dama solitario

Il Solitario della Bastiglia
INTRODUZIONE
Si racconta che sia stato un nobile francese, prigioniero alla Bastiglia, a inventare il Solitario, al
tempo di Luigi XIII nel Seicento. A conferma dell’origine francese del Solitario c’è anche
un’incisione del 1697 che ritrae la Principessa di Soubise impegnata nel gioco. La scacchiera è
identica a quella di un antico gioco vichingo, noto come “La volpe e le oche”.
A 33-hole board from India, 1830
© 2003 puzzlemuseum.com
© 1996 John Robinson
The Antique English Board (67 holes; circa 1.47 ⋅10 20 configurazioni diverse di pedine).
This board appeared in England around 1880. E’ caratterizzata dall’avere 2 caselle extra che
rompono la simmetria rotazionale.
Triangular Peg Solitaire
Ha 15 caselle (32768 configurazioni diverse di pedine) ed è venduto dalla americana
www.pegame.com in varie versioni
Una versione triangolare (16 caselle; 65536 configurazioni diverse di pedine) è addirittura stata
brevettata in USA nel 1891!!!
US Patent number: 462170
Filing date: Mar 13, 1891
Issue date: Oct 27, 1891
Inventor: HERBERT M. SMITH
Stellar Board (Chinese Checkers board)
Ha 121 caselle (circa 2.66 ⋅10 36 configurazioni diverse di pedine1). E’ nota in Italia come “dama
cinese”.
1
Non so se è chiaro: è un 2 seguito da 36 zeri...
The 13-Hole Diamond Board ("Hoppers" board) (13 caselle; 8192 configurazioni diverse di pedine)
Inventato da Nob Yoshigahara e commercializzato dalla ThinkFun (www.thinkfun.com)
Versioni con pinguini, rane...
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REGOLE
La regola del gioco è una sola: date 3 caselle contigue di cui le prime 2 piene e la terza vuota, la
pedina in posizione 1 salta nella posizione 3 mangiando la pedina in posizione 2 (stessa regola del
gioco della dama, quindi). Dopo la mangiata rimangono vuote le posizioni 1 e 2, mentre la
posizione 3 è occupata (quest’operazione è detta, in linguaggio tecnico, “pacchetto-2”, vedi più
oltre). In genere un segmento disegnato (o inciso) sulla scacchiera tra casella e casella indica le
direzioni nelle quali si può effettuare la mangiata. Ad esempio nella stellar board (cinese) si può
mangiare nelle due diagonali (/ e \) e in orizzontale (–), ma non in verticale. Se invece non è
disegnato alcun segmento è sottinteso che si possa mangiare solo in orizzontale e verticale (| e –)
come nei casi del solitario versione inglese e del solitario versione francese.
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SCOPO
Scopo del gioco è quello di rimanere con una sola casella occupata nella scacchiera procedendo con
successive applicazioni della regola di mangiata.
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SOLUZIONI
Il piccolo solitario (le mini-solitaire)
Ha 21 caselle (2097152 configurazioni diverse di pedine)
Tutte le levate iniziali permettono la chiusura del gioco (rimanenza di una sola bilia).
Il solitario inglese (le solitaire anglais in Francia; the peg solitaire (peg=picchetto, palettino) o I-Q
tester negli Stati Uniti (nome di una versione commercializzata); the solitaire in Inghilterra;
brainvita in India); è diffuso negli Stati Uniti e nei paesi anglofoni (ex-colonie...).
Ha 33 caselle (circa 8.59 ⋅10 9 configurazioni diverse di pedine)
Tutte le levate iniziali permettono la chiusura del gioco (rimanenza di una sola bilia).
Il solitario francese (le solitaire français, the french solitaire, the european peg solitaire, the
continental board); è diffuso in Europa e nei paesi francofoni (ex-colonie...).
Ha 37 caselle (circa 1.37 ⋅1011 configurazioni diverse di pedine)
Le levate iniziali che permettono la chiusura del gioco (rimanenza di una sola bilia) sono tutte e sole
quelle indicate di seguito con una X.
Il grande solitario (le grand solitaire)
Ha 41 caselle (circa 2.2 ⋅1012 configurazioni diverse di pedine)
Le levate iniziali che permettono la chiusura del gioco (rimanenza di una sola bilia) sono tutte e sole
quelle indicate di seguito con una X.
Il maxi solitario (le maxi-solitaire)
Ha 85 caselle (circa 3.87 ⋅10 25 configurazioni diverse di pedine)
La soluzione dipende dal numero n di caselle di bordo (caselle su un lato della scacchiera, vertici
compresi). Valgono i seguenti risultati:
1) se n è dispari e multiplo di 3, tutte le levate iniziali permettono la chiusura del gioco (rimanenza
di una sola bilia).
2) se n è dispari e non multiplo di 3 (come nel caso del maxi-solitario), le levate iniziali
appartenenti alle due diagonali principali (quelle passanti per il centro) o alle diagonali che distano
3 caselle dalle diagonali principali non permettono la soluzione del gioco.
3) se n è pari e n-1 è multiplo di 3, vale ancora il risultato 1
4) se n è pari e n-1 non è multiplo di 3, vale ancora il risultato 2
In particolare nel maxi-solitario, ove le caselle di bordo sono n=7, si applica il risultato 2, pertanto
le levate iniziali che permettono la chiusura del gioco (rimanenza di una sola bilia) sono tutte e sole
quelle indicate di seguito con una X.
Il solitario senza bordi (le solitaire sans frontière)
Ha un numero di caselle illimitato in ogni direzione ( 2 n configurazioni diverse di pedine, essendo n
il numero di caselle su cui si sceglie di giocare). Permette di scegliere a piacere la configurazione
iniziale.
Le levate iniziali che permettono la chiusura del gioco (rimanenza di una sola bilia) dipendono dalla
configurazione iniziale scelta.
Il solitario invertito (le solitaire inversé)
E’ stato inventato dal matematico Leibniz nel gennaio del 1716. Si inizia ponendo una bilia sulla
scacchiera vuota: l’obiettivo è riempire completamente la scacchiera applicando al contrario la
regola della mangiata del solitario “classico”. E’ un modo di giocare al solitario molto interessante.
A tal proposito Leibniz scrisse: “Mi piace molto il gioco chiamato Solitario e lo gioco al contrario.
Invece di formare una figura seguendo le regole del gioco, che prescrive di saltare con un pezzo in
un posto vuoto su un altro pezzo che viene tolto, ho pensato che è meglio ricostruire quanto è stato
demolito, colmando il posto vuoto al di sopra del quale viene fatto il salto. In questo modo
l’obiettivo risulta quello di formare una data figura, se questo è possibile, come in effetti
dev’essere, se è stato possibile distruggerla. Ma perché tutto questo? potreste chiedere. Rispondo:
per perfezionare l’arte dell’invenzione”.
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REGOLE PER LA SOLUZIONE (elenco non esaustivo)
Si procede scomponendo la scacchiera in blocchi di pedine ai quali si applicano 2 tipi di sequenze
di mosse: i repulisti e i pacchetti.
Si chiama repulisti la sequenza di operazioni che porta all’eliminazione di tutte le pedine (indicate
con una “o” rossa in figura) del blocco considerato: il repulisti ha bisogno di una o più caselle
ausiliarie dette catalizzatori (indicate con una “x” rossa in figura), la cui configurazione ritorna la
stessa dopo la sequenza.
Si chiama pacchetto la sequenza di operazioni che porta all’eliminazione di tutte le pedine (indicate
con una o rossa in figura) del blocco considerato e alla comparsa di una pedina in una posizione
vuota (indicata con una “o” bianca in figura). Il pacchetto può aver bisogno di uno o più
catalizzatori.
Repulisti-3: richiede due catalizzatori (uno vuoto e uno pieno). Nella figura che segue è dimostrato
il repulisti-3:
Pacchetto-2: è ovvio (è la definizione della mangiata).
Repulisti-6 (prima versione): ha bisogno di 3 catalizzatori allineati, come si vede dalla figura. In
questo caso, delle 8 combinazioni possibili dei 3 catalizzatori2, sono ammesse le 4 seguenti: 001,
011, 100, 110. La sequenza delle mosse da effettuare dipende ovviamente dalla configurazione
iniziale dei catalizzatori.
Il pacchetto-4 ha bisogno di 2 catalizzatori entrambi vuoti (00) oppure uno pieno e uno vuoto (10),
disposti come si vede nella figura.
Repulisti-L: richiede due catalizzatori (uno vuoto e uno pieno).
Il pacchetto-L necessita di un solo catalizzatore vuoto che corrisponde alla casella vuota indicata in
figura.
2
I tre catalizzatori allineati possono essere pieni (1) oppure vuoti (0), per cui le configurazioni possibili sono le 8
seguenti: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110 e 111.
Il repulisti-2 necessita di 2 catalizzatori: uno pieno e uno vuoto (
1
0
oppure
0
1
).
Repulisti-6 (seconda vers.): ha bisogno di 2 catalizz. allineati, uno pieno e uno vuoto (
1
oppure
0
).
0
1
Per risolvere il solitario è quindi sufficiente suddividere (impacchettare) la scacchiera in blocchi di
pedine, una volta stabilita la prima mossa (tenendo conto che alcune aperture, come visto, non
portano alla chiusura del gioco). Sono in genere possibili diverse strategie, in dipendenza della
forma della scacchiera.
Il solitario francese può ad esempio impacchettarsi come segue:
ovvero solo con dei repulisti-3 e dei repulisti-L possiamo togliere tutte le pedine esclusa quella
centrale: di conseguenza se la prima levata fosse la pedina iniziale avremmo che la scacchiera
equivale a una scacchiera vuota (levata iniziale centrale, più 4 repulisti-3, più 4 repulisti-L) ovvero
non risolubile, visto che il gioco deve necessariamente terminare con 1 sola pedina. In modo
analogo si dimostra che tutte le altre levate già citate (quelle senza X) portano a una configurazione
non risolubile.
Un diverso impacchettamento può tuttavia essere seguito per risolvere il solitario francese partendo
da una levata non centrale. Di seguito sono mostrate 3 soluzioni diverse (S=starting hole, F=finish
hole), con indicata la sequenza dei blocchi da rimuovere. Ad esempio, nella prima soluzione si
inizia con una levata laterale (posto 1), poi si prosegue con un pacchetto-2 (mossa 3-1), con un
repulisti-3 (mosse 24-2, 15-13, 2-24), poi un repulisti-L, e così via.
1, 3-1, 24-2, 15-13, 2-24, ...
Di seguito alcuni possibili impacchettamenti per il solitario inglese (prima levata: “o” bianca).
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APPROFONDIMENTO: IL CRITERIO DI CHAROSH
Definizione: due configurazioni di tre caselle allineate (terne) si dicono equivalenti se la seconda è
ottenuta dalla prima riempiendone le caselle vuote e vuotando quelle piene (operazione di
complemento). Ad esempio 101 è equivalente a 010; 100 è equivalente a 011; 111 è equivalente a
000; mentre 110 non è equivalente a 010.
Definizione: due configurazioni aventi la stessa forma (e quindi lo stesso numero di caselle) sono
equivalenti se si può ottenere l’una dall’altra con una sequenza di complementi su terne (in verticale
1 1 0
0 0 0
o in orizzontale). Ad esempio la configurazione di 9 caselle 1 1 0 è equivalente alla 0 0 0
1 0 1
1 0 0
perché dalla prima configurazione, effettuando il complemento delle prime due righe (due terne
0 0 1
0 0 0
orizzontali) si ottiene 0 0 1 , da cui si perviene a 0 0 0 effettuando il complemento della terza
1 0 1
1 0 0
colonna (terna verticale).
Mannis Charosh, matematico, newyorkese ha dimostrato il seguente
criterio: se due configurazioni non sono equivalenti, allora non esiste alcuna sequenza di mangiate
che permetta di passare dalla prima configurazione alla seconda3.
Il repulisti-3, il pacchetto-2 e tutte le altre sequenze già analizzate non sono altro che esempi di
configurazioni equivalenti: ad esempio il repulisti-6 (3+3 caselle piene) è equivalente a 6 caselle
vuote. Tramite il criterio di Charosh si possono quindi individuare nuove configurazioni: pacchetti
o repulisti più complessi di quelli visti, da applicare poi alla risoluzione del solitario, oppure
pacchetti/repulisti da applicarsi alle scacchiere con 3 generatrici (ovvero le scacchiere con lati
3
N.B.: la condizione è solo sufficiente, ovvero se due configurazioni sono equivalenti, allora può essere possibile o no
passare dall’una all’altra: ciò dipende evidentemente dalla presenza di opportuni catalizzatori disposti intorno alla
configurazione scelta.
triangolari, come la 13-Hole Diamond Board, la Chinese Checkers board, il Triangular Peg
Solitaire, etc.) ove si può mangiare lungo 3 direzioni, oppure ancora a quelle con 4 generatrici
(ovvero quelle ove si può mangiare in 4 direzioni, come l’Antique English Board).
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Sitografia (essenziale)
http://members.tripod.com/boliaoness/math/solitaire.html
http://www1.appstate.edu/~ga15859/Pegs/pegged.html
http://www.frontiernet.net/~mwdaly/
http://users.skynet.be/sol.france/news.htm
http://www.mathematische-basteleien.de/solitaire.htm
http://www.geocities.com/gibell.geo/pegsolitaire/
http://www.keltch.com/pegs.html
http://web-games-online.com/peg-solitaire/index.php
http://www.bookrags.com/wiki/Peg_solitaire
http://en.wikipedia.org/wiki/Fox_and_geese
http://en.wikipedia.org/wiki/Peg_solitaire
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Il solitario non va quindi giocato “a caso”, ma la vera sfida è cercare nuove forme di
impacchettamento (repulisti e/o pacchetti) tra le pedine e la giusta sequenza della loro rimozione.
Buon divertimento e un grazie a Giulia Massi, mia alunna, che mi ha fatto scoprire il solitario di
cui, fino al giugno 2008, ignoravo l’esistenza! Gabriele.
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[Gabriele Baldi – [email protected] – www.liceisgv.it/docenti/baldi – 15 dicembre 2008]