metodo completo

Regime Sinusoidale
Analisi
Teoremi
Multipoli
1
Metodi di analisi
Metodo completo
Metodi abbreviati
2
1
Metodo completo (di o tableau sparso)
Data una rete elettrica con n nodi e l lati, consideriamo come
incognite i fasori delle l correnti di lato e delle l tensioni. (2l
incognite)
Occorrono 2l equazioni indipendenti
l
n − 1

m
relaz. costitutive
LKC ai tagli fondamenta li
LKT alle maglie fondamenta li
l + n − 1 + m = l + n − 1 + l − n + 1 = 2l
(ex., nodi)
(ex., anelli)
Metodo
complessoÆ
molte equazioni
La matrice del sistema risolvente ha molti zeriÆ da qui il nome ‘tableau
3
sparso’
Risoluzione delle reti con metodi abbreviati
Metodo delle correnti di maglia
Reti piane di generatori indipendenti di tensione e
resistenze
Incognite : fasori delle correnti di maglia, m=l-n+1
Equazioni: l-n+1 LKT
Termini noti: fasori delle tensioni dei generatori
Metodo dei potenziali di nodo
Reti di generatori indipendenti di corrente e
resistenze
Incognite : fasori dei potenziali di nodo, n-1
Equazioni: n-1 LKC
Termini noti: fasori delle correnti dei generatori
4
2
Metodo delle correnti di maglia
 Z aa
 M

 Z Ma
Z ab
Z Mb
L Z aM   J&a   E& a 
 M  =  M 
   
L Z MM   J& M   E& M 
Considerazioni
Zii>0
autoimpedenza
Zij=Zji<0
impedenza mutua o transimpedenza
somma delle impedenze presenti nella maglia i
somma delle impedenze comuni alla maglie i e j
E& i Somma algebrica dei fasori delle tensioni dei generatori
di tensione presenti nella maglia i, col segno + se
concorde col verso della corrente di maglia
In presenza di generatori di corrente e generatori controllati, valgono
5 le
considerazioni fatte in regime stazionario.
Metodo dei potenziali di nodo
YAB L YA,n −1   V&A   A& A 
 YAA
 M
 M  =  M 


  
Yn −1, A Yn−1, B L Yn−1,n−1  V&n−1   A& n −1 
Considerazioni
Yii>0
autoammettenza
Yij<0
ammettenza mutua o transammettenza
somma delle ammettenza dei lati facenti capo al nodo i
somma delle ammettenza facenti capo a entrambi i nodi i e j
A& i Somma algebrica delle correnti dei generatori di corrente
facenti capo al nodo i , col segno + se entrante nel nodo i
In presenza di generatori di tensione e generatori controllati, valgono le
6
considerazioni fatte in regime stazionario.
3
Teoremi
7
Sovrapposizione degli effetti
Come in regime stazionario:
per un sistema fisico lineare, per il quale cioè causa ed effetto sono in
relazione lineare, si può affermare che l’effetto complessivo dovuto a più
cause è uguale alla somma degli effetti che ciascuna causa determina
singolarmente.
Se i generatori operano a frequenza diversa:
occorre studiare 2 circuiti diversi nel dominio dei fasori
I&1
circuito alla pulsazione ω1
I& ≠ I&1 + I&2
I&2
circuito alla pulsazione ω2
I&1 → i1 (t ) = ℜ{I&1e jω t }
I&2 → i2 (t ) = ℜ{I&2 e jω t }
1
2
i (t ) = i1 (t ) + i2 (t )
La somma degli effetti va
fatta nel dominio del tempo!!!
8
4
Teorema di Norton
A
Teorema di Thevenin
A
Rete attiva
lineare
Rete attiva
lineare
B
B
A
A
Z
V&Th Th
YN
I&N
B
B
ZTh Impedenza relativa alla
stessa rete disattivata
YN Ammettenza relativa
alla stessa rete disattivata
V&Th tensione a vuoto ai
I&N corrente di cortocircuito
tra i morsetti A e B
morsetti A e B
A
A
Z
V&Th Th
9
I&N
B
YN
B
I&N = V&Th / Z Th
GN = 1/ RTh
Teorema di Tellegen
Dato un insieme di tensioni e di correnti compatibili col grafo
la sommatoria, dei fasori delle tensioni di lato per i fasori delle
correnti di lato è nulla.
∑ V&i I&i = 0
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5
Rappresentazione esterna di bipoli
I&
V&
Rete attiva
lineare
I&
A
Z
V&Th Th
V&
B
V& = Z Th I& + V&Th
A
B
Se la rete è priva di generatori indipendenti
V&Th = 0 → V& = Z Th I&
Estendiamo il concetto di impedenza ad un bipolo qualsiasi
jφ
j (φ −φ )
jφ
M
M
M
jφ
V& V e
Z= =
I& I M e
V
=
I
V
e
IM
V
I
=Z e
Il modulo dell’impedenza coincide con il rapporto delle ampiezze della
tensione e della corrente; la fase con la differenza delle fasi della tensione
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e della corrente
Z = R + jX
forma rettangolare
R = Re(Z ) resistenza [Ω]
> 0 induttiva
X = Im(Z ) reattanza [Ω]
< 0 capacitiva
Z = Z e jφ = Z M e jφ forma esponenziale
ZM = R2 + X 2
R = Z M cos φ
φ = a tan
X
R
X = Z M senφ
Per i 3 bipoli passivi
Z=R→R=R
Z = j ωL → R = 0
Z=
X = 0 φ = a tan (0 ) = 0°
X = ωL > 0 φ = a tan (∞ ) = 90°
1
j
=−
→R=0
ωC
jω C
X =−
1
< 0 φ = a tan (− ∞ ) = −90°
ωC
12
6
1 I&
=
Z V&
Y = G + jB forma rettangolare
Y=
G = Re(Y ) conduttanza [S ]
> 0 capacitiva
B = Im(V ) suscettanz a [S ]
< 0 induttiva
1
R − jX
Y = G + jB =
= 2
R + jX R + X 2
R
X
G= 2
B=− 2
2
R +X
R + X2
Per i 3 bipoli passivi
1
→G =G B =0
R
Y = jωC → G = 0 B = ωC > 0
Y =G=
1
Y=
jωL
=−
j
1
→G =0 B =−
<0
ωL
ωC
13
Per un bipolo qualsiasi
R,G>0
X
>0
R
X
X < 0 φ = a tan < 0
R
X
X = 0 φ = a tan = 0
R
bipolo induttivo
X > 0 φ = a tan
&
V
bipolo capacitivo
bipolo resistivo
φ =φV −φI >0
I&
Tensione in anticipo
sulla corrente
I&
V&
Tensione in ritardo
sulla corrente
φ
=0
I&
Tensione e corrente in fase
&
V
φ =φV −φI <0
14
7
Bipoli equivalenti
10 Ω
ω = 1000 rad/s
5mH
Z1 = 10 + j103 ⋅ 5 ⋅10 −3 = 10 + j 5
Re{Z } ≡ R
Z1
ω = 1000 rad/s
10 Ω
5mH
Z2
2Ω
10 ⋅ j 5
= 2 + j4
10 + j 5
Bipoli diversi
Re{Z 2 } ≠ R
corrispondono
alla stessa
impedenza
Z2 =
4mH
Z2
Realizzaz. più semplice per 2+j4;
In generale per Z=R+jX, se X>0
Z=R+jX
R
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R
jX, X>0
jX, X<0
Z
Z
&
V
I&
φ =φV −φI >0
V&
I&
φ =φV −φI <0
Y=G+jB
G
Y
G
jB, B<0
jB, B<0
Y
16
8
Multipoli
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I&1
n
I&2
V&1
V&2
I&1
r
I&2
V&1
V&2
I&1
V&1
L1
I&1
V&1
M
L1 L2
Trasformatore ideale
V&1 = r ⋅ I&2
&
V2 = −r ⋅ I&1
Giratore
I&2
L2
M
V&1 = n ⋅ V&2

&
1 &
 I1 = − n ⋅ I 2
V&2
I&2
V&1 = jωL1 I&1 + jωMI&2
&
V2 = jωMI&1 + jωL2 I&2
Mutue
induttanze
V&2
18
9
Generatori pilotati
V&1
V& = βV&1
β : parametro di controllo a-dimensionale
I&1
V& = gI&1
R : parametro di controllo
dimensionalmente è una resistenza
V&1
I& = gV&1
g : parametro di controllo
dimensionalmente è una conduttanza
I& = αI&1
I&1
α : parametro di controllo a-dimensionale
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Amplificatore operazionale
I&1
V&1
I&2
V&2
_
I&1 = 0
I&2 = 0
+
V&d = V&2 − V&1 = 0
V&2 = V&1
Nella maggior parte delle applicazioni si considerano op
ideali nella regione lineare di funzionamento
NULLORE
V&0
0
∞
V&∞
V&0 = 0
&
I0 = 0
V&∞ qualsiasi
&
 I ∞ qualsiasi
20
10