Esercizio 4.15 Trasformare le seguenti formule ben formate in forma
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Esercizio 4.15 Trasformare le seguenti formule ben formate in forma
Esercizio 4.15 Trasformare le seguenti formule ben formate in forma di Skolem: 1. ∀y(∃xA(x, y) ⇒ B(y, x)) ∧ ∃y(∀xC(x, y) ∨ B(x, y)) 2. ∃x∀y∃zD(x, y, z, ) ∨ ∃x∀yA(x, y)∧ ∼ ∃x∃yB(x, y) 3. ∼ (∀x∃yA(x, y) ⇒ ∃x∃yB(x, y)) ∧ ∀x ∼ ∃yB(y, x) Soluzione: 1. per poter trasformare in forma di Skolem bisogna prima trasformare la fbf in forma normale prenessa (tutti i quantificatori sono all’esterno) ∀y(∃xA(x, y) ⇒ B(y, x)) ∧ ∃y(∀xC(x, y) ∨ B(x, y)) ∀y(∃zA(z, y) ⇒ B(y, x)) ∧ ∃h(∀kC(k, h) ∨ B(x, h)) ∀y(∃zA(z, y) ⇒ B(y, x)) ∧ ∃h∀k(C(k, h) ∨ B(x, h)) ∀y∀z(A(z, y) ⇒ B(y, x)) ∧ ∃h∀k(C(k, h) ∨ B(x, h)) ∀y∀z∃h∀k((A(z, y) ⇒ B(y, x)) ∧ (C(k, h) ∨ B(x, h))) forma normale prenessa aperta perché la variabile x è libera. Dobbiamo chiuderla ∃x∀y∀z∃h∀k((A(z, y) ⇒ B(y, x)) ∧ (C(k, h) ∨ B(x, h))) FNP chiusa ∀y∀z∀k((A(z, y) ⇒ B(y, c)) ∧ (C(k, f (y, z)) ∨ B(c, f (y, z)))) forma di Skolem 2. per poter trasformare in forma di Skolem bisogna prima trasformare la fbf in forma normale prenessa (tutti i quantificatori sono all’esterno) ∃x∀y∃zD(x, y, z, ) ∨ ∃x∀yA(x, y)∧ ∼ ∃x∃yB(x, y) ∃x∀y∃zD(x, y, z, ) ∨ ∃h∀kA(h, k)∧ ∼ ∃t∃jB(t, j) ∃x∀y∃zD(x, y, z, ) ∨ ∃h∀kA(h, k) ∧ ∀t∀j ∼ B(t, j) ∃x∀y∃z∃h∀k∀t∀j(D(x, y, z, ) ∨ A(h, k)∧ ∼ B(t, j)) forma normale prenessa chiusa ∀y∃z∃h∀k∀t∀j(D(c, y, z, ) ∨ A(h, k)∧ ∼ B(t, j)) ∀y∃h∀k∀t∀j(D(c, y, g(y), ) ∨ A(h, k)∧ ∼ B(t, j)) ∀y∀k∀t∀j(D(c, y, g(y), ) ∨ A(f (y), k)∧ ∼ B(t, j)) forma di Skolem. NOTA: Ho eliminato i quantificatori ∃uno per volta, ma potevo eliminarli tutti e tre in un unico passaggio 3. per poter trasformare in forma di Skolem bisogna prima trasformare la fbf in forma normale prenessa (tutti i quantificatori sono all’esterno) 1 ∼ (∀x∃yA(x, y) ⇒ ∃x∃yB(x, y)) ∧ ∀x ∼ ∃yB(y, x) ∼ (∀x∃yA(x, y) ⇒ ∃h∃kB(h, k)) ∧ ∀z ∼ ∃jB(j, z) ∼ (∀x∃yA(x, y) ⇒ ∃h∃kB(h, k)) ∧ ∀z∀j ∼ B(j, z) ∼ ∃x∀y∃h∃k(A(x, y) ⇒ B(h, k)) ∧ ∀z∀j ∼ B(j, z) ∀x∃y∀h∀k ∼ (A(x, y) ⇒ B(h, k)) ∧ ∀z∀j ∼ B(j, z) ∀x∃y∀h∀k∀z∀j(∼ (A(x, y) ⇒ B(h, k))∧ ∼ B(j, z)) forma normale prenessa chiusa ∀x∀h∀k∀z∀j(∼ (A(x, f (x)) ⇒ B(h, k))∧ ∼ B(j, z)) forma di Skolem 2