elementi di matematica finanziaria

1^ Parte: INTERESSE SEMPLICE E INTERESSE COMPOSTO
Glossario:
Capitale (C): è una somma di denaro che viene concessa in uso per un determinato tempo.
Interesse (I): è il prezzo d'uso del capitale.
Saggio o tasso di interesse (r): l'interesse prodotto dall'unità di capitale (1 euro) in un anno; è espresso
in numero decimale (es. 0,05) o in percentuale (es. 5%).
Montante (M nell'interesse semplice – Cn nell'interesse composto): somma del capitale e dell'interesse
prodotto in un determinato tempo.
Sconto: è il pagamento anticipato di una cambiale da parte di una banca. Con lo stesso termine si indica
anche la somma che la banca si trattiene a titolo di compenso.
Note: negli esercizi gli importi in euro sono arrotondati al centesimo.
Regime di interesse:
a) Interesse semplice
b) Interesse composto:
- discontinuo annuo
- discontinuo convertibile (convertibile t volte in un anno)
a) Regime di interesse semplice
Si ha quando gli interessi maturati vengono allontanati dal capitale, che perciò rimane immutato nel
tempo. Si applica per periodi inferiori o pari a un anno.
Interesse semplice (I)
dove n è il numero di mesi diviso 12 oppure il numero di giorni diviso 365 (anno solare) o 360 (anno
commerciale).
Da questa formula è possibile ricavare le formule inverse che permettono di calcolare una qualsiasi delle
variabili (C, r, n) note le altre tre (le formule inverse non vengono riportate per non appesantire la
trattazione).
Esercizio 1.
Calcolare l'interesse prodotto da un capitale di 6.000 Euro impiegato al tasso di interesse del 4% in tre
mesi.
I = 6.000 x 0,04 x 3/12 = 60 €
Montante semplice (M) = C + I = C + C x r x n
Anche in questo caso è possibile ricavare le formule inverse che permettono di calcolare una qualsiasi
delle variabili (C, r, n) note le altre tre.
Esercizio 2.
Calcolare il montante prodotto da un capitale di 2.500 Euro in 6 mesi al tasso del 5%.
M = 2.500 x (1 + 0,05 x 6/12) = 2.562,50 €
b) Regime di interesse composto
Si ha quando gli interessi maturati si aggiungono al capitale diventando a loro volta fruttiferi.
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Se gli interessi maturano una volta all'anno si parla di interesse composto discontinuo annuo, se
maturano più volte all'anno si parla di interesse composto convertibile.
Montante nell'interesse composto discontinuo annuo (Cn)
dove:
q=1 +r
n= numero di anni
Esercizio 3.
Una somma di 4.000 € viene depositata in banca per 4 anni. Calcolare a quanto ammonterà il deposito
complessivo al termine del quadriennio che il tasso di interesse è pari al 2%.
C4 = 4.000 x (1,02)4 = 4.329,73 €
Montante nell'interesse composto convertibile
Cn = C x (1 + r/t)n x t
Con t viene indicato il numero di volte in cui gli interessi maturano in un anno (es. t=2 se convertibile
semestrale; t=4 se convertibile trimestrale; t=12 se convertibile mensile).
Esercizio 4.
Calcolare il montante prodotto in 3 anni da un capitale di 8.000 € impiegato al saggio di interesse del 6%
convertibile trimestrale.
t=4 C3 = 8.000 x (1 + 0,06/4)
3X4
= € 9.564,95
Sconto commerciale
Le banche nel calcolare lo sconto usano una formula semplificata (e meno rigorosa rispetto a quella
derivata dall'interesse semplice e più vantaggiosa per loro) detta dello sconto commerciale. Tale formula
può essere impiegata solo per questa operazione e per periodi limitati di tempo.
Sconto commerciale (Sc) = Vc x r x n
dove Vc = valore della cambiale da scontare
r = tasso di sconto bancario
n = n è il numero di mesi diviso 12 oppure il numero di giorni diviso 360 (anno commerciale)
Esercizio 5.
Calcolare il valore attuale di una cambiale di 6.000 € che scadrà fra 60 giorni (tasso di sconto bancario
10%).
Sc = 6.000 x 0,1 x 60/360 = 100 €
Valore attuale della cambiale = 6.000 – 100 = 5.900 €
2^ Parte: VALORI PERIODICI (rendite frazionate, annualità, periodicità)
Glossario:
Valori periodici: sono somme che si ripetono ad intervalli regolari.
Rendite frazionate: valori che si ripetono ad intervalli pari a frazioni di anno (mensilità, bimestralità,
semestralità, ecc.).
Annualità: valori che si ripetono ad intervalli pari a un anno.
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Periodicità: valori che si ripetono ad intervalli pari a multipli di anno (ogni due anni, ogni tre anni, ecc.; il
periodo è detto turno = t).
Anticipati o posticipati: i valori periodici sono anticipati o posticipati a seconda se cadono all'inizio o alla
fine del periodo (es. per le mensilità - rendite frazionate - all'inizio o alla fine del mese, per le annualità
all'inizio o alla fine dell'anno, per le periodicità all'inizio o alla fine del turno).
Costanti o variabili: i valori periodici sono costanti se hanno lo stesso importo.
Limitati o illimitati: se sono un certo numero di valori si dicono limitati, se se ripetono all'infinito sono
illimitati.
Valori periodici:
a) Rendite frazionate (R)
b) Annualità (a)
c) Periodicità o poliannualità (P)
a) Rendite frazionate (R)
Rendite frazionate: valori che si ripetono ad intervalli pari a frazioni di anno.
Sommatoria a fine anno (S1) delle rendite frazionate
dove:
R = importo rendita frazionata
N = numero di rendite all'anno
r = saggio di interesse
± 1 = +1 se sono rendite anticipate, -1 se posticipate
Esercizio 1.
Un immobile è affittato a un canone annuo di 8.400 € pagabile con rate mensili anticipate. Calcolare
l'ammontare del canone annuo posticipato (Cap). Saggio di interesse = 0,04
Cap = 700 x (12 + 0,04 x (12+1)/2) = 8.582 €
b) Annualità (a)
Annualità: valori che si ripetono ad intervalli pari a un anno.
I libri di testo riportano molte formule relative alle annualità limitate (finale, iniziale - o addirittura
intermedia - di annualità posticipate e anticipate); noi preferiamo utilizzarne una soltanto, quella di
accumulazione finale di annualità costanti posticipate limitate. Con questa è possibile accumulare un
certo numero di annualità dove cade l'ultima e da lì, con il montante (qn) o la formula inversa (1/qn) è
possibile riportare la somma all'istante desiderato.
Formula di accumulazione finale di annualità costanti posticipate limitate
dove:
n = numero di annualità
Esercizio 2.
Tizio deposita per 5 anni, alla fine di ogni anno, 2.000 €. Calcolare a quanto ammonta il deposito
complessivo due anni dopo l’ultimo deposito (r = 4%).
A7 = 2.000 x (q5 – 1)/0,04 x q2 = 2.000 x 5,41632256 x 1,0816 = 11716,59 €
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c) Periodicità o poliannualità (P)
Periodicità: valori che si ripetono ad intervalli pari a multipli di anno (ogni due anni, ogni tre anni, ecc.; il
periodo è detto turno = t).
E’ possibile ricavare le formule relative alle periodicità partendo da quelle delle annualità. Basta sostituire
r con qt – 1, e qn con qm x t , dove m indica il numero di periodicità; pertanto:
Formula di accumulazione finale di periodicità costanti limitate
dove:
An = accumulazione di periodicità dove cade l’ultima
m = numero di periodicità
t = turno o periodo (n di anni tra una periodicità e l’altra)
Esercizio 3.
Calcolare l’accumulazione finale di una periodicità posticipata di 4.000 € che si ripete ogni 4 anni per 5
volte (r = 5%).
A20 = 4.000 x (q20 – 1)/(q4 – 1) = 30.686,77 €
Valori periodici illimitati
Essendo valori (annualità o periodicità) che si ripetono all’infinito, sarà possibile calcolare soltanto
l’accumulazione iniziale (queste formule sono dette anche di capitalizzazione).
Accumulazione iniziale di annualità costanti posticipate illimitate
A0 = a/r
Il caso di applicazione pratica più frequente è nella stima analitica del V0 (V0 = Bf/rc), dove Bf è il
Beneficio fondiario e rc il saggio di capitalizzazione.
Come detto sopra, sostituendo r con qt – 1, si ottiene la formula relativa alle periodicità:
Accumulazione iniziale di periodicità costanti posticipate illimitate
Esercizio 4.
Calcolare l'accumulazione iniziale di una serie illimitata di annualità posticipate di € 2.000, dato un saggio
di interesse del 4%.
A0 = 2.000/0,04 = 50.000 €
Esercizio 5.
Un bosco ceduo che si riproduce naturalmente, fornisce un reddito netto ogni 15 anni di 8.000 €.
Calcolare il valore del bosco all'inizio del ciclo (cioè appena effettuato il taglio). (saggio di interesse 3%)
V0 = 8.000/(1,0315 -1) = 14.337,77 €
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3^ Parte: REINTEGRAZIONE e AMMORTAMENTO
Glossario:
Reintegrazione: in economia la quota di reintegrazione è la somma che si deve accantonare annualmente
in previsione di dover sostenere una spesa futura per la sostituzione di un mezzo di produzione fisso (che
dura più cicli); in matematica finanziaria, la reintegrazione è l'inverso dell'accumulazione finale.
Ammortamento: ripartizione in valori annui di un determinato capitale iniziale. In matematica finanziaria,
l'ammortamento è l'inverso dell'accumulazione iniziale. La rata annua di ammortamento è la somma
pagata ogni anno per estinguere un debito in un certo numero di anni.
Formule inverse della annualità:
a) Reintegrazione
b) Ammortamento
a) Formula di reintegrazione
Mediante questa formula (inversa della formula di accumulazione finale di annualità) è possibile
determinare la somma che, accantonata annualmente per un certo numero di anni pari a n, permette di
avere una determinata somma (An) al termine del periodo. Viene utilizzata anche per calcolare la media
economica (ad. es. il reddito medio annuo posticipato Bfm di beni che danno redditi poliennali (boschi) o
variabili annualmente (frutteti).
Formula di reintegrazione
dove:
a = somma annua
An = somma riferita alla fine del periodo
Esercizio 1.
Una macchina agricola viene acquistata al prezzo di € 40.000.000. La sua durata in efficienza è prevista
per 800 ore di funzionamento e nell'azienda essa sarà impiegata per 100 ore all'anno. Nell'ipotesi che sia
realizzabile un valore di recupero pari al 10% del valore a nuovo, se ne calcoli la quota annua di
reintegrazione (Qa), dato un saggio di interesse del 5%.
Durata = 8 anni
Valore da reintegrare = 40.000 - 4.000 = 36.000
Qa = 36.000 x 0,05/(1,058 - 1) = 3.769,98 €
b) Formula di ammortamento
Questa formula, detta anche di estinzione di un capitale, serve per calcolare la rata costante di
ammortamento di un mutuo. Ogni rata risulta formata dalla quota d'interesse sul capitale prestato e dalla
quota capitale che serve per rimborsare via via il debito. La rata di ammortamento risulta costante,
mentre la quota interessi diminuisce con il decrescere del debito, mentre la quota capitale aumenta.
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Formula di ammortamento
n = numero di annualità
a = rata annua di ammortamento
A0 = debito iniziale
Esercizio 2.
Per l'acquisto di un immobile viene contratto un mutuo decennale di 100.000 € al tasso del 5,0%,
estinguibile con rate annue di ammortamento.
Calcolare la rata annua.
Rata annua = 100.000 x (0,05 x 1,0510)/(1,0510 - 1) = 12.950,46 €
Se il mutuo viene estinto con rate che maturano più volte in un anno (es. semestrali o mensili), dovrà
essere utilizzata la stessa formula con l'avvertenza di dividere il saggio di interesse per t (t = numero di
rate all'anno) e moltiplicare il numero di anni n sempre per t.
Esercizio 3.
Per l'acquisto di un immobile viene contratto un mutuo ventennale di 100.000 € al tasso del 5,0%,
estinguibile con rate semestrali di ammortamento.
Calcolare la rata semestrale.
Rata semestrale = 100.000 x (0,025 x 1,02540)/(1,02540 - 1) = 3.983,62 €
Debito residuo di un mutuo
Il piano di ammortamento di un mutuo riporta anche il debito che resta da estinguere dopo aver pagato
le singole rate. Qualora di debba calcolare il debito residuo dopo aver pagato un certo numero di rate, si
dovrà accumulare (attraverso la formula di accumulazione iniziale di annualità limitate) le rate che
devono essere ancora pagate.
Esercizio 4.
Viene acceso un mutuo ventennale di 80.000 € da estinguere con rate semestrali al saggio del 5%.
Calcolare l'importo che deve essere pagato (Debito residuo Dr) qualora si voglia estinguerlo
anticipatamente quando sta per scadere la quindicesima rata.
Rata semestrale = 3.186,90 €
Mancano da pagare 25 rate più la rata in scadenza.
Importo da versare (Dr) = 3.186,90 x (1,02525 – 1)/(0,025 x 1,02525) + 3.186,90 = 61,903,52 €
E' possibile scaricare (cliccando qui >>>) un file in formato .xls (Microsoft Excel) che permette di
calcolare il piano di ammortamento di un mutuo.
Istruzioni:
Inserire i dati nelle caselle con numeri in rosso (importo mutuo, durata in anni, saggio di interesse e
numero di rate all'anno (se annue = 1, se semestrali = 2, se mensili = 12).
4^ Parte: VALORI INTERMEDI - REDDITI TRANSITORI E PERMANENTI
VALORI INTERMEDI
Glossario:
Vo = Valore capitale del fondo riferito all'inizio dell'anno se il ciclo produttivo è annuale, o all'inizio del
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turno se il ciclo è poliannuale (valore del suolo nudo).
Vm = Valore del fondo in un momento intermedio dell'anno se il ciclo produttivo è annuale, o del turno se
il ciclo è poliannuale (valore dell'arboreto – suolo più soprassuolo).
Se si deve determinare il valore di un bene in un periodo intermedio del ciclo (es. a metà maggio nei cicli
annuali, o al 6° anno in un frutteto), i libri di testo riportano tre diversi procedimenti:
a) in base ai redditi passati (o in base al costo)
b) in base ai redditi futuri
c) in base al ciclo fittizio
Per non appesantire inutilmente la trattazione preferiamo riportare soltanto le formule relative ai primi
due procedimenti, in quanto l'ultima non ha nessun utilizzo pratico. Inoltre riportiamo solo quelle riferite
ai cicli poliannuali perché, di fatto, sono le uniche ad essere utilizzate. Da queste è comunque possibile
ricavare quelle relative ai cicli annuali, utilizzando il montante semplice anziché quello composto.
a) Vm in base ai redditi passati o in base al costo (cicli poliannuali)
Consiste nel posticipare di m anni il Vo e sommare le spese sostenute da 0 a m (al netto degli eventuali
ricavi):
Valore dell'arboreto Vm in base ai redditi passati
dove:
m = anno intermedio del ciclo
Σ = sommatoria da 0 a m delle spese meno i prodotti
V0 = valore del suolo nudo
Esercizio 1.
Il ciclo produttivo di un frutteto è di 20 anni. Le spese d’impianto sono di € 40.000,00 già riferite alla fine
del 2° anno. Dal 3° anno in poi le spese di coltivazione e generali, annue e posticipate, ammontano a €
8.000,00. A partire dal 3° anno si ottengono i seguenti prodotti annui posticipati:
- al 3° anno € 10.000,00;
- al 4° anno € 16.000,00;
- dal 5° al 15° anno € 23.000,00;
- dal 16° al 20° anno € 14.500,00.
Calcolare il valore del frutteto (suolo e soprassuolo) alla fine del 5° anno (saggio del 3%).
Si calcola prima il valore del suolo nudo capitalizzando il reddito periodico fornito dal frutteto (in estimo, è
consigliabile ricavare questo valore con procedimento sintetico). Il reddito periodico (Rp) si ricava dalla
differenza tra ricavi e costi dell'intero ciclo (riferendo il tutto alla fine del ciclo o turno):
Rp = (10.000xq17 + 16.000xq16 + 23.000 x ((q11 – 1)/r) x q5 + 14.500 x (q5 – 1)/r) – (40.000xq18 +
8.000 x (q18 – 1)/r)
Rp = (16.528,48 + 25.675,30 + 341.498,15 + 76.982,47) – (68.097,32 + 187.315,48) = 205.271,60 €
Vo = Rp/(q20 -1) = 254.644,26 €
Si passa poi al calcolo del V5 utilizzando il procedimento in base ai redditi passati, in quanto la stima cade
in un momento vicino all'inizio del ciclo e, pertanto, è più facilmente rilevabile il costo sostenuto nel
tempo passato:
V5 = Vo x q5 + (40.000xq3 + 8.000 x (q3– 1)/r – 10.000xq2 – 16.000xq – 23.000) =
V5 = 295.202,49 + (43.709,08 + 24.727,20 – 10.609,00 – 16.480,00 – 23.000) =
V5 = 313.549,77 €
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b) Vm in base ai redditi futuri (cicli poliannuali)
Tale metodo consiste nello scontare al momento m sia il Vo (che si trova alla fine n del turno, cioè
all'inizio del turno successivo), sia i redditi futuri, da m alla fine n del ciclo:
Valore dell'arboreto Vm in base ai redditi futuri
dove:
m = anno intermedio del ciclo
Σ = sommatoria da m alla fine del ciclo (n) dei prodotti meno le spese
V0 = valore del suolo nudo (all'inizio di ogni turno che coincide con la fine del turno precedente)
Esercizio 2.
Con i dati del precedente esercizio si calcoli il valore del frutteto alla fine del 14° anno.
Attenzione: non si devono considerare i prodotti e le spese che si trovano su 14 perché sono relative
all'anno 14°, che inizia all'istante 13 e termina all'istante 14.
V0 = 254.644,26 €
V14 = (V0 + 23.000 x q5 + 14.500 x (q5– 1)/r – 8.000 x (q6– 1)/r)/q6 =
V14 = (254.644,26 + 26.663,30 + 76.982,47 - 51.747,28)/q6 = 256.724,73 €
REDDITI TRANSITORI E PERMANENTI
Nella ricerca del valore capitale di un bene, può capitare che i redditi dopo un certo numero di anni
subiscano una variazione aumentativa o, più raramente, diminutiva, mantenendosi poi costanti
all'infinito. In questo caso si parla di redditi transitori e permanenti.
Un esempio è quello di un fondo non irriguo che si trova in una zona dove la maggior parte dei fondi
simili è dotato di impianto di irrigazione. Oppure di un appartamento affittato per un periodo residuo ad
un canone inferiore (o superiore) a quello ordinario.
Riportiamo solo le formule del procedimento estimativo, che si basa sulla capitalizzazione del Bf ordinario
(che normalmente è quello permanente Bfp), detraendo o sommando poi il minor reddito relativo al
periodo transitorio (Bft).
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V = Valore di un fondo che fornisce un reddito transitorio inferiore a quello permanente.
a = Valore di un fondo che fornisce un reddito costante (il valore di ottiene capitalizzando il Bfp): questa
area corrisponde alla seconda parte della formula riportata qui sotto.
b = Minor reddito transitorio (Bfp – Bft): questa area corrisponde alla seconda parte della formula
riportata qui sotto.
Valore V0 di un immobile caratterizzato da redditi transitori e permanenti:
La formula si riferisce al caso più frequente (reddito transitorio Bft inferiore a quello permanente Bfp;
capitalizzando il Bfp , che nella maggior parte dei casi pratici è quello ordinario, si ottiene il valore
ordinario). La seconda parte della formula è costituita dal minor reddito transitorio (che deve essere
detratto al valore ordinario).
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Esercizio 3.
Un fondo rustico fornirà nei i prossimi 2 anni un beneficio fondiario pari a € 4.500,00. A partire dal 3°
anno, per l’entrata in funzione di un impianto irriguo già presente ma per il momento inattivo, il beneficio
fondiario salirà a € 7.400,00. Dato un saggio d’interesse del 4% e un saggio di capitalizzazione del 1%,
calcolare il valore del fondo (Vo).
Utilizzare il saggio di interesse del 4% nella detrazione del minor reddito transitorio.
Vo = 7.400/0,01 – (7.400 – 4.500) x (q2– 1)/(r x q2) = 740.000 – 5469,67 = 734.530,33 €
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