qui

ESISTENZA
VS
NON ESISTENZA
DI ALCUNE VARIETA’ SPECIALI
- codimensione 2 in Pn
- superfici in P4
- 3-fold fibrati in rette su superfici razionali
Pisa, 16-3-2005
1
IDEALI INIZIALI
W : spazio vettoriale di dimensione n + 1 su C
SW : ⊕d≥0 S d W algebra simmetrica di W
Un sistema di riferimento in W è un isomorfismo
g : W → C <x0 , ..., xn >
g ∈ GL(n + 1, C)
che induce un isomorfismo SW ' C[x0 , ..., xn ].
Z ⊂ P(W ∗ ) → IZ ⊂ SW → gI ⊂ C[x0 , ..., xn ]
Nell’insieme dei monomi introduciamo un ordine totale, ad es, il revlex
graduato:
(a0 , ..., an ) >grl (b0 , ..., bn )
se e solo se Σai < Σbi oppure Σai = Σbi e
an = bn , ..., ak = bk , ak+1 < bk+1 .
Es: in C[x, y, u] x2 > xy > y 2 > xu > yu > u2
∀f ∈ C[x0 , ..., xn ] → in(f ) := {il maggiore dei monomi di f secondo >grl }
∀gI ∈ C[x0 , ..., xn ] → in(gI) := < in(f ) > al
variare di f ∈ gI
Teorema (Galligo): per ogni I ⊆ SW esiste un aperto UI di GL(n+1, C)
tale che ∀g ∈ UI in(gI) è costante e viene detto gin(I). Inoltre gin(I) è
Borel-fixed.
Definizione: un ideale monomiale I (i.e. generato da monomi) è Borel − f ixed se ∀(a0 , ..., an ) ∈ I anche (a0 , ..., aj−1 +
1, aj − 1, ..., an ) ∈ I.
Proposizione: I è saturo ⇐⇒ gin(I) è saturo ⇐⇒ nessun generatore di
gin(I) contiene xn .
2
INVARIANTI MONOMIALI
Fatto: se I ∈ C[x0 , ..., xn ] è un ideale monomiale Borel-fixed, allora per
tutti i monomi m = (x2 )p2 ...(xn )pn l’ideale (I : m) ∩ C[x0 , x1 ] è ancora Borelfixed e quindi ha un sistema minimale di generatori del tipo:
λ
λ
s−1
s−2
), (xs−2
), ....., (xk0 xλ1 k )
xs0 , (xs−1
0 x1
0 x1
dove s, k e i numeri λi dipendono da (p2 , ..., pn ).
Definizione: gli invarianti monomiali di I sono gli interi λi (p2 , ..., pn ) al
variare del multi-indice e di i da k(p2 , ..., pn ) a s(p2 , ..., pn ) − 1.
Definizione: data una sottovarietà Z ⊂ Pn i suoi invarianti monomiali
sono quelli di gin(IZ ) (che dipendono da (p2 , ..., pn−1 )).
Nota: s(0) è il grado minimo sZ di una ipersuperficie che contiene Z e
sZ ≥ s(p2 , ..., pn ).
Teorema (di connessione): sia Z ⊂ Pn non degenere, integra, di codimensione almeno 2.
Se sZ ≤ s(p2 , ..., pn−1 ) + 1 allora,
∀i = 0, 1, ..., s(p2 , ...., pn−1 ) − 2 :
λi+1 (p2 , ..., pn−1 ) + 2 ≥ λi (p2 , ..., pn−1 ) ≥ λi+1 (p2 , ..., pn−1 ) + 1.
Traccia della dimostrazione, per n = 3, sZ = s(p).
I = IZ , G sia un suo elemento di grado minimo, ovviamente irriducibile.
1) Si suppone per assurdo che esistano due interi p ≥ 0 e j con 0 ≤ j ≤
s(p) − 2 per cui:
λj (p) > λj+1 (p) + 2 e si pone
δ := j + λj (p) + 2 > j + λj (p) + 1 ≥ s(p) = sZ .
2) Per ogni coppia di piani h, l di P3 si definisce:
J := J(h, l) = (I|h : lp )|l
e si prova che gin(J) non ha generatori in grado δ.
3) Si prova che esiste un polinomio omogeneo
F ∈ C[x0 , ..., x3 ] di grado j + 1 tale che
J≤δ ⊆ (F|<h,l> ).
4) Per ipotesi G|<h,l> ∈ J≤δ ⊆ (F|<h,l> ) quindi F|<h,l> divide G|<h,l> e ne
è un fattore proprio.
5) Si conclude che G è riducibile, ottenendo una contraddizione.
3
APPLICAZIONI
Per una curva integra liscia C in P3 , di genere g, e sezione iperpiana
generica Γ, vale:
χ(OC ) =
P
|m| − 10 −
m∈M0 (C)
P
|m| − 11
m∈M1 (C)
dove M0 (C) è l’insieme degli zeri sporadici di C ed M1 (C) = M0 (Γ) è
l’insieme dei monomi che stanno sul tetto della ”Ziggurat” di C e che non
appartengono ad IC .
Il grado d di C è l’ordine di M0 (Γ). |m| indica il grado del monomio m.
Per una superficie integra liscia S in P4 di sezione iperpiana generica C
vale:
χ(OS ) =
P
m∈M0 (S)
P
|m| − 10 −
m∈M1 (S)
|m| − 11 +
P
|m| − 12
m∈M2 (S)
M2 (S) = M1 (C) = M0 (Γ) ; M1 (S) = M0 (C).
La conoscenza di gin(IC ) fornisce informazioni su g e una stima dal basso
per χ(OS ).
Conseguenze:
Teorema: ogni superficie (liscia, integra, non degenere) non di tipo generale in P4 ha grado:
d ≤ 105 (Braun-Floystad, 1994).
d ≤ 76 (Braun-Cook, 1996).
d ≤ 52 (Decker-Schreyer, 2000).
4
ELLINGSRUD E PESKINE
Teorema: (1989) esiste un intero d0 tale che ogni superficie (liscia, integra, non degenere) non di tipo generale in P4 ha grado d ≤ d0 .
Esiste una versione del teorema per 3-folds in P4 dovuta a Braun-OttavianiSchneider-Schreyer (1993).
Corollario: in P4 esistono solo un numero finito di famiglie di superfici
(come sopra) non di tipo
generale.
Congettura: d0 = 15.
Traccia della dimostrazione:
1) Per S ⊃ C ⊃ Γ vale:
d2 − 5d − 10(g − 1) + 12χ(OS ) − 2KS2 = 0
e se S non è di tipo generale si può supporre KS2 ≤ 0, altrimenti d ≤ 5.
Quindi :
0 ≥ d2 − 5d − 10(g − 1) + 12χ(OS ).
2) In seguito ai risultati di: Roth (1937), Laudal (1977) Gruson-Peskine
(1982), Strano (1987), Mezzetti-Raspanti (1993), Green (1998), è noto che:
se d > (sS − 1)2 + 1 allora sS = sC = sΓ .
3) Vale la disuguaglianza di Halphen:
g ≤1+
d2 +sC (sC −4)d
2sC
:= G(d, sC ).
4) Se S non è di tipo generale si può anche supporre che 6χ(OS )−KS2 ≥ 0,
quindi:
0 ≥ d2 − 5d − 10(g − 1)
e si può concludere che se d > 90 allora sS ≤ 5.
5) Lemma chiave: se d > (sS −1)2 +1 esiste un polinomio P (sS , d) ∼
tale che:
χ(OS ) ≥ P (sS , d).
6) Tenendo conto di 2), 3), 4), 5) la disuguaglianza in 1) diventa:
0 ≥ d2 − 5d − 10(G(d, sC ) − 1) + 12P (sS , d)
ed esistono solo un numero finito di valori di d che la soddisfano.
5
d3
6(sS )2
P1 -BUNDLES IN P4
Supponiamo che S ⊂ P4 sia del tipo S = P(E) dove E è un fibrato di
rango 2, normalizzato, di invariante e := − deg[c1 (E)], su una curva liscia B
di genere q.
Non esiste una classificazione di tali superfici.
S sarà immersa da un divisore molto ampio
L ≡ aC0 + bf e avrà un genere sezionale g ≥ 0.
Se a = 1 esistono solo lo scroll cubico razionale: a = 1, b = 2, e = 1, q = 0
e lo scroll quintico ellittico: a = 1, b = 2, e = −1, q = 1 (Lanteri 1980; Aure
1987).
Se a = 2 non ne esistono (Ellia-Sacchiero 1998; Braun-Ranestad 1998).
Dal lavoro di Holme e Roberts (1988) si deduce che:
1) Per g = 0, 1 esistono solo i casi precedenti.
2) Deve essere e < 0.
3) Posto y := 2b − ae (y > 0 perchè L è molto ampio), deve essere:
a2 y 2 − (10a − 5)y − (10a − 4)(g − 1) = 0
4) Se g ≥ 2 e 1 ≤ y ≤ 6 esiste solo una possibilità con a = 7, b = −6, e =
−2, q = 2, di grado 14.
Tenendo conto del risultato di Decker e Schreyer: d = ay ≤ 52 e di 1), 2),
3), 4) si ha che, a parte il caso precedente, ne restano solo altri due, entrambi
con a = 3.
6
DOPO IL GIN ECCO LA GIT
Sia H la componente dello schema Hilb3t+1 [P(V ∗ )], dim(V ) = 4, contenente le cubiche gobbe di P3 . H = Ha ∪ Hc ∪ He . Hc e He sono divisori.
dim(H) = 12.
Ha = {cubiche gobbe}
Hc = {coniche+rette}
He = {cubiche piane singolari+punto immerso}
X 0 := {reti di quadriche date dai minori di una matrice (3, 2) di forme
lineari}
Esiste un’applicazione H → X 0 che è uno scoppiamento che contrae He e A1 (X 0 ) ⊗ Q ha un solo generatore, corrispondente
ad Hc (Ellingsrud-Piene-Stromme, 1987).
Teorema: esiste una compattificazione minimale X dello spazio delle
cubiche gobbe di P4 (C) tale che: i) X è una varietà proiettiva liscia di dimensione 16; ii) X è fibrata su P4 (C)∗ in modo che ogni fibra sia isomorfa
allo spazio X 0 sopra citato.
Traccia della dimostrazione.
dim(V ) = 5. πv : V → V/<v> .
W :=
{(f,v)|Hom(F,E⊗V )×(V \{0})}
{<v 0 >=<v>ef 0 −f ∈Hom(F,E⊗<v>)}
→ P4 (C)∗
(f, v) → (idE ⊗ πv ) ◦ f ∈ Hom(F, E ⊗ V/<v> ) → matrice (3, 2) di forme
lineari in P((V/<v> )∗ ) ' P3 (C) → E(f,v) , sistema lineare di quadriche di
P3 (C).
F → E⊗V
→
E ⊗ V/<v>
f
idE ⊗ πv
U := {(f, v)| dim[E(f,v) ] = 3}
Φv : Uv → Grass(3, S 2 (V/<v> ))
X := Im(Φ)
GL(F )×GL(E)×Hom(F,E)
agisce su U
G :=
{a·idE ,a·idF ,γ}
0
0
0
0
(α, β, γ) · (α , β , γ ) = (α ◦ α , β ◦ β 0 , γ 0 + β 0−1 ◦ γ ◦ α0 )
(α, β, γ) · (f, v) = ((β ⊗ idV ) ◦ f ◦ α−1 + (β ◦ γ ◦ α−1 )v ,v)
dove (β ◦ γ ◦ α−1 )v (w) = (β ◦ γ ◦ α−1 )(w)⊗v per ogni w∈ F.
X ' U/G
i) segue da un’applicazione della G.I.T.,
ii) dalla costruzione.
7
FIBRATI SU FIBRATI
Sia ora X = P(E) dove E è un fibrato di rango 2 su una superficie Y rigata
razionale di invariante e ≥ 0. Sia T il divisore tautologico. π : X → Y.
Idea I): sia A ∈ P ic(Y ) e D = T + π ∗ A, se:
a) per ogni coppia di punti P e Q di X, eventualmente infinitamente
vicini, esiste un elemento liscio, irriducibile S in |D|, passante per P e Q,
b) h1 (Y, −A) = 0 ,
c) T|S è un divisore molto ampio di S,
allora T è un divisore molto ampio.
T|S = [π ∗ c1 (E) + π ∗ A]|S − c2 (E ⊗ A).
Idea II): sia B ∈ P ic(Y ) e D = π ∗ B, se:
a) per ogni coppia di punti P e Q di X, eventualmente infinitamente
vicini, esiste un elemento liscio, irriducibile S in |D|, passante per P e Q,
b) h1 (X, T − D) = 0 ,
c) T|S è un divisore molto ampio di S,
allora T è un divisore molto ampio.
Proposizione: sia E molto ampio con c1 (E) ≡ 3C0 + tf e c2 (E) = h.
Allora: h0 (Y, E) ≥ 7, t ≥ 3e + 1, h ≥ t ed esiste una successione esatta
0 → L → E → M → 0 dove L e M sono fibrati lineari tali che L ≡
2C0 + (2t − 2e − h)f e M ≡ C0 + (h − t + 2e)f.
8
IL METODO VALMALENCO
Consideriamo fibrati E per i quali esista una successione esatta 0 → L →
E → M → 0 con L ≡ al C0 +bl f , M ≡ am C0 +bm f , c1 (E) = L+M ≡ aC0 +bf
con a = al + am , b = bl + bm , c2 (E) := c.
Teorema: supponiamo che esistano due interi x ≥ 1 e z ≥ 2 tali che:
i) x > e + 1
ii) xal + bl > al e, xam + bm > am e, al > 0, am > 0
iii) z ≥ 1 + al , zx − bl > (z − al )e − 2,
z ≥ 1 + am , zx − bm > (z − am )e − 2
iv) min((x − e)al + bl , (x − e)am + bm ) > (z − 1)(2x − e).
Allora E è molto ampio.
Traccia della dimostrazione.
1) B := C0 + xf è molto ampio.
2) ∀γ ∈ |B|, γ liscia ed irriducibile, E|γ è molto ampio; E|f pure.
3) Per ogni coppia di punti P e Q (eventualmente infinitamente vicini)
esiste una superficie S = π ∗ γ1 + π ∗ γ2 + .... + π ∗ γz ∈ |zπ ∗ B| (o S = π ∗ γ1 +
π ∗ γ2 + .... + π ∗ γz + π ∗ f ∈ |zπ ∗ B + π ∗ f |) unione di z superfici lisce (o di esse
più π ∗ f ) che si intersecano a due a due trasversalmente solo lungo fibre.
4) Esiste una sezione di |T|S | passante per P, ma non per Q.
5) |T | → |T|S | con S ∈ |zπ ∗ B| è suriettiva, idem per S ∈ |zπ ∗ B + π ∗ f |.
9
DOPPIO SOGNO
Ogni volta che si prova la molta ampiezza di un tautologico T si prova
0
anche l’esistenza di un 3-fold X in Ph (Y,E)−1 di grado d = T 3 = [c1 (E)]2 −
c2 (E).
Migliorando iv), con z = 3 e c1 (E) ≡ 3C0 + tf :
1) e = 0, t = 4, x = 4 =⇒ X con 9 ≤ d ≤ 19.
2) e = 0, t = 5, x = 5 =⇒ X con 11 ≤ d ≤ 25.
3) e = 1, t = 5, x = 4, =⇒ X con 9 ≤ d ≤ 16.
4) e = 1, t = 6, x = 5, =⇒ X con 11 ≤ d ≤ 21.
5) e = 2, t = 7, x = 5, =⇒ X con 11 ≤ d ≤ 17.
6) e = 2, t = 8, x = 6, =⇒ X con 11 ≤ d ≤ 22.
In tutti questi casi le condizioni necessarie prima citate dicono che questi
3-fold sono i soli possibili.
Lanteri-Tironi (2004) considerano fibrati E ampi e generati su F1 con
c1 (E) ≡ 3C0 + tf , t ≥ 5 e c2 (E) = 2t − 4 dando un unico esempio di un tale
E molto ampio quando t = 5.
Con e = 1, x = 3 si otterrebbe la molta ampiezza di E per 5 ≤ t ≤ 10 e
quindi l’esistenza di altri 3-fold X con 35 ≥ d = 4t − 5 ≥ 15 del tipo da loro
considerato.
10