Tassi Medi Annui e tempi di raddoppio della Popolazione

Tassi medii annui di variazione della popolazione
Misura della variazione della popolazione. Se
P0 è l’ammontare della popolazione ad inizio dell’intervallo di
osservazione, e Pt quello alla fine dell’intervallo di tempo t, Pt  P0  V sarà la misura della variazione
della popolazione.
Questa misura, però, è sensibile alle dimensioni delle popolazioni e quindi non risulta comparabile nel
tempo e nello spazio. Per ovviare a tale inconveniente, è possibile eliminare l’ordine di grandezza delle
popolazioni riferendosi ad una delle due popolazioni in oggetto, per esempio quella iniziale, dividendo tutto
per
P0 , quindi, si avrà:
Pt  P0
 Vr
P0
Questa misura esprime quante unità variano per ogni unità presente all’inizio dell’intervallo (spesso si
moltiplica x 1000).
Se, però, si vuole comparare popolazioni ad intervalli diversi, bisogna creare una misura standardizzata
rispetto alla dimensione dell’intervallo stesso. Pertanto, si può costruire il seguente indicatore dividendo
Vr
, si avrà, perciò, il tasso medio annuo di variazione della popolazione, che esprime quante unità variano
t
P  P0
mediamente in un anno per ogni unità presente all’inizio dell’intervallo: t
r
P0 * t
Questo tasso r si esprime in ‰, ed assume il nome di tasso aritmetico, perché rappresenta la media
aritmetica degli eventuali tassi annuali all’interno dell’intervallo.
In questo tasso l’interesse maturato dalla popolazione viene contabilizzato alla fine del periodo
indipendentemente dalla sua dimensione.
Se, però come apparirebbe più logico, soprattutto in presenza di intervalli molto ampi, si volesse
contabilizzare l’interesse maturato dalla popolazione alla fine di ogni anno, si avrà:
P1  P0  rP0
P1  P0 (1  r )
P2  P1 (1  r )  P0 (1  r )(1  r )
P3  P2 (1  r )  P0 (1  r )(1  r )(1  r )
..
t

volte

Pt  P0 (1  r ).....(1  r )  Pt  P0 (1  r ) t
Pt
P
P
 (1  r ) t  t t  (1  r )  r  t t  1
P0
P0
P0
Quest’ultimo tasso assume la denominazione di tasso medio annuo di variazione geometrico, perché
rappresenta la media geometrica dei tassi annuali all’interno dell’intervallo 0-t, ovvero come se la
popolazione seguisse la legge di sviluppo geometrico già utilizzata da Malthus.
Se si volesse, invece, capitalizzare l’interesse in maniera continua, la legge che sottoitende allo sviluppo della
popolazione è legato alla seguente relazione:
Pt  P0 e rt dove, si rammenterà, P0 è la popolazione iniziale, Pt
è la popolazione a fine periodo di osservazione, con e=2,718….. che rappresenta la base dei logaritmi
neperiani e t che indica il tempo di durata dell’intervallo di osservazione 0-t = t ed r il valore del tasso medio
annuo di variazione della popolazione.
Pt
 e rt ; da cui, passando ai logaritmi per ambo i membri
P0
Pt
P
 log e e rt ; ma, dato che log e e  1 , si avrà: log e t  e rt da cui è molto
dell’equivalenza si avrà: log e
P0
P0
P
log e t
P0
semplice ricavare il valore del tasso: r 
t
Da questa relazione è semplice ricavare che:
Questo tasso assume la denominazione di tasso medio annuo di variazione esponenziale (o continuo)
proprio perché la popolazione segue la legge di sviluppo esponenziale e rappresenta la capitalizzazione
continua (istantanea) dell’interesse maturato dalla popolazione nell’intervallo 0-t.
Tempi di raddoppio e di dimezzamento
Si parte dal calcolo del tasso medio annuo di variazione della popolazione secondo la legge continua, che si
ricorda essere legato alla seguente relazione:
Pt  P0 e rt dove, si rammenterà, P0 è la popolazione iniziale, Pt
è la popolazione a fine periodo di osservazione, con e=2,718….. che rappresenta la base dei logaritmi
neperiani e t che indica il tempo di durata dell’intervallo di osservazione 0-t = t ed r il valore del tasso medio
annuo di variazione della popolazione.
Pt
 e rt ; da cui, passando ai logaritmi per ambo i membri
P0
P
P
rt
rt
dell’equivalenza si avrà: log e t  log e e ; ma, dato che log e e  1 , si avrà: log e t  e
P0
P0
P
log e t
P0
Adesso, molto semplicemente si possono ricavare le seguenti relazioni: r 
ed, indifferentemente,
t
P
log e t
P0
. Proprio quest’ultima relazione indica (definisce) il tempo necessario affinché P0 raggiunga il
t
r
P
valore di Pt ad un tasso r conosciuto. Ora, appare evidente che se impongo al rapporto t  2 , quella t
P0
indicherà il tempo in cui Pt raggiunge il valore di P0 pari a 2 volte, cioè il suo raddoppio, che sarà, quindi:
Da questa relazione è semplice ricavare che:
log e 2
log e 3
. Ovviamente se faccio t 
avrò il tempo necessario affinché P0 si triplichi o se faccio
r
r
log e 4
, sarà quello necessario affinché si quadruplichi, ecc., ecc..
t
r
t
Naturalmente, se il tasso medio annuo di variazione sarà negativo la popolazione non cresce ma decresce,
pertanto il risultato esprimerà il tempo necessario affinché P0 si dimezzi, ovvero
Pt 1
 .
P0 2
1
 0,693147 .
2
Un’ultima, interessante, esemplificazione: visto il valore di log e 2  0,693147 , è approssimabile a 0,7. Per
70
avere immediatamente disponibile il tempo di raddoppio t, un tasso r sarà facile calcolare: t 
, oppure
r%
700
t
Piccola tabellina di equivalenze per meglio comprendere alcune relazioni che riguardano i
r‰
Infatti, non a caso, il
log e 2  0,693147 , mentre log e
logaritmi neperiani e decimali
Valore a
1
2
3
4
5
10
log e a
0,000000
0,693147
1,098612
1,386294
1,609438
2,302585
log e
1
a
0,000000
-0,693147
-1,098612
-1,386294
-1,609438
-2,302585
Log10  a
0,000000
0,301030
0,477121
0,602060
0,698970
1,000000
Log10
1
a
0,000000
-0,301030
-0,477121
-0,602060
-0,698970
-1,000000