Dispositivi e Sistemi Meccanici 6 Esercizi

Politecnico di Torino
CeTeM
Dispositivi e Sistemi Meccanici
6
Esercizi
Esercizio 6
Un motore Mot è collegato ad un argano A di sollevamento secondo lo schema in figura.
Sull’albero motore è inserita una frizione conica Fr, che trasmette a sua volta il moto a una
coppia di ruote dentate cilindriche a denti diritti a profilo ad evolvente di cerchio. Sull’albero
della ruota 2 è posto l’argano di sollevamento capace di sollevare il carico di massa M.
Il motore fornisce una caratteristica variabile linearmente con la velocità: la coppia vale C0
= 500 Nm a motore fermo, mentre è nulla quando il motore ruota a 300 giri al minuto.
Sono noti:
MR = 40 kg (massa delle parti rotanti del motore)
ρM = 15 cm (raggio d’inerzia delle masse
rotanti del motore)
δ = 65° (angolo della frizione)
ri = 20 cm (raggio interno del disco di frizione)
re = 24 cm (raggio esterno del disco di frizione)
z1 = 17 (numero di denti della ruota 1)
z2 = 90 (numero di denti della ruota 2)
m = 4 mm ( modulo delle ruote)
α = 20° (angolo di pressione)
d = 40 cm (diametro dell’argano di sollevamento)
I = 40 kgm2 (momento di inerzia dell’argano)
fa = 0.3 (coefficiente di aderenza della frizione)
f = 0.1 (coefficiente di attrito della frizione)
a = 20 cm
b = 40 cm
Determinare:
1. il valore della forza di accostamento FA da applicare alla frizione lungo la direzione del
suo asse affinché il motore possa trasmettere la coppia di avviamento C0 senza far
slittare la frizione stessa;
2. il peso massimo PMAX che l’argano può sollevare a velocità costante con frizione in
condizione di aderenza, supponendo una forza di accostamento della frizione lungo il
suo asse di 200 daN;
3. le reazioni vincolari dei cuscinetti di sostegno dell’argano nelle condizioni di
funzionamento di cui alla domanda 2.
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Soluzione
C
C0
300
ω
1) La frizione deve essere tale che nel momento dello spunto, in cui la coppia è massima
(pari a C0) sia in grado di trovarsi in condizioni di aderenza cioè:
M fa
β
r +r
1
,
≤ fa nF i e ⋅
2
sin β
dove n è il numero di superfici di contatto che in questo caso è 1.
F
Al limite di aderenza vale l’uguaglianza M f a = f a F
δ
Poiché
β =
π
−δ
2
⇒
FA =
β
Allora C0 = f a F
ri + re
2 cosδ
ri + re
1
⋅
2
sin β
2C0 cosδ
2 ⋅ 500 ⋅ cos65
=
= 3201 N
f a (ri + re ) 0,3 ⋅ (0,24 + 0,2 )
2) Per il calcolo del peso massimo PMAX sollevabile con frizione in aderenza, va ricalcolato
il momento trasmissibile della frizione in condizioni di aderenza, quando F è 200 daN.
M f = fa F
ri + re
= 312,3 Nm
2 cos β
Risalendo attraverso le ruote a quel che succede all’argano:
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Il diagramma di corpo libero delle ruote è:
Mf
(1)
O1
N21
ω1
T12
r1
N12
F12
α
F21
T21
O2
r2
(2)
ω2
d
x, x&
P
(1) O1
T21 =
(2) O2
P
Mf
r1
ma r1 =
d
= T12 r2
2
P=
m z1
2r
infatti m =
; r 1 = 34 mm ⇒ T21 = 9176 N = T12
2
z
2 T12 r2
= 8258,4 N
d
3) Si ricava F12 calcolando N 12 = T12 tgα = 3340 N = N 21
F12 = T122 + N 122 = 9765 N = F21
Il diagramma di corpo libero dell’argano è:
y
z
B
T12
RBX
N12
RBY
d/2
A
b
RAX
RAY
b
P
a
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x
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Proiezioni secondo i piani yz e xz
N 12 + R AY + P − RBY = 0
N12
A
y
B
z
RAY
P
b
T12
b
A
R AX + RBX − T12 = 0
B
A
z
x
− N 12 a + P b
= 3294 N
2b
= N 12 + P − RBY = 8304 N
RBY =
RBY
R AY
a
N 12 a − P b + RBY ⋅ 2b = 0
A
RAX
RBX
T12 a + RBX ⋅ 2b = 0
− T12 a
= −2294 N
2b
= 11470 N
RBX =
R AX
Dunque
RAY
y
RBX
z
RA
RAX
2
2
R A = R AY
+ R AX
= 14160 N
2
2
RB = RBY
+ RBX
= 4011 N
x
RAX
RBY
RAY
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