ESERCIZI PER CASA QUINTA SETTIMANA Universit`a degli Studi

ESERCIZI PER CASA
QUINTA SETTIMANA
Università degli Studi di Trento
Corso di Laurea in Matematica
Corso di Teoria dei Numeri e Crittografia, A.A. 2005/06
23 marzo 2006
Fattorizzazione di numeri particolari. Scomponete in fattori primi i numeri 315 − 1,
105 − 1 e 106 − 1.
Ora scrivete una frazione con denominatore primo la cui espansione decimale sia
periodica di periodo minimo 5.
Suggerimento: Per la prima parte, oltre a basarsi sul lemma fatto a lezione sui numeri della
forma an − 1 conviene usare anche altri metodi, ad esempio 315 − 1 è sia differenza di due cubi
che differenza di due quinte potenze. Questo dà già due fattorizzazioni diverse, poi mediante
l’algoritmo di Euclide si possono calcolare dei massimi comun divisori di fattori già trovati, ecc.
Falsi primi di Mersenne. Usando solo una calcolatrice portatile, trovate il piú piccolo
fattore primo di 211 − 1, 223 − 1, 229 − 1 (ed eventualmente 237 − 1).
Una variante di un lemma fatto a lezione. Dimostrate il risultato seguente:
Siano a ed n interi maggiori di 1. Se un primo dispari p divide an + 1,
allora o p | ad + 1 per un divisore proprio d di n per cui n/d è dispari,
oppure p ≡ 1 (mod 2n).
Come applicazione, trovate la fattorizzazione completa di 224 + 1 = 16777217. (Oltre
al risultato visto sopra conviene usare anche altri trucchi, come il fatto che il numero è
somma di due cubi.)
Nota: Il risultato visto può servire anche per trovare la fattorizzazione F5 = 232 + 1 =
(29 + 27 + 1) · (223 − 221 + 219 − 217 + 214 − 29 − 27 + 1) = 641 · 6700417 del falso primo di Fermat
F5 scoperta da Eulero, che vi ho chiesto di verificare in un foglio di esercizi precedente. Infatti
basta provare a dividere F5 per i primi congrui a 1 modulo 64, cioè 193, 257, 449, 577, 641, 769, . . .
(mentre 65, 129, 321, 385, 513, 705, . . . non sono primi). In realtà in casi come questo esistono
ulteriori scorciatoie, ad esempio si può mostrare (usando i resti quadratici) che se un primo p
k
divide Fk = 22 + 1 con k > 1, allora p ≡ 1 mod 2k+2 . In particolare, ogni divisore primo di F5
è in effetti congruo a 1 modulo 128, anziché solo modulo 64 come abbiamo dimostrato sopra, e
questo ci risparmierebbe vari calcoli.
Crittografia classica e a chiave pubblica. Supponiamo che m utenti vogliano comunicare fra loro utilizzando un sistema di crittografia classica (cioè a chiave segreta). Ciascun utente però vuol poter comunicare con qualunque altro senza che i rimanenti m − 2
utenti possano comprendere la comunicazione. Quante chiavi distinte K = (KE , KD ) è
necessario costruire? E quante ne servirebbero invece se utilizzassero un sistema a chiave
pubblica? In particolare, quante ne servirebbero in ciascuno dei casi se m = 1000?
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Analisi di frequenza. Supponete di aver intercettato un lungo messaggio, crittato
mediante una mappa affine P 7→ C = aP + b, dopo esser stato tradotto in una sequenza
di elementi di P = Z/24 Z secondo la corrispondenza seguente
A B C D E F G H I L M N O P Q R S T U V Z hapostrofoi hspazioi ?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
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Avete effettuato un’analisi di frequenza sul messaggio, scoprendo cosı́ che i simboli piú
frequenti in esso sono “I” e “C”. D’altra parte, supponete di sapere che i simboli che
compaiono con maggiore frequenza in messaggi in italiano scritti in tale alfabeto sono il
simbolo “ ” (cioè lo spazio) e la lettera “E”, nell’ordine. Da queste informazioni provate
a ricavare la funzione di decrittatura C 7→ cC + d. Purtroppo non otterrete un’unica
soluzione, ma sei distinte possibilità per la coppia (c, d) (verificatelo).
Approfondendo l’analisi di frequenza, supponete di scoprire che il terzo simbolo in
ordine di frequenza nel vostro messaggio è “G”, mentre mediamente in italiano è “A”.
Verificate che con questa informazione le possibilità per la coppia (c, d) si riducono a due.
Provandole entrambe decrittate la parte finale del messaggio, che suona
GBBGEEGBCIGLL’GLTG
(Senza decrittare tutto il messaggio nei due modi, potete aiutarvi con altri ragionamenti,
del tipo seguente. Il messaggio contiene tre lettere che compaiono ripetute in due posizioni
adiacenti, ad esempio BB, è assai improbabile che questa sia la crittatura di AA o QQ,
ad esempio.)
Per concludere, dalla funzione di decrittatura che avete individuato ricavate la corrispondente funzione di crittatura, ed otterrete una sorpresa.