Componenti dotati di memoria (dinamici)

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Componenti dotati di memoria (dinamici)
Si tratta di componenti elettrici che esprimono una relazione costitutiva
tra tensione e corrente che richiama anche valori di tensione e/o corrente riferiti ad istanti di tempo precedenti.
La relazione costitutiva è in questo caso di tipo dinamico, tipicamente
integro-differenziale. Per tali componenti il legame v-i non è quindi
espresso da una semplice funzione algebrica.
Una rete elettrica che contiene componenti dinamici (almeno uno) è
detta rete dinamica, in contrapposizione con una rete algebrica, detta
per questo anche adinamica.
Si considerano nella trattazione solo i principali componenti dinamici:
condensatore ed induttore.
Parte II – A.A. 2011/2012
22
Condensatore
Il condensatore è un bipolo che presenta una
relazione di legame tra la carica q immagazzinata
e la tensione v ai suoi morsetti. Nel caso di
condensatore lineare tempo-invariante si ha:
q(t) = C v(t)
i
v
C ≡ capacità [Farad, F]
La capacità C non dipende in tal caso dal tempo t
nè dalla tensione v.
Differenziando tale espressione, essendo i = dq/dt, si ottiene:
dv
i (t ) = C
dt
relazione costitutiva del condensatore
Tale relazione evidenzia la dinamicità del condensatore.
Parte II – A.A. 2011/2012
C
33
Condensatore: proprietà di memoria
La relazione costitutiva del condensatore può essere riscritta esplicitando la tensione in funzione della corrente:
1
v(t ) =
C
t
∫
-∞
q(t )
i (t' ) dt' =
C
Tale relazione evidenzia il fatto che la tensione dipende anche dai
valori assunti dalla corrente negli istanti precedenti a quello attuale.
Il condensatore è quindi un componente dotato di memoria.
Considerando la tensione all’istante to , v(to), si può scrivere:
v(t ) =
Parte II – A.A. 2011/2012
1
C
to
∫
-∞
i (t' ) dt' +
1
C
t
∫
to
i (t' ) dt' = v(to ) +
q(to )
C
1
C
t
∫
to
i (t' ) dt'
44
Condensatore: proprietà di continuità
Se la corrente ha valore limitato (non infinito), la tensione ai capi del
condensatore varia con continuità. Si ha infatti:
1
dv = i (t ) dt ,
C
i(t) < ∞ Æ variazione dv infinitesima
Rispetto alla forma d’onda di una corrente impressa nel condensatore, che può essere anche discontinua, la forma d’onda della tensione ha quindi un andamento continuo e “smussato”, per effetto della
relazione di integrazione che sussiste tra corrente e tensione.
Viceversa, imprimendo rapide variazioni di tensione ai morsetti del
condensatore si hanno elevati valori di corrente, per effetto della
relazione di derivazione che sussiste tra tensione e corrente.
vedi esempi lavagna
Parte II – A.A. 2011/2012
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Condensatore: comportamento energetico
Dalla definizione di potenza elettrica entrante è possibile risalire
all’espressione dell’energia w immagazzinata nel condensatore
(e viceversa):
w(t ) =
t
t
t
-∞
-∞
-∞
∫ p dt = ∫ v i dt = ∫
(
v
dv
1 2
v C dt = C v dv = C v
dt
2
1
∆w = w(t2 ) − w(t1 ) = C v22 − v12
2
∫
0
)
Una discontinuità dell’energia
(quindi della tensione) comporterebbe un picco di potenza infinita.
L’energia immagazzinata in fase di carica, essendo funzione della
sola tensione, viene completamente restituita nella scarica.
Per questa sua caratteristica il condensatore è un componente reattivo,
ed è privo di perdite.
Parte II – A.A. 2011/2012
66
Condensatori in serie
Due o più condensatori si dicono in serie quando, per ogni condizione
elettrica della rete nella quale sono inseriti, sono attraversato dalla
stessa corrente (osservazione su stessa carica ed i=0).
Sulla base del teorema di sostituzione è possibile introdurre la capacità equivalente, Ceq , imponendo la stessa relazione costitutiva:
i
 dv1 i1
 dt = C = C
1
1
 dv
i
i
 2 = 2 =
 dt
C2 C2
1 
d
dv  1
 i
(v1 + v2 ) =
=  +
dt
dt  C1 C2 
1
1
1
=
+
+L
Ceq C1 C2
Parte II – A.A. 2011/2012
77
Condensatori in parallelo
Due o più condensatori si dicono in parallelo quando, per ogni condizione elettrica della rete nella quale sono inseriti, sono sottoposti alla
stessa tensione, ovvero, sono collegati tra la stessa coppia di nodi.
Sulla base del teorema di sostituzione è possibile introdurre la capacità equivalente, Ceq , imponendo la stessa relazione costitutiva:
dv1
dv

i
=
C
=
C
1
1
 1
dt
dt

 i = C dv2 = C dv
2
2
 2
dt
dt
i1 + i2 = i = (C1 + C2 )
Ceq = C1 + C2 + L
Parte II – A.A. 2011/2012
dv
dt
88
Partitore capacitivo
serie
t

 v1 = 1 i dt

C1

−∞

t

1
i dt
 v2 =
C2

−∞
parallelo
Per i collegamenti serie e parallelo di condensatori è possibile introdurre il concetto di partitore di tensione e di corrente, rispettivamente.
dv1
dv

i
C
C
=
=
1
1
 1
dt
dt

 i = C dv2 = C dv
2
2
 2
dt
dt
Parte II – A.A. 2011/2012
∫
v1 C2
=
, C1v1 = C2v2 (= q, stessa carica)
v2 C1
∫
la tensione si ripartisce in modo proporzionale
all’inverso della capacità.
i1 C1
=
i2 C2
la corrente si ripartisce in modo proporzionale alla capacità.
99
Induttore
L’induttore è un bipolo che presenta una relazione di
legame tra il flusso magnetico concatenato ϕ e la
corrente i ai suoi morsetti. Nel caso di induttore
lineare tempo-invariante si ha:
ϕ(t) = L i(t)
v
L ≡ induttanza [Henry, H]
L’induttanza L non dipende in tal caso dal tempo t
nè dalla corrente i.
Differenziando tale espressione, essendo v = dϕ/dt, si ottiene:
di
v(t ) = L
dt
relazione costitutiva dell’induttore
Tale relazione evidenzia la dinamicità dell’induttore.
Parte II – A.A. 2011/2012
i
L
1100
Induttore: proprietà di memoria
La relazione costitutiva dell’induttore può essere riscritta esplicitando la corrente in funzione della tensione:
1
i (t ) =
L
t
∫
-∞
ϕ(t )
v(t' ) dt' =
L
Tale relazione evidenzia il fatto che la corrente dipende anche dai
valori assunti dalla tensione negli istanti precedenti a quello attuale.
L’induttore è quindi un componente dotato di memoria.
Considerando la corrente all’istante to , i(to), si può scrivere:
1
i (t ) =
L
Parte II – A.A. 2011/2012
to
∫
-∞
1
v(t' ) dt' +
L
t
∫
to
t
1
v(t' ) dt' = i (to ) +
v(t' ) dt'
L
to
ϕ(to )
L
∫
1111
Induttore: proprietà di continuità
Se la tensione ha valore limitato (non infinito), la corrente che attraversa l’induttore varia con continuità. Si ha infatti:
1
di = v(t ) dt ,
L
v(t) < ∞ Æ variazione di infinitesima
Rispetto alla forma d’onda di una tensione impressa nell’induttore,
che può essere anche discontinua, la forma d’onda della corrente ha
quindi un andamento continuo e “smussato”, per effetto della
relazione di integrazione che sussiste tra tensione e corrente.
Viceversa, imprimendo rapide variazioni della corrente nell’induttore si hanno elevati valori di tensione, per effetto della relazione di
derivazione che sussiste tra corrente e tensione.
vedi esempi lavagna
Parte II – A.A. 2011/2012
1122
Induttore: comportamento energetico
Dalla definizione di potenza elettrica entrante è possibile risalire
all’espressione dell’energia w immagazzinata nell’induttore
(e viceversa):
t
w(t ) =
∫
-∞
t
p dt =
∫
-∞
t
v i dt =
(
∫
-∞
i
L
di
1
i dt = L i di = Li 2
dt
2
1 2 2
∆w = w(t2 ) − w(t1 ) = L i2 − i1
2
∫
)
0
Una discontinuità dell’energia
(quindi della corrente) comporterebbe un picco di potenza infinita.
L’energia immagazzinata in fase di magnetizzazione è funzione della sola
corrente e viene completamente restituita nella smagnetizzazione. Per questa caratteristica l’induttore è un componente reattivo, ed è privo di perdite.
Nota: osservazioni sul dualismo v ↔ i e C ↔ L tra condensatore ed induttore.
Parte II – A.A. 2011/2012
1133
Induttori in serie
Due o più induttori si dicono in serie quando, per ogni condizione
elettrica della rete nella quale sono inseriti, sono attraversato dalla
stessa corrente.
Sulla base del teorema di sostituzione è possibile introdurre l’induttanza equivalente, Leq , imponendo la stessa relazione costitutiva:
di1
di

v
L
L
=
=
1
1
 1
dt
dt

 v = L di2 = L di
2
2
 2
dt
dt
v1 + v2 = v = (L1 + L2 )
Leq = L1 + L2 + L
Parte II – A.A. 2011/2012
di
dt
1144
Induttori in parallelo
Due o più induttori si dicono in parallelo quando, per ogni condizione elettrica della rete nella quale sono inseriti, sono sottoposti alla
stessa tensione, ovvero, sono collegati tra la stessa coppia di nodi.
Sulla base del teorema di sostituzione è possibile introdurre
l’induttanza, Leq , imponendo la stessa relazione costitutiva:
 di1 v1 v
 dt = L = L
1
1
 di
v2
v
2

=
=
 dt L2 L2
d
di  1
1 

(i1 + i2 ) = =  +  v
dt
dt  L1 L2 
1
1
1
= +
+L
Leq L1 L2
Parte II – A.A. 2011/2012
1155
Partitore induttivo
serie
di1
di

 v1 = L1 dt = L1 dt

 v = L di2 = L di
2
2
 2
dt
dt
parallelo
Per i collegamenti serie e parallelo di induttori è possibile introdurre il
concetto di partitore di tensione e di corrente, rispettivamente.

 i1 =




 i2 =

Parte II – A.A. 2011/2012
1
L1
1
L2
t
∫
v dt
−∞
t
∫
−∞
v dt
v1 L1
=
v2 L2
la tensione si ripartisce in modo proporzionale all’induttanza.
i1 L2
=
, L1i1 = L2i2 (= ϕ, stesso flusso)
i2 L1
la corrente si ripartisce in modo proporzionale
all’inverso dell’induttanza.
1166
Osservazioni sui valori dei parametri di C ed L
Il costo di un resistore non varia in generale con il valore della resistenza
ma è funzione della potenza massima (quindi dimensioni) che il componente deve dissipare (ovvero dipende dalla tensione e dalla corrente).
Per quanto riguarda condensatori ed induttori, si ha in generale che il loro costo dipende rispettivamente della capacità e dell’induttanza.
Tali componenti divengono infatti più voluminosi all’aumentare di questi
parametri. Si ha inoltre che il loro costo (ed in generale il volume) aumentano all’aumentare della tensione nominale (per i condensatori) e
della corrente nominale (per gli induttori). Possiamo quindi dire che il
costo per C ed L aumenta all’aumentare dell’energia immagazzinabile.
Grazie alle connessioni serie/parallelo tra questi componenti è possibile
adattare sia i valori dei parametri sia i valori di tensione e corrente,
tenendo però conto che in generale si hanno benefici in controtendenza.
Parte II – A.A. 2011/2012
1177
Reti degeneri
Nello studio dei circuiti dinamici è necessario specificare se si tratta o
meno di reti degeneri: una rete elettrica si dice degenere se contiene
maglie di condensatori e/o tagli di induttori.
z per maglia di condensatori si intende una maglia formata da soli
condensatori ed eventuali generatori di tensione;
z per taglio di induttori si intende un insieme di taglio formato da soli
induttori ed eventuali generatori di corrente.
Esiste un’importante differenza concettuale tra i casi in cui l’insieme
degenere di lati (maglia o taglio) contiene o non contiene dei generatori:
•
nel caso non vi siano generatori, il caso degenere non ha particolari
implicazioni fisiche ma solo matematiche per la diversa procedura
risolutiva. Un caso particolare che può essere semplicemente risolto
è quello di condensatori parallelo e/o induttori serie;
Parte II – A.A. 2011/2012
1188
Reti degeneri
•
nel caso siano presenti anche generatori, è immediato verificare che
eventuali discontinuità di questi sono in contrasto con le proprietà di
continuità di condensatori o induttori: se i generatori sono in grado di
fornire picchi illimitati di corrente o tensione (potenza ∞) allora vi è
una discontinuità; se i generatori non sono in grado di fornire tali picchi allora essi stessi sono vincolati ad imprimere grandezze continue.
Nota: vedi alla lavagna casi semplici di vo // C ed io -- L
In questa trattazione le reti degeneri saranno trattate specificamente caso
per caso. Un loro studio sistematico è rimandato a corsi seguenti.
Eventuali condensatori in parallelo e/o induttori in serie, casi degeneri
particolari, saranno trattati semplicemente considerando il componente
equivalente.
Parte II – A.A. 2011/2012