CAPITOLO MATERIALI COMPOSITI: LEGGE COSTITUTIVA

Transcript

TECNOLOGIE E MATERIALI AEROSPAZIALI
CAP.1 – MATERIALI COMPOSITI: LEGGE COSTITUTIVA ORTOTROPA
_________________
CAPITOLO
32
_________________
MATERIALI COMPOSITI: LEGGE COSTITUTIVA
ORTOTROPA
32.1 Introduzione
L’impiego di rinforzi in fibra di vetro e, in seguito, di
carbonio, per lo sviluppo di nuovi e più efficienti
materiali da impiegarsi nelle strutture aerospaziali, può
essere fatto risalire agli anni ’60. Da allora in poi, con
diffusione sempre crescente, le elevate rigidezze e
resistenze specifiche di queste e altre fibre,
notevolmente superiori a quelli delle leghe metalliche,
sono state sfruttare per creare materiali compositi,
legando il sistema di rinforzo con una matrice continua.
La definizione di materiali compositi avanzati
riconosce che, nella storia, l’uso di materiali composti
di diverse fasi può essere fatto risalire agli albori della
civiltà (la paglia usata per aumentare la tenacità nei
mattoni di argilla) e che altri esempi di materiali
compositi, quali il cemento armato, sono di normale
utilizzo in diversi ambiti costruttivi. Tuttavia,
anticipando la classificazione e la descrizione di
dettaglio di tali materiali, che sarà presentata nel Cap.
34, il termine materiali compositi utilizzato in ambito
aerospaziale indica, essenzialmente, materiali a matrice
polimerica, tipicamente termoindurente, con rinforzo a
fibre lunghe. In particolare, tre tipologie di fibre di
rinforzo si sono affermate, grazie alle loro particolari
caratteristiche:
- le fibre di vetro, che, nella versioni più
avanzate (vetro S) presentano una rigidezza
relativamente alta, una grande resistenza e un
costo relativamente basso;
- le fibre di carbonio o di grafite, che,
significativamente più costose delle fibre di
vetro, sono tuttavia notevolmente più leggere
e più rigide;
- le fibre arammidiche (Kevlar) che mostrano i
rapporti più vantaggiosi fra resistenza a
trazione e peso specifico, hanno elevata
rigidezza e peculiare caratteristiche di
tenacità, ma sono svantaggiate dalla scarsa
resistenza a compressione.
Sebbene la diffusione di questi materiali sia stata
probabilmente più lenta delle previsioni di qualche
decennio fa, le tendenze più recenti mostrano che la
loro introduzione può comunque essere considerata una
svolta di grande importanza nell’industria aerospaziale,
per alcuni addirittura paragonabile all’affermazione
delle tipologie costruttive metalliche a guscio o
all’avvento dei motori a getto.
1
Il presente capitolo descrive inizialmente la struttura
tipica dei compositi con rinforzo a fibre lunghe e gli
aspetti fondamentali del loro comportamento
meccanico, evidenziando i vantaggi e le problematiche
connesse alla loro applicazione in ambito strutturale
aeronautico. In seguito, si presenterà ed analizzerà il
legame elastico ortotropo, che caratterizza la risposta
costitutiva di tali materiali a livello macroscopico.
Nella parte finale del capitolo saranno forniti gli
elementi di base per un’analisi semplificata del
comportamento dei materiali a livello micromeccanico,
permettendo una valutazione approssimativa delle
proprietà meccaniche del composito da quelle delle sue
fasi costituenti e approfondendo l’analisi del
meccanismo di funzionamento di tali materiali in
diverse condizioni di sollecitazione.
32.2 Forme, potenzialità e limiti
dell’applicazione dei compositi in ambito
aerospaziale
L’interesse verso i materiali compositi avanzati nasce
dalle proprietà meccaniche delle fibre di rinforzo
utilizzate, che sono tali da indicare un possibile
rilevante incremento dell’efficienza strutturale nelle
costruzioni aeronautiche.
Tabella 32. 1 – Proprietà delle principali leghe
metalliche e di alcune fibre di rinforzo utilizzati
nell’industria aerospaziale1
Peso
specifico, 
(kN/m3)
Modulo di
Young,
E (GN/m2)
E/
(Mm)
R
(MPa)
Al
26.3
73
2.8
500
Ti
46.1
115
2.5
1500
Acciaio
76.6
207
2.7
2000
Vetro S
24.4
86
3.5
3500
18
228-262
14
30004500
18
353-393
21
2500
Carbonio
(alta
resistenza)
Carbonio
(alto
modulo)
Ricordando che l’efficienza strutturale sintetizza la
capacità di soddisfare i requisiti di rigidezza e
resistenza strutturale con il minimo peso possibile, i
possibili vantaggi dell’utilizzo di tali sistemi di rinforzo
emergono chiaramente nella Tabella 32. 1, che
confronta le proprietà di rigidezza, di rigidezza
specifica e la resistenza delle leghe metalliche usate
nelle costruzioni aeronautiche con quelle delle fibre di
rinforzo di vetro e di carbonio. I valori di resistenza
forniti in tabella sono indicativi poiché, a differenza
della rigidezza, la resistenza varia grandemente per le
diverse leghe metalliche, al variare della composizione
e dei trattamenti termici. I valori riportati per la
1
I valori di resistenza indicati in tabella sono indicativi:
rappresentano i limiti massimi per le leghe metalliche e valori tipici
per le fibre di rinforzo isolate
2
resistenza possono essere considerati i limiti massimi
ottenibili per le leghe metalliche e valori tipici per le
fibre di rinforzo considerate in tabella.
L’esame della Tabella 32. 1 mostra chiaramente come
rinforzi di fibre di vetro e di carbonio possano
potenzialmente permettere lo sviluppo di nuovi
materiali con indici di merito superiori a quelli delle
leghe metalliche. Si può osservare che il Vetro S
presenta valori di resistenza superiori all’acciaio, con
un 1/3 del suo peso specifico. Simili valori di
resistenza sono ottenuti dal carbonio, che è ancora più
leggero e molto più rigido, come confermato dalla
rigidezza specifica che è pari a 5 volte quella delle
leghe metalliche, per il carbonio ad alta resistenza, e
oltre 7 volte superiore per il carbonio ad alto modulo.
Un primo limite per lo sfruttamento di queste
caratteristiche deriva, però dalla constatazione che le
fibre, da sole, possono trasmettere solo carichi di
trazione uniassiali, in una direzione predeterminata. Per
realizzare un materiale di possibile impiego in ambito
strutturale, è necessario utilizzare il sistema di rinforzo
fibroso all’interno di una matrice continua, che svolga
le seguenti funzioni:
- conferire forma e stabilità dimensionale agli
elementi strutturali;
- permettere la trasmissione di sollecitazioni in
diverse direzioni;
- trasmettere il carico al rinforzo fibroso,
permettendo di sfruttarne le intrinseche
caratteristiche di rigidezza e di resistenza;
- consentire la realizzazione di elementi
strutturali con rinforzi multi-direzionali.
L’elemento base della nuova tipologia di materiali può
essere quindi considerato uno strato di fibre
unidirezionali immerso in una matrice plastica. La
sovrapposizione di più strati può dare luogo a un
materiale con rinforzo multi-direzionale. Il singolo
strato può anche possedere un sistema di rinforzo bidirezionale, organizzato in un tessuto. Sebbene tale
descrizione non comprenda tutte le possibili forme di
utilizzo dei materiali compositi con rinforzo a fibra
lunga e matrice plastica, essa comprende tutti gli
elementi strutturali ottenuti mediante le tecniche di
laminazione di lamine pre-impregnate, che sono fra le
tecnologie più diffuse in ambito aerospaziale.
L’idealizzazione del materiale composito come
laminato ottenuto dalla sovrapposizione di strati con
rinforzo unidirezionale o bi-direzionale, dette lamine,
costituisce,
dunque,
un
esempio
altamente
rappresentativo che rimane valido, nelle sue linee
essenziali, anche per forme differenti di materiali
compositi, ottenute con tecnologie differenti dalla
laminazione.
La Figura 32. 1 mostra due strati con rinforzo
unidirezionale (A) e bi-dimensionale organizzato in
forma di tessuto (B) in cui si riconoscono le direzioni
della trama (fill) e dell’ordito (warp).
STRENGTH
A
B
Figura 32. 1 – Principali tipi di lamine di
materiali composito con rinforzo fibroso
La Figura 32. 2 indica come, sovrapponendo più
lamine con rinforzo in una direzione, sia possibile
ottenere un elemento strutturale con rinforzo multidirezionale.
STIFFNESS
Figura 32. 3 – Transizione fra proprietà delle
fasi costituenti e proprietà di lamine e laminati
in materiale composito
Figura 32. 2 – Realizzazione di un laminato
mediante sovrapposizione di più lamine
L’introduzione della resina, parte essenziale del
materiale composito, comporta tuttavia una riduzione
delle prestazioni strutturali del materiale rispetto ai
livelli indicati dalle notevolissime proprietà delle fibre
di rinforzo. La resina, infatti, possiede proprietà
meccaniche notevolmente inferiori a quelle del sistema
di rinforzo, con un modulo di Young quantificabile fra
3 GPa e i 5 GPa e resistenze inferiori ai 100 MPa. Il
pur limitato peso specifico della resina, quantificabile
attorno ai 10 kN/m3, riduce gli indici di merito.
Considerando una lamina di materiale composito con
rinforzo unidirezionale, le sue proprietà meccaniche, in
assoluto, saranno dunque intermedie fra quelle delle
fibre e quelle della matrice. Inoltre, considerando un
asse di riferimento parallelo alla direzione delle fibre,
le proprietà meccaniche saranno massime nella
direzione del rinforzo, a 0° rispetto all’asse di
riferimento, e decadranno a un valore minimo in
direzione trasversale, indicata da un angolo di 90°. La
Figura 32. 5 descrive le relazioni fra le proprietà delle
fasi costituenti quelle delle lamine e dei laminati in
materiale composito.
La Figura 32. 3 rende evidente due aspetti
fondamentali del comportamento meccanico dei
materiali compositi con rinforzo a fibre lunghe:
a) le proprietà della generica lamina di materiale
composito variano con la direzione
considerata;
b) le proprietà meccaniche, incluse le modalità di
rottura e la resistenza, potranno essere
maggiormente influenzate dalle caratteristiche
delle fibre o della matrice a seconda della
direzione della sollecitazione: si potrà quindi
parlare di proprietà dominate dalle fase fibre
e dominate dalla fase matrice.
La Figura 32. 4 mostra qualitativamente quale
possa essere la risposta di un provino di materiale
composito in una prova di trazione uniassiale al
variare dell’angolo fra la direzione del carico e del
rinforzo. Si osservi come non solo le rigidezze e le
resistenze possano essere completamente diverse,
ma anche come il comportamento possa presentare
caratteristiche variabili fra risposte elasto-fragili e
modalità di cedimento più progressive. Alle
evidenti considerazioni concernenti il grande
divario fra le proprietà meccaniche dominate dalla
fase fibre e dalla fase matrice, va aggiunta un’altra
osservazione, particolarmente valida per materiali
con rinforzi in fibra di vetro e di carbonio. Infatti,
mentre le proprietà dominate da queste fibre
rimangono quasi inalterate in un intervallo molto
ampio di condizioni ambientali, le proprietà
dominate dalla matrice variano significativamente
con la temperatura e sono anche influenzate da
altri fattori ambientali, quali il livello di umidità.
La presenza della matrice polimerica, inoltre,
limita fortemente le temperature di utilizzo per i
compositi considerati in questo capitolo, senza
tuttavia pregiudicare il potenziale impiego di
questi materiali nella realizzazione di gran parte
delle strutture secondarie e primarie di velivoli ad
ala fissa e rotante, civili e militari.
3

A
A
B
C
Figura 32. 5 – Resistenze e rigidezze specifiche di
fibre di rinforzo e di leghe metalliche usate nelle
strutture aerospaziali
B
C

Figura 32. 4 – Comportamento qualitativo di
una lamina di materiale composito in una prova
di trazione uniassiale in diverse direzioni
A parte i limiti concernenti le temperature di utilizzo,
la realizzazione di laminati con rinforzo multidirezionali è il metodo più immediato per ovviare alla
limitatezza e alla sensibilità alle condizioni ambientali
delle proprietà meccaniche dominate dalla fase matrice.
Distribuendo opportunamente gli orientamenti delle
lamine è possibile, come sarà mostrato nel successivo
Cap. 33, realizzare un laminato che abbia, nel suo
piano, proprietà meccaniche quasi-isotrope e quindi
praticamente invarianti rispetto alla direzione delle
sollecitazioni. In tali condizioni le proprietà
meccaniche saranno dominate, essenzialmente, da
quelle delle fibre di rinforzo, predominanti sulla
matrice. A tali sequenze di laminazione si riferisce il
termine biaxially isotropic introdotto in Figura 32. 3.
Nel seguito del testo ci si riferirà a queste particolari
sequenze di laminazione come laminati quasi-isotropi.
Le considerazioni precedenti consentono di valutare il
grafico in Figura 32. 5, relativo al confronto fra
rigidezze e resistenze specifiche fra materiali compositi
e leghe metalliche. Nel grafico, mentre le leghe
metalliche sono rappresentate da singoli punti, i
materiali compositi sono individuati da linee continue
che mostrano la riduzione delle proprietà meccaniche
specifiche dai valori relativi ai sistemi di rinforzo
isolati, fino a quelli dei laminati quasi-isotropi,
passando per le lamine con rinforzo unidirezionale.
4
Come si può constatare, il passaggio dalle fibre isolate,
non sfruttabili come materiali strutturali, alle lamine
unidirezionali e a laminati con proprietà invarianti nel
proprio piano, riduce grandemente i vantaggi dei
compositi rispetto a quelli prospettati in Tabella 32. 1.
Si osservi, tuttavia, che i materiali compositi
mantengono, nel caso delle fibre arammidiche e del
carbonio, netti vantaggi rispetto alle leghe metalliche
anche nelle forme di laminati quasi-isotropi.
Va anche affermato che la necessità di evitare
configurazioni in cui la matrice sia lasciata sola a
sopportare i carichi, anche modesti, in particolari
direzioni, non comporta assolutamente il passaggio a
laminati quasi-isotropi. In molti casi, infatti, le fibre di
rinforzo potranno essere presenti in direzioni molteplici
senza essere equamente distribuite in modo da arrivare
alla quasi-isotropia del laminato. Tale considerazione
implica che le forme effettivamente utilizzate di
materiali compositi nelle strutture aerospaziali possano
presentare indici di merito situati fra i valori dei
laminati quasi-isotropi e delle lamine unidirezionali.
Da questo punto di vista, inoltre, i compositi possono
trarre il massimo vantaggio dalla sempre maggiore
capacità di previsione e di analisi delle condizioni di
sollecitazione, in termini di carichi applicati alla
struttura e di sforzi nel materiale, derivante
dall’impiego sempre più intensivo di procedure di
calcolo aerodinamico e strutturale assistito dal
calcolatore. La possibilità di individuare con precisione
carichi e sforzi permette di sfruttare al massimo la
direzionalità di questi materiali, distribuendo le
direzioni delle fibre di rinforzo in modo ottimale.
Secondo queste considerazioni, il grafico in Figura 32.
5 consente di concludere che l’utilizzo dei compositi
avanzati con matrice polimerica e rinforzi a fibre
lunghe permette ragionevolmente di ottenere rigidezze
e resistenze specifiche doppie rispetto a quelle delle
leghe metalliche. A conferma di tale considerazione,
secondo stime risalenti alla fine degli anni 90, il
risparmio ponderale ottenibile mediante l’utilizzo dei
materiali compositi è valutabile attorno al 10%, se i
compositi sono utilizzati per la realizzazione di
strutture secondarie, e fino al 30% nel caso di impiego
per strutture primarie.
Per quanto riguarda i costi derivanti dell’applicazione
dei compositi, un’analisi attenta e non semplicemente
limitata al costo del materiale, indica che le
considerazioni economiche non compromettono, anzi
in qualche caso esaltano, le potenzialità dei compositi.
Sebbene, infatti, il costo del materiale grezzo sia
elevato, la crescente diffusione dei compositi l’ha già
drasticamente ridotto da valori attorno a 700 $/kg, nei
primi anni ’70, fino a valori di 40$ /kg, aggiornati agli
anni ‘90. Il costo del materiale, inoltre, rappresenta
ovviamente una piccola parte del costo della
realizzazione strutturale. Per quanto riguarda gli altri
aspetti, i compositi sono avvantaggiati poiché fanno
uso di tecnologie che comportano basse temperature o
che riducono enormemente gli scarti rispetto a
tecnologie di grande utilizzo nelle costruzioni
metalliche. Sebbene i compositi prevedano cicli di
lavorazione abbastanza complessi e l’impiego di
personale altamente specializzato, va considerato che
permettono la realizzazione di strutture integrate con
meno giunzioni e minori costi di assemblaggio e che,
anche considerando costi delle attrezzature e di
formazione del personale, la crescente diffusione di
questi materiali comporta una inevitabile riduzione del
costo complessivo delle parti. Dal punto di vista
tecnologico, infatti, i compositi sono ormai giunti a
permettere, in alcuni casi come i pannelli con forme e
curvature di notevole complessità, riduzioni di costo
rispetto alle costruzioni in metallo.
I dati e le considerazioni presentati in questo paragrafo
giustificano le tendenze attuali dei grandi costruttori di
velivoli a investire sull’impiego crescente dei
compositi, in particolare su velivoli di grandi
dimensioni e su velivoli militari. In realtà, le
problematiche più serie dell’impiego di questi
materiali, sono da riferirsi alla scarsità delle proprietà
meccaniche nelle direzioni ortogonali ai piani dei
laminati. Infatti, a meno di ricorrere a costosissimi
sistemi di rinforzo con architettura tridimensionale, le
capacità di trasferire i carichi fra le lamine di un
laminato multi-direzionale rimangono limitate, poiché
tale trasferimento deve necessariamente avvenire
attraverso strati interlaminari, dove le fibre di rinforzo
sono assenti e la scarsa resistenza della matrice gioca
un ruolo determinante. La possibilità di insorgere di
danni, abitualmente definiti delaminazioni, in questi
strati interlaminari e la ridotta possibilità di individuarli
prima che si sviluppino fino a provocare cedimenti
catastrofici, costringe una notevole riduzione degli
sforzi massimi che, in fase di progetto, possono essere
considerati applicabili con sicurezza ai materiali
compositi e ostacola grandemente la possibilità di
sfruttarne appieno il grande potenziale.
32.3 Gli approcci allo studio e all’analisi
dei materiali compositi
parallelamente allo sviluppo degli approcci teorici e
delle procedure sperimentali per analizzare il
comportamento di questo tipo di materiali.
Da questo punto di vista, tre peculiarità dei materiali
compositi sono da evidenziare:
- i compositi sono materiali non-omogenei e
anisotropi, con proprietà dipendenti dalla
direzione del carico.
- I compositi permettono, a diversi livelli, di
progettare il materiale scegliendo, ad esempio,
le fasi costituenti, l’architettura del sistema di
rinforzo e le sequenze di laminazione.
- I compositi presentano molteplici modalità di
rottura e di comportamento anelastico,
difficilmente descrivibili da trattazioni
teoriche compatte ed essenziali, quali la
plasticità nei materiali metallici, e fortemente
dipendenti dalle condizioni ambientali.
A causa dell’intrinseca eterogeneità dei materiali
compositi, essi possono essere studiati da due diversi
punti di vista:
- il punto di vista micromeccanico, che analizza
l’interazione fra le fasi costituenti del composito su
scala microscopica, per determinare i loro effetti sulle
proprietà complessive del composito.
- il punto di vista macromeccanico, che presuppone
una omogeneizzazione del materiale, descritto come un
continuo omogeneo, marcatamente anisotropo, nel
quale gli effetti delle fasi costituenti si riflettono nelle
proprietà macroscopiche medie del materiale
composito. Questo punto di vista si adatta a
caratterizzare e descrivere il comportamento delle
singole lamine del composito.
Un ulteriore punto di vista, cui sarà espressamente
dedicato il Cap. 33, è lo studio del materiale composito
a livello del laminato. La laminazione, oltre a essere un
fondamentale processo tecnologico, consente di
progettare il materiale a livello superiore di quello della
lamina e rappresenta il livello al quale le potenzialità
dei compositi sono effettivamente sfruttate per la
realizzazione delle strutture aerospaziali.
Il presente capitolo è quindi dedicato ad approfondire i
primi due livelli, micromeccanico e macromeccanico
(o livello della lamina). Nel seguito del capitolo, il
livello macromeccanico sarà il primo a essere
considerato, poiché la lamina è effettivamente
l’elemento di base attorno al quale si focalizzano le
considerazioni in sede di progetto strutturale e di
realizzazione tecnologica.
I materiali compositi, a livello delle lamine, saranno
studiati
come
materiali
elastici
ortotropi.
Analogamente, le fasi costituenti saranno considerate
puramente elastiche nella parte del capitolo dedicata
all’approccio micromeccanico. L’assunzione di
comportamento
elastico
anisotropo
mette
a
disposizione gli strumenti per comprendere, analizzare
e prevedere le caratteristiche elastiche degli elementi in
materiale composito.
La diffusione dell’applicazione dei compositi a matrici
polimerica con rinforzi a fibre lunghe è cresciuta
5
Livello
micromeccanico
(costituenti e loro
interazione)
Livello
macromeccanico:
materiale
omogeneizzato (lamina)
ambito non-lineare (3) rappresentano tre fondamentali
motivi che impediscono di poter considerare l’analisi,
da sola, adeguata a valutare affidabilmente la resistenza
di elementi strutturali in composito.
L’approccio tipicamente seguito nelle costruzioni
aeronautiche in composito è il cosiddetto buildingblock approach che integra analisi e prove sperimentali
lungo il percorso mostrato in Figura 32. 7. L’approccio,
a partire dai più semplici provini di materiale,
considera elementi sempre più complessi fino ai
componenti di base del velivolo quali le ali, o gli
elementi di fusoliera.
Livello del
laminato:
sovrapposizione
di strati con
rinforzo multidirezionale
Figura 32. 6 – Livelli di analisi per le proprietà
di rigidezza degli elementi in materiale
composito
L’assunzione di comportamento elastico è in sostanza
valida, nelle proprietà dominate dalla fase fibre, fino
alla rottura, che avviene tipicamente in assenza di
grandi deviazioni dal comportamento lineare iniziale e
che comporta una totale perdità di capacità di
trasferimento di carico da parte del materiale. Questa
idealizzazione del processo di rottura è abbastanza
fedele alla realtà, sebbene i compositi con rinforzo in
fibre di vetro possano presentare evidenti deviazioni
dalla linearità a grandi deformazioni e debba essere
menzionata l’eccezione del peculiare comportamento a
compressione delle fibre arammidiche, caratterizzate
da un comportamento duttile. Questa idealizzazione
rimane tuttavia applicabile solo alle proprietà dominate
dalle fibre delle singole lamine, poiché la matrice e
l’interfaccia fibra-matrice presentano meccanismi di
cedimento diversi e, in alcuni casi, più progressivi, con
formazione di microcricche e di danni diffusi che
influenzano il comportamento macroscopico del
materiale in modi molto complessi. Nelle proprietà di
resistenza degli elementi strutturali in composito,
inoltre, la sensibilità dei laminati alle sollecitazioni
normali al loro piano, che devono essere trasferite
attraverso gli strati interlaminari, gioca un ruolo
determinante.
Solo da poco tempo si sta cercando di modellare questi
comportamenti e di integrarli in leggi costitutive nonlineari di notevole complessità e difficoltà di
calibrazione, da utilizzarsi nell’analisi strutturale
assistita dal calcolatore. Tuttavia, la possibilità di
prevedere con affidabilità la resistenza di un elemento
in materiale composito per via teorica (o numerica) è
ben lungi dall’essere considerata acquisita. In
conclusione la sensibilità alle
sollecitazioni
intralaminari (1), la molteplicità dei modi di cedimento
(2) e la mancanza di metodi di analisi consolidati in
6
Figura 32. 7 – Gerarchia delle prove
sperimentali nel building-block approach
L’approccio building-block è anche usato per
identificare, a livello dei provini semplici, dei fattori di
riduzione delle proprietà meccaniche associati a effetti
ambientali, assumendo che tali effetti possano essere
valutati sui test a basso livello e trasportati ai livelli di
maggiore complessità.
L’approccio si può suddividere nelle seguenti fasi:
- generazione di un data-base delle proprietà dei
materiali a livello di semplici provini.
- identificazione, mediante analisi strutturale
(tipicamente in ambito lineare) delle area
strutturali più critiche per ulteriori verifiche.
- Individuazione delle modalità di cedimento
più critiche per ogni area strutturale.
- Selezione delle condizioni che possono
produrre la modalità di cedimento più critica.
- Progettazione ed esecuzione di una serie di
prove sperimentali, corrispondenti alle aree
strutturali e alle modalità di cedimento più
critiche, con l’obiettivo di mettere a punto
modelli teorici e previsionali che, grazie alla
correlazione con i risultati sperimentali,
possano prevedere i comportamenti nonlineari e la resistenza.
-
-
Progettare ed eseguire prove in condizioni più
complicate, che prevedano molteplici
possibilità di cedimento, per valutare le
capacità di previsione degli approcci analitici.
Progettare sub-componenti e componenti,
introducendo i fattori di riduzione per gli
effetti ambientali, e condurre le prove di
validazione finale.
 xx   D11
  
 yy   D21
 zz   D31


 yz   D41
  zx   D51

 
 xy   D61
D12
D13
D14
D15
D22
D32
D42
D23
D33
D43
D24
D34
D44
D25
D35
D45
D52
D62
D53
D63
D54
D64
D55
D65
D16   xx 
 
D26   yy 
D36   zz 
 
D46   yz 
D56   zx 
 
D66   xy 
Eq. 32. 2
32.4 Legge Costitutiva elastica Ortotropa
32.4.1 Legame costitutivo elastico anisotropo e
simmetrie nel comportamento dei materiali
Come discusso nel precedente paragrafo, la legge
costitutiva elastica anisotropa svolge un ruolo
fondamentale nell’analisi e nella progettazione di
elementi in composito. Il paragrafo 3.4.1 ha presentato
il legame elastico per un materiale isotropo,
dimostrando, sulla base di considerazioni teoriche, che
tale legame dipende da due sole costanti indipendenti.
Adottando una notazione vettoriale per lo sforzo e la
deformazione, la matrice di cedevolezza per un
materiale isotropo, riportata in Eq. 32. 1 mostra come
non vi siano accoppiamenti tra l’applicazione di sforzi
normale e la nascita di deformazioni a taglio e
l’applicazione di componenti di taglio e la nascita di
scorrimenti a taglio in altre direzioni.
v
v
 1

 E  E  E 0 0 0


1
v
 xx   v

0 0 0   xx 
   E
E
E
  yy 
 yy   v


1
v

0 0 0   
 zz  


zz
E
E
E
 
  
1

 yz   0
0
0
0 0   yz 
G
 zx  
   zx 
1
  


0
0
0
0
0
 xy  
  xy 
G

1
0
0
0 0
 0

G

Eq. 32. 1
La matrice di rigidezza, per un materiale isotropo, ha
struttura analoga (vedi Eq. 3.129) e conferma l’assenza
di accoppiamenti fra estensioni-sforzi di taglio e fra
scorrimenti e sforzi di taglio non corrispondenti.
Come affermato nel par. 32.2 e qualitativamente
illustrato in Figura 32. 4, i materiali compositi con
rinforzo fibroso non sono isotropi, ma presentano un
comportamento meccanico dipendente dalla direzione
in cui sono sollecitati. Un comportamento di questo
tipo, in generale, è detto anisotropo e prevede,
potenzialmente, un legame completamente accoppiato
fra tutte le componenti di sforzo e deformazione.
Se il materiale è elastico, si osservi che è sempre
possibile introdurre un’energia di deformazione, che è
una funzione delle componenti di deformazione,
secondo la forma quadratica riportata in Eq. 32. 3.
   
 ij 
 ij 
   d     
T
0
T
Dd  
0
1
  T D  
2
Eq. 32. 3
In modo assolutamente analogo a quanto fatto per i
materiali isotropi, detti m ed n le posizioni delle
componenti di deformazione nella rappresentazione
vettoriale adottata, si ha, per l’uguaglianza delle
derivate delle funzione energia di deformazione:
  


 




n
 n
 Dmn  Dnm
Eq. 32. 4

 m
 

  m



L’Eq. 32. 4 indica che la matrice [D] è, anche nel
legame generalmente anisotropo, simmetrica e che
pertanto, è descritta, al massimo, da 21 costanti
indipendenti.
Esaminando i possibili legami fra componenti di sforzo
e deformazioni non corrispondenti (coniugati nella
definizione del lavoro e dell’energia di deformazione),
il legame anisotropo prevede alcuni accoppiamenti fra
le componenti di sforzo-deformazione che, a parte
quello fra allungamenti e sforzi normali in direzione
trasversale,
non
sono
affatto
previsti
nel
comportamento elastico isotropo. Tali accoppiamenti
sono evidenziati in Figura 32. 8.
7
Accoppiamento scorrimenti a
taglio – sforzi normali
Accoppiamento tra
allungamenti e sforzi
normali trasversali
 xx   D11
  
 yy   D21
 zz   D31


 yz   D41
  zx   D51
 

 xy   D61
D12
D13
D14
D15
D22
D23
D24
D25
D32
D33
D34
D35
D42
D52
D43
D53
D44
D54
D45
D55
D62
D63
D64
D65
D16   xx 
 
D26   yy 
D36   zz 
 
D46   yz 
D56   zx 
 
D66   xy 
Accoppiamento tra
scorrimenti e sforzi di
taglio in altre direzioni
Figura 32. 8 – Classificazione degli
accoppiamenti nel legame elastico anisotropo
In realtà, nei materiali compositi con rinforzo fibroso
sono individuabili delle simmetrie che semplificano
notevolmente il legame elastico, eliminando in parte o
totalmente gli accoppiamenti. I materiali, infatti,
possono presentare uno o più piani di simmetria
quando la loro struttura non varia se si considera una
trasformazione che inverte la posizione di ciò che sta
dalle due parti del piano. Una trasformazione di questo
tipo è descrivibile come l’applicazione di un operatore
di simmetria.
Ad esempio, la Figura 32. 9 mostra un materiale con un
piano di simmetria, poiché la sua struttura, disordinata
nel piano xy, è tuttavia invariante a un operatore di
simmetria che scambia ciò che si trova dalla parte
positiva dell’asse z con ciò che si trova dalla parte
negativa z. Il piano perpendicolare all’asse z, cioè il
piano xy, è dunque un piano di simmetria. Un materiale
con un piano di simmetria è detto monoclino.
una componente di sforzo e una componente di
deformazione risultano legati attraverso la legge
elastica anisotropa generale, definita in Eq. 32. 3, tale
legame dovrà essere compatibile con la situazione che
viene a crearsi applicando l’operatore di simmetria.
Si consideri, ad esempio, l’espressione del termine yz
in funzione delle deformazioni applicate. Se il termine
di rigidezza D41 non è nullo, l’applicazione di una
deformazione assiale xx al materiale, comporta la
nascita di uno sforzo yz = D41xx come mostrato in
Figura 32. 10-a. Per l’esistenza del piano di simmetria,
tale legame deve essere compatibile con la situazione
derivante dall’applicazione dell’operatore di simmetria
(cioè scambiando ciò che sta dalle due parti del piano
di simmetria). Tuttavia, in Figura 32. 10-b si osserva
che, applicando la simmetria, si ottiene uno sforzo
taglio in direzione opposta, mentre l’allungamento
rimane invariato. Pertanto deve valere anche la
relazione yz = -D41xx. Ciò comporta D41xx = -D41xx
che implica D41 =0.
In modo assolutamente analogo si può dimostrare che
D42 e D43 sono nulli.
La Figura 32. 11 si riferisce all’applicazione
dell’operatore di simmetria al caso in cui, applicando
yz,si ottenga un yz = D44yz. Il risultato ottenuto è
descrivibile con la relazione -yz = -D44yz, da cui si
deduce che D44 può essere non nullo. In questo caso,
dunque, l’accoppiamento è compatibile con l’esistenza
del piano di simmetria del materiale. Analogamente,
come mostrato in Figura 32. 12, il termine D45 è
anch’esso ammissibile per un materiale con un piano di
simmetria.
Si osservi, al contrario, il caso riportato in Figura 32.
13, relativa all’accoppiamento xy -yz. L’applicazione
dell’operatore di simmetria non cambia il verso della
componente di deformazione, mentre cambia quello
dello sforzo. Pertanto il termine di accoppiamento, D46,
deve essere nullo.
yz
yz
y
xx
x
xx
xx
A
yz
z
B
y
yz
x
z
Figura 32. 9 – Esempio di materiale con un
piano di simmetria
Se il materiale ha un piano di simmetria, anche la legge
costitutiva deve rispettare la simmetria. Pertanto, se
8
Figura 32. 10 – Applicazione dell’operatore di
simmetria a un materiale monoclino per
l’accoppiamento xx-yz
yz
yz
Applicando l’operatore di simmetria in modo analogo
ad altri casi, si giunge all’espressione riportata in Eq.
32. 5, che mostra come, considerando la simmetria
della matrice [D], un materiale monoclino ha solo 13
costanti elastiche indipendenti.
yz
yz
z
B
A
yz
yz
yz
z
yz
y
 xx   D11
  
 yy   D21
 zz   D31


 yz   0
  zx   0
 

 xy   D61
Eq. 32. 5
D12
D13
0
0
D22
D23
D32
D33
0
0
D44
0
0
D45
D54
D55
0
0
0
0
0
D62
0
D63
D16   xx 
 
D26   yy 
D36   zz 
 
0   yz 
0   zx 
 
D66   xy 
x
Figura 32. 11 - Applicazione dell’operatore di
l’accoppiamento yz -yz
yz
yz
zx
zx
z
I materiali compositi con rinforzo fibroso, oggetto del
presente capitolo, presentano, in effetti, più di un piano
di simmetria. Infatti, per i compositi con rinforzo
unidirezionale è possibile individuare almeno tre piani
di simmetria, fra loro mutuamente ortogonali, come è
evidenziato in Figura 32. 14-a. Trascurando la
curvatura dei filati di trama e ordito, è anche possibile
assumere tre piani di simmetria mutuamente ortogonali
per i tessuti, come mostrato in Figura 32. 14-b.
z
A
y
A
zx
zx
x
B
z
B
z
yz
yz
z
y
y
x
x
l’accoppiamento zx -yz
yz
yz
z
xy
xy
xy
xy
B
A
yz
z
yz
y
Figura 32. 14 – Piani a assi di simmetria nei
compositi unidirezionali (A) e tessuti (B)
I materiali che presentano tre piani di simmetria fra
loro ortogonali sono detti ortotropi e, in base a
ragionamenti analoghi a quelli seguiti per il materiale
monoclino, si dimostra che devono seguire il legame
espresso in Eq. 32. 6, con solo 9 costanti indipendenti.
 xx   D11
  
 yy   D21
 zz   D31


 yz   0
  zx   0
 

 xy   0
Eq. 32. 6
D12
D13
D22
D23
D32
D33
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
D44
0
0
0
D55
0
0
0   xx 
 
0   yy 
0   zz 
 
0   yz 
0   zx 
 
D66   xy 
z
x
l’accoppiamento xy -yz
Il legame costitutivo ortrotropo presenta, dunque, lo
stesso tipo di accoppiamenti esistenti per un materiale
isotropo. In particolare, solo l’accoppiamento fra gli
allungamenti e gli sforzi ad essi trasversali è
compatibile con l’esistenza dei tre piani di simmetria.
9
La differenza con i materiali isotropi, consiste
unicamente nella differenza fra le proprietà nelle
diverse direzioni.
32.4.2 Significato delle costanti ingegneristiche nelle
legame costitutivo elastico ortotropo
I piani di simmetria presenti nei materiali ortotropi
consentono di definire un sistema di assi di riferimento,
perpendicolari ai piani di simmetria stessi, che sono
definiti direzioni principali del materiale o assi
materiale o assi lamina.
Per le lamine di composito unidirezionale è abituale
considerare:
- il primo asse materiale (asse x) nella direzione delle
fibre di rinforzo;
- il secondo asse materiale (asse y) nel piano della
lamina, perpendicolarmente alla direzione delle fibre;
- il terzo asse materiale (asse z), perpendicolare al
piano della lamina, nella direzione dello spessore.
Per i tessuti, analogamente si considera:
- il primo asse materiale (asse x) nella direzione delle
fibre di rinforzo della trama;
- il secondo asse materiale (asse y) nella direzione delle
fibre di rinforzo dell’ordito;
- il terzo asse materiale (asse z), perpendicolare al
piano della lamina, nella direzione dello spessore.
La legge costitutiva ortotropa prevede un ben
determinato comportamento in prove uniassiali,
caratterizzate dall’applicazione di una sola componente
di sforzo non nulla al materiale.
La Figura 32. 15 si riferisce all’applicazione di uno
sforzo in direzione xx a un materiale ortotropo. Si avrà
un allungamento in direzione xx proporzionale al
carico. La costante di proporzionalità è il modulo
elastico nella direzione x, indicato con Ex.
A causa dell’accoppiamento fra sforzi e allungamenti
trasversali, nascono delle contrazioni nelle direzioni y e
z. Si definiscono i coefficienti di Poisson, vyx e vzx, che
sono gli opposti dei rapporti fra la deformazione nella
direzione di applicazione del carico e le contrazioni
trasversali. Nel materiale ortotropo, a differenza del
caso isotropo, tali coefficienti non sono, in generale,
uguali fra di loro.
z
y
zz=-vzxxx
x
xx
yy=-vyxxx
xx
yy=-vyxxx
zz=-vzxxx
Figura 32. 15 – Applicazione di uno stato di
sforzo uniassiale a un materiale ortotropo
Considerando l’applicazione di uno sforzo uniassiale
nelle altre direzioni si ottengono situazioni analoghe,
che permettono di definire i moduli elastici trasversali
10
 1

 Ex
  v yx
 xx   E
   x
 yy    v zx
 zz   E
  x
 yz   0
 zx  
  
 xy   0


 0


 v xy
Ey
1
Ey
 v zy
 v xz
Ez
 v yz
0
0
0
0
0
0
Ey
Ez
1
Ez
0
0
1
G yz
0
0
0
0
1
Gzx
0
0
0
0

0 


0   
xx



  yy 
0   
  zz 
  yz 
0 
 
  zx 
 
0   xy 

1 
G xy 
Eq. 32. 7
Per la simmetria della matrice di cedevolezza, che
consegue da quella della matrice di rigidezza o può
essere direttamente dimostrata dall’esistenza del
potenziale elastico, si hanno seguenti relazioni:
v yx
Ex

v xy
Ey
;
v zx v zx

;
Ex Ex
v zy
Ey

v zy
Ez
Eq. 32. 8
L’inversione della matrice di cedevolezza porta alla
matrice di rigidezza
xx
xx
Ey e Ez. Come regola generale, adottata in questo testo,
il coefficiente di Poisson vij definisce la contrazione in
direzione i per l’applicazione di uno sforzo in direzione
j. Si osservi, tuttavia, che tale convenzione non è
universalmente seguita e che, in molti casi, si adotta
una convenzione opposta. La possibile ambiguità
nell’interpretazione dei coefficienti di Poisson, è una
delle più comuni cause d’errore nell’applicazione del
legame elastico ortotropo.
Applicando uno sforzo di taglio, la forma del legame
elastico ortotropo indica che si potrà sviluppare solo la
componente di deformazione corrispondente e
coniugata. Si definiscono, pertanto, i moduli di
rigidezza a taglio Gyz, Gzx e Gxy, che legano lo
scorrimento allo sforzo di taglio corrispondente.
La matrice di cedevolezza del materiale ortotropo
elastico, che rappresenta il generico composito ha
quindi la forma riportata in Eq. 32. 7.
 1  v yz v zy

 E y Ez 
 v xy  v zy v xz

 Ex Ez 
D    v xz  v xy v yz
 E E 
x y

0


0

0

Eq. 32. 9
dove:
v yx  v zx v yz
v xz  v yx v zy
E y Ez 
1  v xz v zx
Ex Ez 
v yz  v yx v xz
E y Ez 
v zy  v xy v zx
Ex E y 
0
0
0
Ex E y 
0
0
0
Ex Ez 
1  v xy v yx
0
0
0
0
0
0
G yz
0
0
0
G zx
0

0 


0 


0 

0 
0 
G xy 

1  v xy v yx  v yz v zy  v zx v xz  2v yx v zy v xz
ad uno degli assi materiali si definisce trasversalmente
isotropo.
Ex E y Ez
Nei materiali isotropi, si è visto nel cap. 3 che alcune
considerazioni energetiche pongono dei vincoli precisi
alle due costanti ingegneristiche E e v che
caratterizzano il legame. Nel par. 3.4.1 si è infatti
dimostrato che:
t
E 0
 1  v  0.5
Eq. 32. 10
x,a
Nei materiali ortotropi, le considerazioni energetiche
portano a relazioni diverse e più complesse. E’
richiesto innanzitutto che i moduli di Young nelle
diverse direzioni e i moduli di rigidezza a taglio siano
positivi:
E x , E y , E x , G yz , G zx , G xy  0
Eq. 32. 11
I coefficienti di Poisson devono inoltre soddisfare le
seguenti disequazioni:
1  v

v
yz zy
  0; 1  v
v
xz zx
  0; 1  v xy v yx   0
1  v xy v yx  v yz v zy  v zx v xz  2v yx v zy v xz
Ex E y Ez
0
Figura 32. 16 – Piani di simmetria in un
materiale trasversalmente isotropo
Con riferimento alle costanti ingegneristiche del
materiale ortotropo, l’isotropia trasversale implica
l’equivalenza delle proprietà nelle due direzioni
principali del materiale perpendicolari alla direzione di
rinforzo, y e z. Si possono anche definire nuove
notazioni per gli assi indicando con l’indice a la
direzione del rinforzo e con l’indice t la generica
direzione perpendicolare ad esso. Valgono pertanto le
seguenti relazioni:
E y  E z  Et
vzx  v yx  vta
Gzx  Gxy  Gta
Eq. 32. 14
Eq. 32. 12
Infine, devono valere le seguenti limitazioni fra i
moduli dei coefficienti di Poisson ed i moduli di
Young.
Per l’isotropia trasversale, inoltre, è possibile stabilire
una relazione analoga quella dei materiali isotropi fra
Et = Ey = Ez, Gt = Gyz e vt = vxyz:
Gt  G yz 

Ey
2 1  v yz


Et
21  vt 
v yx 
Ey
;
v zy 
Ez
;
Ey
v xz 
Ex
Ez
Eq. 32. 15
v xy 
Ex
;
Ey
v yz 
Ey
v zx 
Ez
Ex
La matrice di cedevolezza per un materiale
trasversalmente isotropo ha dunque la forma:
Ex
Ez
;
Eq. 32. 13
Si osservi, che in base alle Eq. 32. 13 i coefficienti di
Poisson possono raggiungere, nei materiali ortotropi
valori molto elevati o estremamente bassi. Ad esempio,
se consideriamo una lamina unidirezionale in carbonio
con Ex = 120 GPa e Ey = 10 GPa, si ha |vxy| < 3.46.
32.4.3 Ipotesi di isotropia trasversale
I materiali compositi ottenuti da lamine con rinforzo
unidirezionali si possono ritenere caratterizzati da un
livello di simmetria superiore all’ortotropia. E’ infatti
possibile osservare che tutti i piani paralleli alle
direzioni di rinforzo sono di simmetria per il materiale,
come illustrato in Figura 32. 16. Un materiale di questo
tipo, ortrotropo e con infiniti piani di simmetria attorno
 1
 E
 a
  vta
 xx  
   Ea
 yy    vta
 zz   Ea
 
 yz   0
 zx  
  
 xy   0

 0

 vat
Et
1
Et
 vt
Et
 vat
Et
 vt
Et
1
Et
0
0
0
0
0
0
0
0
21  vt 
Et
0
0
0
0
1
Gta
0
0
0
0

0 

0   xx 

  yy 


0 



zz

  yz 

0 
   zx 


0   xy 

1 
Gta 
Eq. 32. 16
11
L’Eq. 32. 16, unitamente alla simmetria della matrice
di cedevolezza, implica che, per la caratterizzazione di
un materiale trasversalmente isotropo sono necessarie
solo 5 costanti indipendenti: Ea, Et, Gta, vta, vt.
L’isotropia trasversale, come del resto l’ortotropia, è
una assunzione che non tiene conto di possibili
disomogeneità nella struttura del materiale e di
possibili disallineamenti. E’ tuttavia di particolare
utilità per stimare le proprietà del composito fuori dal
piano delle lamine (Ez, vzx, vzy, Gyz, Gxz) che sono di
difficile determinazione e che possono venire
ricondotte, quasi completamente, a proprietà misurabili
con l’applicazione di stati di sforzo nel piano delle
lamine.
Per i tessuti l’ipotesi di isotropia trasversale non è
applicabile. Nel caso in cui il rinforzo sia equamente
distribuito fra trame e ordito è possibile, tuttavia,
ritenere equivalenti queste due le direzioni. Si riduce
anche in questo caso il numero delle costanti da
misurare per identificare i parametri elastici del
materiale. L’ipotesi di equivalenza fra trama e ordito
porta alle semplificazioni:
Ex  E y
Gzx  G yz
v zx  v yz
Eq. 32. 17
Si osservi comunque che, soprattutto nel caso dei
tessuti, la curvatura dei filati può indurre sensibili
differenze (fino al 10%) fra il modulo elastico nelle
direzioni dei rinforzo a trazione e compressione,
contraddicendo l’assunzione di comportamento elastico
lineare.
32.4.4 Legge elastica ortotropa per stati di sforzo
piano
Le lamine di un materiale composito possono essere
soggette a stati di sforzo con componenti agenti nel
loro piano o fuori dal loro piano, descritti in Figura 32.
17.
z
y
yx
x
xx
yy
xy
zz
Figura 32. 17 – Componenti di sforzo nel piano
(A) e fuori dal piano (B) in una lamina di
composito
I laminati sono in generale elementi con spessori molto
piccoli rispetto alle dimensioni in pianta. I carichi
trasversali applicati al laminato hanno a disposizione
aree resistenti molto grandi. D’altre parte, se caricati
trasversalmente, sulle facce aventi normali in direzione
dell’asse z, i laminati si flettono e la flessione origina
uno stato di sforzo nel piano delle lamine. Tali sforzi
devono equilibrare i momenti dei carichi esterni con
bracci limitati, con ordine di grandezza pari allo
spessore del laminato stesso. In tali condizioni, gli stati
di sforzo nel piano governano la rigidezza e la
resistenza dei laminati. L’analisi dello stato di sforzo di
un laminato in composito di piccolo-medio spessore,
pertanto, si può inizialmente focalizzare sugli stati di
sforzo piani. Infatti, prima che le componenti di sforzo
fuori dal piano possano raggiungere valori tali da
influenzare significativamente gli spostamenti o la
possibilità di rottura del laminato, le deflessioni o gli
sforzi di origine flessionale sono verosimilmente giunti
a livelli non accettabili.
Deve essere rilevato, tuttavia, che le componenti di
sforzo fuori dal piano agiscono negli strati
interlaminari. Tali strati sono già stati identificati, al
termine del paragrafo 32.2, come critici dal punto di
vista della resistenza del laminato in composito, poiché
hanno livelli di resistenza particolarmente bassi. Di
conseguenza, nel caso di laminati spessi, che possono
sostenere la flessione originata da carichi trasversali
elevati, di carichi trasversali molto concentrati o di
concentrazioni di sforzo dovuti a variazione di
geometrie, a curvature, o all’interruzione di lamine, gli
sforzi fuori dal piano non possono trascurati
nell’analisi della resistenza del laminato.
Rimanendo nell’ambito dei laminati di piccolo-medio
spessore, con basse curvature e limitate concentrazioni
di sforzo trasversale, il comportamento del laminato è
approssimato con sufficiente accuratezza considerando
solo stati di sforzo piani.
La legge costitutiva che lega tali stati di sforzo alle
corrispondenti deformazioni nel piano è, in termini di
legame diretto fra sforzi applicati e deformazioni,
espressa in Eq. 32. 18.
 v xy
 1

0 

E
Ey
  xx 
 xx   x

v

   yx

1
0   yy 
 yy   
E
E
y
   x
  
 xy  
1   xy 
0
 0
G xy 

Eq. 32. 18
zx
xz
12
zx
yz
La matrice di flessibilità nel piano della lamina
ortotropa è definita in Eq. 32. 19.
 1

 Ex
  v yx
S
 Ex

 0

Eq. 32. 19
 v xy
Ey
1
Ey
0

0 


0 

1 
Gxy 
z, Z
y
X


v yx E y
 1  v xy v yx 
Ey
 1  v xy v yx 
0
Y
x
Invertendo tale matrice si definisce la matrice di
rigidezza Q le cui componenti, in funzione delle
costanti di rigidezza ingegneristiche sono esplicitate in
Eq. 32. 20.

Ex

 1  v xy v yx
 v xy E x
Q
 1  v xy v yx

0


Eq. 32. 20

0 


0 

G xy 


Le matrici di flessibilità e rigidezza delle lamine
ortotrope nel piano risultano pertanto definite da 4
costanti ingegneristiche indipendenti: Ex, Ey, vxy e Gxy.
Per la simmetria delle matrici, infatti, il coefficiente di
Poisson vyx può essere ottenuto conoscendo Ex, Ey e vxy,
come indicato nella prima relazione in Eq. 32. 8.
Y
x
y

X
Figura 32. 18 – Rotazione del sistema di
riferimento nel piano della lamina
La regola di trasformazione delle componenti del
tensore degli sforzi per la generica rotazione del
sistema di riferimento, espressa nell’Eq. 3.84 del cap.
3, può essere riscritta per le componenti piane di sforzo
nel caso di rotazione nel piano, in forma matriciale:
2
 XX   cos 

 
2
  YY    sin 
  sin  cos
 XY  
 2 sin  cos   xx 


cos 2 
2 sin  cos    yy 
 sin  cos  cos 2   sin 2    xy 

sin 2 
Eq. 32. 21
32.4.5 Variazione delle proprietà elastiche con la
rotazione del sistema di riferimento
I legami sforzo-deformazione per lo stato di sforzo
piano, descritti nel par. 32.4.4 sono validi in un sistema
di riferimento in assi lamina. Le constanti
ingegneristiche Ex, Ey, Gxy rappresentano la rigidezza,
cioè la pendenza della curva sforzi-deformazioni, in
stato di trazione-compressione uniassiale o di puro
taglio, se tali componenti di sforzo sono espresse in
assi materiale, come indicato dall’ Eq. 32. 18.
Applicando le regole di trasformazione di coordinate
per le componenti dei tensori di sforzo e deformazione
è possibile mostrare che le matrici di flessibilità e
rigidezza, definite in Eq. 32. 19 e Eq. 32. 20,
consentono di individuare le rigidezze della lamina
quando questa è sollecitata in direzioni diverse da
quelle corrispondenti agli assi materiale. In generale è
anzi possibile descrivere completamente il legame
sforzi-deformazioni in un generico sistema di
riferimento, ruotato di un angolo  nel piano della
lamina rispetto agli assi materiale.
Con riferimento alla Figura 32. 18, siano X e Y nuovi
assi di riferimento, ruotati rispetto agli assi materiale,
attorno a un asse normale al piano della lamina.
L’angolo di rotazione, , sia misurato, in senso
antiorario, dal nuovo asse X all’asse materiale x.
La matrice introdotta in Eq. 32. 21, dipendente
dall’angolo  è definita come l’inversa della matrice di
rotazione [T], riportata in Eq. 32. 22.
 cos 2 
sin 2 
2 sin  cos  


2
2
 2 sin  cos  
[T ]   sin 
cos 
 sin  cos  sin  cos  cos 2   sin 2  


Eq. 32. 22
La legge di trasformazione dalle vecchie componenti in
assi materiale alle nuove componenti in assi X e Y è
quindi esprimibile nella seguente forma:
 xx 
 XX 



1 
  YY   T   yy 
 
 
 XY 
 xy 
Eq. 32. 23
Poiché le regole di trasformazioni sono valide per il
generico tensore, anche le componenti del tensore di
deformazione ruotano applicando la matrice [T], ma è
necessario ricordare che le vere componenti del tensore
non comprendono lo scorrimento xy, ma la
deformazione ad indici misti xy = xy/2. Pertanto la
legge di rotazione per le deformazioni prescrive:
13

 XX

  YY
  XY

 2

2
  cos 
 
2
   sin 
 sin  cos
 


  XX

   YY
  XY

 2


 2 sin  cos    xx 


cos 2 
2 sin  cos    yy 
 sin  cos  cos 2   sin 2     xy 


 2 
sin 2 



  xx 



1 
  T    yy 

  xy 




 2 
Eq. 32. 24
Per permettere l’utilizzo della notazione vettoriale
comprendente lo scorrimento xy o, in coordinate
trasformate, XY, è possibile introdurre una semplice
matrice di trasformazione [R]:
Partendo dalla trasformazione delle componenti di
sforzo, sostituendo il legame esrpresso in Eq. 32. 27 e
applicando la legge di trasformazione per le
deformazioni si ottiene:
 xx 
 xx 
 XX 
 



1 
1
  YY   [T ]  yy   [T ] Q  yy  
 
 
 
 XY 
 xy 
 xy 
 XX 

1
1 
 T  Q R T R    YY 
 
 XY 
Eq. 32. 28
Poiché è possibile dimostrare che:
RT R1  T T




  xx  1 0 0   xx 
 xx 

 

 

 yy   [ R]  yy   0 1 0   yy 
 
  xy  0 0 2   xy 

 xy 

 

 2 
 2 

 XX 
 XX



  YY   [ R ]  YY
 
  XY
 XY 

 2



 1 0 0  XX 
 


  0 1 0   YY 
 0 0 2   XY 

 


 2 
Eq. 32. 25
L’utilizzo della matrice [R] consente di formulare le
seguenti leggi di trasformazione per i vettori
deformazione, quando questi siano espressi con le
componenti ingegneristiche:



  xx 
 xx 




1 
1
1 
  [ R][T ]   yy   [ R][T ] [ R]  yy 

  xy 
 
 xy 




 2 
 2 

 XX 
  XX



  YY   [ R]  YY
 
  XY
 XY 



  xx 
 xx 
  XX


 

 yy   [ R]  yy   [ R][T ]  YY
 
  xy 
  XY
 xy 



 2
 2 

 XX 



1 
  [ R][T ][ R]   YY 

 
 XY 


Eq. 32. 26
Avendo a disposizione le leggi trasformazione del
vettore delle componenti di sforzo e di deformazione è
possibile ricavare il legame elastico ortotropo nei nuovi
assi, a partire dal legame in assi materiale:
 xx 
 xx 
 
 
 yy   Q  yy 
 
 
 xy 
 xy 
Eq. 32. 27
14
Eq. 32. 29
dove l’apice “T” indica l’operazione di trasposizione, la
rotazione di coordinate trasforma il legame elastico
nella seguente forma:
 XX 
 XX 



1
T 







T
Q
T
 YY 
  YY 
 
 
 XY 
 XY 
Eq. 32. 30
L’Eq. 32. 30 consente di definire la matrice di
rigidezza ruotata del materiale elastico ortotropo.
Q11 Q12

Q  Q21 Q22
Q61 Q62

 
Q16 

Q26   T 1 Q T T
Q66 
Eq. 32. 31
 
Gli indici utilizzati per le componenti di Q , (1,2,6), si
riferiscono alla posizione delle corrispondenti
componenti di sforzo e deformazione nel legame
completo, in presenza di sforzi nel piano e fuori dal
piano.
Invertendo la matrice Q si ottiene la matrice di
 

flessibilità S , in coordinate ruotate:
S   Q 1  T T Q1T   T T S T 
 S11

S   S 21
 S 61


S12
S 22
S 62
S16 

S 26 
S 66 
Eq. 32. 32
Le matrici di rigidezza e flessibilità in coordinate
ruotate esprimono il legame sforzi-deformazioni nel
nuovo sistema di riferimento:
 XX 


  YY   Q
 
 XY 
Eq. 32. 33
 XX 


  YY  ;
 
 XY 
 
 XX 
 XX 




  YY   S   YY 
 
 
 XY 
 XY 

In base al legame espresso in Eq. 32. 33 e alla forma
della matrice di flessibilità indicata in Eq. 32. 32,
l’applicazione di sforzi assiali in direzione X e Y
provoca deformazioni assiali in direzioni X e Y che
possono essere caratterizzate da rigidezze EX e EY e da
coefficienti di Poisson vXY e vYX. Tali rigidezze possono
essere messe in relazione con i termini della matrice di
flessibilità come riportato in Eq. 32. 34, dove si è anche
considerato che, per l’esistenza del potenziale elastico,
le matrici di flessibilità (e rigidezza) devono comunque
essere simmetriche anche in coordinate ruotate.
S11 
1
EX
vYX
 S12
EX
Eq. 32. 34
S 21  
v XY
 S 21
EY
1
S 22 
EY
S12  
Analogamente, è possibile definire un modulo di
rigidezza a taglio GXY in coordinate ruotate, tale che:
1
S 66 
G XY
Eq. 32. 35
Tuttavia, a differenza di quanto accade nel sistema di
riferimento degli assi lamina, le matrici nel generico
sistema di riferimento possono essere piene. In
generale sono pertanto presenti degli accoppiamenti fra
sforzi assiali e deformazioni a taglio (e viceversa) che
le simmetrie del materiale ortotropo avevano permesso
di escludere, in assi materiale, in base alle
considerazioni riportate nel par. 32.4.1.
Per caratterizzare tali accoppiamenti, si possono
introdurre i quattro coefficienti di mutua influenza XXY, XY-X, Y-XY e XY-Y con espressione:
 XX
 XY

 XY  X  XY
 XX
 YY
Y  XY 
 XY

 XY Y  XY
 YY
 X  XY 
Eq. 32. 36
I due coefficienti X-XY e Y-XY si riferiscono,
rispettivamente, alla deformazione assiale in direzione
X e Y dovuta a uno sforzo di taglio, che provoca uno
scorrimento XY. Viceversa, i due coefficienti XY-X e
XY-Y caratterizzano lo scorrimento XY rispettivamente
originato da sforzi assiali tali da produrre deformazioni
XX e YY nelle direzioni di applicazione dello sforzo.
Con l’introduzione dei coefficienti di mutua influenza,
i termini che introducono gli accoppiamenti fra
deformazioni assiali e sforzi di taglio della matrice di
flessibilità possono essere espressi nel modo seguente:
S16 
S 26 
 X  XY
G XY
Y  XY
G XY
Eq. 32. 37
 S 61 
 S 61 
 XY  X
E XX
 XY Y
EYY
In base alle leggi di trasformazioni indicate in Eq. 32.
32, alla definizione della matrice [T] in Eq. 32. 22 e ai
legami riportati in Eq. 32. 34, Eq. 32. 35 e Eq. 32. 37,
si possono ricavare le espressioni per le rigidezze e i
coefficienti di Poisson nel generico sistema di
riferimento, in funzione delle proprietà del materiale in
assi lamina:
 1
2v xy  2
1
1
 sin  cos 2   1 sin 4 


cos 4   

E X Ex
E x 
Ex
 G xy
 v xy
v XY  E X 
sin 4   cos 4  
 Ex



 1
1
1  2



sin  cos 2  
 E x E y G xy 



 1
2v xy  2
1
1
 sin  cos 2   1 sin 4 


sin 4   


EY E x
G
E
EY
xy
x


 2
1
2 4v xy
1  2
 2



sin  cos 2  
 Ex E y

G XY
E
G
x
xy 

1
sin 4   cos 4 
G xy


Eq. 32. 38
32.4.5 Variazione delle proprietà elastiche con la
direzione nel piano delle lamine per alcuni materiali
L’Eq. 32. 38 consente di valutare come le rigidezze
estensionali e a taglio ed i coefficienti di Poisson
variano nel piano della lamina ortotropa. Gli
andamenti, anche dal punto di vista qualitativo,
dipendono dal tipo di materiale preso in
considerazione. Per tale motivo si considereranno i
valori tipici di tre tipi di materiali compositi con
rinforzo a fibre continue: un unidirezionale in carbonio
(alta resistenza), un tessuto in carbonio (alta resistenza)
e un unidirezionale in fibra di vetro S. Le costanti
ingegneristiche considerate per tali materiali sono
riportate in
Tabella 32. 2. I valori sono rappresentativi di materiali
compositi a matrice epossidica utilizzati nell’industria
aerospaziale. Si osservi come l’unidirezionale in fibra
15
di carbonio presenta il valore massimo di modulo
elastico nella direzione delle fibre di rinforzo e un
coefficiente di Poisson simile a quello dei materiali
isotropi metallici. Il modulo elastico nella direzione
perpendicolare alle fibre e il modulo di rigidezza a
taglio sono molto inferiori. Per l’unidirezionale in fibra
di vetro, la rigidezza nella direzione delle fibre di
rinforzo è molto minore rispetto a quella del materiale
con rinforzo in carbonio. Anche in questo caso,
comunque,
la
rigidezza
nella
direzionale
perpendicolare alle fibre e la rigidezza a taglio è
sensibilmente inferiore. Il paragrafo successivo,
dedicato alla stima delle caratteristiche del composito
dalle proprietà delle fasi costituenti, giustificherà i
motivi di queste differenze.
Il tessuto con rinforzo in fibra di carbonio presenta un
modulo elastico minore della metà dell’unidirezionale
in carbonio. In un materiale di questo tipo, infatti, metà
delle fibre è orientata in una direzione e metà nell’altra.
Inoltre, l’architettura della lamina richiede di abbassare
il contenuto totale delle fibre rispetto ai livelli
raggiungibili negli unidirezionali, per permettere alla
matrice di bagnare tutte le fibre e ottenere un materiale
compatto e senza porosità. Il tessuto, comunque,
presenta l’evidente vantaggio di possedere due
direzioni a elevata rigidezza, mentre il modulo di
rigidezza a taglio rimane comunque basso. Il
coefficiente di Poisson è molto piccolo: infatti,
sollecitando il materiale a trazione in una direzione di
rinforzo, le fibre nell’altra direzione si oppongono con
la loro rigidezza elevata alla contrazione. Per questo
motivo le deformazioni trasversali sono molto limitate
ed i coefficienti di Poisson piccoli e sensibilmente
differenti da quelli dei materiali isotropi di comune
utilizzo strutturale.
per i moduli EYY sono immediatamente ricavabili
considerando un angolo ’=90-.
Figura 32. 19 – Andamento del modulo elastico
EXX con la direzione del piano della lamina
La Figura 32. 20 riporta il risultato dell’applicazione
dell’ultima relazione in Eq. 32. 38, relativa ai moduli di
rigidezza a taglio, ai tre materiali considerati. I valori
massimi per il modulo di rigidezza a taglio si ottengono
sempre in prossimità di =45°, poiché, per tale
direzione, è massimo il contributo delle fibre alla
rigidezza a taglio. Nel tessuto, che presenta fibre in due
direzioni, l’effetto è amplificato e le rigidezze a taglio
ottenute sono molto elevate. Si osservi, tuttavia, che
questo effetto è ottenibile anche avendo a disposizione
due lamine unidirezionali, sovrapposte con direzioni
+45° e -45° rispetto al sistema di riferimento
considerato.
Tabella 32. 2 – Proprietà tipiche di lamine con
rinforzo a fibre continue e matrice epossidica
Fibre di
rinforzo
Carbonio
(alta
resistenza)
Carbonio
(alta
resistenza)
Vetro S
Struttura
lamina
Exx
(MPa)
Eyy
(MPa)
Gxy
(MPa)
vyx
(-)
UD
150000
10000
4500
0.3
Tessuto
60000
60000
4500
0.05
UD
46000
13000
5000
0.24
L’applicazione della prima delle relazioni in Eq. 32. 38
ai tre materiali considerati in Tabella 32. 2, consente di
ottenere il grafico riportato in Figura 32. 19.
Si osservi come il modulo elastico decresca abbastanza
rapidamente con allontanandosi dalla direzione di
rinforzo. Per gli unidirezionali il modulo raggiunge
valori prossimi a quelli di Eyy già con angoli di
40°50°. Per =90° le direzioni x e y si scambiano ed
il modulo EXX tende al modulo Eyy che caratterizza le
direzione perpendicolare alle fibre. Il modulo di
rigidezza del tessuto raggiunge un minimo in
corrispondenza di 45° per poi risalire, a causa della
presenza delle fibre nell’altra direzione. Gli andamenti
16
Figura 32. 20 – Andamento del modulo di
rigidezza a taglio GXY con la direzione del piano
della lamina
Infine, la Figura 32. 21 indica l’andamento con la
direzione del coefficiente di Poisson, cioè del rapporto
fra la contrazione in direzione Y causata
dall’applicazione di un carico in direzione X. Il grafico
è ottenuto applicando la seconda relazione in in Eq. 32.
38 ai tre materiali considerati. E’ evidente la notevole
variabilità dei coefficienti, in particolare per il tessuto
che può raggiungere, come anticipato al par. 32.4.2,
valori superiori a 0.5.
Figura 32. 21 – Andamento del coefficiente di
Poisson vYX con la direzione nel piano della
lamina
32.5 Approccio micromeccanico alla rigidezza dei
materiali compositi
32.5.1 Introduzione all’approccio micromeccanico
Nei precedenti paragrafi la lamina di materiale
composito è stata considerata un materiale omogeneo e
ortotropo. Tale approccio ha permesso di sviluppare
formulazioni analitiche che consentono di modellare le
caratteristiche meccaniche della lamina in ambito
lineare ed elastico. L’omogeneità comporta che le
proprietà elastiche del composito non sono state
considerabili variabili da punto a punto ma costanti nel
volume occupato dal materiale. L’ortotropia, un caso
speciale di anisotropia, conferisce al materiale
composito una variazione delle proprietà elastiche con
la direzione considerata: il materiale, sempre
omogeneo, potrà essere più rigido in una direzione
piuttosto che in un'altra. In realtà, l’ortotropia dei
materiali compositi è originata dalla presenza delle
fibre e, in ultima analisi, dalla disomogeneità del
materiale. Se, tuttavia, il materiale è descritto a una
scala strutturale sufficientemente grande, gli effetti
della disomogeneità sulla rigidezza potranno essere
completamente compresi in un modello di materiale
elastico-lineare ortotropo. Tale operazione è definita
omogeneizzazione del materiale e si basa,
formalmente, sull’individuazione di un legame fra gli
sforzi e le deformazioni medi, agenti in volume
disomogeneo di materiale.
L’omogeneizzazione traduce la presenza delle fibre
negli elevati coefficienti di rigidezza nelle direzioni di
rinforzo e descrive le limitate proprietà della fase
matrice mediante i relativamente bassi valori di
rigidezza nelle direzioni trasversali e taglio. Il modello
ortotropo risultante è in grado di predire le
caratteristiche di rigidezza al variare della direzione
con notevole accuratezza.
Tuttavia, per applicare il modello, le proprietà in assi
lamina devono essere state precedentemente misurate.
Il materiale composito deve essere stato prodotto, e
devono essere stati realizzati i provini che, mediante
opportune procedure sperimentali, consentono la
misura delle proprietà del materiale in assi lamina.
L’approccio finora seguito, che è generalmente
chiamato approccio macromeccanico, non è in grado,
infatti, di stimare le proprietà elastiche del composito
da quelle dei costituenti.
Tale stima è invece di notevole interesse, sia dal punto
di vista teorico, per comprendere l’origine delle
proprietà dei materiali compositi, sia da un punto di
vista applicativo, poiché consente di progettare il
materiale composito in modo che possa svolgere al
meglio le funzioni strutturali richieste.
L’approccio micromeccanico allo studio dei materiali
composito ha, fra i principali obiettivi, la stima delle
proprietà elastiche di una lamina in materiale
composito a partire dalla sua composizione e dalle
proprietà delle fasi costituenti. Nel presente paragrafo,
uno dei più semplici approcci micromeccanici, basato
su una serie di ipotesi semplificative, sarà applicato per
valutare le proprietà elastiche in assi lamina di una
lamina di composito con rinforzo unidirezionale a fibre
continue.
Come affermato, la micromeccanica considera il
materiale composito a una scala di osservazione più
piccola di quella alla quale il materiale può essere
considerato omogeneo. A tale scala, gli stati di sforzo e
deformazione del materiale omogeneizzato, sono da
considerarsi delle medie, eseguite in un volume di
materiale , con caratteristiche e dimensioni adeguate.
Nello specifico caso di un composito unidirezionale,
con un'unica tipologia di fibre di rinforzo, inglobate in
una matrice omogenea, il volume  può essere
considerato la somma dei sottovolumi occupati dalla
fibra e dalla matrice:
   f  m
Eq. 32. 39
Spezzando l’operazione di media nei due sottovolumi,
f e m, è possibile definire i valori medi
rappresentativi della deformazione e dello sforzo nella
fibra e nella matrice. I passaggi dell’operazione sono
riportati nella seguente equazione:
  
  x, y, z d 
1
  d    d
 
1


f
f

1 f 1


f
 
m

f
 d f
m


 m
1
m

m
 dm  

 
f f
m m
 




Eq. 32. 40
I passaggi riportati in Eq. 32. 40 possono essere
replicati per lo stato di sforzo. Inoltre, l’Eq. 32. 40
permette di definire le frazioni volumetriche di fibra e
matrice:
V
f

f
m
;Vm 


17
Eq. 32. 41
Gli stati di sforzo e di deformazione che compaiono nel
legame elastico ortotropo, valido per il materiale
omogeneizzato, sono pertanto espressi in funzione
degli sforzi medi agenti nella fase fibra e nella fase
matrice attraverso le seguenti relazioni:
fibra, di lunghezza L, immersa nella matrice e soggetta
a un carico assiale xx.
   V f  f  V m  m 
   V f  f  V m  m 
Eq. 32. 42
Le Eq. 32. 42 formalizzano l’operazione di
omogeneizzazione nel volume . Affinché tale
operazione sia fisicamente indicativa, tuttavia, il
volume  deve possedere determinate caratteristiche.
Le proprietà elastiche del materiale ortotropo risultante
dall’operazione di omogeneizzazione non devono
variare con le dimensioni di . Ciò comporta che esiste
una minima dimensione di  che deve essere
rappresentativa delle caratteristiche del materiale
(morfologia, composizione e, conseguentemente,
caratteristiche meccaniche). Tale minima dimensione
del volume  individua l’Elemento di Volume
Rappresentativo del materiale (RVE).
Ogni approccio micromeccanco, dunque, si basa sullo
studio delle proprietà di un Elemento di Volume
Rappresentativo. Attraverso diversi approcci, teorici o
numerici, l’obiettivo dell’approccio è la valutazione
delle proprietà dell’RVE sulla base delle leggi
costitutive che rappresentano i legami fra gli sforzi e le
deformazioni agenti nelle singole fasi.
32.5.2 Regola delle miscele per la determinazione
della rigidezza nella direzione del rinforzo
Alla base dell’approccio semplificato che sarà adottato
per la stima delle caratteristica di rigidezze dei
compositi, vi è la scelta di un RVE soggetto a una
condizione di carico e una serie di ipotesi
semplificative.
Le ipotesi che saranno considerate per sviluppare le
formulazioni saranno:
i)
matrice isotropa, caratterizzata da un
modulo elastico Em e un coefficiente di
Poisson vm;
ii)
fibre trasversalmente isotrope, con
rigidezza assiale Efa, rigidezza trasversale
Eft, rigidezza a taglio (per sforzi di taglio
paralleli alla fibra) Gfta e coefficiente di
Poisson vfta (che caratterizza la
deformazione nella direzione trasversale
della fibra per un allungamento in
direzione assiale)
La determinazione del modulo elastico in direzione
delle fibre di rinforzo considera l’elemento di volume
rappresentativo riportato in Figura 32. 22,
comprendente una porzione di lamina costituita da una
18
Figura 32. 22 – Elemento di volume
rappresentativo per la determinazione di Exx
L’ipotesi semplificativa che è introdotta si riferisce allo
stato di deformazione nelle due fasi, fibra e matrice,
che sono poste in parallelo in questa configurazione. Si
assume, infatti, che la deformazione media sia uguale
nelle due fasi:
m
 xxf   xx
  xx
Eq. 32. 43
Tale ipotesi determina l’applicazione di un modello
dove le due fasi, fibra e matrice, sono poste in
parallelo, come schematizzato in Figura 32. 23
Figura 32. 23 - Disposizione in parallelo di fibra
e matrice
Le leggi costitutive di fibra e matrice comportano che:
 xxf  Eaf  xxf  Eaf  xx
m
m
 xx
 E m xx
 E m xx
Eq. 32. 44
Dove Efa ed Em rappresentano, rispettivamente, i
moduli di Young della fibra di rinforzo nella direzione
assiale e della matrice. Si consideri una sezione
trasversale della lamina di area A, e sia Af la frazione di
area occupata dalle fibre e Am quella occupata dalla
matrice.
Lo sforzo unitario agente nella sezione della lamina di
composito è:
 xx 
m m
 xxf A f   xx
A
A
Eq. 32. 45
Occorre tuttavia considerare che, trattandosi di un
composito con rinforzo a fibre continue, le frazioni di
area equivalgono alle frazioni volumetriche. Pertanto,
sostituendo le Eq. 32. 44 nella Eq. 32. 45 si ha:


m
 xx  V f  xxf  V m xx
 V f Eaf  V m E m  xx
ma agisce uno sforzo trasversale, yy su una porzione di
larghezza w.
Eq. 32. 46
L’Eq. 32. 46 consente di stimare il valore del modulo
elastico del composito con la seguente espressione, che
è nota con il nome di regola delle miscele:
E xx  V f Eaf  V m E m
Eq. 32. 47
La Figura 32. 24 mostra l’andamento di Exx in funzione
della frazione volumetrica Vf. In base alla regola delle
miscele si ottiene una retta che parte dal valore di
rigidezza della matrice, per Vf = 0 e giunge al valore
delle fibre per Vf = 1. Si consideri che, nei materiali
reali, la frazione volumetrica di fibra in un
unidirezionali non può superare eccessivamente il
60%, per garantire che tutte le fibre siano bagnate dalla
resina.
rappresentativo per la determinazione di Eyy
In questo caso l’ipotesi semplificativa è relativa agli
sforzi. Infatti, lo sforzo dovrà trasferirsi dalla fibra alla
matrice attraverso l’interfaccia e, per ragioni di
equilibrio, è ragionevole ipotizzare:
m
 yyf   yy
  yy
Eq. 32. 49
Il modello adottato, pertanto, è schematizzabile come
un sistema in serie, come illustrato in Figura 32. 26.
Figura 32. 26 – Disposizione in serie di fibra e
matrice
Figura 32. 24 – Andamento del modulo in
direzione delle fibre con la frazione volumetrica
delle fibre
Nonostante la sua semplicità, l’accuratezza della regola
delle miscele è più che adeguata a una prima stima
delle caratteristiche del composito, sebbene si possa
dimostrare che essa fornisce un limite superiore alle
rigidezze del composito.
Si può anche osservare che, ipotizzando Efa >> Em la
regola delle miscele indica che la rigidezza in direzione
delle fibre di rinforzo è essenzialmente determinata
dalla rigidezze delle fibre stesse. Infatti:

E mV m 
E  Eaf V f 1  f f   Eaf V
Ea V 

Eq. 32. 48
f
L’Eq. 32. 48 indica dunque che la rigidezza Exx è una
proprietà dominata dalla fibre.
32.5.3 Determinazione delle rigidezze trasversali, a
taglio e dei coefficienti di Poisson
L’elemento di volume rappresentativo che può essere
considerato per il calcolo del modulo del composito
nella direzione trasversale alle fibre è mostrato in
Figura 32. 25. L’RVE è simile a quello usato per Exx,
La deformazione complessiva dell’RVE in direzione y
è dovuta ad un allungamento w che è da attribuirsi in
parte alla fibra e in parte alla matrice.
w  w f  w m 
w f f w m m
w  m w
wf
w
Eq. 32. 50
Le frazioni di lunghezza trasversale wf e wm occupate
dai volumi di fibra e matrice possono essere espresse in
funzione delle frazioni volumetriche:
wf
wm
V f ;
Vm
w
w
Eq. 32. 51
Considerando che, in generale, yy = w/w, si ottiene,
dividendo per w l’Eq. 32. 50:
w w f w m w f w f w m w m



 m
w
w
w
w
wf w
w
  yy   yyf V
f
m
  yy
V
f
Eq. 32. 52
Si possono quindi applicare le leggi costitutive di fibra
e matrice, ricordando l’ipotesi semplificativa sugli
sforzi espressa in Eq. 32. 49.
19
 yyf 
1
1
 yyf  f  yy
Et f
Et
m

 yy
1 m
1
  m  yy
m yy
E
E
composito in direzione trasversale, anche disponendo
di fibre con rigidezza trasversale molto elevata. Infatti,
assumento Eft >>Em, si può approssimare l’espressione
della rigidezza nel seguente modo:
Eq. 32. 53
E yy 
Si deve inoltre considerare che, nella condizione di
carico uniassiale ipotizzata, si ha, a livello dell’intero
composito:
1
 yy
E
Eq. 32. 54
 yy 
Sostituendo l’Eq. 32. 53 e l’Eq. 32. 54 nell’Eq. 32. 52,
si ottiene:
La relazione ottenuta permette l’individuazione di
un’espressione per la rigidezza trasversale del
composito:
1
V f V m 

 m
Ef
E 
t

Eq. 32. 56

Etf E m
V f E m  V m Et f

Em
Em
Et f
V
f

V m
Em
Vm
Eq. 32. 57
La rigidezza trasversale, pertanto, non può superare il
limite dato dalla rigidezze della fase più cedevole
amplificata del fattore 1/Vm. Si tratta pertanto di una
proprietà dominata dalla fase matrice e la presenza del
rinforzo può aumentarla ma non modificarla
radicalmente.
La determinazione del modulo di rigidezza a taglio del
composito, Gxy, può considerare un elemento di volume
rappresentativo in cui matrice e fibra sono in poste
serie, rappresentato in Figura 32. 28.
V f
1
Vm 
 yy   f  m  yy
E
E yy
E 
 t
Eq. 32. 55
E yy 
A
B
Et f E m
V f E m  V m Et f
La Figura 32. 27 riporta le curve di variazione del
rapporto Eyy/Em.
rappresentativo per la determinazione di Gxy
La Figura 32. 28-A mostra la condizione di carico
considerata, caratterizzata da uno sforzo di taglio xy,
che origina, nel composito uno scorrimento xy, tale
che:
 xy 
 xy
G xy
Eq. 32. 58
In modo analogo allo sforzo normale trasversale, lo
sforzo di taglio deve trasferirsi dalla fibra alla matrice
ed è ragionevole supporre che esso sia uguale nelle due
fasi. L’ipotesi semplificativa per sviluppare l’approccio
micormeccanico è pertanto relativa agli sforzi:
Figura 32. 27 – Variazione del rapporto fra Eyy e
Em al variare della frazione volumetrica delle
fibre
Si osservi che le curve dipendono dal rapporto fra la
rigidezza delle fibre e quella della matrice.
Tipicamente la rigidezza trasversale delle fibre è più
elevata di quella delle fibre, ma a differenza del caso
della rigidezza nella direzione del rinforzo, non è
possibile elevare oltre certi limiti la rigidezza del
20
m
 xyf   xy
  xy
Eq. 32. 59
Lo scorrimento originato dall’applicazione dello sforzo
di taglio è pari al rapporto fra lo spostamento , in
direzione x, mostrato in Figura 32. 28-B, e la larghezza
del volume rappresentativo w. Come illustrato in
Figura 32. 28-B, lo spostamento  può essere
considerato come la somma dei due spostamenti nelle
due fasi.
   f  m 
f
w
f
wf 
m
w
m
wm
Eq. 32. 60
Considerando che, in generale,  = /w, e che le
frazioni di lunghezza trasversale wf e wm possono
essere espresse in funzione delle frazioni volumetriche,
come già formalizzato in Eq. 32. 51, l’Eq. 32. 60 può
essere rielaborata come:

  xy   xyf V
w
Eq. 32. 61
f
 xy 
G xy
  xyf
 f
G
 ta
V f V m
  f  m
G
G
 ta
Eq. 32. 62

V


f
m
  xy
 m
G


V m 




 xy

Con passaggi analoghi a quelli effettuati per il modulo
di rigidezza in direzione trasversale, l’Eq. 32. 62
conduce al seguente risultato:
Gxy 
1
V f V m 
 f  m

G
 ta G 

spostamento, w, di segno opposto a quello di xx, che
può esprimersi come somma degli spostamenti
trasversali nella fibra e nella matrice e messo in
relazione con le deformazioni trasversali nelle due fasi,
come formulato nella seguente equazione:
w   yy w  w f  w m 
w f
w
f
wf 
w n
w
m
wm 
m m
 yyf w f   yy
w
Eq. 32. 64
m m
  xy
V
Introducendo le leggi costitutive per la fibra e la
matrice e l’ipotesi semplificativa sugli sforzi, si ha:
 xy
Gtaf G m
V f G m  V mGtaf
Eq. 32. 63
Anche nel caso del modulo di rigidezza a taglio,
pertanto, la proprietà elastica è dominata dalla fase
matrice.
L’approccio micromeccanico semplificato presentato
in questi paragrafi è in grado di stimare anche i
coefficienti di Poisson del materiale. In particolare, la
trattazione si focalizza su vyx che caratterizza la
deformazione in y dovuta all’applicazione di un carico
in direzione x.
Per esprimere il coefficiente di Poisson del composito
in funzione di quelli delle fasi, le deformazioni yy
vanno messe in relazione con xx, trasformando l’Eq.
32. 64 nel seguente modo:
m m
 v yx  xx w  vtaf  xxf w f  v m  xx
w
Eq. 32. 65
In base all’elemento di volume rappresentativo e alla
condizione di carico rappresentate in Figura 32. 29, è
possibile introdurre l’ipotesi semplificativa sulle
deformazioni affermando che le deformazioni in
direzione xx sono identiche in tutte le fasi. Sotto questa
ipotesi, analoga a quella adottata nel par. 32.5.3 per la
determinazione di Exx, l’Eq. 32. 65 può essere
elaborata nel modo seguente:


 v yx  xx w   vtaf w f  v m w m  xx

wf
w m 
 xx 
 v yx  xx    vtaf
 vm
w
w 



  vtaf V f  v mV m  xx
Eq. 32. 66
dove le frazioni di lunghezza trasversale occupate da
fibra e matrice sono state espresse in funzione delle
frazioni volumetriche.
L’espressione risultate del coefficiente di Poisson vyx è
ottenuta in modo analogo alla regola delle miscele:
v yx  vtaf V
f
 v mV m
Eq. 32. 67
Il coefficiente di Poisson è pertanto una media pesata
dei coefficienti di fase fibra e matrice.
Bibliografia
R. M. Jones, Mechanics of Composite Materials,
Second Edition, Taylor & Francis, 1999
Figura 32. 29 – Elemento di volume rappresentativo
per la determinazione di vxy
Dept. of Defense of United States of America,
Composite Material Handobook, MIL-HDBK-17, 1997
L’elemento di volume rappresentativo utilizzato è
illustrato in Figura 32. 29. L’elemento è soggetto a uno
sforzo xx e si contrae in direzione y con uno
21

CAPITOLO MATERIALI COMPOSITI: LEGGE COSTITUTIVA

Transcript

Documenti analoghi

Scarica l`articolo

COMPOSITI

convegni compositi

Passato il difficile periodo senza alcuna crescita, i produttori

Modulo Multithreading

1 MATERIALI COMPOSITI La tecnologia è oggi fortemente

Metodo per la realizzazione di componenti in materiale composito a

Obiettivi del progetto: Applicazioni:

time management