Geometria 2 Curve e superfici topologiche/1 Variet`a topologiche

Geometria 2
Curve e superfici topologiche/1
Varietà topologiche
topologiche
Varietà
M varietà
varietà topologica
topologica di
di dim
dim m
m (m-varietà topologica)
def
() M sp. top. T2 , II numerabile e localmente
localmente euclideo
euclideo
(8 p 2 M 9 U ⇢ M intorno aperto
aperto di p
9 ' : U ! '(U ) omeo con '(U ) aperto
aperto in Rm )
Note 1) (U, ') carta
carta locale
locale di M 3
Note
Note:
coordinate locali
locali su U ⇢ M
(x1 , . . . , xm ) coordinate
carta locale
locale speciale
speciale intorno a p
2) 8 p 2 M 9 (U, ') carta
tale che: '(p) = 0, '(U ) = Rm , U compatto
3) M localmente euclideo , M = [↵2A U↵
con (U↵ , '↵ ) carta locale (speciale) 8 ↵ 2 A
( U = {(U↵ , '↵ )}↵2A atlante
atlante (speciale)
(speciale) di M )
Esempi 1) M = aperto in Rm 3 U = {(M, idM )}
Esempi
Esempi:
carte stereografiche
stereografiche
2) S m ⇢ Rm+1 3 U = {(Ui , 'i )}i=1,2 carte
(Ui = S m {pi }, 'i : Ui ! Rm proiezione stereografica
definita 'i (x1 , . . . , xm+1 ) = (x1 , . . . , xm )/(1 ± xm+1 ) )
p1
0
m
S
p
Rm+1
Rm
ϕ2 (p)
ϕ1 (p)
p2
3) T m 3 U = {inverse locali di ⇡ : Rm ! T m }
4) P m = P (Rm+1 ) 3 U = {(Ui , 'i )}i=1,...,m+1 carte
carte affini
affini
(Ui = {[x1 , . . . , xm+1 ] 2 P m | xi 6= 0}, 'i : Ui ! Rm
definita 'i ([x1 , . . . , xm+1 ]) = (x1 , . . . , x
bi , . . . , xm+1 )/xi )
Geometria 2
Curve e superfici topologiche/2
Rm+1
p ∈ P m = P (Rm+1 )
xi
1
Rm 5 {xi = 1}
ϕi (p)
{xi = 0}
0
Note
Note:
Note 1) M m-varietà top., N ⇢ M aperto ) N m-varietà top.
(U 3 U|N = {(U \ N, '|U \N ) | (U, ') 2 U})
2) Mi m-varietà top. 8 i ) M1 t . . . t Mn m-varietà top.
(U1 , . . . , Un 3 U = U1 [ . . . [ Un )
3) Mi mi -varietà top. 8 i ) M1 ⇥ . . . ⇥ Mn ⌃i mi -varietà top.
(Ui 3 U = {(U1 ⇥ . . . ⇥ Un , '1 ⇥ . . . ⇥ 'n ) | (Ui , 'i ) 2 Ui })
M m-varietà top., (U, ') carta locale speciale
bm continua t.c. '
3'
b : M ! Sm 5 R
b|U = ' e '(M
b
M
U
M−U
ϕ
!
ϕ
U) = 1
∞ Sm 5 R
!m
Rm
Prop
Prop.
Prop M m-varietà top. compatta (vale per ogni varietà top.)
) 9 M ,! Rn immersione con n m
Dim U = {(U1 , '1 ), . . . , (Uk , 'k )} atlante speciale finito 3
Dim
Dim.
'
b1 ⇥ . . . ⇥ '
bk : M ! S m ⇥ . . . ⇥ S m ⇢ R(m+1)k immersione
Geometria 2
Curve e superfici topologiche/3
Prop M m-varietà top. ) M metrizzabile
Prop
Prop.
Dim
Dim.
Dim U = {(Un , 'n )}n 1 atlante speciale numerabile
3 d(p, q) = ⌃n d('
bn (p), '
bn (q))/2n metrica per M
(d continua ) B(p, ") ⇢ M aperto 8 p 2 M 8 " > 0
p 2 U ⇢ M ) 9 n 9 " > 0 t.c. B('
bn (p), 2n ") ⇢ '
bn (U \ Un )
) B(p, ") ⇢ U (d(p, q) < " ) d('
bn (p), '
bn (q)) < 2n ")
Classificazione delle
delle 1-varietà
1-varietà top.
top. (curve
curve topologiche
topologiche
Classificazione
curve
topologiche)
Lemma M curva topologica )
Lemma
Lemma.
segmentazione
segmentazione
9 S = {Sn }n 1 ric. num. loc. finito di M (segmentazione
segmentazione)
t.c. 1) Sn “segmento” 8 n (9 hn : [0, 1] ! Sn omeo)
2) Sn1 \ Sn2 = ? o “estremo” comune 8 n1 6= n2
Dim
Dim.
Dim U = {(Un , 'n )}n 1 atlante speciale numerabile
tale che M = [n 1 Cn con Cn = 'n 1 ([ 1, 1])
3 {Sn }n 1 t.c. 1), 2) e 3) C1 [ . . . [ Cn ⇢ S1 [ . . . [ Smn
(induzione a partire da m1 = 1 e S1 = C1
S1 , . . . , Smn 1 3 Smn 1 +1 , . . . , Smn
= ClCn componenti connesse
di Cn (S1 [ . . . [ Smn 1 ))
Prop
Prop.
Prop M curva topologica connessa , M 5 R1 o S 1
Dim
Dim.
Dim ogni “vertice” di S è estremo di due “segmenti”
3 S = {Sni }i 2 Z rinumerazione t.c. Sni \ Sni+1 6= ?
ki : [i, i + 1] ! Sni omeo t.c. ki (i + 1) = ki+1 (i)
3 k = [i ki : R ! M omeomorfismo se M non compatto
rivestimento se M compatto
−1
0
1
2
3
R
k
M
S − 1 S0
k− 1
k0
S2
S1
k2
k1
Geometria 2
Curve e superfici topologiche/4
Classificazione delle
delle 2-varietà
2-varietà top.
top. (superfici
superfici topologiche
topologiche
Classificazione
superfici
topologiche)
M1 , M2 superfici topologiche connesse 3
def
M1 # M2 == (M1 Int B1 ) t (M2 Int B2 )/p ⇠ h(p)
con B1 , B2 5 B 2 e h : Fr B1 ! Fr B2 omeo
h
B1 B2
M1 − Int B1
M2 − Int B2
M1 # M2
Note
Note:
somma
connessa)
Note 1) M1 # M2 è una sup. top. connessa (somma
somma connessa
connessa
t. di Schönflies ) M1 # M2 ben definita a meno di omeo
2) # commutativa e associativa, S 2 = elemento neutro
def
Esempi Tg == T 2 # . . . # T 2 (sup.
sup. orientabile
orientabile di
di genere
genere gg
Esempi
Esempi:
sup.
def
sup. non
non orient.
orient. di
di genere
genere gg
sup.
Pg == P 2 # . . . # P 2 (sup.
0)
1)
...
Tg ⊂ R 3
Lemma M superficie topologica )
Lemma
Lemma.
poligonazione
9 P = {Pn }n 1 ric. num. loc. finito di M (poligonazione
poligonazione
poligonazione)
t.c. 1) Pn “poligono” 8 n (9 hn : Dn ! Pn omeo con
Dn ⇢ R2 poligono convesso)
2) Pn1 \ Pn2 = ? o “vertice” o “lato” 8 n1 6= n2
Lemma
Lemma.
Lemma M superficie topologica connessa compatta
, M 5 D/⇠ con D ⇢ R2 poligono convesso e ⇠ relazione
d’equiv. che identif. i lati di D a coppie
Geometria 2
Curve e superfici topologiche/5
Dim P = {P1 , . . . , Pk } poligonazione finita di M
Dim
Dim.
ogni “segmento” di P è “lato” di due “poligoni”
3 P = {Pn1 , . . . , Pnk } rinumerazione t.c.
Pni \ (Pn1 [ . . . [ Pni 1 ) Si = “segmento” 8 i
3 D 5 Pn1 [S2 Pn2 [S3 Pn3 [S4 . . . [Sk Pnk
D ⊂ R2
Dn1
D n5
Dn2
Dn6
Dn4
Dn3
π
Pn 5
Pn2
Pn1
Pn4
Pn3
Dn7
Pn 6
Pn 7
M
Prop M superficie topologica connessa compatta
Prop
Prop.
, M 5 Tg con g 0 o M 5 Pg con g 1
Dim
Dim.
Dim M 5 D/⇠ + induz. su n = # “lati” di D ) M 5 Tg # Pg0
n = 2)
a
a
5 S 2 ( 5 T0 )
5 P 2 ( 5 P1 )
a
a
n = 4)
a
b 5 T 2 ( 5 T1 ) (gli altri casi sono in n ≥ 4)
b
a
n
4) I caso: 9 lati che si identificano con orient. concordi
a
M′
P2
M
A
12 B
a
5
A
B
#
n′ = n − 2
2
1
Geometria 2
Curve e superfici topologiche/6
II caso: lati in A non si identificano con lati in B
a
M ′′
M
M′
A
A
#
B
n′′ < n
n′ < n
a
III caso:
a
M
B
C
T2
M′
A
2 1
3 4
b
5
B
D
C
b 5
4
3
1
2
#
A
D
B
n′ = n − 4
a
Resta da provare che: T 2 # P 2 5 P 2 # P 2 # P 2
a
c
a
T2 #
5 b
a
5 P2 # b
b
c
b
c
c
a
Nota dim. 43 rappresentazione canonica delle superfici
Nota
Nota:
⇢
Th # P 2 con h = (g 1)/2 se g dispari
Pg 5
Th # P 2 # P 2 con h = (g 2)/2 se g pari
b2
a2 b2 a2 b1
b1
a1
D
bg
ag
ag
Tg
b2
a1
a2 b2 a2 b1
b2
a1
b1
a1
D
a2 b2 a2 b1
a1
b1
a1
D
c1
c2
c2
c1
bg
ah bh
ah
bh
Pg con g disp.
ah
bh a b
h
h
c1
c1
Pg con g pari
Geometria 2
Curve e superfici topologiche/7
Prop ⇡1 (Tg ) 5 ha1 , b1 , a2 , b2 , ..., ag , bg | [a1 , b1 ][a2 , b2 ]...[ag , bg ]i
Prop
Prop.
⇢
ha1 , b1 , ..., ah , bh , c1 | [a1 , b1 ]...[ag , bg ]c21 i se g dispari
⇡1 (Pg ) 5
ha1 , b1 , ..., ah , bh , c1 , c2 | [a1 , b1 ]...[ag , bg ]c21 c22 i se g pari
H1 (Tg ) 5 Z2g 8 g 0 e H1 (Pg ) 5 Zg 1 Z2 8 g 1
Dim applicazione del teorema di Seifert-Van Kampen
Dim
Dim.
con: U = (Int D)/⇠ 5 Int D semplicemente connesso
V = (D {p})/⇠ ' (Fr D)/⇠ 5 _n S 1 e U \ V ' S 1
Prop
Prop.
Prop Le superfici Tg con g 0 e Pg con g
sono a due a due non omeomorfe
1
Dim
Dim. gli H1 sono a due a due non isomorfi
Nota
Nota:
Nota in questo caso passando da ⇡1 ad H1 si conservano
abbastanza informazioni per distinguere le superfici
M superficie topologica compatta, P poligonazione di M
def
(M ) H == # poligoni di P
# lati di P + # vertici di P
H H H—
§ T T caratteristica
caratteristica di
di Eulero-Poincaré
Eulero-Poincaré di M
Note
Note 1)
Note:
2)
3)
BB D T 0T
4)
(M ) è ben definita, cioè non dipende da P
(P 0 suddivisione di P ) P 0 (M ) = P (M ),
8 P 9 P 0 suddivisione di P t.c. P 0 3 rappr. standard)
(S 2 ) = 2, (P 2 ) = 1, (T 2 ) = 0
(M1 # M2 ) = (M1 ) + (M2 ) 2
(Tg ) = 2 2g 8 g 0 e (Pg ) = 2 g 8 g 1
(M ) è invariante per omeo, quindi distingue tra loro
le superfici orientabili e le superfici non orientabili
(M orientabile ) 9 M ,! R3 ) @ Mb ,! M
M non orientabile ) M 5 M 0 # P 2 ) 9 Mb ,! M )
Conclusione
Conclusione:
Conclusione M, M 0 superfici topologiche connesse compatte
M 5 M 0 , ⇡1 (M ) 5 ⇡1 (M 0 ) , H1 (M ) 5 H1 (M 0 )
, (M ) = (M 0 ) e M, M 0 orien./non orien.