Verifica Sperimentale Legge di Hooke

Verifica Sperimentale Legge di Hooke
ESERCIZIO Lo scopo di una certa esperienza di laboratorio è dimostrare la diretta proporzionalità tra la forza
elastica F e l’allungamento x di una molla e stimare la relativa costante elastica k = F/x. Supponi che con una
procedura di misura ineccepibile e priva di errori sistematici vengano raccolti i seguenti dati:
N
1
2
3
4
5
x [cm]
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Ea (x) [cm]
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
F [N]
6
18
28
38
50
Ea (F ) [N]
4
4
4
4
4
ove Ea (x) = 0.2 cm e Ea (F ) = 4 N sono le incertezze di lettura degli strumenti adoperati.
Il tuo compito è quello di procedere con l’elaborazione dei dati e di stilare le conclusioni della relazione.
Per l’elaborazione dei dati procederai innanzitutto predisponendo un grafico come di seguito indicato:
• In un foglio A4 quadrettato o millimetrato costruisci un piano cartesiano in cui sull’asse orizzontale sia rappresentato l’allungamento x e sull’asse verticale la forza elastica F , scegliendo convenientemente le unità degli assi in base ai valori sperimentali. È
inoltre opportuno che le incertezze Ea (x) e Ea (F ) risultino facilmente rappresentabili; nel caso di carta quadrettata, una scelta
ragionevole può essere
• Considerata l’estensione dei dati raccolti, è utile indicare come riferimento sull’asse x i valori unitari 1 cm, 2 cm, ... e sull’asse F
le decine, tracciando tacche ampie e riportando i rispettivi valori senza unità di misura.
• Indica sugli assi x e F i valori raccolti in tabella, utilizzando delle tacche più piccole e riportando anche in questo caso i valori
senza unità di misura e possibilmente con un colore diverso rispetto ai valori di riferimento.
• Aiutandoti con un righello traccia in corrispondenza ai dati raccolti delle sottili linee tratteggiate parallele agli assi fino a farle
incontrare nel corrispondente punto sperimentale che marcherai con un punto ben visibile.
• Aiutandoti con un righello disegna un rettangolo di base 0.4 cm e altezza 8 N centrato su ciascun punto sperimentale per
rappresentare l’incertezza delle misure.
A questo punto si procede con un’analisi dei dati per valutare se la relazione di proporzionalità diretta sussiste o meno. Per risolvere
la questione osserva che:
se la relazione tra x e F è di proporzionalità diretta dovrà esistere una semiretta passante per l’origine compatibile
con i dati sperimentali, ovvero tale da intercettare tutti i rettangoli d’incertezza.
Nel caso in esame di semirette intersecanti tutti i rettangoli d’incertezza ce ne sono infinite e formano un angolo la cui ampiezza è in
qualche modo legata all’incertezza sulla costante elastica k. Pertanto la relazione è verificata e puoi procedere ad una stima di k.
Aiutandoti con un righello traccia le due rette passanti per l’origine aventi rispettivamente di massima e minima pendenza che
tagliano tutti i rettangoli d’incertezza. Queste rette passano necessariamente per una coppia di vertici dei rettangoli di incertezza.
Utilizzando le coordinate di questi vertici calcola il corrispondente valore della costante: il vertice sulla retta più pendente individua la
massima costante kmax compatibile con i dati, quello sulla retta meno pendente la minima costante kmin .
Come stima della costante k si assume la media k̄ = (kmax + kmin )/2 e come incertezza la semi-dispersione massima Ea (k) =
(kmax − kmin )/2.
A questo punto, richiamando gli elementi salienti dell’analisi dei dati, stila le conclusioni.
SOLUZIONI ESERCIZIO
Elaborazione dati
Nel grafico sottostante sono riportati i 7 punti sperimentali con i relativi intervalli di incertezza.
50
•
A(3.8cm, 42N)
B(5.2cm, 46N)
•
38
28
18
F (N)
6
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
x(cm)
Si individuano nel grafico le rette di massima pendenza e minima pendenza, osservando che la retta di massima
pendenza passa per il punto A(3.8 cm, 42 N) e quella di minima pendenza per B(5.2 cm, 46 N). Si ricavano quindi
i seguenti dati:
46
≈ 8.85 N/cm
(minimo valore di k),
kmin =
5.2
kmax =
k̄ =
42
≈ 11.05 N/cm
3.8
kmin + kmax
≈ 9.95 N/cm
2
(massimo valore di k),
(stima più attendibile di k),
kmax − kmin
≈ 1.10 N/cm (stima errore assoluto di k).
2
La stima di della costante elastica è quindi k = (9.95 ± 1.10)N/cm = (10.0 ± 1.1)N/cm.
Ea (k) =
Risultato esperimento e conclusioni
I dati a disposizione risultano in buon accordo con l’ipotesi di una relazione di proporzionalità diretta tra la forza
elastica F e l’allungamento x. La stima della costante elastica è k = (10 ± 1.1)N/cm con un errore relativo
Er (k) = 1.1/10.0 ≈ 11%.