Il principio della controreazione

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Il principio
della controreazione/1
In questa prima parte l’Autore definisce il concetto di controreazione, che ha un ruolo essenziale non
solo in elettronica ma anche nelle scienze naturali e sociali.
GIOVANNI VITTORIO PALLOTTINO
ualsiasi testo di elettronica o di sistemi dedica almeno un capitolo alla controreazione che in queste discipline ha un ruolo essenziale. Non si tratta, però, di un argomento di natura strettamente tecnica dato
che esso, per la sua generalità, è ricco di valenze che si
estendono, ben al di là del campo d’interesse dell’elettronica, nelle scienze naturali come in quelle sociali. Più
precisamente, il concetto di controreazione, che di solito è inteso come un mezzo efficace per la realizzazione
di sistemi artificiali aventi determinate caratteristiche,
può trovare anche valido impiego come schema interpretativo di una varietà di fenomeni nell’ambito di un
ampio spettro di discipline. È utile cercare di porre in
luce proprio questo aspetto, attraverso collegamenti significativi, non foss’altro che nella ricerca dell’unità del
sapere; ma certamente con valenze didattiche di sicura
efficacia.
Q
兩 Il concetto di controreazione 兩
È ben noto, dato che rientra nell’esperienza comune,
che per ottenere un determinato obiettivo, la causa
agente debba essere ad esso commisurata. Sfugge invece, assai spesso, la necessità che la causa agente, se si
vuole raggiungere effettivamente l’obiettivo, debba tener conto anche degli effetti che essa stessa provoca sul
sistema su cui agisce. E proprio questa è l’idea alla base
del concetto di controreazione o retroazione (in inglese
feedback1): il segnale che agisce su un sistema così che
questo si comporti nel modo desiderato, deve dipendere sia da un segnale di comando che stabilisce quanto
desiderato, sia dal comportamento effettivo del sistema.
E questo può avvenire soltanto attraverso un’azione all’indietro, o retroazione, che riporti all’ingresso del sistema l’informazione relativa alla sua uscita, perché appunto si possa tenerne conto.
Quando s’impiega la controreazione, in altre parole, la
grandezza che agisce effettivamente sul sistema proviene dal confronto fra i valori della grandezza che rappre-
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senta l’uscita del sistema, cioè la sua risposta alla causa
agente, e di quella di comando, che rappresenta il valore
desiderato della risposta; questo confronto spesso si riduce ad eseguire la differenza fra le due grandezze, che
costituisce il cosiddetto «errore» del sistema. È dunque
l’errore che agisce direttamente sul sistema, esercitando
un’azione correttiva che tende a ridurre l’entità dell’errore stesso, compensando così anche l’effetto di qualsiasi azione disturbante dovuta ad altre cause indesiderate.
Qui va notato subito che la controreazione non sarebbe
necessaria se tutto ciò che riguarda quanto interessa
fosse noto e calcolabile esattamente, cioè se i sistemi si
comportassero secondo leggi matematiche perfettamente note, immutabili nel tempo e non soggette a variazioni per altre cause. Ma nel mondo naturale questo
non avviene e di tutto l’insieme delle inevitabili incertezze, inclusi i disturbi, la controreazione consente di tener conto efficacemente al fine di ottenere quanto si desidera.
Un esempio di immediata comprensione è quello costituito da un sistema di riscaldamento che impiega un termostato per comandare il flusso di acqua calda nei radiatori del termosifone in un ambiente. Se la temperatura è inferiore a quella desiderata, impostata regolando il
termostato, questo apparecchio apre il flusso dell’acqua,
e allora la stanza si riscalda; altrimenti lo interrompe, e
la stanza tende a raffreddarsi. Sicché la temperatura della stanza si mantiene costante (in realtà essa oscilla in
continuazione, di una frazione di grado, attorno a quella
desiderata). Si noti che questo stesso risultato si ottiene
anche se una finestra viene aperta, aumentando la dispersione del calore verso l’esterno, oppure se nell’ambiente viene messo in funzione qualsiasi apparecchio
(una lampada, un televisore, un calcolatore...) il cui effetto sia quello di introdurvi del calore: di tutto ciò, infatti, il termostato terrà conto automaticamente, compensando qualsiasi effetto che tenda ad allontanare la
temperatura della stanza da quella desiderata.
Si potrebbe certamente, in alternativa, calcolare esattamente tutte le dispersioni di calore attraverso le pareti e
le finestre (conoscendo la temperatura esterna) e tutti
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gli apporti di calore all’ambiente, compresi quelli delle
persone presenti, per stabilire quanto calore i radiatori
devono fornire perché l’ambiente si porti alla temperatura desiderata e regolare quindi corrispondentemente
il flusso dell’acqua calda (conoscendone la temperatura). Ma è chiaro che, in questo caso, qualsiasi incertezza
sui valori delle grandezze in gioco e qualsiasi variazione
imprevista condurrebbe a modificare, in modo anche rilevante, la temperatura effettiva dell’ambiente. Questa
soluzione, certamente assai più complicata nella sua attuazione e molto meno efficace ai fini del risultato,
prende il nome di controllo a ciclo aperto, per distinguerla da quella basata sulla controreazione, considerata prima, che è invece detta a ciclo chiuso per indicare
che il segnale segue un percorso circolare dall’ingresso
all’uscita del sistema controllato e poi nuovamente all’ingresso.
Si suole distinguere, inoltre, il controllo, che consiste
nell’imporre che la grandezza d’uscita del sistema segua
un determinato andamento in funzione del tempo, dalla
regolazione, in cui si richiede che l’uscita mantenga nel
tempo un valore prefissato.
Le applicazioni della controreazione, oggi, sono innumerevoli in molti settori; in particolar modo nell’industria,
dove l’impiego di questo concetto è un elemento chiave
dell’automazione. Per fare soltanto qualche esempio, è
grazie alla controreazione che si riesce a fare in modo
che due navicelle spaziali, provenienti da distanze lontanissime, riescano ad avvicinarsi fino a potersi congiungere senza danno, in quel momento raggiungendo entrambe la medesima posizione e assumendo la stessa velocità con straordinaria precisione; oppure si riesce a
mantenere entro limiti strettissimi attorno a 50 hertz la
frequenza della rete elettrica nazionale nonostante le
continue, e spesso brusche, variazioni, dei carichi che
essa alimenta. La controreazione, d’altra parte, non trova impiego soltanto nei grandi sistemi tecnologici, perché in qualsiasi abitazione si trova un buon numero di
apparecchi che la utilizzano, dal termostato del sistema
di riscaldamento, menzionato prima, ai dispositivi usati
nella maggior parte degli elettrodomestici.
Fig. 1
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兩 Qualche cenno sulla storia della controreazione 兩
Di esempi di impiego della controreazione la storia è
ricca2. Il più conosciuto riguarda il regolatore centrifugo, che James Watt costruì nel 1788 per mantenere costante la velocità di un motore a vapore. Ma è noto che
già nel secolo precedente Christian Huygens aveva realizzato un dispositivo analogo. Il regolatore di Watt
sfruttava lo spostamento di due masse, dovuto all’effetto centrifugo, per azionare la valvola che regola l’afflusso del vapore al motore, in modo che a un aumento di
velocità corrispondesse una riduzione del flusso e viceversa (figura 1). Fra gli altri esempi ricordiamo soltanto
il regolatore di livello inventato dal greco Ctesibio nel
290 a.C. per mantenere costante il livello del serbatoio
che alimentava un orologio ad acqua, con una tecnica
che si diffuse in epoca classica e che in seguito venne
largamente impiegata nel mondo arabo; e anche il rego-
L’asse verticale è soggetto a rotazione perché
collegato al motore a vapore. Al crescere della velocità di
rotazione, aumenta la forza centrifuga che agisce sulle due
sfere. Queste allora si spostano, allontanandosi dall’asse;
ciò provoca, attraverso un sistema di leve, la chiusura
graduale della valvola che controlla l’afflusso del vapore,
riducendo così la velocità del motore.
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latore di temperatura della fornace che l’olandese Cornelis Drebbel costruì attorno al 1624, allo scopo di trasformare i metalli in oro, ritenendo che questa trasformazione potesse avvenire soltanto se il metallo veniva
mantenuto a una temperatura rigorosamente costante
per un tempo sufficientemente lungo.
La prima analisi matematica del funzionamento di un sistema di controllo a controreazione si deve all’astronomo inglese George Biddel Airy, che nel 1840 aveva costruito un sistema di puntamento di un telescopio all’osservatorio di Greenwich, dotandolo di un controllo
di velocità che serviva a compensare la rotazione terrestre allo scopo di estendere il tempo di osservazione dei
corpi celesti. Nel corso del progetto Airy s’imbattè in un
fenomeno imprevisto: in determinate condizioni il sistema risultava instabile, diventando sede di oscillazioni
permanenti indesiderate. Questo problema fu affrontato
pochi anni dopo da James Clerk Maxwell, che svolse
una dettagliata analisi3 del funzionamento di questi dispositivi, incluso il regolatore di Watt, e dimostrò che
per ottenerne la stabilità occorreva che i coefficienti
dell’equazione del sistema soddisfacessero determinate
relazioni.
Notiamo tuttavia che in nessuno di questi studi venne
posto in luce esplicitamente il concetto di controreazione come lo conosciamo oggi (vedi oltre). A questo si
arrivò soltanto negli anni Venti del secolo appena trascorso4, quando venne affrontato e risolto assai efficacemente un problema tecnico che aveva assunto importanza primaria con la diffusione della telefonia a
grande distanza. Quando si cominciarono a stendere linee telefoniche per collegare fra loro le maggiori città
degli Stati Uniti si trovò che il segnale era soggetto a
forte attenuazione a meno di non accrescere in modo
inaccettabile la sezione dei conduttori per ridurne la resistenza elettrica. Per compensare l’attenuazione di linea si utilizzarono allora degli amplificatori elettronici
impiegando i tubi a vuoto introdotti pochi anni prima.
Ma occorreva usare parecchi amplificatori, disposti a
intervalli regolari, a distanze tali che l’attenuazione non
riducesse il segnale al livello del rumore di fondo: venti amplificatori nel caso del collegamento intercontinentale (3000 miglia) realizzato nel 1923. Procedendo
in questo modo, però, l’ampiezza del segnale al terminale d’arrivo della linea dipendeva dal prodotto del guadagno di tutti gli amplificatori (nel caso anzidetto A20,
indicando con A il guadagno di uno di essi) sicché una
variazione anche modestra del guadagno di ciascuno
degli amplificatori conduceva a una variazione complessiva assai grande e perciò inaccettabile: un guadagno troppo alto provocava distorsioni, uno troppo basso rendeva il segnale inaudibile perché sommerso dal
fruscio del rumore.
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Il problema fu risolto5 da un giovane ingegnere, Harold
S. Black, che introdusse lo schema a controreazione in
forma esplicita, e impiegandolo in pratica riuscì a stabilizzare il guadagno degli amplificatori telefonici nonostante le variazioni di guadagno dei tubi elettronici (che
durante la loro vita diminuisce gradualmente man mano
che il catodo si deteriora). Lo schema di Black prevedeva infatti che il segnale di comando applicato ai tubi
elettronici non fosse il segnale da amplificare, ma la differenza fra questo e una frazione prefissata del segnale
d’uscita del circuito.
兩 Le principali proprietà della controreazione 兩
Per esaminare le proprietà della controreazione conviene considerare il caso di un amplificatore elettronico,
sebbene i risultati siano poi del tutto generali. Chiamiamo A il guadagno dell’amplificatore e supponiamo che
questa grandezza, come è effettivamente in pratica, sia
soggetta a variazioni; chiamiamo poi Vi il segnale che si
desidera amplificare e Vo quello d’uscita. In assenza di
controreazione, applicando cioè direttamente il segnale
Vi all’amplificatore, si avrebbe semplicemente Vo = A Vi.
Vi
Ve
+
A
Vo
–
b
Fig. 2
Schema generale della controreazione, introdotto
da H.S. Black: una frazione b dell’uscita viene prelevata e
riportata in ingresso (il segno negativo indica che si esegue
una sottrazione).
Impiegando invece lo schema a controreazione (figura
2), all’amplificatore si applica il segnale d’errore Ve costituito dalla differenza fra quello d’ingresso e una frazione b dell’uscita:
(1)
Ve = Vi – b Vo
Il segnale Ve viene amplificato con guadagno A, sicché
l’uscita è:
Vo = A Ve = A (Vi – b Vo).
(2)
Da tale espressione si ricava immediatamente l’uscita in
funzione dell’ingresso:
(3)
Vo = Vi A/(1 + b A)
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sicché in queste condizioni il guadagno ingresso-uscita
fra Vi e Vo, che indichiamo con AF, è:
AF = A/(1 + b A)
(4)
dove il denominatore 1 + b A rappresenta l’entità della
reazione negativa e per questo si chiama tasso di reazione.
L’effetto più appariscente della controreazione, che tuttavia è anche il meno importante in pratica (in quanto
si può facilmente compensare aumentando il guadagno
dell’amplificatore), è che l’amplificazione diminuisce
da A ad AF con una riduzione di un fattore pari al tasso
di reazione. L’effetto più importante, invece, è che il
guadagno diventa più stabile e meglio definito. E questo è un risultato di natura generale, che non riguarda
soltanto gli amplificatori, ma qualsiasi sistema controreazionato, in cui viene resa più stabile la grandezza, in
generale la funzione, che rappresenta la relazione ingresso-uscita fra la causa agente (Vi) e l’effetto risultante (Vo).
Quanto detto si verifica facilmente esaminando l’effetto
di una piccola variazione dA del guadagno dell’amplificatore.
In assenza di controreazione la variazione di guadagno
è ovviamente proprio dA, mentre in presenza di controreazione il guadagno complessivo AF subisce una variazione più piccola, pari a dA/(1 + b A), come si ottiene
derivando la (4) rispetto ad A. Si dice allora che l’amplificatore viene reso meno sensibile, cioè viene «desensibilizzato», rispetto alle variazioni di guadagno.
Un caso estremo, che tuttavia presenta notevole interesse pratico, si verifica quando il prodotto bA è molto
maggiore dell’unità. In tal caso dalla (4) si ottiene il seguente risultato, tutt’altro che intuitivo e importantissimo:
AF 앒 1/b
(5)
In questa condizione, chiamata di «desensibilizzazione
totale», il guadagno non dipende più dall’amplificatore,
ma soltanto dal valore del parametro b che stabilisce la
frazione di segnale d’uscita che viene riportata in ingresso (beninteso, soltanto se 1 + b A Ⰷ1). Questo compito, negli amplificatori, è di solito affidato a circuiti assai semplici (costituiti da resistori) che presentano caratteristiche molto stabili e ben definite, sicché la grandezza b è una costante nota con grande accuratezza; lo
stesso compito, in altri tipi di sistemi reazionati, è svolto da opportuni dispositivi di misura, tali che anche in
questi casi la grandezza b può generalmente essere considerata costante.
L’effetto di desensibilizzazione è veramente centrale
perché da esso discendono vari altri effetti della controreazione, fra cui la linearizzazione della caratteristica
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ingresso-uscita del sistema che viene reazionato e l’allargamento della sua banda passante, che qui non discutiamo per brevità.
Diciamo soltanto che entrambi questi effetti si possono
facilmente interpretare in termini di stabilizzazione del
guadagno, considerando che la nonlinearità rappresenta una dipendenza del «guadagno» dall’ampiezza del segnale, e la limitazione della banda passante deriva dalla
dipendenza del guadagno dell’amplificatore dalla frequenza dei segnali.
Un’altra proprietà, invece, che vogliamo considerare,
riguarda la riduzione dei disturbi che agiscono sull’uscita del sistema. Alla causa agente che esprime il comportamento desiderato, si possono infatti aggiungere
altre cause, che provocano deviazioni indesiderate. Per
esaminare l’effetto della controreazione a questo riguardo, consideriamo ancora l’amplificatore di prima,
rappresentando una generica causa indesiderata come
un segnale di disturbo N che si somma all’uscita, come
è mostrato nello schema di figura 3. In tal caso abbiamo:
Vo = A (Vi – b Vo) + N
(6)
da cui si ottiene immediatamente
Vo = Vi A/(1 + b A) + N/(1 + b A)
(7)
mostrando così che l’ampiezza del disturbo viene ridotta del fattore di reazione, e pertanto può, idealmente, essere resa piccola a piacere. Questo risultato è dovuto al
fatto che anche il disturbo viene riportato in ingresso,
dove esso poi agisce sul sistema, con segno ed ampiezza tali da esercitare un’azione compensativa.
Assai diverso, invece, è il caso dei disturbi, chiamati «disturbi di misura», che agiscono sulla parte che riporta in
ingresso l’informazione relativa all’uscita. Questi, infatti, non sono compensati in alcun modo e anzi producono sul sistema effetti particolarmente perversi, in quanto tendono a «ingannare» la controreazione fornendo
informazioni errate nell’operazione di confronto.
Vi
N
Ve
+
–
+ Vo
A
+
b
Fig. 3
Il disturbo N che si va a sommare all’uscita viene
anch’esso riportato in ingresso dalla controreazione; ciò
esercita un’azione correttiva che riduce l’effetto del
disturbo.
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兩 La reazione positiva e l’instabilità 兩
Nello schema della controreazione considerato prima, il
segnale che torna in ingresso viene sottratto al segnale
di comando, cioè, come indicato esplicitamente in figura 2, ha segno negativo e quindi si parla di reazione negativa. Si ha invece reazione positiva quando questo segnale ha segno positivo e quindi si somma al segnale
d’ingresso, producendo allora effetti opposti a quelli visti prima. La reazione, in tal caso, provoca infatti un aumento, anziché una diminuzione, del guadagno complessivo ed inoltre tende a esaltare, anziché ridurre, le
variazioni del guadagno dell’amplificatore come pure gli
effetti di qualsiasi disturbo.
Questo fenomeno indesiderato di reazione positiva si
verifica tutte le volte che il segnale, nel suo passaggio
attraverso le diverse parti che costituiscono il sistema,
subisce un ritardo tale da corrispondere a un cambiamento di segno: una oscillazione periodica ritardata,
cioè traslata nel tempo, presenta infatti una inversione
di segno quando il ritardo che subisce è pari a mezzo periodo di oscillazione. Sicché in pratica può avvenire che
il sistema presenti reazione negativa per segnali che abbiano certe frequenze, cioè tipicamente i segnali che interessano nel suo normale funzionamento, ma reazione
positiva a frequenze più alte.
I problemi più spinosi sorgono quando l’entità della reazione positiva è tale da provocare l’instabilità del sistema, come era successo nel sistema di puntamento del
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telescopio di Airy, come capitò a Black quando realizzò
i suoi amplificatori e come avviene a molti sperimentatori quando trovano che il loro amplificatore si comporta invece, come un oscillatore. Il fenomeno è lo stesso
che provoca fischi laceranti in una sala quando il microfono viene avvicinato all’altoparlante. E del resto
l’instabilità che può insorgere in presenza di ritardi rientra nell’esperienza comune, in particolare quando si cerca di regolare la temperatura dell’acqua della doccia
agendo sul miscelatore caldo/freddo: qui accade spesso
di scottarsi, oppure di gelarsi, proprio a causa del ritardo (dovuto alla propagazione dell’acqua dal miscelatore
all’uscita della doccia) con cui agisce l’azione correttiva.
Quando il ritardo con cui si esercita l’azione di controllo diventa eccessivo, infatti, si va a compensare un disturbo laddove il suo effetto si è già esaurito: il risultato
del controllo, allora, è quello di creare un ulteriore disturbo, opposto a quello che si intendeva compensare.
Un disturbo che il controllo cercherà poi, ma sempre in
ritardo, di compensare a sua volta, dando così luogo, a
seconda della natura delle equazioni che descrivono il
fenomeno, a una serie di oscillazioni di ampiezza crescente oppure a una crescita aperiodica.
Il problema di garantire la stabilità, che già Maxwell aveva affrontato, fu risolto pienamente dal matematico
Harry Nyquist, che in un suo lavoro del 1932 chiarì la natura del fenomeno dell’instabilità nei sistemi a controreazione e ricavò le condizioni per evitarlo enunciando un
criterio di stabilità noto oggi come «criterio di Nyquist».
Giovanni Vittorio Pallottino
Dipartimento di Fisica
Università «La Sapienza» - Roma
쐽쐽쐽
Regolatore di Watt.
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1. Qui notiamo che nel linguaggio comune il termine feedback
viene di solito impropriamente banalizzato intendendolo semplicemente come «risposta» a una azione.
2. O. Mayr, The Origins of Feedback Control, MIT Press, 1970;
O. Mayr, The Origins of Feedback Control, Scientific American,
vol. 223, pp. 110-118, ottobre 1970.
Vedi anche www.theorem.net/theorem/lewisl.html
3. J.C. Maxwell, On Governors, Proc. Royal Soc. London, vol. 16,
pp. 270-283, 1968, riprodotto nella raccolta Mathematical Trends
in Control Theory, a cura di R. Bellman e R. Kalaba, Dover 1964.
4. H.W. Bode, Feedback - The history of an idea, Symposium on
Active Networks and Feedback Systems, Polytechnic Inst.
Brooklyn, 1960, riprodotto nella raccolta Mathematical Trends
in Control Theory, a cura di R. Bellman e R. Kalaba, Dover 1964.
5. H.S. Black, Stabilized Feed-Back Amplifiers, Electrical Engineering, gennaio 1934, pp. 114-120, ristampato in Proc. IEEE, vol.
72, giugno 1984, pp. 716-722, H.S. Black, Inventing the NegativeFeedback amplifier, IEEE Spectrum, vol. 14, pp. 54-60, dicembre
1977.
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Il principio
della controreazione/2
In questa seconda parte dell’articolo viene descritta l’applicazione del concetto di controreazione
negli ambiti più diversi. La prima parte è stata pubblicata sul n. 234, novembre 2004, della rivista.
GIOVANNI VITTORIO PALLOTTINO
兩
L’impiego della controreazione
nella strumentazione fisica
兩
Gli impieghi della controreazione nella strumentazione
fisica sono numerosissimi. Presentano particolare interesse, fra essi, quelli in cui l’obiettivo non è il controllo,
ma la misura di una grandezza fisica. Gli strumenti a
controreazione sono basati generalmente sul criterio
della desensibilizzazione totale, in cui il segnale di reazione compensa esattamente, o quasi, il segnale d’ingresso: cioè si ha, con le notazioni usate in precedenza,
Ve 0 e quindi il segnale di reazione bVo è approssimativamente uguale al segnale d’ingresso Vi, che in questo
caso rappresenta la grandezza fisica che si vuole misurare. Sicché, impiegando questo schema, la misura consiste appunto nella registrazione del segnale di reazione.
Qui ci limiteremo a considerare due esempi. Il primo è
il sismografo, impiegato per registrare le scosse di terremoto, più precisamente gli spostamenti subiti dal sito
dove lo strumento è installato. Il cuore del sismografo è
una massa «libera» opportunamente sospesa, che nel
corso di un terremoto, mentre tutto attorno si sposta,
tende a restare ferma grazie al principio d’inerzia (come
avviene, per esempio, a un pendolo del quale si sposta
orizzontalmente il punto di sospensione). Un sensore
misura lo spostamento della massa rispetto alla base
dello strumento e un sistema a controreazione applica
alla massa, istante per istante, la forza esattamente necessaria ad annullare questo spostamento. Quello che
viene registrato è il segnale elettrico che comanda l’attuatore, che a sua volta rappresenta lo spostamento che
si sarebbe avuto in assenza di reazione (figura 1).
Un altro esempio è il microscopio a effetto tunnel, che
permette di esaminare in dettaglio una superficie, con
risoluzione di milionesimi di millimetro, arrivando a individuare la disposizione dei singoli atomi. Questo strumento impiega una punta metallica sottilissima che viene spostata trasversalmente al di sopra della superficie
del corpo esplorato, a piccolissima distanza. Fra la punta e il corpo scorre una corrente elettrica che dipende
esponenzialmente dalla distanza fra la punta e la superficie (nel passaggio di una corrente elettrica attraverso
il vuoto consiste appunto l’effetto tunnel). Man mano
che la punta si muove, la corrente varia a seconda dell’altezza della superficie ad essa sottostante, ma un sistema a controreazione sposta allora la punta verticalmente, in modo che la corrente resti costante, e quindi
la punta si mantenga a distanza costante dalla superficie. Anche qui ciò che viene registrato è il segnale che
comanda l’attuatore, che per quanto detto rappresenta
lo spostamento verticale della punta, cioè l’altezza locale della superficie.
兩
La controreazione come schema interpretativo
nelle scienze della natura.
Un esempio magistrale dell’impiego della controreazione, come schema interpretativo di fenomeni che esulano dall’ambito delle scienze esatte, lo troviamo in uno
scritto1 di Norbert Wiener: «...quando guido un’automo-
misuratore
di spostamento
massa «libera»
Fig. 1
Schema di un sismometro a controreazione.
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兩
dispositivo che
applica la forza
circuiti
elettronici
segnale che viene
registrato
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bile, io non seguo una serie di comandi subordinati semplicemente all’immagine mentale della strada e del compito che sto eseguendo. Se mi accorgo che l’auto devia
eccessivamente sulla sinistra, ciò mi costringe a riportare la macchina sulla destra, e se invece vedo che la
macchina devia troppo sulla destra, sarò costretto a riportarla sulla sinistra. Ciò mi permette di guidare quasi
con la stessa padronanza un’utilitaria e un autocarro pesante, pur senza aver fatto pratica particolare di guida di
ciascuno dei due autoveicoli...». Lo stesso modello interpretativo Wiener lo utilizzò anche nello studio di determinate sintomatologie, in particolare i tremori associati alla perdita di capacità di controllo dei movimenti,
considerandoli l’effetto di un ciclo di controllo diventato instabile a causa di difetti insorti nella trasmissione
delle informazioni attraverso il sistema nervoso.
È ben noto, del resto, che molti fenomeni che si verificano nel corpo umano sono riconducibili a uno schema
a controreazione. Pensiamo, per esempio, al sistema di
regolazione della temperatura del sangue, che mantiene
questa grandezza a 37 °C, entro una modesta frazione di
grado, anche quando la temperatura esterna varia di parecchie diecine di gradi. E pensiamo anche a patologie,
come il diabete, che derivano dalla perdita di capacità
del controllo della produzione di determinate sostanze,
e che si possono curare con una somministrazione controllata di tali sostanze, cioè chiudendo artificialmente
dall’esterno il ciclo di reazione.
Anche la crescita della popolazione di una specie vivente può essere vista come il risultato di un fenomeno di
reazione, in particolare di reazione positiva, e in assenza di fattori limitanti è descritta da una legge esponenziale2. L’aumento del numero di individui nell’unità di
tempo è infatti direttamente proporzionale al numero
degli individui presenti, conducendo a una equazione
differenziale del primo ordine, la cui soluzione è appunto una funzione esponenziale crescente. I fattori limitanti, come la quantità di nutrimento disponibile o la
presenza di predatori, introducono invece reazione negativa che tende quindi a stabilizzare la numerosità della popolazione (figura 2). Ma si tratta di equilibri dinamici, sia per le inevitabili fluttuazioni di numero che intervengono in questi fenomeni sia per i ritardi con cui
agiscono i diversi cicli di reazione; questi possono infat-
Fig. 2
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ti provocare lente oscillazioni di natura periodica, come
prevede appunto la teoria della controreazione.
E qui è opportuno ricordare che i primi studi sulla dinamica delle popolazioni, fondamentali per la moderna
ecologia, furono svolti dal matematico italiano Vito Volterra3, al quale si devono le «equazioni di Volterra» che
descrivono assai efficacemente questi fenomeni e che
presentano anche indubbio interesse dal punto di vista
didattico4.
Fra gli altri numerosi fenomeni delle scienze biologiche
interpretabili in termini di controreazione, vale la pena
di citare almeno quello per cui le formiche seguono percorsi ben determinati nei loro spostamenti fra il formicaio e il luogo dove si trova del nutrimento, precedentemente individuato da alcune di esse nel corso di una
esplorazione. Si tratta di un effetto di reazione positiva5,
che è provocato dalle particolari sostanze, chiamate feromoni, che le formiche emettono durante i loro spostamenti e che, al tempo stesso, costituiscono un richiamo
che le attira. Sicché, se un gruppo di esploratrici ritorna
verso il formicaio seguendo, e marcando chimicamente,
un dato percorso, altre formiche, in uscita, tenderanno a
seguire quello stesso percorso, muovendosi in direzione
del cibo, via via sempre più numerose man mano che su
quella traccia verrà depositata una quantità crescente di
feromoni. Questo interessante caso di comportamento
collettivo, che si riscontra pure in altre specie di insetti,
è stato anche considerato in uno studio sull’impiego della reazione positiva come strategia generale di ricerca,
per affrontare problemi di ricerca operativa come quello
del commesso viaggiatore6.
Un problema di grande attualità e interesse è oggi quello delle relazioni fra l’aumento della concentrazione di
biossido di carbonio (CO2) nell’atmosfera e le prospettive del riscaldamento globale del nostro pianeta in relazione all’effetto serra. A tale proposito viene spesso ci-
La crescita iniziale, determinata da reazione
positiva, segue la legge esponenziale. Poi intervengono
effetti di reazione negativa che limitano la crescita
portandola verso l’equilibrio con legge monotona o con
lente oscillazioni.
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tato il caso di Venere, dove l’atmosfera è costituita da
CO2 al 90% e la temperatura della superficie si aggira attorno a 500°C, ipotizzando che su tale pianeta si sia
creato in passato un circolo vizioso, cioè un ciclo di reazione positiva, per cui il diossido di carbonio avrebbe intrappolato la radiazione solare (più precisamente quella
emessa dal pianeta riscaldato dal Sole) provocando un
riscaldamento anomalo che a sua volta avrebbe impedito a questo gas di venire fissato sulla sua crosta accrescendone nel tempo la concentrazione nell’atmosfera.
Ciò che più sorprende chi si accosta all’argomento,
d’altra parte, è la grande diversità delle conclusioni raggiunte dai diversi studiosi circa l’entità del riscaldamento globale previsto per i prossimi decenni e l’entità
del contributo effettivo delle emissioni di gas serra dovute alle attività umane; a tale proposito si tenga presente che fra gli scienziati non mancano neppure i «negazionisti», che sostengono che non vi è alcun riscaldamento globale7. La ragione di questa diversità di vedute
deriva dal fatto che a tutt’oggi abbiamo solo conoscenze limitate circa i fenomeni in gioco e questi, inoltre,
presentano un’estrema complessità; sicché vi sono incertezze sia sulla forma dei modelli matematici impiegati per sviluppare le previsioni sia sui valori dei parametri usati nei calcoli. La complessità nasce dalla presenza di cicli di reazione, sia negativa che positiva, che
agiscono su scale di tempo diverse, cioè con effetti variamente ritardati.
Un esempio di reazione positiva, ai fini del riscaldamento terrestre, riguarda l’estensione dei ghiacci delle calotte polari: il riscaldamento terrestre ne provoca la diminuzione, aumentando l’estensione degli oceani, i quali assorbono la radiazione assai più dei ghiacci, contribuendo ulteriormente al riscaldamento globale.
Un esempio di reazione negativa riguarda l’incremento
del processo di fotosintesi da parte degli organismi vegetali conseguente a una crescita della concentrazione
di CO2 nell’atmosfera che conduce a ridurre l’entità
complessiva di questo aumento.
Per dare un’idea, appunto, della complessità di questi
fenomeni, si deve ricordare che il diossido di carbonio
assorbito dal fitoplancton marino scende poi assai lentamente verso le profondità degli oceani dove però non
scompare perché viene fissato in rocce che poi lo restituiranno all’atmosfera attraverso le eruzioni vulcaniche,
con un effetto dunque di reazione positiva, ma sulla scala dei tempi geologici.
Qui vale anche la pena di ricordare un fatto assai importante per noi, cioè che la temperatura della Terra è
tale da consentire la vita soltanto per l’effetto di reazione positiva dei gas serra atmosferici, in particolare del
CO2, senza i quali si aggirerebbe attorno a circa –10 °C.
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兩 ...e nelle scienze sociali 兩
È ben noto a tutti il fenomeno della crescita vivacissima
degli impieghi dell’elettronica, dai calcolatori ai telefonini e ad altri apparecchi domestici inclusi i gadget più
vari, che deriva dalle riduzioni dei costi di fabbricazione
dei dispositivi elettronici, dalla diminuzione delle loro
dimensioni fisiche e anche dall’aumento delle loro prestazioni. Per esempio, un microprocessore, che costituisce il cuore di ogni calcolatore, contiene oggi svariate
decine di milioni di transistori in pochi millimetri quadrati di silicio e offre potenze di calcolo incomparabilmente maggiori delle macchine che nel passato si trovavano soltanto nei centri di calcolo di laboratori di ricerca o di grandi amministrazioni.
A questo proposito viene spesso citata la legge di
Moore8, che risulta ben verificata nei fatti ormai da quasi 40 anni, secondo la quale il numero di transistori contenuti in un circuito integrato, realizzato in un chip di silicio, si raddoppia ogni due anni circa. Questa legge di
crescita esponenziale costituisce, come si è detto prima,
la soluzione di una equazione differenziale del primo ordine che è a sua volta un buon modello dei fenomeni di
reazione positiva. Si tratta, in questo caso, di fenomeni
riguardanti l’economia: alla diminuzione dei costi di fabbricazione corrisponde un allargamento del mercato9
che da un lato porta a economie di scala nella produzione e dall’altro, grazie alla crescita del fatturato, consente
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Un
microprocessore offre
potenze di calcolo
incomparabilmente
maggiori delle macchine
che nel passato si
trovavano soltanto nei
centri di calcolo di
laboratori di ricerca o di
grandi amministrazioni.
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di sviluppare innovazioni tecnologiche che a loro volta
conducono a ulteriori riduzioni dei costi; sicché il ciclo
si ripete continuamente. Quello che stupisce, qui, non è
tanto la crescita esponenziale quanto la sua regolarità attraverso il tempo, che indica come i parametri in gioco
mantengano valori costanti, almeno approssimativamente, ormai da parecchi decenni: un buon esempio di equazione differenziale a coefficienti costanti.
Ci si chiede, d’altra parte, per quanto tempo ancora
potrà durare la crescita rappresentata dalla legge di
Moore e quali sono i fattori limitanti che potrebbero intervenire, per analogia con i limiti per la crescita della
popolazione di una specie vivente dovuti all’intervento
di predatori o alla finitezza del nutrimento disponibile.
Qui interverranno certamente dei fattori di natura economica, riguardanti l’ampiezza dei mercati nei quali l’industria elettronica potrà ragionevolmente estendersi ulteriormente, come pure i limiti del suo fatturato complessivo che nella sua crescita non potrà superare il reddito nazionale dei Paesi del mondo (che è caratterizzato
da una crescita assai più lenta).
Ma vi sono anche dei limiti di natura fisica per la riduzione delle dimensioni dei dispositivi, dettati dalla meccanica quantistica, che si prevede interverranno nel giro
di un decennio. Questi limiti riguardano i cambiamenti
nel comportamento10 della materia quando le dimensioni degli oggetti considerati si riducono alla scala atomica, che già iniziano a manifestarsi nei dispositivi ultraminiaturizzati realizzati oggi nei laboratori di ricerca. E
comunque è chiaro che, per esempio, uno degli straterelli isolanti utilizzati in questi dispositivi, che presenta
già oggi spessori costituiti da pochi strati di atomi, non
potrà mai ridursi a spessori inferiori a quello delle dimensioni atomiche.
Nell’ambito dell’economia, d’altra parte, il paradigma
della controreazione trova ampio spazio. Nella teoria
classica, per esempio, si considerano situazioni di equilibrio a cui conducono effetti di reazione negativa che
tendono a compensare le perturbazioni.
Un esempio che illustra chiaramente l’azione correttiva
dei meccanismi naturali dell’economia di mercato è
quello del prezzo del petrolio dopo la crisi degli anni
’70, quando il cartello dei maggiori produttori, fra cui in
particolare i Paesi arabi, scelse di ridurre la produzione
del prezioso liquido e contemporaneamente di aumentarne il prezzo. Dopo un certo numero di anni, la richiesta del mercato mondiale subì una graduale diminuzione per un ventaglio di motivi, fra cui l’introduzione di innovazioni tecnologiche che miglioravano le modalità d’impiego dell’energia11 e il ricorso ad altre fonti
di energia, come il nucleare e il gas naturale, sicché il
prezzo del petrolio, mantenutosi alto per qualche tempo dopo l’impennata, si ridusse poi considerevolmente,
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Si discutono e si
approvano leggi con
grandi promesse e
speranze, ma molti
programmi, una volta
messi alla prova,
risultano privi di
efficacia: l’esito risulta
spesso estraneo alle
attese che hanno
accompagnato la
pianificazione, a volte
addirittura opposto a
quello auspicato.
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tornando a livelli non molto diversi da quelli precedenti la crisi.
Altri fenomeni in ambito economico trovano invece una
efficace interpretazione in termini di reazione positiva12.
Un esempio citato spesso a tale proposito riguarda l’affermazione, alcuni anni fa, del sistema VHS nel campo
della videoregistrazione. Agli inizi della diffusione dei
videoregistratori, al mercato vennero offerte due soluzioni, il sistema Beta prodotto da Sony e subito dopo il
sistema VHS prodotto da JVC, che erano largamente
equivalenti sia tecnicamente (sebbene alcuni ritenessero un po’ migliore il Beta) che dal punto di vista del costo. Avvenne quindi che inizialmente i due prodotti si affermarono entrambi, conquistando quote di mercato più
o meno equivalenti, ma in seguito, per qualche tipo di
fluttuazione, uno di essi, cioè il VHS, venne a prevalere,
seppur di poco, sull’altro. Ed è proprio allora che intervenne inesorabilmente un meccanismo di reazione positiva che segnò la definitiva affermazione del VHS. Dato che vi era un maggior numero di videoregistratori
VHS, venne prodotto un maggior numero di cassette di
film adatte a questo formato, con la conseguenza che i
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nuovi acquirenti di videoregistratori si orientarono sempre più verso questo prodotto, fino a che il Beta uscì addirittura dalla produzione.
Un altro esempio, di attualità oggi, riguarda le consegenze dei provvedimenti di legge sulla rottamazione degli autoveicoli. Qui l’obiettivo che il governo si era posto
era quello di rivitalizzare l’industria automobilistica attraverso l’offerta di incentivi economici per l’acquisto di
nuove automobili in sostituzione di quelle in possesso.
Ottenuto effettivamente a breve quanto desiderato, si è
manifestato in seguito un risultato di segno opposto,
tanto indesiderato quanto facilmente prevedibile, che
possiamo interpretare come dovuto a un effetto di reazione ritardato: chi aveva sostituito anzitempo la sua
vettura per godere delle incentivazioni governative non
ha trovato motivo, negli anni successivi, per cambiare di
nuovo la macchina. Sicché il mercato ha subito una forte contrazione provocando una grave crisi nell’industria
produttrice. Calcolo premeditato, da parte del legislatore e dell’industria, o pura insipienza?
Accade normalmente, del resto, che le leggi vengano
fatte in vista di ottenere determinati risultati sulla base
di quanto si immagina dovrebbe verificarsi, anziché di
quanto avviene poi realmente, cioè senza prevedere
meccanismi di reazione negativa basati sugli effetti stessi delle norme e nello stesso tempo senza tener conto
dei meccanismi di reazione che possono venire innescati da fenomeni imprevisti. Di conseguenza l’applicazione delle leggi, per quanto minuziose, facilmente conduce a risultati incontrollati che spesso, come nel caso
citato prima, hanno segno opposto a quanto si desiderava. Ciò rientra nel quadro generale delle conseguenze
non intenzionali delle azioni dell’uomo, che il filosofo
tedesco Wilhelm Max Wundt ha chiamato «eterogenesi
dei fini»; secondo Karl Popper, addirittura, «il compito
principale delle scienze sociali teoriche... consiste nel
delineare le ripercussioni sociali, non intenzionali, che
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Il grado di
accuratezza con cui si
arriva a costruire i
modelli è, nel caso dei
sistemi sociali, assai
inferiore rispetto ai
sistemi fisici...
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seguono alle azioni umane intenzionali». Di questa problematica si è occupato in particolare lo studioso americano Jay W. Forrester nel corso di una serie di ricerche
sulla dinamica delle imprese, sul problema dei ghetti urbani nelle città degli Stati Uniti d’America e sulla modellistica globale, i cui sviluppi sono all’origine degli studi che vennero svolti negli anni ’70 nell’ambito del Club
di Roma.
Un risultato fondamentale del lavoro di Forrester13 è
consistito nell’evidenziare come i provvedimenti legislativi, e in genere le scelte delle autorità di governo, risultino spesso inefficaci, o addirittura dannosi, proprio a
causa dell’eterogenesi dei fini, da lui chiamata «comportamento controintuitivo dei sistemi sociali». Il motivo, nelle parole di Forrester, è che: «Si discutono e si approvano leggi con grandi promesse e speranze, ma molti programmi, una volta messi alla prova, risultano privi
di efficacia: l’esito risulta spesso estraneo alle attese
che hanno accompagnato la pianificazione, a volte addirittura opposto a quello auspicato». Forrester individua
anzi come caratteristica dei sistemi sociali la presenza
di una contraddizione di fondo fra le conseguenze a breve e a lungo termine di un mutamento d’indirizzo: una linea politica che dia luogo a miglioramenti nell’arco di
qualche anno, generalmente, è tale da provocare una degradazione del sistema a più lunga scadenza, sicché
molti dei problemi che ci si trova a fronteggiare oggi sono il risultato di provvedimenti adottati non più di due o
tre decenni addietro. Ma quale amministrazione di governo è disposta a rischiare l’impopolarità a breve termine in vista di risultati che si manifesteranno socialmente utili soltanto nel lungo termine?
Qui il discorso si è allargato a considerare la gestione
della cosa pubblica. Ma l’argomento è del tutto pertinente in un discorso sulla controreazione, dato che l’origine della parola «governo» è la medesima del termine
cibernetica14, che Norbert Wiener introdusse per indicare le discipline relative al controllo e alle comunicazioni. Si deve, però, sottolineare che le effettive possibilità
di controllo di un sistema, e dunque i risultati conseguibili, dipendono dal grado di conoscenza del sistema
stesso, formalizzata in quello che si chiama il suo «modello matematico», che rappresenta anche le variabili
esterne in gioco, compresi i «disturbi» che tendono a far
deviare le grandezze controllate rispetto a quanto si desidera. Sfortunatamente, il grado di accuratezza con cui
si arriva a costruire i modelli è, nel caso dei sistemi sociali, assai inferiore rispetto ai sistemi fisici, se non altro per la nostra scarsa conoscenza delle leggi che li governano, sicché i risultati del controllo non potranno essere altrettanto efficaci. Ma questo non è certamente un
motivo perché il concetto di controreazione non possa
trovare impiego, almeno come guida metodologica, nel-
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la progettazione degli interventi. Anche nei sistemi sociali, come in qualsiasi altro tipo di sistema, valgono infatti i principi generali della controreazione che abbiamo esposto prima: qualsiasi azione correttiva risulta
scarsamente efficace se non è resa dipendente dalla valutazione dei risultati che essa stessa produce e se non
interviene con la necessaria prontezza.
Lo schema interpretativo della controreazione può essere usato anche a proposito della democrazia, intesa come meccanismo per controllare il funzionamento di un
sistema politico, più precisamente la qualità delle prestazioni offerte da una classe dirigente. I più gravi inconvenienti dei sistemi totalitari, a prescindere da altri
aspetti, derivano proprio dall’assenza di mezzi efficaci
per la valutazione e il controllo dell’azione di governo in
termini dei risultati prodotti, cioè dall’assenza di controreazione. Questi mezzi, invece, sono alla base dei sistemi
democratici, che li attuano periodicamente attraverso il
meccanismo delle elezioni politiche, dove la valutazione
espressa dai cittadini si traduce in una forma di controllo basata sul mantenimento oppure sull’avvicendamento
della classe dirigente. L’efficacia della controreazione ri-
chiede però che il segnale di controllo sia quanto più
possibile rispondente ai fatti, cioè che esso si appoggi su
una valutazione reale e non distorta, per esempio dai
mezzi d’informazione, circa il confronto fra risultati effettivi e risultati attesi. Altrimenti il sistema democratico
s’inceppa, esattamente come s’incepperebbe un termostato al quale venisse falsata l’informazione sulla effettiva temperatura dell’ambiente che s’intende controllare.
Possiamo infine, per concludere, interpretare con il paradigma della controreazione anche il sistema giudiziario, considerandone l’opera come rivolta a svolgere
azioni correttive a fronte delle deviazioni rispetto alle
norme di legge. Se si considera che un processo civile di
primo grado dura da noi mediamente quarantasei mesi,
contro quindici in Francia e sei in Germania, si capisce
che le evidenti disfunzioni di questo sistema consistono
essenzialmente nell’inefficacia delle azioni correttive,
dovuta al ritardo con cui agisce la controreazione.
쐽쐽쐽
della società Intel (attualmente il maggiore produttore mondiale
di microprocessori) stabilì nel 1965, dopo aver tracciato un grafico del numero N di transistori contenuto nei circuiti integrati costruiti a quel tempo in funzione dell’anno A in cui erano stati realizzati. Graficando log(N) in funzione di A, egli trovò una retta
con inclinazione corrispondente a un tempo di raddoppio di circa 2 anni.
9. Nel corso dei decenni passati la diffusione degli impieghi dell’elettronica si è progressivamente estesa dal settore militare e
spaziale prima a quello industriale e poi a quello civile. Per fare
solo un esempio, l’elettronica contribuisce oggi a quasi il 20% del
costo di un’automobile.
10. Sono proprio i progressi nella comprensione del comportamento dei più minuscoli aggregati di materia che già oggi fanno
intravedere le prospettive di dispositivi «quantistici» del tutto
nuovi, che sostituiranno nel futuro quelli usati oggi nei circuiti
integrati, cioè i transistori.
11. Si tratta di ciò che viene chiamato comunemente «risparmio
energetico» e che consiste nel ridurre, a parità di risultati, la
quantità di energia necessaria a produrre determinati beni, come
fabbricare un’automobile, e a fornire certi servizi, come riscaldare un edificio o compiere un dato percorso in automobile.
12. W. Brian Arthur, Positive Feedbacks in the Economy, Scientific American, vol. 262, pp. 92-99, febbraio 1990.
13. Jay W. Forrester, Comportamento controintuitivo dei sistemi sociali, in Verso un equilibrio globale, a cura di D.L. Meadows e D.H. Meadows, Mondadori EST, Milano 1973.
14. L’origine comune del termine greco «kubernetes» e del latino
«gubernator», che significano «pilota, timoniere», è la stessa del
sanscrito «kubara» che vuol dire «timone». Ricordiamo anche
che il fisico francese André Marie Ampère presentò nel 1834,
chiamandola «cibernetica», una sua teoria dell’arte di governo,
che peraltro ebbe assai scarsa risonanza.
1. N. Wiener, Cybernetics, or Control and Communication in
the Animal and the Machine, Technology Press, Cambridge,
Mass., 1948, trad. it. Introduzione alla cibernetica, Boringhieri,
Torino, 1953.
2. Un classico esempio a questo proposito riguarda la crescita
dei conigli importati in Australia dai colonizzatori, per cui non vi
erano predatori, che trovò un limite soltanto nel nutrimento disponibile. Un altro esempio è la crescita rapidissima di una popolazione di batteri in un brodo nutriente.
3. V. Volterra, Variazione e fluttuazioni del numero di individui di specie animali conviventi, Memorie dell’Accademia Nazionale dei Lincei, vol. II, p. 33, 1926. Citato in J.M. Smith, L’ecologia e i suoi modelli, EST Mondadori, Milano 1975.
4. Progetto Le Monnier di Informatica Applicata alla Fisica, Le
Monnier, Firenze 1988, pp. 161-166.
5. www.ai-depot.com/CollectiveIntelligence/Ant-Colony.html
6. M. Dorigo, V. Maniezzo, A. Colorni, Positive feedback as a
search strategy, Rapporto Tecnico del Politecnico di Milano, n.
91-016, 1991.
7. Alcuni scienziati sostengono che le indicazioni per un aumento complessivo della temperatura della Terra sono al tempo stesso deboli e di incerta validità, perché le registrazioni delle temperature venivano eseguite in passato soltanto nelle città, le cui
temperature sono soggette da qualche tempo ad aumenti, anche
di qualche grado, rispetto alle zone circostanti, a causa dell’energia che vi viene dissipata e del diverso assorbimento della radiazione solare da parte dell’ambiente urbano (fenomeno delle «isole termiche»). Altri ritengono che gli aumenti di temperatura registrati finora siano analoghi a quelli verificatisi varie volte nei secoli passati, per cause naturali.
8. Si tratta di una legge empirica che Gordon Moore, dirigente
Giovanni Vittorio Pallottino
Dipartimento di Fisica
Università «La Sapienza» - Roma
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