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OTTICA ESERCIZIO 1 [Prova d’esame del 15/07/04] Due sorgenti puntiformi A1 e A2 trasmettono in modo isotropo nel vuoto ~ onde sferiche monocromatiche (λ= 20 cm) polarizzate linearmente con E diretto perpendicolarmente al piano che contiene le due sorgenti e un ricevitore. Le onde sono coerenti con i trasmettitori A1 e A2 e la fase relativa di emissione ∆ϕ tra A1 e A2 può essere cambiata con continuità. A1 e A2 hanno la stessa potenza media W = 10 W. Se un ricevitore è posto a distanza di d1 = 100 cm da A1 e d2 = 90 cm da A2 , quanto deve valere ∆ϕ affinché il ricevitore registri un massimo di intensità? Quanto vale l’intensità media? SOLUZIONE p I = I1 + I2 + 2 I1 · I2 cos δ Tenendo conto della differenza di fase di emissioine ∆ϕ, lo sfasamento δ tra le due onde risulta: 2π (d1 − d2 ) + ∆ϕ λ dove δ = 2nπ per avere l’intensità massima ∆ϕ d1 − d2 d1 − d2 =n− −→ ∆ϕ = 2π n − 2π λ λ 1 0, 1 1 ∆ϕ = 2π n − = 2π n − 0, 2 2 = π (2n − 1) Quando l’intensità è massima: p I = I1 + I2 + 2 I1 · I2 I1 ⇒ W1 = 4πd21 I1 I1,2 = W W + +2 I= 4πd21 4πd22 = W 4π s W1,2 4πd21,2 W W W · = 4π 4πd21 4πd22 1 1 + d1 d2 2 10 1 1+ 4π 0, 9 = 2 1 1 1 + +2 d1 d2 d21 d22 2 = 3, 5 W m2 = ESERCIZIO 2 Determinare la distanza tra due frange chiare per un reticolo di diffrazione di passo a = 0,8 mm, e luce incidente avente λ=5,9 10−7 m. La distanza delle schermo dal reticolo è: Dschermo = 0, 5m. SOLUZIONE Le frange di interferenza nella direzione θ individuata da sin θ = x/D, si trovano per: πax ax = nπ → =n Dλ λD e la distanza tra due frange successive ∆x si trova per ∆n = 1: a∆x =1 λD ∆x = λD 5, 9 · 10−7 = 5 · 10−1 = 3, 7 · 10−4 m a 8 · 10−4 3 ESERCIZIO 3 Interferenza tra due sorgenti incoerenti, aventi la stessa frequenza ν1 = ν2 , in un punto P. SOLUZIONE L’incoerenza è dovuta ad una differenza di fase Φ(t) variabile nel tempo in modo casuale: ( ξ1 = ξ01 sin (ωt − kr1 − φ (t)) ξ2 = ξ02 sin (ωt − kr2 ) δ = kr1 − kr2 + φ(t) 2 2 ξ02 = ξ01 + ξ02 + 2ξ01 ξ02 cos [k (r1 − r2 ) + φ (t)] Poichè ξ02 cambia con t, ne faccio il valor medio nel tempo. A causa delle variazioni casuali Φ(t) anche la differenza di fase δ varia in modo casuale. 2 + ξ2 . Ne segue che il valor medio nel tempo di cos δ è 0 e che: ξ02 = ξ01 02 2 2 Perciò I = I1 + I2 , non osservo cambiamenti di I con la posizione di P, come succede per l’interferenza di due sorgenti coerenti. Per sorgenti coerenti infatti cos δ è costante nel tempo e dipende solo dalla posizione del punto P. 4 ESERCIZIO 4 Dimostrare che un raggio di luce incidente su una lastra di vetro a facce piane parallele di spessore t emerge dalla faccia opposta parallelamente alla direzione iniziale ma spostata trasversalmentre. Si dimostri che per piccoli valori di θ (angolo di incidenza) lo spostamento vale x=t · θ · (n − 1)/(n) dove θ è espresso in radianti. Si calcoli lo spostamento x per θ = 10◦ , t = 1 cm e vetro crown (n=1,52). SOLUZIONE Quando le facce della lastra sono parallele il raggio incidente e il raggio emergente risultano paralleli tra loro. Infatti l’angolo di rifrazione nel passaggio aria-lastra è alterno interno e quindi uguale all’angolo di incidenza nel passaggio lastra-aria. Per la legge di Snell essendo n sin θ = costante nel passaggio da un mezzo all’altro risulterà: 1 · sin θi = n · sin θr = n · sin θi0 = 1 · sin θr0 Quindi l’angolo θi di incidenza e l’angolo θr0 con cui il raggio emerge dalla lastra sono uguali. Con riferimento al disegno osservo inoltre che α = AP̂ B = H B̂C in quando angoli formati da rette a due a due perpendicolari tra loro. x = BC cos α; AB = t sin α cos α t sin θ cos θ BC = AC − AB AC = 5 sin θ n sin θ = −→ sin α = sin α 1 n s 1− cos α = sin2 θ n2 BC = AC − AB = t (tan θ − tan α) sin θ n 2 1 − sinn2 θ x = BC cos θ = t sin θ − t q cos θ cos θ 1 x = t sin θ 1 − · q 2 n 1 − sinn2 θ per θ = 0 →, cos θ ∼ = 1, sin θ ≈ θ, 1 − x = tθ 1 − θ = 10◦ = sin2 θ n2 1 n ∼ =1 = tθ n−1 n 10 1, 52 − 1 π = 0, 175rad −→ x = 10−2 · 0, 175 = 0, 6µm 180 1, 52 6 ESERCIZIO 5 Una sorgente puntiforme di onde elettromagnetiche è posta nel mezzo 1 (con n1 = indice di rifrazione) nel punto A a distanza d1 dal piano Σ di interfaccia con il mezzo 2 di indice di rifrazione n2 . Si consideri un punto B a distanza d2 da Σ. Mostrare che fra i possibili raggi congiungenti A e B quello per cui è minimo il tempo di percorrenza tp verifica la legge di Snell. SOLUZIONE Nei materiali omogenei e isotropi la traiettoria che rende minimo il tempo di percorrenza è quella a minima lunghezza (retta), tp corrisponde al tempo per percorrere la spezzata ACB: tp = AC = CB = CB AC CB AC + = n1 + n2 v1 v2 c c q d21 + x2 q (d − x)2 + d22 q 1 = n1 d21 + x2 + n2 (d − x)2 + d2 c tP = q cerco il minimo rispetto a x, derivando e poi uguagliando a zero: dtp 1 n1 x n2 (d − x) =0 = q −q dx c d21 + x2 (d − x)2 + d22 √ x d21 +x2 d−x (d−x)2 +d22 p dt 1 p = [n1 sin θi − n2 sin θr ] = 0 = sin θr dx c = sin θi n1 sin θ1 = n2 sin θr 7 ESERCIZIO 6 Il rifrattometro di Pulfrich serve a determinare l’indice di rifrazione di un liquido n, se n < nvetro del prisma. Un prisma retto di vetro a grande n (np = 1, 6) ha una faccia orizzontale su cui è posata una vaschetta di vetro contenente un liquido con n ignoto. Un pennello di luce radente AO incide nel liquido; l’angolo del raggio PQ uscente dalla faccia verticale del prisma è β = 63◦ . Calcolare l’indice n di rifrazione del liquido. SOLUZIONE All’interfaccia liquido-vetro (punto O): π n sin = np sin θr 2 All’interfaccia vetro-aria (punto P): π np sin( − θr ) = np cos θr = naria sin β = sin β 2 8 ( n = np sin θr np cos θr = sin β ( √ n = np 1 − cos2 θr β cos θr = sin np v u u sin2 β q 2 = np − sin2 β = 1, 36 n = np t1 − 2 np 9 ESERCIZIO 7 Una lastra di materiale trasparente di indice di rifrazione n3 = 1, 6 è ricoperta uniformemente da uno strato sottile di vernice trasparente (n2 =1,26) di spessore d. Un fascio di luce monocromatico con λ0 = 6000Ȧ (nel vuoto) incide normalmente sulla lastra provenendo dall’aria (n1 =1). Calcolare i possibili spessori d di vernice da applicare alla lastra per ridurre al minimo la luce riflessa. SOLUZIONE Per incidenza normale: E00 = E0 2n1 n1 − n2 ; E0r = E0 n1 + n2 n1 + n2 riflessione aria/vernica: n1 − n2 n1 + n2 ma n2 > n1 quindi si avrà uno sfasamento di π Trasmissione nella vernice: l’onda è in fase, per un percorso d → sfasamento δ1 Erif lesso = E0 c 1 n λ0 = =n→ = λ v λ λ0 2π 2π δ1 = d= n2 d λ λ0 λ0 = cν; λ = vν; Riflessione vernice-vetro: se ho n3 > n2 ho un altro sfasamento di π il percorso nella vernice sarà δ2 = 2π n2 d λ0 Lo sfasamento complessivo dell’onda che è stata trasmessa rispetto all’onda riflessa dalla vernice sarà: 2π 4π δ = δ 1 + δ 2 = 2 n2 d = n2 d λ0 λ0 10 Per eliminare la riflessione è necessaria un’interferenza distruttiva: δ = (2m + 1)π → (2m + 1)π = 11 (2m + 1)λ0 4π n2 d → d = λ0 4n2