Esercizi sulla binomiale

Esercizio 1
Si consideri un quiz fatto di 5 domande. Ogni domanda ha 4 possibili risposte di cui una sola è
giusta. Supponiamo che una persona risponda a caso ad ogni domanda (quindi la probabilità
che ha di rispondere correttamente è p = 0.25). Calcolare:
a) la probabilità che risponda correttamente a 2 risposte;
b) la probabilità che sbagli tutte le risposte;
c) la probabilità che indovini tutte le risposte;
d) la probabilità che dia al massimo 1 risposta esatta;
e) la probabilità che dia meno di 3 risposte esatte.
Soluzione 1
a) P (X = 2) =
5
2
× 0.252 × 0.753 = 0.2636719
b) P (X = 0) =
5
0
× 0.250 × 0.755 = 0.2373047
c) P (X = 5) =
5
5
× 0.255 × 0.750 = 0.0009765625
d) P (X ≤ 1) = P (X = 0) + P (X = 1) =
0.2373047 + 0.3955078 = 0.6328125
5
0
× 0.250 × 0.755 +
5
1
× 0.251 × 0.754 =
e) P (X < 3) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = 50 × 0.250 × 0.755 + 51 × 0.251 ×
0.754 + 52 × 0.252 × 0.753 = 0.2373047 + 0.3955078 + 0.2636719 = 0.8964844
Esercizio 2
Si consideri un’urna U1 con 6 palline bianche e 9 rosse. Inoltre, si consideri una seconda urna
U2 contente 9 palline bianche e 6 rosse. Calcolare:
4a) la probabilità di ottenere al massimo due palline bianche, effettuando 5 estrazioni con
reimmissione dall’urna U1 ;
4b) la probabilità di ottenere al massimo due palline non bianche, effettuando 5 estrazioni
con reimmissione dall’urna U2 ;
Soluzione 2
4a) La probabilità di ottenere una pallina bianca in questa urna è p = 6/15 = 0.4. Quindi, la
probabilità di 2 successi su 5 prove è
!
P (B ≤ 2) =
!
!
5
5
5
×0.40 ×0.65 +
×0.41 ×0.64 +
×0.42 ×0.63 = 0.07776+0.2592+0.3456 = 0.68256
0
1
2
4b) La probabilità di ottenere una pallina non bianca in questa urna è p = 6/15 = 0.4. Quindi,
la probabilità di 2 successi su 5 prove è
!
P (B̄ ≤ 2) =
!
!
5
5
5
×0.40 ×0.65 +
×0.41 ×0.64 +
×0.42 ×0.63 = 0.07776+0.2592+0.3456 = 0.68256
0
1
2
1
Esercizio 3
Sia 0.632 la probabilità di un tempo di attesa giornaliero inferiore a 4 minuti alla fermata di un
autobus. Si osservano i tempi di attesa su 5 giorni e si ipotizza che i tempi di attesa in giorni
diversi siano indipendenti.
2a) Qual è la probabilità che in almeno un giorno, sui 5 monitorati, il tempo di attesa sia
inferiore a 4 minuti?
2b) Qual è la probabilità che in nessun giorno, sui 5 monitorati, il tempo di attesa sia inferiore
a 4 minuti?
Soluzione 3
2a) Y ∼ Bin(5, 0.632), da cui P (Y ≥ 1) = 1 − P (X = 0) = 1 −
1 − 0.006 = 0.993
2b) P (Y = 0) = 0.006.
2
5
0
0 (0.632) (1
− 0.632)5 =