Caratterizzazione e controllo di un prototipo di sospensione

Transcript

Università degli Studi di Roma “La Sapienza”
Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
Dipartimento di Fisica
Caratterizzazione e controllo di un prototipo di
sospensione monolitica per l’interferometro Virgo
Candidato
Relatore
Marzia Colombini
Prof. Fulvio Ricci
Secondo Relatore
Dott. Ettore Majorana
A. A. 2008/2009
M
M
M
A Meri,
per essere stata con me
tutti questi anni
M
Indice
Introduzione
IX
1 Le Onde Gravitazionali
1.1 La teoria della Relatività Generale . . . . . . . . .
1.1.1 Le equazioni di Einstein . . . . . . . . . . .
1.2 La soluzione ondulatoria delle equazioni di Einstein
1.2.1 Proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Interazione con la materia . . . . . . . . . .
1.2.3 Intensità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Le sorgenti di onde gravitazionali . . . . . . . . . .
1.3.1 Stelle di neutroni rotanti . . . . . . . . . . .
1.3.2 Sistemi binari coalescenti . . . . . . . . . . .
Stella di Neutroni - Stella di Neutroni . . . .
Buco nero - Buco nero e sistemi misti . . . .
1.3.3 Eventi esplosivi . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Fondo stocastico . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Interferometro laser per la rivelazione delle onde gravitazionali
2.1 Principio di funzionamento di un interferometro . . . . . . . . . . .
2.1.1 Effetto del passaggio di un’onda gravitazionale sull’interferometro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Sorgenti di rumore in un interferometro terrestre . . . . . . . . . . .
2.2.1 Il rumore ambientale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Lo shot noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 La pressione di radiazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 La luce diffusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Il rumore termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Il moto browniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Il Teorema Fluttuazione-Dissipazione . . . . . . . . . . . . .
Rumore termico in un pendolo semplice reale . . . . . . . .
Tipi di dissipazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Il rumore termico nell’interferometro . . . . . . . . . . . . .
2.3 Interferometri Laser nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V
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20
24
27
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33
33
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36
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44
3 Virgo e VirgoAdvanced
3.1 Virgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Cavità Fabry-Perot . . . . . . . .
3.1.2 Specchio di ricircolo . . . . . . .
3.1.3 Sistema di iniezione . . . . . . . .
3.1.4 Sistema di rivelazione . . . . . . .
3.1.5 Sistema da vuoto . . . . . . . . .
3.1.6 Superattenuatore . . . . . . . . .
3.1.7 Ultimo stadio di sospensione degli
3.1.8 Sistema di controllo . . . . . . . .
3.1.9 La curva di sensibilità di Virgo .
3.2 VirgoAdvanced . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Le modifiche di VirgoAdvanced .
3.2.2 Le sospensioni monolitiche . . . .
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4 Il prototipo delle sospensioni monolitiche e il sistema
4.1 Realizzazione di una sospensione monolitica . . . . . .
4.1.1 La produzione delle fibre . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 La caratterizzazione delle fibre . . . . . . . . . .
4.1.3 Il montaggio delle fibre nel payload . . . . . . .
La marionetta per le sospensioni monolitiche . .
Lo specchio per le sospensioni monolitiche . . .
4.2 Apparato sperimentale per i test di controllo . . . . . .
4.2.1 Sistema di misura della posizione . . . . . . . .
4.2.2 Sistema di acquisizione ed elaborazione dati . .
I processi e i programmi per il controllo locale .
4.2.3 Sistema di attuazione . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4 Prime operazioni . . . . . . . . . . . . . . . . .
di test
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101
103
5 Caratterizzazione del prototipo di payload
5.1 Le funzioni di trasferimento . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Esempio di un pendolo semplice . . . . . . .
5.1.2 Funzione di trasferimento e filtri di controllo
5.2 Misure sperimentali . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Fit dei dati sperimentali . . . . . . . . . . .
5.2.2 Calcolo degli errori . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Previsione teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Sistemi ad una dimensione . . . . . . . . . .
5.3.2 Sistemi a due dimensioni . . . . . . . . . . .
5.3.3 Le funzioni di trasferimento teoriche . . . .
5.3.4 Confronto con le misure . . . . . . . . . . .
5.4 Modifica del progetto della marionetta per Virgo+ .
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Conclusioni
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specchi
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169
VI
A Concetti fondamentali della teoria della Relatività
I tensori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L’equazione delle geodetiche . . . . . . . . .
Il tensore di curvatura . . . . . . . . . . . .
Generale
171
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. . . . . . . . . 172
. . . . . . . . . 173
B Schematizzazione meccanica del payload
175
C Listato di configurazione del processo Gx Server
179
D Misure sperimentali delle funzioni di trasferimento
182
Bibliografia
195
VII
M
Introduzione
Lo studio dello spettro elettromagnetico ha consentito di estendere enormemente la
conoscenza dell’universo. Nel visibile le informazioni riguardanti gli oggetti astrofisici osservabili ci hanno permesso di valutare le dimensioni della nostra galassia
e di comprendere il ruolo fondamentale della Relatività Generale. Lo sviluppo di
ulteriori tecnologie ha dato luogo all’indagine del cosmo a lunghezze d’onda diverse dal visibile: si è così scoperta la radiazione cosmica di fondo nella banda delle
microonde e più recentemente le forti emissioni impulsive nello spettro dei raggi γ
che hanno portato alla luce l’esistenza di fenomeni molto energetici. Infine, grazie
alle osservazioni nella banda radio, si sono potute penetrare le nubi di polveri delle galassie distanti e vederne il centro, spesso costituito da corpi particolarmente
massivi.
Tuttavia esistono ancora oggetti astrofisici la cui osservazione non è semplice
a causa della loro bassa luminosità e delle loro ridotte dimensioni: questi corpi
celesti, che si possono formare nelle fasi finali dell’evoluzione stellare, sono buchi
neri, stelle di neutroni e nane bianche. Per le loro proprietà sono rilevabili tramite
l’emissione di onde elettromagnetiche solo nelle vicinanze della Terra.
A questo scopo si potrebbe utilizzare la radiazione gravitazionale. Le onde
gravitazionali, previste dalla Teoria della Relatività Generale, sono emesse da tutti
i corpi aventi una distribuzione di massa asimmetrica o variabile; ma a causa della
loro bassa intensità dovrebbero essere rilevabili solo nel caso in cui le masse in
gioco sono dell’ordine di quelle stellari.
Nel corso degli anni si sono sviluppati diversi strumenti per la misura del segnale gravitazionale: dalle prime barre risonanti ( J. Weber, 1960) fino agli interferometri, si continua a migliorare la sensibilità degli apparati di queste onde e a
sviluppare rivelatori sempre più sofisticati.
Gli interferometri attualmente in funzione sono sei: GEO600, nato dalla collaborazione anglo-tedesca, TAMA, lo strumento giapponese, i tre LIGO, posti in
due località diverse degli Stati Uniti e infine Virgo, il rivelatore italo-francese. Per
come sono costruiti e per la sensibilità raggiunta gli interferometri riuscirebbero a
misurare solo i segnali gravitazionali di determinate sorgenti. Per ogni tipo di sorgente esiste una distanza massima di rilevazione che al momento include il Gruppo
Locale.
Per poter rivelare un sufficiente numero di eventi di emissione gravitazionale è
necessario un ulteriore sviluppo tecnologico. Allo stato attuale, l’obiettivo fondaIX
mentale, a cui si è già molto vicini, è il raggiungimento di una sensibilità tale da
permettere l’osservazione di alcuni eventi all’anno, ovvero incrementare il raggio
di rivelazione fino all’ammasso della Vergine. A tale scopo, sono stati progettati
dei miglioramenti per Virgo da attuare in quattro anni che prendono il nome di
Virgo+ e VirgoAdvanced. Grazie a queste modifiche si guadagnerà un ordine di
grandezza in più su tutte le frequenze della banda di rivelazione.
In particolare, il contributo del rumore termico delle sospensioni degli specchi
presenti nell’interferometro sarà ridotto tramite una nuova sospensione realizzata
con fibre di silice fusa. Essa sarà realizzata con fili, attacchi e specchi integralmente
costituiti dallo stesso materiale in modo da formare un blocco monolitico e ridurre
così la dissipazione termoelastica e quella meccanica dovuta alle frizioni interne.
Prima di montare le sospensioni monolitiche nell’interferometro è necessario
studiare la fattibilità in termini di assemblaggio e robustezza per mezzo di un
apposito prototipo. In questo lavoro ci siamo occupati della caratterizzazione e
della risposta del sistema sottoposto al controllo di posizione. Il prototipo, assemblato in un laboratorio situato presso il sito di Virgo (Cascina, Pisa), è utile per
verificare la robustezza delle fibre e per attuare uno studio preliminare del loro
comportamento in condizioni di lavoro ordinarie.
Nel primo capitolo deriviamo dalle equazioni della Relatività Generale le onde
gravitazionali. Sono quindi analizzate le loro proprietà, la loro interazione con la
materia e le principali sorgenti di onde gravitazionali rilevabili con l’interferometro
Virgo.
Nel secondo capitolo è descritto come misurare le onde gravitazionali tramite uno strumento interferometrico, descrivendo la configurazione base di questo
rivelatore e i rumori in esso presenti. Si porrà particolare attenzione al rumore
termico. Dopo aver parlato delle prime schematizzazioni del moto browniano, è
affrontata la generalizzazione di questo fenomeno ai corpi solidi grazie al Teorema Fluttuazione-Dissipazione focalizzando la trattazione al caso della sospensione
meccanica degli specchi. Infine accenniamo ad un interferometro di futura generazione ancora in fase di progettazione (LISA) che, situato nello spazio, rappresenta
l’unica alternativa sostanziale rispetto agli interferometri terrestri.
Nel terzo capitolo descriviamo Virgo nel dettaglio, discutendo la curva di sensibilità teorica e quella misurata e ponendo particolare attenzione all’ultimo stadio
delle sospensioni, il payload, molto simile al prototipo da noi studiato. Successivamente elencheremo le modifiche più importanti che si ha intenzione di attuare per
VirgoAdvanced.
Nel quarto capitolo è affrontata la problematica della produzione e della caratterizzazione delle fibre di silice fusa e si descrive come si assembla una sospensione
monolitica. Si analizza, dunque, il sistema di controllo locale del prototipo di payload costituito dalla strumentazione di misura della posizione dello specchio, dal
sistema di acquisizione ed elaborazione dati e da quello di attuazione.
Parallelamente alla caratterizzazione della risposta meccanica del prototipo doX
tato di fibre in silice fusa è stato possibile progettare alcuni miglioramenti del
payload per Virgo+, fondati sull’esperienza acquisita tramite il funzionamento
dell’interferometro Virgo.
Nel quinto capitolo sono riportati i dati sperimentali delle misure delle funzioni
di trasferimento meccaniche del sistema nei diversi gradi di libertà in quattro
configurazioni, distinguibili dal tipo di fili di sospensione e dalla posizione del
centro di massa del sistema. Vengono poi confrontate le misure sperimentali con
le funzioni di trasferimento teoriche, calcolate tramite il metodo delle matrici di
trasferimento da punto a punto.
XI
M
Capitolo 1
Le Onde Gravitazionali
L’esistenza delle onde gravitazionali è prevista dalla teoria della Relatività Generale di Einstein (1916).
In questo capitolo introdurremo i concetti fondamentali della teoria e del calcolo
tensoriale. Vedremo poi come si ricava l’equazione delle onde dalla linearizzazione
delle Equazioni di Einstein nell’approssimazione di campo debole. Infine saranno
brevemente descritte le possibili sorgenti di onde gravitazionali.
1.1
La teoria della Relatività Generale
La teoria della relativià generale riformula la gravitazione di Newton. Infatti, con
l’introduzione delle trasformazioni di Lorentz, nell’accezione prevista dalla Relatività Ristretta, le equazioni di Newton della meccanica non risultavano più invarianti, mentre le equazioni di Maxwell per l’elettromagnetismo non presentavano
problemi. Einstein si propose di risolvere questa discrepanza proponendo un nuovo
formalismo.
La Relatività Generale si basa su un fondamentale principio di simmetria, il
Principio di Equivalenza, che stabilisce un legame tra il campo gravitazionale e la
geometria dello spazio-tempo. Esistono due diverse formulazioni di questo principio a seconda che si riferisca solo alle leggi della gravitazione o a tutte le leggi
della fisica:
• principio di equivalenza debole: in un campo gravitazionale arbitrario, dato
un punto dello spazio-tempo, è possibile scegliere un sistema di riferimento
inerziale tale che, in un intorno relativamente piccolo del punto, le leggi del
moto di un corpo in caduta libera assumono la forma dettata dalla teoria
della Relatività Speciale.
• principio di equivalenza forte: il principio di equivalenza debole vale per
tutte le leggi della fisica, non solo quelle che non coinvolgono l’interazione
gravitazionale.
1
Con la prima definizione stiamo affermando che un campo gravitazionale arbitrario, in un intorno sufficientemente piccolo di un dato punto dello spazio-tempo,
non è distinguibile da un campo di forze apparenti dovute alla scelta di un sistema
di riferimento non inerziale; quindi tutti i corpi, con la stessa velocità iniziale, si
muovono in un campo gravitazionale seguendo la stessa traiettoria, indipendentemente dalla loro composizione interna. Quest’idea ha come conseguenza diretta
l’eguaglianza tra massa inerziale mI e massa gravitazionale mG .
Inoltre si è voluto sottolineare la validità locale delle due definizioni: infatti
un campo gravitazionale non uniforme, grazie all’esistenza delle forze di marea,
è sempre distinguibile da un campo di accelerazione. Perciò solo in un intorno
sufficientemente piccolo di un dato punto, valgono questi principi.
Il Principio di Equivalenza è inglobato a sua volta nel Principio di Covarianza
Generale, la cui espressione richiede l’uso di alcuni concetti caratteristici della
teoria della Geometria differenziale degli spazi curvi, come i tensori e simboli di
Christoffel [2] (Appendice A).
1.1.1
Le equazioni di Einstein
La teoria della Relatività Generale riformula la gravitazione newtoniana. Ma nel
limite di campo debole le nuove equazioni devono ridursi all’equazione di Poisson,
valida nella formulazione classica:
∇2 Φ = 4πGρ
(1.1)
dove Φ è il potenziale newtoniano e ρ è la densità di massa che genera il campo.
Ora, nella teoria della Relatività Speciale di Einstein, con la nota espressione:
E = mc2
(1.2)
la massa e l’energia sono proporzionali, due diverse manifestazioni della stessa
entità fisica. Quindi non solo la massa, ma anche l’energia è una sorgente del
campo gravitazionale. Occorre trovare un nuovo modo di rappresentare le sorgenti
del campo e in particolare serve una rappresentazione tensoriale.
Si definisce così il tensore energia-impulso [2]:
T
αβ
=c
2
N
!
pαn pβn
n=1
En
−
→ −
→
δ 3 ( ξ − ξn (t))
(1.3)
−
→
dove pµn è il quadrivettore impulso e ξn (t) è il quadrivettore posizione di una n-esima
particella presente in un sistema generico formato da N particelle non interagenti.
Si noti che:
• T 00 rappresenta la densità di energia del sistema, 1c T 0i rappresenta l’energia
che fluisce attraverso l’unità di superficie ortogonale all’asse ξ i nell’unità
di tempo e T ik rappresenta invece il flusso della i-esima componente del
trivettore impulso attraverso la superficie ortogonale all’asse ξ i ;
2
• T µν è un tensore simmetrico; quindi ha solo 10 componenti indipendenti;
• T µν ha una legge di conservazione:
T µν ;ν = 0
(1.4)
In questo modo abbiamo generalizzato la sorgente di un campo gravitazionale.
Ci resta da generalizzare anche il potenziale newtoniano.
I simboli di Christoffel(Appendice A), espressi con il tensore metrico gµν , sono
interpretabili come la forza gravitazionale per unità di massa. Ci si aspetta quindi
che il tensore metrico sia associabile in qualche modo al potenziale Φ. Vediamo
come.
Nel caso di un campo gravitazionale debole, stazionario, per cui valga l’approssimazione v << c, è possibile scrivere il tensore gµν come la somma tra la metrica
di Minkowsky e una piccola perturbazione hµν :
con |hµν | << 1
gµν = ηµν + hµν
(1.5)
Sostituendo questa espressione nell’equazione delle geodetiche eq. A.11 e considerando solo i termini di primo ordine in hµν si ottiene:
d2 xα
1
= ∇h00
(1.6)
2
dτ
2
Si noti che resta solo il termine h00 in quanto v << c e si ha dxi << cdt ≡ dx0 ;
per cui il simbolo di Christoffel dominante è Γα00 .
L’eq. 1.6 appena trovata deve ridursi all’equazione newtoniana:
d2 xα
= −∇Φ
dτ 2
dunque, dal confronto tra l’eq. 1.6 e l’eq. 1.7 si ha:
(1.7)
Φ
Φ
−→
g
=
−(1
+
2
)
(1.8)
00
c2
c2
In questo modo si è determinato il collegamento tra il potenziale gravitazionale e la metrica dello spazio-tempo. Possiamo sostituire le quantità trovate
nell’equazione di Poisson eq. 1.1 e ottenere:
h00 = −2
8πG
T00
(1.9)
c4
Questa equazione non è ancora invariante per trasformazioni di Lorentz, ma se
si ha una distribuzione di energia e materia arbitraria, si può costruire un tensore
partendo da gµν e le sue derivate che prende nome di tensore di Einstein Gµν . L’eq.
1.9 diventa:
8πG
Gµν = − 4 Tµν
(1.10)
c
Bisogna capire a cosa equivale il tensore di Einstein. Per farlo serviamoci
delle caratteristiche del tensore energia-impulso: infatti, dato che Gµν è ad esso
proporzionale, deve godere delle stesse proprietà. Allora Gµν :
∇2 g00 = −
3
1. deve essere un tensore simmetrico
2. deve essere lineare nelle derivate seconde e deve contenere i prodotti delle
derivate prime del tensore gµν
3. deve soddisfare la legge di conservazione:
Gµν ;ν = 0
(1.11)
Il tensore di Riemann (Appendice A) ha la struttura cercata e in particolare
il tensore di Ricci e lo scalare di Ricci (moltiplicato per il tensore metrico), che
derivano da esso, hanno il giusto numero di indici. Il tensore di Einstein sarà una
combinazione lineare di queste due quantità:
Gµν = c1 Rµν + c2 gµν R
(1.12)
Impondendo le condizioni scritte sopra, si ottiene:
1
Gµν = Rµν − gµν R
2
(1.13)
che insieme all’eq. 1.10 compone le equazioni di Einstein.
L’incognita nelle equazioni eq. 1.10 e eq. 1.13 e’ il tensore metrico: una volta
nota la distribuzione delle sorgenti del campo ci si chiede che forma assuma lo
spazio-tempo. Non e’ facile risolvere queste equazioni non lineari e ci si riesce analiticamente solo in casi in cui la distribuzione delle sorgenti presenti una simmetria,
come nel caso della soluzione trovata da Schwarzschild [2].
1.2
La soluzione ondulatoria delle equazioni di Einstein
È possibile risolvere le equazioni di Einstein realizzando un’opportuna linearizzazione valida quando si ha un campo debole non stazionario. La non stazionareità è
data dai cambiamenti della sorgente che durino abbastanza a lungo da permettere
alla perturbazione di propagarsi attraverso la regione interessata; lontano dalla
sorgente questa regione può essere considerata vuota, così da poter utilizzare come
tensore metrico quello di Minkowsky (Appendice A), senza perdere in generalità.
Per ricavare la soluzione possiamo applicare il metodo perturbativo. Si scrive
il tensore metrico come somma di due diversi contributi, la soluzione effettiva delle
equazioni di Einstein, nel caso considerato ηµν , e la perturbazione hµν che deve
soddisfare la condizione:
|hµν | << 1
(1.14)
ottenendo:
gµν = ηµν + hµν
4
(1.15)
Anche il tensore energia-impulso sarà dato dalla somma di due contributi, il
0
termine imperturbato Tµν
e la perturbazione Tµν :
tot
0
Tµν
= Tµν
+ Tµν
(1.16)
Sostituendo l’eq. 1.15 e l’eq. 1.16, nelle equazioni di Einstein e considerando
solo i termini di primo ordine nella perturbazione si ottiene:
!hµν
"
#
∂ 2 hλµ
∂ 2 hλλ
16πG
1
∂ 2 hλν
−
+
−
=
−
(T
−
gµν Tλλ )
µν
∂xλ ∂xµ ∂xλ ∂xν
∂xµ ∂xν
c4
2
(1.17)
Ogni soluzione delle equazioni di Einstein non è univocamente determinata: infatti è sempre possibile eseguire un trasformazione di coordinate e trovare un’altra
soluzione equivalente. Essa corrisponde ad una famiglia di soluzioni relativa ad un
certo sistema di riferimento.
Possiamo quindi scegliere un sistema di coordinate per cui valgano l’eq. 1.14 e
l’eq. 1.4, che si traduce nella condizione di gauge armonica:
g µν Γγµν = 0
(1.18)
Dalle approssimazioni eq. 1.14 e eq. 1.15 è possibile semplificare il termine tra
parentesi a primo membro dell’eq. 1.17 e si ottiene:
$
!hµν = − 16πG
(Tµν − 12 gµν Tλλ )
c4
µ
γ
∂hλ
∂h
= 12 ∂xλγ
∂xµ
(1.19)
Introducendo il tensore:
1
hµν ≡ hµν − gµν hρρ
2
si ha:
$
!hµν = − 16πG
Tµν
c4
µ
∂hλ
=0
∂xµ
(1.20)
(1.21)
e ricordando che siamo nel vuoto, lontani dalla sorgente, per cui Tµν = 0:
$
!hµν = 0
µ
∂hλ
=0
∂xµ
(1.22)
Questa è la nota equazione differenziale delle onde: così abbiamo dimostrato che
una perturbazione della metrica si propaga effettivamente come un’onda. Grazie
alla doppia natura del tensore metrico, come indicatore della forma dello spaziotempo e come potenziale gravitazionale, le perturbazioni della metrica sono anche
perturbazioni gravitazionali.
5
1.2.1
Proprietà
La soluzione più semplice alle eq. 1.22 è un’onda piana monocromatica:
%
hαβ = % Aαβ eikγ x
γ
&
(1.23)
dove Aαβ è il tensore di polarizzazione e kγ è il vettore d’onda. Ovviamente siamo
interessati solo alla parte reale di questa quantità.
Possiamo vedere di quali proprietà godono le onde gravitazionali:
• si propagano alla velocità della luce. Infatti se si sostituisce l’eq. 1.23 nell’eq.
1.22 si trova:
η αβ kα kβ = 0
(1.24)
che è soddisfatta solo se kα è un vettore nullo, cioè di tipo luce1 .
• sono onde trasversali. Ciò si dimostra sostituendo l’eq. 1.23 nella gauge
armonica, ottenendo:
µ
∂hλ
=0
∂xµ
∂hαλ
η µα
=0
∂xµ
∂
γ
η µα
Aαλ eikγ x = 0
µ
∂x
η µα Aαλ kµ = 0
(1.25)
Aλα kµ = 0
equazione verificata se il vettore d’onda e il tensore di polarizzazione sono
ortogonali tra loro, cioè se l’onda è appunto trasversale.
• hanno soltanto due possibili stati di polarizzazione. Il tensore di polarizzazione deve rispettare alcune condizioni: deve essere un tensore simmetrico
(dato che il campo è descritto con un tensore simmetrico) e deve rispettare
la gauge armonica. Ne consegue che dei sedici elementi che formerebbero il
tensore Aµν , solo 4 sono non nulli [1]:




Aµν = 
0 0
0
0 Axx Axy
0 Axy −Axx
0 0
0
0
0
0
0





(1.26)
1
Un vettore nullo è un vettore il cui modulo quadro è nullo, pur non avendo tutte le singole
componenti nulle.
6
Usualmente si pone:
Axx = A+
Axy = A×
(1.27)
corrispondenti a due diverse polarizzazioni, che prendono nome di polarizzazione × e polarizzazione +. Approfondiremo nel prossimo paragrafo cosa
rappresentano queste due polarizzazioni.
1.2.2
Interazione con la materia
Dopo aver menzionato alcune proprietà delle onde gravitazionali, possiamo analizzare come esse interagiscono con la materia e in particolare come si comporta un
sistema di punti materiali giacenti nello spazio, attraversato da un’onda.
La perturbazione della metrica causata da un’onda gravitazionale non altera
la posizione di un punto materiale o di una massa di prova in un dato sistema
di riferimento. Si può invece dimostrare che il passaggio dell’onda fa variare la
distanza tra due corpi presenti nella regione interessata.
Infatti partendo dall’equazione delle geodetiche eq. A.11 e inserendo la per2 α
turbazione data da un’onda si otterrà che l’accelerazione ddτx2 della particella
considerata è nulla, ovvero che il corpo non cambia il suo stato di moto.
Per osservare gli effetti di un’onda gravitazionale, allora, non basta un solo punto materiale ma ne servono almeno due. Prendiamo due particelle vicine, inizialmente in quiete, poste lungo l’asse x delle coordinate, in un punto A, coincidente
con l’origine del sistema e in un punto B pari a x = ).
La distanza tra le due particelle, in questo sistema di coordinate, è dato dalla
distanza propria:
∆LAB =
=
=
-
|ds2 |1/2
|gµν dxµ dxν |1/2
- *
0
|gxx |1/2 dx
1
(1.28)
≈ |gxx (x = 0)|1/2 ) ≈ [1 + hxx (x = 0)] )
2
Dal momento che hxx , la perturbazione calcolata dalla componente Axx del
tensore di polarizzazione, è diversa da zero, la distanza propria ∆lAB cambia nel
tempo.
Un approccio più formale al problema concerne l’utilizzo dell’equazione della
deviazione geodetica, che a partire dall’equazione delle geodetiche eq. A.11, calcola
come due curve inizialmente parallele variano la loro distanza reciproca in uno
spazio-tempo generico, in cui non è assicurata la validità del quinto postulato di
Euclide. Riportiamo qui i risultati trovati, senza ricavarle esplicitamente:
1. per due particelle inizialmente separate di ) lungo l’asse x si trova:
∂2 x 1 ∂2
ξ = ) 2 hxx
∂t2
2 ∂t
7
∂2 y 1 ∂2
ξ = ) 2 hxy
∂t2
2 ∂t
(1.29)
2. per due particelle inizialmente separate di ) lungo l’asse y invece si trova:
∂2 y
1 ∂2
ξ
=
−
)
hxx
∂t2
2 ∂t2
∂2 x 1 ∂2
ξ = ) 2 hxy
∂t2
2 ∂t
(1.30)
Queste equazioni ci permettono di capire la polarizzazione delle onde gravitazionali.
Si prenda una distribuzione spaziale di particelle disposte ad anello, inizialmente in quiete, lungo il piano x−y, attraversato da un’onda. Se la perturbazone ha
hxx (= 0 e hxy = 0 l’anello si deformerà come si vede nella prima parte della fig.
1.1. Se invece l’onda ha hxy (= 0 e hxx = 0 allora si deformerà come mostrato nella
seconda parte della figura.
Figura 1.1: deformazione in funzione del tempo di un anello di particelle
attraversate da onde gravitazionali con diversa polarizzazione.
Da notare che anche le onde gravitazionali godono della principio di sovrapposizione: quindi una generica onda può sempre essere scomposta in una combinazione
lineare dei due diversi stati di polarizzazione h+ e h× .
1.2.3
Intensità
Possiamo ora considerare l’ampiezza di un’onda gravitazionale: per farlo dobbiamo
ripartire dall’eq. 1.21 dove è esplicitato il termine dipendente dalla sorgente del
campo. La soluzione in questo caso sarà il potenziale ritardato:
→
16πG - Tµν (t − r̃/c, −
x ") 3 "
−
→
hµν (t, x ) =
dx
(1.31)
c4
R
→
→
→
→
dove r̃ = |−
x −−
x " | è la distanza tra −
x , in cui si calcola la perturbazione, e −
x ",
in cui si trova una frazione infinitesima della sorgente.
8
→
→
Se siamo a grande distanza r dalla sorgente, con |−
x | ≈ r >> |−
x " |, questa
espressione si può semplificare:
hµν
16πG 1 →
≈
Tµν (t − r/c, −
x " )d3 x"
4
c r
(1.32)
Sfruttando la legge di conservazione eq. 1.4 del tensore energia-impulso si trova
che:
→
T0µ d−
x " = cost
(1.33)
da cui segue la conservazione dell’energia totale e del momento del sistema. Allora
le componenti della perturbazione h0µ non contribuiscono alla creazione del campo
e resta solo il termine T00 che nell’approssimazione non relativistica è pari a T00 ≈
ρc2 . Ora, dato che in un sistema legato vale il teorema del viriale, scritto in forma
tensoriale:
∂2 2c2 Tµν d3 = 2 T00 xµ xν d3 x
(1.34)
∂t
possiamo sostituire e ottenere:
hµν ≈
8πG ∂ 2 - −
→
→
ρ(→
x " )−
x "µ −
x "ν d3 x
c4 r ∂t2
(1.35)
L’integrando si può scrivere come il momento di quadrupolo per un sistema di
masse, definito:
→
Qµν = (3x"µ x"ν − r2 δµν )ρ(−
x " )d3 x"
(1.36)
Possiamo trascurare il termine dato dalla delta di Kronecker, non corrispondente alle due polarizzazioni trovate, e riscrivere:
→
hµν (t, −
x)≈
8πG
Q̈µν
3c4 r
(1.37)
Allora l’intensità delle onde gravitazionali dipende dal momento di quadrupolo che descrive la distribuzione di masse della sorgente. È da notare che nessun
contributo viene dal termine di monopolo o di dipolo: difatti la sorgente di monopolo deriva dalla massa-energia totale del sistema, che si conserva, mentre la
sorgente di dipolo è legata al centro di massa del sistema, che a sua volta non
varia il suo stato di moto se il sistema è isolato, per la conservazione del momento
angolare [3]. Questo si ricollega al Teorema di Birkhoff: la soluzione di Schwarzschild è l’unica soluzione possibile a simmetria sferica e asintoticamente piatta.
Ciò comporta che un qualunque sistema simmetricamente sferico non emette radiazione gravitazionale, come analogalmente non si ha emissione da un monopolo
elettromagnetico.
9
Volendo fare una valutazione per ordini di grandezza dell’ampiezza delle onde,
possiamo approssimare il momento di quadrupolo:
Q ∼ M R2
−→
Q̈ ∼
M R2
T2
(1.38)
dove M è la massa totale del sistema, R il raggio tipico e T il tempo caratteristico
di variazione nella distribuzione delle masse. Dato che v = R/T è la velocità con
cui si muovono le masse all’intero del sistema, si ottiene:
1 GM
h∼
r c2
. /2
v
c
(1.39)
Da questa formula si stima il valore del segnale gravitazionale: il rapporto tra
le costanti G/c2 ∼ 10−29 m3 /s4 Kg è talmente esiguo che solo se sono in gioco masse
eccezionalmente elevate (come quelle dei corpi celesti) oppure velocità relativistiche
è possibile considerare la rilevazione delle onde gravitazionali.
1.3
Le sorgenti di onde gravitazionali
Ci sono diverse sorgenti astronomiche che emettono onde gravitazionali. Per classificarle possiamo avvalerci di vari metodi, a seconda della natura dell’oggetto, del
tipo di segnale, dell’intensià della radiazione o della sua frequenza.
Facciamo una classificazione in base a quest’ultimo parametro:
• frequenze estrememante basse (10−18 − 10−13 Hz):
– sorgenti stocastiche (fluttuazioni gravitazionali primordiali amplificate
dalla fase di espansione inflazionaria dell’universo);
• frequenze molto basse (10−9 − 10−7 Hz):
– sorgenti stocastiche (fluttuazioni gravitazionali dovute alla rottura delle
simmetrie delle interazioni fondamentali avvenuta nelle prime fasi di
vita dell’universo);
• frequenze basse (10−5 − 1 Hz):
– sistemi binari formati da oggetti compatti (nane bianche, stelle di neutroni, buchi neri);
– fase di coalescenza di binarie formate da buchi neri massicci;
– fondo stocastico (commistione di sorgenti astrofisiche e primordiali, già
descritte);
• frequenze alte (1 − 104 Hz):
10
– coalescenza di stelle binarie formate da oggetti compatti;
– stelle di neutroni rotanti;
– eventi esplosivi come collassi stellari, gamma-ray burst e supernovae;
– fondo stocastico previsto da diversi meccanismi a seconda del modello
cosmologico scelto, come la teoria delle stringhe o il modello inflazionario.
A questo punto possiamo trattare più approfonditamente alcuni tipi di sorgenti.
1.3.1
Stelle di neutroni rotanti
Una stella di neutroni è un oggetto compatto ad alta densità in cui le reazioni di
termofusione nucleare tipiche dei nuclei stellari non avvengono più; solo le stelle
con massa iniziale compresa tra 10M$ e 80M$ terminano la loro evoluzione in
questo modo (per masse inferiori si genera una nana bianca, mentre per masse
superiori un buco nero).
In generale, a causa della loro bassa emissione luminosa, sono oggetti poco
visibili se non nelle vicinanze della Terra. Diventano invece facilmente rivelabili
quando sono delle pulsar, cioè quando emettono radiazione elettromagnetica nella
banda radio tramite una sequenza di impulsi con una frequenza pari a quella di
rotazione. La maggior parte delle stelle di neutroni sono conosciute sotto forma
di pulsar ma si prospetta che esistano anche stelle elettromagneticamente quiete,
quindi non osservabili. Allora diventa fondamentale la rivelazione di onde gravitazionali da sorgenti di questo tipo, per poter supplire alla mancanza di altre forme
di emissione.
Le stelle di neutroni rotanti emettono onde gravitazionali continue, periodiche e
monocromatiche ad una frequenza doppia rispetto a quella di rotazione attraverso
diversi processi che portano alla variazione temporale del momento di quadrupolo
della loro massa:
• il campo magnetico può portare la stella a ruotare attorno ad un asse differente dal suo asse di simmetria;
• la crosta della stella può presentare delle disomogeneità;
• l’eventuale disco di accrescimento presente può avere un asse di simmetria
non necessariamente allineato con quello della stella;
• il fluido che costituisce la struttura interna della stella può causare delle
asimmetrie.
L’intensità delle onde gravitazionali dipende allora fortemente dal grado di
asimmetria della pulsar, che si parametrizza con ε:
Iν 2 ε
h∼
d
11
(1.40)
dove I è il momento d’inerzia del corpo, d la sua distanza dall’osservatore e ν la
frequenza a cui emette [14].
Le onde gravitazionali emesse dalle stelle di neutroni, per le loro caratteristiche,
permettono di ricavare il segnale dall’analisi della funzione di autocorrelazione: in
questo modo si ha l’indipendenza dalla rivelazione in coincidenza con altri strumenti, il che rende tali sorgenti interessanti. C’è da notare però che, nonostante
le pulsar emettano ad una frequenza bene stabilita, l’effetto Doppler dato dai movimenti di rotazione e rivoluzione della Terra nello spazio va calcolato in tutte le
direzioni: ciò rende la ricerca di questo tipo di segnale onerosa dal punto di vista
computazionale, per l’allungamento nei tempi di elaborazione.
Si può calcolare il tasso di eventi aspettati, cioè il numero di onde gravitazionali
che si preveda provenire da questa sorgente nell’unità di tempo. Questo dato
dipende dalla frequenza con cui si generano le stelle di neutroni, ma dipende anche
dal volume di universo in cui si cercano questi eventi, quindi dalla capacità di
rivelazione dello strumento di misura. Qui e in seguito riporteremo i tassi di
eventi calcolati per l’interferometro VIRGO, in configurazione avanzata, descritto
nel Capitolo 3. Per quanto riguarda, le stelle di neutroni, fino ad oggi si conoscono
circa 2000 pulsar nei dintorni della Terra (∼ 1kpc), ma si stima che nello stesso
volume ci siano 105 stelle quiete.
1.3.2
Sistemi binari coalescenti
Le stelle tendono a presentarsi in gruppi anzichè singolarmente, formando un unico
complesso cinematico (con la stessa velocità) e fisico (con la stessa età e composizione chimica). Questo dipende sostanzialmente dalla loro formazione, in quanto
provengono dalla frammentazione della stessa nube progenitrice.
Nel caso più semplice le stelle si trovano in sistemi binari, costituiti da due
corpi molto vicini tra loro, rispetto agli altri astri circostanti, legati l’uno all’altro dall’interazione gravitazionale. L’evoluzione del sistema è caratterizzato dalla
massa di ciascuna delle stelle e dalla differenza tra le masse stesse (la stella con
maggiore massa evolverà prima della compagna): si possono avere sistemi che producono eventi molto diversi tra loro come le novae, le sorgenti X, le stelle di tipo
Wolf-Rayet [4, 5].
L’emissione di onde gravitazionali riguarda le stelle doppie nelle fasi finali della
loro vita, quando entrambe le componenti sono uscite fuori dalla Sequenza Principale e sono divenute oggetti compatti, come stelle di neutroni (NS) o buchi
neri (BH). Allora ha inizio la coalescenza che si divide generalmente in tre stadi, ben identificabili in base al tipo di segnale gravitazionale emesso, periodico o
semi-periodico (fig. 1.2):
1. inspiral o spiraleggiamento: il raggio delle orbite delle due componenti si
riduce adiabaticamente, le stelle si avvicinano sempre più emettendo onde gravitazionali. Il segnale è modellizzato con l’espansione post-newtoniana
(formalismo che approssima le equazioni di Einstein sviluppando i coefficienti
12
della metrica e la velocità dei corpi): in questa fase, dato che l’orbita si restringe, la frequenza di emissione e l’ampiezza delle onde aumenta, generando
il chirp (fig. 1.3).
2. merger : i due oggetti compatti collidono e si fondono, creando un nuovo
corpo. Il segnale in questa fase è stato recentemente studiato con i metodi
della Relatività numerica [6].
3. ringdown: il nuovo oggetto formatosi, presumibilmente un buco nero massiccio, raggiunge uno stato di equilibrio, irradiando via le distorsioni presenti.
Il segnale caratteristico emesso è riproducibile con una sinusoide smorzata
da una funzione esponenziale decrescente.
Figura 1.2: andamento del segnale di un’onda gravitazionale emessa da un sistema
binario coalescente nelle tre fasi descritte.
Per un sistema legato di questo tipo possiamo fare una stima dell’ampiezza e
della frequenza del segnale prodotto, almeno nella fase iniziale di spiraleggiamento,
a partire dall’eq. 1.39. Chiamando la dimensione caratteristica del sistema a, cioè
il raggio delle orbite2 e M1 e M2 le masse delle due stelle, si può applicare la
formula fondamentale della teoria delle orbite (la terza legge di Keplero):
a3
G(M1 + M2 ) = 4π 2
P
(1.41)
dove P è il periodo dell’orbita. Sostituendo al periodo la sua espressione in
funzione della velocità si scrive (v/c)2 ≈ G(M1 + M2 )/c2 a. Allora l’ampiezza del
2
I sistemi binari sono spesso interessati da processi, quali la stessa emisione di onde
gravitazionali, che portano alla circolarizzazione e alla sincronizzazione delle orbite.
13
segnale, mediato sul periodo orbitale e sull’inclinazione dell’orbita è [13]:
h=
0
<
h2+
>+<
h2×
.
32
>=
5
/1/2
M1 M 2
1 G5/3
(πf )2/3
4
r c (M1 + M2 )1/3
(1.42)
e la frequenza di emissione è:
1
f=
π
1
G(M1 + M2 )
a3
21/2
(1.43)
Si noti che l’ampiezza h dipende da una particolare combinazione delle masse
detta massa del chirp M:
(M1 M2 )3/5
M=
(1.44)
(M1 + M2 )1/5
cosicchè l’eq. 1.42 si possa riscrivere come:
1
h ∼ M5/3 f 2/3
r
(1.45)
Appare così evidente che quando le due stelle si avvicinano, diminuisce a, quindi
aumenta la frequenza di emissione e anche l’ampiezza, dando origine al segnale
mostrato in fig. 1.3, detto appunto chirp.
Figura 1.3: andamento del segnale di un’onda gravitazionale emessa da un sistema
binario coalescente nella fase di spiraleggiamento.
Quanto abbiamo descritto finora vale per qualunque configurazione abbia il
sistema, sia esso composto da due stelle di neutroni, da due buchi neri, oppure
misto, con una stella di neutroni rotante intorno ad un buco nero. Quello che
differenzia queste tre diverse situazioni è il numero di eventi all’anno.
14
Stella di neutroni - Stella di neutroni
L’esistenza di sistemi così composti è attestata da numerose osservazioni, tra cui
la famosa PSR1913+16, studiata da Hulse e Taylor.
L’osservazione di onde gravitazionali da questi sistemi ci permette di avere
informazioni sulla struttura e sull’equazione di stato delle stelle di neutroni e
soprattutto sui parametri orbitali e sulla massa del buco nero che si dovrebbe
formare.
Esistono due metodi diversi per stimare il tasso di eventi: il primo metodo è
empirico e si basa sulle osservazioni di sistemi di questo tipo; il secondo è invece
teorico e si basa sulla sintesi di popolazioni stellari [5], cioè la stima di quantità
integrate, come la magnitudine, lo spettro, l’indice di colore di un certo gruppo di
stelle a partire dalla funzione iniziale di massa (o di luminosità) e dalle equazioni
che descrivono la struttura stellare.
Per valutare il tasso di eventi con il primo metodo si calcola la frazione di
i sistemi binari costituiti da pulsar, osservabili tramite la controparte elettromagnetica, che entreranno secondo i modelli nella fase di coalescenza in tempiscala paragonabili con l’età dell’universo. Si trova [7] un tasso di eventi pari a
Remp ∼ 3 − 109 M yr−1 M W EG−1 , tenendo conto che i sistemi binari osservati
in una galassia equivalente alla nostra (MWEG, sta per Milky Way Equivalent
Galaxy) contengono almeno una pulsar.
Per valutare il tasso di eventi con il secondo metodo, invece, bisogna fare delle
ipotesi sull’evoluzione delle stelle doppie, sul tasso di formazione stellare e sulle
masse delle componenti. Si propongono [8] diversi modelli che portano a valori del
tasso di eventi di Rteo ∼ 7, 6 − 101 M yr−1 , compatibili con Remp .
Il sistema di pulsar PSR1913+16 rappresenta per ora l’unica prova, indiretta,
di emissione di onde gravitazionali.
Hulse e Taylor nel 1973 [9] lo scoprirono mentre eseguivano una survey radio di
binarie con oggetti compatti all’Osservatorio di Arecibo. Trovarono che una pulsar
di massa M ∼ 1, 4M$ presentava una modulazione del periodo P = 59, 03 ms pari
a Ṗ = 8, 63 · 10−18 s s−1 tale da far supporre la sua appartenenza ad un sistema
binario, seppure non ci fossero osservazioni della compagna. Ciononostante è stato
possibile misurare la curva di velocità della coppia usando l’effetto Doppler delle
righe dell’unico spettro visibile e ricavare i parametri fondamentali delle orbite,
come l’eccentricità e = 0, 615±0, 010 e il semiasse maggiore a sin i = 1, 00±0, 02R$
(ovviamente correlato con l’inclinazione dell’orbita i, quantità che non si riesce a
misurare direttamente), nonchè la massa della compagna oscura, paragonabile a
quella della pulsar nota. Se ne dedusse che anche questa compagna fosse una pulsar
e che quindi il sistema fosse un buon candidato per la verifica della Relatività
Generale, dato l’intenso campo gravitazionale prodotto.
Il sistema PSR1913+16 continua tuttora ad essere oggetto di studio [11] consentendo un crescente miglioramento nella precisione con cui sono ricostruiti i
15
parametri delle due pulsar. Ad esempio, la variazione del periodo orbitale è stata
misurata con notevole accuratezza, come mostrato in fig. 1.4.
Figura 1.4: variazione del periodo orbitale del sistema di pulsar PSR1913+16 in
accordo con quella prevista dall’emissione di onde gravitazionali, rappresentato
dalla curva.
La curva teorica è quella prevista per un sistema binario che emette onde
gravitazionali. Si può ricavare derivando rispetto al tempo la formula fondamentale
delle orbite eq. 1.41 previa sostituzione dell’espressione per il semiasse dato dalla
soluzione del problema dei due corpi relativistico. Si trova:
Ṗ = −
192π
5c5
.
2πG
P
/5/3
(1 +
73 2
e )(1 + e2 )−7/2 M1 M2 (M1 + M2 )−1/3
24
(1.46)
da cui è possibile ricavare lo spostamento temporale cumulativo, cioè l’intervallo
di tempo impiegato per ritornare alla posizione di periastro, graficato in figura.
16
Buco nero - Buco nero e sistemi misti
Contrariamente ai sistemi sopra descritti, le binarie composte da buchi neri-buchi
neri o miste sono osservate con maggiore difficoltà. Si calcola, però, che l’emissione
di onde gravitazionali sia molto più intensa e quindi misurabile per sorgenti più
lontane, a causa delle maggiori masse in gioco: in genere una stella di neutroni ha
massa ∼ 1, 4M$ , contro le ∼ 10M$ dei buchi neri.
Per stimare l’ordine di grandezza del tasso di eventi aspettato [13] si procede
come segue. Dalla teoria dell’evoluzione stellare si sa che le progenitrici delle
stelle di neutroni hanno tipicamente M > 10M$ , mentre per i buchi neri si ha
M > 80M$ . Allora, partendo dalla funzione iniziale di massa data da Salpeter [4]:
dN
∝
dtd(M/M$ )
1
M
M$
2−2,35
(1.47)
yr−1
si calcola il rapporto tra il numero di stelle che daranno origine in un sistema
binario ad una stella di neutroni NN S−N S e quello di stelle che daranno origine
ad un buco nero NBH−BH . Questa quantità sarà proporzionale al rapporto tra i
rispettivi tassi di coalescenza. Integrando sulle masse:
NBH−BH (M > 80M$ )
RBH−BH
=
=
RN S−N S
NN S−N S (M > 10M$ )
1
80M$
10M$
2−1,35
≈ 0, 06
(1.48)
Ne risulta che il tasso di coalescenze di sistemi BH-BH sono almeno un ordine
di grandezza inferiore a quello di eventi provenienti da stelle di neutroni. In realtà
calcoli più precisi del tasso di eventi, basati sui due metodi accennati prima, il
metodo empirico e quello teorico, prevedono dei tassi inferiori.
Il metodo empirico dispone, questa volta, di un’unica osservazione che riguarda
il sistema binario IC10 X1, formato da una stella di tipo Wolf-Rayet molto massiccia e presumibilmente un buco nero. Il sistema evolverà come buco nero-buco
nero e resterà coalescente per qualche miliardo di anni [12].
Il metodo teorico, come prima, parte dai modelli di sintesi di popolazione stellare; si trova che il tasso per un sistema BH-BH è di RBH−BH ∼ 0, 02−0, 03M yr−1 ,
mentre per un sistema misto si ha RBH−N S ∼ 0, 07 − 0, 11M yr−1 .
1.3.3
Eventi esplosivi
Questi eventi possono essere causati da varie sorgenti ma sono tutti caratterizzati
dall’avere un segnale non periodico, di tipo impulsivo con uno spettro piuttosto
largo alle alte frequenze. La transitorietà dell’evento rende necessaria l’osservazione
in coincidenza tra vari strumenti.
In questo lavoro distingueremo tra esplosioni di supernova, γ-ray burst e soft
γ-ray reapeter.
17
Le supernovae possono essere di tipo I o di tipo II: la classificazione è fatta in
base alla curva di luce dell’esplosione e in base alla popolazione di appartenenza
della stella progenitrice. Tipicamente le supernovae di tipo I sono stelle di popolazione II appartenenti a sistemi binari stretti, mentre quelle di tipo II, meglio
studiate, sono stelle di popolazione I massicce che si trovano alla fine della loro
vita [5].
Per quanto concerne l’emissione di onde gravitazionali, data principalmente
dalle supernovae di tipo II, si calcola che la frazione di energia persa ∆E sotto
questa forma dipenda dalla velocità del collasso e dal suo grado di asimmetria e
che non superi i 10−8 M$ .
L’ampiezza del segnale emesso è:
−20
h ∼ 2, 7 · 10
.
∆E
Modot c2
/1/2 1
1kHz
f
21/2 .
10M pc
r
/
(1.49)
dove f è la frequenza associata al tempo di collasso.
Il tasso di eventi è basso: nella nostra galassia e nel Gruppo Locale si ha meno
di un’esplosione ogni venti anni, mentre in una sfera di raggio pari a 5M pc, centrata
sulla Terra, possiamo arrivare a un evento all’anno.
L’esiguità e la limitata conoscenza della forma del segnale emesso rendono questo tipo di sorgenti difficilmente misurabili. Nonostante le difficoltà si può tentare
di lavorare in coincidenza con i rivelatori di neutrini. Infatti si teorizza che durante
il collasso del nucleo della stella super-massiccia, il 99% dell’energia rilasciata vada
nella produzione ed emissione di questo tipo di particelle che arriveranno con un
certo ritardo rispetto alle onde gravitazionali a causa della loro massa.
Si noti allora come la misura di onde gravitazionali da supernovae diventi fondamentale, non solo per la stima della massa dei neutrini, ma anche per il discernimento dei meccanismi di esplosione delle stelle.
I γ-ray burst (GRB) sono dei flash di raggi gamma che durano da qualche
secondo a qualche minuto e che rilasciano nell’ambiente una quantità di energia
pari a 1051−54 erg/s. Si pensa siano connessi:
• al collasso gravitazionale di stelle di tipo Wolf-Rayet molto massicce e in
rapida rotazione, collasso che potrebbe portare alla formazione di un buco
nero circondato da un disco di accrescimento;
• alla coalescenza tra buchi neri e stelle di neutroni.
Il tasso di GRB è di un evento al giorno; considerando che l’emissione di onde
gravitazionali avviene due minuti prima e due minuti dopo il raggiungimento del
massimo di raggi gamma, ci si aspetta di rilevare onde gravitazionali da queste
sorgenti.
I soft γ-ray repeater sono delle stelle visibili anche nei raggi X ma che emettono
periodicamente dei flash di raggi γ a basse frequenza. Si pensa che questo processo
18
sia dovuto ad un intenso campo magnetico generato da una stella di neutroni, la cui
crosta, sollecitata dallo stress magnetico, tende a rompersi e a provocare terremoti
stellari.
Fino ad oggi si conoscono quattro soft γ-ray repeater nella nostra galassia e un
numero confrontabile sarà presente nelle galassie vicine. Ci si aspetta quindi che
gli eventi da queste sorgenti sia rivelabile.
1.3.4
Fondo stocastico
Il fondo stocastico è generato da una sovrapposizione a tutte le frequenze e in
tutte le direzioni di sorgenti astrofisiche e cosmologiche. Il segnale è quindi incoerente ed ha bassa intensità, caratteristiche che lo pongono al di sotto della soglia
attuale di rivelazione degli strumenti. Per distinguerlo dal rumore strumentale è
necessario calcolare la correlazione tra il segnale misurato da almeno due rivelatori
indipendenti e sfruttare la sua modulazione data dal moto della Terra all’interno
della galassia.
Le sorgenti astrofisiche che producono il fondo si possono dividere in sorgenti
galattiche e extragalattiche, distinguibili le une dalle altre grazie alla loro diversa
distribuzione spaziale: le sorgenti galattiche, come ad esempio binarie di nane
bianche, sono localizzate sul piano galattico, mentre le altre, come ad esempio
buchi neri supermassicci al centro di galassie (nuclei galattici attivi), hanno una
distribuzione uniforme.
Le sorgenti cosmologiche sono dovute a fluttuazioni di materia nelle primissime
fasi di vita dell’universo, amplificate dall’espansione inflazionaria [15]. Si verrebbe
così a creare un fondo di emissione gravitazionale del tutto simile a quello che ha
dato origine alla radiazione a microonde (CMB, cosmic microwave background). La
rivelazione del segnale gravitazionale di questo tipo ci permetterebbe di verificare
le ipotesi del modello cosmologico e di capire quello che è avvenuto ai tempi dell’era
di Planck, ovvero a 10−43 s dal Big Bang.
19
Capitolo 2
Interferometro laser per la
rivelazione delle onde gravitazionali
Le onde gravitazionali deformano la metrica dello spazio-tempo modificando la
distanza tra gli oggetti. Per misurarle, in linea di principio, basterebbe monitorare
la variazione della distanza tra due corpi con un “righello” opportuno che non
cambia anch’esso di lunghezza quando è attraversato da un’onda. Come righello
si sceglie la luce che viaggia in un interferometro: la figura d’interferenza che si
forma all’uscita di questo strumento dipende infatti dalla distanza tra gli specchi
che lo costituiscono. Si riesce così a risalire allo spostamento che hanno subito i
corpi a causa del passaggio dell’onda.
In questo capitolo faremo una descrizione dell’interferometro nella sua configurazione più semplice, quella di Michelson; esporremo il suo principio di funzionamento e quello che succede quando un’onda gravitazionale lo attraversa. Tratteremo poi brevemente i rumori che agiscono su questo strumento e le idee utili per
limitarne gli effetti. Infine daremo una visione d’insieme della nuova generazione
di interferometro, quella nello spazio, con LISA.
2.1
Principio di funzionamento di un interferometro
L’interferometro di Michelson e Morley è un sistema ottico costituito da due specchi
e da un lamina separatrice (o beam splitter, BS) come si può vedere in fig. 2.1.
La sorgente coerente1 , generalmente un laser, produce il fascio che è separato in due da BS: i due fasci risultanti sono inviati verso due specchi distanti
rispettivamente l1 e l2 (M1 e M2 ), qui si riflettono e tornano indietro verso il beam
splitter, dove avviene l’interferenza, osservata tramite un fotorivelatore, dalla parte
simmetrica a quella d’ingresso.
1
È importante che la sorgente sia coerente per poter avere il fenomeno dell’interferenza e che
si abbia una lunghezza di coerenza confrontabile con le dimensioni dell’interferometro.
20
Figura 2.1: schema ottico di un interferometro di Michelson; sono riportati i campi
elettromagnetici nelle diverse posizioni.
21
Prima di analizzare l’effetto delle onde gravitazionali sullo strumento, vediamo
in che modo si può schematizzare un interferometro calcolando quanto vale la
potenza incidente sul fotodiodo [20].
Chiamiamo Ein il campo elettromagnetico in ingresso allo strumento e Eout
quello in uscita, legato alla grandezza che vogliamo misurare. Il campo può essere
approssimato come un’onda piana di equazione generica:
−
→ −
→
E = E0 ei( k L · r −ωL t+φL )
(2.1)
dove E0 è l’ampiezza dell’onda, kL il vettore d’onda, ωL la pulsazione e φL la fase
iniziale. Le altre ampiezze dei campi incidenti o riflessi sulle varie superfici ottiche
saranno date dalle seguenti espressioni:
E1 = tBS Ein
E5 = irBS Ein
E2 = e−ikL l1 E1
E6 = e−ikL l2 E5
E3 = ir1 E2
E7 = ir2 E6
E4 = e−ikL l1 E3
E8 = e−ikL l2 E7
(2.2)
dove si è tenuto conto che:
• il campo Eb calcolato a distanza l da un punto in cui ha il valore noto Ea ,
se non sono presenti altre superfici ottiche, vale Eb = e−ikL l Ea ;
• il campo trasmesso da uno specchio con trasmessività t vale Eb = tEa ;
• il campo riflesso da uno specchio con riflettività r vale Eb = rEa .
Eout è dato dalla somma di E4 e E8 opportunamente ricombinati:
Eout = irBS E4 + tBS E8
(2.3)
La potenza dell’onda misurata dal fotodiodo è data dal quadrato del modulo
dell’ampiezza del campo incidente:
2
Pout = |Eout |2 = Pin rBS
t2BS [r12 + r22 + 2r1 r2 cos(2kL ∆l)]
dove ∆l è pari a:
∆l = l1 − l2
(2.4)
(2.5)
Appare allora evidente che se questa quantità varia, come avviene in conseguenza del passaggio di un’onda gravitazionale oppure se si sposta meccanicamente uno
specchio, anche l’intensità del fascio in uscita varierà.
22
La differenza tra i cammini ottici nei due bracci influenza la fase φL con cui i
due fasci di lunghezza d’onda λL si ricompongono al beam splitter :
∆φL = 2
2π
∆l
λL
(2.6)
Si può definire il contrasto C:
C=
max
min
Pout
− Pout
min
max
+ Pout
Pout
(2.7)
Richiamando l’eq. 2.4 e ricostruendo i valori di minimo e massimo di Eout in
funzione di ∆l si ottiene:
2r1 r2
C= 2
(2.8)
r1 + r22
Allora la potenza del campo in uscita eq. 2.4 si può scrivere come:
2
Pout = Pin rBS
t2BS (r12 + r22 )[1 + Ccos(2kL ∆l)]
(2.9)
Il contrasto non dipende solo dai coefficienti di riflettività, ma indica anche
se ci sono dei difetti sulle superfici ottiche: si ricordi, infatti, che la riflettività è
legata alla trasmettività e al fattore di perdita p di uno specchio dalla relazione
r2 + t2 + p2 = 1.
In un interferometro ideale si ha che:
• gli specchi hanno la stessa riflettività r1 ≡ r2 = r;
• gli specchi sono totalmente riflettenti r ∼ 1, cioè non ci sono perdite di luce;
• il beam0splitter trasmette una frazione di luce pari a quella riflessa tBS =
rBS = 1/2.
In questo caso, allora, il contrasto è pari a C = 1.
Mettendo i valori dei coefficienti r e t corrispondenti e sostituendo l’eq. 2.6 nell’espressione eq. 2.9, in cui si è tenuto conto della definizione del vettore d’onda k =
2π/λ, si trova la potenza Pout misurata dal fotodiodo in uscita dall’interferometro:
Pout =
Pin
[1 + C cos(∆φL )]
2
(2.10)
È intuitivo, già a questo livello, che se l’interferenza osservata in uscita è dimin
struttiva (frangia scura, Pout
= 0) è possibile osservare segnali più piccoli con
maggiore facilità. In questo caso si ha:
2kL ∆l = (2n + 1)π
23
con n ∈ N
(2.11)
e l’eq. 2.10 si riduce a:
Pout =
Pin
[1 + C]
2
(2.12)
Più avanti, quando parleremo dei rumori di un interferometro e in particolare
dello shot noise, vedremo che lo strumento raggiunge la massima sensibilità proprio
se l’uscita è fissata sulla frangia scura.
2.1.1
Effetto del passaggio di un’onda gravitazionale sull’interferometro
Vogliamo ora vedere come lo sfasamento tra i due fasci di luce che percorrono i bracci dell’interferometro sia legato all’intensità dell’onda gravitazionale in
transito.
Prendiamo un interferometro le cui superfici ottiche possano essere considerate
in caduta libera, in modo che solo la forza gravitazionale agisca su esse. Questa
condizione è verificata dalla sospensione delle ottiche tramite dei pendoli, di uguale
fattore di merito, con frequenza di risonanza ωp : se la pulsazione dell’onda gravitazionale che attraversa lo strumento è maggiore della frequenza ωp , il pendolo si
comporterà come un filtro passa-basso (sez. 5.1.1) riducendo le perturbazioni ad
alta frequenza e garantendo in questo maniera anche un isolamento sismico, come
vedremo più approfonditamente nella sez. 2.2.1.
Ora, consideriamo un’onda gravitazionale con polarizzazione + orientata come
gli assi dell’interferometro, che attraversa lo strumento perpendicolarmente ad esso
cosicchè la massima deformazione si abbia proprio nelle direzioni degli assi x e y.
La distanza complessiva tra gli specchi è pari a:
(2.13)
∆l" = ∆l + ∆lGW
dove ∆l è la differenza tra le lunghezze dei bracci iniziale definita dall’eq. 2.5,
e ∆lGW è la differenza aggiuntiva causata dal passaggio dell’onda stessa, data
dall’espressione eq. 1.28. Esplicitiamo l’eq. 2.13 con una prima approssimazione:
1
l1" = l1 + hl1
2
Allora si ha:
1
l2" = l2 − hl2
2
(2.14)
1
∆lGW = h(l1 + l2 )
2
(2.15)
Possiamo sostituire questa espressione nell’eq. 2.13 e ricavare lo sfasamento
∆φ"L dall’eq. 2.6:
∆φ"L =
3
4
4π " 4π
1
∆l =
∆l + h(l1 + l2 )
λL
λL
2
24
(2.16)
Ora riscriviamo l’eq. 2.10:
Pin
[1 + C cos(∆φL + kL h(l1 + l2 ))]
2
Pin
=
{1 + C [cos(∆φL ) cos(kL h(l1 + l2 )) + sin(∆φL ) sin(kL h(l1 + l2 ))]}
2
Pin
=
[1 + C cos(∆φL ) + CkL h(l1 + l2 )) sin(∆φL )]
(2.17)
2
Pout =
dove si è posto cos(kL h(l1 + l2 )) ∼ 1 e sin(kL h(l1 + l2 )) ∼ kL h(l1 + l2 ), dato
che h , 1. La potenza rivelata dal fotodiodo in seguito al passaggio di un’onda
gravitazionale è espressa da questa formula.
Possiamo calcolare più in generale la variazione di fase causata dal segnale
gravitazionale esprimendo l’eq. 2.13 come segue:
∆l" = l" 2 − l" 1 = (l2 − l1 ) + (l2GW − l1GW )
34
1
1
= (l2 − l1 ) +
(1 + h) dx − (1 − h) dy
2
2
l1
l2
(2.18)
Dato che l’onda viaggia perpendicolarmente al piano individuato dallo stru−
→ →
mento, vale k · −
r = 0. Allora possiamo semplificare la forma dell’onda di eq. 1.23
come:
h = h+ eiωt
(2.19)
La variazione di cammino ottico lungo l’asse x sarà dunque:
l1GW =
-
1
(1 + h+ eiωt(x) )dx
2
l1
(2.20)
Si noti che:
• l’integrale si può separare in due parti, da 0 a l1 , corrispondente al viaggio
di andata verso M1 e da l1 a 0, corrispondente al ritorno, dopo la riflessione
su M1 ;
• il tempo di percorrenza del fascio di luce dipende dallo spostamento x stesso;
prima della riflessione si ha t(x) = xc + t0 , con t0 tempo iniziale della misura,
dopo la riflessione t(x) = 2l1c+x + t0 .
Inseriamo questi valori nell’integrale e risolviamolo:
l1GW
=
- l1
0
- 0
2l1 +x
1
1
iω( xc +t0 )
(1 + h+ e
)dx − (1 + h+ eiω( c +t0 ) )dx
2
2
l1
(2.21)
dove il segno meno indica che stiamo procedendo in verso contrario a quello
dell’asse x. Si ottiene:
1 h+ c iωt0 iω 2l1
l1GW = 2l1 +
e (e c − 1)
(2.22)
2 iω
25
In modo analogo si ha:
l2GW = 2l2 −
e (e c − 1)
2 iω
(2.23)
Rimettiamo queste quantità nell’eq. 2.18:
∆l" = ∆l + 2∆l +
2l2
e (e c + eiω c − 2)
2 iω
(2.24)
Senza perdere di generalità supponiamo di avere inizialmente i due bracci dello
strumento uguali, per cui l1 = l2 = l0 :
∆l" =
e 2(e c − 1)
2 iω
Moltiplicando e dividendo per e−iω
∆l" =
2l0
c
(2.25)
si ha:
h+ c iω(t0 − l0 )
ωl0
c sin(
e
)
ω
c
(2.26)
che possiamo riscrivere come:
"
iω(t0 −
∆l = h+ l0 e
l0
)
c
sin( ωlc0 )
ωl0
c
(2.27)
Ricordiamo che la differenza tra i cammini ottici è proporzionale alla differenza
di fase riportata nell’eq. 2.6:
∆φL =
4π h+ l0 iω(t0 − l0 ) sin( ωlc0 )
c
e
ωl0
λL ω
c
(2.28)
Abbiamo così legato la risposta dello strumento alla frequenza del segnale
incidente (si ricordi infatti l’eq. 2.10).
Si può graficare la variazione della fase, normalizzata all’ampiezza del segnale
gravitazionale, in funzione della frequenza del segnale stesso ω. Si noti, poi, che la
sensibilità dello strumento, oltre a dipendere dall’ampiezza dell’onda gravitazionale
e non alla sua potenza come accade alle onde elettromagnetiche, cresce linearmente
con la lunghezza l0 dei bracci.
Dalla fig. 2.2 si vede che un interferometro non è sensibile a tutte le frequenze
delle onde gravitazionali allo stesso modo, ma presenta invece una frequenza di
taglio, al di sopra del quale la risposta è attenuata. Ci sono inoltre alcune frequenze
(i multipli di 2l0 /c ) per cui la differenza di fase si annulla, implicando così che
il passaggio dell’onda gravitazionale non sortisce nessun effetto: infatti i valori
26
Figura 2.2: andamento della risposta di un interferometro al variare della frequenza
dell’onda gravitazionale, calcolata per una lunghezza dei bracci l0 = 3 Km e per
una lunghezza d’onda del laser di λL = 1 µm.
di queste frequenze sono multipli del tempo di percorrenza della luce laser nello
strumento, quindi l’effetto del passaggio dell’onda gravitazionale è mediato su più
di un periodo.
Se l’onda gravitazionale non arriva in direzione ortogonale al piano individuato
dallo strumento e ha polarizzazione non definita, la generica direzione sarà esprimibile nel sistema di coordinate sferiche (fig. 2.3) e la variazione della lunghezza
dei bracci è data da:
3
4
∆l"
1
= (1 + cos2 θ)cos2ψ h+ (t) + [cosθ sin 2ψ] h× (t)
"
l
2
(2.29)
La risposta angolare complessiva di un interferometro è mostrata in fig. 2.4; si
noti che lo strumento ha un campo di vista molto ampio, se si eccettua il piano
dove è posto [18] e in particolare le direzioni individuate dalle bisettrici dei bracci.
2.2
Sorgenti di rumore in un interferometro terrestre
Abbiamo visto come un’onda gravitazionale sia rilevata da uno strumento interferometrico. Per poter estrarre il segnale ricercato occorre distinguerlo dai rumori
che interessano questo strumento; occorre descrivere le varie sorgenti di rumore
che lo caratterizzano e studiare come attenuarne gli effetti.
Possiamo classificare i rumori dividendoli in base al tipo di processo che producono (fig. 2.5).
27
Figura 2.3: sistema di coordinate sferiche in tre dimensioni; k è il vettore d’onda
del segnale gravitazionale.
Figura 2.4: risposta angolare di un interferometro per un’onda gravitazionale con
polarizzazione +, con polarizzazione × e con polarizzazione generica.
28
Figura 2.5: classificazione delle sorgenti di rumore in un interferometro.
Oltre a questi, esistono altre fonti di rumore, come il thermal lensing, il rumore
elettronico di attuazione e quello originato dalla luce scatterata dalle imperfezioni
degli specchi.
Tra tutte queste possibili sorgenti, quelle che maggiormente limitano la sensibilità di un interferometro sono lo shot noise alle alte frequenze, il rumore termico
nella banda tra 10 Hz ∼ 100 Hz e quello sismico a frequenze più basse, come si
vede in fig. 2.6, calcolata per Virgo.
Analizziamo una per una queste fonti di disturbo.
2.2.1
Il rumore ambientale
Gli interferometri terrestri sono sensibili ai movimenti prodotti dall’attività sismica e dell’uomo, come terremoti e lavori industriali. In Virgo il rumore sismico
agisce in particolare a basse frequenze2 , minori di ∼ 5Hz, grazie alla presenza del
superattenuatore.
Dalle misure geofisiche attuate con dei sismografi [18] si deduce che i moti
tellurici sono isotropi e hanno ampiezza spettrale di spostamento pari a:
x̃(f ) ∼ 10−7
√
1
[m/
Hz],
f2
f > 0.01Hz
(2.30)
In Virgo, considerando due masse di test poste a distanza l0 = 3 Km, tale
ampiezza corrisponde ad una perturbazione della metrica di:
√
√
2 2
10−9
h̃sism (f ) =
x̃(f ) ∼ 2 [1/ Hz]
(2.31)
l0
f
2
Si ricordi che questa è la frequenza del segnale gravitazionale, non quella della luce laser.
29
Figura 2.6: curva di sensibilità con le principali fonti di rumore in funzione della
frequenza per l’interferometro Virgo: sull’asse delle ordinate sono riportati i valori
equivalenti dei rumori espressi come segnale gravitazionale, calcolati esplicitamente
nei paragrafi seguenti.
Virgo è stato concepito in modo che la sua sensibilità sia limitata esclusivamente
da sorgenti di rumore intrinseche sulla banda scientificamente significativa oltre i
5 Hz. Trattandosi di un rivelatore situato sulla superficie terrestre, richiedere che
la sensibilità sia limitata solo dal rumore termico a partire da f < 10Hz, comporta
che il fondo sismico sia ridotto di almeno 10 ordini di grandezza.
L’attenuazione necessaria di questo disturbo è possibile sospendendo le ottiche dello strumento tramite degli oscillatori meccanici, chiamati complessivamente
superattenuatore.
Il superattenuatore (sez. 3.1.6) è un sistema composto da una cascata di N
pendoli, per l’attenuazione orizzontale, e da N " molle per quella verticale. La
funzione di trasferimento H(f ) per un sistema composto da una massa m e costante
elastica k, con coefficiente di viscosità b è:
H(f ) =
f02
b
f02 − f 2 + if 2πm
(2.32)
dove f0 è detta frequenza di risonanza ed è espressa dall’eq. 2.54. Questo implica
che (sez. 5.1.1):
• per frequenze della perturbazione sismica fsism , f0 il rumore è interamente trasferito alla massa sospesa; ciò rende necessario l’uso di un adeguato
sistema per il controllo del punto di lavoro della sospensione;
30
• per la frequenza fsism = f0 , si è in condizione di risonanza e il rumore è amplificato di un fattore pari al fattore di merito Q = 2πmf0 /b; ciò rende necessario l’uso di un sistema di smorzamento attivo delle risonanze meccaniche
dell’attenuatore;
• per frequenze fsism . f0 il rumore è al contrario attenuato di un fattore
f02 /f 2 ; nel caso di N pendoli si a (f0 /f )2N .
Il rumore newtoniano, invece, è causato dai cambiamenti nella distribuzione
delle masse in prossimità dello strumento. Ad esempio, quando ci sono variazioni
nella densità dell’atmosfera o del terreno, oppure ci sono dei corpi che si muovono nelle vicinanze, varia l’attrazione gravitazionale che è direttamente percepita
dagli specchi dell’interferometro, in modo indipendente dal sistema di isolamento
presente.
In realtà, nella maggior parte dei casi, questa perturbazione ha un’intensità
così bassa da essere al di sotto della soglia di rivelazione degli interferometri [21]
2.2.2
Lo shot noise
Questo tipo di rumore è causato dalla fluttuazione statistica del numero di fotoni
incidenti sul rivelatore che si traduce in un’incertezza sul segnale misurato, interpretabile nel caso specifico di un interferometro, come un movimento fittizio delle
superfici ottiche.
Ogni sorgente luminosa, quindi anche il laser, emette un numero N di fotoni
secondo una distribuzione poissoniana la cui deviazione standard σN è data da:
√
σN = N
(2.33)
Il fotodiodo di rivelazione misura la potenza in uscita esprimibile come l’energia
media portata dai fotoni incidenti Ē nell’unità di tempo ∆t:
Pout =
Ē
h̄ωL
η = N̄
η
∆t
∆t
(2.34)
dove η è l’efficienza quantica con cui il fotodiodo risponde ad un singolo fotone
incidente. Da qui possiamo ricavare il numero di fotoni N̄ in funzione della potenza
rilevata e usando l’eq. 2.33 si trova la variazione del numero di fotoni ∆Nshot
causata dallo shot noise:
5
Pout ∆t
∆Nshot =
(2.35)
h̄ωL η
Differenziando l’eq. 2.34 rispetto a N e sostituendo 2.35, si trova la variazione
di potenza ∆Pshot :
5
h̄ωL
∆Pshot = Pout η
(2.36)
∆t
31
Da qui si può calcolare il rapporto segnale/rumore S/N per un interferometro
affetto solo da shot noise: il rumore è ovviamente espresso con l’eq. 2.36 appena
scritta, mentre il segnale gravitazionale è quello dell’eq. 2.17:
S
P GW
= out =
N
∆Pshot
5
Pout η
h̄ωL C sin(∆φL )
0
kh(l1 + l2 )
∆t 1 + Ccos(∆φL )
(2.37)
Questa quantità va massimizzata così da determinare la condizione per la quale
lo strumento raggiunge la massima sensibilità:
• se si ha un interferometro ideale (C = 1), l’uscita deve coincidere con la
frangia scura;
• se si ha un interferometro reale (C < 1), l’uscita deve essere leggermente
spostata dalla frangia scura.
In ogni caso il minimo valore rivelabile dallo strumento, cioè la minima variazione della fase ∆φL , si trova imponendo che il rapporto S/N sia uguale a 1 da
cui:
5
h̄ωη
min
∆φL =
(2.38)
Pin ∆t
che corrisponde ad una minima variazione misurabile della metrica data dalla
densità spettrale (ottenuta sostituendo nell’eq. 2.6 l’eq. 1.28):
h̃shot
λL
=
2πl0
5
h̄ωη
Pin ∆t
(2.39)
Per l’interferometro Virgo con la configurazione di Michelson il contributo di
questa sorgente di rumore è:
√
h̃shot ∼ 10−21 1/ Hz
(2.40)
mentre nella banda di frequenza intorno ai 100 Hz, la stima del segnale gravitazionale da misurare è due ordini di grandezza inferiore. Ne risulta che occorre
aumentare la sensibilità di un interferometro ovvero diminuire la minima variazione di fase misurabile. Per questo possiamo aumentare la potenza in ingresso del
laser Pin e la lunghezza dei bracci l0 . Poichè bracci più lunghi di alcuni Km sono
difficilmente realizzabili sulla Terra e aumentare la potenza del laser di più di un
ordine di grandezza implica maggiore rumore dato dalla pressione di radiazione,
allora si preferisce amplificare la variazione di fase accumulata nei bracci con delle
cavità di tipo Fabry-Perot e incrementare la potenza all’interno dello strumento
inserendo in ingresso uno specchio di ricircolo (sez. 3.1.2).
32
2.2.3
La pressione di radiazione
Questo tipo di disturbo, come il precedente, è provocato dalle fluttuazioni statistiche dei fotoni incidenti sullo specchio: i fotoni trasferiscono impulso alla superficie
ottica a cui giungono alterandone la posizione.
Le fluttuazioni di pressione producono un rumore, espresso in funzione della
variazione della metrica h̃rad [18], pari a:
h̃rad
4π 2
=
mω 2 l0
5
h̄Pin
2π 3 cλ
(2.41)
dove m è la massa dello specchio considerato, ω e λ le grandezze caratteristiche
dell’onda gravitazionale e l0 la lunghezza dello strumento.
Come si vede, per diminuire gli effetti di questo rumore occorre aumentare la
massa degli specchi e diminuire la potenza entrante Pin : questa richiesta si oppone
a quella trovata per lo shot noise. Ci sarà, quindi, un valore di potenza del laser
critico dedotto bilanciando queste due componenti del rumore e usando come parametro la reazione meccanica degli specchi. Questo valore è almeno due ordini di
grandezza superiore a quello attualmente caratteristico degli attuali interferometri.
2.2.4
La luce diffusa
La luce che attraversa l’interferometro può essere diffusa da vari fattori, come ad
esempio dalle imperfezioni presenti sulla superficie degli specchi o dalla presenza
di molecole di gas residue presenti all’interno dello strumento in cui è fatto il
vuoto, come si vedrà esplicitamente nel Capitolo 3. In quest’ultimo caso, i fotoni
che viaggiano lungo i bracci dell’interferometro possono essere diffusi da queste
molecole, causando così una variazione dell’indice di rifrazione n. Esiste infatti la
relazione [51]:
Pres
Nres
=1+)
(2.42)
n=1+)
Patm
Natm
dove Pres indica la pressione residua all’interno del sistema dove e’ fatto il vuoto,
Patm la pressione atmosferica, Nres e Natm le rispettive densità molecolari. La
costante ) vale circa 1, 2 · 10−4 .
Si calcola il contributo di questo rumore nella rivelazione del segnale gravitazionale di lunghezza d’onda λ [18]:
h̃gas =
6
7
27
8
l0
V0 (n − 1)2
NA 2πv0
5
l0 p
λ p0
.
T0
T
/3/2
(2.43)
dove V0 è il volume di una mole di gas alla temperatura T0 e alla pressione p0 ,
NA è il numero di Avogadro, n l’indice di rifrazione e v0 è la velocità media di una
molecola del gas residuo.
33
2.2.5
Il rumore termico
Possiamo ora trattare del rumore termico prodotto dal movimento microscopico
casuale delle particelle che compongono un sistema in equilibrio termodinamico, movimento che si ripercuote a livello macroscopico come un’incertezza sulla
posizione o sulle dimensioni del sistema stesso.
Nel presente paragrafo parleremo delle basi teoriche che stanno dietro l’interpretazione di questo fenomeno, dalla prima formulazione di Einstein fino al Teorema
Fluttuazione-Dissipazione in una o più dimensioni; parleremo, poi, dei diversi tipi di dissipazione che intervengono in un interferometro e come se ne calcolano i
contributi.
Il moto browniano
Si parla di moto browniano o random walk, ogniqualvolta si trova un moto casuale
apparentemente non regolato. Se si prende una piccola particella immersa in un
fluido e la si osserva al microscopio, si troverà che non resta ferma ma presenta un
moto irregolare e imprevedibile: Einstein per primo interpretò questo fenomeno
[23].
Le fluttuazioni della posizione della particella sono dovute agli urti con le molecole che costituiscono il fluido. Dato che su una singola particella agiscono un
gran numero di fattori microscopici indipendenti, l’effetto complessivo non può essere costante: macroscopicamente tale effetto è rappresentabile tramite una forza
dissipativa, la viscosità, che quantifica la distribuzione dell’energia della particella
alle molecole del liquido.
Possiamo calcolare le fluttuazioni della particella a partire dall’equazione del
moto; per un corpo di massa M , con velocità v e posizione x che subisce l’effetto
della forza media viscosa di coefficiente b e della forza istantanea F (t) dovuta agli
urti si ha, nel caso unidimensionale:
M
dv
v
= − + F (t)
dt
b
(2.44)
Le due forze che compaiono a secondo membro dell’eq. 2.44 sono l’espressione
macroscopica media e l’espressione microscopica della stessa causa, gli urti tra
particelle.
Questa equazione può essere integrata in opportune condizioni [19]. Da qui è
possibile ricavare successivamente la velocità quadratica media < v(t)2 >.
kB T
Kτ (1 − e−2t/τ )
(2.45)
M
dove kB è la costante di Boltzmann, T la temperatura del sistema in esame e
τ = M b il tempo di rilassamento del sistema.
Inoltre è possibile fare un’analisi spettrale del fenomeno, cioè analizzare in
dettaglio la ripartizione delle variazioni in componenti più o meno veloci. Passando
< v(t)2 >= v02 e−2t/τ +
34
alle trasformate di Fourier della variabile casuale < v(t)2 > si ricava lo spettro di
potenza wv (f ):
∞
< v(t)2 >=
0
wv (f ) df
(2.46)
Per calcolare tale quantità si usa generalmente il teorema di Wiener-Khinthine
[22] che stabilisce come lo spettro di potenza e la funzione di autocorrelazione Ψx 3 ,
siano l’uno la trasformata di Fourier dell’altra. Allora lo spettro di potenza per la
velocità della particella immersa in un fluido è:
wv (f ) =
4kB T b
1 + (2πf τ )2
(2.47)
Questa funzione si può approssimare:
• per f , 1/τ come una funzione costante; si parla infatti di rumore bianco o
piatto, indipendente dalla frequenza;
• per f . 1/τ come una funzione decrescente che smorza i valori della velocità
della particella.
Si noti che lo spettro di potenza delle fluttuazioni legate al rumore termico
dipende linearmente dalla temperatura a cui si trova il sistema e dal coefficiente di
attrito viscoso b. Quindi, in linea teorica, diminuendo la temperatura del sistema
o la sua viscosità è possibile diminuire il contributo dato dal rumore termico.
Quanto detto finora si può generalizzare per esprimere il rumore termico di un
qualunque sistema fisico dove valgono le ipotesi formulate inizialmente. Esistono
sistemi, come quello composto da un solido cristallino, in cui non è possibile scrivere
la forza istantanea F (t) dovuta agli urti o in cui la dissipazione avviene in una
forma diversa dalla viscosità. In questi casi, allora, si può utilizzare il Teorema di
Fluttuazione-Dissipazione.
Il Teorema Fluttuazione-Dissipazione
Il Teorema Fluttuazione-Dissipazione lega un generico fenomeno dissipativo di un
sistema al suo rumore termico, quindi alle fluttuazioni delle grandezze associate,
indipendentemente dagli eventi microscopici che avvengono [24, 25].
Per poter enunciare questo teorema occorre prima definire alcune quantità.
Prendiamo un sistema unidimensionale in equilibrio termodinamico che sia lineare, ovvero che risponda linearmente ad una sollecitazione esterna, e dissipativo,
3
La funzione di autocorrelazione Ψy della variabile y(t) è:
- ∞
Ψy =
y(t)y(t + t# )dt#
−∞
35
ovvero che perda energia tramite processi irreversibili. Poniamo che su questo sistema agisca una sollecitazione esterna F (t) e che esso risponda con la sola coordinata
X(t) da cui si deduce la velocità Ẋ(t) tramite l’equazione del moto.
Passando dalle dipendenze temporali alle espressioni in funzione della frequenza
f tramite la trasformata di Fourier, si definisce impedenza del sistema Z(f ):
Z(f ) =
F̃ (f )
˜ )
Ẋ(f
(2.48)
dove le quantità con la tilde indicano le trasformate corrispondenti.
Da notare che da queste grandezze si può definire anche la funzione di trasferimento del sistema:
X̃(f )
1
H(f ) =
=
(2.49)
if Z(f )
F̃ (f )
Il teorema Fluttuazione-Dissipazione stabilisce che lo spettro di potenza del
rumore termico agente sullo spostamento X(t) è pari a:
"
kB T
1
wX (f ) = 2 2 %
π f
Z(f )
#
(2.50)
mentre lo spettro di potenza del rumore termico agente sulla sollecitazione F (t)
è pari a:
wF (f ) = 4kB T %[Z(f )]
(2.51)
Quindi non c’è bisogno di conoscere esplicitamente ciò che avviene a livello microscopico all’interno del sistema, ma basta saper modellizzare macroscopicamente
l’impedenza Z(f ) dove è possibile includere anche effetti diversi tra loro.
Similmente al caso del moto browniano, anche qui lo spettro di potenza dipende dalla temperatura del sistema e dall’impedenza che caratterizza il processo
dissipativo: riducendo queste quantità, ad esempio raffreddando il sistema o modificandolo così da ridurre la dissipazione, è possibile diminuire il contributo del
rumore termico.
È possibile generalizzare il teorema anche per un sistema a n dimensioni [26]:
in questo caso avremo n coordinate Xi (t) e ci saranno Fi (t) sollecitazioni. L’impedenza sarà data da una matrice:
˜ (f )
F̃i (f ) = Zij Ẋ
j
(2.52)
Rumore termico in un pendolo semplice reale
Possiamo fare l’esempio di un pendolo per mostrare come si calcola l’impedenza e
qual’è il rumore termico associato [29, 30].
36
L’equazione del moto per un pendolo di massa m, lunghezza l che si muove in
un mezzo di coefficiente di attrito viscoso b è:
mẍ + bẋ + kx = F (t)
(2.53)
in cui è stata aggiunta il temine forzante F (t).
La costante k determina la frequenza di risonanza f0 , dipendente dal tipo di
moto considerato, del sistema:
1
f0 =
2π
5
k
m
(2.54)
In un pendolo reale, infatti, si hanno due tipi di moto distinti (fig. 2.7):
1. il moto nella direzione orizzontale dato dalla forza peso del corpo appeso;
trascurando i movimenti torsionali, il filo che sostiene la massa non presenta
elasticità e il moto armonico è dominato dalla frequenza determinata dalla
costante del pendolo:
mg
kgr =
(2.55)
l
2. il moto nella direzione verticale dato dalla forza elastica che si esercita con
la flessione del filo (non indeformabile) attorno al suo punto di piegatura;
il moto armonico avviene ad una frequenza determinata dalla costante di
elasticità del punto di piegamento del filo [28, 55]:
√
mgEJ
(2.56)
kel =
2l2
dove E è il modulo di Young, dipendente dal tipo di materiale scelto e J è il
momento d’inerzia della sezione del filo4 . Si noti che questo moto è distinto
da quello puramente verticale, dato invece dall’elasticità del filo considerabile
come una molla e con costante elastica k = EA
l
In generale, se il filo è molto sottile, vale kel , kgr . Ma se lo spessore del filo
non è piccolo, il rapporto tra le due costanti kel /kgr può assumere valori compresi
tra 10−2 e 10−3 .
4
Il momento di inerzia della sezione del filo è definito come
J = y 2 dA
dove dA è la sezione d’area infinitesima e y è la distanza tra dA e l’asse rispetto al quale si calcola
il momento. Per un filo cilindrico rispetto al suo asse si ha:
J=
1 4
1 2
πr =
A
4
4π
dove A è la sezione del filo e r il suo raggio.
37
Figura 2.7: schematizzazione di un pendolo reale con flessione del filo di sospensione: è indicata la forza peso con le sue componenti nella direzione tangente e
ortogonale al filo.
C’è da notare che la costante di eq. 2.55 non è causa di perdite; al contrario la
costante elastica kel dà il contributo dissipativo. Le molecole costituenti il continuo
di un corpo determinano il suo comportamento elastico: kel è intrinsecamente
dipendente dalle inevitabili imperfezioni reticolari presenti e quindi dissipativo.
La dissipazione si rivela nel ritardo della risposta ad una sollecitazione F (t)
esterna: il ritardo provoca deviazioni dall’andamento aspettato e si parla di anelasticità o frizione interna dei materiali.
Bisogna generalizzare [18] la costante elastica kel tenendo conto anche del termine dissipativo: per un sistema fisico generico è possibile ricavare questo parametro
con un modello meccanico di questo tipo.
Possiamo considerare il filo del pendolo come il parallelo tra una molla ideale
di costante elastica kel e la serie formata da una molla di costante elastica ∆kel
e da un pistone, che quantifica lo smorzamento a velocità costante con un certo
coefficiente c. Si può calcolare la costante elastica effettiva globale kef f per questo
schema, chiamato unità di Maxwell o solido di Debye e mostrato in fig. 2.8.
Si trova la costante elastica totale, dipendente dalla frequenza di lavoro, considerando il sistema come un circuito elettrico e applicando le regole per i componenti
in serie e parallelo:
1
2
∆kel f τ
(2.57)
kef f ≈ kel 1 + i
kel 1 + f 2 τ 2
dove si è definito τ = c/∆kel il tempo di riposta del sistema.
Possiamo riscrivere l’eq. 2.57 in questo modo:
kef f ≈ kel (1 + iφ(f ))
(2.58)
dove φ(f ) prende nome di angolo di perdita e rappresenta il grado di anelasticità
38
Figura 2.8: modello meccanico per l’anelasticità: una molla ideale è posta in
parallelo con la serie formata da una molla e un pistone che rappresenta lo
smorzamento.
della molla connessa al filo del pendolo. Se il sistema è soggetto ad una sollecitazione esterna di tipo sinusoidale, a seconda della frequenza f , l’angolo di perdita
φ esprime lo sfasamento della risposta 5 .
In questo modo possiamo descrivere molti processi irreversibili classificabili in
base al tipo di perdite che procurano, interne o esterne.
Allora la funzione di trasferimento del sistema descritto dall’eq. 2.53, in cui
trascuriamo il contributo dato dalla viscosità del mezzo è:
H(f ) =
m(f02
1
− f 2 + iφf0 )
(2.59)
la cui espressione era già stata data nel caso del rumore sismico dall’eq. 2.32.
Per questo tipo di sistema l’impedenza meccanica si calcola dalla definizione
eq. 2.48 e si ottiene:
2πm
Z=
[φf02 + i(f 2 − f02 )]
(2.60)
f
Allora lo spettro di potenza del rumore termico, considerando φ = cost sarà:
wX =
kB T
φf02
π 2 f m (f 2 − f02 )2 + φ2 f04
(2.61)
Si osservano due andamenti diversi:
5
• per f , f0 si ha wX ∼ f −0,5 ;
Per esprimere la dissipazione dei materiali si usano quantità complesse. Ad esempio, nel caso
della costante elastica, si ha:
kef f (f ) = kr (f ) + iki (f ) = |kef f |eiφ(f )
dove l’angolo di perdita φ è proprio la fase del numero complesso.
39
• per f . f0 si ha wX ∼ f −2,5 ;
Questo vale solo in un intervallo ristretto di frequenze [34] per cui la condizione
φ = cost è verificata.
In ogni caso è importante conoscere l’andamento dello spettro del rumore termico. Dato che gli interferometri sono strumenti sensibili in una banda ampia di
frequenze, la pendenza della curva del rumore termico fuori dalla risonanza deve
essere stimata e presa in considerazione attentamente per risalire al contributo di
questo disturbo sulla misura.
Nel caso specifico, la dissipazione di un pendolo è dato dalla frizione interna
che dipende fortemente dal tipo di materiale scelto e dai gradi di libertà in esso
presenti: se ci sono degli stress interni, come variazioni di temperatura e densità
date da difetti puntiformi o impurità, l’equilibrio all’interno del corpo varia e varia
anche il valore dell’angolo di perdita.
Tipi di dissipazione
Abbiamo visto come è possibile ricavare informazioni sul rumore termico presente
in un sistema fisico dall’utilizzo del Teorema Fluttuazione-Dissipazione; infatti
quello che serve conoscere è l’impedenza Z connessa all’anelasticità del sistema
stesso. Abbiamo visto anche che per un pendolo tale anelasticità è indicata tramite
l’angolo di perdita φ.
Esistono molti processi caratterizzati da tempi di azione diversi in competizione
in un sistema reale.
Per le perdite interne, causate dalla struttura stessa e dal materiale di cui è
composto un sistema fisico, si ha:
smorzamento strutturale: il reticolo di cui è costituito il materiale in esame
presenta delle imperfezioni e delle impurità. Se la struttura è eccitata vibrazionalmente, le impurità e le imperfezioni assorbono l’energia vibrazionale
portando allo smorzamento delle vibrazioni stesse. Molti metalli presentano
un valore dell’angolo di perdita φ per questo tipo di smorzamento pari a
10−3 ∼ 10−4 , mentre altri materiali, tipo la silice fusa, hanno un angolo di
perdita pari a 10−5 ∼ 10−7 .
smorzamento termoelastico: se il corpo non è omogeneo, zone a densità diversa hanno temperatura diversa. Una vibrazione meccanica (come ad esempio
la flessione di un filo) crea delle disomogeneità come la compressione o la
rarefazione di alcune regioni: in particolare, quando il filo si flette, un lato si riscalda e l’altro si raffredda. Si formano così flussi di calore tra due
regioni a diversa temperatura. È intuitivo comprendere che questo genere
di dissipazione può divenire critica quando una sezione del corpo in esame
diviene molto più piccola rispetto alle altre, non permettendo un riequilibrio
isotropo e ottimale del flusso di calore. Inoltre la temperatura è legata all’allungamento di un corpo tramite il coefficiente di espansione termica α il
40
quale determina il rapporto ∆kel /kel dell’eq. 2.57 [31]. Possiamo riscrivere
la costante elastica effettiva per un corpo che si flette modellizzabile con il
solido di Debye:
1
2
Eα2 T
fτ
kef f ≈ kel 1 + i
(2.62)
cS 1 + f 2 τ 2
dove E è il modulo di Young, cS è il calore specifico e T è la temperatura
del sistema.
Si noti che questo meccanismo di dissipazione, rilevante per il rumore termico
delle sospensioni degli specchi:
• dipende dalle proprietà del materiale e non dal dettaglio della sua struttura o composizione chimica; quindi è possibile ridurre l’angolo di perdita ad esso associato e conseguentemente il suo contributo al rumore
termico scegliendo un materiale con un basso valore del coefficiente di
espansione termica e bassa capacità termica;
• non può essere applicato nel caso di moto torsionale, in cui la costante del moto è il coefficiente di deformazione di taglio e non quello di
espansione termica.
perdite superficiali: le imperfezioni e le impurità si trovano più frequentemente
sulla superficie del corpo, essendo esposta maggiormente all’azione di agenti
chimici o contatti meccanici. Si suppone allora che le dissipazioni avvengano
preferibilmente in questa regione.
ha:
Per le perdite esterne, causate dall’ambiente dove si trova il sistema fisico, si
perdite di rinculo: un corpo in oscillazione tende a trasmettere parte del suo
moto anche al supporto che lo regge. Infatti nel caso reale, il supporto ha
massa finita e non è rigido, quindi l’energia viene parzialmente dissipata su
di esso.
perdite in aria: un corpo che oscilla in un fluido frena a causa dell’attrito viscoso
presente. Questa fonte di rumore può essere attenuata se poniamo il sistema
nel vuoto.
propagazione delle impurità: a causa delle vibrazioni meccaniche o delle eccitazioni termiche le impurità e i difetti del reticolo cristallino possono muoversi. Conseguentemente parte dell’energia può essere dissipata in questo
modo.
Una volta stimato l’angolo di perdita per questi diversi processi, dobbiamo
risalire alla parte reale dell’impedenza, necessaria per il calcolo dello spettro di
potenza. In generale per trovare questa quantità si sono sviluppati alcuni metodi
di calcolo, come l’espansione dei modi normali, l’espansione dei modi avanzata [32]
e gli approcci diretti [33].
41
Il rumore termico nell’interferometro
Nel caso specifico di un interferometro questo disturbo entra in diversi modi, sia
sulle sospensioni, sia sugli specchi (substrato e deposito superficiale), limitando la
sensibilità strumentale. Per ridurre gli effetti bisogna identificare prima le varie
cause di dissipazione e modellizzare i processi. Elenchiamo qui di seguito le diverse
sorgenti del rumore termico:
• rumore termico delle sospensioni degli specchi (varia la posizione del centro
di massa degli specchi). Si ricorderà che gli specchi di un interferometro
sono appesi ad una serie di pendoli in cascata, chiamati complessivamente
superattenuatore. Questo filtro, che riduce l’effetto del rumore sismico, introduce a sua volta rumore termico, come abbiamo descritto nel precedente
paragrafo, essendo composto da molle e pendoli. In particolare si ha:
– oscillazioni del modo di pendolo: il rumore associato a questo modo
può essere modellizzato come abbiamo già esposto precedentemente,
se trascuriamo la resistenza dell’aria. Il calcolo dell’angolo di perdita,
necessario per poter risalire all’impedenza e quindi allo spettro di potenza, prevede la conoscenza della costante elastica kel e della costante
di pendolo kgr .
Si trova ancora l’espressione eq. 2.61, dove l’angolo di perdita φ in
questo caso è calcolato come:
φ = φel
kel
kgr + kel
(2.63)
dove φel è l’angolo di perdita per il solo contributo elastico. Si trova
che l’angolo complessivo è pari a:
1
φ∝
l
5
mE
N
(2.64)
con N numero dei fili di sospensione. Si vede che se lo specchio è sospeso con N fili, la tensione applicata ad ogni filo si riduce di una quantità uguale, facendo così ridurre anche la costante elastica e il rumore
associati.
– oscillazioni dei modi verticali: il rumore associato a questo modo è causato da un accoppiamento con i modi orizzontali di pendolo. Infatti,
data la sfericità della Terra, gli specchi alla fine di un braccio dell’interferometro individuano due direzioni verticali locali non parallele, ma
separate da un angolo 2α. Il segnale orizzontale è allora proiettato lungo
la direzione verticale proprio di questo fattore α. Lo spettro di rumore
sarà:
4kB T
φfv2
wxvert = α 2
(2.65)
f m (f 2 − fv2 )2 + φ2 fv4
42
dove fv è la frequenza di risonanza del modo verticale:
1
fv =
2π
5
πr2 EN
1
=
ml
2π
5
gE
Tr l
(2.66)
Si noti che r è il raggio dello specchio, e Tr è il carico di rottura dei fili
definito come:
mg
Tr =
(2.67)
N πr2
relazione usata per l’ultima uguaglianza.
– oscillazioni dei modi di violino: il rumore associato è dato dalle numerose risonanze che i fili mostrano ogni volta che sono sottoposti ad una
certa tensione. In questo caso lo spettro di potenza sarà calcolato come
una somma dei vari contributi, ognuno con la sua frequenza associata.
• rumore termico degli specchi (comprendendo sia il substrato sia il deposito
superficiale, il coating):
– moto browniano: questo rumore può essere interpretato come la fluttuazione delle particelle che costituiscono il substrato e la superficie dello
specchio, causando una variazione della sua posizione.
– rumore termoelastico: questo rumore nasce dall’accoppiamento delle
fluttuazioni termiche con le impurità presenti, come già descritto.
– rumore termorifrattivo: questo rumore invece nasce dall’accoppiamento
delle fluttuazioni termiche con le variazioni della fase della luce.
In conclusione vogliamo sottolineare che il rumore termico di un interferometro si può diminuire riducendo la temperatura a cui si trova lo strumento oppure
scegliendo dei materiali con minori angoli di perdita, quindi che producono dissipazioni inferiori. La prima soluzione non è facilmente attuabile per rivelatori
come Virgo, che ha bracci lunghi 3 Km. Mentre la seconda prevede uno studio
dettagliato dei materiali utilizzabili. Ad esempio si trova che:
• il materiale del substrato deve avere basse perdite ottiche, alta conducibilità termica e basso coefficiente di espansione termica (per minimizzare le
distorsioni causate dall’accumulo di energia portata dal fascio incidente); si
potrebbe utilizzare delle sostanze vetrose, come il quarzo o silice fusa;
• il materiale del deposito superficiale deve avere le stesse proprietà termoelastiche del substrato, così da ridurre le distorsioni meccaniche; si potrebbe
utilizzare dei composti di alluminio e tallio, o alluminio e silicio;
• il materiale delle sospensioni deve avere alta conducibilità termica, basso
coefficiente di espansione termica, per minimizzare lo smorzamento termoelastico (eq. 2.62) e deve poter essere prodotto sotto forma di fibre o nastri
[35]; si potrebbe utilizzare sempre silice fusa.
43
Lo scopo del nostro lavoro è proprio lo studio di fattibilità di un prototipo di
sospensione in silice fusa.
2.3
Interferometri Laser nello spazio
Abbiamo analizzato il funzionamento generale di un interferometro di Michelson e
abbiamo visto quali tipi di rumore sono presenti in questo strumento. In particolare
abbiamo visto come questi sistemi abbiano una banda di frequenze precisa, stabilita
dalla lunghezza dei bracci.
Se si vuole cambiare la banda delle frequenze di rivelazione, andando a valori
più bassi, si deve costruire un rivelatore più lungo. Sulla terra, abbiamo già detto,
è difficile la realizzazione di un progetto del genere; quello che si è pensato è di
allestire un interferometro nello spazio, LISA [36].
LISA è l’acronimo di Laser Interferometer Space Antenna ed è portata avanti
da una collaborazione tra l’agenzia spaziale europea, l’ESA e quella americana, la
NASA.
I bracci di questo interferometro spaziale saranno lunghi 5 · 106 Km, il che implica una banda di sensibilità tra 10−4 ∼ 10−1 Hz. In questa regione dello spettro
sono presenti sorgenti più intense e che producono un segnale gravitazionale più
lungo nel tempo rispetto alle sorgenti presenti nella banda degli inteferometri terrestri. Infatti per ora possiamo misurare solo le onde provenienti da sorgenti come
esplosioni di supernovae e coalescenze di stelle doppie, mentre a più basse frequenze si possono osservare anche le onde provenienti da buchi neri supermassicci
(tipo quelli presenti al centro delle galassie) che presentano un segnale duraturo e
stabile, con una forma bene nota.
Inoltre, con uno strumento spaziale, si elimina il rumore sismico, connesso
all’attività tellurica e dell’uomo, anche se sorgono altri problemi, come ad esempio,
le difficoltà tecniche di realizzazione e di gestione di un sistema così complesso nello
spazio, oltre alle interferenze dovute a segnali non gravitazionali come la pressione
di radiazione solare e il vento solare, quantità che devono essere continuamente
monitorate.
In ogni caso, LISA sarà composto da tre satelliti identici che individuano i
vertici di un triangolo equilatero, essendo separati tra loro da angoli di 60◦ . Ognuno
di essi può essere usato come centro dell’interferometro. Questo ha due vantaggi:
1. si hanno due strumenti indipendenti che potranno rivelare onde gravitazionali
di qualunque polarizzazione e provenienti da qualunque direzione: inoltre,
se il segnale dura abbastanza a lungo, sarà possibile stabilire la direzione di
provenienza dell’onda dalla misura della frequenza, dell’ampiezza e della fase
di modulazione (a causa dell’effetto Doppler, dato dal moto dello strumento);
2. se eventualmente si dovesse danneggiare un satellite, ne rimarebbero comunque altri due funzionanti, così da non compromettere interamente la
missione.
44
I tre satelliti percorrono un’orbita di raggio pari a 1 UA con centro il Sole (fig.
2.9): il piano dell’orbita non coincide esattamente con quello terrestre in modo da
minimizzare le perturbazioni dovute all’interazione con il sistema Terra-Luna.
5*10 6 km
1 UA
Figura 2.9: modello meccanico per l’anelasticità: una molla ideale è posta in
parallelo con la serie formata da una molla e un pistone che rappresenta lo
smorzamento.
All’interno di ogni satellite sono presenti due masse di riferimento, due cubi di
4 cm di lato costituite da una lega di oro e platino: queste due masse di test sono
mantenute in caduta libera, in modo da garantire che solo l’interazione gravitazionale agisca su di esse. Per assicurare questa condizione ogni satellite è provvisto
di una camera a vuoto e da un sistema di sensori che monitorano le posizioni reciproche. Se i corpi rischiano di venire in contatto, una serie di micropropulsori si
attiva per spostare leggermente l’involucro del satellite che le ospita.
Le masse di riferimento costituiscono gli specchi di questo interferometro: la
loro posizione e i loro movimenti reciproci indicano il passaggio di un’onda gravitazionale che ha modificato la metrica dello spazio-tempo.
45
Capitolo 3
Virgo e VirgoAdvanced
Attualmente sono attivi sei rivelatori situati in varie località per la misura delle
onde gravitazionali. Essi sono tutti affetti dalle stesse sorgenti di rumore ma ciascuno ha caratteristiche e configurazioni diverse. In questo capitolo presenteremo
in particolare l’interferometro Virgo che ha sede in Italia, a Cascina (PI). Tale
strumento ha bracci lunghi 3 Km e con esso si possono rivelare onde gravitazionali
di frequenze comprese tra ∼ 4 Hz e ∼ 6 kHz. La sensibilità di Virgo a basse frequenze è maggiore rispetto a quella degli altri rivelatori, grazie ai superattenuatori
che riducono il rumore sismico.
Dopo aver descritto lo schema ottico di Virgo e i vari apparati che lo compongono, mostreremo la curva di sensibilità a cui si è giunti, confrontandola con
quella di progetto. Accenneremo poi ai miglioramenti che saranno apportati con
VirgoAdvanced, ponendo attenzione alle sospensioni monolitiche, argomento di
questa tesi, necessarie per la diminuzione del rumore termico.
3.1
Virgo
Per introdurre Virgo, partiamo dal suo schema ottico mostrato in fig. 3.1. È
sostanzialmente un interferometro di Michelson a cui sono stati aggiunti sottosistemi (come il sistema da vuoto e i superattenuatori) e ulteriori superfici ottiche
(come lo specchio di ricircolo di potenza e le cavità Fabry-Perot), utili per ridurre
i contributi del rumore sismico e dello shot noise.
3.1.1
Cavità Fabry-Perot
I due bracci dello strumento sono sostituiti da due cavità di tipo Fabry-Perot,
visualizzate in fig. 3.1 tramite gli specchi d’ingresso del fascio e quelli di uscita
(WI e WE, West Input e West End, per il braccio orientato verso Ovest; NI e NE,
North Input e North End, per quello orientato verso Nord).
Questo permette di aumentare il cammino ottico del fascio di luce lott , senza
46
Figura 3.1: schema ottico completo di Virgo: sono mostrate le superfici ottiche
che lo compongono e i segnali raccolti dai fotodiodi, descritti nel testo.
aumentare fisicamente la lunghezza l dei bracci. Infatti si trova che [20]:
lott = l
2F
π
(3.1)
dove F è la finesse, grandezza che caratterizza la risoluzione di un Fabry-Perot,
ovvero la capacità di distinguere due fasci di luce con fase diversa: maggiore è il
valore della finesse, maggiore è il numero di riflessioni che il fascio compie all’interno della cavità. Chiamando rin la riflettività dello specchio di ingresso e rout
quella dello specchio di uscita:
√
π rin rout
(3.2)
F≈
1 − rin rout
L’approssimazione dipende dal fatto che stiamo trascurando le eventuali perdite
degli specchi date dall’assorbimento, dalla loro deformazione e dalla pressione di
radiazione.
Poniamo di avere due cavità lunghe L1 e L2 , mentre le lunghezze totali dei due
bracci sono l1 + L1 e l2 + L2 . Usando la stessa notazione già utilizzata nella sez.
2.1 per il calcolo del campo elettromagnetico incidente sulle superfici ottiche, si
ha:
E1 = tBS Ein E5 = irBS Ein
E2 = e−ikL l1 E1
E6 = e−ikL l2 E5
47
E3 = A1 E2
E7 = A2 E6
E4 = e−ikL l1 E3
(3.3)
E8 = e−ikL l2 E7
dove Aj sono le riflettività del j-esimo Fabry-Perot esprimilbili come numeri
complessi:
Aj = Aj eiφj
(3.4)
La potenza incidente sul fotodiodo in uscita sarà:
%
2
Pout = rBS
t2BS Pin A21 + A22 + 2A1 A2 cos[(φ2 − φ1 ) + 2kL ∆l]
&
(3.5)
√
Per un interferometro ideale si ha A1 ≈ A2 ≈ 1 e rBS = tBS = 1/ 2, allora
chiamando ∆φF P = φ2 − φ1 :
Pout =
Pin
{1 + C cos[(∆φF P ) + 2kL ∆l]}
2
(3.6)
Questa espressione non cambia da quella data dall’eq. 2.10, se si eccettua il
termine di fase aggiuntivo delle cavità Fabry-Perot. In particolare, se si prende
Lj . lj , ovvero il braccio è quasi integralmente costitutito dal Fabry-Perot, si può
trascurare il termine 2kL ∆l, piccolo in confronto a ∆φF P .
Quando passa un’onda gravitazionale le lunghezze dei bracci dello strumento variano di una quantità espressa dall’eq. 2.15, dove a lj si può sostituire Lj
senza commettere un grande errore. È possibile dimostrare [16] che una piccola
perturbazione ∆Lj della lunghezza di un braccio genera un cambiamento anche in
∆φF P :
2F 1
2F
∆LGW = 2kL
h(L2 − L1 )
(3.7)
∆φF P = 2kL
π
π 2
Si trova che la variazione della fase data dal passaggio di un’onda gravitazionale
è amplificata di un fattore proporzionale alla finesse.
Nel caso di un interferometro reale questa amplificazione dipende dalla frequenza dell’onda gravitazionale incidente; a causa del valore finito della velocità della
luce, lo strumento si comporta come un filtro passa-basso con frequenza di taglio
fcut of f :
c
fcut of f =
(3.8)
4Fl0
con l0 lunghezza iniziale di un braccio.
Per Virgo si ha F = 50 [40], quindi la frequenza di taglio è di 500 Hz.
48
3.1.2
Specchio di ricircolo
Abbiamo visto nel paragrafo 2.2.2 che per diminuire il contributo dello shot noise
bisogna aumentare la potenza incidente sullo specchio, quindi la potenza del laser.
Ma questo non è facilmente attuabile a causa della instabilità della sorgente.
Allora si aumenta la potenza che attraversa l’interferometro a posteriori, introducendo uno specchio di ricircolo (in fig. 3.1 contrassegnato con PR, Power
Recycling) tra il laser e il beam splitter [39].
Quando la posizione del beam splitter è tale da mantenere l’interferenza distruttiva in uscita, la maggior parte della luce entrante è riflessa indietro dall’interferometro. Con il posizionamento dello specchio di ricircolo questa luce è reinniettata
con un fattore di guadagno GP R che dipende dalle perdite complessive ptot delle
superfici ottiche:
1
GP R ≈
(3.9)
ptot
Si noti che il termine ptot include l’assorbimento degli specchi, la percentuale
di luce scatterata e le eventuali deformazioni o difetti strutturali degli specchi. Si
stima [40] che per Virgo ptot ∼ 2%, ottenendo così un guadagno pari a 50.
È possibile valutare la minima ampiezza di un’onda gravitazionale misurabile
con un interferometro dotato di specchio di ricircolo e cavità Fabry-Perot, soggetto
a shot noise [51]:
h̃shot
1
=
4(L1 + L2 )F
6
7
7
7
84πh̄

1
λL c 
f
1+
ηGP R Pin
fcut of f
22 

(3.10)
√
pari a 10−23 1/ Hz per Virgo. Questo valore è due ordini di grandezza inferiore
a quello dato dall’eq. 2.40. Per questo motivo lo shot noise limita la sensibilità di
questo strumento a partire dai 500 − 600 Hz.
C’è da tener conto, però, che se da un lato lo specchio di ricircolo permette
la riduzione del contributo dello shot noise, dall’altro aumenta quello del rumore
termico: infatti ogni riflessione reintroduce questo disturbo nello strumento.
3.1.3
Sistema di iniezione
Parliamo ora del sistema di iniezione, ovvero di come la luce della sorgente viene
immessa all’interno dello strumento. In fig. 3.1 sono mostrati il laser, l’ElectroOptical Modulator (EOM), l’Input Bench (IB), l’Input Mode Cleaner (IMC) e la
Reference Frequency Cavity (RFC).
La sorgente è costituita da due laser, uno primario N d : Y AG ed uno secondario
N d : Y V O4 , che emettono con una frequenza di λL = 1, 064 µm; sono entrambi
collocati in aria su un banco ottico ancorato a terra. I due laser sono collegati
tra loro tramite una serie di diodi in modo che la potenza risultante sia di 20 W ,
stabile alla frequenza di emissione.
49
Il fascio così prodotto è inviato ad un modulatore di fase. La modulazione è
necessaria per ridurre il contributo di rumore dovuto alle fluttuazioni di ampiezza
della luce laser e il rumore elettronico 1/f [19]. Allora modulare il campo elettromagnetico in ingresso e demodularlo coerentemente in uscita è equivalente a
spostare la rivelazione nella banda delle radio frequenze, ed aumentare il rapporto
segnale/rumore.
Esistono diversi modi per modulare la grandezza misurata: quello che si usa
nell’interferometro Virgo è un elemento elettro-ottico (EOM) che varia la fase della
luce del laser. In tal modo il fascio, inizialmente di un’unica frequenza, si divide
in tante componenti con frequenze vicine tra loro, come mostrato in fig. 3.2. La
modulazione del segnale avviene con la tecnica di Pound-Drever-Hall [42, 43].
Figura 3.2: modulazione di fase della luce laser entrante: si distingue il fascio
carrier (CA) e quelli sideband (SB).
Se il campo elettromagnetico del laser è espresso dall’eq. 2.1, che possiamo
scrivere come:
E = E0 eiωL t
(3.11)
e la modulazione di fase è data da:
il campo risultante è:
V = V0 eiΩt
(3.12)
E " = E0 ei[ωL t+m sin(Ωt)]
(3.13)
Possiamo esprimere il campo risultante con le funzioni di Bessel Jn (m), dove
m è l’indice di modulazione:
E " = E0
∞
!
Jn (m)ei(ωL +nΩ)t
(3.14)
n=−∞
Quando m , 1, si possono prendere solo i primi tre termini:
E " ≈ E0 [J0 (m)eiωL t + J1 (m)e(ωL +Ω)t − J−1 (m)e(ωL −Ω)t ]
50
(3.15)
che rappresentano, nell’ordine, il fascio portante, carrier, e le prime due bande
laterali, sideband. Da queste si possono ricavare informazioni sullo stato dell’interferometro. Infatti dato che lo strumento lavora in frangia scura, il fascio portante
è in condizione di interferenza distruttiva: quindi al sistema di rivelazione arrivano
le due bande laterali, qui filtrate. Se si creano delle asimmetrie tra le lunghezze
dei bracci, causate dal passaggio di un’onda gravitazionale oppure da un segnale
di disturbo, il fascio carrier non è più in condizione di interferenza distruttiva ed
è misurato.
Il fascio di luce laser così modulato è inviato all’Input Bench: questo è un
banco ottico posto nel vuoto e sospeso tramite un superattenuatore. Su di esso
sono fissati alcuni specchi, mostrati in fig. 3.1, tra cui gli specchi di ingresso e di
uscita dell’Input Mode Cleaner e gli specchi della Reference Frequency Cavity.
L’ IMC è una cavità triangolare, lunga 144 m con finesse F = 1000 che ha la
funzione di allargare e allineare il fascio entrante e di filtrare le fluttuazioni sulla
sua posizione, dette beam jitter. Si comporta, quindi, come un filtro spaziale al cui
interno, il fascio portante risuona, mentre gli ordini superiori sono riflessi indietro.
La RFC, invece, ha il compito di stabilizzare la frequenza del fascio indipendentemente della modulzione. Infatti la presenza di asimmetrie nei due bracci, come
la diversa lunghezza iniziale ∆L e la diversa finesse ∆F, rende l’interferometro
sensibile alle fluttuazioni in frequenza δf . La densità spettrale dell’ampiezza del
segnale gravitazionale si scrive [41]:
h̃δf =
δf
f
.
∆L ∆F
+
L
F
/
(3.16)
Considerando le asimmetrie dell’ordine di qualche√percento, si stima che la
frequenza del √
fascio possa variare di δf ∼ 10−5 Hz/ Hz al valore 10 Hz e di
δf ∼ 10−6 Hz/ Hz al valore 100 Hz.
3.1.4
Sistema di rivelazione
È il sistema dedicato alla misura della potenza in uscita: il segnale gravitazionale
si misura tramite il fotodiodo indicato in fig. 3.1 con B1. Per fare questo bisogna
adattare spazialmente e allineare il fascio ai fotodiodi, filtrare il segnale per aumentare il contrasto C e separare la frangia scura, che si vuole misurare, dal fascio
che si riflette sulla seconda faccia del beam splitter, misurato dal fotodiodo B5 (fig.
3.1).
Il sistema si compone di due parti: una parte è posta nel vuoto e sospesa
tramite un superattenuatore, chiamata l’Output Mode Cleaner (OMC), l’altra è in
aria, su un banco ottico ancorato a terra, dove si trovano i fotodiodi di misurazioni.
L’Output Mode Cleaner è una cavità ottica lunga 25 cm con F = 50: come
nell’Input Mode Cleaner anche qui si trasmette solo il carrier e si filtrano i modi
di ordine superiore. In questo modo si incrementa il contrasto C tra le frange
d’interferenza.
51
Dopo esser passato nell’Output Mode Cleaner il fascio laser è raccolto dai fotodiodi, quindi amplificato e inviato al demodulatore, dove sono presenti i filtri di
compressione-decompressione e anti-aliasing.
3.1.5
Sistema da vuoto
Le fluttuazioni della densità del gas presente nello strumento causano variazioni
dell’indice di rifrazione dell’aria dove passa il raggio laser; da ciò consegue la variazione dell’intensità e della fase del fascio stesso. Per limitare questo disturbo
tutto l’interferometro è tenuto sotto vuoto con un sistema riportato in fig. 3.3.
Figura 3.3: il sistema da vuoto di Virgo: sulla sinistra è mostrato l’impianto nella
sua interezza, mentre sulla destra si vede una torre nello specifico con all’interno
il superattenuatore.
Si distingue tra:
• le torri, che contengono al loro interno:
– i superattenuatori, nella parte alta;
– i payload, nella parte più bassa, separati dal resto da una superficie
metallica isolante spessa 0, 1 mm;
• i tubi, con un diametro di 1, 2 m, che collegano le varie parti tra loro e entro
cui passa il raggio laser.
Per limitare il rumore dovuto al gas residuo, mantenere le superfici ottiche
pulite e garantire così la stabilità dell’indice di rifrazione, la pressione residua deve
52
essere di 10−6 mbar nella parte alta delle torri e di 10−9 mbar nelle camere dove si
trovano gli specchi.
3.1.6
Superattenuatore
Il superattenuatore (fig. 3.4) ha varie funzioni:
• riduce il rumore sismico, come già indicato nel paragrafo 2.2.1, di un fattore
∼ 1012 alla frequenza di 10 Hz; con esso si attenuano gli effetti degli spostamenti verticali, orizzontali e torsionali; inoltre a frequenze maggiori della
sua frequenza di risonanza ∼ 0.5 Hz è valida l’approssimazione di masse in
caduta libera, come esposto nel paragrafo 2.1.1;
• permette di poter applicare delle forze di attuazione tramite le bobine e i
magneti che vi sono attaccati; così si riesce ad allineare correttamente le
varie parti dello strumento e in particolare ad orientare gli specchi.
Il superattenuatore è costituito da:
pendolo invertito: è una struttura composta da tre gambe di alluminio alte 6 m
che sorreggono in cima un anello metallico; alla base, ogni gamba è collegata
a terra tramite un giunto flessibile attorno a cui oscilla l’intero apparato.
Si comporta come un filtro passa-basso al di sopra della sua frequenza di
risonanza f0IP , formando coì un pre-isolatore per il disturbo sisimico. La
frequenza di risonanza è data da:
f0IP
1
=
2π
5
k
g
−
m
l
(3.17)
dove k è la costante elastica del giunto, m la massa appesa al pendolo, l la
sua lunghezza. Nel caso del superattenuatore di Virgo si ottiene f0 ∼ 30mHz.
Sulla piattaforma superiore ad anello del pendolo invertito sono collocati:
• i sensori di posizione che permettono di misurare la posizione rispetto
ad un telaio, rigido anch’esso, situato all’interno della camera a vuoto
(il telaio racchiude la struttura mostrata in fig. 3.4);
• i sensori di accelerazione che permettono di misurare l’accelerazione
della struttura rispetto allo stesso telaio.
Inoltre una serie di attuatori elettromagnetici permette di controllare attivamente la posizione del punto di sospensione della catena di pendoli,
spostandola fino a 20 mm nel piano orizzontale e di 2 mm lungo quello
verticale.
filtri meccanici: una serie di sei filtri appesi l’uno all’altro, in cascata, è collegato
all’anello superiore del pendolo invertito. Ogni filtro è formato da un cilindro
53
Figura 3.4: il superattenuatore di Virgo: sono indicate le varie componenti che lo
costituiscono, compreso l’ultimo stadio della sospensione chiamato payload.
54
di acciaio sospeso per il suo baricentro con dei fili ugualmente di acciaio. La
serie di pendoli in cascata è lunga complessivamente 9m ed ha una frequenza
di risonanza di 0, 45 Hz al di sopra del quale i movimenti orizzontali sono
smorzati.
Per ottenere l’attenuazione anche nella direzione verticale, ogni cilindro è
dotato di una serie di molle triangolari (fig. 3.5) che hanno, invece, una
frequenza di risonanza di ∼ 1, 5 Hz, maggiore di quella dei pendoli. Per
abbassare ulteriormente la frequenza di risonanza, ciascun filtro è dotato di
un sistema di anti-molle magnetiche [44], ovvero un sistema che agendo in
modo opposto ad una molla, in pratica riduce la rigidità della molla reale:
tale sistema è composto da due magneti permanenti posti uno di fronte
all’altro con momenti magnetici opposti che si possono muovere solo nella
direzione verticale. Quando sono perfettamente allineati, la forza repulsiva
è nulla; ma appena uno dei due magneti si sposta dalla sua posizione di
equilibrio, la forza repulsiva acquista una componente verticale. La nuova
frequenza di risonanza per un sistema di questo tipo dipende dal modulo della
forza repulsiva e dalla distanza tra i due magneti. Per il superattenuatore di
Virgo si ha un valore di 0, 4 Hz.
Ogni filtro ha un elevato momento d’inerzia tale da garantire una frequenza
torsionale inferiore a 1 Hz.
Figura 3.5: visione prospettica di un filtro meccanico che compone la catena del
superattenuatore; si notino le molle triangolari responsabili dello smorzamento
verticale.
ultimo stadio: è costituito dalla marionetta (Ma), dalla massa di reazione (reaction mass, RM) e dallo specchio (Mi) dove incide il fascio laser: globalmente
questi tre corpi sono chiamati payload. Sulla marionetta e sulla massa di
reazione sono posti degli attuatori elettromagnetici che permettono il movimento dell’apparato e l’allineamento dello specchio lungo tre gradi di libertà, la rotazione attorno all’asse x, θx , la rotazione attorno all’asse y, θy e
lo spostamento lungo l’asse z (figg. 3.6 e 3.7). Questi sono i tre movimenti
maggiormente interessanti per il controllo dello strumento.
55
Figura 3.6: sistema di riferimento del payload : l’asse z è quello parallelo alla
direzione del fascio laser. Sono posti in evidenza anche i movimenti angolari.
Figura 3.7: ultimo stadio delle sospensioni: si vede la marionetta a cui sono sospese
la massa di reazione e lo specchio al suo interno. Sono indicati anche i magneti,
necessari per l’attuazione.
56
3.1.7
Ultimo stadio di sospensione degli specchi
L’ultimo stadio della sospensione della massa di test è spesso riferito con il nome
payload [45] in analogia all’equipaggio sperimentale trattenuto in orbita, in stato
inerziale, nei satelliti dedicati alla ricerca. Nel caso di Virgo, poichè il raggiungimento della condizione inerziale si deve verificare nella alla desiderata banda di
rivelazione delle onde gravitazionali e poichè il funzionamento dell’interferometro
dipende dallo stato di moto di più specchi si ha che:
• è necessario smorzare l’effetto dei disturbi esterni residui trasmessi dal superattenuatore che si manifesta al livello del payload principalmente come
movimento angolare di reazione. infatti, se si lascia il payload nello stato dinamico consentito dal superattenuatore (con controllo attivo), ogni specchio
dell’interferometro uscirebbe dal punto di lavoro oscillando angolarmente di
alcuni µrad e percorrendo elongazioni di alcuni µm e impedendo di fatto la
rivelazione di onde gravitazionali.
• è necessario regolare la posizione iniziale degli specchi (preallineamento) tramite un apposito sistema di controllo in modo da disporre l’interferometro
in condizione di misura. Tale condizione corrisponde per Virgo a dinamiche
di disallineamento di ∼ 1µrad e a velocità di traslazione longitudinale (lungo la direzione del fascio laser) degli specchi di v < 1µm/s. Se le forze di
controllo sono esercitate dall’interno della sospensione, orientando il payload
nel suo insieme rispetto al superattenuatore e lo specchio rispetto al payload,
si possono usare gli stessi attuatori sia nella fase di preallineamento sia nella
fase di mantenimento del punto di lavoro.
Tutto questo richiede un accurato studio in fase di progettazione meccanica.
Ogni specchio è monitorato con due sistemi separati: il controllo globale, dipendente dalla luce dell’interferometro e il controllo locale (sez. 3.1.8), ovvero un sistema
di leve ottiche indipendente e specifico per ogni payload. I movimenti così misurati
possono essere compensati, conoscendo la funzione di trasferimento meccanica, dal
sistema di attuazione composto dalle bobine e dai magneti permanenti.
Per minimizzare gli eventuali accoppiamenti elettromeccanici tra i diversi gradi
di libertà e il momento delle forze applicate dal controllo è importante che:
• la massa di reazione e lo specchio siano disegnati in modo da avere il centro
di massa coincidente;
• ogni corpo sia sospeso per il suo centro di massa.
Per cui in fase di progettazione meccanica bisogna tener conto anche di queste
condizioni. A questo punto possiamo fornire una descrizione minimamente dettagliata delle caratteristiche meccaniche del payload di Virgo, dal momento che esso
rappresenta la base da cui si è partiti per il progetto di payload con sospensioni
monolitiche.
57
La marionetta è un corpo di acciaio a forma di un parallelepipedo (fig. 3.7)
ai cui lati sono posti quattro supporti per i magneti permanenti geometricamente
interfacciati ad omologhe bobine ancorate all’ultimo filtro del superattenuatore. Al
suo interno è situato un motorino a passo micrometrico che permette di inclinare
la marionetta compensando l’effetto dovuta alla curvatura terrestre e gli eventuali
disallineamenti.
La marionetta (massa pari a 108 Kg) è sospesa all’ultimo filtro del superattenuatore tramite un filo di acciaio (lega Maraging) dello spessore di 1, 85 mm e di
lunghezza l = 1 m ancorato al suo baricentro. Inoltre sul piano baricentrale della
marionetta sono ancorate due coppie di fili in acciaio poste a 50mm di interasse che
sospendono concentricamente lo specchio (massa di 20 kg, diametro di d = 0, 35 m
e spessore 0, 10 m) e la massa di reazione (massa 40 Kg e diametro d = 0, 45 m). I
fili di sospensione sono lunghi l = 0, 7 m e hanno spessore rispettivamente 0, 3 mm
e 0, 6 mm.
La massa di reazione ha lo scopo di sostenere le quattro bobine di attuazione
diretta poste sul retro e di proteggere lo specchio dagli urti e dalle cadute, in caso
di rottura dei fili di sospensione, nonchè di smorzare le oscillazioni troppo ampie
dello specchio stesso: per questo ultimo motivo è dotata di quattro fermi movibili
di peek collocati sul davanti per limitare l’ampiezza delle oscillazioni.
Lo specchio è di forma cilindrica costituito da suprasil, un prodotto del silicio,
su cui è depositato uno strato di materiale riflettente, detto coating. Sul bordo
dello specchio sono posti quattro marker ai vertici di una croce. I marker sono
dei dischi di ceramica (Macor ) ricoperti di cromo del diametro di 2 cm su cui sono
incisi dei puntini (generalmente 9). Se sono illuminati, ad esempio con una lampada
alogena, i marker diventano ben visibili tramite una telecamera, permettendo così
la rilevazione della posizione dello specchio anche quando la luce del laser esce dal
fotodiodo del controllo locale. In questo caso, allora, non si hanno informazioni
sul movimento del corpo se non con tale sistema.
Un dettaglio rilevante è relativo alla realizzazione del punto di stacco dei fili
dalla parte dello specchio, ottenuto tramite l’uso di speciali prismi in silice fusa e
ancorati tramite il processo di catalisi chimica (silicate bonding, sez. 4.1.3) alla superficie laterale dello specchio e opportunamente fresati per impedire lo slittamento
laterale dei fili stessi.
Nel nostro lavoro siamo interessati allo studio sperimentale del payload nel
suo insieme al fine di verificare la possibilità di integrare in esso quattro fibre in
silice fusa al posto della coppia di fili di acciaio che sostengono lo specchio. Nello
specifico ciò comporta:
• lo studio dell’ottimizzazione dei modi di vibrazione del payload ;
• lo studio di eventuali criticità della funzione di trasferimento in relazione al
controllo del payload ;
• la verifica della robustezza dell’apparato.
58
3.1.8
Sistema di controllo
Il controllo di tutte le sospensioni e di tutti gli apparati è fondamentale per il corretto funzionamento dello strumento. Si distingue tra controllo locale e controllo
globale.
Il controllo globale si basa sui segnali di errore provenienti da tutto l’interferometro nel suo complesso. In fig. 3.1 sono indicati con le lettere B e Q: sono segnali
che si misurano dietro gli specchi (una frazione di luce è trasmessa) oppure sono
segnali provenienti da riflessioni secondarie, come nel caso di B5 che viene dalla
rifrazione del fascio principale sulla seconda faccia del beam splitter, dopo essere
stato riflesso dallo specchio di ricircolo.
Il controllo globale si occupa del corretto posizionamento degli specchi lungo
l’asse ottico del sistema (locking, usa i segnali di errore B) [38] e della rotazione
degli specchi stessi (automatic alignment, usa i segnali di errore Q) [47].
In Virgo per il locking si utilizza il metodo di Pound-Drever-Hall, già accennato
nella sez. 3.1.3. Questo metodo impone due condizioni fondamentali:
1. il fascio portante deve essere risonante sia nelle due cavità Fabry-Perot sia
nella cavità individuata dallo specchio di ricircolo della potenza;
2. l’uscita dell’interferometro deve essere la frangia scura.
Queste due condizioni definiscono un sistema di quattro relazioni che fissano i
valori delle distanze tra le ottiche sospese dell’interferometro (fig. 3.8).
Per l’alignment si usa la tecnica del fronte d’onda (wave front sensing technique) che prevede una modulazione di fase del fascio entrante e una demodulazione
del segnale che arriva al fotodiodo.
A regime non tutti i fotodiodi a quadrante vengono usati. L’allineamento è
ottenuto con una combinazione di segnali demodulati a 6 MHz e a 8 MHz. Un
sistema indipendente, il BMS (Beam Monitoring System), è usato per il mantenimento della posizione del fascio rispetto al sistema degli specchi. Tutti gli specchi,
tranne i due di ingresso delle cavità Fabry-Perot posti sotto controllo locale, sono
controllati da DC a ∼ 2 Hz in modo automatico. La deriva angolare degli specchi di ingresso è controllata inviando una perturbazione sinusoidale con frequenza
f < 10 Hz sugli specchi terminali e minimizzandone l’effetto sul segnale ricombinato in uscita, la frangia scura (fig. 3.9).
Il controllo locale, invece, si occupa di monitorare la posizione e gli spostamenti
di singole parti dell’interferometro; in particolare si controllano le singole superfici
ottiche e le marionette che le sospendono con un sistema di laser, fotodiodi e
telecamere indipendente da quello globale [48].
La funzione principale del controllo locale è quella di smorzare i modi angolari
e longitudinali che giungono dal superattenuatore fino alla massa di test e di effettuare il recupero della posizione allineata senza provocare l’eccitazione dei moti
59
Figura 3.8: schema del locking di Virgo: nei riquadri gialli sono riportate le condizioni fondamentali per il locking; sotto sono riportate le quattro condizioni sulle
distanze tra le ottiche sospese.
Figura 3.9: schema del automatic alignment di Virgo: il segnale proveniente dagli
specchi terminali delle cavità Fabry-Perot è usato per correggere l’inclinazione degli
specchi di input.
60
interni del payload. Per adempiere a questo compito si utilizzano due leve ottiche,
una incidente sullo specchio e l’altra incidente su uno specchio ausiliario ancorato
alla marionetta. Inoltre il sistema è provvisto di un ulteriore segnale derivante
dall’immagine dello specchio, usato per le oscillazioni più ampie.
Questo sistema permette di controllare lo specchio gerarchicamente su una
vasta scala dinamica (50−100µrad per gli angoli e 1µm−10mm per le traslazioni).
Tramite la misura della posizione del fascio laser sul rivelatore, si risale alla
posizione dello specchio nello spazio.
Torneremo a discutere del sistema di controllo locale nella sez. 4.2.2, dato che
è stato usato per il test della sospensione monolitica uno molto simile a quello
implementato a Virgo.
3.1.9
La curva di sensibilità di Virgo
La curva di sensibilità indica l’intensità minima del segnale gravitazionale misurabile da un interferometro, nell’intervallo di frequenze di interesse.
Per Virgo la curva di sensibilità teorica, stimata dalle varie densità spettrali
dei rumori è presentata in fig. 3.10 [51]. Ogni fonte di rumore dà il suo contributo,
indicato con un diverso tratto. Si noti che a basse frequenze domina il rumore
sismico mentre ad alte frequenze ci sono i picchi dati dai modi di violino del
rumore termico e lo shot noise.
Questa curva teorica va confrontata con quella che si è ricavata sperimentalmente in Virgo nel corso della sua messa a punto (fig. 3.11); dalla sua accensione
ad oggi si sono effettuate varie misure in diverse configurazioni e i valori della curva progressivamente sono stati abbassati per tendere alla stima teorica. I valori
della densità spettrale riportati su questa curva sono ottenuti dalle fluttuazioni
di posizione degli specchi ed equivalgono al valore misurato di rumore presente
nell’interferometro.
3.2
VirgoAdvanced
Con il progetto VirgoAdvanced si vuole portare l’interferometro Virgo ad essere
uno strumento di seconda generazione, in modo da aumentare il volume di universo
rilevabile di un fattore 10: Virgo può misurare il segnale proveniente da un sistema
binario di stelle di neutroni distante al massimo 11 Mpc, mentre con VirgoAdvanced si arriverà a 150 Mpc. In particolare la sensibilità di VirgoAdvanced sarà di
un’ordine di grandezza maggiore di quella attuale su tutta la banda di rivelazione.
Per arrivare alla configurazione prevista per VirgoAdvanced si passerà per una fase
intermedia denominata Virgo+.
Come detto nella sez. 2.2, la sensibilità nominale di Virgo è limitata al momento
dallo shot noise ad alte frequenze e dal rumore termico degli specchi a frequenze
intermedie.
61
Figura 3.10: curva di sensibilità teorica calcolata dalla stima dei rumori che agiscono sull’interferometro: sono riportati i contributi indipendenti delle diverse
sorgenti.
62
Figura 3.11: curva di sensibilità misurata in diverse epoche: si noti, in rosso,
l’ultima sensibilità ottenuta e quella teorica, in nero.
63
Per diminuire il contributo dello shot noise, è necessario aumentare la potenza
del laser (eq. 2.39). Ma questo provoca due diversi effetti:
1. la maggiore pressione di radiazione fa fluttuare la posizione degli specchi:
per limitare questo effetto si devono sostituire gli attuali specchi con altri
di massa più elevata; precisamente si progetta di avere specchi con lo stesso
diametro, ma spessore doppio.
2. la maggiore energia incidente causa una deformazione degli specchi dove
incide il fascio laser: per compensare tale effetto si è sviluppato un apposito
sistema, chiamato Thermal Compensatione System, TCS, che viene testato
per Virgo+ e diventerà essenziale per VirgoAdvanced.
Cambiando le ottiche, si dovranno attuare modifiche anche al sistema di sospensioni dell’ultimo stadio. In particolare si vogliono utilizzare le sospensioni
monolitiche, con fibre di silice fusa: in questo modo si riduce anche il contributo
del rumore termico, causato dalla concentrazione dello stress nei punti di stacco
dei fili metallici.
In fig. 3.12 si vede la stima della sensibilità nominale per Virgo+, dopo
aver aumentato la potenza del laser (HP, High Power ) e dopo aver introdotto
le sospensioni monolitiche (SF, silice fusa o Fused Silica).
Figura 3.12: curva di sensibilità stimata per Virgo+, fase intermedia per
VirgoAdvanced, in diverse configurazioni compresa quella attuale.
64
3.2.1
Le modifiche di VirgoAdvanced
Le modifiche che si vogliono apportare a Virgo non riguardano solo gli apparati
sopra descritti, ma in generale tutto lo strumento [14]:
configurazione ottica: in Virgo è presente lo specchio per il ricircolo della potenza riflessa dall’interferometro; in VirgoAdvanced si vuole aggiungere anche
un’altra superficie ottica per il ricircolo del segnale (Signal Recycling, RC)
sospendendo uno specchio tra il beam splitter e il banco di rivelazione. In
questo modo sarà possibile modificare la forma della curva di sensibilità selettivamente in frequenza per ottimizzare lo strumento alla rivelazione di
particolari tipi di sorgenti astrofisiche.
La potenza del laser sarà aumentata da 20 W a 200 W , mantenendo la stessa
lunghezza d’onda della luce. In questo modo anche la potenza che arriva sulle
ottiche sarà maggiore: per il beam splitter si passerà da 4kW a 760kW . Allora anche il sistema di iniezione dovrà essere in grado di supportare l’aumento
di potenza, con un opportuno modulatore elettro-ottico, EOM.
Per quanto riguarda il sistema di rivelazione, si progetta di porre i fotodiodi
nel vuoto e di spostare il segnale misurato dalla modulazione nelle radiofrequenze alla lettura in DC. In questo modo si elimina il rumore prodotto
operando la demodulazione.
specchi: come già accennato, a causa dell’incremento di potenza nella cavità interferometrica che aumenta anche la pressione di radiazione, gli specchi dovranno essere più massicci: si raddoppierà il loro spessore, da 10 cm a 20 cm
e il loro peso, da 21 Kg a 42 Kg. Per ridurre il rumore termico il deposito
superficiale di ogni specchio, il coating, dovrà avere minori perdite meccaniche: in Virgo il coating è formato dal composto chimico T a2 O5 , mentre per
VirgoAdvanced sarà di titanio drogato con lo stesso composto. Il coating determina il fattore di qualità dello specchio e conseguentemente le perdite di
potenza all’interno dello strumento (quindi anche la potenza immagazzinata
grazie allo specchio di ricircolo).
TCS: (già in Virgo+) l’assorbimento di luce da parte delle superfici ottiche causa la loro deformazione e conseguentemente anche la distorsione del fronte
d’onda; gli effetti di tale processo sono trascurabili per Virgo, ma non lo
possono più essere per VirgoAdvanced, data la maggiore potenza incidente.
Si è pensato, allora, ad un sistema di compensazione termica, il TCS: consiste in due laser a CO2 posti localmente che procurano una deformazione
ad anello circolare sugli specchi di input (NI e WI), oppure di un sistema di
irradiazione analogo incorporato nella massa di reazione.
sistema di sospensione: il superattenuatore non è direttamente interessato a
modifiche strutturali, essendo già adatto alla sensibilità che si vuole raggiungere per VirgoAdvanced. In ogni caso, si vuole aggiungere un’ulteriore leva
65
ottica per il controllo locale del grado di libertà θz , attualmente non monitorato. Questo permette di ottenere una maggiore robustezza del sistema,
soprattutto nei giorni ventosi in cui la pressione dell’aria sugli edifici fa muovere il terreno sotto di essi e attraverso gli inevitabili accoppiamenti che si
manifestano nel sistema traduce alcuni modi di pendolo delle catene in modi
angolari del payload.
L’ultimo stadio delle sospensioni deve essere modificato per accogliere gli
specchi più spessi e gli anelli riscaldati del TCS. In aggiunta gli attacchi dei
fili di sospensione devono essere adattati per le fibre monolitiche: le perdite
meccaniche devono essere ridotte e il punto di piegatura delle fibre deve
giacere sul piano passante per il centro di massa del sistema specchio-massa
di reazione, in modo da ridurre gli accoppiamenti tra i diversi gradi di libertà.
Il payload includerà anche un nuovo elemento, la massa di reazione della marionetta, Marionette Reaction Mass, MRM: tale elemento sostituirà
il prolungamento meccanico rigido attaccato all’ultimo elemento della catena atto a sostenere gli attuatori della marionetta. La MRM sarà utile per
semplificare l’istallazione del payload.
sistema da vuoto: il valore attuale della pressione del gas residuo è di 2·10−7 mbar.
Ma per la sensibilità di VirgoAdvanced si richiede un fattore 100 in più, fino
ad un valore di pressione di 10−9 mbar.
infrastrutture: per ridurre il contributo dei rumori dati dall’attività umana nei
pressi dello strumento e dai macchinari lì presenti (come ad esempio quello
responsabile del sistema di condizionamento), si è deciso di sostituirli con
apparecchiature più silenziose, sia dal punto di vista acustico, sia dal punto di
vista sismico e di spostarle all’esterno delle stanze dove si trova l’esperimento,
in un edificio dedicato.
3.2.2
Le sospensioni monolitiche
L’introduzione delle sospensioni monolitiche in VirgoAdvanced ha lo scopo di ridurre il rumore termico associato al modo di pendolo (movimento nella direzione
z).
A causa del moto browniano delle particelle, la temperatura di un corpo non
è una grandezza distribuita uniformemente, anche se il corpo si trova in equilibrio
termodinamico ad esempio rispetto ad un bagno termico: la misura della temperatura che si ottiene è un valore medio. Allora le fluttuazioni di temperatura presenti
provocano moti di espansione-contrazione all’interno di un materiale, dipendenti
dal coefficiente di espansione termica, con conseguenti dissipazioni. Questo effetto
prende nome di smorzamento termoelastico (sez. 2.2.5): il suo contributo, dato
dal moto browniano, è maggiore rispetto a quello causato dall’aumento di energia
per assorbimento di fotoni incidenti.
66
Si è dimostrato [52, 53] che, nonostante tali dissipazioni siano inevitabili, la
silice fusa ha una dissipazione meccanica interna e un coefficiente di espansione
termica (si ricordi l’eq. 2.62) minore rispetto a quelli dell’acciaio. Quindi le fibre
di silice fusa possono sostituire quelle di acciaio che si usano attualmente in Virgo
per la sospensione dell’ultimo stadio del superattenuatore. Ciò permette di ridurre
di un ordine di grandezza il contributo del rumore termico nella banda di frequenze
di interesse [54].
Nello scegliere la silice fusa tra altri materiali possibili, si sono considerate due
caratteristiche:
• la silice fusa, se opportunamente trattata, ha un carico di rottura doppio
rispetto all’acciaio;
• dato che è un materiale amorfo, durante il processo di saldatura, la silice non
altera le sue proprietà meccaniche e termiche.
Le fibre di SF, una volta prodotte, devono essere ancorate agli specchi tramite appositi attacchi ai quali esse vengono saldate. Secondo l’attuale progetto
sviluppato dalla collaborazione Virgo gli attacchi sono incollati chimicamente allo specchio con la tecnica del silicate bonding (sez. 4.1.3) successivamente alla
saldatura.
In questo modo lo specchio, cli attacchi verticali e le fibre, tutti dello stesso
materiale, costituiscono un unico insieme “monolitico”, riducendo la frizione interna
e il rumore termico che nascono dal contatto tra materiali diversi.
D’altra parte le fibre di silice fusa presentano degli inconvenienti:
• il loro carico di rottura dipende dai difetti della struttura cristallina e dalle
spaccature generate in seguito ad urti;
• le fibre mostrano una specie di invecchiamento dovuto all’umidità dell’ambiente in cui si trovano.
Perciò è importante non far venire in contatto le fibre con nessun altro corpo
durante la fase di produzione e montaggio e monitorare continuamente le condizioni
ambientali.
67
Capitolo 4
Il prototipo delle sospensioni
monolitiche e il sistema di test
Le sospensioni monolitiche, già in uso nell’interferometro GEO600, sono necessarie
per ridurre il contributo del rumore termico associato alle dissipazioni termoelastiche. In questo modo ci si aspetta, secondo la fig. 3.12, che ciò contribuisca
a migliorare la sensibilità di Virgo dove essa sia limitata dal rumore intrinseco
dell’ultimo stadio di sospensione.
In questo capitolo parleremo della realizzazione di una sospensione monolitica:
dalla produzione delle fibre di silice fusa, alla loro caratterizzazione e al loro montaggio sullo specchio. Analizzeremo poi il payload per questo tipo di sospensioni e
il sistema di controllo locale descrivendo la strumentazione necessaria per le misure
di posizione e l’acquisizione dei dati.
4.1
Realizzazione di una sospensione monolitica
La silice fusa (SF) è un composto del silicio (SiO2 ) con struttura vetrosa: la sua
temperatura di transizione vetrosa, oltre la quale un materiale amorfo si comporta come un solido vetroso, dipende dalla storia specifica del materiale e dalla
velocità di vetrificazione. Questa temperatura si aggira intorno ai 2000 K: quindi riscaldando una barretta di silice fusa fino a questo valore di temperatura è
possibile fonderla e renderla altamente viscosa. A questo punto si può deformare
plasticamente e allungandone il profilo in fibre, proprio come si fa per il vetro.
Tipicamente si usa la silice fusa per creare fibre ottiche allo scopo di trasmettere dati; ma per la realizzazione di una sospensione monolitica, le fibre devono
essere prodotte appositamente al fine di garantire le caratteristiche fisiche e geometriche necessarie. Vediamo come si producono le fibre di SF tramite una macchina
dedicata e come si misurano le grandezze caratteristiche di ogni fibra
68
4.1.1
La produzione delle fibre
Le fibre sono prodotte a partire da delle barrette cilindriche di SF di alta purezza
(Herasil o Suprasil, reperibili in commercio): ogni barretta è lunga ∼ 10 cm ed ha
un diametro di 1, 5 mm.
Per ottenere una fibra si deve fondere la parte centrale della barretta e successivamente tirare le sue due estremità in versi opposti, così da allungarla fino al
raggiungimento delle dimensioni volute. Per Virgo sono stati istallati due diversi
macchinari per la produzione delle fibre:
1. la macchina H2 − O2 , interamente sviluppata presso Virgo; con questa apparecchiatura la temperatura di vetrificazione è raggiunta tramite l’esposizione
della barretta alle fiamme di H2 − O2 ;
2. la macchina laser CO2 , sviluppata all’Università di Glasgow (per GEO) e
successivamente modificata presso Virgo; in questo caso il raggiungimento di
tale temperatura è effettuato tramite l’esposizione alla luce di un laser CO2 .
Con il secondo metodo si riesce ad ottenere fibre con un profilo più uniforme e
in migliori condizioni di pulizia, il che garantisce in principio un risultato più buono
in termini di riproducibilità dei parametri meccanici delle stesse e di robustezza.
La macchina CO2 permette una precisa localizzazione del punto di riscaldamento e di conseguenza un maggior controllo della produzione e del profilo della
fibra.
La barretta di silice fusa è inizialmente pulita con alcool isopropilico; poi è saldata alla sua estremità inferiore ad un’ancora e alla sua estremità superiore ad un
cono entrambi in SF e necessari per il montaggio sullo specchio. Successivamente
è collocata nella machina CO2 (fig. 4.1) tramite due morsetti (clamp), uno fisso ed
uno solidale con il braccetto movibile dell’apparecchiatura. A questo punto il laser
CO2 , con una potenza di 100 W , può essere messo in funzione: il fascio laser viene
fatto riflettere su uno specchio rotante inclinato a 45◦ posto proprio al di sotto del
morsetto fisso che lo convoglia su due specchi conici ricoperti da un deposito di oro.
Lo specchio conico superiore è ancorato ad un secondo braccetto che si muove con
velocità vdown . Grazie allo specchio rotante e ai due specchi conici il fascio laser
colpisce la barretta continuamente, assicurando un riscaldamento locale omogeneo.
Prima del tiraggio della fibra si procede alla fase di annealing: usando il braccio
movibile inferiore, il fascio laser attraversa e fonde progressivamente la barretta
in tutta la sua lunghezza. In questo modo si eliminano gli eventuali difetti e le
fratture che si possono essere prodotte nella silice fusa durante il trasporto o nella
lavorazione: questi difetti riducono criticamente il carico di rottura delle fibre in
silice fusa.
Il tiraggio della fibra avviene subito di seguito: il laser fonde la barretta e il
braccetto superiore si sposta verso l’alto a velocità vup ottenendo una fibra sottile.
Contemporaneamente il punto di fusione, ovvero il punto in cui incide il fascio laser
sulla bacchetta, è spostato verso il basso, permettendo così che materiale appena
69
Figura 4.1: schema della macchina CO2 per il tiraggio delle fibre di SF: il fascio
laser CO2 arriva sui due specchi conici (in giallo) ed è focalizzato sulla fibra grazie
ad uno specchio piano rotante inclinato a 45◦ .
70
fuso venga tirato nell’immediato: tutto ciò è eseguito da un processo automatico
a controllo numerico.
Le velocità vup e vdown di tiraggio di una fibra determinano il suo spessore e
quindi il suo profilo: per l’equazione di continuità, infatti, si ha che il flusso di
materiale nella fibra deve rimanere costante. Per cui:
vup S1 = vdown S2
(4.1)
dove S1 e S2 sono le sezioni alle due estremità della fibra. Il profilo delle fibre,
quindi conseguentemente la velocità di tiraggio, deve essere scelto in maniera accurata, minimizzando il contributo del rumore termico. Si è visto [56] che il profilo
maggiormente adatto allo scopo di minimizzare il gradiente della forza applicata
nella parte iniziale e finale delle fibre è quello a campana, con un collo abbastanza
lungo e più spesso rispetto alla sezione del resto della fibra (fig. 4.2).
Figura 4.2: profili dei colli di diverse fibre riportate in vari colori: la riproducibilità
è accettabile.
Con la macchina laser CO2 è possibile tirare fibre con lo stesso profilo entro una
precisione di 10 µm, come si può verificare a posteriori grazie alle misure effettuate
con un profilometro. La sezione più piccola di una fibra, lontana dai colli, risulta
essere di 285 ± 10 µm.
4.1.2
La caratterizzazione delle fibre
Una volta prodotte, le fibre sono caratterizzate: si deve fare una prova di robustezza, misurare la posizione del punto di piegamento e altri parametri meccanici
fondamentali.
Ogni singola fibra dovrà sostenere un carico di circa 5 kg, dato che lo specchio
ha massa ∼ 20 kg 1 ed è sospeso con quattro fili. A questo fine si aggancia alla
fibra un carico di 10 kg: il peso è rilasciato gradualmente e lo si mantiene per circa
30 minuti. Se la fibra supera questa prova, è selezionata per le sospensioni e si
1
Si ricordi che per VirgoAdvanced si pensa di raddoppiare la massa dello specchio.
71
procede con le altre misurazioni.
Una grandezza da misurare è la lunghezza netta della fibra2 : la macchina CO2
produce fibre della stessa lunghezza con una precisione di 0, 2 mm, ma per il sistema di controllo locale e per la modellizzazione meccanica dell’apparato serve
una misura più accurata. Le fibre di SF sono generalmente lunghe ∼ 70 cm, che
è la distanza tipica tra il baricentro della marionetta e quello dello specchio nel
payload standard di Virgo: si usa allora un apposito regolo di 70 cm di lunghezza
e si misura la differenza con un calibro a cursore.
Un’altra grandezza da misurare è la posizione del punto di piegamento λ che
rappresenta la distanza tra l’estremità della fibra e il punto dove essa si piega
durante il modo di pendolo (fig. 4.3).
Figura 4.3: schema della deformazione di una fibra sottoposta al modo di pendolo:
la massa appesa è considerata puntiforme.
Infatti la conoscenza della posizione dei punti di piegamento è fondamentale
per il sistema di controllo delle sospensioni dato che questa quantità rientra nella
funzione di trasferimento meccanica del sistema. Per minimizzare gli effetti dell’accoppiamento esistente tra i vari gradi di libertà (in particolare tra il movimento
traslatorio nella direzione z e quello torsionale dell’angolo θx , fig. 3.6) il punto di
piegamento della fibra deve essere posto sul piano orizzontale passante per il centro
di massa del corpo sospeso.
Supponiamo di avere una fibra perfettamente cilindrica lunga complessivamente
L a cui è appesa una massa M puntiforme la cui forza peso è bilanciata dalla
2
Si noti che una volta sotto carico la fibra tende ad allungarsi: per un carico di 5, 280 kg si
misura un allungamento di 7, 45 mm di cui occorre tenere conto nella progettazione del payload.
72
tensione T . La posizione del punto di piegamento è dato da [55]:
λ=
5
EJ
T
(4.2)
dove E è il modulo di Young ed J è il momento d’inerzia della sezione del filo. Il profilo di una fibra approssima esponenzialmente due rette, il cui punto
d’intersezione è proprio il punto di piegamento.
Se la massa sospesa non è puntiforme ma ha un momento d’inerzia I si avrà
un punto di piegamento anche per l’estremità inferiore della fibra: allora la fibra
può essere approssimata come una serie di tre segmenti (fig. 4.4) di lunghezza λt ,
L e λb + d, dove d è la distanza tra il punto di piegamento inferiore e il centro di
massa del corpo appeso.
Figura 4.4: schema della deformazione di una fibra sottoposta al modo di pendolo:
la massa appesa non è puntiforme, per cui ci sarà un punto di piegamento anche
all’estremità inferiore.
Tutto questo vale solo per fibre cilindriche, con sezione costante: nel nostro
caso in corrispondenza della parte inferiore e superiore della fibra abbiamo una
sezione variabile con profilo a campana. Quindi non si può valutare la posizione
dei punti di piegamento in base all’eq. 4.2 e occorre fare una misura diretta.
Per misurare sperimentalmente la posizione dei punti di piegamento si può
sfruttare questa idea: se il punto di piegamento di una fibra è posto esattamente
sull’asse di rotazione della fibra stessa, quando si ruota la sua estremità superiore
la massa appesa alla parte inferiore non si muove (fig. 4.5).
L’apparato per compiere tale misura è chiamata macchina λ (fig. 4.6). Si
procede in questo modo: si fissa la fibra da misurare ad una slitta micrometrica
posta su una griglia rotante. La fibra deve essere agganciata ad un carico il più
possibile vicino a quello di lavoro a cui sarà sottoposta in seguito dato che la
posizione del punto di piegamento dipende dalla tensione applicata (eq. 4.2). A
73
Figura 4.5: schema di funzionamento della macchina λ: in a il punto di piegamento
giace sull’asse di rotazione (il carico non si muove dalla sua posizione), in b e in c
invece il punto di piegamento non sta sull’asse di rotazione e il corpo si sposta.
questo punto si mette in funzione la griglia che ruota alla frequenza di pendolo del
sistema e si misura la posizione dell’estremo inferiore della fibra tramite l’ombra
che esso proietta su un sensore shadowmeter.
Muovendo la slitta micrometrica si cerca di minimizzare il movimento dell’estremo inferiore della fibra sospesa e quindi di trovare il punto di piegamento. Una
volta individuato, si misura la distanza tra l’asse di rotazione (segnalato con un’apposita barra) e l’estremità della fibra: questo valore sarà la posizione del punto di
piegamento.
Si è trovato [56] che per delle fibre lunghe 74 cm il punto di piegamento superiore è a distanza 36, 64 ± 0, 04 mm. L’incertezza è data dal residuo di oscillazione
misurato quando il punto di piegamento è stato identificato.
Gli ultimi parametri meccanici di rilevanza sono la frequenza del primo modo
di violino e la frequenza del modo di oscillazione longitudinale lungo l’asse verticale
y (bouncing mode).
La frequenza del primo modo di violino è data dall’espressione:
1
f1 =
2L
5
T
Sρ
(4.3)
dove S è la sezione del filo, L la sua lunghezza, ρ la sua densità lineare e T la
tensione a cui è sottoposto. Si può misurare colpendo delicatamente il morsetto
superiore che sostiene la fibra e osservando la trasformata di Fourier delle oscillazioni che essa compie dopo essere stato eccitata. Per le fibre di 74 cm si è trovato
che f1 = 444 ± 1 Hz.
La frequenza del modo longitudianale è espressa da:
1
fl =
2π
5
k
1
=
M
2π
74
5
ES
ML
(4.4)
Figura 4.6: macchina λ con i suoi vari componenti.
75
Questa quantità può essere misurata eccitando il modo della massa che carica la
fibra tramite un attuatore elettromagnetico con asse verticale (coppia magnetebobina). Quando la massa oscilla verticalmente cambia la tensione rivelata da
un sensore piezoelettrico, collocato superiormente sul punto di attacco della fibra.
Calcolando la trasformata di Fourier del segnale proveniente dal sensore quando
l’eccitazione è rimossa, si trova che fl = 6, 1 ± 0, 1 Hz.
Si noti che la frequenza del più basso modo verticale è chiaramente visibile
nello spettro del rumore termico di Virgo; perciò, per diminuire il contributo di
questa sorgente di rumore nella banda di rivelazione è necessario costruire fibre
con fl < 10 Hz. Per lo stesso motivo è necessario che il primo modo di violino
abbia frequenza più alta possibile, così da garantire che i modi di ordine superiore,
anch’essi sostenuti dal rumore termico, si addensino in una zona spettrale non
critica.
Inoltre è fondamentale non toccare le fibre durante tutte le misurazioni e fare in
modo che esse non vengano in contatto con nessun altro materiale: infatti quando
la silice fusa è sotto forma di fibre sottili come quelle usate è estremamente fragile
e qualsiasi contatto può provocare delle microfratture che si propagano in tempi
relativamente brevi (0, 1 − 1000 s) non appena le fibre sono sotto carico.
4.1.3
Il montaggio delle fibre nel payload
Dopo aver prodotto e testato le fibre di SF ci troviamo a doverle ancorare al payload.
Le fibre si presentano con un cono saldato all’estremità superiore e un’ancora
all’estremo inferiore (fig. 4.7).
Figura 4.7: schematizzazione di una fibra di silice fusa con cono superiore e ancora
inferiore.
Sia l’ancora sia il cono, disegnati per minimizzare gli stress meccanici e le
frizioni, sono necessari per il montaggio della sospensione monolitica: il cono deve
76
essere incastrato in un vano nella marionetta e l’ancora deve essere attaccata ad
un supporto al lato dello specchio. Inoltre durante le fasi di produzione, test e
montaggio le fibre sono agganciate proprio tramite l’ancora e il cono ad un apposito
sistema a forma di C, necessario per il trasporto, al fine di garantire che siano ben
tese e che non urtino altri oggetti.
Parliamo ora della progettazione e della realizzazione degli attacchi per la
marionetta e per lo specchio.
La marionetta per le sospensioni monolitiche
La marionetta è stata disegnata in modo da permettere il montaggio sia di sospensioni standard in acciaio, sia di quelle monolitiche con le fibre di SF. Nella fase
di progettazione si è tenuto conto delle condizioni già imposte per le marionette e
per i payload di Virgo:
• le risonanze meccaniche strutturali devono avere frequenze alte perchè non
siano sostenute dal controllo per il mantenimento del punto di lavoro;
• le componenti del payload devono lavorare in uno spazio dove è praticato
l’alto vuoto;
• è necessario limitare l’accoppiamento tra i diversi gradi di libertà a qualche
unità percentuale: ciò richiede un attento disegno degli attuatori elettromagnetici e dei pezzi meccanici, nonchè un accurato montaggio;
• durante le fasi di montaggio si deve evitare la contaminazione di polvere
sugli elementi ottici: per cui deve essere possibile montare il payload in una
camera pulita.
In particolare per le sospensioni di silice fusa bisogna:
• assicurare il corretto posizionamento dell’attacco dei fili sul piano baricentrale: infatti una volta inserite, le fibre non possono essere toccate o spostate;
• evitare che le fibre si rompano toccando le aree ad esse circostanti;
• poter inserire le fibre monolitiche lateralmente nella marionetta, in modo da
ridurre la possibilità di urto.
Per adempiere a queste condizioni è stata disegnata e realizzata la marionetta
mostrata in fig. 4.8, derivata dal progetto della marionetta standard di Virgo.
Il cono superiore di una fibra è inserito in un alloggiamento in acciaio composto
di due parti. La parte interna (fig. 4.9) è a diretto contatto con la silice fusa ed è
usata anche durante il tiraggio delle fibre e il trasporto. In fase di montaggio essa
è avvitata alla parte esterna (fig. 4.10) in modo che non possa ruotare e la sua
posizione sia fissata.
77
Figura 4.8: marionetta per il prototipo di sospensione monolitica sotto due diverse
angolazioni: sono mostrati i supporti laterali dei magneti di attuazione, le fessure
per l’inserimento delle fibre. Si notino inoltre (a destra, in rosso) i due cilindri di
alluminio.
Figura 4.9: coni superiori saldati a delle fibre: in primo piano si vede un cono
inserito nella parte interna dell’involucro di acciaio.
Figura 4.10: scatola di acciaio dove è inserito l’involucro e il cono della fibra: si
noti in questo caso la polvere biancastra dovuta ai depositi di silice fusa prodotti
durante la saldatura delle fibre.
78
La fibra è posta nel suo attacco sulla marionetta attraverso una fessura (fig.
4.11) ed è avvitata tramite la parte esterna dell’alloggiamento in acciaio. La fessura
permette così l’inserimento laterale della fibra, riducendo la possibilità di contatto
tra la marionetta e la fibra stessa. Alla fine del montaggio la fibra si presenta
come mostrato in fig. 4.12. La distanza tra una fibra e l’altra nella direzione
perpendicolare allo specchio z è di ∼ 5 cm, mentre nella direzione trasversale allo
specchio x è di ∼ 37 cm.
Figura 4.11: lato della marionetta dove sono gli attacchi dello specchio con la
scatola di acciaio (A) e della massa di reazione (B): si notino le due fessure per
inserire le fibre di SF.
Lo specchio per le sospensioni monolitiche
Per quanto riguarda il metodo di sospensione dalla parte dello specchio si procede
in questo modo. L’ancora è saldata con la macchina laser CO2 direttamente alla
barretta di silice fusa prima di essere tirata (fig. 4.13).
L’ancora ha una forma tale da poter essere incastrata in degli appositi supporti
a contatto verticale, chiamati orecchie (fig. 4.14). Questi supporti sono incollati
grazie ad un processo di catalizzazione chimica sulla superficie laterale piana dello
specchio (in fig. 4.14 in rosso).
In VirgoAdvanced lo specchio sarà anch’esso di silice fusa, formando in questo
modo un blocco monolitico; nel prototipo usato per i nostri studi, abbiamo a
disposizione solo uno specchio di prova, delle stesse dimensioni di quello definitivo,
ma costituito con diverso materiale. Esso è formato da una corona circolare in
alluminio al cui centro c’è un anello in acciaio atto ad alloggiare uno specchio
in suprasil con rivestimento superficiale metallico3 . In questa configurazione per
3
Questo sistema era stato usato nelle fasi iniziali di Virgo per posizionare lo specchio di
ricircolo di potenza, visto che aveva dimensioni inferiori a quelle degli altri specchi.
79
Figura 4.12: fibra con cono inserita nella sua fessura della marionetta.
Figura 4.13: ancora di silice fusa a confronto con un’ancora di acciaio di prova.
80
Figura 4.14: progetto degli attacchi inferiori per le sospensioni monolitiche: le
orecchie sono disegnate in verde e le ancore, in blu, ad esse agganciate.
attaccare il supporto a contatto verticale è stato necessario praticare una fresatura
nella corona circolare per posizionare un inserto di silice fusa.
L’inserto e il supporto a contatto verticale sono incollati tra loro chimicamente
(fig. 4.15 e fig. 4.16), usando la tecnica del silicate bonding [57].
Figura 4.15: supporto a contatto verticale per le ancore insieme all’inserto dello
specchio: a sinistra sono mostrate le due parti incollate chimicamente tra loro e
a destra sono separate. Si notino anche i magneti necessari per l’attuazione dalla
massa di reazione incollati sulle superfici laterali degli inserti.
L’incollaggio chimico è usato per connettere corpi di materiale ossido tra loro;
si attua un processo di idratazione-disidratazione catalizzato da un idrossido, generalmente idrossido di potassio KOH o di sodio N aOH. Depositando una goccia
dell’idrossido in soluzione acquosa tra le superfici da incollare, si forma un gel che si
solidifica in un periodo che va da qualche giorno a un mese a seconda della concentrazione del catalizzatore. Durante il processo si forma uno strato sottile ma molto
resistente e rigido di ossido tra le due superfici che devono essere estremamente
piatte. Affinchè il silicate bonding sia efficace, la superfici da unire devono essere
rifinite con una rugosità di qualche decimo di nm: quindi nel caso del prototipo
sviluppato l’inserto e il supporto devono rispettare questa condizione.
81
Figura 4.16: inserto e supporto a contatto verticale montati nello specchio di prova:
si vede la corona circolare nera e lo specchietto centrale.
Più precisamente durante il processo di silicate bonding avviene questo: gli
atomi di silicio presenti sulle superfici da incollare attirano i gruppi idrossidi OH −
sciolti in acqua, formando così dei composti Si − OH (fase di idratazione). Successivamente i gruppi OH − si legano agli ioni H + ricostituendo le molecole di acqua
(fase di disidratazione) e causando la formazione di ponti Si − O − Si tra le due
superfici che in questo modo risultano unite.
Lo strato che si forma presenta molte dislocazioni e imperfezioni, dato che
i ponti di legame possono essere incompleti, ma è stato dimostrato [58] che in
principio queste imperfezioni non aumentano il contributo del rumore termico.
Inizialmente si era pensato di saldare le fibre a degli agganci diversi dalle attuali ancore; questi agganci dalla forma più semplice (prisma) erano incollati con
la tecnica del silicate bonding prima della fase di saldatura. Ne derivava che durante la saldatura stessa l’incollaggio chimico si indeboliva, a causa dell’elevata
temperatura del processo, e che le sospensioni si distaccavano. Inoltre le operazioni di saldatura producevano dei fumi che andandosi a depositare sulla superficie
dello specchio, avrebbero potuto contaminarlo. Per eliminare questi problemi si
è dovuto sviluppare un nuovo tipo di aggancio, l’ancora appunto, che può essere
facilmente saldato alla barra di SF prima ancora del tiraggio della fibra. In tal
modo il processo di silicate bonding non interferisce con quello di saldatura.
In linea generale per il montaggio di una sospensione monolitica bisogna procedere in questo modo:
• si procede all’incollaggio chimico del supporto a contatto verticale con l’inserto, già posto nello specchio di prova (da fare con sufficiente anticipo per
far solidificare lo strato di silicio);
• si producono quattro fibre di silice fusa dotate di cono superiore e ancora
inferiore;
82
• si testano le fibre prodotte, verificandone lo spessore e la lunghezza e misurandone la distanza del punto di piegamento e le frequenze caratteristiche;
• si trasportano e si montano le fibre una per una, inserendole prima nella
fessura della marionetta e poi nel supporto dello specchio;
A questo punto lo specchio è sospeso (fig. 4.17) e si può procedere al montaggio
del resto del payload : si sospende anche la massa di reazione con dei fili di acciaio
che girano intorno ad essa e successivamente vanno avvitati i supporti laterali
dei magneti permanenti alla marionetta. Si controlla che tutte le parti siano ben
bilanciate e infine si collegano i cavi delle bobine di attuazione. Il payload da dietro
appare come mostrato in fig. 4.18.
Figura 4.17: specchio di prova sospeso tramite quattro fibre di silice fusa: si vedono
i supporti a contatto verticale e gli inserti.
4.2
Apparato sperimentale per i test di controllo
Il prototipo di sospensione monolitica serve per verificare la robustezza delle fibre e
per attuare uno studio preliminare del loro comportamento meccanico in condizioni
dinamiche ordinarie.
Nel nostro laboratorio è stato assemblato un payload completo sorretto da una
struttura di acciaio costruita appositamente: la struttura è anche predisposta per
l’attacco delle bobine di attuazione della marionetta, che in Virgo sono attaccate
all’ultimo filtro del superattenuatore. Per i nostri test, oltre al payload, è stato
83
Figura 4.18: payload completo mostrato da dietro: sono indicate le varie parti. Si
noti che la marionetta possiede una quarta bobina di attuazione sul davanti, non
visibile in questa foto.
84
necessario istallare una catena di controllo locale, formata da un sistema di misura della posizione, un sistema di acquisizione/elaborazione dati ed un sistema di
attuazione, leggermente diversi da quelli usati in Virgo.
Analizziamo questi sistemi singolarmente.
4.2.1
Sistema di misura della posizione
Per descrivere l’apparato di misura della posizione del payload ci riferiamo alla
fig. 4.19. Questo sistema si occupa di misurare e monitorare la posizione dello
specchio e della marionetta nello spazio; in particolare è possibile ricostruire i loro
movimenti.
Figura 4.19: banco ottico dove è istallato il sistema per la misura della posizione
del payload.
Prima di tutto bisogna distinguere tra il piano dove sono situati i rivelatori
della posizione della marionetta e quello sottostante dove sono situati i rivelatori
della posizione dello specchio.
Infatti, in generale, nell’interferometro con specchi sospesi è preferibile attuare
le correzioni da stadi meccanici quanto più possibile lontano dallo specchio per
attenuare il rumore di attuazione: in Virgo i filtri del superattenuatore, essendo
collegati tramite attacchi puntuali, non permettono un buon controllo angolare,
quindi si devono necessariamente inserire le attuazioni dalla marionetta. Nel nostro
prototipo, invece, disponiamo solo di questa.
85
Inoltre, già dai primi test di controllo effettuati con l’interferometro [48] si è
dedotto che, al fine di consentire una banda di controllo angolare sufficientemente
ampia (2 − 3 Hz), sarebbe risultato conveniente usare come segnale di errore la
posizione della marionetta. Se si usasse il segnale di posizione dello specchio per
calcolare le correzioni da attuare sulla marionetta, si saturerebbero le schede elettroniche di conversione (DAC), poichè lo specchio è sostanzialmente un pendolo e
quindi esso attenua il movimento della marionetta. Per questo motivo si utilizzano
due sistemi di rivelazione indipendenti dedicati a funzioni diverse.
Per il livello marionetta, è quindi stato necessario installare un ulteriore specchio: al fine di non stravolgere il disegno della marionetta, si è attaccato sotto di
essa un supporto di una decina di cm di lunghezza in cui è inserito uno specchio
di diametro 2, 52 cm.
Per acquisire il segnale di posizione del payload si usano due tipi di rivelatori
differenti: una telecamera CCD (charged coupled device) e dei sensori di posizione
a fotodiodo (position sensor device, PSD).
La telecamera CCD è posta solo al livello specchio ed è puntata su di esso
con un angolo di ∼ 35◦ ; in questo modo si ha un’immagine dello specchio e dei
marker (fig. 4.20) lì incollati. I marker sono disegnati (sez. 3.1.7) per ottenere
un buon contrasto quando sono illuminati da una lampada alogena dedicata, in
maniera da poter rilevare la loro posizione (e di conseguenza quello dello specchio)
sull’immagine della telecamera CCD.
Figura 4.20: lo specchio di prova visto da davanti: si notino i marker, la massa di
reazione e i quattro fermi necessari per frenare i moti troppo ampi dello specchio.
La telecamera CCD (EEV-17CAM) ha una matrice di pixel 512×512 su un’area
di 7 × 7 mm2 ; ogni pixel è di 15 µm di larghezza. Il segnale è inviato con una
frequenza di 20M Hz ad una scheda ADC di 8 bit dedicata. L’immagine è acquisita
e convertita in 16 ms e la velocità massima raggiungibile è di 60 f rames/s.
I fotodiodi, invece, sono presenti sia sul piano marionetta sia su quello dello
86
specchio; per risalire alla posizione di questi due corpi si usano due diverse leve
ottiche giacenti sul piano orizzontale4 (in rosso in fig. 4.19). Due laser indipendenti
inviano il loro fascio sui due specchi con un angolo di incidenza di circa 35◦ ; i fasci
sono qui riflessi e focalizzati sui fotodiodi da due lenti.
I fotodiodi (Hamamatsu S2044 [59]) hanno un anodo e quattro elettrodi che
forniscono una corrente proporzionale alla distanza di un fascio di luce incidente
dai quattro lati del sensore: in questo modo è possibile ricostruire il segnale di
errore per lo specchio e per la marionetta combinando opportunamente i valori di
corrente elettrica misurata da ogni elettrodo (eqq. 4.13 e 4.14). Ogni elettrodo dei
fotodiodi è collegato ad un canale di un amplificatore differenziale ed è inviato ad
un canale di una scheda ADC a 16 bit di tipo standard, usati anche in Virgo.
Ciascun fotodiodo è montato su una serie di slitte micrometriche che permettono la traslazione del rivelatore lungo le tre direzioni degli assi e attorno all’asse
z. Con tale sistema è possibile compiere una prima diagonalizzazione tra i gradi
di libertà (sez. 4.2.4) e posizionare il PSD alla voluta distanza dalla lente.
Infatti, a seconda di quello che vogliamo misurare, possiamo montare il PSD a
due diverse distanze dalla lente: vediamo perchè. Ogni lente ha:
1. un piano focale, dove i raggi paralleli all’asse ottico si concentrano: la lunghezza focale f di una lente, ovvero la distanza tra la lente e il piano focale,
nel caso di una lente sottile posta in aria, è:
.
1
1
1
= (n − 1)
−
f
r1 r 2
/
(4.5)
dove r1 e r2 sono i raggi di curvatura della lente e n l’indice di rifrazione del
materiale di cui è composta.
2. un piano immagine, dove i raggi provenienti da un generico oggetto si concentrano: la distanza L" tra il piano della lente e quello dove si forma l’immagine
si ricava dall’espressione:
1
1
1
= + "
(4.6)
f
L L
dove L è la distanza tra il piano dell’oggetto e quello della lente.
È possibile calcolare la matrice complessiva per la determinazione dello spostamento X1 e dell’angolo θ1 del fascio laser sul PSD (fig. 4.21).
Bisogna comporre le matrici che definiscono i singoli tratti: per lo spostamento
di una quantità s, la matrice associata è:
A(s) =
1
4
1 s
0 1
2
(4.7)
In Virgo la configurazione è diversa: le leve ottiche si trovano su un piano inclinato a 21◦ ,
dato che le finestre ottiche da cui si osserva hanno questa collocazione.
87
!1
X1
!
lens
D
X
L
!
Figura 4.21: trasformazioni dell’angolo e delle dimensioni di un oggetto attraverso
una lente.
mentre per la lente la matrice corrispondente è:
A(f ) =
1
1 0
− f1 1
2
(4.8)
Dunque, partendo dal punto dove si trova l’oggetto, in cui avviene la riflessione della leva ottica, abbiamo uno spostamento pari a L a cui segue la lente di
lunghezza focale f ; dopo di questa c’è un ulteriore spostamento D fino al fotodiodo. La matrice complessiva è data dall’applicazione lineare di A(D) · A(f ) · A(L),
ottenendo:
1
2
1
2 1
2
1 − Df L(1 − Df + D)
X1
X
=
·
(4.9)
θ1
θ
− f1
1 − Lf
dove X e X1 sono le distanze dall’asse ottico del fascio laser prima e dopo la lente,
θ e θ1 sono gli angoli rispetto all’asse ottico sotto cui si vede il fascio laser prima e
dopo la lente; mentre L e D sono rispettivamente le distanze dello specchio e del
PSD dalla lente.
Se il fotodiodo si trova:
• sul piano focale, D ≡ f , dall’eq. 4.9 si ottiene che:
X1 = (L + f )θ
(4.10)
ovvero la posizione del fascio laser sul PSD dipende esclusivamente dall’angolo sotto cui il fascio stesso giunge sulla lente: se questo angolo varia,
varierà anche la posizione misurata sul PSD. Quindi sul piano focale sono
rilevabili i movimenti angolari dello specchio (fig. 4.22, a destra).
• sul piano immagine, D ≡
Lf
,
L−f
dall’eq. 4.9 si ottiene che:
f
X
L−f
(4.11)
2 sin α
cos(α − γ)
(4.12)
X1 = −
ovvero la posizione del fascio laser sul PSD dipende solamente dalla distanza dall’asse ottico del fascio prima di incontrare la lente. Ora, quando lo
specchio trasla lungo l’asse z di una quantità pari a z (fig. 4.22, a sinistra),
il fascio laser che incide sul fotodiodo si sposta di una quantità X, pari a:
X=z
88
dove α è l’angolo di incidenza del fascio laser e γ è l’angolo tra l’asse z e
l’asse ottico. Quindi sul piano immagine sono rilevabili i movimenti traslatori
dello specchio.
z
2"
X
#
!
"
2#
lens
optical axis
lens
optical axis
!
Figura 4.22: variazione della posizione del fascio laser incidente sul PSD connessa
ai movimenti dello specchio: a sinistra, uno spostamento dello specchio lungo l’asse
z, a destra, una rotazione dello specchio attorno all’asse y.
Nel nostro caso, la distanza tra la lente e lo specchio è di L = 132, 5 cm e
si ha una lunghezza focale pari a f = 20 cm e una distanza tra la lente e il
piano immagine di L" = 23, 5 cm. Dato che il riferimento fondamentale per il
punto di lavoro dell’interferometro è la posizione dello specchio, siamo interessati
a conoscere sia le traslazioni lungo l’asse z sia le sue rotazioni attorno agli altri due
assi. Dunque al livello dello specchio è necessario istallare un fotodiodo sul piano
focale della lente (PSDf) ed uno su quello immagine (PSDi): il fascio laser della
leva ottica arriva ai due rivelatori, diviso da un beam splitter. Al livello marionetta
basta conoscere le rotazioni intorno agli assi x e y, dato che la conoscenza della
posizione della marionetta è usata solo al fine di aumentare la banda del controllo
angolare di allineamento; per cui è necessario solo un fotodiodo sul piano focale
della lente (PSDm).
4.2.2
Sistema di acquisizione ed elaborazione dati
Il sistema di controllo digitale ed acquisizione dati messo a punto per il test della
sospensione monolitica è derivato da quello in uso a Virgo ed è schematizzato in
fig. 4.23. Esistono alcune differenze tra questi due sistemi ed in particolare nel
nostro prototipo si ha che:
• il gruppo di schede elettroniche per il controllo del superattenuatore sono
assenti;
• il sistema di acquisizione dati e quello di temporizzazione sono alloggiati nel
medesimo cestello a bus VME, dove è presente l’elettronica del controllo del
payload ;
89
• le schede di conversione digitale (DOL) sono usate unicamente per comunicare con il sistema di acquisizione dati e non per ricevere localmente segnali
del controllo globale.
Bisogna distinguere tra i segnali di errore (gli spostamenti nello spazio dei corpi
costituenti il payload ) e i segnali di correzione (le forze da applicare al payload
tramite il sistema di attuazione), calcolati da diverse parti del sistema.
Figura 4.23: schema della catena di controllo digitale del payload : in blu sono
riportate le attuazioni, in rosso le misurazioni della posizione. È riportato il crate
VME con le varie schede e sono indicati i principali programmi che vi girano
secondo l’architettura client/server.
In rosso sono indicati i collegamenti tra i rivelatori (telecamera CCD e i tre
fotodiodi) e le schede presenti nel cestello (crate VME) che ricevono i loro dati:
• scheda ADC (analog to digital converter ): riceve i dati analogici della posizione del fascio sul PSD amplificati e li converte in forma digitale. Ogni
scheda ADC ha 8 canali per ricevere segnali da 8 rivelatori distinti: dato
che abbiamo tre fotodiodi con quattro elettrodi, necessitiamo di almeno due
schede ADC per convertire tutti i segnali.
• scheda CAM: riceve esclusivamente i dati provenienti dalla camera CCD di
cui ne definisce le funzioni interfacciandola al cestello VME; la scheda CAM
scambia i dati con la scheda CPU B dove è attivo un programma di gestione,
il GxServer.
90
Una volta che i dati sono digitalizzati sono inviati alla scheda CPU B che si
occupa della gestione del DSP (digital signal processing). Il DSP calcola i segnali
di correzione a partire dai dati che gli vengono passati dalla CPU B applicando
ad essi degli appositi filtri assegnati tramite il programma client del DSP. Nella
scheda CPU B girano due programmi:
Gx Server: questo programma legge i dati nelle schede ADC e nella scheda CAM,
prepara i segnali di errore e li invia alla scheda DSP; inoltre si occupa di far
partire la scheda TIM della temporizzazione.
DSP Server: questo programma si occupa della gestione del DSP. È possibile
cambiare i filtri e i valori di offset del DSP con il programma client chiamato
damping che gira su un computer esterno, pc100.
Dopo che il DSP ha calcolato i segnali di correzione, questi sono inviati:
• alla scheda DAC (digital to analog converter ) per la riconversione analogica
a 12 bit; i canali di uscita della scheda DAC sono inviati ai generatori degli
attuatori, coil driver.
• al DAQ (Data Acquisition), che acquisisce e registra i segnali. Per il trasferimento dei dati sono utilizzate due schede DOL, digital optical link, collegate
tra loro tramite una fibra ottica. Questo sistema permette, in Virgo, di trasferire i dati alla velocità della luce e di coprire la distanza di 3 km presente
tra il DSP e il DAQ in tempo reale. Nel nostro laboratorio non abbiamo
questa elevata distanza, ma per mantenere il sistema il più possibile simile a
quello di Virgo si sono inserite le due schede DOL nello stesso cestello VME.
Si noti che il sistema DAQ ha varie funzionalità distribuite su diversi processi.
Il processo fondamentale è il Fbm, Frame-builder main che si occupa di gestire:
• Fbf, Frame-builder fast, campiona i dati inviati dal DSP ad alta frequenza
(10 kHz) e gira sulla CPU A;
• Fbs, Frame-builder slow, campiona i dati inviati dal Gx Server, tramite un
cavo Ethernet, a frequenza più bassa e gira invece su un macchina Linux
collegata alla rete locale, il pc100.
Su questa macchina sono presenti altri due processi, Fbm Dy, Frame-builder
main display per la visualizzazione dei dati e Fbm Csm1, Frame-builder main
consumer 1 che raggruppa una serie di canali di acquisizione riguardanti lo stesso
sottosistema. Infatti in Virgo si monitorano circa 1200 canali diversi corrispondenti
ad altrettante grandezze misurate; dato che non si possono analizzare tutti i canali
contemporaneamente, essi sono suddivisi in diversi sottogruppi (consumer lines),
come ad esempio la serie di dati che riguardano le sospensioni o il controllo locale.
Nel nostro caso abbiamo solo un consumer.
91
A tutti i processi è assegnato un valore temporale dalla scheda TIM di timing,
necessario per la corretta sincronizzazione. In Virgo ogni cestello ha una sola
scheda TIM dedicata a ricevere il segnale di temporizzazione globale e a distribuirlo
sincronizzando le varie schede in ogni dato cestello VME.
Per motivi tecnici nel nostro caso non è stato possibile sfruttare la distribuzione
di Global Timing di Virgo e dunque è stato installato sulla scheda CPU A un
ulteriore Global Timing Server che funge da riferimento per la temporizzazione di
tutta l’attività di controllo e acquisizione dati della sospensione monolitica.
I processi e i programmi per il controllo locale
Dopo aver descritto brevemente le schede che formano la catena di controllo
digitale, possiamo soffermarci sulla gestione e sull’elaborazione di tutto il sistema.
Tutti i processi del sistema di controllo e acquisizione sono gestiti tramite
una semplice interfaccia grafica che funge da client (fig. 4.24). Tramite questa interfaccia è possibile attivare e disattivare i programmi e controllarne la
configurazione.
Figura 4.24: finestra del client di gestione dei processi.
In fig. 4.24 è riportata la finestra di dialogo in cui è possibile notare la suddivisione in tre colonne: nella prima è riportato il nome del processo, nella seconda
il suo stato (unknown, in rosso, se non è attivo, active, in verde chiaro, se è inizializzato e golden, in verde brillante, se è attivo e funzionante) e nella terza colonna
è esplicitato il numero del frame analizzato ed altre informazioni generali. I nomi
dei processi sono completati dalla dicitura “15w”, ad indicare il nostro laboratorio
(situato nell’edificio 1500West); a questi si aggiungono ulteriori due processi, specifici del nostro prototipo, chiamati To50Write15w e Fbt50Write15w, che forniscono
i dati sottocampionati a 50 Hz.
92
Tra i processi gestiti dal client c’è il Gx Server; tramite il file di configurazione
(Appendice C), si stabiliscono i parametri da usare per il calcolo dei segnali di
errore [60].
Il Gx Server costruisce diversi tipi di segnali:
• il segnale COARSE, proveniente dalle posizioni dei marker sull’immagine
registrata dalla telecamera; ci sono quattro segnali di questo tipo, uno per
ogni marker (chiamati UL, UR, DL e DR, fig. 4.20), e riguardano tutti lo
specchio, dato che non si hanno i marker anche sulla marionetta. Il Gx
Server può elaborare in vari modi i segnali dei marker. I principali sono:
1. quello telemetrico che non richiede calibrazione essendo basato sulla
conoscenza delle distanze relative dei marker ;
2. quello lineare che ricostruisce gli spostamenti in base ad una matrice
(tab. 4.1).
Nel nostro caso si è scelta la seconda modalità poichè impegna la CPU B in
modo meno gravoso e poichè la calibrazione risulta elementare, non essendo
il sistema posto in una camera da vuoto.
• il segnale FINE, proveniente dalle posizioni del fascio laser sui quadranti dei
PSD; ci sono tre segnali di questo tipo, uno per ogni fotodiodo presente;
quindi si hanno due FINE per lo specchio (piano immagine e piano focale) e
un FINE per la marionetta (solo piano focale).
Il Gx Server procede in questo modo: prima di tutto si individuano le posizioni
dei marker sull’immagine dello specchio. Si ricordi che ogni marker è costituito
da nove puntini, ben visibili quando sono illuminati da una lampada alogena:
tramite questi puntini è possibile individuare la posizione dei marker sull’immagine
data dalla telecamera. Allora si indicano approssimativamente i valori dei pixel
dell’immagine che formano ogni singolo marker, stabilendo un pixel di partenza
e un’area intorno ad esso dove andare a misurare la potenza incidente che deve
avere un certo valore limite per essere rilevabile.
Una volta individuato il pixel dove è racchiuso un marker possiamo calcolare
il segnale COARSE tramite una matrice: sulle righe sono posti i fattori con cui
moltiplicare la coordinata x e y della posizione del pixel rappresentante il marker
nell’immagine, sulle colonne sono posti i fattori con cui moltiplicare i sei gradi di
libertà, le tre coordinate spaziali e le tre rotazioni intorno agli assi (tab. 4.1). Si
noti che i gradi di libertà sono calcolati tramite la definizione delle quantità x, y,
z, tx, ty, e tz associate: θx → tx, θy → ty, z → z e così via.
Per il segnale FINE, invece, si procede così: il fascio laser della leva ottica è
rivelato dal PSD se si trova in una regione centrale del suo sensore (per eliminare
gli effetti di bordo, dove si possono creare fasci multipli) e se ha una potenza
superiore ad un limite di guardia, entrambi i valori assegnati configurando il Gx
Server.
93
COARSE
MS_UL
1
0
↑
x
0 0
0 1
↑ ↑
y z
0 419,36 0 ← dir x
1 712,90 0 ← dir y
↑
↑
↑
tx
ty
tz
Tabella 4.1: esempio di matrice di calcolo del segnale COARSE per il marker
Up-Left: sono indicate le quantità a cui si riferiscono i valori
FINE
MS_PSDf
0
0
↑
z
0
10000 ← Ax
-10000
0
← Ay
↑
↑
tx
ty
Tabella 4.2: esempio di matrice di calcolo del segnale FINE per il PSD del piano
focale dello specchio: sono indicate le quantità a cui si riferiscono i valori
La potenza incidente è convertita in quattro fotocorrenti, una per ogni elettrodo del sensore, amplificata indipendentemente e inviata all’ingresso di altrettanti
canali della scheda ADC.
Grazie alle quattro fotocorrenti è possibile definire l’asimmetria x, Ax e quella
y, Ay , dove x e y sono le coordinate orizzontale e verticale del PSD:
Ax =
(PU R + PDR ) − (PU L + PDL )
PDR + PDL + PU R + PU L
(4.13)
(PDR + PDL ) − (PU R + PU L )
(4.14)
PDR + PDL + PU R + PU L
dove PU R è la potenza rilevata dall’elettrodo Up-Right di un fotodiodo, PU L
quella dell’elettrodo Up-Left, PDR quella dell’elettrodo Down-Right e PDL quella
dell’elettrodo Down-Left, chiamati nello stesso ordine dei marker dello specchio.
Queste due asimmetrie sono usate per ricavare z, tx e ty, associati agli spostamenti nei gradi di libertà z, θx e θy , tramite una matrice definita anch’essa nel
Gx Server (tab. 4.2): allo stesso tempo si definisce anche il fotodiodo per cui si
calcolano, PSDf, PSDi, se del livello specchio, piano focale e piano immagine, e
PSDm del livello marionetta.
Gx Server è programmato in modo da trattare gerarchicamente e automaticamente i segnali di errore:
Ay =
1. il primo segnale a cui si fa riferimento è il quello COARSE: spesso inizialmente lo specchio oscilla molto intorno alla sua posizione di equilibrio per cui
la leva ottica di questo livello esce dal quadrante dei fotodiodi PSDf e PSDi.
In casi come questo, si ha bisogno di monitorare gli spostamenti tramite i
marker, al contrario sempre ben visibili dall’immagine della telecamera, che
94
ha un campo di vista più ampio. Allora si usano i segnali di errore calcolati
dal Gx Server a partire dal COARSE per valutare i segnali di correzione da
applicare.
2. una volta che i movimenti dello specchio sono stati smorzati preliminarmente
grazie al segnale COARSE, il fascio laser rientra nei PSD di questo livello; se
tutti i segnali FINE sono presenti e stabili per un intervallo di tempo sancito
tramite il Gx Server è possibile usare i segnali FINE, molto meno rumorosi
dei precedenti, per calcolare le correzioni da attuare.
3. successivamente si passa ai segnali FINE del livello marionetta per i motivi
indicati in sez. 4.2.1.
I segnali di errore calcolati dal Gx Server sono passati al DSP: a questi segnali
sono applicati degli opportuni filtri per computare i segnali di correzione da applicare tramite il sistema di attuazione. Questo processo prende nome di anello di
controllo del sistema (servo loop) e può essere definito per tutti i gradi di libertà
del payload, anche se è sufficiente farlo solo per θx , θy e z.
Utilizzando un’interfaccia di tipo client del DSP, cioè damping che gira sulla
macchina Linux ausiliara (pc100), è possibile programmare ad alto livello le diverse
applicazioni digitali sui dati.
La schermata principale di damping è mostrata in fig. 4.25: è possibile scegliere
tra diverse azioni, a seconda di quello che occorre fare. Ad esempio Hardware
permette di implementare le variabili, decidendo su quali di esse agiscono i filtri
e con quale guadagno; inoltre definisce le variabili in ingresso e quelle in uscita,
che possono essere associate ai canali delle schede ADC, DAC o CAM e inviate al
sistema di acquisizione, tramite cui è possibile visualizzarle grazie ad un apposito
programma; l’insieme complessivo dei comandi prende nome di carta.
Una volta stabilito il listato delle operazioni e delle relazioni tra le variabili di ingresso e quelle di uscita (rappresentati dalle prime due colonne in fig. 4.26), occorre
compilarlo nel linguaggio macchina del processore del DSP (comando COMPILE)
ed infine va caricato e messo in funzione proprio sul DSP (comando DOWNLOAD).
Entrati nella sezione Hardware, si trova una finestra (fig. 4.26) dove ogni riga
di codice esplicita un’operazione che può essere di diverso tipo. Ad esempio si può
assegnare una variabile ad un’altra, moltiplicata per un fattore detto guadagno,
come le grandezze che arrivano dal Gx Server (DPM_06 in fig. 4.26); oppure si
può calcolare una quantità a partire da altre variabili, come nel caso di MIX che
compie il prodotto tra due grandezze, di ADD che aggiunge ad una variabile un
valore definito, o ancora come nel caso di un filtro che può essere applicato ad una
grandezza con un certo guadagno.
Nella parte centrale della schermata ci sono otto colonne che indicano le operazioni da effettuare, con le grandezze involte e i guadagni:
INPUT: definisce la variabile in ingresso nell’operazione di assegnazione oppure
il tipo di operazione da compiere;
95
Figura 4.25: finestra principale del client damping.
Figura 4.26: finestra del client damping, sezione Hardware.
96
OUTPUT: definisce la variabile di uscita a cui è assegnato un valore calcolato
con l’operazione compiuta nella riga;
FILENAME: indica il nome del filtro da applicare, se presente, oppure indica
le variabili moltiplicate nell’operazione di MIX; negli altri casi si lascia la
colonna vuota;
GUARD: indica se è presente il guardiano per quella operazione; il guardiano
evita che alcune variabili superino un valore limite;
GAIN: assegna il guadagno, ovvero il fattore per cui si deve moltiplicare il risultato di una data operazione; se l’operazione è l’applicazione di un filtro,
questa colonna indica il guadagno del filtro ad una frequenza specificata nella settima colonna; se l’operazione è ADD, questo valore indica quello da
sommare alla variabile in ingresso; il guadagno può essere cambiato quando
il programma è in esecuzione e per raggiungere il nuovo valore, impiega un
intervallo di tempo (ramp time) stabilito;
GNAME: serve a definire un nome ad una variabile, richiamabile poi da un
programma esterno a damping;
FREQUENCY: stabilisce la frequenza per cui un filtro ha il guadagno espresso
nella quinta colonna;
WHEN: indica quando il filtro va applicato, se prima o dopo la frequenza espressa
nel precedente parametro.
In alto nella finestra sono indicati i parametri di gestione e di attuazione: il
nome della carta usata, la cartella dove è salvata, la frequenza di campionamento e l’intervallo di tempo (ramp time) che deve trascorrere affinchè il guadagno
raggiunga un nuovo valore assegnato tramite il guadagno.
Il programma realizzato per il controllo del prototipo di payload e implementato
tramite damping opera schematicamente in questo modo. Nel programma entrano
i segnali di errore calcolati dal Gx Server: tx, ty, z, tutti del livello specchio, e
txPSDm, tyPSDm del livello marionetta (in fig. 4.28 sono riportati solo le variabili
del grado di libertà θy ). Si noti che il DSP non fa distinzioni per il calcolo della
correzione tra un segnale FINE ed uno COARSE: ad entrambi, indipendentemente
dal tipo di variabile passata dal Gx Server, si applicano gli stessi filtri, progettati
per essere operativi solo entro una banda relativamente stretta (0 − 0, 15 Hz). Ciò
appunto per rendere compatibile l’uso dei due segnali FINE e COARSE che hanno
componenti di rumore per f > 1 Hz differenti (fig. 4.27).
Oltre ai segnali di errore entrano nel programma delle variabili di controllo,
sempre provenienti dal Gx Server: FFlag che indica se i segnali entranti sono del
livello marionetta o del livello specchio, indipendentemente se COARSE o FINE (in
fig. 4.28 è riportata la variabile complementare di questa, CFFlag), e PLFlag, che
indica se i segnali del livello specchio sono di tipo COARSE o FINE. Si definiscono
97
Figura 4.27: spettri del segnale COARSE e FINE; si noti il segnale COARSE
molto più rumoroso del FINE.
altre variabili di controllo il cui valore è deciso dall’esterno (ovvero direttamente
da damping), modificando il valore del guadagno alla riga corrispondente (gain
= 0 → 1): LcOn, posto all’inizio del listato di damping, stabilisce se abilitare
il controllo di tutto il payload, txMiSw, tyMiSw e zMiSw stabiliscono invece se
abilitare il calcolo delle correzioni da applicare al livello specchio dei gradi di
libertà θx , θy e z, zMaSw stabilisce se calcolare la correzione da applicare al livello
marionetta per la variabile z (si ricordi che non si osservano le traslazioni lungo
questo asse per la marionetta, quindi si usa comunque il segnale proveniente dal
livello specchio).
A questo punto si chiudono i servo loop delle varie grandezze uno ad uno, con
ordine stabilito dalle variabili di controllo provviste dal Gx Server:
1. inizialmente, come già sottolineato per il processo del Gx Server, lo specchio
compie delle ampie oscillazioni a bassa frequenza in θy , per cui si ha solamente
il segnale COARSE. Per far rientrare le leve ottiche nei fotodiodi occorre
smorzare questo movimento tramite l’applicazione di filtri al segnale ty (in
fig. 4.28 filtro tyMiCorr e successivamente il filtro integratore); si chiude
il controllo sulla variabile ty COARSE e si produce il segnale di correzione
tyCorMa da applicare al livello marionetta. Il movimento dello specchio
passa da 50 mrad a 5 mrad.
2. ridotto il movimento di oscillazione di ty, le leve ottiche rientrano nei PSD
del livelli specchio e il segnale COARSE è sostituito automaticamente con
quello di tipo FINE, molto meno rumorosa della precedente, riducendo ulteriormente l’oscillazione dello specchio da 5 mrad a 200 µrad. Si noti che
il filtro correttore rimane lo stesso di quello applicato al segnale COARSE:
98
Figura 4.28: schema di funzionamento del servo loop per θy : sono riportati in
diversi colori le varie parti del sistema. Nei rettangoli sono indicati i nomi dei filtri
correttori mentre le variabili sottolineate sono quelle in ingresso.
ciò comporta che l’accuratezza raggiunta con questo segnale non è ottimale,
perchè esso deve operare anche quando l’oscillazione è molto ampia senza
saturare il limite di 10 V ammesso dalla scheda DAC.
3. compare anche il segnale FINE della marionetta su un canale dedicato e si
passa dal segnale dello specchio a quello della marionetta utilizzando questa
volta un filtro controllore diverso, che tiene conto della diversa funzione di
trasferimento. Finora si è parlato solo dell’oscillazione più ampia, ovvero
quella torsionale in θy , ridotta la quale si può attivare un filtro correttore
anche sul grado di libertà ortogonale θx . Il controllo si chiude prima sulla
variabile tyPSDm FINE (filtro tyMaCorr in fig. 4.28), producendo ancora
la correzione tyCorMa, e in seguito anche sulla variabile txPSDm FINE,
producendo la correzione txCorMa: infine il movimento dello specchio passa
da 200 µrad a 5 µrad.
Successivamente è possibile applicare altri servo loop anche al restante grado
di libertà z calcolando le correzioni da attuare sia al livello specchio (in fig. 4.28 è
riportato il filtro tyDamper con la correzione tyCorMi), sia al livello specchio.
Si vuole sottolineare che per ogni grado di libertà è possibile calcolare e applicare separatamente la correzione, che smorzerà quindi il moto solo in quella
direzione. Se il sistema è ben realizzato dal punto di vista dell’attuazione e i gradi
di libertà sono diagonalizzati, lo smorzamento in una direzione non influenza le
altre.
Tutti i dati provenienti dal Gx Server e dal damping, quindi sia i segnali di
errore, sia quelli di correzione, sono inviati al DAQ che li formatta in frame;
99
successivamente i frame possono essere visualizzati con un apposito programma
chiamato dataDisplay.
Con dataDisplay è possibile vedere sia i dati che si acquisiscono in quel momento, sia i dati precedentemente salvati e ordinati per giorno e ora (in UTC).
Per ogni canale rilevato dal DAQ è possibile disporre di svariate rappresentazioni
ed elaborazioni; qui ne riportiamo alcune tra quelle usate maggiormente in questo
lavoro:
• TIME: grafica i dati in funzione del tempo;
• FFT: calcola per una serie di dati la trasformata di Fourier;
• TR. FCT: calcola la funzione di trasferimento tra due serie di dati selezionate;
• COHE: calcola la coerenza tra due serie di dati selezionate;
• 1D: calcola l’istogramma di frequenza di una serie di dati;
Per ognuna di queste funzioni è possibile scegliere i parametri di visualizzazione
e calcolo. Ad esempio, per TIME si stabilisce l’intervallo di tempo visualizzato nella
stessa finestra, la velocità (in percentuale di tempo) con cui graficare nuovi dati e
la frequenza di campionamento. Per FFT e per TR. FCT si stabilisce l’intervallo
di tempo in cui effettuare l’integrazione, il numero di trasformate di Fourier da
mediare, e la frequenza di campionamento. Si noti che stabilendo il tempo di
integrazione Tint :
1. stiamo di fatto decidendo anche la frequenza minima che si può visualizzare
(fmin = 1/Tint ), nonchè la risoluzione della misura;
2. decidiamo anche il numero massimo di medie nave che si effettuano: dato che
una misura ha durata complessiva Ttot , aumentando il tempo di integrazione,
diminuiscono le medie che si riescono a calcolare (Ttot = nave Tint ), portando
di conseguenza ad una diminuzione del rapporto segnale/rumore.
In fig. 4.29 è riportata la finestra di visualizzazione dei dati nel caso di chiusura
dei loop di controllo. Sono graficati i segnali tx e ty, del livello specchio, txPSDm
e tyPSDm, del livello marionetta, calcolati dal Gx Server, le correzioni txCorMa e
tyCorMa, calcolate dal DSP. Inoltre sono presenti anche i segnali di z, z del livello
specchio e la sua correzione zCorMa. Si noti che al passare del tempo si ha:
• l’eccitazione dello specchio: ty ha un valore piuttosto alto, il segnale è di tipo
COARSE; mentre tx, z e i segnali marionetta sono assenti;
• la chiusura del controllo con ty COARSE: tyCorMa ha un valore diverso da
zero; cominciano a comparire i segnali marionetta;
• la chiusura del controllo con ty FINE: la correzione aumenta di intensità e
ty diminuisce; nel frattempo compaiono i segnali tx e z;
100
• la chiusura sequenziale anche del controllo su tx e su z;
• il raggiungimento del punto di lavoro del payload.
Figura 4.29: finestra di visualizzazione di dataDisplay: sono riportati i segnali
principali durante la chiusura del servo loop.
4.2.3
Sistema di attuazione
Dopo aver misurato i movimenti compiuti dal payload e aver calcolato i segnali
di correzione per riportarlo nella posizione di lavoro, si devono applicare queste
correzioni al sistema tramite degli appositi attuatori. In particolare, grazie al
sistema di attuazione è possibile allineare lo specchio rapidamente senza eccitare i
modi propri del payload.
Gli attuatori sono composti da coppie bobine-magneti permanenti: nel nostro
prototipo abbiamo quattro coppie al livello specchio, con le bobine attaccate alla
massa di reazione e i magneti al retro dello specchio, e quattro al livello marionetta,
con le bobine ancorate rigidamente alla struttura che sorregge il payload e i magneti
sui supporti laterali della marionetta stessa.
Le bobine della marionetta sono progettate [45] in modo da permettere l’applicazione di un valore massimo della forza Fmax tale da garantire uno spostamento dell’apparato di 5 mrad in θy ; mentre il valore massimo di corrente im101
messa nelle spire è idriver = 0, 1 A. Il rapporto tra queste due quantità si trova
essere Fmax /idriver = 0, 025N/A. Per lo specchio il valore della corrente che circola nelle bobine e il valore minimo dello spostamento sono più bassi; perciò se
si calcola lo stesso rapporto per le bobine dello specchio si trova un valore di
Fmax /idriver = 0, 010N/A.
Rispettando queste condizioni e procedendo ad una ottimizzazione in cui si
tiene conto anche del fatto che il sistema di attuazione non deve riscaldare il payload, si trovano le caratteristiche che le bobine devono avere, riportate in tab. 4.3;
nella tabella è indicato il livello dove sono posizionate, l’orientazione del momento
magnetico quando scorre corrente, i gradi di libertà sui quali le bobine agiscono,
il raggio esterno dell’avvolgimento di forma cilindrica, il numero di spire e l’impedenza complessiva stimata. Si noti che gli attuatori usati nel nostro prototipo
sono dello stesso tipo di quelli usati in Virgo.
Ma
Ma
Mi
n orientazione grado di libertà rest [cm] Navv %(Zcoil )[Ω]
2
y
θx , z
9,4
1092
12
2
z
θy , z
9,4
1092
12
4
z
θ x , θy , z
2,8
256
5
Tabella 4.3: caratteristiche delle bobine del sistema di attuazione: le voci sono
indicate nel testo.
I magneti permanenti devono essere posizionati al centro della circonferenza
individuata dagli avvolgimenti, in modo da ridurre l’accoppiamento tra i diversi
gradi di libertà in fase di attuazione.
In fig. 4.18 sono visibili le bobine di entrambi i livelli, mentre in fig. 4.30 sono
riportati i nomi dei singoli attuatori.
Figura 4.30: nomi delle bobine del livello marionetta e di quello specchio.
Se volessimo attuare una correzione nel grado di libertà θy dal piano marionetta,
si dovrebbero usare le bobine Ma_Right e Ma_Left. Per le altre direzioni si faccia
102
riferimento alla tab. 4.4. Si noti che per la correzione lungo gli assi y e z si sono
scelte arbitrariamente le bobine da usare: in linea di principio si potevano prendere
anche le altre due o usare tutte le bobine presenti. Inoltre, stabilita un’orientazione
coerente per i magneti per evitare gli accoppiamenti con campi elettromagnetici, i
versi delle correnti che scorrono nelle due bobine devono essere concordi nel caso si
vogliano fare delle traslazioni e discordi nel caso delle rotazioni: i versi e le bobine
da usare sono decise tramite delle matrici scritte in damping.
Ma
Mi
tx Front-Back Up-Down
ty Right-Left Right-Left
z Right-Left Right-Left
y Front-Back
—
Tabella 4.4: uso delle bobine per ricreare i gradi di libertà: è possibile avere anche
il movimento nella direzione y.
4.2.4
Prime operazioni
Dopo aver assemblato il sistema, montato tutti i rivelatori e collegato le schede
del cestello tra loro, dobbiamo compiere un serie di operazioni necessarie per la
corretta misurazione delle funzioni di trasferimento meccaniche: si deve assicurare
che il fascio laser sia abbastanza centrato sui quadranti dei fotodiodi, si deve avere
una corretta diagonalizzazione dei segnali (ogni grado di libertà deve essere il più
possibile indipendente dagli altri) e si deve effettuare la loro calibrazione.
Il centraggio del fascio laser sui fotodiodi è importante per avere una dinamica
il più possibile ampia: infatti se il fascio è spostato da un lato, quando lo specchio
oscilla, la leva ottica rischia di uscire prima dalla regione di rilevamento. Per centrare il fascio si usano le slitte micrometriche con precisione di 10 µm, poste sotto
il fotodiodo considerato, che muovono il rivelatore nelle due direzioni trasversali al
fascio.
La diagonalizzazione dei segnali avviene in tre fasi distinte, non necessariamente commutabili tra loro: questo implica che bisogna sempre verificare il corretto
procedimento ripetendo le fasi iterativamente.
Innanzitutto bisogna distinguere tra:
1. la diagonalizzazione dei segnali di errore (sensing diagonalization): dobbiamo
garantire che facendo la misura ad un fissato grado di libertà non ci siano
frequenze proprie di un altro grado (Appendice B). Si procede in due fasi:
• spostando meccanicamente il fotodiodo;
103
• definendo una matrice di conversione nel Gx Server;
Nella prima fase si parla di diagonalizzazione ottica: se il fotodiodo non si
trova esattamente sul piano focale o sul piano immagine, si possono vedere
rispettivamente anche parte dei movimenti traslatori e rotazionali (eqq. 4.10,
4.11). Prendiamo ad esempio θy , visibile con il fotodiodo PSDf, sul piano
focale del livello specchio: graficando con dataDisplay lo spettro dei dati di
tyPSDf si possono trovare frequenze caratteristiche di θx o z. Per eliminare
parte del contributo di z dobbiamo spostare lievemente il fotodiodo parallelamente al fascio tramite la sua slitta micrometrica per portarlo sul piano
focale: guardando il segnale in acquisizione si vede se i picchi corrispondenti
alle frequenze proprie di z diminuiscono di intensità e quindi se si sta raggiungendo il piano interessato. Per ridurre il contributo di θx , invece, si deve
usare una diversa slitta, detta culla, che provoca una rotazione attorno all’asse ortogonale al piano individuato dal quadrante del fotodiodo. Se gli assi
che individuano i diversi elettrodi del fotodiodo non sono paralleli agli assi
di riferimento (fig. 4.31), le asimmetrie Ax e Ay non sono calcolate correttamente, contenendo entrambi le proiezioni dei segnali θx e θy . In seguito si
ripete la stessa procedura per il fotodiodo del livello marionetta.
Figura 4.31: diagonalizzazione del θx e del θy tramite la culla: si noti l’inclinazione
degli assi sul quadrante del PSD.
Dopo aver minimizzato meccanicamente le sovrapposizioni dei diversi gradi
di libertà si attua la restante diagonalizzazione dei segnali di errore tramite
il Gx Server (diagonalizzazione modale), cercando di eliminare gli ultimi
contributi spuri: in questo modo si scrive la matrice presentata in tab. 4.2.
Si procede anche qui partendo dalle frequenze caratteristiche di un fissato
grado di libertà, ad esempio sempre θy del livello specchio. Osservando lo
spettro di ty, si possono trovare frequenze proprie di altri gradi di libertà che
vanno sottratte al segnale combinando Ax e Ay in modo opportuno; nella
104
tab. 4.2, l’operazione che si compie per ottenere ty è:
ty = 10000 · Ax
(4.15)
tx = −10000 · Ay
(4.16)
e analogalmente per tx:
dove i fattori 10000 e −10000 sono espressi in µrad/V .
Si può notare che:
(a) l’asimmetria lungo x è proporzionale a ty e viceversa: questo è ovvio se
si pensa a come sono costruiti i segnali e a come avvengono i movimenti
nello spazio (fig. 3.6);
(b) i segnali sono ben diagonalizzati semplicemente utilizzando il metodo
ottico; infatti su ty non c’è nessun contributo di Ay , e in modo analogo
per tx.
2. la diagonalizzazione dei segnali di correzione (driving diagonalization): si
deve assicurare che applicando la correzione ad un fissato grado di libertà
non la si stia anche applicando ad un altro. Questo può succedere se i
magneti non sono ben centrati rispetto alla rispettiva bobina oppure se le
bobine presentano delle diversità tra di loro. Infatti se le bobine hanno una
differente impedenza, quando gli si applica la stessa tensione, la corrente
che scorre è diversa, quindi varia anche il valore del campo magnetico che si
genera e la forza magnetica con cui si attrae il magnete permanente.
Queste imperfezioni del sistema diventano riconoscibili quando si manda alle
bobine una tensione con una determinata frequenza, diversa da quelle modali
del payload. Prendiamo ad esempio sempre il segnale ty, corrispettivo di θy
e al posto della correzione, poniamo tyCorMa pari ad un segnale sinusoidale
a frequenza fcomb , da applicare al livello marionetta. Nella tab. 4.4 in cui
sono riportate le bobine necessarie per compiere le correzioni su uno specifico
grado di libertà, contenuta all’interno di damping, possiamo vedere che per
realizzare tyCorMa si devono usare le bobine Ma_Left e Ma_Right. Se
queste bobine presentano i difetti sopra accennati, visualizzando lo spettro
di ty con dataDisplay, si possono osservare frequenze diverse da quelle tipiche
di θy .
Per eliminare queste frequenze, dobbiamo modificare la matrice di correzione
contenuta in damping: tale matrice indica i guadagni delle singole bobine per
ottenere la tensione da applicare a un dato grado di libertà. Per un sistema
ben bilanciato, senza imperfezioni meccaniche si avrebbe, ad esempio sempre
per θy :
tyCorM a = VM a_L + VM a_R
(4.17)
105
ovvero la tensione applicata alla bobina Ma_Left è uguale a quello applicato
alla bobina Ma_Right. Nel nostro caso invece si ha:
tyCorM a = 0, 894VM a_L + 1, 106VM a_R
(4.18)
Ciò implica che la bobina Ma_Left ha una resistenza interna leggermente
minore rispetto a quella di Ma_Right. Analogalemente si procede per gli
altri gradi di libertà, sia al livello specchio, sia al livello marionetta.
L’ultima operazione da compiere prima di effettuare le misure è la calibrazione
dei segnali. Per calibrare ty si può procedere in questo modo: se conosciamo lo
spostamento lineare percorso dal fascio laser e misurato prima della lente, tramite
la matrice di eq. 4.7, risaliamo al suo spostamento in angolo e allo spostamento
dello specchio che è la metà. Prendiamo come spostamento lineare quello compiuto dal fascio esattamente sulla lente, da parte a parte, così da essere facilmente
traguardabile e calcoliamo quanto vale; quando lo specchio si trova in una fissata
posizione, il fascio laser avrà angolo θ1 e posizione X1 sulla lente:
1
X1
θ1
2
=
1
1 L
0 1
2 1
·
X
θ
2
(4.19)
dove per le grandezze si fa riferimento alla fig. 4.21. Quando lo specchio si sposta
in θy , avremo una nuova posizione sulla lente X1" e un nuovo angolo θ1" , per cui vale
la stessa relazione:
X1" = X " + Lθ"
(4.20)
dove stiamo tralasciando l’equazione per θ1" , non utile ai nostri fini. Lo spostamento compiuto dal fascio sulla lente è dato da:
X1 − X1" = (X − X " ) + L(θ − θ" )
(4.21)
Se il fascio è esattamente centrato sullo specchio, così da vedere un moto
puramente torsionale, possiamo trascurare il primo addendo ed avere soltanto:
X1 − X1" = L(θ − θ" )
(4.22)
Ora, L è la distanza tra la lente e lo specchio (132, 5 ± 0, 5 cm), la quantità
X1 − X1" è la larghezza della lente (0, 52 ± 0, 01 cm), quindi si può trovare lo
spostamento angolare del fascio, pari a 39, 24 ± 0, 16 mrad, dove l’errore è stato
propagato. Lo spostamento angolare dello specchio è di 19, 62 ± 0, 08 mrad.
Questo spostamento angolare deve essere uguale a quello misurato tramite il Gx
Server e visualizzato con dataDisplay. Utilizzando il sistema di controllo, è possibile
orientare il payload aggiungendo un valore di tensione alla correzione tyCorMa,
106
tramite la funzione ADD; infatti se operiamo a controllo chiuso questo implica uno
spostamento fisico dello specchio in θy . Allora possiamo far spaziare il fascio laser
su tutta la larghezza della lente: raggiunti i bordi estremi della lente, controlliamo
sul grafico di ty in funzione del tempo il valore che assume e così troviamo lo
spostamento angolare da calibrare, pari a 24 mrad. Si procede analogalmente
anche per tx; mentre per la traslazione in z si usa la stima telemetrica elaborata
dal Gx Server.
Lo stesso procedimento si può applicare sia per il livello specchio, sia per quello
marionetta. Inoltre, durante il montaggio si è fatto in modo che la distanza tra
lo specchio e la lente del suo livello fosse uguale alla distanza tra lo specchio della
marionetta e la lente del suo livello. In questo modo la calibrazione risulta molto
simile.
È importante infatti che i segnali siano intercalibrati tra di loro: dato che il
controllo passa sequenzialmente e in modo automatico da un segnale all’altro, durante il passaggio, se è presente una differenza di offset o di ampiezza, si rischia un
salto di tensione nelle variabili di correzione. La forza applicata ai corpi del payload tramite il sistema di attuazione diventerebbe di tipo impulsivo e si potrebbero
eccitare anche dei suoi modi interni.
Vediamo come si effettua l’intercalibrazione tra il segnale ty e tyPSDm: quando
il controllo è aperto, il payload oscilla in θy naturalmente alla frequenza di 26 mHz
(Appendice B e sez. 5.2.1). Questa frequenza corrisponde a quella del payload nel
suo insieme, quindi deve essere visibile con la stessa intensità sia al livello specchio
che al livello marionetta. Se è presente una differenza di intensità, bisogna calibrare
uno dei due segnali rispetto all’altro.
Per vedere la differenza di intensità, con dataDisplay, possiamo:
• graficare ty e tyPSDm in funzione del tempo e sovrapporre i due segnali: una
volta individuata l’oscillazione alla frequenza di 26 mHz si può misurare la
differenza di ampiezza; in questo modo si riesce a valutare anche un’eventuale
discrepanza di offset;
• calcolare le trasformate di Fourier di ty e di tyPSDm: si misurano le intensità
dei picchi alla frequenza globale del payload ;
• calcolare la funzione di trasferimento tra ty e tyPSDm: il valore dell’ampiezza
della curva risultante alla frequenza di 26 mHz è il rapporto tra questi due
segnali.
Tutti i metodi devono portare allo stesso risultato. Una volta trovata la differenza di ampiezza tra ty e ty PSDm, si possono intercalibrare i segnali tramite
il Gx Server o tramite damping. Nel primo caso, si devono cambiare i coefficienti
della voce PSD, in corrispondenza dei valori di offset e di ampiezza. Nel secondo,
si possono aggiungere delle operazioni di ADD per sommare a ty o a tyPSDm la
quantità mancante.
107
Capitolo 5
Caratterizzazione del prototipo di
payload
Per ottenere la caratterizzazione completa del prototipo di payload dotato di sospensioni monolitiche occorre misurare le funzioni di trasferimento meccaniche: in
questo modo si trovano le frequenze proprie del sistema (Appendice B) sulla base
delle quali si progettano i filtri di controllo.
Le misure ottenute si devono confrontare con le funzioni di trasferimento teoriche, calcolabili con il metodo delle matrici di trasferimento: con un programma appositamente scritto, è possibile variare il valore dei parametri presenti nella modellizzazione per ottimizzarla rispetto ai dati sperimentali e ricavare così informazioni
riguardanti il sistema stesso.
In questo capitolo definiremo le funzioni di trasferimento meccaniche, descriveremo il processo di misura utilizzato e il modello teorico. Saranno poi presentati i
risultati delle misure effettuate in quattro diverse configurazioni del payload :
configurazione I fili in acciaio - supporti verticali in acciaio (fig. 5.1(a));
configurazione II fili in silice fusa - supporti verticali in acciaio (fig. 5.1(b));
configurazione III fili in silice fusa - supporti verticali in silice fusa (baricentro
della marionetta alzato di ∼ 3mm, fig. 5.1(c));
configurazione IV fili in silice fusa - supporti verticali in silice fusa (baricentro
della marionetta alzato di ∼ 6mm, fig. 5.1(d));
L’esperimento di far variare la posizione verticale del baricentro della marionetta non era mai stato fatto in precedenza. Esso è cruciale innanzitutto per validare
sperimentalmente le previsioni del modello teorico e in secondo luogo per scegliere la migliore configurazione considerando la sospensione nel suo insieme e il suo
utilizzo nell’interferometro.
Per motivi pratici la variazione della quota del centro di massa è stata effettuata tramite lo spostamento di due inserti cilindrici di alluminio presenti nel corpo
108
(a) configurazione I
(b) configurazione II
(c) configurazione III
(d) configurazione IV
Figura 5.1: le quattro diverse configurazioni del payload : si vede la marionetta, la
massa di reazione e lo specchio. In blu sono rappresentate le sospensioni in acciaio,
in giallo quelle in silice fusa. La linea rossa individua la posizione del centro di
massa della marionetta, mentre la linea tratteggiata verde indica la posizione degli
attacchi dei fili, rimasta immutata.
109
del prototipo della marionetta (fig. 4.8): nella configurazione III sono stati semplicemente rimossi, mentre nella configurazione IV, sono stati posti al di sopra della
marionetta stessa.
Successivamente saranno confrontati i dati sperimentali con quelli aspettati e
sarà discusso il metodo di ottimizzazione nel processo di adattamento dei parametri
teorici ai dati. Infine sarà proposto un nuovo modello per il payload per ridurre
gli accoppiamenti del sistema di sospensione.
5.1
Le funzioni di trasferimento
La funzione di trasferimento indica come un sistema reagisce ad uno stimolo esterno: è definita come il rapporto tra il segnale in uscita, la risposta del sistema, e il
segnale in entrata, l’eccitazione.
Poniamo di avere un sistema con funzione di trasferimento nota h(t) in funzione
del tempo; sia x(t) l’eccitazione in ingresso, anch’essa in funzione del tempo. Allora
la risposta del sistema y(t) è data dal prodotto di convoluzione:
y(t) = h(t) ∗ x(t) =
- ∞
−∞
h(t)x(t − τ )dτ
(5.1)
Al fine di semplificare questo calcolo è conveniente introdurre le analoghe funzioni nel dominio delle frequenze. Per farlo si applica la trasformata di Fourier al
segnale in ingresso x(t) [61]:
1 - ∞ −iωt
X(ω) =
e
x(t)dt
2π −∞
(5.2)
o più in generale applicando la trasformata di Laplace:
X(s) =
- ∞
−∞
e−st x(t)dt
(5.3)
dove s è un numero complesso la cui parte reale è σ e la cui parte immaginaria
corrisponde proprio alla pulsazione ω:
s = σ + iω
(5.4)
Introdotte X(s) e H(s) l’eq. 5.1 diventa semplicemente il prodotto tra X(s) e
H(s) (fig. 5.2):
Y (s) = H(s) · X(s)
(5.5)
La funzione di trasferimento può essere espressa con una generica funzione
razionale [62]:
=m
b j sj
N (s)
H(s) =
= =nj=0
(5.6)
j
D(s)
j=0 aj s
110
Figura 5.2: schema della funzione di trasferimento di un sistema nel dominio del
tempo e in quello delle frequenze.
La funzione al numeratore N (s) è un polinomio di grado m le cui radici prendono nome di zeri, dato che annullano la funzione di trasferimento; a denominatore
invece la funzione D(s) ha grado n e le sue radici prendono nome di poli, poichè
fanno divergere H(s). Se tutti i coefficienti aj e bj sono reali, come succede per i
sistemi fisici, allora i poli e gli zeri sono numeri reali o complessi coniugati.
È possibile riscrivere l’eq. 5.6 fattorizzandola:
H(s) =
bm (s − z1 )(s − z2 ) · · · (s − zm )
an (s − p1 )(s − p2 ) · · · (s − pn )
(5.7)
dove pi è l’i-esimo polo e zi l’i-esimo zero della funzione H(s).
La funzione di trasferimento è univocamente descritta quando si conoscono:
1. gli zeri del numeratore;
2. i poli del denominatore;
3. il fattore di guadagno in continua bm /an .
Supponiamo di riscrivere l’eq. 5.7 come prodotto di polinomi di primo e secondo
grado. Per il numeratore si avrà:
(s − z1 )(s − z2 ) · · · (s − zm ) =
!
N,N
>
i=1,j=1
1
fd2i
2
?
@
fdi
2
+
s+s
fsj + s
Qi
(5.8)
dove fsi sono le frequenze degli N " poli e degli zeri semplici e fdi sono le frequenze
corrispondenti agli N poli e zeri di fattore di merito Qi , definito come:
Qi =
fdi
f2i − f1i
111
(5.9)
√
dove f1i e f2i sono le frequenze in cui la funzione assume valore pari a 1/ 2 del
massimo. In ogni caso Q non assume mai valori minori di 0, 5: infatti Q può essere
legato intuitivamente al numero di oscillazioni che un oscillatore smorzato compie
prima di raggiungere lo zero. Nel caso limite è presente solo mezza oscillazione
(fig. 5.3).
Figura 5.3: esempio dell’andamento della funzione di trasferimento dotata
unicamente di un polo doppio, al variare del fattore di merito di un polo.
Qualcosa di analogo si ha per il denominatore.
Dato che la funzione di trasferimento è una funzione complessa, per essere
rappresentata completamente necessita di due informazioni, l’ampiezza e la fase:
• un polo provoca una diminuzione della pendenza dell’ampiezza come ω n , dove
n è il grado del polo; prima della diminuzione si ha però la formazione di un
picco tanto più accentuato quanto maggiore è il fattore di merito Q associato
ad esso (si noti che se Q < 1, non è presente nessun picco e l’ampiezza
diminuisce in modo monotono). Similmente, un polo provoca la diminuzione
della fase con pendenza maggiore tanto più alto è il grado del polo: se il polo
è di ordine due si ha una diminuzione della fase di π.
• uno zero provoca invece un aumento della pendenza dell’ampiezza come ω n ,
dove n è sempre il grado dello zero; in questo caso prima dell’inizio dell’aumento di pendenza si ha la formazione di una valle, tanto più marcata
quanto maggiore è il valore del fattore di merito. Uno zero provoca anche un
aumento della fase: se è di ordine due si ha un aumento di π.
5.1.1
Esempio di un pendolo semplice
Calcoliamo la funzione di trasferimento per un sistema fisico semplice, come quello
costituito dal pendolo di fig. 5.4.
La frequenza di risonanza fris di un pendolo di lunghezza l in cui la massa
appesa è puntiforme, è:
A
1 g
(5.10)
fris =
2π l
112
(a) eccitazione a frequenza f < fris
(b) eccitazione a frequenza f ≡ fris
(c) eccitazione a frequenza f > fris
Figura 5.4: pendolo di lunghezza l e massa appesa puntiforme: si noti lo spostamento, in rosso, del punto di attacco del filo, punto A, e sotto in blu, lo spostamento
del punto B.
Il segnale in ingresso è dato dallo spostamento del punto di attacco del filo del
pendolo (punto A, in fig. 5.4) in un verso e nell’altro di una quantità x(t), funzione
del tempo; a seconda della frequenza con cui si compie l’oscillazione, il punto B
subirà uno spostamento diverso, il segnale in uscita:
• a frequenze basse, f < fris , lo spostamento del punto A è completamente trasferito al punto B (fig. 5.4(a)); la funzione di trasferimento ha un andamento
piatto con ampiezza pari a 1, mentre la fase è nulla;
• alla frequenza di risonanza, f ≡ fris , il punto B presenta un’oscillazione di
ampiezza maggiore rispetto a quella che ha il punto A (fig. 5.4(b)): l’ampiezza della funzione di trasferimento ha un picco in corrispondenza di fris ,
mentre la fase diminuisce di π;
• a frequenze alte, f > fris , l’ampiezza di oscillazione del punto B è molto
minore di quella del punto A (fig. 5.4(c)): il pendolo filtra le frequenze
maggiori di fris ; l’ampiezza della funzione di trasferimento tende a zero e la
fase resta costante.
Gli andamenti dell’ampiezza e della fase della funzione di trasferimento sono
presentati in fig. 5.5.
113
Figura 5.5: ampiezza e fase della funzione di trasferimento di un pendolo semplice.
5.1.2
Funzione di trasferimento e filtri di controllo
La conoscenza della funzione di trasferimento di un sistema fisico è essenziale per
costruire degli adeguati filtri di controllo, se si vuole smorzare il moto di un sistema,
come nel caso del nostro prototipo.
Per ridurre il moto di oscillazione un corpo, l’idea intuitiva è che occorra dargli
una spinta nel verso contrario a quello del moto prima del raggiungimento della
massima elongazione. Al contrario se la spinta è data dopo il raggiungimento
della massima elongazione, quindi nello stesso verso del moto, il sistema subisce
un’ulteriore accelerazione.
Quindi nella progettazione dei filtri di controllo bisogna tenere in conto sia
dell’ampiezza della funzione di trasferimento che ci dà informazioni sulle frequenze
dei modi propri, sia della fase della funzione di trasferimento, che ci indica il tempo
giusto per attuare la correzione. Per ogni grado di libertà si definisce un diverso
filtro a partire dalla funzione di trasferimento ad anello aperto (Open Loop Gain
Function, OLGF) [63]; questa funzione è data dal prodotto tra il filtro di correzione
Cf lt (ω) e la funzione di trasferimento T F (ω):
OLGF (ω) = Cf lt (ω) · T F (ω)
(5.11)
Affinchè il filtro correttivo sia efficace, la OLGF deve avere:
• ampiezza maggiore di uno in corrispondenza delle frequenze dei moti che si
vogliono smorzare;
• fase compresa tra ∼ −π e ∼ π dove il guadagno è maggiore di uno.
114
Nella pratica la progettazione del filtro passa per un’attenta analisi delle caratteristiche di rumore dei sensori, degli attuatori e della dinamica dell’elettronica.
5.2
Misure sperimentali
Per fare misure delle funzioni di trasferimento di un sistema dobbiamo conoscere
il segnale in ingresso e quello in uscita.
Il segnale in ingresso è generalmente rumore bianco, un rumore casuale stazionario in cui sono presenti tutte le frequenze con uguale probabilità, in modo da
ricavare informazioni sul sistema quando è eccitato su tutta la banda dello spettro.
Il segnale in ingresso è inviato al payload tramite le bobine del sistema di
attuazione, mentre il segnale in uscita è rivelato dai fotodiodi (fig. 5.6).
(a) misura della TF Ma
(b) misura della TF Mi
(c) misura della TF PSDm Ma
Figura 5.6: schema di misura di una funzione di trasferimento: l’applicazione del
segnale in ingresso avviene tramite le bobine del sistema di attuazione, il segnale
in uscita è visto mediante i fotodiodi.
Nel nostro prototipo, qualunque sia la configurazione in esame, ci interessa
conoscere il comportamento del sistema solo in un intervallo di frequenze selezionabili con un filtro passabanda. Infatti per ottenere l’eccitazione dei modi a più
alta frequenza può rendersi necessario aumentare l’eccitazione anche di un ordine
di grandezza, provocando oscillazioni a bassa frequenza maggiori della dinamica
115
di oscillazione. A questo proposito si ricordi che la configurazione dei sensori usati
per rilevare la posizione del payload (sez. 4.2.1) è tale da consentire una dinamica
di oscillazione delle leve ottiche sui PSD di soli ∼ 5 mrad. La scelta dell’intervallo
di misura dipende dal grado di libertà che vogliamo studiare ovvero dai valori delle
risonanze caratteristiche.
Quindi occorre avere una stima, anche approssimativa, delle frequenze proprie
del sistema. Questa stima può essere compiuta tramite il calcolo delle eqq. B.5,
B.6 e B.7 (Appendice B), oppure attraverso il metodo delle matrici di trasferimento (sez. 5.3). Generalmente, per i gradi di libertà z, θx e θy , le frequenze di
interesse sono comprese tra 0, 01 Hz e 5 Hz, quindi i filtri passabanda attenueranno
le frequenze fuori da questo intervallo di valori.
Facciamo l’esempio di come si misura la funzione di trasferimento del beccheggio, cioè del grado di libertà θx .
Possiamo avere tre diverse funzioni di trasferimento per θx :
1. la misura dello spostamento dello specchio quando la forza è applicata al
livello della marionetta (in breve tx Ma, fig. 5.6(a));
2. la misura dello spostamento dello specchio quando la forza è applicata al
livello dello specchio (in breve tx Mi, fig. 5.6(b));
3. la misura dello spostamento della marionetta quando la forza è applicata al
livello della marionetta (in breve txPSDm Ma, fig. 5.6(c)).
La stessa situazione è presente anche per θy , mentre per le traslazioni longitudinali z è possibile effettuare solo le prime due misurazioni, dato che non abbiamo
un fotodiodo sul piano immagine del livello marionetta.
Vediamo nel dettaglio come si compie la misura della funzione di trasferimento
supponendo di fornire l’eccitazione con le bobine della marionetta e di osservare
lo spostamento dello specchio con la leva ottica associata.
1. Si controlla la posizione del payload :
il punto di lavoro deve essere stabile. Su tutti i sensori disponibili le leve
ottiche devono essere centrate, per massimizzare la dinamica: a questo scopo
è possibile chiudere i servo loop del moto torsionale θy , meno rigido rispetto
agli altri, in particolare in aria. In ogni caso è importante mantenere aperti
i controlli della variabile su cui si sta compiendo la misurazione, al fine di
evitare alterazioni.
2. Si definisce il segnale in ingresso:
il rumore bianco è prodotto tramite il programma client del DSP, damping
(sez. 4.2.2). Si definisce una variabile specifica in input, NOISE, che genera
una tensione contenente tutte le frequenze. Questa variabile è assegnata ad
una variabile temporanea (wnoise in fig. 5.7), a cui si applica il filtro passabanda (noiseMi.flt). Per questo grado di libertà, le frequenze di interesse
116
sono comprese tra 0, 4 Hz e 3, 6 Hz. Il filtro passabanda, necessario per selezionarle, è mostrato in fig. 5.8 e i poli e gli zeri del filtro stesso sono elencati
in tab. 5.1.
Figura 5.7: schermata del client damping per l’assegnazione del segnale in ingresso
della funzione di trasferimento.
filtro
p/z
z
z
z
p
p
p
tx: gain = 1
f (Hz)
0
0
0
0, 1
0, 1
10
a 0, 2 Hz
Q
/
/
/
/
0,5
0,5
Tabella 5.1: poli e zeri del filtro passabanda per la funzione di trasferimento del
grado di libertà θx .
3. Si assegna il segnale in ingresso alla variabile interessata:
il rumore bianco filtrato è inviato con un certo guadagno alla variabile di
correzione, txCorMa nel nostro esempio, tramite cui si esercita la tensione del
segnale di eccitazione al payload. Si noti che con damping è possibile anche
applicare un segnale diverso dal rumore bianco: ad esempio utilizzando la
117
Figura 5.8: filtro passabanda per la misura della funzione di trasferimento di θx .
funzione COMB del client, si produce una serie di sinusoidi alle frequenze
volute.
4. Si aumenta gradualmente il valore del guadagno del segnale di ingresso:
infatti inizialmente il segnale di eccitazione è inviato al sistema di attuazione
con un guadagno basso (per θx si parte con gain = 0, 001), per non perturbare troppo il sistema. Per lo stesso motivo, l’intervallo di tempo della
rampa deve essere sufficientemente lungo (∼ 30 s). Dopo aver monitorato
il movimento dello specchio in funzione del tempo per qualche minuto, al
fine di garantire la stazionarietà della risposta, si può aumentare il guadagno
dell’eccitazione gradualmente, fino a raggiungere un valore per la quale la
coerenza tra la risposta rilevata dalla leva ottica e l’eccitazione fornita dagli
attuatori è accettabile (valori maggiori di 0, 8).
La coerenza indica la similarità esistente tra due grandezze: è definita come
lo spettro di potenza normalizzato della correlazione incrociata tra le due
variabili scelte. La correlazione incrociata (x∗y)(t) di due funzioni del tempo
continue x(t) e y(t) è definita come il prodotto di convoluzione:
cxy (t) =
- ∞
−∞
x(t) · y(t + τ )dτ
(5.12)
Applicando la trasformata di Fourier all’eq. 5.12, si ottiene lo spettro di
potenza della correlazione incrociata wxy (f ), che può esser normalizzata con
118
i singoli spettri di potenza delle variabili x e y, wx (f ) e wy (f ); allora la
coerenza è data da [61]:
wxy (f )
cxy (f ) = 0
wx (f )wy (f )
(5.13)
Quando la coerenza assume valore ∼ 1, significa che le due variabili sono
correlate tra di loro. Quindi, nel nostro caso, se abbiamo che la coerenza tra
tx e txCorMa è ∼ 1 in un intervallo di frequenze, l’eccitazione e la risposta
sono correlate tra loro e in quell’intervallo di frequenze il valore della funzione
di trasferimento ha significato.
La coerenza e la funzione di trasferimento tra tx e txCorMa si può calcolare e visualizzare direttamente in tempo reale con dataDisplay (sez. 4.2.2).
Solitamente è consigliabile aggiungere anche i grafici delle funzioni di trasferimento e della coerenza con gli altri gradi di libertà, per assicurarci che non
ci siano accoppiamenti tra di essi.
5. Ottenuto un valore della coerenza maggiore di 0, 8, si procede a fare la misura
della funzione di trasferimento:
possiamo lasciare il sistema in acquisizione per un intervallo di tempo sufficientemente lungo (Ttot ∼ 1 h), senza cambiare i valori delle grandezze.
Si otterrà un risultato simile a quello mostrato nella fig. 5.9. Si noti che
questi dati sono mediati su un numero pari a nave acquisizioni della stessa
grandezza, integrata per un periodo di Tint (sez. 4.2.2): in basso in fig. 5.9
sono riportati i valori del tempo di integrazione (dt : 327, 68 s) e il numero
di medie effettuate (nAv : 17), con un interlacciamento del 50%.
6. Si salvano i dati dei grafici della funzione di trasferimento e si elaborano:
finita l’acquisizione della misura, è possibile togliere l’eccitazione ed esportare
i dati in un formato testo: i file testo contengono i valori delle frequenze e i
valori di ampiezza e fase della funzione di trasferimento, che possono essere
graficati successivamente tramite un programma di elaborazione scritto in
Matlab.
In questo contesto del tutto generale trattiamo il caso specifico della misura
della funzione di trasferimento per il grado di libertà y di traslazione verticale,
eseguita solo nella configurazione II, per cui si è proceduto nello stesso modo. Ma
al posto delle usuali leve ottiche, che non forniscono alcuna informazione riguardo
questo grado di libertà, si è usato un accelerometro. L’accelerometro PCB (massa m = 232 g, sensibilità r = 10V /g dove g è l’accelerazione gravitazionale sulla
superficie terrestre) è stato posizionato su un braccio della marionetta, come mostrato in fig. 5.10, così da essere meccanicamente accoppiato anche ai movimenti
tipici del grado di libertà θz e θx .
119
Figura 5.9: funzione di trasferimento e coerenza di tx/txCorMa e txPSDm/txCorMa: si noti il buon valore della coerenza nella banda dove sono presenti
i poli e gli zeri di θx .
Figura 5.10: posizione dell’accelerometro necessario per la misura della funzione
di trasferimento verticale.
120
Durante la collocazione dello strumento, così come durante ogni altra operazione di aggiustamento manuale del payload, si è posta particolare attenzione a non
alterare la posizione della marionetta stessa, bloccandola con degli opportuni fermi, in modo da mantenere il fascio laser all’interno dei fotodiodi. In questo modo
è stato possibile continuare a monitorare anche gli altri gradi di libertà durante la
misura.
Purtroppo l’accelerometro ha un cavo di collegamento all’amplificatore piuttosto spesso (in nero nella figura), il che determina un’alterazione nella configurazione del sistema: per ridurre tale effetto è necessario ancorare il cavo al filo di
sospensione della marionetta tramite delle anse morbide, così da ridurre la tensione
meccanica lungo il cavo. Il segnale in uscita dall’amplificatore dell’accelerometro è
inviato ad un canale della scheda ADC e trattato come gli altri segnali provenienti
dai fotodiodi.
La funzione di trasferimento del grado di libertà y ha frequenze caratteristiche
tra ∼ 3 Hz e ∼ 25 Hz, per cui il filtro passabanda da applicare al rumore bianco
dovrà contenere questi valori; l’eccitazione è somministrata tramite le due bobine
usate anche per θx , ma con il verso della corrente concorde (tab. 4.4).
5.2.1
Fit dei dati sperimentali
Tramite un programma scritto nel linguaggio Matlab è possibile visualizzare i dati
ottenuti da dataDisplay e compiere una stima dei parametri che caratterizzano la
funzione di trasferimento, come le frequenze dei modi fondamentali e i loro fattori
di merito.
La curva che descrive l’andamento dei punti sperimentali è data dall’equazione
5.8 che può essere riscritta in modo compatto:
T F (s) = C
!
n,n
>
i=1,j=1
1
fd2i
fd
+ i s + s2
Qi
2gi
?
fsj + s
@gj
(5.14)
dove gi e gj sono pari a −1 nel caso di un polo e a 1 nel caso di uno zero.
Con l’espressione data dalla eq. 5.14 si deducono delle curve che approssimano
i dati sperimentali molto buone (fig. 5.11), come dimostra anche la stima del χ2 ,
discusso nella sez. 5.2.2.
Riportiamo in fig. 5.12 come esempio del caso appena descritto la funzione di
trasferimento misurata per il grado di libertà θx . Al crescere della frequenza si
hanno varie strutture:
1. a basse frequenze l’ampiezza della funzione di trasferimento ha un andamento piatto: infatti in questo intervallo di frequenze il sistema di pendoli del
payload risponde linearmente.
2. per f ∼ 0, 4 Hz si ha una coppia polo/zero, dovuta all’influenza del grado di
libertà z su θx .
121
Figura 5.11: fit dei dati sperimentali, in blu, della funzione di trasferimento tx; in
verde è mostrata la curva che meglio li approssima.
3. a f ∼ 0, 5 Hz c’è il polo doppio dovuto al modo del payload per il grado di
libertà θx nel suo insieme: lo specchio, la massa di reazione e la marionetta
oscillano insieme.
4. per frequenze intorno a 2Hz si ha un’altra coppia polo/zero del secondo ordine
più ampia, dovuta all’interferenza della massa di reazione con lo specchio e
la marionetta; si noti, infatti, che l’eccitazione è applicata dalla marionetta,
mentre in uscita si osserva il moto dello specchio. Il moto della massa di
reazione, che influenza tutto in sistema, si osserva proprio a queste frequenze.
5. a f ∼ 3, 5 Hz c’è il secondo polo doppio dovuto al movimento dello specchio
in opposizione a quello della marionetta.
6. ad alte frequenze l’ampiezza della funzione di trasferimento ha un andamento
del tipo ω 4 .
In generale, per ogni grado di libertà, ci aspettiamo di avere la stessa struttura:
due poli principali, una coppia polo/zero dovuta all’influenza con la massa di
reazione e una o più coppie poli/zeri meno pronunciate dovute all’accoppiamento
con gli altri gradi di libertà.
Riportiamo qui le tabelle (tabb. 5.2, 5.3, 5.4 e 5.5) con le frequenze dei poli e
degli zeri, per i vari gradi di libertà e nelle quattro configurazioni. I dati sono raggruppati per uno stesso grado di libertà, in modo da visualizzare più semplicemente
la variazione delle frequenze caratteristiche nel corso delle varie configurazioni. Allo stesso scopo riportiamo i fit delle funzioni di trasferimento misurate nelle diverse
122
Figura 5.12: solo il fit della funzione di trasferimento misurata.
configurazioni insieme. Si noti che per una maggiore chiarezza le funzioni di trasferimento sono state rinormalizzate con la stessa ampiezza in continua, così da
porre l’attenzione solo sulla diversità tra le frequenze al variare della configurazione
sperimentale.
In maniera analoga a quanto esposto finora per la misura delle funzioni di
trasferimento di un certo grado di libertà agendo sulla marionetta, si è proceduto
alla misura delle funzioni agendo direttamente dalla massa di reazione.
Si noti che i poli semplici a 10 Hz per le funzioni di trasferimento di tipo Ma e a
300 Hz per le funzioni di tipo Mi sono dovuti al taglio in frequenza degli attuatori
elettromagnetici agenti rispettivamente da terra sulla marionetta e dalla massa di
reazione sullo specchio.
Per quanto riguarda le funzioni di trasferimento del grado di libertà θx (figg.
5.13, 5.14 e 5.15) con l’eccitazione data dalla marionetta, si osserva che lo spostamento del baricentro della marionetta ha provocato una forte variazione delle
frequenze dei picchi intorno a ∼ 0, 4 Hz. Si nota infatti che nelle prime configurazioni si ha una struttura di tipo coppia polo-zero e polo; mentre nell’ultima
configurazione la struttura appare ribaltata, presentandosi come polo e coppia
zero-polo. Questo significa che la frequenza minore, quella caratteristica del moto
di beccheggio del payload come un unico corpo, si riduce ulteriormente in seguito
all’innalzamento del baricentro del sistema (fig. 5.15), mentre lo zero della coppia
resta sostanzialmente inalterato.
A frequenze più alte si nota invece che il polo presente passa da una frequenza
di ∼ 1, 8 Hz a frequenze di ∼ 1, 5 Hz: questo dipende sostanzialmente dalle fibre
che sostengono lo specchio. Passando dalle fibre in acciaio (configurazione I) a
quelle in silice fusa (configurazione II), si riduce sia la densità del materiale, sia il
suo modulo di Young; quindi si riduce il coefficiente elastico associato.
Per quanto riguarda le funzioni di trasferimento del grado di libertà θy , con
l’eccitazione data dalla marionetta (figg. 5.16, 5.17 e 5.18), non si osservano grandi
variazioni di rilievo nelle diverse configurazioni. In particolare il polo a 0, 026 Hz,
proprio del moto del payload come un unico corpo, resta inalterato. Nella fig. 5.18
sono poste in evidenza le strutture intorno a 1 Hz.
123
(a) tx Ma
tx Ma
C(µrad/V )
p
z
p
p
z
p
p
config I
66, 7
f (Hz) Q
0, 405 90
0, 415 30
0, 486 130
1, 802 450
2, 141 240
3, 700 700
10
–
config
80
f (Hz)
0, 403
0, 415
0, 461
1, 517
2, 170
3, 714
10
II
Q
60
300
160
550
200
800
–
config III
147, 4
f (Hz) Q
0, 394 120
0, 409 280
0, 436 150
1, 462 600
2, 141 240
3, 717 700
10
–
config IV
326
f (Hz) Q
0, 375 110
0, 409 70
0, 421 90
1, 462 650
2, 151 200
3, 674 750
10
–
config III
127, 4
f (Hz) Q
0, 394 120
0, 409 280
0, 436 150
1, 404 450
1, 462 600
2, 141 240
3, 717 700
10
–
config IV
326
f (Hz) Q
0, 375 110
0, 409 70
0, 421 90
1, 407 300
1, 462 650
2, 151 200
3, 674 750
10
–
(b) txPSDm Ma
txPSDm Ma
C(µrad/V )
p
z
p
z
p
z
p
p
config I
70
f (Hz) Q
0, 405 120
0, 415 50
0, 486 100
1, 760 100
1, 805 400
2, 140 200
3, 699 800
10
–
config
80
f (Hz)
0, 403
0, 415
0, 461
1, 462
1, 517
2, 170
3, 714
10
II
Q
60
300
160
850
550
200
800
–
(c) tx Mi
tx Mi
C(µrad/V )
p
p
z
p
config II
55, 91
f (Hz) Q
1, 514 250
3, 711 400
3, 736 900
300
–
config IV
49, 2
f (Hz) Q
1, 459 300
3, 671 500
3, 693 900
300
–
Tabella 5.2: tabelle fit tx
124
(a) ty Ma
ty Ma
C(µrad/V )
p
p
z
z
p
z
p
p
p
config I
66700
f (Hz) Q
0, 026 500
–
–
–
–
0, 836 80
0, 848 340
0, 861 70
1, 001 240
1, 270 340
10
–
config II
83600
f (Hz) Q
0, 026 800
0, 403 60
0, 418 30
0, 830 150
0, 839 160
0, 845 35
0, 977 650
1, 254 310
10
–
config III
75320
f (Hz) Q
0, 026 500
–
–
–
–
0, 833 230
–
–
–
–
0, 979 240
1, 263 420
10
–
config IV
73280
f (Hz) Q
0, 026 800
–
–
–
–
0, 833 200
0, 842 150
0, 851 200
0, 977 400
1, 251 390
10
–
config III
75320
f (Hz) Q
0, 026 500
–
–
–
–
0, 833 230
–
–
–
–
0, 979 240
1, 129 560
1, 263 420
10
–
config IV
73280
f (Hz) Q
0, 026 800
–
–
–
–
0, 833 200
0, 842 150
0, 845 200
0, 977 400
1, 129 240
1, 251 390
10
–
(b) tyPSDm Ma
tyPSDm Ma
C(µrad/V )
p
p
z
z
p
z
p
z
p
p
config I
66700
f (Hz) Q
0, 026 500
–
–
–
–
0, 833 50
0, 848 350
0, 861 40
1, 001 240
1, 147 560
1, 270 340
10
–
config II
83600
f (Hz) Q
0, 026 800
0, 403 60
0, 418 30
0, 830 150
0, 839 160
0, 845 35
0, 977 650
1, 123 240
1, 254 310
10
–
(c) ty Mi
ty Mi
C(µrad/V )
p
z
p
p
config II
116, 2
f (Hz) Q
0, 977 310
1, 123 430
1, 251 220
300
–
config IV
100
f (Hz) Q
0, 977 140
1, 117 110
1, 251 550
300
–
Tabella 5.3: tabelle fit ty
125
(a) z Ma
z Ma
C(µm/V )
p
p
z
p
p
config
7, 1
f (Hz)
0, 409
0, 596
0, 604
0, 842
10
II
Q
80
100
105
150
–
config
7
f (Hz)
0, 415
0, 596
0, 604
0, 848
10
IV
config
15
f (Hz)
0, 372
0, 385
0, 421
0, 436
0, 598
0, 830
0, 842
1, 459
1, 556
300
IV
Q
55
70
60
110
–
(b) z Mi
z Mi
C(µm/V )
p
z
p
z
p
z
p
p
z
p
config II
15, 1
f (Hz) Q
–
–
–
–
0, 409 50
0, 421 70
0, 598 160
0, 836 40
0, 842 200
–
–
–
–
300
–
Tabella 5.4: tabelle fit z
126
Q
170
170
600
60
160
80
220
310
350
–
(a) y Ma
y Ma
C(m/(s2 V ))
z
z
p
z
p
z
p
z
p
z
p
z
p
p
config II
10−6
f (Hz) Q
0
–
0
–
3, 711 570
3, 827 60
5, 316 950
5, 518 300
8, 124 750
8, 136 700
8, 746 900
15, 33 900
19, 00 950
22, 89 850
23, 00 950
10
–
Tabella 5.5: tabella fit y
Figura 5.13: funzioni di trasferimento di tx Ma.
127
Figura 5.14: funzioni di trasferimento di txPSDm Ma.
Figura 5.15: particolare delle funzioni di trasferimento di txPSDm Ma.
128
Figura 5.16: funzioni di trasferimento di ty Ma.
Figura 5.17: funzioni di trasferimento di tyPSDm Ma.
129
Figura 5.18: particolare delle funzioni di trasferimento di tyPSDm Ma.
Per quanto riguarda le funzioni di trasferimento del grado di libertà z, con l’eccitazione somministrata dalla marionetta, non si osservano differenze, se non piccolissime fluttuazioni identificabili come variazioni di setup tra una configurazione
e l’altra.
Anche per le funzioni di trasferimento calcolate per θx , θy e z con l’eccitazione
data dalle bobine della massa di reazione, non si osservano grandi differenze tra
le due configurazioni per cui sono state eseguite le misure. In ogni caso, si noti
come in z Mi della configurazione IV siano evidenti gli accoppiamenti con il grado
di libertà θx , non visibili altrove.
Infine la funzione di trasferimento verticale y, misurata solo nella configurazione
II, è mostrata in fig. D.13. Anche qui sono presenti alcune coppie polo-zero
dovute agli accoppiamenti con altri gradi di libertà: la coppia a ∼ 3, 7 Hz è data
dall’accoppiamento con θx mentre la coppia intorno a 8, 1 Hz e quella a ∼ 23 Hz è
dovuta a θz .
In Appendice D sono posti i grafici di tutte le funzioni di trasferimento singolarmente, con i dati sperimentali e i fit.
5.2.2
Calcolo degli errori
Per la stima della bontà della curva della funzione di trasferimento che meglio
approssima i dati sperimentali si è usato il test del χ2 .
Il test del χ2 permette di assicurare la veridicità di un’ipotesi teorica, ovvero
permette di controllare se esiste un accordo tra un insieme finito di risultati (i
130
Figura 5.19: funzioni di trasferimento di z Ma.
Figura 5.20: funzione di trasferimento di tx Mi.
131
Figura 5.21: funzioni di trasferimento di ty Mi.
Figura 5.22: funzioni di trasferimento di z Mi.
132
punti sperimentali) e la loro previsione teorica (il loro valore aspettato, in senso
probabilistico) [64]. In questo modo si stabiliscono i limiti entro cui devono essere
compresi i valori sperimentali per essere in accordo con la previsione teorica.
Poniamo di avere n variabili casuali e indipendenti yi , ciascuna appartenente
ad una stessa distribuzione normale con valore aspettato m e varianza σ 2 . La
variabile χ2 è definita:
n
!
(yi − m)2
χ2 =
(5.15)
σ2
i=1
ed ha valore aspettato pari al numero di gradi di libertà, ovvero il numero di punti
sperimentali n, e varianza pari a 2n [65].
Per valutare il valore aspettato m e la varianza σ 2 dei punti sperimentali è possibile utilizzare il metodo di massima verosomiglianza. Infatti con questo metodo
si trovano i valori dei parametri che caratterizzano la funzione di distribuzione di
una grandezza fisica di cui è nota la forma, a partire dagli stessi n punti sperimentali misurati, minimizzando la differenza tra i dati e l’andamento ipotizzato
della funzione di distribuzione. Per il valore aspettato e per la varianza si ha
rispettivamente:
n
1!
ȳ =
yi −→ m
(5.16)
n i=1
n
1 !
s =
(yi − ȳ)2
n − 1 i=1
2
−→ σ 2
(5.17)
Allora la variabile χ2 , se valutata con le stime1 dei parametri della distribuzione,
assume una funzione di distribuzione compresa tra quella con n − 1 gradi di libertà
e quella con n − 1 − np gradi di libertà, dove np è il numero di parametri, usati
per le stime.
Nel caso del test del χ2 , si ha un trattamento leggermente diverso. Poniamo di
avere n variabili xi a cui corrispondono altrettanti valori di un’altra variabile yi ,
misurata sperimentalmente: ogni yi appartiene ad una funzione di distribuzione
indipendente che avrà un suo valore aspettato ed una sua varianza2 .
Queste due variabili saranno legate tra loro da una relazione del tipo y =
f (x, Pj ), dove Pj saranno gli np parametri che esprimono la dipendenza funzionale
generale, stimabili grazie al metodo dei minimi quadrati [66].
Volendo valutare la bontà della dipendenza funzionale f (x, Pj ), il nostro fit,
possiamo avvalerci sempre di una variabile di tipo χ2 dove al posto del valore
aspettato mi della i-esima misura nell’eq. 5.15 si deve porre il valore corrispondente
stimato tramite il fit stesso f (xi , Pj ) e al posto della varianza σi2 si deve mettere
l’errore sperimentale della i-esima misura, considerato presente solo sulla variabile
1
Si distingua tra il “valore vero” di una variabile, il valore aspettato in senso probabilistico, e
la sua “stima”, calcolata statisticamente.
2
Dato che abbiamo a che fare con dati sperimentali è sensato pensare che generalmente per
ogni dato la funzione di distribuzione corrisponda a quella gaussiana.
133
yi :
X2 =
n
!
(yi − f (xi , Pj ))2
s2i
i=1
(5.18)
Il valore aspettato di questa variabile X 2 è ancora coincidente con il numero n
2
di gradi di libertà, per cui si può definire la corrispondete variabile ridotta Xrid
:
2
Xrid
n
1!
(yi − f (xi , Pj ))2
=
n i=1
s2i
(5.19)
che ha valore aspettato pari a 1.
Nel nostro caso abbiamo utilizzato per il test del χ2 l’eq. 5.19. Per valutare gli
errori s2i abbiamo utilizzato l’eq. 5.17, sfruttando il fatto che abbiamo a disposizione un numero nave di acquisizioni per ogni misura effettuata, quindi nave valori
diversi dell’ampiezza della funzione di trasferimento per la stessa frequenza xi . Si
noti, inoltre, che questo errore, calcolato a partire dalle misure non mediate, va
applicato ai dati ȳi invece mediati: per cui, si va diviso ulteriormente per la radice
di nave . In conclusione l’espressione utilizzata per la stima del χ2 è:
2
Xrid
=
n
1!
(ȳi − f (xi , Pj ))2
√
n i=1 (si / nave )2
(5.20)
2
Una volta determinato il valore del Xrid
per una misura di funzione di trasferimento occorre stabilire se tale valore è accettabile entro un certo livello α di
2
confidenza stabilito. Si ha che Xrid
è compreso con una probabilità α tra i valori
2
2
limite χ 1−α ,n e χ 1+α ,n , dipendenti dal numero di gradi di libertà n e dal livello di
2
2
confidenza imposto. Nel caso di un numero elevato di gradi di libertà, per stabilire
i valori limite si può usare la relazione:
√
1
χ2α,n = (zα + 2n − 1)2
2
dove zα è definito come:
α=
- zα
0
fG (x)dx
(5.21)
(5.22)
con fG la funzione di distribuzione gaussiana standard con valore aspettato 0 e
varianza 1.
Imponendo un livello di confidenza α = 95% e un numero di punti sperimentali
2
pari a n = 1638, si trova che il valore ottenuto dai dati sperimentali Xrid
deve
2
essere compreso tra 0, 01813 < Xrid < 0, 9994 per poter accettare i parametri
ottenuti dal fit.
Calcolato il valore del χ2 concernente una misura di funzione di trasferimento
dobbiamo stimare l’errore che si compie sui singoli parametri del fit. Per farlo
possiamo utilizzare la relazione [65]:
2
χ2 (Pj ± σj ) = Xrid
+1
134
(5.23)
Perciò facendo variare i parametri del fit uno alla volta fino ad aumentare
2
di un’unità il valore trovato Xrid
, si determina l’errore compiuto su quello stesso
parametro.
Ora si consideri che sono state effettuate 25 misure di funzioni di trasferimento
per gradi di libertà diversi e in configurazioni diverse: per ognuna delle misurazioni
sono state eseguite molte medie, generalmente nave ∼ 30. Allora per limitare il
tempo di computazione, abbiamo stimato gli errori solo per cinque delle misure
compiute, riportate nelle tabelle tab. 5.6.
5.3
Previsione teorica
A questo punto siamo interessati a confrontare i dati sperimentali delle funzioni di
trasferimento meccaniche con le curve teoriche al fine di operare una stima accurata
dei parametri del sistema come ad esempio le masse e i momenti di inerzia dei corpi,
oppure le lunghezze e gli spessori dei fili di sospensione.
Per calcolare le funzioni di trasferimento teoriche utilizziamo il metodo delle
matrici di trasferimento da punto a punto. La funzione di trasferimento meccanica di un sistema è identificata tramite una matrice T(ω), detta matrice di
trasferimento, funzione della pulsazione ω:
4 out (ω) = T(ω)X
4 in (ω) −→
X
1
4xout (ω)
F4out (ω)
2
= T(ω)
1
4xin (ω)
F4in (ω)
2
(5.24)
4 in e X
4 out sono vettori aventi un numero di componenti n pari al numero
dove X
di gradi di libertà del sistema che rappresentano rispettivamente le trasformate di
Fourier delle grandezze in ingresso e in uscita.
Preso un generico sistema fisico complesso si ha che:
• i vettori delle grandezze in ingresso e in uscita possono essere descritti con
le coordinate della posizione 4x e con le forze applicate F4 ai corpi che compongono il sistema.
• è utile suddividerlo in più sottosistemi semplici e facilmente schematizzabili,
tutti collegati tra loro [67]. In particolare questa scomposizione è valida
nel caso limite delle piccole oscillazioni, in cui ogni collegamento tra i vari
sottosistemi si comporta linearmente. Nel caso di sistemi come quello del
payload i sottosistemi che lo compongono sono di tipo massivo o di tipo
elastico.
Possiamo allora scrivere la matrice di trasferimento come:
T=
1
A(ω) B(ω)
C(ω) D(ω)
135
2
(5.25)
(a) errori z Mi
(b) errori y Ma
configurazione IV
z Mi
2
nave = 72 Xrid
= 1, 9408
f (Hz)
Q
0, 372 ± 0, 045 170 ± 170
0, 385 ± 0, 025 170 ± 170
0, 421 ± 0, 047 600 ± 580
0, 436 ± 0, 023
60 ± 59
0, 598 ± 0, 013 160 ± 140
0, 830 ± 0, 029
80 ± 69
0, 8423 ± 0, 0069 220 ± 210
1, 4590 ± 0, 0083 310 ± 300
1, 556 ± 0, 032 350 ± 340
300 ± 36
–
configurazione II
y Ma
2
nave = 59 Xrid
= 4, 144
f (Hz)
Q
3, 711 ± 0, 058
570 ± 570
3, 827 ± 0, 051
60 ± 59
5, 3160 ± 0, 0053 950 ± 940
5, 518 ± 0, 018
300 ± 300
8, 1240 ± 0, 0026 750 ± 750
8, 1360 ± 0, 0017 700 ± 700
8, 7460 ± 0, 0016 900 ± 880
15, 330 ± 0, 019 900 ± 890
19, 0000 ± 0, 0017 950 ± 950
10, 00 ± 0, 17
–
(c) errori tx Ma
(d) errori tyPSDm Ma
configurazione I
tx Ma
2
nave = 16 Xrid
= 0, 5757
f (Hz)
Q
0, 405 ± 0, 027
90 ± 89
0, 415 ± 0, 040
30 ± 27
0, 486 ± 0, 020 130 ± 130
1, 8020 ± 0, 0067 450 ± 440
2, 141 ± 0, 018 240 ± 230
3, 7000 ± 0, 0029 700 ± 680
10, 00 ± 0, 21
–
configurazione III
tyPSDm Ma
2
nave = 19 Xrid
= 0, 5258
f (Hz)
Q
0, 03 ± 0, 18
500 ± 500
0, 833 ± 0, 024 230 ± 230
0, 980 ± 0, 011 240 ± 230
1, 129 ± 0, 023 560 ± 560
1, 2630 ± 0, 0041 420 ± 420
10, 00 ± 0, 16
–
(e) errori ty Mi
configurazione
ty Mi
2
nave = 25 Xrid
f (Hz)
0, 977 ± 0, 017
1, 117 ± 0, 041
1, 251 ± 0, 012
300 ± 43
IV
= 0, 4996
Q
140 ± 130
110 ± 100
550 ± 540
–
Tabella 5.6: errori su alcune funzioni di trasferimento nelle quattro diverse
configurazioni.
136
dove A, B, C e D sono matrici quadrate di dimensione pari a n. Sfruttando la
relazione per cui il prodotto tra la matrice T e la sua inversa è uguale alla matrice
identità I:
T−1 · T = I
(5.26)
è possibile trovare delle relazioni algebriche tra le sottomatrici che la costituiscono:
At D − Bt C = I
At B = Bt A
Ct D = Dt C
(5.27)
dove l’apice t indica l’operazione di trasposizione della matrice.
Grazie a queste relazioni del tutto generali, quindi valide anche nel caso in cui il
sistema sia scomponibile in più parti semplici, si trova l’espressione della funzione
di trasferimento nel caso in cui le forze in uscita sono nulle F4out = 0:
• quando abbiamo uno spostamento in ingresso:
(5.28)
4xout = (Dt )−14xin
• quando abbiamo una forza in ingresso (come nelle nostre misure sperimentali):
4xout = A(C)−1 − (Ct )−1 F4in
(5.29)
Discutiamo ora i vari tipi di collegamento presenti tra i vari sottosistemi che
formano l’apparato in esame. Consideriamo due sistemi A e B, rispettivamente
4 in e X
4 out e matrici
con grandezze in ingresso e in uscita identificate dai vettori X
di trasferimento TA e TB , ognuna di componenti A, B, C e D:
sistemi in serie: due sistemi sono collegati in serie tra loro se le grandezze in uscita del primo corrispondono con le grandezze in ingresso del secondo, ovvero
4 out ≡ X
4 in . Quindi i due sistemi hanno un ingresso e un’uscita complessivi
X
B
A
unici; la risultante è data dal prodotto delle due singole impedenze:
(5.30)
Tser = TB · TA
Dato che si tratta di un prodotto tra matrici, è importante l’ordine con il
quale tale prodotto è eseguito: si noti che si deve moltiplicare la matrice di
trasferimento del sistema di uscita per la matrice del sistema di ingresso.
sistemi in derivazione: due sistemi si dicono collegati in derivazione se le gran4 out (la sua uscita è libera) e se le sue
dezze in uscita del primo sono nulle X
A
grandezze in ingresso corrispondono con le grandezze in ingresso o in uscita
del secondo. Si distinguono i due casi:
4 in ≡ X
4 in , allora la matrice di trasferimento complessiva è:
1. X
A
B
Tder = TA ·
137
1
1
0
−1
DB · CB 1
2
(5.31)
4 in ≡ X
4 out , allora la matrice di trasferimento complessiva è:
2. X
A
B
Tder =
1
1
0
−1
DB · CB 1
2
(5.32)
· TA
sistemi in parallelo: due sistemi sono in parallelo se hanno le stesse grandezze in
4 in ≡ X
4 in e X
4 out ≡ X
4 out ; l’impedenza complessiva
ingresso e in uscita, X
A
B
A
B
del sistema, nel caso in cui le impedenze dei sistemi iniziali hanno gli stessi
elementi diagonali AA ≡ AB e DA ≡ DB sarà:
Tpar =
1
A
BA · (BA + BB )−1 · BB
CA + CB
D
2
(5.33)
Questi tipi diversi di collegamenti uniscono i sottosistemi tra loro, sottosistemi che nel caso del payload sono generalmente dipendenti dalla massa appesa o
dall’elasticità delle sospensioni.
5.3.1
Sistemi ad una dimensione
Immaginiamo di avere un sistema costituito da un corpo di massa m sostenuta da
un filo con un coefficiente elastico k: si avranno due sottosistemi, uno datao dalla
massa e uno dato dal filo, collegati in serie tra loro. Se il sistema globalmente si
muove in una sola direzione e se il corpo è puntiforme, sarà descritto in modo completo con una sola variabile x e di conseguenza anche la matrice di trasferimento
avrà una sola componente.
Per quanto riguarda il sottosistema della massa m si ha che:
• lo spostamento di tutti i suoi punti è descritto con la stessa coordinata, quindi
lo spostamento in uscita coincide con quello in ingresso;
• le forze applicate alle sue estremità sono date dall’equazione di Newton,
legate alla pulsazione del sistema ω, quindi dipendente dalla frequenza che
si considera.
Quindi in formule si ricava la matrice di trasferimento:
xout = xin
−→ Tm =
Fin − Fout = −mω 2 xin
1
1
0
2
mω 1
2
(5.34)
Invece per quanto riguarda il sottosistema del filo, approssimabile come una
molla ideale, si ha che:
• le forze applicate alle sue estremità sono uguali in modulo;
• lo spostamento è legato alle forze, tramite la costante elastica.
138
In formule la matrice di trasferimento si esprime:
Fout
Fout = Fin
−→ Tk =
= −k(xout − xin )
1
1 −1/k
0
1
2
(5.35)
Mettendo insieme i due sottosistemi si ha la matrice complessiva:
T1−dim =
1
1
−1/k
2
mω 1 − mω 2 /k
2
(5.36)
Si noti che la possibilità di rappresentare il sistema appena descritto come
costituito dal solo sottosistema massivo o dal solo sottosistema elastico dipende in
larga parte dalla banda delle frequenze dello spettro a cui si sta lavorando e dagli
eventuali altri sistemi a cui è connesso.
5.3.2
Sistemi a due dimensioni
Il payload non può essere trattato come un sistema ad una sola dimensione: infatti
le oscillazioni che esegue avvengono in due dimensioni e possono essere compiutamente descritte con una traslazione x ed uno spostamento angolare α. In modo
analogo, oltre alla forza F si avrà il momento della forza M . Allora i vettori delle
4 in e di quelle in uscita X
4 out avranno quattro componenti
grandezze in ingresso X
x, α, F e M .
Come prima, è possibile scomporre il payload in una serie di masse mi sospese
tramite fili, ognuno con un suo coefficiente elastico longitudinale kxi e un coefficiente elastico torsionale kαi ; ma questa volta, dato che i corpi appesi non sono
puntiformi, bisogna tenere in conto anche della posizione dei punti di attacco dei fili
e della posizione dei punti di applicazione delle forze, che alterano lo spostamento
dei punti del corpo massivo.
Per quanto riguarda il sottosistema dato dalla generica massa mi , quando le
posizioni di ingresso e di uscita coincidono con il centro di massa del corpo stesso,
si ha che le equazioni del moto sono:

xin = xout
1
0

αin = αout
0
1
−→ Tm,I = 

 mω 2
Fin − Fout = −mω 2 xin
0
Min − Mout = −Iω 2 αin
0
Iω 2
0
0
1
0
0
0
0
1





(5.37)
dove I è il momento d’inerzia del corpo in considerazione.
Se le posizioni di ingresso e di uscita distano dal centro di massa di una quantità 4a, eventualmente anche di tre diverse componenti, si deve considerare che lo
spostamento in uscita dipende da 4a stesso e che la forza in ingresso contribuisce al
momento. Nel nostro caso a due dimensioni ci interessa la componente di 4a lungo
139
l’asse x ovvero ax :

Mout
xout = xin + ax αin
1
ax
0

αout = αin
1
0
 0
−→ Ta = 
 0
Fout = Fin
0
1
0 −ax T −ax
= Min − ax T αin − ax Fin
0
0
0
1





(5.38)
dove T è la componente verticale della forza applicata in ingresso. Questa matrice
Ta va moltiplicata a destra di una generica matrice di trasferimento del sistema
se la posizione dell’ingresso non coincide con quella del baricentro, a sinistra se è
la posizione dell’uscita a non coincidere.
Per quanto riguarda il sottosistema costituito dal filo di sospensione, c’è da
considerare che quando una sua estremità ruota, a causa della rigidità flessionale,
l’altra estremità subisce l’azione di una forza trasversale. Si hanno accoppiamenti
tra il grado di libertà traslazionale e quello torsionale che complicano notevolmente
le equazioni del moto. In ogni caso si riesce a trovare una soluzione analitica e
a ricavare la corrispondente matrice di trasferimento. Riportiamo qui solamente
la sua forma approssimata [67], valida se il filo ha massa trascurabile o se stiamo
lavorando a frequenze molto minori di una frequenza caratteristica fc :
fc =
T
√
2π ρSEJ
(5.39)
dove T è sempre la componente verticale della forza applicata in ingresso; ρ e S
sono rispettivamente la densità e la sezione del filo, di lunghezza l; E e J sono il
modulo di Young e il momento d’inerzia della sezione del filo.
Ricordando
la definizione della posizione del punto di piegamento (eq. 4.2,
0
λ = EJ/T ), si può scrivere la matrice di trasferimento:


Tl = 


1
λ sinh( λl )
(λ sinh( λl ) − l)/T (1 − cosh( λl ))/T
0
c
(cosh( λl ) − 1)/T
− sinh( λl )/λ
0
0
1
0
l
l
0 −λT sinh( λ )
cosh( λ )





(5.40)
La matrice approssimata di eq. 5.40, molto più semplice dal punto di vista della
trattazione analitica della matrice nella forma estesa, presenta un problema nel
calcolo numerico: infatti nel caso ci siano fili molto sottili e tesi, si può verificare la
sottrazione di alcuni termini praticamente uguali che portano alla divergenza delle
espressioni. Per eliminare questa divergenza è possibile aggiungere in parallelo ai
fili di sospensione degli ulteriori fili (virtuali), detti di centraggio ed espressi da
una matrice di trasferimento del tipo:




Tk = 
1
0
0
0

0 −1/kx
0
1
0
−1/kα 



0
1
0
0
0
1
140
(5.41)
I fili di centraggio reagiscono in modo indipendente sui due gradi di libertà:
quindi la forza in uscita dipende solamente dalle traslazioni alle estremità dei fili, mentre il momento dipende solo dalle rotazioni. Un vincolo elastico fatto in
questo modo è rappresentato piuttosto bene dai cavi di alimentazione e di collegamento degli apparati elettronici, per cui si può trascurare la costante kx . Allora
l’introduzione dell’eq. 5.41 risulta anche ragionevole da un punto di vista realistico.
Dall’eq. 5.33 si ricava l’espressione del parallelo tra i fili di sospensione e i fili
di centraggio:




Tl,k = 

1 2λ(1 + γ/2) (2λ(1 + γ/2) − l)/T −λ/kα
0
1+γ
λ/kα
−1/kα 



0
0
1
0
0 −2λ(1 + γ/2)
−2λ(1 + γ/2)
1+γ
(5.42)
in cui si è tenuto conto che tanh(l/λ) ≈ 1. Il parametro che compare è dato dalla
relazione:
λT
γ=
(5.43)
kα
Si noti che in questo modo la trattazione della sospensione del payload è ben
descritta. Se il coefficiente elastico torsionale kα dei fili di alimentazione è abbastanza piccolo, solo l’angolo di rotazione finale αout dipenderà da questo, potendo
trascurare gli altri termini. Quindi le altre componenti della matrice di eq. 5.42
tenderanno a coincidere con i termini della matrice di eq. 5.40. Ne consegue che
i fili di centraggio comportano degli effetti dinamici trascurabili, ma introducono un termine di accoppiamento angolare sufficiente ad eliminare le divergenze
numeriche.
Infine se la sospensione delle masse avviene tramite più fili, ad esempio due o
quattro, come nel caso della massa di reazione e dello specchio, bisogna aggiungere
un momento di richiamo aggiuntivo, dato dall’allungamento dei fili stessi. La
costante elastica torsionale kα dovrà essere riscritta come:
kα =
kx s2
4
(5.44)
dove s è la distanza tra i piani di azione dei fili. Quindi, a parte questa correzione,
i fili si comportano come un singolo filo fissato al baricentro del corpo.
5.3.3
Le funzioni di trasferimento teoriche
Dopo aver descritto le matrici di trasferimento che costituiscono in generale un sistema fisico come il payload, possiamo calcolare le funzioni di trasferimento aspettate. Per farlo è stato sviluppato un apposito programma in Matlab presso la
141
collaborazione Virgo che è stato per la prima volta utilizzato per studiare un payload. L’esperimento di caratterizzazione del payload è servita anche a controllare
la consistenza del software.
In questo programma è possibile selezionare il grado di libertà di cui vogliamo
conoscere la funzione di trasferimento in una certa banda di frequenze: si tenga
presente che è necessario calcolare alcuni sottoinsiemi dei gradi di libertà insieme,
in quanto strettamente accoppiati, come nel caso di θx e z. Scelto il grado, si
elencano tutti i parametri del sistema:
• le masse dei tre corpi che costituiscono il payload misurate direttamente o
dedotte dallo studio di progettazione meccanica [68];
• i momenti di inerzia dei tre corpi nei tre assi cartesiani, x, y e z, calcolati in
casi semplici o dedotti dalla progettazione nei casi più complessi [68];
• il materiale con cui sono fatti i fili che sostengono i tre corpi; si distingue tra
fili di:
– Maraging (modulo di Young E = 1, 89 · 1011 N/m2 , densità ρ = 8 ·
103 Kg/m3 );
– acciaio C85 (E = 2, 0 · 1011 N/m2 , ρ = 7, 8 · 103 Kg/m3 );
– silice fusa (E = 7, 27 · 1010 N/m2 , ρ = 2 · 103 Kg/m3 );
• le lunghezze dei fili, misurati in fase di produzione dei componenti del payload ;
• lo spessore dei fili;
• le coordinate dei punti di attacco dei fili di sospensione rispetto al centro
di massa di ciascuna massa sospesa (stacchi). Si deve distinguere tra gli
stacchi delle estremità superiori (riferiti come sux, suy, suz) con quelli delle
estremità inferiori dei fili (riferiti come sdx, sdy, sdz)3 .
Le ultime quattro grandezze elencate devono essere specificate per ognuno dei
fili; dato che ci sono quattro fili che sostengono lo specchio, quattro fili per la massa
di reazione e uno solo per la marionetta, ci saranno in totale nove valori diversi.
Successivamente si calcolano le costanti elastiche specifiche del sistema e le
matrici di trasferimento, considerando le tipologie presentate nella sez. 5.3.2. Note
le matrici di trasferimento dei singoli sottosistemi si possono comporre tra loro per
trovare la matrice globale e si ricavano così le funzioni di trasferimento per il grado
di libertà selezionato dalle eq. 5.28 e 5.29.
3
Il filo della marionetta possiede solo gli stacchi inferiori: dato che quelli superiori sono
connessi al suolo, non danno contributo.
142
Come esempio, scriviamo l’espressione esplicita della matrice di trasferimento
globale per la funzione di trasferimento tx Ma, ovvero quella individuata dall’eccitazione data con le bobine del livello marionetta e dallo spostamento al livello
specchio:
i
Mi
Mi
RM
RM
RM
Ma
Ma
Ma
TtxM a = TM
m,I · Tl,k · Ta · (Tm,I · Tl,k · Ta )der · (Tl,k · Ta )der · Tm,I (5.45)
dove le singole matrici dei sottosistemi seguono la stessa notazione della sez. 5.3.2.
Lo specchio influisce con la sua massa e l’elasticità dei suoi fili, considerando anche
gli stacchi; la massa di reazione influisce solo in derivazione, così come il filo della
marionetta, collegato alla terra (fig. 5.23).
Figura 5.23: schematizzazione del calcolo della matrice di trasferimento globale per
la funzione di trasferimento tx Ma: in blu i contributi dati dai fili di sospensione,
in verde il contributo degli stacchi (gli attacchi non coincidono con i baricentri dei
diversi corpi), in viola i contributi delle masse.
Si noti che non tutti i parametri elencati contribuiscono criticamente alla determinazione di una funzione di trasferimento teorica. Ad esempio la funzione di
trasferimento di y dipende esclusivamente dalle masse appese, dalle sezioni e dalle lunghezze dei fili: infatti il movimento del payload in questa direzione è dato
dall’elasticità dei fili, che si comportano come delle molle con coefficiente pari al
modulo di Young. In modo analogo, la funzione di trasferimento di θx dipende,
tra le altre cose, dagli stacchi nella direzione y ma non da quelli nella direzione x
e l’opposto succede per la funzione di trasferimento di θy . Questo comportamento
risulta ovvio se si pensa a come avvengono i movimenti nello spazio (fig. 3.6).
143
5.3.4
Confronto con le misure
Le funzioni di trasferimento teoriche ricavate in questo modo si possono graficare
e confrontare con quelle misurate sperimentalmente. Variando i parametri del
sistema, cambiano le matrici di trasferimento e quindi la funzione di trasferimento
aspettata per un certo grado di libertà selezionato.
Allora è possibile variare i parametri fino a far coincidere il più possibile le due
funzioni di trasferimento tra loro: come stimatore della bontà dell’accordo tra le
misure e gli andamenti teorici per un grado di libertà fissato, è stato considerato
lo scarto ∆ definito come:
∆=
6
1
7
n
71 !
fimis
8
− fiteo
fimis
n i=1
22
(5.46)
dove n è il numero di poli e zeri doppi della funzione di trasferimento, fimis
è la frequenza dell’i-esimo polo o zero della funzione di trasferimento misurata
sperimentalmente e fiteo è la frequenza dell’i-esimo polo o zero della funzione di
trasferimento calcolata teoricamente. Per rendere questa quantità indipendente
dalla frequenza del polo o dello zero che si considera, dividiamo ogni differenza
fimis − fiteo per la frequenza misurata. Inoltre abbiamo elevato al quadrato per
evitare che i termini negativi producessero cancellazioni, riducendo lo stimatore ∆
in modo fittizio.
Per l’ottimizzazione dei parametri delle quattro diverse configurazioni è stato
scritto un programma in Matlab, che provvede alla minimizzazione dello stimatore
per le funzioni di trasferimento di ogni grado di libertà in modo indipendente. In
linea generale si è proceduto nel seguente modo:
• per ogni grado di libertà si osserva quali parametri sono maggiormente critici
rispetto alla posizione dei poli e degli zeri della funzione di trasferimento. A
questo scopo si fa una simulazione basata sui i valori iniziali dei parametri,
detti parametri seme. Questi parametri seme sono stati misurati direttamente in fase di montaggio del payload oppure stimati dai disegni di progettazione (sez. 5.3.3). Gli errori sui parametri seme dipendono dal metodo con
cui sono stati individuati: i parametri misurati direttamente hanno l’errore
connesso allo strumento utilizzato, mentre per i parametri stimati dai disegni
si è deciso di attribuire un errore relativo del 10%.
• si seleziona una particolare configurazione meccanica sperimentale del payload. Le serie di misure delle funzioni di trasferimento non sono tutte equivalenti: infatti bisogna distinguere tra le configurazioni in cui si possiedono le
misure per tutti i gradi di libertà (configurazioni II e IV), da quelle in cui si
hanno le misure solo per θx e θy (configurazioni I e III); nel secondo caso non
è stato possibile ottimizzare compiutamente i valori dei parametri a causa
dell’assenza di informazioni su z. In ogni caso, si tenga presente che a causa
dell’accoppiamento con θx , tale assenza di informazioni è solo parziale.
144
• si prepara l’estrazione casuale dei parametri; fissata la configurazione, possiamo far variare i parametri estraendoli casualmente con una distribuzione
gaussiana. Ogni parametro è estratto individualmente, con una distribuzione
centrata sul suo valore seme e una deviazione standard pari all’errore compiuto nella stima del valore seme stesso. Per questioni di tempo di calcolo
si è scelto di ottenere la minimizzazione degli stimatori ∆ con un’estrazione
casuale: un primo tentativo è stato quello di provare tutte le combinazioni
possibili dei valori dei parametri, facendoli variare all’interno di un intervallo con un passo regolare, legato ad una frazione dell’errore del parametro
stesso. Purtroppo abbiamo visto che tale operazione avrebbe richiesto un
tempo eccessivamente lungo e quindi si è optato per l’estrazione casuale. Il
numero di estrazioni da compiere è stato deciso arbitrariamente, ma risponde
ad esigenze di tempo di calcolo e di accuratezza desiderata: è stato fissato a
20000.
• utilizzando il programma scritto in Matlab è possibile calcolare le funzioni
di trasferimento di tutti i gradi di libertà nello stesso momento, in modo
da considerare anche gli accoppiamenti eventuali. Ma, dato che il sistema
meccanico è stato progettato e messo a punto in modo da ridurre gli accoppiamenti tra le diverse grandezze (sez. 4.1.3), fatta eccezione per z e
θx , possiamo calcolare le funzioni di trasferimento una alla volta. Questo ci
permette di semplificare le procedure.
Distinguiamo i casi relativi alle varie configurazioni:
– per le configurazioni II e IV si possiede la misura della funzione di trasferimento di y. Anche se la misura è stata eseguita solo per la configurazione II, i dati possono essere utilizzati anche nell’altra configurazione.
Infatti si ricorda che i movimenti nella direzione y dipendono solo dalle
masse in gioco e dalle lunghezze e dagli spessori dei fili4 , uguali nel caso
delle due configurazioni.
Allora, si può minimizzare lo stimatore ∆y , della funzione di trasferimento di y ed utilizzare in seguito i valori ottimizzati dei parametri
così ottenuti anche per le altre funzioni teoriche. Nell’ordine si procede
all’ottimizzazione dei restanti parametri dei gradi di libertà θx e z, per
cui sono stati definiti due stimatori indipendenti ∆θx e ∆z , da minimizzare entrambi contemporaneamente, ed infine all’ottimizzazione dei
parametri di θy .
– per le configurazioni I e III non si possiede la misura della funzione di
trasferimento di y, in quanto la configurazione I differisce dalle altre per
4
In realtà tale funzione di trasferimento dipende anche dal materiale con cui sono fatti i fili
di sospensione (acciaio, maraging o silice fusa), in quanto varia il valore del modulo di Young
e la densità del materiale. Nella nostra simulazione, però, abbiamo considerato i parametri
caratteristici del materiale dei fili come delle costanti e li abbiamo fissati.
145
il tipo di fili di sospensione, mentre la III per la massa della marionetta.
In quest’altro caso si è deciso di far variare tutti i parametri nello stesso
tempo. Infatti la massa dei corpi, la lunghezza e lo spessore dei fili
influenzano tutti i gradi di libertà, seppure in misura minore rispetto
ad y: quindi è possibile ottimizzare tali valori anche dalle funzioni di
trasferimento di θx e θy .
Per il confronto tra i dati sperimentali e gli andamenti teorici e l’ottimizzazione
si sono usate le misure delle funzioni di trasferimento di tipo Ma. In seguito i valori
dei prametri così determinati sono stati usati per riprodurre l’andamento delle
funzioni di trasferimento di tipo Mi ove presenti, senza però ottimizzare anche
queste.
Presentiamo i risultati delle simulazioni nelle quattro diverse configurazioni:
per ognuna di esse sono indicati i valori dei parametri seme e di quelli ottimizzati
finali, nonchè i valori minimi ottenuti degli stimatori ∆ e i grafici che confrontano
le funzioni di trasferimento misurate con quelle ottenute teoricamente.
Per la configurazione I, montata con le sospensioni in acciaio, si ha la tabella
con i valori dei parametri seme e ottimizzati (tab. 5.7), la tabella con i valori delle
frequenze trovate dalla simulazione e teoriche (tab. 5.8) e infine i grafici con le
funzioni di trasferimento (figg. 5.24, 5.25). Per tale configurazione l’ottimizzazione
dei parametri ha ottenuto un valore piuttosto alto degli stimatori rispetto alle altre
configurazioni. Le frequenze ottenute teoricamente distano da quelle sperimentali
di una quantità maggiore rispetto alla risoluzione della misura (sez. 4.2.2). Questo
indica che sarebbe stato necessario stimare in modo più accurato i parametri seme
del sistema nella configurazione I oppure che esiste un parametro non noto di cui
il modello non tiene conto.
config I
Mi
RM
Ma
m(Kg)
25 → 25, 00
35 → 33, 45
104 → 104, 5
Ix (Kgm2 )
0, 25 → 0, 3130
1, 07 → 1, 088
0, 63 → 0, 6499
2
Iy (Kgm )
0, 25 → 0, 2412
1, 05 → 1, 001
1, 63 → 1, 503
Iz (Kgm2 )
0, 43 → 0, 5176
1, 95 → 1, 917
1, 56 → 1, 613
l(m)
0, 7 → 0, 7008
0, 7 → 0, 7003
1, 13 → 1, 130
−3
d · 10 (m)
0, 3 → 0, 2998
0, 6 → 0, 5988
1, 85 → 1, 801
sux(m)
0, 185 → 0, 1835
0, 22 → 0, 2216
0→0
suy(m)
+0, 001 → +0, 004141 +0, 001 → +0, 004141
0→0
suz(m)
0, 025 → 0, 02483
0, 025 → 0, 02451
0→0
sdx(m)
0, 185 → 0, 1853
0, 243 → 0, 2429
0→0
sdy(m)
0 → +0, 0004789
0 → −0, 0007543
−0, 001 → −0, 004141
sdz(m)
0, 023 → 0, 02255
0, 025 → 0, 02493
0→0
Tabella 5.7: valori dei parametri seme e quelli ottimizzati dalla simulazione per la
configurazione I.
146
Per la configurazione I, come massa della massa di reazione e della marionetta
sono state presi i valori trovati anche per le altre configurazioni: infatti solo lo
specchio differisce tra questa configurazione e le altre, essendo più massiccio. Di
conseguenza sono stati aumentati anche i momenti di inerzia seme introdotti nel
programma di confronto teorico-sperimentale. I valori dei parametri seme degli
stacchi sono leggermente diversi rispetto a quelli delle altre configurazioni, a causa dei diversi attacchi verticali usati per l’aggancio dei fili di sospensione dello
specchio. Infatti nella configurazione I:
• gli attacchi verticali hanno uno spessore maggiore: quindi lo stacco inferiore
nella direzione x, sdx, dello specchio è maggiore (0, 185 m anzichè 0, 180 m);
• gli attacchi verticali sono posti più vicini tra loro nella direzione z: quindi
sdz ha valore 0, 023 m anzichè 0, 025 m.
Infine, si deduce che la posizione effettiva del centro di massa della marionetta
non coincide con quella di progettazione (forse a causa di un errore di lavorazione),
a sua volta posta sul piano di attacco dei fili. In particolare si trova che il baricentro
è situato ∼ 4 mm al di sotto del piano di attacco dei fili. In modo analogo
deduciamo che il centro di massa dello specchio e della massa di reazione non
coincide esattamente con i piani di attacco dei fili di questi due corpi: ma in questo
caso la discrepanza è molto minore (rispettivamente circa 0, 5 mm e 0, 8 mm) e
compatibile con delle piccole imprecisioni avvenute in fase di montaggio.
(a) frequenze della simulazione nella configurazione
I: TF Ma
tx Ma
fmis (Hz) fteo (Hz)
0, 405
0, 410
0, 4148
0, 411
0, 4864
0, 485
1, 802
1, 834
2, 141
2, 131
3, 70
3, 725
∆ = 0, 0102
ty Ma
fmis (Hz) fteo (Hz)
0, 026
0, 026
0, 8362
0, 846
1, 001
0, 981
1, 270
1, 283
–
–
–
–
∆ = 0, 0128
Tabella 5.8: tabella di confronto tra le frequenze misurate e quelle ottenute dalla
simulazione nella configurazione I.
Per la configurazione II, in cui i fili di sospensione sono in silice fusa e gli attacchi
verticali in acciaio, si ha la tabella con i valori dei parametri seme e ottimizzati
(tab. 5.9), la tabella con i valori delle frequenze trovate dalla simulazione e teoriche
(tab. 5.10) e infine i grafici con le funzioni di trasferimento (figg. 5.27, 5.28,
5.29, 5.30, 5.31, 5.32, 5.33). Per questa configurazione si sono trovati dei valori
degli stimatori piuttosto bassi, fatta eccezione per la funzione di trasferimento
147
Figura 5.24: grafico di confronto tra la funzione di trasferimento di tx Ma misurata
(in verde) e quella ottenuta (in blu) dalla simulazione della configurazione I.
Figura 5.25: grafico di confronto tra la funzione di trasferimento di ty Ma misurata
(in verde) e quella ottenuta (in blu) dalla simulazione della configurazione I.
148
verticale y. In generale la simulazione riesce a riprodurre delle frequenze dei poli
e degli zeri vicine a quelle misurate, entro la risoluzione della misura. Invece,
per l’ottimizzazione di y non siamo riusciti ad ottenere un risultato ugualmente
buono a causa dell’incertezza sui valori iniziale dei parametri oppure dell’esistenza
di un parametro non trattato nel modello. Dalla fig. 5.27 si vede chiaramente che
l’errore maggiore è dovuto alla determinazione dell’ultimo polo di frequenza 19 Hz,
quello corrispondente al moto verticale della marionetta in contrapposizione con
la massa di reazione e lo specchio. Tale frequenza dipende principalmente dallo
spessore e dalla lunghezza del filo e dalla massa della marionetta e della massa di
reazione. Lo specchio non influisce su questo moto se non in minima parte, avendo
una massa molto più piccola in confronto alla massa di reazione.
Anche gli stimatori delle funzioni di trasferimento di tipo Mi, in cui l’eccitazione è data dallo massa di reazione, hanno dei valori maggiori rispetto alle
corrispondenti misure di tipo Ma, dove l’eccitazione è data alle bobine della marionetta. Tuttavia si ricorda che per queste non si è applicata la procedura di
minimizzazione.
config II
Mi
RM
Ma
m(Kg)
23 → 22, 90
35 → 33, 45
104 → 104, 5
Ix (Kgm2 )
0, 21 → 0, 2157
1, 07 → 1, 109
0, 63 → 0, 6321
2
Iy (Kgm )
0, 21 → 0, 2157
1, 05 → 1, 029
1, 63 → 1, 604
2
Iz (Kgm )
0, 39 → 0, 3732
1, 95 → 1, 933
1, 56 → 1, 536
l(m)
0, 7 → 0, 6980
0, 7 → 0, 7001
1, 13 → 1, 130
−3
d · 10 (m)
0, 285 → 0, 2903
0, 6 → 0, 6011
1, 85 → 1, 802
sux(m)
0, 185 → 0, 1829
0, 22 → 0, 2201
0→0
suy(m)
+0, 001 → +0, 0009314 +0, 001 → +0, 0009314
0→0
suz(m)
0, 025 → 0, 02403
0, 025 → 0, 02563
0→0
sdx(m)
0, 180 → 0, 1798
0, 243 → 0, 2428
0→0
sdy(m)
0 → +0, 0003986
0 → −0, 0006157
−0, 001 → −0, 0009314
sdz(m)
0, 025 → 0, 02566
0, 025 → 0, 02541
0→0
Tabella 5.9: valori dei parametri seme e quelli ottimizzati dalla simulazione per la
configurazione II.
Dai grafici di figg. 5.30 e 5.33 si denota la presenza di ulteriori coppie polizeri nelle funzioni di trasferimento teoriche sul grado di libertà z, non misurate
sperimentalmente. Questi accoppiamenti, che si trovano solo dalla simulazione,
sono dovuti all’accoppiamento meccanico con θx . Abbiamo provato a studiare
un’eventuale configurazione teorica in cui tali accoppiamenti siano minimizzati, e
si è visto che essa corrisponde al caso in cui la massa di reazione e lo specchio siano
esattamente uguali, configurazione molto lontana da quella attuata dove mRM ∼
2mM i . In ogni caso, gli accoppiamenti non sono rilevabili dalle misure effettuate:
si potrebbe tentare di ripetere le misure del grado di libertà z somministrando
149
(a) frequenze della simulazione nella configurazione II: TF Ma
y Ma
fmis (Hz) fteo (Hz)
5, 316
5, 267
5, 518
5, 517
8, 746
8, 878
15, 33
15, 37
19, 00
18, 66
–
–
∆ = 0, 0125
tx Ma
fmis (Hz) fteo (Hz)
0, 403
0, 408
0, 415
0, 412
0, 461
0, 461
1, 517
1, 513
2, 170
2, 167
3, 674
3, 724
∆ = 0, 00609
z Ma
fmis (Hz) fteo (Hz)
0, 409
0, 408
0, 596
0, 598
0, 604
0, 599
0, 842
0, 852
–
–
–
–
∆ = 0, 00763
ty Ma
fmis (Hz) fteo (Hz)
0, 026
0, 026
0, 8301
0, 834
0, 9766
0, 970
1, 254
1, 259
–
–
–
–
∆ = 0, 00450
(b) frequenze della simulazione nella configurazione II: TF Mi
tx Mi
fmis (Hz) fteo (Hz)
1, 514
1, 513
3, 711
3, 724
3, 736
3, 744
–
–
–
–
∆ = 0, 00240
z Mi
fmis (Hz) fteo (Hz)
0, 409
0, 408
0, 421
0, 409
0, 598
0, 598
0, 836
0, 851
0, 842
0, 852
∆ =0 , 0161
ty Mi
fmis (Hz) fteo (Hz)
0, 977
0, 970
1, 123
1, 107
1, 251
1, 259
–
–
–
–
∆ = 0, 00986
simulazione della configurazione II.
150
l’eccitazione proprio nella zona delle frequenze degli accoppiamenti, per vedere se
in minima parte essi siano presenti.
Le stesse considerazioni si possono applicare anche alla funzione di trasferimento ty Mi, per cui si nota (fig. 5.32) una coppia polo-zero piuttosto larga, dovuta
all’accoppiamento con altri gradi di libertà. Per eliminare questa coppia occorre che gli stacchi superiori dei fili di sospensione della massa di reazione e dello
specchio nella direzione x siano uguali a quelli inferiori. Per ragioni di lavorazione
meccanica questa condizione, prevista per il payload finale, non è stata realizzata
e i fili risultano effettivamente inclinati (fig. 5.26).
Figura 5.26: inclinazione dei fili di sospensione della massa di reazione e dello specchio: si noti anche la posizione del punto di piegamento del filo della
marionetta.
Per la simulazione della configurazione III, in cui i fili e gli attacchi verticali
sono di silice fusa, si ha la tabella con i valori dei parametri seme e ottimizzati (tab.
5.11), la tabella con i valori delle frequenze trovate dalla simulazione e teoriche (tab.
5.12) e infine i grafici con le funzioni di trasferimento (figg. 5.34, 5.35). In questo
caso il baricentro della marionetta è stato volutamente innalzato, portandolo al
di sopra del punto di attacco di ∼ 3 mm. Si noti che tale configurazione non è
di equilibrio instabile dato che la posizione del punto di piegamento del filo di
sospensione della marionetta si trova comunque al di sopra del centro di massa
della marionetta stessa (fig. 5.26).
151
Figura 5.27: grafico di confronto tra la funzione di trasferimento di y Ma misurata
(in verde) e quella ottenuta (in blu) dalla simulazione della configurazione II.
152
Figura 5.30: grafico di confronto tra la funzione di trasferimento di z Ma misurata
153
Figura 5.31: grafico di confronto tra la funzione di trasferimento di tx Mi misurata
Figura 5.32: grafico di confronto tra la funzione di trasferimento di ty Mi misurata
154
Figura 5.33: grafico di confronto tra la funzione di trasferimento di z Mi misurata
Si sono trovati dei valori minimi dello stimatore ∆ molto bassi e la curva
teorica si sovrappone abbastanza bene a quella misurata. Le frequenze trovate
sono compatibili con quelle misurate entro la risoluzione della misura.
Per la configurazione IV, infine, si ha la tabella con i valori dei parametri
seme e ottimizzati (tab. 5.13), la tabella con i valori delle frequenze trovate dalla
simulazione e teoriche (tab. 5.14) e i grafici con le funzioni di trasferimento (figg.
5.36, 5.37, 5.38, 5.39, 5.40 e 5.41).
Nella configurazione IV si voleva alzare il centro di massa della marionetta
di ulteriori 3 mm rispetto alla precedente configurazione; ma dai risultati della
simulazione si vede che tale punto si trova sempre ∼ 3 mm al di sopra del piano
di attacco dei fili.
Ancora una volta i valori degli stimatori trovati per le funzioni di trasferimento
Ma sono bassi, il che implica che le frequenze dell’ottimizzazione coincidono con
quelle misure entro la risoluzione della misura stessa. Invece per la funzione di
trasferimento z Mi si ha ∆ =0 , 0219: ma per questa misura non si è effettuata la
minimizzazione.
Si noti che il problema dell’ottimizzazione dei parametri del sistema non ha
una sola soluzione: ciò significa che si potrebbero trovare altri valori dei parametri
che portano ad una diversa minimizzazione dello stimatore. Anche se si effettua
l’ottimizzazione delle funzioni di trasferimento teoriche provando tutte le combinazioni possibili, non si garantisce l’unicità della soluzione ottenuta, a causa del
155
config III
Mi
RM
Ma
m(Kg)
23 → 22, 5
35 → 33, 45
99 → 99, 50
2
Ix (Kgm )
0, 21 → 0, 2140
1, 07 → 1, 058
0, 60 → 0, 5814
Iy (Kgm2 )
0, 21 → 0, 2064
1, 05 → 1, 022
1, 58 → 1, 620
2
Iz (Kgm )
0, 39 → 0, 3926
1, 95 → 1, 915
1, 49 → 1, 552
l(m)
0, 7 → 0, 6983
0, 7 → 0, 7007
1, 13 → 1, 131
−3
d · 10 (m)
0, 285 → 0, 2993
0, 6 → 0, 608
1, 85 → 1, 808
sux(m)
0, 185 → 0, 1832
0, 22 → 0, 2204
0→0
suy(m)
−0, 002 → −0, 002422 −0, 002 → −0, 002422
0→0
suz(m)
0, 025 → 0, 02543
0, 025 → 0, 02466
0→0
sdx(m)
0, 180 → 0, 1804
0, 243 → 0, 2430
0→0
sdy(m)
0 → −0, 0006345
0 → −0, 0006109
+0, 002 → +0, 002422
sdz(m)
0, 025 → 0, 02424
0, 025 → 0, 02471
0→0
Tabella 5.11: valori dei parametri seme e quelli ottimizzati dalla simulazione per
la configurazione III.
(a) frequenze della simulazione nella configurazione
III: TF Ma
tx Ma
fmis (Hz) fteo (Hz)
0, 3937
0, 398
0, 4089
0, 411
0, 4364
0, 432
1, 462
1, 462
2, 141
2, 154
3, 717
3, 728
∆ = 0, 00699
ty Ma
fmis (Hz) fteo (Hz)
0, 026
0, 026
0, 8331
0, 837
0, 9796
0, 974
1, 263
1, 264
–
–
–
–
∆ =0 , 00433
simulazione della configurazione III.
156
(in verde) e quella ottenuta (in blu) dalla simulazione della configurazione III.
(in verde) e quella ottenuta (in blu) dalla simulazione della configurazione III.
157
config IV
Mi
RM
Ma
m(Kg)
23 → 22, 90
35 → 33, 45
104 → 104, 5
2
Ix (Kgm )
0, 21 → 0, 2163
1, 07 → 1, 134
0, 67 → 0, 6728
Iy (Kgm2 )
0, 21 → 0, 2134
1, 05 → 1, 019
1, 60 → 1, 593
2
Iz (Kgm )
0, 39 → 0, 3966
1, 95 → 1, 947
1, 49 → 1, 482
l(m)
0, 7 → 0, 6980
0, 7 → 0, 7001
1, 13 → 1, 130
d · 10−3 (m)
0, 285 → 0, 2903
0, 6 → 0, 6011
1, 85 → 1, 802
sux(m)
0, 185 → 0, 1846
0, 22 → 0, 2211
0→0
suy(m)
−0, 004 → −0, 002857 −0, 004 → −0, 002857
0→0
suz(m)
0, 025 → 0, 02556
0, 025 → 0, 02606
0→0
sdx(m)
0, 180 → 0, 1801
0, 243 → 0, 2426
0→0
sdy(m)
0 → +0, 0001565
0 → +0, 0003745
+0, 004 → +0, 002857
sdz(m)
0, 025 → 0, 02465
0, 025 → 0, 02548
0→0
Tabella 5.13: valori dei parametri seme e quelli ottimizzati dalla simulazione per
la configurazione IV.
(a) frequenze della simulazione nella configurazione IV: TF Ma
tx Ma
fmis (Hz) fteo (Hz)
0, 3754
0, 377
0, 4089
0, 412
0, 4211
0, 419
1, 462
1, 456
2, 151
2, 135
3, 674
3, 650
∆ = 0, 00599
z Ma
fmis (Hz) fteo (Hz)
0, 415
0, 419
0, 596
0, 597
0, 6042
0, 599
0, 8484
0, 851
–
–
–
–
∆ = 0, 00669
ty Ma
fmis (Hz) fteo (Hz)
0, 026
0, 026
0, 8331
0, 838
0, 9766
0, 971
1, 251
1, 254
–
–
–
–
∆ =0 , 00428
(b) frequenze della simulazione nella configurazione IV: TF Mi
tx Mi
fmis (Hz) fteo (Hz)
1, 459
1, 456
3, 671
3, 650
3, 693
3, 671
–
–
–
–
∆ = 0, 00491
z Mi
fmis (Hz) fteo (Hz)
0, 4211
0, 418
0, 4364
0, 419
0, 5981
0, 597
0, 8301
0, 851
0, 8423
0, 852
∆ =0 , 0219
ty Mi
fmis (Hz) fteo (Hz)
0, 9766
0, 971
1, 117
1, 114
1, 251
1, 254
–
–
–
–
∆ = 0, 00391
simulazione della configurazione IV.
158
(in verde) e quella ottenuta (in blu) dalla simulazione della configurazione IV.
159
Figura 5.38: grafico di confronto tra la funzione di trasferimento di z Ma misurata
Figura 5.39: grafico di confronto tra la funzione di trasferimento di tx Mi misurata
160
Figura 5.40: grafico di confronto tra la funzione di trasferimento di ty Mi misurata
Figura 5.41: grafico di confronto tra la funzione di trasferimento di z Mi misurata
161
finito numero di cifre con cui si fanno variare i parametri.
I risultati dei parametri ottimizzati da noi trovati sono accettabili: infatti sono
generalmente compatibili con gli errori dei parametri seme ed inoltre hanno valori
molto simili tra loro passando da una configurazione all’altra.
Infine si consideri che il modello per il calcolo delle funzioni di trasferimento
teoriche non prevede la possibilità di usare numeri immaginari, quindi non è in
grado di riprodurre i fattori di merito dei poli e degli zeri. Comunque in generale i
poli e gli zeri trovati hanno una posizione che si adegua bene ai valori sperimentali
trovati nelle varie configurazioni.
5.4
Modifica del progetto della marionetta per Virgo+
Il motivo per cui si è deciso di alzare il centro di massa della marionetta rispetto
al piano passante per i punti di attacco dei fili di sospensione concerne la risposta
del payload ai controlli nelle condizioni operative di Virgo. Quando il payload è
attaccato al superattenuatore, la sospensione nel suo insieme è soggetta al disturbo
microsismico caratteristico del sito dell’interferometro.
Il microsisma (fig. 5.42) dovuto all’attività sostenuta dai flutti del mare, a
15 Km dal sito di Virgo, è un disturbo presente al livello del terreno dove sono
poste le camere da vuoto delle sospensioni. In fig. 5.42 è mostrato lo spettro
del rumore sismico al suolo (in verde, variabile di un ordine di grandezza nella
banda 150 − 700 mHz), lo spettro del residuo di rumore che arriva fino al payload
(in blu) e gli andamenti integrati nelle frequenze (rispettivamente in celeste e
in rosso), collegati agli spostamenti del suolo e della marionetta. Si noti che lo
spostamento di quest’ultima qui riportato è stato ottenuto deconvolvendo il segnale
di correzione applicato alla marionetta stessa per mantenere il punto di lavoro
dell’interferometro.
L’effetto del microsisma sul payload è notevolmente attenuato dalla presenza
del pendolo invertito della sospensione, dotato di una frequenza di risonanza a
0, 039Hz. L’assenza del pendolo invertito comporterebbe la necessità di aumentare
la correzione di un fattore 10 con conseguente aumento del rumore di controllo. In
ogni caso, intorno alla frequenza 0, 450 Hz si ha un effetto residuo non trascurabile,
in particolare quando il livello del microsisma è elevato.
Purtroppo questa piccola oscillazione di pendolo residua ha una frequenza molto vicina ad una frequenza di risonanza della catena dei filtri meccanici del superattenuatore, per cui riesce a raggiungere il payload (fig. 5.43) e a disturbare i
modi θx e θy della marionetta. Inoltre è tanto più accoppiata con esso quanto più
il baricentro della marionetta è distante dal punto di piegamento del filo che la
sospende.
La situazione è resa ancora più critica dato che il moto di beccheggio θx del payload ha frequenza molto vicina (∼ 0, 450 Hz). Questa configurazione, realizzatasi
162
!
Microsisma: movimento equivalente del payload
Figura 5.42: spettro del rumore sismico e del residuo che arriva fino al payload : si
noti come il pendolo invertito sia particolarmente efficace nel ridurre l’effetto del
microsisma.
!
Figura 5.43: funzione di trasferimento della catena dei filtri meccanici del superattenuatore: l’attenuazione del rumore sismico dallo stadio superiore della catena
di filtri al payload è caratterizzata da una serie di risonanze. Si osservi in verde
una banda di frequenze priva di risonanze tra la frequenza 0, 197 Hz e quella a
0, 452 Hz.
163
per il payload attualmente in uso a Virgo con una coppia zero-polo di frequenze
0, 449 − 0, 425 Hz, andrebbe evitata in futuro, spostando la frequenza della marionetta in una banda di frequenze libera da altre risonanze. D’altra parte, a causa
della forma della marionetta il moto di rollio θz ha la sua frequenza più bassa
intorno a 0, 3 Hz e ciò comporta un ulteriore limite alla banda al quale non ci si
può avvicinare.
Dunque l’utilizzo di un modello affidabile è essenziale per prevedere e migliorare
la posizione verticale del baricentro della marionetta, responsabile proprio della
frequenza del polo della coppia a 0, 450 Hz.
A questo punto è stato utilizzato il metodo delle matrici di trasferimento da
punto a punto per effettuare un consistente spostamento del baricentro. Nel nostro esperimento si è alzato il baricentro del sistema tramite lo spostamento delle
masse presenti nella marionetta, producendo l’effetto voluto: infatti si nota dai
grafici riportati e dalle tabelle che la frequenza del moto θx passa alla frequenza di
0, 377 Hz. Ma si sono prodotti anche altre conseguenze:
1. è stato necessario ricalcolare con cura i parametri meccanici correlati (momenti di inerzia e stacchi);
2. si è realizzata una situazione sperimentale non voluta, con l’allontanamento
del baricentro dal punto di piegamento dei fili dello specchio e della massa
di reazione;
3. si è allontanato anche il piano passante per il centro di massa da quello
orizzontale dove agiscono le forze degli attuatori.
Allora, per il payload definitivo del montaggio con le sospensioni monolitiche si
è pensato di lasciare il piano baricentrale nella sua posizione standard (ovvero come
è nella configurazione I e II) e di abbassare invece il piano dei punti di attacco:
in questo modo i momenti d’inerzia restano invariati e si ottengono effetti simili a
quelli che abbiamo ottenuto nella configurazione IV.
Riportiamo la tab. 5.15 con i valori dei parametri immessi nella simulazione
della configurazione V e la tab. 5.16 con le frequenze delle funzioni di trasferimento
ottenute.
Inoltre riportiamo anche i grafici delle funzioni di trasferimento ottenute con
i dati dei parametri nella configurazione V, rapportati alle funzioni trovate nella
simulazione della configurazione IV.
164
config V
Mi
RM
Ma
m(Kg)
23
35
100
2
Ix (Kgm )
0, 21
1, 07
0, 58
Iy (Kgm2 )
0, 21
1, 05
1, 59
2
Iz (Kgm )
0, 39
1, 95
1, 51
l(m)
0, 7
0, 7
1, 13
−3
d · 10 (m) 0, 285
0, 6
1, 85
sux(m)
0, 185
0, 22
0
suy(m)
−0, 008 −0, 008
0
suz(m)
0, 025
0, 025
0
sdx(m)
0, 180
0, 243
0
sdy(m)
0
0
+0, 008
sdz(m)
0, 025
0, 025
0
Tabella 5.15: valori dei parametri iniziali per la configurazione V.
(a) TF Ma
y Ma
5, 103
5, 301
9, 817
15, 55
19, 06
–
tx Ma
0, 324
0, 411
0, 417
1, 452
2, 166
3, 744
z Ma
0, 417
0, 597
0, 599
0, 861
–
–
(b) TF Mi
ty Ma
0, 027
0, 821
0, 959
1, 260
–
–
tx Mi
1, 452
3, 744
3, 765
–
–
z Mi
0, 417
0, 418
0, 597
0, 861
0, 862
ty Mi
0, 959
1, 099
1, 260
–
–
Tabella 5.16: frequenze (in Hz) ottenute dalla simulazione della configurazione V.
165
Figura 5.44: grafico di confronto tra la funzione di trasferimento di y Ma trovata
per la configurazione V (in blu) e quella ottenuta (in verde) dalla simulazione della
configurazione IV.
Figura 5.45: grafico di confronto tra la funzione di trasferimento di tx Ma trovata
configurazione IV.
166
Figura 5.46: grafico di confronto tra la funzione di trasferimento di z Ma trovata
configurazione IV.
Figura 5.47: grafico di confronto tra la funzione di trasferimento di ty Ma trovata
configurazione IV.
167
M
Conclusioni
La Teoria della Relatività Generale ha posto l’attenzione sull’esistenza delle onde gravitazionali, perturbazioni della metrica dello spazio-tempo i cui effetti sono
osservabili misurando la distanza tra punti materiali. Questo tipo di radiazione
è connessa alla variazione della distribuzione di masse di un sistema e ci permetterebbe di avere informazioni sulle sorgenti astrofisiche che non emettono nello
spettro elettromagnetico e di comprendere maggiormente i fenomeni più energetici
che avvengono nell’universo.
L’idea sulla quale si basa il funzionamento degli interferometri per la rivelazione
delle onde gravitazionali è quella di utilizzare la luce come metro per valutare la
distanza tra due corpi estesi. All’atto pratico questi sono due specchi sostenuti
tramite sofisticati sistemi di sospensione meccanica che ne assicurano lo stato quasi
inerziale. Gli ultimi stadi della sospensione sono inoltre equipaggiati con un sistema
di controllo della posizione che ne consente l’orientazione.
Nonostante gli impegni della comunità scientifica nazionale e internazionale,
gli interferometri oggi esistenti hanno una banda di frequenze di sensibilità ancora
troppo bassa per arrivare a poter rilevare un numero consistente di eventi. A
questo scopo è necessario attuare delle modifiche agli attuali strumenti, per ridurre
sostanzialmente il contributo dei rumori in essi presenti.
Nel caso specifico di Virgo, il rumore ambientale è appositamente attenuato
da un sofisticato apparato, chiamato superattenuatore. Invece per la riduzione del
contributo del rumore termico si prevede di sostituire i materiali che compongono
gli specchi e le sospensioni con un altro materiale.
Nel nostro lavoro ci siamo interessati allo studio di fattibilità di sospensioni
costituite da silice fusa, un materiale che ha caratteristiche chimico-fisiche tali da
ridurre il contributo del rumore termico alle basse frequenze.
Inserendosi nel gruppo di ricerca “sospensioni monolitiche” abbiamo seguito
nel dettaglio la realizzazione di un prototipo di payload dotato di sospensioni di
silice fusa e abbiamo provveduto alla messa in funzione di un laboratorio, dedicato
alle fasi di test dell’apparato, presso il sito di Virgo a Pisa. Il payload non è stato
sospeso ad un superattenuatore, come prevede la configurazione standard di Virgo,
ma ad un telaio rigido e ancorato al suolo, in modo da verificare la robustezza
della sospensione in silice fusa e facilitare il suo assemblaggio. In seguito abbiamo
installato gli apparati essenziali per il controllo del payload, rendendo compatibili i
rilevatori e i componenti elettronici della catena di controllo locale in uso in Virgo
169
con la specifica configurazione realizzata.
In particolare il nostro lavoro è stato quello di caratterizzare la meccanica
del payload dotato di fibre in silice fusa e di provvedere al sistema di controllo.
Non appena il payload e l’apparato di controllo sono stati disponibili, il sistema
è stato portato al funzionamento e abbiamo effettuato le misure delle funzione di
trasferimento per i diversi gradi di libertà del sistema.
Contemporaneamente, si è deciso di sviluppare un modello teorico della meccanica del payload con cui confrontare i risultati sperimentali. Facendo variare
finemente i parametri caratteristici del sistema si trova un buon accordo tra i
risultati sperimentali e quelli ottenuti dal modello teorico.
L’efficacia della modellizzazione teorica ha permesso di ipotizzare alcune modifiche del prototipo, fondate sull’esperienza acquisita dalla collaborazione riguardo
al funzionamento globale della sospensione antisismica.
Tali modifiche sono state implementate nel progetto finale del payload monolitico attualmente in costruzione. Il laboratorio per il test del sistema continuerà
a svolgere la sua attività specificando i dettagli per la messa in funzione della
sospensione monolitica finchè essa non verrà installata in Virgo.
170
Appendice A
Concetti fondamentali della teoria
della Relatività Generale
I tensori
Introduciamo qui il concetto
1
2di tensore e in particolare quello di tensore metrico.
N
Un tensore di tipo
calcolato in un punto P è definito geometricamente
N"
come una funzione lineare che associa un valore a N uno-forme (cioè N funzioni
lineari reali di vettori) e a N " vettori. Ne consegue che il tensore metrico generico
→
→
gµν a sua volta associa a due vettori −
v e−
u un numero, caratteristico della metrica
dello spazio-tempo, dato, specificatamente, dal prodotto scalare tra i due vettori:
→
→
→
→
g(−
v ,−
u)=−
v ·−
u
(A.1)
Il tensore metrico ha un’importante proprietà: permette di calcolare la distanza
tra due punti dello spazio-tempo in un dato sistema di coordinate. Prendiamo ad
esempio le coordinate dello spazio-tempo quadridimensionale:
(x0 , x1 , x2 , x3 ) = (ct, x, y, z)
(A.2)
e due punti P = (x0 , x1 , x2 , x3 ) e P " = (x0 + dx0 , x1 + dx1 , x2 + dx2 , x3 + dx3 ) in
questo sistema. Allora la loro distanza sarà:
ds2 = gµν dxµ dxν
(A.3)
Nel caso di uno spazio-tempo piatto, dato dalla metrica di Minkowsky, il tensore
metrico corrisponde:


−1 0 0 0
 0 1 0 0 



(A.4)
ηµν = 
 0 0 1 0 
0 0 0 1
Allora la distanza tra due punti in uno spazio così fatto é semplicemente:
ds2 = ηµν dxµ dxν = −c2 dt2 + dx2 + dy 2 + dz 2
171
(A.5)
Dato che vale il Principio di Equivalenza, l’espressione eq. A.5 deve valere
anche in un qualunque sistema di riferimento solo localmente inerziale.
L’equazione delle geodetiche
Abbiamo affermato che il Principio di Equivalenza pone un legame tra il campo
gravitazionale e la metrica dello spazio-tempo, espresso sotto forma di tensore
metrico. Esaminiamo ora meglio questo legame cercando l’equazione del moto di
un corpo soggetto esclusivamente all’azione di un campo gravitazionale e osservato
in un sistema di riferimento arbitrario. Procediamo in questo modo: scriviamo
l’equazione del corpo in caduta libera in un sistema di riferimento inerziale e poi,
tramite un cambio di coordinate, la generalizziamo ad un qualunque altro sistema
di riferimento.
Nel sistema di riferimento inerziale, ad esempio quello solidale con il moto del
corpo, lo spazio percorso è lo spazio proprio ξ e il tempo impiegato dalla particella
è il tempo proprio τ . Dato che non agiscono forze sul corpo in caduta libera
e dato che vale il Principio di Equivalenza (mI = mG ), l’equazione del moto è
semplicemente:
d2 ξ α
=0
(A.6)
dτ 2
Cambiando sistema di riferimento, si trovano delle leggi di trasformazione che
permettono il passaggio dalle coordinate xα alle coordinate ξ α , del tipo xα =
xα (ξ α ). Allora anche la distanza tra due punti nel nuovo sistema di riferimento
cambia:
∂ξ µ
∂ξ ν
ds2 = ηµν α dxα β dxβ = gαβ dxα dxβ
(A.7)
∂x
∂x
dove è stato definito come tensore metrico:
gαβ = ηµν
∂ξ µ ∂ξ ν
∂xα ∂xβ
(A.8)
Nel nuovo sistema di riferimento si puó dimostrare che l’equazione del moto
del corpo diventa:
"
d2 xα
∂xα ∂ 2 ξ ρ
+
dτ 2
∂ξ ρ ∂xµ ∂xν
#"
#
dxµ dxν
=0
dτ dτ
(A.9)
e definendo i simboli di Christoffel:
Γαµν =
∂xα ∂ 2 ξ ρ
∂ξ ρ ∂xµ ∂xν
(A.10)
si ottiene l’equazione delle geodetiche:
"
#
d2 xα
dxµ dxν
α
+ Γµν
=0
dτ 2
dτ dτ
172
(A.11)
che esprime il moto di un corpo in caduta libera in un sistema di riferimento
arbitrario. Da questa equazione si deduce che, grazie al Principio di Equivalenza,
mettendosi in un sistema localmente inerziale, la forza gravitazionale non compare.
Ma cambiando sistema di riferimento, compaiono sia l’interazione gravitazionale
che le altre forze apparenti, come ad esempio la forza di Coriolis o quella centrifuga.
Il termine addizionale indicato mediate i simboli di Christoffel esprime proprio la
forza gravitazionale per unità di massa.
Si può trovare, dal calcolo della derivata covariante del tensore metrico gµν ,
un’altra espressione per i simboli di Christoffel:
1
Γαµν = g αλ (gλµ,ν + gλν,µ − gµν,λ )1
2
(A.12)
Quindi i simboli di Christoffel, che rappresentano una generalizzazione del campo gravitazionale newtoniano, sono ricavabili tramite la conoscenza del tensore
metrico.
Il tensore di curvatura
Abbiamo visto come lo spazio-tempo si descriva compiutamente con il tensore
metrico. Ma dal tensore metrico è possibile definire un ulteriore tensore, detto
tensore di curvatura o di Riemann, che indica la curvatura intrinseca, cioè la
curvatura misurabile da “qualcuno” che si muove sulla superficie dello spazio-tempo
stesso.
Per arrivare a esprimere questa quantità, si deve richiamare il concetto di
trasporto parallelo di un vettore lungo una curva.
→
Si prenda una curva C su uno spazio-tempo generico e un vettore −
v le cui
µ
−
→
componenti sono v : se i vettori v sono definiti per ogni punto della curva, sono
paralleli e di uguale modulo in punti infinitesimamente vicini lungo C, allora si può
→
dire che il vettore −
v è stato trasportato parallelamente lungo la curva.
Ora, quando si trasporta parallelamente un vettore lungo una curva chiusa
D (ad esempio, un triangolo di vertici P QR), a seconda della curvatura dello
spazio-tempo lungo cui è tracciata, si hanno risultati diversi:
→
• se siamo in uno spazio-tempo piatto, il vettore −
v , tracciato in ogni punto
parallelo al vettore della posizione precedente, ritorna in P parallelo a se’
stesso;
1
Con la notazione gµν ,λ si indica la derivata ordinaria:
gµν ,λ =
∂gµν
∂xλ
Mentre con la notazione Tµν;β si indica la derivata covariante del tensore Tµν :
Tµν;β = Tµν,β − Tρν Γρβµ − Tµρ Γρβν
173
• se siamo in uno spazio-tempo curvo, come è quello di una sfera, disegnando
→
ogni volta il vettore −
v parallelo il più possibile al vettore del punto precedente, non si ritrova lo stesso vettore che si aveva inizialmente; ci sarà invece un
certo angolo tra i due vettori che si può calcolare dall’equazione del trasporto
parallelo [1], come si vede in fig. A.1.
Figura A.1: trasporto parallelo di un vettore lungo un percorso tracciato su uno
spazio-tempo curvo.
Il tensore di Riemann si trova proprio da questo calcolo. La differenza tra il
vettore iniziale e quello finale δv η è data da:
δv η = δA [Γηµσ,λ − Γηµλ,σ + Γηνλ Γνµσ − Γηνσ Γνµλ ]v µ
(A.13)
dove δA e’ l’area infinitesima racchiusa da D. Si definisce allora tensore di Riemann:
η
Rµλσ
= Γηµσ,λ − Γηµλ,σ + Γηνλ Γνµσ − Γηνσ Γνµλ
(A.14)
Ovviamente è poi possibile esprimere il tensore di Riemann con il tensore metrico, sostituendo i simboli di Christoffel corrispondenti: appare evidente come il
tensore di Riemann sia effettivamente in grado di caratterizzare la curvatura di
uno spazio-tempo dato da una metrica. Così, ad esempio, in uno spazio-tempo
piatto, il tensore di Riemann è nullo, come ci si poteva aspettare dal fatto che il
vettore trasportato coincide con quello iniziale.
Dal tensore di Riemann si ottiene quello di Ricci, contraendone gli indici:
γ
Rλρ = Rλγρ
(A.15)
A sua volta questo tensore può essere contratto per ottenere lo scalare di Ricci:
R = g λρ Rλρ
Queste quantità sono utili nella derivazione delle equazioni di Einstein.
174
(A.16)
Appendice B
Schematizzazione meccanica del
payload
Lo studio del payload di Virgo e della sua dinamica non può prescindere da quello
del superattenuatore; tuttavia nell’ottica di volere integrare nel sistema di sospensioni già esistente la sospensione monolitica e di volere a questo fine sviluppare un
metodo che permetta di valutarne la fattibilità e le sue specifiche fondamentali, il
problema può essere ridotto come segue (fig. B.1).
Figura B.1: schematizzazione del payload : è indicata anche la terna di assi
cartesiani di riferimento.
Nel caso di piccole oscillazioni possiamo scrivere [46] le equazioni del moto di
questo sistema soggetto all’attrito viscoso dell’aria (si trascurino le altre forme di
dissipazione, come quella interna dovuta ai piegamenti dei fili delle sospensioni).
In generale siamo interessati, ai fini del controllo locale, ai movimenti solo su
tre gradi di libertà, θx , θy e z. Come esempio esplicitiamo le equazioni per la
coordinata θy , dove teniamo conto dei termini di moto rotazionale di un corpo
rispetto all’altro e del termine di dissipazione; tralasciamo invece di scrivere il
pedice y per semplicità e trascuriamo gli accoppiamenti elettromeccanici tra la
175
massa di reazione e lo specchio:



I M a θ̈M a + ktM a θM a + ktRM (θM a − θRM ) + ktM i (θM a − θM i ) + β M a θ̇M a = 0
I RM θ̈RM + ktRM (θRM − θM a ) + β RM θ̇RM = 0

 Mi Mi
I θ̈ + ktM i (θM i − θM a ) + β M i θ̇M i = 0
(B.1)
dove I è il momento d’inerzia dei vari corpi, calcolato rispetto all’asse y, β è il
coefficiente di attrito viscoso dell’aria e kt è la costante elastica torsionale dei fili
che sostengono i tre corpi:
EA s2
s2
(B.2)
kt = k l =
4
l 4
Si ricorda che s è la distanza tra i punti di attacco dei fili di sospensione e il
baricentro del corpo e la costante elastica longitudinale kl vale:
kl =
EA
l
(B.3)
con A è la sezione del filo, l la sua lunghezza e E il solito modulo di Young.
Si noti, inoltre, che nel caso semplice di un sistema con un solo grado di libertà,
esso ruota intorno al suo asse con una frequenza dipendente dalla costante elastica
torsionale e dal suo momento d’inerzia [27]:
1
ft =
2π
5
kt
I
(B.4)
Se si volessero scrivere le equazioni anche per gli altri gradi di libertà basta
prestare attenzione alle grandezze da considerare:
• per la rotazione θx si devono inserire i momenti d’inerzia calcolati rispetto
all’asse x e le costanti elastiche dei punti di piegatura dei fili (eq. 2.56);
• per lo spostamento lungo z si devono mettere le masse, anziché i momenti
d’inerzia e ancora le costanti elastiche dei punti di piegatura dei fili (il moto
θx e quello z sono infatti fortemente accoppiati);
• per lo spostamento lungo l’asse y si devono inserire le masse e i fili sono
approssimabili a delle molle di costanti elastiche longitudinali (eq. B.3).
Il sistema di equazioni eq. B.1 può essere risolto algebricamente [45]. Si trovano, per il grado di libertà scelto, tre frequenze fondamentali proprie dei tre moti
che la marionetta, la massa di reazione e lo specchio compiono. Possiamo scriverle
in forma compatta in questo modo, definendo delle quantità utili. Si ricordi che
ωx è la frequenza angolare del moto disaccoppiato per il corpo generico x, mentre
Mx ne è la massa:
2
2
a = −[ωM
a + ωRM (1 +
MM a
MM i
2
) + ωM
)]
i (1 +
MRM
MM a
176
2
2
2
2
2
b = ωM
a (ωRM + ωM i ) + ωRM ωM i (1 +
Q=
Allora si ha:
MM i
MRM
+
)]
MM a
MM a
2
2
2
c = −ωM
a ωRM ωM i
3b − a2
,
9
9ab − 27c − 2a2
R=
,
D = Q3 + R3 ,
54
√
√
S = (R + D)1/3 ,
T = (R − D)1/3
ν1 =
ν1 =
5
5
1
a 1 √
− (S + T ) − + i 3(S + T )
2
3 2
(B.5)
1
a 1 √
− (S + T ) − − i 3(S + T )
2
3 2
(B.6)
ν1 =
A
(S + T ) −
a
3
(B.7)
Queste tre frequenze corrispondono a diversi moti:
• Ma, RM e Mi si muovono insieme, in fase tra loro, eq. B.5: questo moto è
quello di frequenza più bassa. Infatti dall’eq. B.4 possiamo rappresentare il
sistema come un unico corpo di momento d’inerzia complessivo dato dalla
somma dei singoli momenti (fig. B.2(a)).
• Mi e RM si muovono in controfase tra loro, mentre Ma è ferma, eq. B.6; in
particolare il centro di massa di tutto il sistema resta fermo (fig. B.2(b)).
• Mi e RM si muovono in fase tra loro e in controfase rispetto a Ma, eq. B.7:
questo è il moto a frequenza più alta. Infatti, in questo caso, il contributo della massa di reazione e dello specchio si sottraggono a quello della marionetta
(fig. B.2(c)).
177
(a) moto del payload nel suo insieme
(b) moto di Mi e RM in controfase
rispetto a Ma
(c) moto di Mi in controfase rispetto a RM,
mentre Ma è ferma
Figura B.2: moti del payload descritti nel testo.
178
Appendice C
Listato di configurazione del
processo Gx Server
/*--- Configuration for the MS Test Facility ---*/
NAME MS
DEBUG 10
/* VME memory address of the DSPs */
DPMEM2 0xe01c0000
/*control DSP*/
AUTOSTART
TIMING 0xe8e82100 50. 10000 500 REMOTE
PSD MS_PSDm 7 DOWN
PSD MS_PSDi 49 UP
PSD MS_PSDf 49 DOWN
CAMERA cam
0.1
0.1
0.3
70000 -11740. -11740. 0. 0. 0. 0.
180000 1. 1. 0. 0. 0. 0.
23000 1. 1. 0. 0. 0. 0.
30 350 0.0
SAVE_RAW_PSD
MARIONETTA_PSD MS_PSDm
/*
ZONE
ZONE
ZONE
ZONE
name
MS_UL
MS_UR
MS_DL
MS_DR
camera
xf
yf
cam 92
108
cam 364 117
cam 104 415
cam 372 397
nx
40
28
32
28
34
22
28
26
ny
thrshold
45
45
35
40
n_spots box_size
9
20
9
20
9
20
9
20
%// (Xleft*0.85-Xright)/2 *0.1514 // marker +
%// REF COARSE -279. 0. 1273. 3480859 -3127628. 0. // marker x
COARSE MS_UL
1.
0.
0.
0.
419.36 0.
0.
0.
1.
1.
712.9 0.
COARSE MS_UR
1.
0.
0.
0. -419.36 0.
0.
0.
1.
1.
0. 0.
COARSE MS_DL
1.
0.
0.
0.
419.36. 0.
0.
0.
1. -1.
0. 0.
COARSE MS_DR
1.
0.
0.
0. -419.36 0.
0.
0.
1. -1.
0. 0.
REF COARSE 0. 0. 0. -7000. -4786500.
FINE MS_PSDf 200000.
0.
0.
0.
10000.
179
xWaist yWaist lambda */
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
FINE MS_PSDi 700000.
20000.
0.
0.
-10000.
0.
0.
0.
0.
REF FINE 0. 0. 0. 0. 0. 0.
ITLEVEL 5
#ITDELAY 12.5e-3
DAC 3.9 0. 45000
BACKGROUND 5
FRAME_LIST_SIZE 5
FRAME Fbm15w
CFG_NOFILESAVE
CFG_PWD /virgoLog/GxS/
Esaminiamo ora le voci di maggiore interesse, con i parametri ad essi associati:
• TIMING (cinque parametri): il numero di interfaccia della scheda TIM, la
frequenza a cui lavora la telecamera CCD, la frequenza a cui lavora il DSP,
la frequenza a cui lavorano i PSD e lo stato della scheda stessa;
• PSD (nove parametri): il nome del PSD a cui si riferisce, il numero seriale
della scheda ADC, la posizione dei canali nella scheda ADC, il valore di
guardia (ovvero il diametro minimo espresso come frazione dell’area del PSD
per selezionare il fascio laser), il valore minimo della potenza incidente sul
PSD per la rivelazione, i fattori di guadagno da applicare alle coordinate x
e y, e infine i valori di offset da sommare alle coordinate x e y; → con tale
voce si acquisiscono i dati provenienti dai fotodiodi;
• CAMERA (quattro parametri): il nome della telecamera, il numero di interfaccia della scheda CAM, il tempo di integrazione dell’immagine espresso
come numero di righe (ogni riga corrisponde a un tempo di 32 µs) e il fattore
di non-linearità del segnale di uscita della telecamera;
• ZONE (dieci parametri): il nome della zona, il nome della telecamera, il
valore di partenza del pixel nella coordinata x e y, il numero di pixel da
considerare nella direzione x e y, il valore limite per la determinazione di un
puntino del marker, il numero di puntini presenti per ogni marker, le dimensioni del quadrato per la ricerca dei marker (questo quadrato si può muovere
all’interno dell’immagine); i restanti parametri non sono utilizzati nel nostro
prototipo; → tale voce sancisce le aree dell’immagine della telecamera da
misurare per l’individuazione dei marker ;
• COARSE (tredici parametri): il nome della zona, i fattori moltiplicativi da
applicare ai sei gradi di libertà nella direzione x e y; → tale voce assegna la
matrice di calcolo del segnale COARSE;
180
• FINE (otto parametri): il nome del PSD per cui si calcola, il valore minimo
della potenza incidente per la rivelazione, i fattori moltiplicativi da applicare
ai gradi di libertà z, θx e θy nella direzione x e y; → tale voce assegna la
matrice di calcolo dei segnali FINE;
• REF (sette parametri): il nome del segnale a cui ci si riferisce (FINE, COARSE o TELEM, non usato nel nostro prototipo), i valori di offset per i sei gradi
di libertà;
• DAC (tre parametri): il valore della tensione di uscita della scheda DAC nello
stato COARSE, il valore della tensione in uscita nello stato FINE e l’intervallo di tempo per definire una configurazione FINE stabile; → tale voce
identifica l’intervallo di tempo per passare dalla configurazione COARSE a
quella FINE.
181
Appendice D
Misure sperimentali delle funzioni di
trasferimento
Si riportano i grafici delle singole misure di funzioni di trasferimento: le figure
sono raggruppate in base alla diversa configurazione e in base al grado di libertà
misurato. I valori delle frequenze dei poi e degli zeri sono riportati nel testo nelle
tabb. 5.2, 5.3, 5.4, 5.5.
Figura D.1: configurazione I, tx Ma.
182
Figura D.2: configurazione I, txPSDm Ma.
Figura D.3: configurazione I, ty Ma.
183
Figura D.4: configurazione I, tyPSDm Ma.
Figura D.5: configurazione II, tx Ma.
184
Figura D.6: configurazione II, txPSDm Ma.
Figura D.7: configurazione II, tx Mi.
185
Figura D.8: configurazione II, ty Ma.
Figura D.9: configurazione II, tyPSDm Ma.
186
Figura D.10: configurazione II, ty Mi.
Figura D.11: configurazione II, z Ma.
187
Figura D.12: configurazione II, z Mi.
Figura D.13: configurazione II, y Ma.
188
Figura D.14: configurazione III, tx Ma.
Figura D.15: configurazione III, txPSDm Ma.
189
Figura D.16: configurazione III, ty Ma.
Figura D.17: configurazione III, tyPSDm Ma.
190
Figura D.18: configurazione IV, tx Ma.
Figura D.19: configurazione IV, txPSDm Ma.
191
Figura D.20: configurazione IV, tx Mi.
Figura D.21: configurazione IV, ty Ma.
192
Figura D.22: configurazione IV, tyPSDm Ma.
Figura D.23: configurazione IV, ty Mi.
193
Figura D.24: configurazione IV, z Ma.
Figura D.25: configurazione IV, z Mi.
194
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198
Ringrazio ...
Ettore, per essere stato disponibile e affidabile esattamente come mio padre
Paolo, per le tue spiegazioni chiare ed esaurienti: arrivavano sempre quando ne avevo
bisogno
Piero, per i racconti di fantascienza e Filippo, per i tuoi racconti di viaggi al limite del
possibile che rallegravano le cene da Antonio
Perci (!!!), per la tua indispensabile presenza e accortezza; come sarei potuta sopravvivere altrimenti a 1500W?
Federica e Alessandra, persone su cui contare nei dolorosi momenti qui nel loculo (lo
scambio di cibo è stato essenziale)
Fulvio, il capo, anzi il Capo, anzi il Capo Supremo il cui sesto senso mi ha colta più di
una volta in fallo
Paola, con la tua presenza e gli incoraggiamenti mi hai dato uno stimolo ad andare
sempre avanti
papà: grazie per avermi così ben nutrita ogni volta che tornavo stanca e affamata dalla
piscina!
mamma: la tua pazienza e la tua dolcezza non saranno mai abbastanza ringraziate!
Claudia, la migliore sorella a cui potevo anelare...
Enrico, per “aver reso il venire a Virgo così leggero”
tutte le persone che lavorano a Virgo, quelle che hanno avuto una parola buona per
me e quelle che hanno saputo criticarmi, quelle che hanno dato il loro contributo
a risolvere i miei enormi problemi tecnici quando ero abbandonata a me stessa e
quelli che mi hanno regalato anche solo una risata
Antonella, la Lori, Romina, Titti, Giorgina, il vero zoccolo duro del turno 8,20-9,20,
per aver blastato il genere maschile così tante volte tutte insieme (ma che turno
sfigato, cacchio!)
Massimo, per i continui battibbecchi e frecciatine che, almeno, mi facevano passare il
tempo
199
Francesco (“mamma”) e Andrea (“papà”), per essere stati due compagni di studio magnifici e per aver assecondato tutte le mie puntigliosità e le mie relazioni di laboratorio
Margherita, Angelo, Antonio, la Grande Cozza, Massimigliano, Simone, Mozzarellone,
Nino, Pokemon, Pelatone, Filippo, Fufino, per aver diviso con me le gioie e i dolori
di cinque (e più!) anni di corso
Francesca “Bocchins”, insospettabile amica, vicina nelle faccende più intime: mi farà
sempre piacere ascoltarti e aiutarti!
Emi cara, per avermi sempre chiesto se potevi venire a disturbare
Daniele Dumbo, teorico convinto, amico sincero, buono fino al parossismo, idealista
puro, insomma, tutto ciò di positivo che potete pensare, lui ce l’ha! Ma non scordo
il due di picche che mi hai rifilato!
Danilo, per avermi messa nelle mani dell’uomo più bastian contrario che conosca, per
avermi consolata quando piangevo, per avermi presa a schiaffi quando lo meritavo,
per avermi aperto gli occhi quando non ne avevo voglia: a volte sei troppo convinto,
ma ti voglio bene lo stesso!
Faccins, Ingg, Malvest, Cap, Andrea, Gozzilla, Micol, Marcello, i “fancazzisti”, e ancora
Alex, Mao, Elisa, Boto e Leiba, tutti insostituibili compagni di divertimento, tra
risate e bevute: rimarranno storiche le nostre disavventure e le interminabili partite
a carte!
Yari, spalla su cui mi appoggio e che si appoggia a me, ti assicuro che la troverai la
donna della tua vita.
e infine
Alex: mi hai insegnato più di quanto questi anni abbiano fatto, con te sono cresciuta,
cambiata, con te ho capito delle cose a cui non avrei neanche pensato altrimenti,
mi hai dato più di qualunque altra persona, tu lo sai bene. E anche se ora siamo
solo “conoscenti intimi”, non ci sono parole che esprimono quello che provo... solo
baci! (non pensare di scampartela! stasera lavi i piatti!)
200

Caratterizzazione e controllo di un prototipo di sospensione

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