eserc. 4

(*) Esercizio n.1
Il sistema mostrato nella figura è inizialmente tenuto fermo e la molla è a riposo. La molla ha costante elastica
k=20N/m; la carrucola, assimilabile ad un disco, ha massa m=11.111 kg e raggio R=30 cm; il blocco ha massa M=2.0
kg; il piano è inclinato di θ=37° e non c’ è attrito tra esso ed il
blocco; il filo è inestensibile e ha massa trascurabile.
I
Il sistema viene rilasciato.
Calcolare:
di quanto il blocco scende lungo il piano inclinato
di quanto è sceso il blocco lungo il piano inclinato quando
M
la sua energia cinetica è massima
il modulo della velocità quando l’ energia cinetica del
k
blocco è massima
il modulo della velocità del blocco dopo che questo, partito
da fermo, è sceso di 1m lungo il piano inclinato
θ
Soluzione
Poiché tutte le forze che compiono lavoro sono conservative, l’
energia del sistema si conserva.
Il blocco raggiunge la posizione più bassa con velocità nulla (quando anche la carrucola è ferma). Se il blocco in questa
posizione è sceso lungo il piano inclinato di s , la sua energia potenziale è variata di ∆E p = − mgs sin θ e l’ energia
1 2
ks .
2
La variazione dell’ energia energia meccanica (rispetto a quella dello stato iniziale) deve essere nulla e quindi
2 Mg sin θ
1
∆E p + ∆E pe = − Mgs sin θ + ks 2 = 0 s =
= 1.18m .
k
2
Quando il blocco è sceso di 1m, sia il blocco che la carrucola hanno energia cinetica. Riapplicando la conservazione
dell’ energia e tenendo conto che la velocità angolare ω della carrucola e la velocità v del blocco sono legate dalla
relazione v=Rω, si ha
1
1
1
1
1
1
∆E p + ∆E pe + ∆E K = − Mgs sin θ + ks 2 + Mv 2 + Iω 2 = − Mgs sin θ + ks 2 +
M + m v 2 = 0 (1)
2
2
2
2
2
2
potenziale elastica della molla è aumentata di ∆E pe =
m
s
Il blocco si muove con velocità massima quando l’ energia potenziale del sistema è minima cioè
∂ E p + E pe
= − Mg sin θ + ks = 0
∂s
Mg sin θ
cioè quando il blocco è sceso lungo il piano di s =
= 0.59m . Sostituendo questa espressione nella (1) e
k
risolvendo per v si ottiene v=0.96m/s.
da cui si ricava v = 0,68
(
)