Esercizio 4.15 Trasformare le seguenti formule ben formate in forma

Esercizio 4.15 Trasformare le seguenti formule ben formate in forma di Skolem:
1. ∀y(∃xA(x, y) ⇒ B(y, x)) ∧ ∃y(∀xC(x, y) ∨ B(x, y))
2. ∃x∀y∃zD(x, y, z, ) ∨ ∃x∀yA(x, y)∧ ∼ ∃x∃yB(x, y)
3. ∼ (∀x∃yA(x, y) ⇒ ∃x∃yB(x, y)) ∧ ∀x ∼ ∃yB(y, x)
Soluzione:
1. per poter trasformare in forma di Skolem bisogna prima trasformare la fbf
in forma normale prenessa (tutti i quantificatori sono all’esterno)
∀y(∃xA(x, y) ⇒ B(y, x)) ∧ ∃y(∀xC(x, y) ∨ B(x, y))
∀y(∃zA(z, y) ⇒ B(y, x)) ∧ ∃h(∀kC(k, h) ∨ B(x, h))
∀y(∃zA(z, y) ⇒ B(y, x)) ∧ ∃h∀k(C(k, h) ∨ B(x, h))
∀y∀z(A(z, y) ⇒ B(y, x)) ∧ ∃h∀k(C(k, h) ∨ B(x, h))
∀y∀z∃h∀k((A(z, y) ⇒ B(y, x)) ∧ (C(k, h) ∨ B(x, h))) forma normale prenessa aperta
perché la variabile x è libera. Dobbiamo chiuderla
∃x∀y∀z∃h∀k((A(z, y) ⇒ B(y, x)) ∧ (C(k, h) ∨ B(x, h))) FNP chiusa
∀y∀z∀k((A(z, y) ⇒ B(y, c)) ∧ (C(k, f (y, z)) ∨ B(c, f (y, z)))) forma di Skolem
2. per poter trasformare in forma di Skolem bisogna prima trasformare la fbf
in forma normale prenessa (tutti i quantificatori sono all’esterno)
∃x∀y∃zD(x, y, z, ) ∨ ∃x∀yA(x, y)∧ ∼ ∃x∃yB(x, y)
∃x∀y∃zD(x, y, z, ) ∨ ∃h∀kA(h, k)∧ ∼ ∃t∃jB(t, j)
∃x∀y∃zD(x, y, z, ) ∨ ∃h∀kA(h, k) ∧ ∀t∀j ∼ B(t, j)
∃x∀y∃z∃h∀k∀t∀j(D(x, y, z, ) ∨ A(h, k)∧ ∼ B(t, j)) forma normale prenessa chiusa
∀y∃z∃h∀k∀t∀j(D(c, y, z, ) ∨ A(h, k)∧ ∼ B(t, j))
∀y∃h∀k∀t∀j(D(c, y, g(y), ) ∨ A(h, k)∧ ∼ B(t, j))
∀y∀k∀t∀j(D(c, y, g(y), ) ∨ A(f (y), k)∧ ∼ B(t, j)) forma di Skolem.
NOTA: Ho eliminato i quantificatori ∃uno per volta, ma potevo eliminarli tutti
e tre in un unico passaggio
3. per poter trasformare in forma di Skolem bisogna prima trasformare la fbf
in forma normale prenessa (tutti i quantificatori sono all’esterno)
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∼ (∀x∃yA(x, y) ⇒ ∃x∃yB(x, y)) ∧ ∀x ∼ ∃yB(y, x)
∼ (∀x∃yA(x, y) ⇒ ∃h∃kB(h, k)) ∧ ∀z ∼ ∃jB(j, z)
∼ (∀x∃yA(x, y) ⇒ ∃h∃kB(h, k)) ∧ ∀z∀j ∼ B(j, z)
∼ ∃x∀y∃h∃k(A(x, y) ⇒ B(h, k)) ∧ ∀z∀j ∼ B(j, z)
∀x∃y∀h∀k ∼ (A(x, y) ⇒ B(h, k)) ∧ ∀z∀j ∼ B(j, z)
∀x∃y∀h∀k∀z∀j(∼ (A(x, y) ⇒ B(h, k))∧ ∼ B(j, z)) forma normale prenessa chiusa
∀x∀h∀k∀z∀j(∼ (A(x, f (x)) ⇒ B(h, k))∧ ∼ B(j, z)) forma di Skolem
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