x - DSEMS

Corso di Economia
Applicata
a.a. 2007-08
4° lezione
Sommario
Analisi normativa
„
–
–
„
teoremi di Atkinson e Shorrocks
indice di Atkinson
Approccio assiomatico e misure sintetiche
2
1
Teorema di Atkinson
„
Il teorema di Atkinson (1970) ci informa su una possibile
relazione tra disuguaglianza e benessere
„
Esso mostra come, con l’unica restrizione di una funzione di
utilità monotona crescente e strettamente concava (Æ individui
con preferenze monotone e avversi al rischio) il confronto tra
due distribuzioni con media uguale assegnerà una preferenza in
termini di benessere alla distribuzione dominante secondo il
criterio di Lorenz (e viceversa)
3
cont.
„
Teorema di Atkinson (1970)
Atkinson assume una SWF additiva, separabile e simmetrica
(il criterio di scelta sociale si basa su una SWF di tipo utilitaristico, e il
benessere sociale è definito in termini di media):
z
WF = ∫ U (x) f (x) dx .
0
„
Per qualsiasi dimensione della popolazione, siano H(x) e G(x) due
distribuzioni dei redditi con media uguale, µH = µG :
LH (p) ≥ LG (p) , ∀ p ∈ [0,1] , se e solo se WH ≥ WG ,
con U′ (x)> 0, U′′ (x) < 0, ∀x > 0.
4
2
cont.
„
W riflette un’avversione della società nei confronti della
disuguaglianza che si rivela essere nient’altro che una perdita
di benessere
„
Nel caso di intersezioni tra curve di Lorenz sarà sempre
possibile trovare due funzioni U, entrambe non decrescenti e
strettamente concave, tramite cui l’ordinamento delle
distribuzioni sarà differente
„
Un corollario del teorema ci dice che se la distribuzione che
domina in senso di Lorenz ha anche un reddito medio
superiore, il teorema rimane valido
5
cont.
N
„
Es. : nel discreto, per una generica W = ∑U(xi )
i =1
i
xi
yi
pi= i/N
1
10
30
0,167 0,033 0,100
2
20
32
0,333 0,100 0,207
3
30
38
4
40
45
0,667 0,333 0,483
5
60
55
0,833 0,533 0,667
6
140
100
0,5
1
qix
qi y
0,200 0,333
1
1
6
3
Funzione di Lorenz Generalizzata
„
Data una distribuzione F è possibile definire la funzione
di Lorenz Generalizzata:
y
y
0
0
p = F(y) = ∫ f ( x) dx → GLX ( p ) = ∫ xf ( x) dx =
Æ
µXLX ( p) .
essa è data dal prodotto del reddito medio della distribuzione per
i valori ordinari della curva di Lorenz
Æ curva di Lorenz: le ordinate sono le quote di reddito cumulate per
quote di popolazione crescente
Æ curva di Lorenz generalizzata: le ordinate sono l’ammontare di
reddito cumulato - espresso in termini procapite dell’intera
popolazione - per quote di popolazione crescente
Æ
GL (0) = 0 ; GL (1) = µ .
7
cont.
„
Nel discreto,
n
GL(
∑x
n
) = i =1
P
P
i
, 1≤ n≤ P
,
dove i = 1, … , P, è il rank di ogni unità nella distribuzione ordinata,
P è la dimensione della popolazione,
xi è il reddito dell’i-esima osservazione e
n
∑ x è il reddito cumulato fino all’n-esima osservazione .
i =1
i
8
4
cont.
9
cont.
Il criterio di Lorenz Generalizzato riflette non solo
considerazioni di equità, ma anche di efficienza
„
Definizione
Si considerino due distribuzioni x e y descritte tramite,
rispettivamente, le distribuzioni cumulate F e G.
F è dominata nel senso di Lorenz generalizzato da G
se
GLF (p) ≤ GLG (p) ∀ p ∈[0,1]
e
GLF ≠ GLG .
10
5
Teorema di Shorrocks
Teorema di Shorrocks (1983)
„
Per ogni dimensione della popolazione, siano H(x) e G(x) due
distribuzioni dei redditi
GLH (p) ≥ GLG (p) , ∀ p ∈ [0,1] , se e solo se WH ≥ WG ,
con U′ (x)> 0, U′′ (x) < 0, ∀x > 0.
„
„
Nel caso di fallimento nel criterio di ordinamento del teorema di
Atkinson, il teorema di Shorrocks ci fornisce un altro strumento utile
per verificare, nel caso, una welfare comparison inequivocabile
Nel caso che il teorema di Atkinson fornisca risultati inequivocabili,
l’uso di L e GL fornisce la stessa informazione
11
cont.
„
Second Order Stochastic Dominance Brazil 1990-1995: Generalized Lorenz Curves
Fonte: Ferreira and Litchfield, 1999, "Inequality, Poverty and Welfare, Brazil 1981-1995".
London School of Economics Mimeograph.
12
6
Criteri di dominanza (stocastica)
„
„
Si procede ad un ordinamento delle distribuzioni partendo dalle
caratteristiche delle preferenze individuali
Vi possono essere diversi ordini di dominanza stocastica a seconda
dei vincoli che sono imposti alle preferenze
Es.:
un agente deve scegliere tra due prospetti, A e B, con risultati
espressi tramite variabili casuali, rispettivamente X e Y;
un individuo razionale con preferenze monotone sceglierà il
prospetto, e quindi la variabile casuale, che massimizza la sua
utilità attesa: sia essa X
Æ X domina stocasticamente Y
Dominanza (stocastica) del secondo ordine
– si prendono in considerazione individui con preferenze monotone
e avversi al rischio
13
Second Order Distributional Dominance
„
SODD
una distribuzione cumulata H domina una distribuzione G se è
preferita da tutti gli individui con funzioni di utilità crescenti e
concave.
Ciò si verifica se e solo se
y
∫ [ G (x) - H (x) ] dx ≥ 0 , per ogni y ,
0
con disuguaglianza stretta per almeno un valore di y.
Æ
Se così fosse, si dimostra che GLH (p) ≥ GLG (p)
e quindi H è superiore in termini di benessere a G (e viceversa)
14
7
cont.
(xH | wx ) = ( 800, 1400, 2000, 2500 | 1, 2, 1,5, 3,5 ).
„
Il vettore dei pesi, normalizzati
e cumulati, è:
wx = (0,125, 0,375, 0,5625, 1).
„
Graficamente, G può trovarsi al
di sotto di H, ma la differenza
tra l’area sottostante G e quella
sottostante H deve rimanere
positiva
1
p
0,5625
0,375
0,125
G
H
800
1400
2000
2500
x
15
cont.
„
FODD?
„
In questo caso, la sola caratteristica delle preferenze
considerata è quella della monotonicità
Una distribuzione cumulata H domina una distribuzione G
se è preferita da tutti gli individui che hanno preferenze
monotone (funzioni di utilità crescenti).
Ciò si verifica se e solo se
G (x) - H (x) ≥ 0 , con > 0 per almeno un valore di x.
16
8
cont.
„ Esempio FODD
„ FODD Æ SODD,
ma non viceversa
p
1
0,5625
0,375
0,125
G
H
800
1400
2000
2500
x
17
Indice di Atkinson (1970)
„
E’ costruito a partire da una SWF con le seguenti caratteristiche:
Ui = U , ∀i ; U′ (x)> 0, U′′ (x) < 0, ∀x > 0 ; assenza di altruismo;
rispetto degli assiomi di S, SI, PP e PT
„
Confronta il reddito medio effettivo con il reddito equivalente
equidistribuito, xe
Æ xe è il reddito pro-capite che, se fosse percepito in eguale misura
da tutti, garantirebbe lo stesso benessere sociale totale prodotto dai
redditi effettivi
18
9
cont.
„
L’indice di Atkinson è definito come scostamento percentuale di xe dal
reddito medio della distribuzione originale
A=
µ − xe
x
=1− e
µ
µ
,
Æ A ∈ [0,1).
– ad es., uno scostamento del 10% significa che il 90% del reddito
complessivo, se equidistribuito, permetterebbe di raggiungere lo stesso
livello di benessere sociale della distribuzione originale (quella con presenza
di disuguaglianza)
– alternativamente, potremmo dire che attuando politiche redistributive a
partire dalla distribuzione originale, si potrebbe ottenere un guadagno pari
ad un aumento del 10% del reddito complessivo
19
cont.
„
Analogia con la teoria delle decisioni in condizioni di incertezza
E [ U (x) ] = U (xe).
„
Inoltre possiamo definire
C = µ – xe (per hp. di concavità > 0) ,
come il reddito pro-capite che potrebbe essere sacrificato senza perdita
di benessere se il resto fosse equidistribuito
„
Per una popolazione di dimensione N
NC = N ( µ – xe )
Æ
A = NC / N µ = 1 - xe / µ.
Æ NC è il “costo” totale della disuguaglianza
Æ minore xe , maggiore l’avversione alla disuguaglianza, maggiore il
suo costo
20
10
cont.
21
cont.
„
Nel discreto sia
N
W = ∑U(xi ) .
i =1
„
„
„
Sappiamo che con U crescenti e concave, W esprime una
avversione alla disuguaglianza
Siamo interessati a catturare il grado di tale avversione e già
sappiamo che esso dipende dalla forma della U (la sua concavità)
L’elasticità dell’utilità marginale del reddito (la sua riduzione
percentuale in ragione dell’aumento dell’1% di reddito x) è una
possibile misura:
x U ''(x)
.
eU '(x),x = −
U '(x)
22
11
cont.
„
Più elevato il valore dell’elasticità (in valore assoluto), più elevato il
grado di concavità della U
„
Si confrontino due possibili U crescenti e concave, siano esse U e U
„
Si può dimostrare che l’indicazione fornita dalle rispettive elasticità, ∀ x,
del grado di avversione alla disuguaglianza è lo stesso fornito dai
rispettivi valori di xe
^
e
„
^
U '( x ) , x
^
> e U ' ( x ), x ⇔ x e < x e .
Per far sì che l’indice di Atkinson rispetti l’assioma di SI, sia cioè un
indice relativo, è necessario adottare una particolare forma della U, una
U ad elasticità costante. Tale U è …
23
cont.
x1−ε
1− ε
„
U(x) = a + b
„
U(x) = a + b ln x , se ε = 1,
„
dove a e b > 0 sono costanti, e b > 0 .
„
In tal caso e U '(x), x = −
, se ε ≠ 1, ε ≥ 0; oppure
x U ''( x )
=ε .
U '( x )
Æ la riduzione percentuale della U’ , in ragione dell’aumento dell’1%
di reddito x, è costante per qualunque livello di reddito
Æ ora ε misura il grado di avversione relativo alla disuguaglianza; per
ogni dato valore di ε , esso è costante
24
12
cont.
Aε = 1 −
11
µ  N
N
∑
i =1

y i1− ε 

1
1− ε
, per ε ≠ 1.
Riassumendo:
„ ε è un parametro di (relative) inequality aversion;
„ 0<ε<∞
„ Se ε Æ 0 siamo sempre più inequality neutral; più alto il valore di ε,
più alta è l’avversione; per ε Æ ∞ abbiamo preferenze sociali alla
Rawls
„ Aε ∈ [0,1) , se pari a 0 i redditi sono equidistribuiti
„ Non è additively decomposable
25
cont.
Elementi fondamentali
1.
qual è il grado di avversione relativo alla disuguaglianza da
utilizzare nelle analisi empiriche (qual è il valore da assegnare a ε,
parametro essenzialmente normativo)?
Æ altresì, qual è il grado di curvatura della SWF?
2.
qual è il trade-off che la collettività è disposta a tollerare tra equità
e "spreco di risorse“?
26
13
Indici sintetici e assiomi
V
CV
Lorenz*
G
Eα
S
Sì
Sì
Sì
Sì
Sì
SI
No*
Sì
Sì
Sì
Sì
PP
Sì
Sì
Sì
Sì
Sì
PT
Sì*
Sì
Sì
Sì*
Sì*
Add.
Decomp.
Sì
No
No
No*
Si*
27
Criterio di Lorenz, Assiomi e indici sintetici
„ Se la curva di Lorenz per la distribuzione x domina
la curva di Lorenz relativa alla distribuzione y, allora
tutte gli indici sintetici che rispettano gli assiomi di
S, SI, PP e PT indicheranno che I(x) < I(y)
„ Questi indici sono detti Lorenz-consistent
28
14
Analisi Empirica: esempi
0,4
0,35
0,3
gini y1
gini y2
0,25
dev. log. media y1
0,2
dev. log. media y2
0,15
Atkinson y1
0,1
Atkinson y2
0,05
2002
2000
1998
1995
1993
1991
1989
1987
1986
1984
1983
1982
1981
1980
1979
1978
0
1977
ƒ Unità d’analisi:
individuo
ƒ Unità di riferimento per la
valutazione del
benessere
economico:
famiglia
ƒ Variabile economica:
reddito netto familiare
equivalente
ƒ Scala di equivalenza:
ISE
ƒ Indici usati:
G, deviazione logaritmica
media, Atkinson (con ε = 0,5)
y1: reddito al netto dei redditi da attività finanziarie
y2: reddito al lordo dei redditi da attività finanziarie
Fonte: Elaborazioni su dati BdI di S. Toso
29
cont.
Fonte:
Baldini (2002), La distribuzione personale del reddito in Italia negli ultimi 25 anni, Rapporto di Previsione Prometeia, giugno.
30
15
cont.
Cumulative % of World HD
100
0
100
Cumulative % of Countries
Equality
1960
1970
1980
1990
2000
Fonte: McGillivray, International Inequality in Human Development, United Nations University - WIDER
31
cont.
Confronti tra curve di Lorenz per distribuzioni dei redditi al netto dell’IRPEF, 2005 vs. 2002
Fonte: dell’autore su dati Banca d’Italia e ITAXMOD.
end
the
32
16