Serie 38: Meccanica V Esercizio 1 Gemini V

FAM
Serie 38: Meccanica V
C. Ferrari
Esercizio 1 Gemini V
L’afelio, rispettivamente il perielio, della navetta Gemini V lanciata nel 1965 è di
352 km, rispettivamente 107 km. Determina i semi-assi della traiettoria e la sua
eccentricità, il periodo di rivoluzione e le velocità massime e minime.
Esercizio 2 Interazione di Coulomb
Un elettrone di velocità v0 = 4 · 103 m/s si trova ad una distanza di 100 Å da un
protone. Supponiamo che il protone resta immobile e che il moto dell’elettrone sia
tale che
e2 ~x
~a = − 1 m
4πε0 e k~xk3
dove O è la posizione del protone, me la massa dell’elettrone ed e la carica elementare.
1. Si avrà la formazione di un atomo di idrogeno (ossia uno stato legato)?
2. Determina il semi-asse maggiore della traiettoria.
3. Sapendo che all’istante iniziale la velocità dell’elettrone fa un angolo di 30◦ con
il vettore protone-elettrone, determina le distanze estreme protone-elettrone.
Esercizio 3 Comete
Una cometa è osservata a 100 milioni di km dal Sole con una velocità di v0 = 50 km/s.
Sapendo che a questo istante la velocità della cometa fa un angolo di 45◦ con il vettore
cometa-Sole, quale sarà il tipo di traiettoria? Determina il perielio. Stessa domanda
se v0 = 100 km/s.
Esercizio 4 Velocità di fuga e orbite geostazionarie
1. La velocità di fuga è la velocità minima di un satellite affinché esso si sottrae
all’attrazione terrestre. Determina questa velocità.
2. L’orbita geostazionaria è l’orbita per la quale il satellite appare immobile rispetto alla Terra. È un’orbita circolare nel piano dell’equatore tale che
il periodo di rivoluzione coincide con il giorno siderale. Rispetto al sistema
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di riferimento geocentrico la Terra ruota attorno all’asse dei poli alla velo2π ≈ 7,29 · 10−5 s−1 . Determina il raggio dell’orbita
cità angolare Ω = 86164
geostazionaria Rgeo e la velocità del satellite vgeo su quest’orbita.
Esercizio 5 Incidente spaziale
Un satellite su di un’orbita geostazionaria subisce un incidente che modifica la
direzione del vettore velocità senza modificare la norma.
~v0′ α ~v0
r0
Discuti il moto dopo l’incidente in funzione di α.
1. Il satellite si schianterà sulla Terra, continuerà a girare attorno alla Terra, o
partirà all’infinito?
2. Se il satellite gira attorno alla Terra, quali saranno le distanze all’afelio ed al
perielio?
Esercizio 6 Orbita circolare
Considera un moto centrale in r −2 . Dimostra che nel caso attrattivo (κ > 0) si ha
q
2
un MCU di raggio r0 = Cκ e velocità v0 = rκ0 .
Esercizio 7 Messa in orbita geostazionaria
Per porre un satellite su di un orbita geostazionaria si procede in quattro tappe:
• lancio verticale all’equatore di velocità radiale iniziale v0 minima per raggiungere un’altezza h1 = 200 km (per un lancio verticale si ha θ̇0 = Ω =
7,29 · 10−5 s−1 : sistema di riferimento geocentrico);
• nuova accensione dei propulsori per raggiungere la velocità v1 necessaria per
mantenere un moto circolare all’altezza h1 ;
• nuova accensione dei propulsori per raggiungere la velocità v2 minima e tangente alla traiettoria per raggiungere l’altezza corrispondente all’orbita geostazionaria;
2
• il satellite ha ora raggiunto l’altezza Rgeo con una velocità v3 , si accendono
ancora una volta i propulsori affinché il satellite abbia la velocità necessaria
per restare sull’orbita geostazionaria.
Determina le velocità v0 , v1 , v2 e v3 .
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