Studio del comportamento di materiali anelastici per grandi

Studio del comportamento di
materiali anelastici per grandi
deformazioni e spostamenti con
un codice ad elementi finiti
programmato per oggetti
Marco Morandini
Dottorato di ricerca in ingegneria aerospaziale, XV ciclo
2002
Motivazione
Scopo: legge costituiva per schiume metalliche
• grandi deformazioni
• flessioni pareti: materiale polare
• snervamento: pressione
• danneggiamento?
Legge costitutiva “iperelastica”
Equilibrio alle rotazione in forma debole
Sviluppo codice
Notazione
• tensore gradiente di deformazione:
0
0
F = x/⊗ = x/ξi ⊗ g
i
• tensore destro di deformazione di Cauchy-Green
C = F TF
• tensore di deformazione di Green:
E=
1
(C − I)
2
• primo tensore sforzo di Piola-Kirchhoff:
Ŝ = JσF
−T
• secondo tensore sforzo di Piola-Kirchhoff:
S = F −1Ŝ = JF −1σF −T
• tensore sforzo di Biot:
T
T = Φ Ŝ
Equilibrio
Formulazioni Lagrangiane
• deformazioni quadratiche
Πδ
Z
=
δE : SdV
V
−
Z
δx0 · f dV +
V
Z
δx0 · tdS
S
S = S(E)
• deformazioni lineari; equilibrio alla rotazione in forma
debole
Πδ
=
Z
V
δF : ΦT − ϕδ · 2ax ΦT F
T
+δ τ̂ · 2ax Φ F dV
Z
Z
−
δx0 · f dV −
δx0 · tdS
V
T = T S +τ̂ ×
S T
S
S
Φ F −I
T =T
τ̂ → ax(ΦT F ) = 0
S
T
Misure di sforzo e deformazione
coniugate
Trasformazione coassiale di T r di C = F T F :

 T r (I) ∂T r (C) 
∂C C =I
=0
= 12 IS1243
Tensore sforzo S̃ coniugato con T r (C):
δE : S = δT r (C) : S̃
∂T r (E) qqq
q S̃ ⊗ δE = S : δE
∂E
∂ 2T r (E)
linearizzazione: richiede
∂E 2
Deformazioni infinitesime
• decomposizione additiva tensore di deformazione:
σ
=
∂W (ε − εp)
∂ε
∂ 2 W (ε − εp )
costante.
con Ee =
2
∂ε
• dominio elastico
Eσ = {(σ, q) ∈ S × Rm|f (σ, q) ≤ 0}
• leggi di flusso:
ε̇p = γR(σ, q)
q̇
associate:
∂f
∂σ
∂f
q̇ = −γ [D]
∂q
ε̇p = γ
= −γh(σ, q)
Legge costitutiva
• No legge ipoelastica
• Legge “iperelastica”
• Vincoli termodinamici:
– S = ψ /E
–
R t1
t0
S : Ėdt ≥ 0
con E(t0) = E(t1)
(Naghdi e Trapp)
p
ψ = 21 (E − H p) : E : (E − H p) → Ḣ = γ
∂f
∂S
Decomposizioni moltiplicative
• Deviatorica - volumetrica
F = JF
1
F = J −3 F
S vol
=
dev
=
S
Sfrag replacements
1
S : C ⊗ C −1
3
1
−1
S− S :C⊗C
3
• Elastica - plastica
e
F =F F
p
E
Sp
f ≤0
g≤0
S
Ep
sforzi
S0
deformazioni
Legge costitutiva I
• Recupero decomposizione additiva deformazioni
– trasformazione coassiale tensore di deformazione
– sforzo equivalente: spazio trasformato
– sforzo e deformazioni plastiche trasformate: legge
flusso associata
– recupero sforzo e modulo tangente
• Identificazione deformazione plastica: post-processing
• E isotropo ⇒ trasformazione logaritmica:
coniugato RT τ R
sforzo
Legge costitutiva II
Decomposizione additiva deformazioni
Sforzo equivalente: f (τ )
Legge flusso non associata
⇓
recupero σ − scarico: errato modulo elastico
instabilità
Sforzo di Biot
Deformazione:
1 T
E=
F F −I
2
→
ε =
C=F F
→
S
T
X = Φ F
T
S
S
T
Φ F −I
S
Decomposizione deviatorica – volumetrica:
det F
F =J
−1
3
F
→
→
T
det Φ F
S
ε =
S
det ε
S
− 1
3
εS
• Recupero decomposizione additiva deformazioni
– trasformazione coassiale tensore di deformazione
– sforzo equivalente: spazio trasformato
– sforzo e deformazioni plastiche trasformate: legge flusso
–
associata
recupero sforzo e modulo tangente
• Identificazione deformazione plastica: post-processing
• Trasformazione logaritmica
Codice
• Libreria metematica: tensori fino al quarto ordine
corrispondenza formule ↔ programmazione:
T
dδw = δE : E : dE
l
ddw = deltaE.Transpose().DDot(E4).DDot(deE);
• Separazione dati
– indipendenti
– dipendenti
• Connessioni
– funzioni di interpolazione
– funzioni di integrazione
∗ punti integrazione
· dati indipendenti →metrica
· dati dipendenti
• Contributi alle equazioni (elementi)
Codice
Solutore diretto
Newton
Algoritmo ricerca del passo
• Elementi solidi
• Elementi solidi, orientazione e τ̂ costante
• Integrazione parzialmente ridotta
• Elementi di vincolo - moltiplicatori
Verifica del codice
• Problema non lineare: trave inflessa
– verifica elementi e procedura di soluzione
– confronto elementi: integrazione ridotta più flessibile
• Integrazione legge costitutiva
PSfrag replacements
dε x
σz
dε z
A
45
◦
B
C
dε z
dε z dε x
σx
dε x
Misure sforzo - deformazione
Trazione di un cubo di acciao
forza/spostamento
2
PSfrag replacements
Soluzione di riferimento
Assoc., def. quadratiche
Non assoc., def. quadratiche
Assoc., def. ln
Forza [kN]
1.5
1
0.5
0
-0.5
0
1
0.5
Spostamento [mm]
modulo elastico
Modulo elastico [MPa]
3000
PSfrag replacements
2500
Non assoc., def. quadratiche
Assoc., def. ln
2000
1500
1000
500
0
0
0.2
0.4
0.6
Spostamento [mm]
0.8
1
Cilindro in trazione
Sforzo coniugato con la deformazione logaritmica
PSfrag replacements
1
0
0.5
r/r0
0
0.05
2499R
2501R
2502R
2515ST
Hemp
Nike2D
Simo
Deformazioni ln
0.1
0.15
(l − l0 )/l0
Raggio
0.2
Cilindro in trazione
0.25
Cilindro in trazione - convergenza
Quarto incremento di carico
1000
Norma
1
PSfrag replacements
0.001
Residuo: ricerca con limite
Residuo: ricerca
Soluzione: ricerca con limite
Soluzione: ricerca
1e-06
1e-09
0
2
4
Iterazione
6
8
Cilindro in trazione - deformazioni
PSfrag replacements
quadratiche
Raggio
r/r0
1
2499R
2501R
2502R
2515ST
Hemp
Nike2D
Simo
Non associata, def. quadratiche
Associata, def. ln
0.5
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
(l − l0 )/l0
Deformata
0.25
Cilindro in trazione - equilibrio alla
PSfrag replacements
rotazione
Raggio
r/r0
1
2499R
2501R
2502R
2515ST
Hemp
Nike2D
Simo
Deformazioni ln
Deformazioni ln, sforzo di Biot
0.5
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
(l − l0 )/l0
Deformata
0.25
Conclusioni e sviluppi futuri
Infrastruttura generale
Leggi “iperelastiche”
Dipendenza dalla pressione
Materiali polari
Leggi di danno
propagazione del danno
leggi non locali
stabilità