Il Signore degli Anelli

Elementi di Fisica
Esercizi
“Il Signore degli Anelli”
Michele D’Amico
13 settembre 2011
1
La Compagnia dell’Anello
• Dopo la festa del suo centoundicesimo compleanno Bilbo torna a casa
Baggins dove Gandalf gli intima di lasciare il suo prezioso Anello a Frodo. Bilbo, riluttante, inclina lentamente la mano con il palmo aperto per
lasciar cadere l’Anello, ma il monile “decide” di cadere all’incredibile angolo di 70◦ . Calcolate il coefficiente di attrito statico tra Oro e Pelle. [R:
µOP =2.7 ]
• Durante l’inseguimento di Frodo, i Cavalieri Neri cavalcano a 39 Km/h
mentre l’inseguito a 30 Km/h. Considerando che ad un certo punto gli
inseguitori si trovano a 100 m da Frodo e che il fiume Bruinen, dove Frodo
puó trovare la salvezza, é a 300 m, riuscirá Frodo a sfuggire alla minaccia
arrivando al fiume prima dei Cavalieri? In quanto tempo Frodo raggiunge
il fiume? [R: Si; t=36 s]
• Gandalf il Grigio fuggendo dalla torre di Isengard é trasportato dal Re
della Aquile Gwaihir in volo orizzontale a velocitá costante ad un altezza
di 750 m dal suolo. Disegnare il diagramma delle forze su Gandalf e separatamente sull’Aquila e indicare quanto lavoro totale ha dovuto compiere
l’Aquila per portarlo a quell’altezza supponendo che la torre di Orthanc
fosse alta 150 m. L’Aquila scende quindi verso terra con un angolo di 60◦
rispetto all’orizzontale con un’accelerazione costante di 8 m/s2 sempre
inclinata rispetto all’orizzontale. Determinare il tempo di discesa supponendo una velocitá iniziale inclinata di 15 m/s. N.B. Gandalf e l’Aquila
pesano circa 100 e 600 Kg, rispettivamente. [R: L∼
=4.1 106 J; t∼
=13 s]
• Pipino getta una pietra in un pozzo dentro le miniere di Moria, contando
a mente il tempo prima di un qualunque rumore. Considerato che trascorrono 14 s, quanto era profondo il pozzo? A che velocitá andava la pietra
prima di toccare il fondo? I risultati dipendono dalla massa della pietra?
N.B. Si trascuri l’attrito dell’aria. [R: H∼
=960 m; v∼
=137 m/s; No]
1
Figura 1: Il Ponte di Khazad-Dûm schematizzato.
• Per impedire al Balrog di passare Gandalf spezza il ponte di Khazad-Dûm
lasciandolo collegato solo da un lato. All’estremità del ponte rimangono
solo Aragorn e Boromir. Schematizzando il Ponte come in figura 1, determinare le reazioni normali nei punti indicati con i numeri 1 e 2, sapendo
che il ponte è lungo L=15 m e la trave di appoggio si trova a d=5 m dalla
fine del ponte. N.B. Le masse di Aragorn e Boromir sono rispettivamente
~1 =-8032 N, N
~2 =19098
di 90 e 80 Kg. Il peso del ponte è di 9400 N. [R: N
N.]
• Nella tremenda lotta tra il Balrog e Gandalf, i due cadono per l’interminabile abisso sotto il ponte di Durin. A causa dell’attrito con l’aria i due
raggiungono la velocitá limite di 50 m/s. La caduta dura ben 10 minuti. A che profonditá si trova l’oscuro lago che conclude l’abisso? N.B. Si
trascuri la prima fase accelerata di caduta in aria. [R: H=30 Km]
• Alla fine dell’interminabile caduta, considerate che l’attrito con l’acqua
generi una decelerazione costante di 35 m/s2 per il Balrog e di 25 m/s2 per
Gandalf. A che distanza verticale si troveranno i due nemici dopo essersi
fermati sott’acqua? N.B. Trascurate la spinta di Archimede. Gandalf pesa
sempre 980 N, mentre il Mostro ha una massa di ben 2000 Kg. [R: d∼
=30
m.]
• A che distanza verticale si troveranno i due nemici dopo essersi fermati
sott’acqua, considerando il caso più realistico dell’effetto della spinta di
Archimede? N.B. La densità media di Gandalf è 950 kg/m3 , mentre il
Balrog sembra fatto di lava e ha quindi una densità di circa 2,2 g/cm3 .
[R: d∼
=7 m.]
• Mentre la Compagnia attraversa in barca l’Anduin il fiume subisce un
restringimento a causa delle basi in pietra degli Argonath, le gigantesce
statue dei Re del passato. La velocità del fiume prima delle statue è di
35 m/s, e la larghezza di 200 m. La larghezza del fiume tra le statue è di
100 m. Stimate la velocità dell’acqua. N.B. Assumete l’altezza dell’acqua
costante nelle due zone. [R: v2 =70 m/s;]
2
• In vista delle cascate di Rauros, Aragorn in barca con Frodo e Sam si
accorge che al centro del fiume la corrente sta diventando troppo forte (5
m/s). Decide quindi di puntare la riva ovest distante 100 m. Considerato
che la cascata é a soli 50 m, a che velocitá laterale deve spingere Aragorn
per evitare la rovinosa caduta?
Supponete dopo che ad un certo punto (a 50 m dalla riva) per aiutarlo,
Sam e Frodo si inseriscono con i loro remi fornendo complessivamente alla
barca un’accelerazione (perpendicolare alla velocitá dell’acqua) di 2 m/s2 .
In quanto tempo la barca raggiunge la riva? [R: vl =10 m/s; t=3.7 s]
2
Le due Torri
• Dopo la sua coraggiosa morte, Boromir viene adagiato in una barca elfica
insieme alle armi dei nemici che ha ucciso. Assumendo che la barca elfica
sia costruita di un legno di densità pari a 300 kg/m3 e che abbia una
sezione semicircolare di raggio 25 cm e spessore di 2 cm, indicate il numero
massimo di armi caricatevi da Aragorn, Legolas e Gimli. N.B. Ogni arma
ha una massa di 5 Kg e Boromir pesava 785 N. Assumete la barca lunga
2m. [R: n=21 ]
• Nel suo viaggio funebre Boromir supera le cascate di Rauros dentro la barca elfica. Calcolate la velocità di caduta e il tempo impiegato supponendo
che il salto sia di ben 500 m. [R: v∼
=10 s]
=99 m/s; t∼
• Dopo lo scontro con il Balrog Gandalf il Bianco viene nuovamente trasportato dal Re della Aquile Gwaihir in volo orizzontale a velocitá costante.
Ipotizzando una superficie alare di 25 m2 , calcolate la velocitá minima che
può tenere l’aquila sfruttando la sola portanza. N.B. La densitá dell’aria é
approssimativamente 1.2 Kg/m3 . Assumete che la velocitá dell’aria sopra
l’ala sia il 30% più grande di quella sotto l’ala. Gandalf e l’Aquila pesano
circa 100 e 600 Kg, rispettivamente. Trascurate qualunque variazione di
altezza dovuta allo spessore dell’ala. [R: v∼
=92.7 Km/h]
• L’Ent Barbalbero cattura i due Hobbit Merry e Pipino credendoli degli
Orchetti e li tiene saldamente con le sue braccia lunghe circa 3 m. Considerando un angolo tra tronco e braccia di 60◦ , quanto valgono le reazioni
normali del terreno sui piedi di Barbalbero, considerandoli distanti 1.5 m
dalla verticale del baricentro dell’Ent. N.B: I due Hobbit hanno una massa
di 30 (Pipino) e 35 Kg (Merry). Barbalbero pesa 5000 N. [R: N1 =2861
N, N2 =2776 N.]
• Il fiume Isen scorre abitualmente con una portata di volume pari a 500 l/s.
Durante la lotta contro Saruman gli Ent sbarrano il fiume costruendo una
diga di terra e massi alta 10 m. Per quanto tempo la diga potrà trattenere
il fiume prima che l’acqua tracimi? Si calcoli inoltre la velocità dell’acqua
in un punto alla base della diga in cui è presente un piccolo foro. N.B. Si
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supponga che la larghezza media del fronte della diga sia di 50 m e che
la pendenza del terreno su cui scorre il fiume sia di 5◦ . [R: ∼16 h; v=14
m/s.]
• Legolas si trova sulle mura del Fosso di Helm, ad una altezza di 32 m.
Vuole colpire un Uruk-Hai alto 2 m e distante 100 m. Calcolare la velocitá
della freccia necessaria per l’impresa considerando che l’angolo di tiro é
di 45◦ . Assumendo una massa di 100 g per la freccia e uno spostamento
della freccia di 30 cm durante la fase di caricamento dell’arco, calcolate
la costante elastica dell’arco assumendolo una molla. [R: 27,4 m/s.;834
N/m]
• Sam e Frodo scendono un dirupo degli Emyn Muil alto 20 m, legando la
magica corda elfica ad uno sperone di roccia. Considerando che Frodo si
trova a 5 m dal fondo e Sam a 15 m, indicare le forze di tensione della
corda in un punto tra i due compagni di viaggio e sul punto piú in alto.
N.B. Frodo e Sam hanno, rispettivamente, una massa di 35 e 45 Kg. [R:
T1 =343 N; T2 =784 N ]
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Il ritorno del Re
• Durante l’assedio di Minas Tirith gli orchi sfruttano delle catapulte per
lanciare massi di 20 Kg oltre le mura della cittá alte 35 m. Supponendo
che la catapulta sia assimilabile ad una molla (K=200 N/m) compressa di
12 m, a che distanza minima dalle mura devono trovarsi per riuscire nella
loro malefica impresa? N.B. L’angolo di tiro é fissato a 45◦ . [R: d=58 m]
• Dopo essere stato colpito da Shelob, Frodo risulta impacchettato nella tela
del Ragno e viene trasportato da due orchetti verso la torre di guardia in un
buio percorso lungo 700 m. Quanto lavoro compiono complessivamente i
due orchetti? Se invece il trasporto fosse stato affidato ad un solo orchetto,
egli avrebbe strisciato Frodo tirandolo a velocitá costante con una corda
inclinata di 30◦ ; quanto lavoro avrebbe fatto? N.B. Il coefficiente di attrito
dinamico tra la tela di ragno e la pietra umida é di 0.3. Frodo ha una massa
di 35 Kg. [R: L2Orcs =0; L1Orc =61.4 kJ ]
• Frodo e Sam si trovano nel ponte di pietra di fronte alla nera torre di Cirith
Ungol e decidono di gettarsi nel vuoto. Di li a poco il ponte sarebbe stato
invaso da Cavalieri e Orchetti. Il volo dura 1 s e finiscono fortunosamente
su un cespuglio di rovi. Assimilando il cespuglio ad una molla (K=1000
N/m) quanti metri si comprime per fermare i due Hobbit? N.B. Frodo e
Sam hanno, rispettivamente, una massa di 30 e 40 Kg (Sono purtroppo
dimagriti nel loro viaggio nella terra di Mordor). [R: ∆x= 2.6 m]
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Bibliografia
1. D. C. Giancoli, “Fisica”, Casa Editrice Ambrosiana.
2. J. R. R. Tolkien, “La Compagnia dell’Anello”, Bompiani.
3. J. R. R. Tolkien, “Le Due Torri”, Bompiani.
4. J. R. R. Tolkien, “Il Ritorno del Re”, Bompiani.
Il presente materiale puó essere utilizzato liberamente purché non se ne cambi
il contenuto e si indichi sempre l’autore degli esercizi.
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