Sistemi Ibridi — Esercitazione 1

Sistemi Ibridi — Esercitazione 1
12 Marzo 2010
Esercizio 1. Si consideri il sistema composto da una CPU, un buffer e una ventola di raffreddamento come
mostrato a sinistra in figura. Le variabili di stato rappresentano variazioni rispetto ad un valore nominale e sono
definite come segue: x1 è la temperatura della CPU, x2 è la quantità dei processi nel buffer in attesa della CPU
e x3 è la velocità angolare della ventola.
x2
Ventola
x3
x2
x1
Buffer
CPU
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111111111111
1111111111
0000000000
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S1111111111111
000000000000
0000000000
1111111111
S3
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1111111111
000000000000
111111111111
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1111111111111111111111111111111111
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1111111111111111111111111111111111
S2
000000000000
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x1
Il comportamento di tale sistema attorno al punto di lavoro nominale è descritto dal modello:

 ẋ1 = −a1 x1 − a2 x3 + b1 u1 ,
ẋ = −b2 u1 ,
 2
ẋ3 = −a3 x3 + b3 u2 ,
dove gli ingressi di controllo sono
• u1 : la variazione della frequenza di clock della CPU;
• u2 : la variazione della tensione di controllo della ventola.
Assumiamo i seguenti valori dei parametri: a1 = 1, a2 = 2, a3 = 1, b1 = 1, b2 = 1, and b3 = 1.
Si considerino le regioni nel sottospazio (x1 , x2 ) mostrate a destra in figura e definite come segue:
• S1 = {(x1 , x2 ) | x1 ≤ 4 − x2 , x2 ≥ 2},
• S2 = {(x1 , x2 ) | x1 ≤ 4 − x2 , x2 ≤ 2},
• S3 = {(x1 , x2 ) | x1 ≥ 4 − x2 }.
Valgono le seguenti condizioni:
• se (x1 , x2 ) ∈ S1 allora u2 = 0, cioè solo u1 è usato per controllare il sistema;
• se (x1 , x2 ) ∈ S2 allora u1 = 0, cioè solo u2 è usato per controllare il sistema;
• se (x1 , x2 ) ∈ S3 allora sia u1 che u2 sono usati per controllare il sistema.
(a) Modellare il sistema come un automa ibrido con ingressi, dandone sia la rappresentazione algebrica che
grafica.
(b) Progettare una legge di controllo per gli ingressi continui al fine di garantire che la traiettoria di stato
raggiunga e si mantenga in una regione desiderata di funzionamento
S = {(x1 , x2 , x3 ) | x1 ≤ 2, x2 ≤ 2, x3 ≤ 0}.
(c) Modellare il sistema controllato come un automa ibrido autonomo, dandone almeno la rappresentazione
grafica.
(d) Simulare l’evoluzione di quest’ultimo automa a partire dalle seguenti condizioni iniziali: x0,a = (−3, 4, 1),
x0,b = (4, 4, 1), x0,c = (8, −2, 1), x0,d = (8, −6, 1) e x0,e = (−4, −1, −10).
(e) Si stampino i grafici seguenti: traiettoria di stato nel sottospazio (x1 , x2 ), evoluzione temporale delle
variabili di stato e degli ingressi continui, evoluzione temporale dello stato discreto.
Esercizio 2. Si modifichi il modello della palla che rimbalza supponendo che quando la palla raggiunge terra
la variazione di velocità v = −αv − avvenga linearmente in un tempo prefissato ∆.
(a) Modellare il sistema come un automa ibrido autonomo, dandone sia la rappresentazione algebrica che
grafica.
(b) Si discuta se tale sistema sia zeno.
(c) Simulare l’evoluzione dell’automa a partire dalla condizione iniziale x(0) = (h0 , 0) con h0 = 1m supponendo che valga α = 0.8 e ∆ = 0.1s.
(d) Si stampino i grafici seguenti: traiettoria di stato nello spazio (x1 , x2 ), evoluzione temporale di tutte le
variabili continue, evoluzione temporale dello stato discreto.