G(s) abbia poli con parte reale non negativa, non è più vero in generale che la risposta y(t) tende alla soluzione sinusoidale di regime yR (t) in quanto, in tal caso, la risposta transitoria yT (t) non converge necessariamente a zero. Tuttavia si dimostra che, nell’ipotesi (1.2.5), esiste un valore delle condizioni iniziali per cui il polinomio q(s) in (1.2.10) è nullo e, di conseguenza, la risposta transitoria yT (t) è nulla per ogni t ≥ 0. Questo permette di estendere i risultati dell’analisi a regime anche ad un sistema instabile purché inserito in un anello di retroazione che lo stabilizzi (vedi successivo capitolo 7); in tal caso, infatti, la relazione a regime fra l’ingresso e l’uscita del sistema, in presenza di un’eccitazione sinusoidale esterna, continua ad essere quella del teorema 5.1. • Se la condizione (1.2.5) non è soddisfatta, cioè a(jω) = 0, la sinusoide in ingresso al sistema coincide con un modo naturale del sistema ed il sistema stesso va in risonanza. Assumendo, per esempio, che jω è un polo semplice di G(s), si ha infatti Y (s) = K1 K1 K2 K2 + + + + ··· 2 s − jω s + jω (s − jω) (s + jω)2 dove · · · rappresentano i termini dello sviluppo di Heaviside relativi ai rimanenti poli di G(s). Quindi, antitrasformando, si ottiene un’uscita della forma y(t) = A1 sin(ωt + ϕ1 ) + A2 t sin(ωt + ϕ2 ) + · · · Analisi in frequenza di sistemi LTI 9 dove A1 , ϕ1 , A2 , ϕ2 sono opportune costanti e · · · rappresenta una combinazione dei rimanenti modi naturali del sistema. Quindi l’ingresso sinusoidale u(t) di pulsazione ω produce in uscita una sinusoide di ampiezza crescente linearmente (fenomeno di risonanza). • L’analisi armonica è estendibile, mediante il principio di sovrapposizione degli effetti, a tutti i segnali esprimibili come combinazioni lineari di sinusoidi, quali ad esempio: – i segnali periodici sviluppabili in serie di Fourier; – i segnali dotati di trasformata di Fourier. Si consideri un ingresso periodico u(t) di periodo T , cioè tale che u(t + T ) = u(t) per ogni t ≥ 0, sviluppabile in serie di Fourier tramite u(t) = ∞ X Im k=0 Uk ejkωt , ω= 2π . T Nelle stesse ipotesi del teorema 5.1, sfruttando il principio di sovrapposizione degli effetti ed applicando il teorema 5.1 ad ogni componente armonica, l’uscita del sistema tende alla risposta a regime periodica ∞ X yR (t) = k=0 Im Yk ejkωt , con Yk = G(jkω) Uk . Analogamente si consideri l’ingresso u(t) dotato di trasformata di Fourier u(t) = Z ∞ Im U (ω) ejωt 0 dω Ragionando nello stesso modo, si può concludere che, nelle ipotesi del teorema 5.1, la risposta al suddetto ingresso tende alla risposta di regime yR (t) = Z ∞ Im Y (ω) ejωt 0 con Y (ω) = G(jω) U (ω) dω 10 Risposta in frequenza 1.3 Risposta in frequenza L’analisi armonica ha messo in evidenza l’importanza della funzione G(jω) che caratterizza completamente il comportamento in frequenza del sistema. Per questo motivo tale funzione, complessa di variabile reale ω, prende il nome di risposta in frequenza del sistema. Si indichi con U (ω) il fasore della componente armonica di pulsazione ω in ingresso e con Y (ω) il fasore della corrispondente componente armonica (in condizioni di regime) in uscita. In virtù dei risultati del precedente paragrafo, vale la relazione (1.3.1) Y (ω) = G(jω) U (ω) che esprime il fatto che per ogni pulsazione ω il fasore dell’uscita Y (ω) è uguale al prodotto del fasore di ingresso U (ω) per la risposta in frequenza G(jω); quest’ultima rappresenta pertanto il guadagno fasoriale del sistema. Da (1.3.1) si deducono le relazioni (1.3.2) Ay (ω) = |G(jω)| Au (ω) (1.3.3) ϕy (ω) = ϕu (ω) + ∠G(jω) che legano ampiezza Au (ω) e fase ϕu (ω) della componente armonica di pulsazione ω in ingresso ad ampiezza Ay (ω) e fase ϕy (ω) della corrispondente componente a regime in uscita. Si noti da (1.3.2) che il modulo |G(jω)| della risposta in frequenza rappresenta il guadagno - amplificazione se |G(jω)| > 1 oppure attenuazione se |G(jω)| < 1 - del sistema alla pulsazione ω. Viceversa da (1.3.3) si evince che l’argomento ∠G(jω) della risposta in frequenza rappresenta lo sfasamento - in anticipo se ∠G(jω) > 0 oppure in ritardo se ∠G(jω) < 0 - del sistema alla pulsazione ω. Proprietà della risposta in frequenza Poiché G(s) è una funzione razionale a coefficienti reali, risulta banalmente che (1.3.4) G(−jω) = G(jω) = G(jω) da cui si deducono le seguenti proprietà |G(jω)| = |G(−jω)|, ∠G(jω) = −∠G(−jω), Re G(jω) = Re G(−jω), Im G(jω) = −Im G(−jω) In altri termini: • modulo e parte reale della risposta in frequenza sono funzioni pari di ω; • argomento e parte immaginaria sono funzioni dispari di ω. Analisi in frequenza di sistemi LTI 11 Ay Au T τ 0 0 1 2 3 4 5 6 7 Tempo Figura 1.1 - Determinazione sperimentale della risposta in frequenza: ingresso di pulsazione 2π ω= (linea tratteggiata) e uscita corrispondente (linea continua). Lo sfasamento misurato T è ϕy − ϕu = −ωτ . Determinazione sperimentale della risposta in frequenza Le relazioni (1.3.2)-(1.3.3) suggeriscono un metodo per la determinazione sperimentale della risposta in frequenza G(jω), da usarsi nei casi in cui la funzione di trasferimento G(s) del sistema non sia nota a-priori. Infatti, per determinare il valore G(jω) ad un certo valore ω della pulsazione, si può procedere nel modo seguente (vedi fig. 1.1): • si applica al sistema un ingresso sinusoidale u(t) = Au sin(ωt + ϕu ); • atteso un intervallo di tempo sufficientemente lungo affinché si possa considerare esaurito il transitorio, si misurano l’ampiezza Ay e la fase ϕy della sinusoide in uscita; 12 Risposta in frequenza • si calcola il modulo della risposta in frequenza come rapporto fra l’ampiezza della sinusoide di uscita e di quella di ingresso, cioè |G(jω)| = Ay ; Au (1.3.5) • si calcola l’argomento della risposta in frequenza come differenza fra la fase della sinusoide di uscita e di quella di ingresso, cioè ∠G(jω) = ϕy − ϕu (1.3.6) Si noti che la suddetta procedura va ripetuta per tutte le pulsazioni ω di interesse. In pratica è possibile ridurre il numero di esperimenti utilizzando segnali di ingresso costituiti da più armoniche che consentono la valutazione simultanea di più valori della risposta in frequenza. Si osservi, inoltre, che la determinazione sperimentale della risposta in frequenza richiede che il sistema vada a regime. Pertanto, tale determinazione può essere effettuata in anello aperto, secondo lo schema di fig. ??, solo se il sistema di interesse è stabile. Se, viceversa, il sistema non è stabile lo si può stabilizzare secondo lo schema a retroazione di fig. ?? (vedi capitolo 7) per poi procedere nel seguente modo: • si applica all’ingresso esogeno del sistema a retroazione un segnale sinusoidale r(t) di pulsazione ω; • a regime, si misurano ampiezze e fasi (Au , Ay , ϕu e ϕu ) di u(t) e y(t); • si calcolano |G(jω)| e ∠G(jω) mediante (1.3.5)-(1.3.6). Risposta in frequenza dell’elemento di ritardo Molti sistemi reali di interesse presentano un ritardo temporale dovuto a fenomeni di trasporto di materia. Si ricorda che tali sistemi sono LTI ma non a dimensione finita, pertanto non sono caratterizzati da una funzione di trasferimento G(s) razionale. Nel seguito si vuole estendere il concetto di risposta in frequenza a sistemi con ritardo temporale. L’elemento di ritardo è descritto dall’equazione ingresso-uscita y(t) = u(t − τ ) dove τ > 0 è il ritardo. È immediato, pertanto, constatare che se u(t) = Au sin(ωt + ϕu ), allora risulta y(t) = Au sin(ω(t − τ ) + ϕu ) = Ay (ω) sin(ωt + ϕy (ω)) Analisi in frequenza di sistemi LTI 13 con Ay (ω) = Au e ϕy (ω) = ϕu − ωτ , per ogni pulsazione ω. Quindi, definendo la risposta in frequenza come rapporto fasoriale uscita/ingresso, per l’elemento di ritardo si ha G(jω) = Ay (ω)ejϕy (ω) Au ej(ϕu −ωτ ) Y (ω) = = e−jωτ = U (ω) Au ejϕu Au ejϕu Questa definizione di risposta in frequenza è, peraltro, compatibile con la funzione di trasferimento G(s) = e−τ s dell’elemento di ritardo, definita come rapporto fra le trasformate di Laplace dell’uscita e dell’ingresso. Si noti che la risposta in frequenza dell’elemento di ritardo ha modulo unitario per ogni pulsazione ω e argomento negativo, −ωτ , linearmente decrescente con la pulsazione ω. Rappresentazione grafica della risposta in frequenza Data l’importanza della risposta in frequenza sia per evidenziare le proprietà filtranti del sistema che, come si vedrà nei capitoli successivi, per l’analisi e la sintesi di sistemi di controllo a retroazione, risulta fondamentale studiarne la rappresentazione grafica. A tale proposito, vengono utilizzati essenzialmente due tipi di rappresentazione: • i diagrammi cartesiani, o di Bode, che riportano – l’andamento del modulo |G(jω)| in funzione della pulsazione ω (diagramma di ampiezza); – l’andamento dell’argomento ∠G(jω) in funzione di ω (diagramma di fase). • il diagramma polare, o di Nyquist, che descrive nel piano complesso il luogo dei punti G(jω) al variare di ω. Per quanto riguarda i diagrammi di Bode, la convenzione è di rappresentare il valore del modulo in decibel (dB), vale a dire △ |G(jω)|dB = 20 log10 |G(jω)| In questo modo valori di |G(jω)| minori, uguali o maggiori di 1 corrispondono a valori di |G(jω)|dB negativi, nulli o, rispettivamente, positivi (vedasi tabella di conversione 1.3). La scelta di misurare il guadagno in unità logaritmiche, come si vedrà in seguito, consente una agevole determinazione del diagramma di ampiezza di un sistema costituito dal collegamento in serie di vari sottosistemi a partire dai diagrammi di ampiezza dei sottosistemi. Il valore dell’argomento 14 Diagrammi di Bode viene convenzionalmente indicato in gradi. Infine, una caratteristica fondamentale dei diagrammi di Bode è quella di utilizzare una scala delle pulsazioni logaritmica, in base 10. In questo modo, la distanza fra due punti relativi alle pulsazioni ω1 e ω2 > ω1 risulta proporzionale al loro rapporto ω2 /ω1 . In particolare viene indicato con il termine decade un intervallo tra due pulsazioni che stanno fra loro in un rapporto 1 : 10. La scala logaritmica consente di rappresentare intervalli in frequenza ampi (diverse decadi) con la stessa risoluzione sia alle basse frequenze che alle alte frequenze. Si noti, inoltre, che nella scala logaritmica la pulsazione ω = 0 (continua) non ammette rappresentazione al finito. I diagrammi di Bode vengono tracciati su carta semi-logaritmica (logaritmica sulle ascisse e lineare sulle ordinate). Nel successivo paragrafo verrà illustrato in dettaglio come tracciare in modo sistematico e qualitativo i diagrammi di Bode per una arbitraria funzione di trasferimento G(s). |KB | |KB |dB 0.01 0.1 √ 1/ 2 √1 2 2 10 100 −40 −20 −3 0 3 6 20 40 Tabella 1.1 - Tabella di conversione in decibel di |G(jω)| = |KB | Per quanto riguarda il diagramma di Nyquist, esso descrive il luogo dei punti G(jω) al variare di ω ≥ 0. Su tale diagramma viene indicato con una freccia il verso di percorrenza per ω che va da zero all’infinito e, inoltre, per completare l’informazione sulla risposta in frequenza vengono riportati i valori di ω corrispondenti ai punti del diagramma. Il tracciamento del diagramma di Nyquist verrà trattato nel paragrafo 1.5. 1.4 Diagrammi di Bode Per tracciare i diagrammi di Bode della risposta in frequenza G(jω) risulta conveniente porre la funzione di trasferimento G(s) nella seguente forma di Analisi in frequenza di sistemi LTI 15 Bode: s s2 KB 1 + 2δ i + i (1 + τ i s) i ω ni ω 2ni G(s) = Q Q s2 s h + 2 s 1 + 2δi i i (1 + τi s) ωni ωni Q dove: Q (1.4.1) • h ∈ ZZ, detto tipo del sistema, è il numero di poli/zeri nell’origine di G(s) a seconda che h > 0 / h < 0; • KB ∈ IR \{0}, detto guadagno di Bode del sistema, coincide in generale con il guadagno in continua della funzione di trasferimento sh G(s), in particolare con il guadagno in continua G(0) se h = 0; • τi ∈ IR e τ i ∈ IR sono le costanti di tempo dei poli e, rispettivamente, zeri reali; • δi ∈ (−1, 1) e δ i ∈ (−1, 1) sono i fattori di smorzamento delle coppie di poli e, rispettivamente, zeri complessi coniugati; • ωni > 0 e ω ni > 0 sono le pulsazioni naturali delle coppie di poli e, rispettivamente, zeri complessi coniugati. Sostituendo s con jω in (1.4.1) si ricava la forma di Bode della risposta in frequenza: Q Q ω2 ω − KB 1 + 2j δ i i (1 + jωτ i ) i ω ni ω 2ni G(jω) = (1.4.2) Q ω ω2 h Q (1 + jωτ ) (jω) 1 + 2j δ − i i i i 2 ωni ωni Si noti che (1.4.2) esprime la risposta in frequenza G(jω) come il prodotto di fattori elementari Gi (jω) appartenenti ad una delle seguenti quattro possibili tipologie: (1) Fattore elementare costante Gi (jω) = KB (2) Integratore/Derivatore Gi (jω) = (jω)±1 Gi (jω) = (1 + jωτ )±1 ±1 ω ω2 o (4) Fattore elementare del 2 ordine Gi (jω) = 1 + 2jδ − ωn ωn2 In particolare i fattori elementari dei tipi (2), (3) e (4) possono avere esponente (3) Fattore elementare del 1o ordine 16 Diagrammi di Bode +1 o −1 a seconda che si riferiscano a zeri o poli della funzione di trasferimento. Le proprietà di seguito elencate permettono di costruire i diagrammi di Bode di una arbitraria G(jω) sulla base dei diagrammi di Bode dei suddetti fattori elementari. 1. Diagrammi di Bode del prodotto X |G(jω)| = |Gi (jω)|dB dB Y i X G(jω) = Gi (jω) =⇒ ∠G(jω) = ∠Gi (jω) i (1.4.3) i La (1.4.3) afferma che i diagrammi di Bode del prodotto possono essere costruiti sommando i diagrammi di Bode dei vari fattori. 2. Diagrammi di Bode del reciproco 1 = − |G(jω)|dB G(jω) dB 1 = − ∠G(jω) ∠ G(jω) (1.4.4) La (1.4.4) afferma che i diagrammi di Bode della funzione 1/G(jω) possono essere ottenuti ribaltando, rispetto all’asse delle ascisse, i diagrammi di Bode della funzione G(jω). 3. Cambiamento di segno della costante di tempo e del fattore di smorzamento |1 − jωτ |dB = |1 + jωτ |dB ∠1 − jωτ = − ∠1 − jωτ 2 2 ω ω ω ω 1 − 2jδ = 1 + 2jδ − − ωn ωn2 dB ωn ωn2 dB ∠1 − 2jδ ω ω2 − 2 ωn ωn = − ∠1 + 2jδ (1.4.5) ω2 ω − 2 ωn ωn La (1.4.5) afferma che cambiando il segno della costante di tempo τ nei fattori elementari del primo ordine oppure del fattore di smorzamento δ nei fattori elementari del secondo ordine, il diagramma di ampiezza rimane inalterato mentre il diagramma di fase viene ribaltato rispetto all’asse delle ascisse. Analisi in frequenza di sistemi LTI 17 In virtù delle proprietà (1.4.3)-(1.4.5) e della fattorizzazione (1.4.2) si possono quindi costruire i diagrammi di Bode di una arbitraria risposta in frequenza G(jω) disponendo dei diagrammi di Bode delle seguenti funzioni elementari: Ga (jω) = KB ; 1 Gb (jω) = ; jω 1 , τ > 0; Gc (jω) = 1 + jωτ 1 Gd (jω) = , δ ∈ [0, 1). ω ω2 1 + 2jδ − ωn ωn2 (1.4.6) (1.4.7) (1.4.8) (1.4.9) Di seguito si esaminano in dettaglio i diagrammi di Bode (ampiezza e fase) dei quattro fattori elementari (1.4.6)-(1.4.9). Fattore elementare costante Da (1.4.6) si deducono il modulo |Ga (jω)|dB = 20 log10 |KB | e l’argomento ∠Ga (jω) = 0◦ , KB ≥ 0 −180◦ , KB < 0 (1.4.10) (1.4.11) I corrispondenti diagrammi di Bode del fattore elementare costante sono tracciati in fig. 1.2. Si noti che: • il diagramma di ampiezza è una retta orizzontale di ordinata 20 log10 |KB | positiva, nulla o negativa a seconda che |KB | > 1, KB = ±1 o |KB | < 1; • il diagramma di fase è una retta orizzontale di ordinata 0◦ oppure −180◦ a seconda che KB ≥ 0 oppure KB < 0. Integratore In questo caso, da (1.4.7) risulta |Gb (jω)|dB = 20 log10 ∠Gb (jω) = ∠ 1 = −20 log10 ω ω 1 = − 90◦ jω (1.4.12) (1.4.13) 18 Diagrammi di Bode 20 |Gb(jω)|dB | G (jω) | 0 KB < 1 0 −20 −1 10 0 10 1 10 0 ∠ Ga(jω) 0 Fase (gradi) Modulo (dB) KB> 1 dB ∠G (jω) b −45 K ≥0 B −45 Fase (gradi) Modulo (dB) a −90 −135 K <0 B −180 −1 10 0 1 10 10 Pulsazione (rad/sec) 2 10 Figura 1.2 - Diagrammi di Bode del fattore elementare costante −90 −135 −180 −1 10 Figura 1.3 dell’integratore 0 10 Pulsazione (rad/sec) 1 10 Diagrammi di Bode Poiché |Gb (jω)| è una funzione lineare di log10 ω e la scala delle ascisse è logaritmica, il diagramma di ampiezza risultante sarà una retta di pendenza pari a −20 dB/decade. Per tracciare tale retta, occorre quindi determinarne un punto di passaggio. A tale proposito si osserva che per ω = 1 si ha |Gb (jω)|dB = 0, cioè la retta attraversa l’asse orizzontale a 0 dB in corrispondenza della pulsazione ω = 1. I diagrammi di Bode dell’integratore sono tracciati in fig. 1.3. Si noti che: • il diagramma di ampiezza è una retta obliqua di pendenza −20 dB/decade che attraversa l’asse a 0 dB in corrispondenza della pulsazione ω = 1; • il diagramma di fase è una retta orizzontale di ordinata −90◦ . Più in generale, per la funzione di trasferimento G(s) = 1/sh , il diagramma di ampiezza è una retta con pendenza di −20h dB/decade passante per 0 dB alla pulsazione ω = 1 mentre il diagramma di fase è una retta orizzontale a −h 90◦ . Fattore elementare del primo ordine Da (1.4.8) segue che p 1 = −20 log10 1 + ω 2 τ 2 (1.4.14) 1 + ω2 τ 2 ∠Gc (jω) = −∠ (1 + jωτ ) (1.4.15) |Gc (jω)|dB = 20 log10 √ I diagrammi di Bode esatti, in funzione della pulsazione normalizzata ωτ , sono riportati in fig. 1.4 (linea tratteggiata). Si noti come, a differenza dei Analisi in frequenza di sistemi LTI 19 0 Modulo (dB) |Gc(jω)|dB −20 dB/decade −20 −40 −2 10 Fase (gradi) ∠ Gc(jω) −1 10 0 1 10 10 2 10 0 − 45o/decade −45 −90 −2 10 −1 10 0 10 Pulsazione normalizzata ωτ 1 10 Figura 1.4 - Diagrammi di Bode del fattore elementare del primo ordine 2 10 20 Diagrammi di Bode precedenti casi (a) e (b), i diagrammi di Bode risultano in questo caso curvilinei anziché rettilinei. Per un tracciamento qualitativo, approssimato, dei diagrammi di Bode risulta conveniente analizzare il comportamento di (1.4.14)-(1.4.15) alle basse frequenze (ωτ ≪ 1) e alle alte frequenze (ωτ ≫ 1). Comportamento alle basse frequenze - Per ωτ ≪ 1, cioè per valori di pulsazione molto inferiori al valore 1/τ , si possono trascurare ω 2 τ 2 e jωτ rispetto all’unità in (1.4.14)-(1.4.15); si ottengono così le approssimazioni ) |Gc (jω)|dB ≈ 0 1 per ω ≪ (1.4.16) ◦ τ ∠Gc (jω) ≈ 0 Comportamento alle alte frequenze - Per ωτ ≫ 1, cioè per valori di pulsazione molto superiori al valore 1/τ , si può trascurare l’unità rispetto a ω 2 τ 2 e jωτ in (1.4.14)-(1.4.15); si ottengono così le approssimazioni ) |Gc (jω)|dB ≈ −20 log10 ωτ 1 per ω ≫ (1.4.17) ◦ τ ∠Gc (jω) ≈ −90 Si noti, inoltre, che alla pulsazione ω = 1/τ (ωτ = 1) ampiezza e fase assumono i valori (esatti) ) √ |Gc (jω)|dB = −20 log10 2 ≈ −3 dB 1 per ω = (1.4.18) ◦ τ ∠Gc (jω) = −∠(1 + j) = −45 Le relazioni (1.4.16)-(1.4.18) suggeriscono di approssimare il modulo |Gc (jω)|dB con una funzione lineare a tratti costituita da una retta orizzontale di ordinata 0 dB fino alla pulsazione ω = 1/τ raccordata con una retta obliqua con pendenza di −20 dB/decade a partire dalla medesima pulsazione. La pulsazione 1/τ , in cui il grafico approssimato del modulo sopra descritto cambia pendenza, prende il nome di pulsazione di rottura. Per quanto riguarda la fase, si riscontra che essa varia monotonicamente da 0◦ a −90◦ per ω che varia da 0 a +∞ ed assume i seguenti valori approssimati: 0.1 −6◦ , ω = τ ∠Gc (jω) ≈ 10 −84◦ , ω = τ Quindi è ragionevole raccordare linearmente i tratti orizzontali a 0◦ e a −90◦ corrispondenti al comportamento approssimato alle basse e, rispettivamente, alte frequenze fra due pulsazioni di rottura, 0.1/τ e 10/τ , collocate rispettivamente una decade prima ed una decade dopo la pulsazione di rottura del Analisi in frequenza di sistemi LTI 21 modulo. Il confronto fra diagrammi di Bode esatti (linea tratteggiata) e i diagrammi di Bode approssimati con funzioni lineari a tratti sopra descritti, detti diagrammi asintotici (linea continua), è illustrato in fig. 1.4. In particolare si riscontra che l’errore sul modulo è al massimo di 3 dB in corrispondenza della pulsazione di rottura del modulo 1/τ mentre l’errore sulla fase risulta compreso fra ±6◦ circa ed è massimo, in valore assoluto, in corrispondenza b c (jω)|dB e delle pulsazioni di rottura della fase 0.1/τ e 10/τ . Indicati con |G b ( jω) gli andamenti asintotici di modulo e fase, gli errori di modulo e con ∠G fase soddisfano, pertanto, le seguenti disuguaglianze: b c (jω)|dB − |Gc (jω)|dB ≤ 0 ≤ |G b c (jω) − ∠Gc (jω) ∠G −6◦ ≤ 3 (1.4.19) ≤ 6◦ L’andamento degli errori di modulo e di fase è riportato in fig. 1.5. Si può 3.5 6 3 4 2 Fase (gradi) Modulo (dB) 2.5 1.5 1 2 0 −2 0.5 −4 0 −0.5 −2 10 −6 −1 10 0 10 1 10 Pulsazione normalizzata ωτ 2 10 (a) Andamento dell’errore di modulo −2 10 −1 10 0 10 1 10 Pulsazione normalizzata ωτ 2 10 (b) Andamento dell’errore di fase Figura 1.5 - Andamento dell’errore per il fattore elementare del primo ordine concludere che, data la ridotta entità di tali errori rispetto alle escursioni di ampiezza e di fase, l’uso dei diagrammi asintotici al posto di quelli esatti è spesso accettabile. D’altro canto, i diagrammi asintotici catturano i principali aspetti qualitativi di quelli esatti. Riassumendo, i diagrammi asintotici del fattore elementare del primo ordine sono tracciati nel seguente modo: • il diagramma di ampiezza asintotico è costituito da una retta orizzontale di ordinata 0 dB fino alla pulsazione di rottura 1/τ seguita da una retta obliqua di pendenza −20 dB/decade; 22 Diagrammi di Bode |Gd(jω)|dB δ=0.1 10 Modulo (dB) 0 δ=1 −10 −20 −30 −40 −1 10 0 1 10 10 Pulsazione normalizzata (ω/ωn) Figura 1.6 - Diagrammi di Bode del modulo del fattore elementare del secondo ordine • il diagramma di fase asintotico è costituito da una retta orizzontale di ordinata 0◦ fino alla prima pulsazione di rottura 1/τ , seguito da una retta obliqua di pendenza −45◦ /decade fino alla seconda pulsazione di rottura 10/τ e da una retta orizzontale di ordinata −90◦ . Fattore elementare del secondo ordine Da (1.4.9) segue che: |Gd (jω)|dB = −20 log10 ∠Gd (jω) = − ∠ 1 − s 1 + (4δ 2 − 2) ω ωn 2 + 2jδ ω ωn ω ωn ! 2 + ω 4 (1.4.20) ωn (1.4.21) I diagrammi di Bode esatti, in funzione della pulsazione normalizzata ω/ωn e per vari valori di δ, sono riportati in fig. 1.6,1.7 . Anche in questo caso, come Analisi in frequenza di sistemi LTI 23 0 ∠Gd(jω) δ=0.1 Fase (gradi) −45 δ=1 −90 −135 −180 −1 10 0 10 1 10 Pulsazione normalizzata (ω/ωn) Figura 1.7 - Diagrammi di Bode della fase del fattore elementare del secondo ordine 24 Diagrammi di Bode nel caso (c), i diagrammi risultano curvilinei; inoltre, il loro andamento dipende fortemente dal valore di δ soprattutto per valori di ω nell’intorno di ωn . Si nota che per alcuni valori di δ il grafico del modulo presenta un massimo (picco di risonanza). Più precisamente, attraverso uno studio della √ funzione |Gd (jω)| lasciato al lettore per esercizio, si vede che se δ < 1/ 2 ≈ 0.7 tale modulo presenta un picco di risonanza △ Mr = max |Gd (jω)| = |G(jωr )| = ω 1 √ 2δ 1 − δ 2 (1.4.22) in corrispondenza della pulsazione di risonanza ωr = ω n p 1 − 2δ 2 (1.4.23) Si noti che per δ → 0: ωr → ωn e Mr → ∞; quindi per sistemi poco smorzati il fenomeno di risonanza è molto accentuato e la pulsazione di risonanza tende √ a coincidere con la pulsazione naturale. Viceversa, per δ → 1/ 2: ωr → 0 e Mr → 1. Quindi il fenomeno di risonanza √ tende a svanire quando il fattore √ di smorzamento si avvicina al valore 1/ 2; in particolare, se δ ≥ 1/ 2 il modulo ha un andamento monotonicamente decrescente all’aumentare di ω con un valore massimo unitario in corrispondenza della continua (ω = 0). La dipendenza di Mr e ωr /ωn da δ è illustrata nei grafici di fig. 1.8. Un’altra caratteristica di interesse del sistema è√la banda passante a −3 dB ovvero la pulsazione ωb alla quale |Gd (jωb )| = 1/ 2. Con semplici calcoli si ottiene: ωb = ωn q 1 − 2δ 2 + p 2 + 4δ 4 − 4δ 2 (1.4.24) La fig. 1.9 riporta il grafico di ωb /ωn in funzione di δ. Anche in questo caso, per un tracciamento qualitativo dei diagrammi di Bode risulta conveniente analizzare il comportamento di (1.4.20)-(1.4.21) alle basse frequenze (ω/ωn ≪ 1) e alle alte frequenze (ω/ωn ≫ 1). Comportamento alle basse frequenze - Per ω/ωn ≪ 1, cioè per valori di pulsazione molto inferiori al valore ωn , da (1.4.20)-(1.4.21) si ottengono le approssimazioni ) |Gd (jω)|dB ≈ 0 per ω ≪ ωn (1.4.25) ∠Gd (jω) ≈ 0◦ Comportamento alle alte frequenze - Per ω/ωn ≫ 1, cioè per valori di pulsazione molto superiori al valore ωn , da (1.4.20)-(1.4.21) si ottengono Analisi in frequenza di sistemi LTI 25 Picco di risonanza 5 M r 4 3 2 1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 Pulsazione di risonanza ω /ω r 1 n 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 δ 0.5 0.6 0.7 0.8 Figura 1.8 - Picco di risonanza e pulsazione di risonanza del fattore elementare del secondo ordine 26 Diagrammi di Bode ω /ω b n Banda passante 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 δ Figura 1.9 - Banda passante del fattore elementare del secondo ordine 1 Analisi in frequenza di sistemi LTI 27 viceversa le approssimazioni |Gd (jω)|dB ≈ − 40 log10 ∠Gd (jω) ≈ −180◦ ω ωn per ω ≫ ωn (1.4.26) Le relazioni (1.4.25)-(1.4.26) suggeriscono di approssimare il modulo |Gd (jω)|dB con una funzione lineare e continua a tratti costituita da un tratto orizzontale di ordinata 0 dB per ω ≤ ωn e da un tratto obliquo con pendenza di −40 dB/decade per ω > ωn . Per quanto riguarda la fase, si riscontra che essa varia monotonicamente da 0◦ a −180◦ , assumendo il valore di −90◦ per ω = ωn . Essa può essere ragionevolmente approssimata con il valore 0◦ per ω < 0.1 ωn e con il valore −180◦ per ω > 10 ωn . Per valori intermedi 0.1 ωn ≤ ω ≤ 10 ωn l’andamento della fase è qualitativamente diverso a seconda che il fattore di smorzamento δ assuma valori piccoli oppure no. In particolare, • se δ < 0.1 è conveniente approssimare la fase con una variazione a gradino di −180◦ in corrispondenza della pulsazione ω = ωn ; • se δ ≥ 0.1 conviene, viceversa, raccordare la fase, fra le pulsazioni di rottura 0.1ωn e 10ωn , con un tratto rettilineo di pendenza −90◦ per decade. Riassumendo, per il fattore elementare del secondo ordine, si suggerisce il tracciamento dei seguenti diagrammi asintotici (vedi fig. 1.10). • Per il modulo, una retta orizzontale di ordinata 0 dB fino alla pulsazione di rottura ωn seguita da una retta obliqua di pendenza −40 dB/decade. • Per la fase: se δ > 0.1 , una retta orizzontale di ordinata 0◦ fino alla prima pulsazione di rottura ω1 = ωn /10, seguito da una retta obliqua di pendenza −90◦ /decade fino alla seconda pulsazione di rottura ω2 = 10 ωn e da una retta orizzontale di ordinata −180◦ ; se δ ≤ 0.1 , un gradino di −180◦ alla pulsazione di rottura ωn . Si noti che i diagrammi di Bode asintotici risultano lineari a tratti e, pertanto, sono facilmente tracciabili e sommabili. Questo ne permette una agevole determinazione grafica manuale, su carta semi-logaritmica, dei diagrammi di Bode asintotici di una generica risposta in frequenza G(jω). Tali diagrammi forniscono, in genere, una buona rappresentazione qualitativa dei diagrammi esatti che, viceversa, hanno un andamento curvilineo e possono essere tracciati mediante l’ausilio di un calcolatore. Per effettuare un tracciamento qualitativo 28 Diagrammi di Bode δ=0.05 20 Modulo (dB) |Gd(jω)|dB 0 δ=0.9 −20 −40 −60 −80 −2 10 −1 10 0 ∠Gd(jω) 0 Fase (gradi) 1 10 10 2 10 0 ≤ δ < 0.1 −45 −90 0.1 ≤ δ ≤ 1 −135 −180 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2 10 Pulsazione normalizzata (ω/ωn) Figura 1.10 - Diagrammi di Bode approssimati del fattore elementare del secondo ordine Analisi in frequenza di sistemi LTI 29 dei diagrammi di Bode di G(jω) si può procedere in modo sistematico come segue. 1. Si scompone G(jω) in fattori elementari mediante la forma di Bode. 2. Si tracciano i diagrammi di Bode asintotici dei fattori elementari determinati al punto precedente. 3. Si tracciano i diagrammi di Bode di G(jω) sommando i diagrammi di Bode del punto precedente. Acquisita una certa familiarità, si potrà passare direttamente dal punto 1 al punto 3 della suddetta procedura tracciando direttamente i diagrammi di Bode complessivi senza tracciare i diagrammi dei fattori elementari. Si considerano di seguito e nel paragrafo 1.7 vari esempi di tracciamento dei diagrammi di Bode al duplice scopo di esemplificare il procedimento di costruzione dei diagrammi asintotici e di esaminare gli scostamenti di tali diagrammi approssimati da quelli esatti. Esempio 1.1 - Si traccino i diagrammi di Bode di un sistema con funzione di trasferimento k G(s) = k > 0, τ > 0 (1.4.27) s(1 + τ s) La risposta in frequenza associata G(jω) è il prodotto dei seguenti tre fattori elementari: G1 (jω) = k, G2 (jω) = 1 , jω G3 (jω) = 1 1 + jωτ I diagrammi di Bode asintotici dei tre fattori elementari e quelli complessivi sono riportati in fig. 1.18(a), insieme ai diagrammi esatti. Si noti che il diagramma asintotico di ampiezza presenta una unica pulsazione di rottura in ω = 1/τ , dovuta al fattore elementare del 1◦ ordine G3 (jω). In corrispondenza di tale pulsazione il diagramma asintotico di ampiezza cambia pendenza, da −20 dB/decade a −40 dB/decade, ed assume il valore 20 log10 (kτ ). Viceversa 1 il diagramma asintotico di fase presenta due pulsazioni di rottura in 10τ e in 10 ◦ τ dove il grafico cambia pendenza (inizialmente nulla, poi di −45 /decade e, infine, di nuovo nulla) e assume i valori −90◦ e, rispettivamente, −180◦ . Si noti che, in questo esempio, l’unica approssimazione dei diagrammi asintotici è dovuta al fattore G3 (jω). Pertanto l’errore dei diagrammi asintotici resta confinato ad un massimo di 3 dB per l’ampiezza, alla pulsazione ω = 1/τ , e di 30 Diagrammi di Bode 1 e ω = 10 ±6◦ per la fase, alle pulsazioni ω = 10τ τ . Si vedrà negli esempi successivi che gli errori di approssimazione diventano più consistenti in presenza di fattori multipli del 1◦ e 2◦ ordine e, in particolare, se le relative pulsazioni di rottura sono vicine fra loro. Si noti, infine, che la variazione del valore di k comporta solo una traslazione verticale del diagramma di ampiezza (verso l’alto se k viene aumentato o verso il basso se k viene diminuito) mentre la variazione del valore di τ comporta una traslazione orizzontale di entrambi i diagrammi, di ampiezza e di fase, verso sinistra se τ aumenta o verso destra se diminuisce. Il cambiamento di segno di k implica, invece, solo uno sfasamento di −180◦ . Elemento di ritardo Come visto in precedenza, l’elemento di ritardo temporale τ ha risposta in frequenza G(jω) = e−jωτ da cui |G(jω)| = 1 e ∠G(jω) = −ωτ, ∀ω (1.4.28) Il diagramma di ampiezza è pertanto una retta orizzontale di valore 0 dB, mentre il diagramma di fase ha l’andamento riportato in fig. 1.11 in funzione della pulsazione normalizzata ωτ . Si noti che, poiché la fase ha un andamento lineare in ω, l’andamento in scala logaritmica, cioè in log10 (ω), risulta esponenziale. Alla luce di quanto sopra, un sistema con ritardo di funzione di trasferimento G(s) = e−τ s G′ (s), dove G′ (s) è una funzione razionale, presenta lo stesso diagramma di ampiezza di G′ (s), tracciabile mediante la procedura sopra esposta, ed un diagramma di fase ottenuto sommando al diagramma di fase di G′ (s) il contributo, in ◦ , −180ωτ /π dovuto al ritardo. Effetto di poli/zeri sulla risposta in frequenza Lo studio dei diagrammi di Bode ha messo in evidenza come le proprietà filtranti del sistema dipendano dalla configurazione poli-zeri della sua funzione di trasferimento. In particolare: 1. un polo introduce un’attenuazione alle alte frequenze che, in buona approssimazione, è di 20 dB per ogni decade di frequenza oltre la pulsazione di rottura del polo; 2. uno zero fornisce un’amplificazione alle alte frequenze che, in buona approssimazione, è di 20 dB per ogni decade di frequenza oltre la pulsazione di rottura dello zero; Analisi in frequenza di sistemi LTI 31 0 −1000 Fase (gradi) −2000 −3000 −4000 −5000 −6000 −1 10 0 1 10 10 Pulsazione normalizzata ωτ Figura 1.11 - Diagramma di Bode della fase dell’elemento di ritardo 2 10 32 Diagrammi di Bode 3. la pulsazione di rottura del polo/zero coincide con il reciproco della costante di tempo 1/τ per un polo/zero reale oppure con la pulsazione naturale ωn per una coppia di poli/zeri complessi coniugati; 4. un polo (zero) immaginario jωo introduce un contributo di −90◦ (+90◦ ) alla fase a partire dalla pulsazione |ωo |; 5. una coppia di poli immaginari ±jωo introduce una risonanza alla pulsazione ωo , ovvero l’esaltazione di componenti armoniche in ingresso di pulsazione ωo ; 6. una coppia di zeri immaginari ±jωo introduce un nullo alla pulsazione ωo , ovvero la reiezione di componenti armoniche in ingresso di pulsazione ωo ; 7. un polo con parte reale negativa/zero con parte reale positiva comporta uno sfasamento negativo variabile fra 0◦ (basse frequenze) e −90◦ (alte frequenze); 8. un polo con parte reale positiva/zero con parte reale negativa comporta uno sfasamento positivo variabile fra 0◦ (basse frequenze) e +90◦ (alte frequenze); 9. lo sfasamento introdotto da un polo/zero non immaginario è localizzato fra due pulsazioni poste una decade prima e una decade dopo la pulsazione di rottura del polo/zero. Le suddette considerazioni 1-9 non solo consentono di analizzare le proprietà filtranti del sistema conoscendone la configurazione poli/zeri, ma soprattutto sono utili in fase progettuale per realizzare sistemi con desiderate proprietà filtranti imponendo a questi una appropriata configurazione poli-zeri. In molte applicazioni di elaborazione del segnale si richiede di progettare un filtro che abbia una desiderata risposta in frequenza (ad esempio passa-basso, passabanda, elimina-banda, etc.); a tale scopo, la conoscenza degli effetti di poli/zeri sull’andamento del modulo e del’argomento della risposta in frequenza permette di selezionare in modo appropriato i poli/zeri della funzione di trasferimento in modo di approssimare al meglio la risposta in frequenza desiderata. Nel capitolo 10 si vedrà che una tecnica molto efficace e comunemente impiegata per la sintesi di sistemi di controllo consiste nel sagomare opportunamente la risposta in frequenza del sistema ad anello aperto introducendo appropriati poli e/o zeri aggiuntivi. Analisi in frequenza di sistemi LTI 33 Im[G(jω)] ρ θ Re[G(jω)] Figura 1.12 - Diagramma di Nyquist dove ρ = |G(j ω̂)| e θ = ∠G(j ω̂) per ω̂ assegnato 1.5 Diagramma di Nyquist Nonostante i diagrammi di Bode siano molto usati per la semplicità con cui si determina la loro approssimazione asintotica, essi presentano lo svantaggio di associare alla funzione di trasferimento G(s) due grafici distinti. In molte situazioni è preferibile lavorare con un solo diagramma che contenga tutte le informazioni. Un diagramma che possiede questa caratteristica è il diagramma polare o diagramma di Nyquist. Il diagramma di Nyquist riporta nel piano complesso la curva descritta da G(jω) al variare di ω da 0 a +∞. Pertanto, per tracciare tale diagramma è necessario valutare G(jω) per un numero sufficientemente elevato di valori di ω, riportare tali valori nel piano complesso e congiungerli con una curva come mostrato in fig. 1.12. A tale proposito è possibile ricavare il modulo e l’argomento di G(jω) dai diagrammi di Bode e riportare i corrispondenti punti sul piano immagine. Questa osservazione mette in evidenza come sia possibile determinare i diagrammi di Bode da quello di Nyquist e viceversa. Poiché, come visto in precedenza, i diagrammi di Bode possono essere determinati in modo agevole, essi vengono frequentemente utilizzati come punto di partenza per il tracciamento del diagrama di Nyquist. Inoltre, come sarà chiarito nei prossimi capitoli, è utile far riferimento al diagramma di Nyquist esteso, che riporta il valore di G(jω) nel piano complesso al variare di ω da −∞ a +∞. Si osserva che, utilizzando la proprietà (1.3.4), il diagramma di G(jω) per ω ∈ (−∞, 0] è ottenibile da quello per ω ∈ [0, +∞) semplicemente per ribaltamento attorno all’asse reale. Per aumentare la leggibilità si adotta la convenzione di riportare l’andamento per ω ∈ (−∞, 0] con una linea tratteggiata e quello per ω ∈ [0, +∞) con una linea continua. Infine su tale diagramma viene indicato con una freccia il verso di percorrenza per ω che va −∞ a +∞ e, talvolta, vengono etichettati alcuni punti con i corrispet- 34 Diagramma di Nyquist tivi valori di ω. Di seguito si esamina in dettaglio il diagramma di Nyquist di alcuni sistemi elementari Fattore costante Il diagramma di Nyquist del fattore elementare costante G(s) = k, k ∈ IR, è costituito da un punto sull’asse reale come illustrato in figura 1.13. Im[G(jω)] Im[G(jω)] k k Re[G(jω)] Re[G(jω)] (a) Diagamma per k > 0 (b) Diagramma per k < 0 Figura 1.13 Diagramma di Nyquist del fattore elementare costante Integratore/Derivatore Si consideri la funzione di trasferimento dell’integratore (1.4.7) che, moltiplicando numeratore e denominatore per j, assume la forma j G(jω) = − . ω (1.5.1) Da (1.5.1) si vede che Re[G(jω)] = 0 per ogni ω ∈ IR e che, inoltre, per ω che varia da 0+ a +∞, Im[G(jω)] varia da −∞ a 0− . Quindi il diagramma di Nyquist dell’integratore coincide con l’asse immaginario percorso, al variare di ω da −∞ a +∞, come indicato in fig. 1.14(a). Per il derivatore G(s) = s si osserva che G(jω) = jω, per ω da −∞ a +∞, si sposta sull’asse immaginario da −j∞ a +j∞ come illustrato in figura 1.14(b). Sistema del primo ordine Si consideri il sistema del 1◦ ordine G(s) = 1 + τs . 1 + τs (1.5.2) Analisi in frequenza di sistemi LTI 0− 35 Im[G(jω)] +∞ Im[G(jω)] 0+ 0− −∞ +∞ Re[G(jω)] Re[G(jω)] −∞ 0+ (a) Integratore (b) Derivatore Figura 1.14 - Diagrammi di Nyquist dell’integratore e del derivatore Posto s = jω, si analizza il comportamento per ω = 0 e per ω → ∞. Si ha: G(jω) = 1 + jτ ω =⇒ G(j0) = 1, 1 + jτ ω lim G(jω) = ω→+∞ τ τ (1.5.3) Infine, con semplici passaggi si può verificare che il diagramma di Nyquist è τ − τ τ +τ . Infatti una circonferenza centrata in di raggio 2τ 2τ 1 + jτ ω τ + τ 2τ (1 + jτ ω) − (τ + τ )(1 + jτ ω) τ τ + = = = G(jω) − − 2τ 1 + jτ ω 2τ 2τ (1 + jτ ω) τ − τ + jωτ (τ − τ ) τ − τ 1 − jτ ω τ − τ = = 2τ 1 + jτ ω 2τ 2τ (1 + jτ ω) (1.5.4) Dall’equazione (1.5.4) si conclude che il numero G(jω) dista dal numero reale τ − τ τ +τ . In altri termini, il vettore di una distanza costante pari a 2τ 2τ τ +τ G(jω) descrive nel piano complesso una circonferenza centrata in di 2τ τ − τ come illustrato in figura 1.5 per τ < τ . raggio 2τ 36 Regole per il tracciamento qualitativo dei diagrammi di Nyquist Im[G(jω)] −∞ +∞ τ +τ 2τ τ <1 τ 1 Re[G(jω)] Figura 1.15 - Diagramma di Nyquist del sistema G(s) = 1 + τs con τ > τ > 0 1 + τs L’elemento di ritardo Si consideri l’elemento di ritardo con risposta in frequenza G(jω) = e−jωτ , dove τ > 0 è il ritardo. Per tale elemento il modulo |G(jω)| risulta unitario a qualsiasi pulsazione ω mentre l’argomento, ∠G(jω) = −ωτ , diminuisce in modo proporzionale a ω. Pertanto il diagramma di Nyquist coincide con il cerchio unitario percorso in senso orario a partire dal punto 1 corrispondente alla pulsazione ω = 0, come illustrato in figura 1.5. Im[G(jω)] 1 ω = 0 Re[G(jω)] τ >0 Figura 1.16 - Diagramma di Nyquist dell’elemento di ritardo 1.6 Regole per il tracciamento qualitativo dei diagrammi di Nyquist Nel paragrafo precedente si è visto come il tracciamento esatto del diagramma di Nyquist richieda la valutazione numerica di G(jω) per un numero molto Analisi in frequenza di sistemi LTI 37 elevato di valori di ω oppure la determinazione analitica della curva, nel piano xy con x = Re G(jω) e y = Im G(jω), descritta da G(jω). Il primo approccio risulta laborioso da effettuare manualmente e richiede l’ausilio di un calcolatore elettronico. Viceversa il secondo approccio è applicabile solo in alcuni casi elementari quali quelli esaminati in precedenza. Nella maggior parte dei casi, tuttavia, è sufficiente un tracciamento qualitativo del diagramma di Nyquist come si vedrà nei capitoli successivi in relazione all’uso del diagramma di Nyquist per l’analisi di stabilità ed il progetto di sistemi di controllo a retroazione. Di seguito si elencano e discutono alcune regole che, eventualmente con l’ausilio dei diagrammi di Bode, consentono in molti casi un tracciamento manuale qualitativo sufficientemente accurato del diagramma di Nyquist. 1. Simmetria rispetto all’asse reale - L’andamento del diagramma di Nyquist relativo a ω ∈ (−∞, 0] può essere ottenuto da quello relativo ω ∈ [0, ∞) per simmetria rispetto all’asse reale, in quanto Re[G(jω)] = Re[G(−jω)], Im[G(jω)] = −Im[G(−jω)] 2. Comportamento alle basse frequenze - Il comportamento di G(jω) per ω → 0 dipende dalla presenza o meno di poli nell’origine. Infatti, in KB un intorno di ω = 0 si ha G(jω) ∼ e quindi = (jω)h KB , se h = 0 (1.6.1) lim G(jω) = ∞, se h > 0 ω→0 Pertanto si distinguono i seguenti due casi: • Se non sono presenti poli nell’origine (h = 0), il diagramma di Nyquist parte dall’asse reale con fase: 0◦ , se KB ≥ 0 △ (1.6.2) φ0 = lim ∠G(jω) = −180◦ , se KB < 0 ω→0+ • Se ci sono h > 0 poli nell’origine, il diagramma di Nyquist parte dal punto all’∞ con fase −h 90◦ , se KB ≥ 0 ◦ φ0 = lim ∠G(jω) = ∠KB −h 90 = ◦ + −(h + 2) 90 , se KB < 0 ω→0 (1.6.3) Meritano particolare attenzione i casi di polo semplice (h = 1) e polo doppio (h = 2). 38 Regole per il tracciamento qualitativo dei diagrammi di Nyquist • Asintoto verticale - Se h = 1 il diagramma parte dal punto all’infinito parallelamente all’asse immaginario e Re[G(jω)] tende ad un valore costante per ω → 0. Infatti b0 (jω)n + · · · + bn−1 (jω) + bn (jω)n + a1 (jω)n−1 + · · · + an−2 (jω)2 + an−1 (jω) (1.6.4) può essere approssimato, per ω → 0, nel seguente modo G(jω) = (bn−1 jω+bn )(an−1 −an−2 jω) jω(a2n−1 +a2n−2 ω 2 ) G(jω) ∼ = jω(bn−1 an−1 −bn an−2 )+bn an−1 jωa2n−1 ∼ = (1.6.5) Da (1.6.5) si determina il valore asintotico di Re[G(jω)] lim Re[G(jω)] = ω→0 bn−1 an−1 − bn an−2 <∞ a2n−1 (1.6.6) e si osserva la divergenza di Im[G(jω)]: −∞, se bn an−1 > 0 lim Im[G(jω)] = +∞, se nn an−1 < 0 ω→0+ • Asintoto parabolico - Se h = 2 si ha divergenza sia della parte immaginaria che della parte reale di G(jω). In questo caso si può riscrivere G(s) nella seguente forma G(s) = 1 Ĝ(s) s2 (1.6.7) dove Ĝ(s) è una funzione analitica e quindi sviluppabile in serie di Taylor nell’intorno dell’origine, da cui G(s) = c0 c1 + + c2 + c3 s + · · · 2 s s (1.6.8) Quindi per s = jω → 0 si può considerare la seguente approssimazione di G(jω) c0 jc1 G(jω) = − 2 − + c2 (1.6.9) ω ω L’equazione (1.6.9) descrive una curva con la seguente rappresentazione parametrica x = c2 − c0 ω2 (1.6.10) y = − c1 ω Analisi in frequenza di sistemi LTI 39 c1 e sostituendolo nella prima delle equazioni y (1.6.10) si ottiene la seguente equazione di una parabola Ricavando ω = − x = c2 − c0 2 y c21 (1.6.11) a cui tende il diagramma di Nyquist per ω → 0 nel caso di polo doppio nell’origine. 3. Singolarità sull’asse immaginario (asintoto obliquo) - Dopo aver considerato le singolarità in zero si considerano quelle per una pulsazione ωo generica. In questo caso G(s) è esprimibile nella seguente forma G(s) = s2 1 1 Ĝ(s) = G′ (s) 2 + ωo s − jωo (1.6.12) dove G′ (s) è una funzione a coefficienti complessi e analitica in un intorno di s = jωo e quindi sviluppabile in serie di Taylor G(s) = c0 + c1 + c2 (s − jωo ) + · · · s − jωo (1.6.13) Quindi per s → jωo si può considerare la seguente approssimazione di G(jω) c0 + c1 (1.6.14) G(jω) ∼ = G(jω) = jǫ △ dove ǫ = ω − ωo . Sviluppando x = Re[G(jω)] e y = Im[G(jω)] in (1.6.14), si verifica facilmente che la curva descritta nel piano complesso da G(jω) ammette la seguente rappresentazione parametrica 1 x = Re[c1 ] + ǫ Im[c0 ] (1.6.15) 1 y = Im[c1 ] − Re[c0 ] ǫ Moltiplicando la prima equazione di (1.6.15) per Re[c0 ] e la seconda per Im[c0 ] e sommando ambo i membri, si ottiene la seguente equazione di una retta Re[c0 ] x + Im[c0 ] y = Re[c1 ]Re[c0 ] + Im[c1 ]Im[c0 ] (1.6.16) che rappresenta l’asintoto obliquo a cui tende il diagramma di Nyquist per ω → ω0 . L’asintoto relativo al polo immaginario coniugato −jω0 può essere ovviamente determinato per simmetria. 40 Regole per il tracciamento qualitativo dei diagrammi di Nyquist 4. Comportamento alle alte frequenze - Per quanto riguarda il comportamento del diagramma di Nyquist alle alte frequenze si osserva che, essendo G(s) una funzione propria, G(jω) converge ad un valore costante per ω → ∞. In particolare, 0, se G(s) è strettamente propria (1.6.17) lim G(jω) = ω→+∞ b0 6= 0, se G(s) è bipropria Per quanto riguarda la fase asintotica, essa può essere determinata mediante la seguente relazione △ φ∞ = lim ∠G(jω) = ∠KB − 90◦ (np − nz − np+ + nz+ ) ω→+∞ (1.6.18) dove: np e nz indicano il numero di poli e, rispettivamente, di zeri con parte reale ≤ 0; np+ e nz+ il numero di poli e, rispettivamente, di zeri con parte reale positiva. Infine per terminare il tracciamento qualitativo del diagramma di Nyquist si può far ricorso agli andamenti dei diagrammi di Bode. Nel caso in cui la funzione di trasferimento presenti un elemento di ritardo conviene prima disegnare il diagramma di Nyquist del sistema ignorando il ritardo e successivamente introdurre il contributo del ritardo. Infatti, poiché esso influenza solo l’andamento della fase, ogni punto del diagramma di Nyquist rimane alla stessa distanza dall’origine ma viene ruotato in senso orario di un angolo pari a ωτ . Sistema del secondo ordine Si consideri il sistema elementare del secondo ordine (1.4.9) i cui diagrammi di Bode sono riportati in figura 1.6 e 1.7. Da tali diagrammi si osserva che - La fase è sempre decrescente e varia da 0◦ a −180◦ . 1 - Il modulo è sempre decrescente se √ ≤ δ < 1. 2 1 - Il modulo ha un massimo di valore superiore ad uno se 0 < δ < √ . 2 - Il diagramma di Nyquist intercetta l’asse immaginario per ω = ωn con 1 un valore Gd (jωn ) = −j di argomento −90◦ . 2δ - Quando δ = 0 la funzione G(jω) è sempre reale ed è positiva se ω < ωn e negativa se ω > ωn . Analisi in frequenza di sistemi LTI 41 Im[G(jω)] ω → ωn+ +∞ ρ=0 1 ω → ωn− Re[G(jω)] ω=0 1 ρ< √ 2 Figura 1.17 - Diagramma di Nyquist di un sistema elementare del secondo ordine Quindi, tenendo conto che lim Gd (jω) = 1 ω → 0 lim ω → +∞ Gd (jω) = 0e−jπ (1.6.19) si tracciano i diagrammi qualitativi di √ (1.6) per √ Nyquist riportati in figura δ = 0 (linea tratteggiata), 0 < δ < 1/ 2 (linea tratto-punto) e 1/ 2 < δ < 1 (linea continua). Esempio 1.2 Si tracci il diagramma di Nyquist del sistema con funzione di trasferimento (1.4.27) Come primo passo si studia il comportamento del sistema alle basse e alle alte frequenze. Poiché il sistema ha un polo semplice nell’origine, il diagramma di Nyquist presenta un asintoto verticale. Si sostituisce s = jω e si calcolano parte reale ed immaginaria della risposta in frequenza G(jω) = −jk(1 − jωτ ) k = jω(1 + jωτ ) ω(1 + jωτ )(1 − jωτ ) (1.6.20) Quindi, passando al limite per ω → 0 si deducono le seguenti caratteristiche dell’asintoto kτ = −kτ lim Re[G(jω)] = lim − ω→0 ω→0 1 + ωτ (1.6.21) lim Im[G(jω)] = −∞ ω→0+ Si osservi che a tale risultato si giunge anche applicando direttamente la formula (1.6.6) e osservando dai diagrammi di Bode che la fase iniziale è −90◦ . Quando ω → ∞, poiché G(s) è strettamente propria, il modulo tende a zero 42 Esempi 2 3 dB dB 0 80 |G1(jω)|dB 1/τ Fase (gradi) 0 −45 ∠G (jω) ∠G (jω) ∠G (jω) 1 3 2 −90 Asse immaginario Modulo (dB) |G (jω)| |G (jω)| 0 −135 −180 1/(10τ) 1/τ Pulsazione (rad/sec) 10/τ −80 (a) Diagrammi di Bode 0 Asse reale −kτ (b) Diagramma di Nyquist Figura 1.18 - Sistema G(s) = k con k > 0 e τ > 0 s(1 + τ s) con una fase di −180◦ . Il sistema non presenta altre singolarità sull’asse immaginario oltre al polo nell’origine, e dai diagrammi di Bode si osserva che il modulo e la fase sono sempre decrescenti. Da queste informazioni si traccia il diagramma di figura 1.18(b) dove l’andamento per ω ∈ (−∞, 0], riportato in linea tratteggiata, è ottenuto da quello per ω ∈ [0, ∞) attraverso la simmetria rispetto all’asse reale. 1.7 Esempi Allo scopo di esemplificare i procedimenti precedentemente esposti per la determinazione dei diagrammi di Bode e di Nyquist si considerano di seguito alcuni esempi. Esempio 1.3 Si traccino i diagrammi di Bode e di Nyquist di un sistema con funzione di trasferimento G(s) = 1 (s + 1)(s2 + 1) (1.7.1) La funzione di trasferimento (1.7.1) è composta da due fattori elementari e in particolare ha un polo reale in −1 e due poli immaginari in ±j. Il diagramma asintotico di ampiezza presenta un’unica pulsazione di rottura in 1, in corrispondenza della quale cambia pendenza da 0 dB/decade a −60 dB/decade. Analisi in frequenza di sistemi LTI 43 2 1.5 0 −50 −100 −1 10 0 1 10 2 10 10 0 Fase (gradi) −45 Asse immaginario Modulo (dB) 50 −90 −135 ω → 1+ 1 0.5 ω → +∞ 0 ω=0 −0.5 −1 −1.5 −180 −225 −2 −3 −270 −1 0 10 1 10 2 10 10 Pulsazione (rad/sec) (a) Diagrammi di Bode ω → 1− −2 −1 0 1 2 3 4 Asse reale (b) Diagramma di Nyquist Figura 1.19 - Sistema G(s) = 1 (s + 1)(s2 + 1) Viceversa il diagramma asintotico di fase presenta tre pulsazioni di rottura in 1 10 , 1 e in 10 dove il grafico cambia pendenza. La fase, inizialmente nulla, 1 comincia a decrescere di −45◦ /decade in corrispondenza di ω = 10 per l’in◦ fluenza del polo reale negativo, poi subisce una caduta di −180 in ω = 1 a causa della coppia di poli complessi con fattore di smorzamento δ = 0 e poi continua ancora a decrescere fino a ω = 10 dove assume il valore di −270◦ . I diagrammi di Bode asintotici complessivi (linea continua) sono riportati in fig. 1.19(a), insieme ai diagrammi esatti (linea tratteggiata). Si noti come il diagramma asintotico di ampiezza presenti un errore infinito in corrispondenza della pulsazione di rottura ω = 1, mentre quello della fase rimane limitato ed è dovuto solo al fattore elementare del 1◦ ordine. Per quanto riguarda il diagramma di Nyquist si deve studiare cosa succede per ω = 1 poiché per tale valore si ha una singolarità dovuta ad un polo sull’asse immaginario e il diagramma tende asintoticamente ad una retta (1.6.16). Si riscrive il sistema (1.7.1) nella seguente forma G(s) = 1 G′ (s) s−j (1.7.2) 1 . L’asintoto obliquo (1.6.16) si determina calco(s + 1)(s + j) lando i coefficienti co e c1 dei primi termini dello sviluppo di Taylor di G′ (s), cioè 1+j 3−j d ′ ′ c0 = G (j) = − = , c1 == G (s) (1.7.3) 4 ds 8 s=j dove G′ (s) = 44 Esempi Il diagramma di Nyquist è riportato in fig. 1.19(b) e l’asintoto (retta trattopunto) soddisfa l’equazione 4x + 4y = 1. Il diagramma parte da G(0) = 1 e si schiaccia sull’asintoto per ω → 1− con fase sempre decrescente. In corrispondenza di tale asintoto la fase subisce un decremento di −180◦ e quindi il grafico per ω → 1+ si trova dall’altra parte dell’asintoto. All’aumentare della frequenza il modulo e la fase decrescono ed, in particolare, il modulo tende a zero e la fase a −270◦ . Esempio 1.4 - Si traccino i diagrammi di Bode e di Nyquist di un sistema con funzione di trasferimento G(s) = s2 (1 k , + τ s) (1.7.4) k > 0, τ > 0 800 50 0 −50 1/(10τ) 1/τ 10/τ Fase (gradi) −180 Asse immaginario Modulo (dB) 100 0 −225 −270 Pulsazione (rad/sec) −800 −14000 −7000 0 Asse reale (a) Diagrammi di Bode Figura 1.20 - Sistema G(s) = (b) Diagramma di Nyquist k con k > 0 e τ > 0 s2 (1 + τ s) La funzione di trasferimento (1.7.4) ha un polo doppio in s = 0 ed un polo semplice in s = − τ1 . I diagrammi di Bode sono illustrati in fig. 1.20(a). Il diagramma asintotico del modulo inizialmente decresce di −40 dB/decade e successivamente, a partire dal punto di rottura τ1 , decresce di −60 dB/decade. Il diagramma asintotico della fase è costantemente a −180◦ fino alla pulsazione 1 ◦ ◦ 10τ , poi decresce di −45 /decade fino al valore −270 raggiunto alla pulsazione 10 ω = τ , per poi rimanere nuovamente costante. Il diagramma di Nyquist è riportato in fig. 1.20(b). Per disegnarlo con precisione, si dovrebbe calcolare l’asintoto parabolico in corrispondenza del polo doppio nell’origine; viceversa, per un tracciamento qualitativo si può ragionare come segue. Il polo doppio in Analisi in frequenza di sistemi LTI 45 s = 0 fornisce un contributo di fase di −180◦ ; il guadagno k, essendo positivo, dà un contributo nullo; il polo reale negativo in −1/τ fornisce un contributo di fase negativo variabile da 0◦ a −90◦ . Complessivamente la fase -vedi diagrammi di Bode in fig. 1.20(a))- subisce, per ω da 0 a +∞, una variazione da −180◦ a −270◦ ; quindi il diagramma di Nyquist rimane nel secondo quadrante del piano complesso, ovvero lim Re[G(jω)] = −∞ ω→0 (1.7.5) lim Im[G(jω)] = +∞. ω→0+ Esempio 1.5 - Si traccino i diagrammi di Bode e di Nyquist di un sistema con funzione di trasferimento G(s) = k 1 + τs s(1 + τ s) (1.7.6) k > 0, τ = 10τ > τ > 0 60 Modulo (dB) 40 20 8 0 6 −20 4 1/ τ 1/τ Fase (gradi) −45 Asse immaginario _ 2 0 −2 −4 −90 −6 −8 Pulsazione (rad/sec) (a) Diagrammi di Bode Figura 1.21 - Sistema G(s) = k 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 Asse reale (b) Diagramma di Nyquist 1 + τs con k > 0 e τ = 10τ > 0 s(1 + τ s) La funzione di trasferimento ha poli semplici in s = 0 e s = − τ1 nonché uno zero in s = − τ1 . Dalla condizione τ > τ > 0, il punto di rottura dello zero precede quello del polo. Quindi, il diagramma asintotico del modulo inizialmente decresce di −20dB/decade fino al punto di rottura τ1 dello zero da dove il contributo dello zero e quello del polo nullo si cancellano e fanno sì che la fase rimanga costante fino alla pulsazione di rottura τ1 del polo reale negativo. A partire dalla pulsazione τ1 , il modulo decresce con pendenza di −20dB/decade. Viceversa la fase parte da −90◦ per il contributo del polo 46 Esempi nell’origine (k > 0), poi cresce di +45◦ /decade per effetto dello zero negativo 1 fra le pulsazioni 10τ e τ1 , poi rimane costante nell’intervallo fra le pulsazioni 1 1 1 τ = 10τ e τ dove il contributo dello zero e del polo si elidono, poi decresce di −45◦ /decade per effetto del polo reale negativo fra le pulsazioni τ1 e 10 τ , infine rimane costante al valore di −90◦ a partire dalla pulsazione 10 . I diagrammi τ di Bode asintotici (linea continua) e esatti (linea tratteggiata) sono riportati in figura 1.21(a). Il diagramma di Nyquist è illustrato in figura 1.21(b). Il valore asintotico della parte reale per ω → 0 si ottiene dalla (1.6.6); risulta lim Re[G(jω)] = k(τ − τ ) ω→0 (1.7.7) mentre la parte immaginaria parte parallela all’asse immaginario da −∞ (il polo in s = 0 dà un contributo di −90◦ ). Qualora non si fosse interessati al valore esatto della parte reale dell’asintoto ma solo al segno, si osserva che a basse frequenze domina l’effetto dello zero in −1/τ su quello del polo in −1/τ per cui la fase esatta a basse frequenze sarà maggiore di −90◦ e quindi si avrà Re[G(jω)] > 0 e Im[G(jω)] < 0. Esempio 1.6 - Si traccino i diagrammi di Bode e di Nyquist di un sistema con funzione di trasferimento G(s) = s+1 (s + 2)(s2 + 4s + 5) (1.7.8) Il primo passo da eseguire per disegnare i diagrammi di Bode è riscrivere la funzione (1.7.8) in forma di Bode G(s) = 0.1 (1 + s) (1 + 0.5s) (1 + 0.8s + 0.2s2 ) (1.7.9) Dall’espressione (1.7.9) si vede che il guadagno di Bode è KB = 0.1. La funzione di trasferimento possiede: un polo reale in s = −2 con costante√di tempo τ = 0.5; una coppia di poli √ complessi con pulsazione naturale ωn = 5 e fattore di smorzamento δ = 0.4 5; uno zero reale in s = −1 con costante di tempo τ = 1. Dopo aver riportato su carta logaritmica tutti i punti di rottura, si disegnano i diagrammi di Bode asintotici sommando i contributi di tutti i fattori elementari partendo dal valore |G(j0)|dB = 20 log10 0.1 dB = −20 dB per ω = 0. I diagrammi di Bode asintotici e esatti sono riportati in figura 1.22. Si osservi che, poiché i poli complessi hanno un coefficiente di smorzamento δ maggiore di 0.1, il loro contributo di fase nell’intervallo [ωn /10, 10ωn ] è stato approssimato con una retta che decresce di −90◦ /decade. Il diagramma di Nyquist è invece riportato in figura 1.22(b). Per ω = 0 si ha |G(j0)| = 0.1 con ∠G(j0) = 0◦ mentre per ω → ∞, |G(jω)| → 0 e ∠G(jω) → Analisi in frequenza di sistemi LTI 47 −180◦ . Per tracciare il diagramma di Nyquist complessivo si ricorre, infine, ai diagrammi di Bode. In questo caso si osserva che il diagramma asintotico della fase inizialmente cresce e successivamente decresce. Tale andamento ci porterebbe a concludere che inizialmente il diagramma di Nyquist abbia fase crescente e che successivamente, quando la fase decresce, attraversi l’asse reale positivo per un valore di pulsazione ω 6= 0. In realtà questa situazione non si verifica poiché la fase esatta decresce sempre. Per accertarsi di questo fatto si può verificare che non esiste alcun valore ω > 0 finito per cui Im[G(jω)] = 0. Modulo (dB) +20 dB/dec −20 −40 dB/dec 0 dB/dec −40 0.15 −60 0.1 −80 −1 10 0 10 1 10 2 10 10 Pulsazione (rad/sec) Fase (gradi) 0 −45 o 0 /dec o +45 /dec −135o/dec −90 o −90 /dec −135 −180 o −1 z 0.1τ −1 p 0.1τ 0.1ω n τ−1 z Asse Immaginario −2 0.05 0 −0.05 o −90 /dec x xx τ−1 ω p n −1 z 10τ −1 p 10τ 10ω n (a) Diagrammi di Bode −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 Asse reale (b) Diagramma di Nyquist Figura 1.22 - Sistema G(s) = s+1 (s + 2)(s2 + 4s + 5) Esempio 1.7 - Si traccino i diagrammi di Bode e di Nyquist di un sistema con funzione di trasferimento G(s) = s2 + 1 (s − 2)(s + 2)(s + 4) (1.7.10) La forma di Bode della funzione di trasferimento (1.7.10) è G(s) = −0.0625 (1 + s2 ) (1 + 0.25s)(1 + 0.5s)(1 − 0.5s) (1.7.11) Si osserva che, in questo esempio, il guadagno di Bode KB = −0.0625 comporta un contributo di −180◦ all’andamento della fase. Il sistema ha due poli reali 48 Esempi −10 0 dB/dec +40 dB/dec −20 dB/dec −20 0.15 −30 −40 −50 −2 10 0.1 −1 0 10 1 10 2 10 0 10 Asse immaginario Modulo (dB) stabili con punti di rottura 1/τ1 = 2 e 1/τ2 = 4, un polo reale instabile con 1/τ3 = 2 e due zeri immaginari puri (δ = 0) con ω n = 1. I diagrammi di Bode asintotici complessivi e esatti sono riportati in figura 1.23(a) mentre il diagramma di Nyquist è in figura 1.23(b). Quest’ultimo parte dall’asse reale negativo (KB < 0) e decresce passando per l’origine degli assi in corrispondenza del punto di rottura degli zeri immaginari subendo una variazione di fase di +180◦ . Quindi il modulo inizia a crescere e poi decresce fino a tendere a zero per ω → ∞ mentre la fase decresce fino ad un valore di −90◦ . o Fase (gradi) −45 /dec −50 −100 o −150 0.05 0 −0.05 −45 /dec −0.1 −200 oo ω n z xx x −1 τ−1=τ−1 τ2 1 Pulsazione (rad/sec) −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 Asse reale 3 (a) Diagrammi di Bode (b) Diagramma di Nyquist Figura 1.23 - Sistema G(s) = s2 + 1 (s − 2)(s + 2)(s + 4) Esempio 1.8 - Si traccino i diagrammi di Bode e di Nyquist di un sistema con funzione di trasferimento G(s) = 8(s2 + s + 15) s3 + 9s2 + 15s + 120 (1.7.12) Si riscrive la funzione (1.7.12) in forma di Bode G(s) = s3 120 s 15 3s2 40 1+ + + + s2 15 s 8 + 1 (1.7.13) e si determinano i punti di rottura. Sono presenti: due poli complessi a parte reale negativa con ωn ∼ = 0.022; un polo reale negativo con punto = 3.685 e δ ∼ ∼ di rottura 1/τ = 8.839; due zeri complessi a parte reale negativa caratterizzati Analisi in frequenza di sistemi LTI 49 da ω n ∼ = 3.873 e δ ∼ = 0.129. Il guadagno di Bode è uguale ad 1. In questo caso si hanno punti di rottura molto vicini fra loro e con coefficienti di smorzamento molto piccoli; ne consegue che gli errori di approssimazione dei diagrammi asintotici non sono trascurabili come illustrato in figura 1.24(a). Osservando l’andamento esatto del modulo si nota che la coppia di poli complessi ha un effetto dominante sulla coppia di zeri e che, inoltre, la fase presenta delle oscillazioni che l’andamento asintotico non prevede. In questa situazione, quindi, risulta utile la valutazione numerica esatta dei diagrammi di Bode. Per quanto riguarda il diagramma di Nyquist, lo si può ricavare dalla conoscenza dei diagrammi di Bode; tuttavia, basandosi sul diagramma asintotico, si ottengono degli andamenti qualitativi non corretti. Per avere delle informazioni più precise si potrebbe verificare l’esistenza di attraversamenti degli assi cercando l’esistenza di pulsazioni diverse da zero per cui si ha Re[G(jω)] = 0 e/o Im[G(jω)] = 0; tale procedura, in genere, risulta computazionalmente laboriosa. 20 Modulo (dB) 10 0 −10 5 −20 4 −30 3 0 1 10 2 10 10 3 10 90 45 Fase (gradi) 2 Asse Immaginario −40 −1 10 1 0 −1 0 −2 −45 −3 −90 ωn −4 1/τ p −135 −1 10 xo 0 10 x 1 10 p 2 10 3 10 Pulsazione (rad/sec) ω −5 −1 0 1 2 3 4 5 Asse reale n z (a) Diagrammi di Bode Figura 1.24 - Sistema G(s) = 1.8 (b) Diagramma di Nyquist 8(s2 + s + 15) s3 + 9s2 + 15s + 120 Conclusioni In questo capitolo è stata trattata l’analisi in frequenza di sistemi LTI introducendo la nozione fondamentale di risposta in frequenza. I principali punti emersi da questa analisi, che saranno largamente impiegati negli sviluppi dei capitoli successivi, sono riassunti di seguito. 1. Un segnale sinusoidale di frequenza assegnata può essere univocamen- 50 Conclusioni te rappresentato da un numero complesso, detto fasore, il cui modulo coincide con l’ampiezza del segnale e l’argomento con la fase. 2. La risposta di un sistema LTI ad un ingresso sinusoidale, se tale ingresso non coincide con un modo naturale del sistema, è costituito dalla somma di una componente transitoria, che è combinazione lineare dei modi del sistema, e di una componente a regime. Quest’ultima è una sinusoide della stessa pulsazione ω dell’ingresso, con fasore uguale al prodotto del fasore dell’ingresso per la risposta in frequenza in ω che coincide con il valore della funzione di trasferimento G(s) in corrispondenza di s = jω. Questo risultato, nel suo complesso, va sotto il nome di Teorema fondamentale dell’analisi armonica ed è alla base dell’analisi in frequenza. 3. La risposta in frequenza G(jω) è una funzione complessa nella variabile reale ω che caratterizza completamente le proprietà filtranti del sistema. In particolare, il modulo |G(jω)| rappresenta il guadagno del sistema alla pulsazione ω, ovvero l’amplificazione (se |G(jω)| > 1) oppure l’attenuazione (se |G(jω)| < 1) subita da una sinusoide di pulsazione ω nel suo passaggio attraverso il sistema dall’ingresso all’uscita. Viceversa l’argomento ∠G(jω) rappresenta lo sfasamento del sistema alla pulsazione ω, ovvero il ritardo di fase (se ∠G(jω) < 0) oppure l’anticipo di fase (se ∠G(jω) > 0) subito da una sinusoide di pulsazione ω nel suo trasferimento dall’ingresso all’uscita del sistema. 4. La risposta in frequenza di un sistema può essere determinata sperimentalmente applicando in ingresso al sistema segnali sinusoidali (armoniche) o segnali costituiti dalla sovrapposizione di più sinusoidi di diverse frequenze (multiarmoniche) e misurando, a regime, ampiezza e fase delle armoniche in uscita. La riuscita della rilevazione sperimentale richiede che il sistema operi in condizioni di stabilità, cioè sia stabile in anello aperto oppure venga stabilizzato in anello chiuso. 5. La risposta in frequenza viene di norma rappresentata graficamente con due diagrammi cartesiani per il modulo e per la fase (diagrammi di Bode) oppure con un solo diagramma polare (diagramma di Nyquist). Dato il largo impiego di questi diagrammi nelle procedure di analisi e di sintesi di sistemi di controllo a retroazione, sono stati presentati in dettaglio metodi per il loro tracciamento qualitativo. In particolare, la costruzione dei diagrammi di Bode ha posto in evidenza come le proprietà filtranti del sistema dipendano dalla configurazione dei poli e degli zeri della funzione di trasferimento e, più specificamente, quale sia il contributo di ciascun Analisi in frequenza di sistemi LTI 51 polo/zero e coppia di poli/zeri, in termini di modulo e fase, all’andamento complessivo della risposta in frequenza.