CA 10 Luogo delle Radici - Automazione@ingre

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Automation
Robotics and
System
CONTROL
Università degli Studi
di Modena e Reggio Emilia
Corso di Laurea in Ingegneria
Meccatronica
PROGETTO DEL CONTROLLORE
MEDIANTE IL LUOGO DELLE RADICI
CA – 9 - LuogoDelleRadici
Cesare Fantuzzi ([email protected])
www.automazione.unimore.it
Proprietà dei sistemi
in retroazione
r +
e
-
k
u
G(s)
y
L’equazione caratteristica del sistema chiuso in retroazione è:
Il luogo delle radici corrisponde al valore dei poli
del sistema in retroazione al variare del
guadagno k>0
Controlli Automatici e
Azionamenti Elettrici
CA - 9 - LuogoDelleRadici
Luogo delle radici
Al variare del parametro k i poli del sistema chiuso in retroazione
descrivono un luogo di punti. Tale luogo è detto Luogo delle radici.
Il luogo delle radici descrive il luogo delle radici di un sistema chiuso in
retroazione unitaria al variare del guadagno.
Il luogo delle radici gode di svariate proprietà che ne consentono il
tracciamento senza la necessità di un approfondito studio analitico
dell’equazione caratteristica.
Sistemi del primo ordine
r +
e
-
u
k
y
Piano di Gauss
Im{s}
k =8
k =2
k =0
X
X
X
p = -10
p = -4
p = -2
Re{s}
Sistemi del primo ordine
r +
e
-
u
k
y
Piano di Gauss
Im{s}
k =8
k =2
k =0
X
X
X
p = -10
p = -4
p = -2
Re{s}
Luogo delle Radici
(Luoghi dei poli del sistema in retroazione al variare di k)
Sistemi del secondo ordine
r +
e
-
u
k
Eq. caratteristica
Poli in
p1, 2
y
4k
Gcl ( s ) = 2
s + 5 s + 4 + 4k
s 2 + 5s + 4 + 4k = 0
5 1
=− ±
9 − 16k
2 2
Poli del sistema originale (senza controllo)
k = 0 ⇒ p1 = −1, p2 = −4
Poli reali distinti (coincidenti con il
segno di uguaglianza)
9
5 1
k ≤ ⇒ p1, 2 = − ±
9 − 16k
16
2 2
9
5 1
k > ⇒ p1, 2 = − ± i 16k − 9
16
2 2
Poli reali complessi coniugati
Im{s}
k =0
k =0
X
X
p = -4
p = -1
K=0 corrisponde al sistema non controllato
Re{s}
Im{s}
k =0
k =0.3
X
X
p = -4 p = -3.52
k =0.3 k =0
X
X
p = -1.47p = -1
Re{s}
Im{s}
5 1
p = − + i 55 X k =4
2 2
k =0
k =0
X
X
p = -4
p = -1
5 1
p = − − i 55 X
2 2
k =4
Re{s}
Luogo delle radici
Luogo delle radici:
proprietà
1. Ha tanti rami quanti sono i poli del sistema in catena aperta
• Ciascun polo, spostandosi, traccia un ramo
2. Ogni ramo:
a) Parte (k=0)dalla posizione di un polo in catena aperta
b) Termina (k=infinito)nella posizione di uno zero del sistema o va
all’infinito
3. Il luogo è simmetrico rispetto all’asse reale
4. Un punto dell’asse reale appartiene al luogo se lascia a destra un
numero dispari di singolarità (poli e zeri)
5. Ha un numero di asintoti pari alla differenza tra il numero di poli e il
numero di zeri (grado relativo) del sistema in catena aperta.
Esempio:
Il Luogo delle Radici
4
G ( s) = 2
s + 5s + 4
1. Ha tanti rami quanti sono i poli del
sistema in catena aperta
Im{s}
k =0
k =0
X
X
p = -4
p = -1
Re{s}
Esempio:
4
G ( s) = 2
s + 5s + 4
2a. Ogni ramo parte (k=0) dalla
posizione di un polo
Im{s}
k =0
k =0
X
X
p = -4
p = -1
Re{s}
Esempio:
4
G ( s) = 2
s + 5s + 4
2b. Termina
(k=infinito)nella
posizione di uno zero
del sistema o va
all’infinito
Im{s}
k =0
k =0
X
X
p = -4
p = -1
Re{s}
Esempio:
4
G ( s) = 2
s + 5s + 4
3. Il luogo è
simmetrico rispetto
all’asse reale (ogni
radice complessa ha
una radice complessa
coniugata
Im{s}
k =0
k =0
X
X
p = -4
p = -1
Re{s}
Esempio:
4
G ( s) = 2
s + 5s + 4
3. Il luogo è
simmetrico rispetto
all’asse reale (ogni
radice complessa ha
una radice complessa
coniugata
Im{s}
k =0
k =0
X
X
p = -4
p = -1
Re{s}
Esempio:
4. Un punto dell’asse
reale appartiene al
luogo se lascia a
destra un numero
dispari di singolarità
(poli e zeri).
4
G ( s) = 2
s + 5s + 4
Im{s}
Lascia alla destra 2 poli
k =0
k =0
X
X
p = -4
p = -1
Lascia alla destra 1 polo
Re{s}
Lascia alla destra 0 poli
Esempio:
5. Ha un numero di asintoti pari
alla differenza tra il numero di poli
e il numero di zeri (grado relativo)
del sistema in catena aperta.
4
G ( s) = 2
s + 5s + 4
Im{s}
k =0
k =0
X
X
p = -4
p = -1
Il luogo delle radici ha due asintoti
(grado relativo della G(s), 2)
Re{s}
Luogo delle radici: proprietà
6. Gli asintoti formano una stella con centro nel punto dell’asse reale:
7. Gli asintoti formano con l’asse reale gli angoli
Dove n e m rappresentano rispettivamente il numero di poli e il numero di
zeri del sistema in catena aperta.
Esempio:
6. Gli asintoti formano una stella
con centro nel punto dell’asse
1
5
reale:
σ=
p −∑z
∑
n−m
i
i
=−
4
G ( s) = 2
s + 5s + 4
2
Im{s}
k =0
k =0
X
X
p = -4
p = -1
Re{s}
Esempio:
4
G ( s) = 2
s + 5s + 4
7. Gli asintoti formano con l’asse
reale gli angoli
θν =
(2ν + 1)π
π
3π
⇒ θ 0 = , θ1 =
n−m
2
2
Im{s}
k =0
k =0
X
X
p = -4
p = -1
Re{s}
Luogo delle radici:
tracciamento
Utilizzando le proprietà enunciate è possibile tracciare rapidamente il
luogo delle radici. I passi da seguire sono:
1. Tracciare sul piano di Gauss zeri e poli del sistema in catena aperta,
contrassegnando i poli con una X e gli zeri con un O.
2.
Ricavare il numero di asintoti facendo la differenza tra il numero di
poli e il numero di zeri del sistema in catena aperta.
3. Trovare il punto di incrocio degli asintoti e gli angoli che formano
con l'asse reale.
4. Trovare i punti dell'asse reale che stanno sul luogo delle radici
5. Tracciare il luogo delle radici tenendo conto che esso deve essere
simmetrico rispetto all'asse reale.
Esempio:
sistema del primo ordine
Assignment 10.1
Tracciare il luogo delle radici dei seguenti sistemi chiusi in retroazione
unitaria:
Matlab e il luogo delle radici
Matlab può essere utilizzato per tracciare il luogo delle radici. Il comando
principale è rlocus.
Sintassi: >> rlocus(num,den)
Plotta il luogo delle radici del sistema:
r +
e
-
k
u
y
Il comando può essere usato in diversi modi. Ad esempio:
>> rlocus(num,den,k1)
Plotta la posizione dei
poli corrispondenti ad un
guadagno statico k1.
>>[r,g]=rlocus(num,den)
Ritorna nella matrice r i
valori dei poli del sistema
e nel vettore g i rispettivi
valori del guadagno k.
Per l’utilizzo del luogo delle radici nel progetto del controllore è molto utile il
comando rlocfind
Sintassi: >> [k,poles]=rlocfind(num,den)
Dopo aver fatto una rlocus(num,den), la chiamata di questo comando ci
consente di selezionare un polo sul luogo delle radici e ritorna in k il valore
del guadagno statico corrispondente al polo selezionato e in poles il valore
dei poli del sistema corispondenti al guadagno k.
E' molto utile per sapere quale guadagno dobbiamo mettere
nel loop di controllo per avere i poli in una certa posizione.
Lo strumento rltool
Rltool è un’interfaccia grafica costruita su Matlab che consente di tracciare
il luogo delle radici e di “spostare” col mouse i poli del sistema lungo il
luogo ottenendo automaticamente il guadagno corrispondente.
Sintassi:
+
-
k
>>rltool(tf(num,den))
Dove num e den sono due vettori che rappresentano i polinomi al
numeratore e al denominatore della G(s)
Lo strumento rltool
E’ possibile visualizzare, oltre al luogo delle radici, altri grafici di interesse per
l’analisi del comportamento del sistema.
In particolare, selezionando la voce response to step command dal menu
Analysis nella finestra del luogo delle radici, si apre una finestra dove è
visualizzata la risposta a un gradino unitario del sistema chiuso in
retroazione in corrispondenza della configurazione dei poli rappresentata
nella finestra del luogo delle radici.
Variando la posizione dei poli lungo il luogo delle radici, si può vedere la
risposta corrispondente e in tal modo è possibile avere un riscontro diretto
dell’influenza dei poli sulla risposta del sistema.
Lo strumento rltool
Esercizi
Verificare che la sovraelongazione del
sistema chiuso in retroazione dipende
dalla parte immaginaria dei suoi poli
Verificare che il sisteme diventa
instabile per k grandi
Progetto di un controllore in retroazione
L(s)=C(s)G(s),
Guadagno d’anello
r(t) + e(t)
-
C(s)
u(t)
G(s)
y(t)
Dato un plant G(s) costruire un controllore C(s) in modo che l’uscita y(t) del
sistema chiuso in retroazione:
soddisfi le specifiche di controllo
Specifiche di controllo
• Specifiche statiche: specifiche relative al massimo errore a regime
tollerato. Si risolvono facendo in modo che il guadagno d’anello abbia un
numero opportuno di poli nell’origine oppure un guadagno a regime minore di
un certo valore dipendente dalla specifica. Sono indipendenti dal
comportamento dinamico del sistema.
• Specifiche dinamiche: specifiche relative al comportamento dinamico
della risposta, cioè il suo andamento prima di raggiungere il valore a regime.
Tipicamente queste specifiche vengono date in termini di massima
sovraelongazione percentuale e di tempo di assestamento.
Utilizzo del luogo delle radici
Per i sistemi elementari oppure approssimabili come sistemi elementari (cioè
in presenza di poli dominanti) risulta semplice identificare regioni del piano
in cui devono stare i poli del sistema in retroazione per soddisfare le
specifiche.
Il luogo delle radici può essere usato per studiare il comportamento dei poli
del sistema chiuso in retroazione e per disegnare un controllore in modo da
fare in modo che , per certi guadagni, il sistema chiuso in retroazione abbia
tutti i poli all’interno della regione desiderata.
Passi per la costruzione del controllore
1.
Tenendo conto delle specifiche statiche aggiungere poli nell’origine.
2.
Esaminare il guadagno d’anello ottenuto per determinare l’ordine
(eventualmente trascurando poli recessivi) del sistema
3.
Tracciare sul piano di Gauss le regioni relative alle specifiche di controllo
4.
Vedere se con una semplice azione proporzionale (C(s)=k) è possibile
soddisfare le specifiche dinamiche, cioè far entrare i poli del sistema chiuso
in retroazione (più eventuali poli aggiunti nell’origine per soddisfare le
specifiche statiche) nella regione desiderata.
5.
Se non è possibile soddisfare le specifiche con un semplice controllore
proporzionale, costruire, per tentativi, un controllore tale che esista un k
per cui i poli del sistema controllato stiano nelle regioni desiderata.
6.
Fare una verifica simulativa del controllore ottenuto. E’ possibile utilizzare
rltool per verificare la correttezza dell’algoritmo di controllo disegnato.

CA 10 Luogo delle Radici - Automazione@ingre

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