Esercitazione 28/10/04

Esercitazione di Metodi Matematici della Fisica
Giovedı̀ 28 Ottobre 2004
ACHTUNG: Questi appunti sono pieni di errori... Okkio...
Esercizio 1
Calcolare l’integrale
Z
ez − 1
I=
dz
2
|z|=4 z + z
Usiamo lo sviluppo in serie per notare che
ez =
∞
X
zn
n!
n=0
Quindi
ez − 1 =
∞
X
zn
n!
n=1
∞
∞
X
ez − 1 X z n−1
zn
=
=
z
n!
(n + 1)!
n=1
n=0
che é analitica al finito. A questo punto definisco
g(z) = f (z)
1
z+1
dove la f (z) é analitica, mentre la g(z) ha una singolaritá (polo semplice) in z = −1.
I = 2πiRes[g(z); z = −1]
Res[g(z); z = −1] = lim (z + 1)
z→−1
f (z)
= f (−1)
z+1
1
I = 2πi(1 − )
e
Esercizio 2
Calcolare i residui della funzione
f (z) =
z3 + z2 − z − 1
z2 + 1
Ricordiamo prima come si calcolano i residui per poli di ordine n > 1.
Res[f (z); zj ] =
1
dn−1
[(z − z0 )n f (z)]|z=z0
(n − 1)! dz n−1
1
La f (z) ha due poli del primo ordine in ±i e un polo all’infinito (vediamo dopo di
che ordine...).
Res[f (z); z = +i] = lim (z − i)
z→+i
z3 + z2 − z − 1
−i − 1 − i − 1
=
= −(1 − i)
(z + i)(z − i)
2i
Res[f (z); z = −i] = −(1 + i)
Res[f (z); z = ∞] = −Res[
1
z3
1
f( ) =
z
+
1
1
z2 − z
1
z2 + 1
−1
1 1
f ( , 0]
z2 z
=
1 + z + z2 − z3
z(1 + z 2 )
Per comodita’ definisco g(z)
z3 + z2 − z − 1
z 3 (1 + z 2 )
g(z) =
Calcoliamo quindi questo residuo all’infinito:
3
2
1 d2
3z + z − z − 1
z
2! dz 2
z 3 (1 + z 3 )
|z=z0
=
1 d (1 + z 2 )(3z 2 + 2z − 1) − (2z)(z 3 + z 2 − z − 1)
2! dz
(1 + z 2 )2
|z=z0
=
1 d z 4 + 5z 2 + 4z − 1
2 dz
1 + z 2 )2
|z=z0
=
1 (1 + z 2 )2 (4z 3 + 10z + 4) − 2(1 + z 2 )(2z)(z 4 + 5z 2 + 4z − 1)
2
(1 + z 2 )4
|z=z0
=2
Esercizio 3
Premesso il seguente
Teorema: Se f (z) = f1 (z)/f2 (z) dove f1 e f2 sono funzioni analitiche in z0 e
f2 (z) ha uno zero semplice in z0 , si ha che
Res[f (z); z0 ] =
f1 (z0 )
f20 (z0 )
Dimostrazione: f (z) ha un polo semplice in z0 :
f (z) =
f1 (z0 ) + O(z − z0 )
(z − z0 )f20 (z − z0 ) + O((z − z0 )2 )
Calcolare l’integrale
Z
I=
tgzdz
|z|=2
2
Ha due poli sull’asse reale (la tangente iperbolica invece li ha sull’asse immaginario):
in z1 = −π/2 e z2 = π/2.
Res[tgz; π/2] =
sin z
= −1
− sin z |z=π/2
Res[tgz; −π/2] =
sin z
= −1
− sin z |z=−π/2
I = −4πi
Esercizio 4
Calcolare, verificando l’applicabilità del Lemma di Jordan, l’integrale in campo
complesso
Z ∞
dx
I=
2
−∞ 1 + x
Nel semipiano superiore
Z
lim
f (z)dz = 0
R→∞
perche’
|zf (z)|R =
|z|
R
≤
|1 + z 2 |
1 − R2
L’ultima diseguaglianza segue dal fatto che
|1 − (−z 2 )| ≥ |1| − |z 2 |
e siccome per R → ∞
R
→0
1 − R2
si può applicare il Lemma di Jordan. Quindi calcolo il residuo relativo al polo
presente nel semipiano positivo
I = 2πiRes[f (z); z = +i] = 2πi
1
=π
2i
3