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ESERCIZI SULLA MEDIA ARMONICA E QUADRATICA
1) E’ stato rilevato il prezzo in euro al litro del carburante diesel in cinque aree autostradali :
1,36; 1,28; 1,40; 1,30; 1,25.
Calcolare il prezzo medio al litro.
2) Durante un viaggio sono stati effettuati tre rifornimenti di carburante secondo la tabella
sottostante:
EURO al
Carburante
litro
acquistato in euro
1,36
35,00
1,28
35,00
1,30
35,00
Calcolare il prezzo medio al litro.
3) Durante un viaggio sono stati effettuati tre rifornimenti di carburante secondo la tabella
sottostante:
prezzo al
Carburante
litro
acquistato in euro
1,36
10,00
1,28
50,00
1,30
42,00
Calcolare il prezzo medio al litro.
4) Sono stati rilevati i prezzi di un prodotto di largo consumo nell’ultimo quinquennio
riportati nella tabella sottostante. Calcolare il potere di acquisto medio del prodotto.
Anni
2006
2007
2008
2009
2010
Prezzo euro/kg
1,85
2,05
2,15
2,30
2,45
5) Ad un campione di 5 studenti è stato chiesto la durata in giorni di un dentifricio da 75 mg.
I risultati sono esposti nella tabella sottostante.
studenti
durata media in giorni
1
10
2
8
3
12
4
14
5
15
Calcolare la durata media in giorni del dentifricio.
FACOLTA’ DI ECONOMIA ANNO ACCADEMICO 2010-2011Corso di Laurea Triennale in “Economia e Commercio” Classe L-33 Corso
di “STATISTICA”secondo semestre Prof. Annibale ROCCO
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6) Su un campione di 5 bottiglie d’acqua minerale sono stati effettuati dei controlli sul peso
in grammi . Le differenze , rispetto a quanto dichiarato dalla casa produttrice, sono
evidenziate in tabella. Calcolare la media delle differenze riscontrate.
bottiglie
1^a
2^a
3^a
4^a
5^a
Differenze
-2
-5
+3
+2
-3
7) Sono state rilevate le variazioni della temperatura nei giorni della settimana rispetto alla
temperatura media stagionale in una nota località turistica.
Giorni della
settimana
Lunedì
Martedì
Mercoledì
Giovedì
Venerdì
Sabato
Domenica
Variazione
riscontrata
-2
-3
0
+1
+2
-1
-1
Calcolare la variazione media della temperatura settimanale.
--------------RISOLUZIONE DEGLI ESERCIZI SULLA MEDIA ARMONICA
1) Si tratta di una distribuzione semplice; il prezzo medio risulta dal rapporto tra il costo
totale e i litri acquistati. Nell’ipotesi fosse stata acquistata sempre la stessa quantità di
carburante il prezzo medio è dato dalla media aritmetica dei prezzi. Nell’ipotesi ,
maggiormente plausibile, di acquisto di differenti quantità di carburante per ciascun
rifornimento ( non necessariamente tutti diversi ) il prezzo medio è dato dalla media
armonica dei prezzi, semplice, nel caso di spesa costante per tutti i rifornimenti,
ponderata in caso di spesa variabile per ogni rifornimento.
ipotesi acquisto stessa quantità di
carburante per ogni rifornimento
ipotesi acquisto quantità diversa di carburante con spesa costante
per ogni rifornimento
quantità
costo di
prezzo al litro acquistata
ogni
in litri
rifornimento
€
€
€
€
€
1,36
1,28
1,40
1,30
1,25
totale
media =131,8/100
20
€
27,20
20
€
25,60
20
€
28,00
20
€
26,00
20
€
100
€
1,318
25,00
131,80
prezzo al litro
€
€
€
€
€
1,36
1,28
1,40
1,30
1,25
spesa
quantità
potere
costante per acquistata
d'acquisto
ogni
per ogni
1/Prezzo
rifornimento rifornimento
€
20,00
14,71
€
0,74
€
20,00
15,63
€
0,78
€
20,00
14,29
€
0,71
€
20,00
15,38
€
0,77
totale
media =100/76
€
€
€
20,00
100,00
1,316
16,00 €
76,00 €
0,80
3,80
media armonica =5/3,80
€
1,316
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2) Media armonica semplice , prezzo medio = € 1,312
3) È una distribuzione di frequenza con spesa variabile per ogni rifornimento; si applica
la formula della media armonica ponderata:
_
N
xa = n
1
ni
∑
i =1 xi
acquisto diversa quantità di carburante per ogni rifornimento
prezzo al litro
€
€
€
1,36
1,28
1,30
totale
media =102/78,72
media armonica =102/78,72
spesa variabile per
ogni rifornimento
quantità
acquistata per
ogni
rifornimento
potere
d'acquisto
1/prezzo
Rapporti
ni
xi
€
10,00
7,35
0,7353
7,35
€
50,00
39,06
0,7813
39,06
€
€
€
€
42,00
102,00
1,296
1,296
32,31
78,72
0,7692
32,31
78,72
4) Il potere d’acquisto di una merce è dato dal reciproco del prezzo, maggiore è il prezzo,
minore, ovviamente, è il potere d’acquisto ed esprime la quantità di merce acquistabile
con una data unità di misura del prezzo. Nell’esempio il potere medio di acquisto si
può calcolare come rapporto tra il totale del potere d’acquisto nel quinquennio e il
quinquennio stesso oppure come reciproco della media dei prezzi calcolato con la
media armonica.
anni
2006
2007
2008
2009
2010
totale
potere acquisto medio = 2,34/5
prezzo medio = 1/0,47
media aritmetica
prezzi
€ 1,85
€ 2,05
€ 2,15
€ 2,30
€ 2,45
€
potere d'acquisto
0,54
0,49
0,47
0,43
0,41
2,34
0,47
2,14
2,16
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5) È una distribuzione riguardante la durata; è conveniente calcolare il consumo annuo e
poi ridistribuirlo per i numeri di giorni nell’anno.
durata media in giorni
consumo annuo =365/A
10
8
12
14
15
totale
consumo pro capite annuo =162,95/5
durata media in giorni =365/32,59
media armonica =5/0,45
media aritmetica
consumo giornaliero
=1/durata
37
0,10
46
0,13
30
0,08
26
0,07
24
162,95
0,07
0,45
32,59
11,20
11,20
11,80
RISOLUZIONE DEGLI ESERCIZI SULLA MEDIA QUADRATICA
6) È una distribuzione con valori di segno discorde, con la media aritmetica i valori
positivi tendono a compensarsi con quelli negativi; conviene la media quadratica che
dà risalto a tutte le differenze.
bottiglie
Differenze quadrati
xi
1^a
2^a
3^a
4^a
5^a
-2
-5
3
2
-3
totale
media quadratica =
media aritmetica =
xi
2
4
25
9
4
9
51
3,19
-1
7) È una distribuzione con valori di segno positivo e negativo;
quadratica che dà risalto a tutte le differenze.
conviene la media
_
x q = 1,69 .
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