Soluzione fila B sezione B

B
1. Un punto materiale si muove lungo una circonferenza di raggio 20 cm con frequenza 5,0 Hz. Calcola la velocità
tangenziale, l’accelerazione centripeta e il numero di giri completi compiuti in 20 s.
r = 20 cm = 0,2 m
f = 5,0 Hz
∆ t = 20 s
v?
v = 2π r f =
Calcolo innanzi tutto la velocità tangenziale secondo la formula:
a?
N?
6,28 m / s
v 2 ( 2π r f )2
=
= 4 π 2 r f 2 = 197,39 m / s 2
r
r
L’accelerazione centripeta vale:
a=
Per determinare il numero di giri
N = f ⋅ ∆ t = 100 giri
2. Un vecchio disco in vinile ha una circonferenza di 53 cm e contiene una canzone di durata pari a 3,0 min. Per ascoltarla,
il disco deve compiere 135 giri. Calcola il modulo della velocità tangenziale e angolare di un punto che si trova sul bordo
della circonferenza.
2 π r = 53 cm = 0,53 m
∆ t = 3,0 min = 180 s
N = 135 giri
v?
v=
La velocità di un punto che si trova sul bordo della circonferenza è costante e si calcola come:
Siccome
∆s
∆t
N ⋅ 2π r
= 0,3975 m / s
∆t
2π
∆t
ω=
ma
T=
perciò:
T
N
2π N
ω=
= 4,71 rad / s
∆t
∆ s = N ⋅ 2π r
v=
La velocità angolare si calcola come
r
r
3. Data la coppia di vettori: a = − 4 xˆ + 2 yˆ e b = 4 xˆ + yˆ , rappresentali nel piano cartesiano, rappresenta la somma
r r r
s = a + b e determinane modulo e direzione rispetto agli assi.
Determino innanzi tutto le componenti del vettore somma:
r r r
s = a + b = − 4 xˆ + 2 yˆ + ( 4 xˆ + yˆ ) = 3 ŷ
Rappresento i vettori:
y
3
2
r
a
1
Determino il modulo del vettore somma:
r
s =
r
s
r
b
–4
x
4
r
s x2 + s y2 ovvero s = s y = 3
Dal grafico posso notare facilmente che l’angolo che il vettore forma con la direzione positiva dell’asse x è:
90°
B
r
r
r
r
r
r
4. Determina le componenti del vettore a , sapendo che s = b + a e che b = 3 xˆ + yˆ e s = 5 xˆ − 2 yˆ .
r
Sapendo che s
Cioè:
r r
r
r r r
= b + a , posso ricavare a :
a=s −b
r r r
a = s − b = 5 xˆ − 2 yˆ − ( 3 xˆ + yˆ ) = 2 xˆ − 3 yˆ
5. Uno scooter viaggia alla velocità di 45 km/h e, quando è a 25 m da un semaforo, questo diventa rosso. Il ragazzo che
guida lo scooter rallenta con un’accelerazione costante di – 2,5 m/s2. Quanto tempo impiega a fermarsi? Riesce a
fermarsi prima di oltrepassare la linea del semaforo? Quanto dovrebbe valere l’accelerazione per fermarsi sulla linea del
semaforo?
v0 = 45 km / h = 12,5 m / s
∆ s = 25 m
a1 = − 2,5 m / s 2
v = 0 m/ s
t?
s2 = 25 m
v0 = 45 km / h = 12,5 m / s
Dalla relazione:
v = v0 + a1 t
t=
ricavo il tempo:
s=
Ricavo inoltre lo spazio di frenata:
v = 0 m/ s
v 2 − v02
= 31,25 m
2 a1
t
s1 ?
a2 ?
v − v0
= 5s
a1
Lo scooter oltrepassa la linea del semaforo
Per calcolare il valore dell’accelerazione nel caso in cui lo scooter riesca a fermarsi, applico l’inversa della formula precedente:
a2 =
v 2 − v02
= − 3,125 m / s 2
2 s2
6. Un corpo si muove lungo l’asse x con legge oraria s = t 2 + 3 t con lo spazio s espresso in metri e il tempo t in
secondi. Determina la velocità in funzione del tempo e rappresenta tale relazione in un grafico velocità-tempo. Calcola la
distanza percorsa dal corpo in mezzo minuto e il tempo impiegato per raggiungere una velocità di 54 km/h.
s = s0 + v0 t +
Trattandosi di moto uniformemente accelerato vale la legge oraria:
v0 = 3 m / s
Perciò ricaviamo i dati:
Possiamo ricavare la velocità in funzione del tempo:
Dalla legge oraria posso ricavare lo spazio percorso in mezzo
minuto, ovvero in 30 s:
a = 2 m / s2
v = v0 + a t
15
Per raggiungere la velocità di 54 km/h, ovvero di 15 m/s,
applico la relazione della velocità, ma facendone la formula
inversa per ricavare il tempo:
3
⇒
t=
v − v0
= 6s
a
⇒
v = 3 + 2t
v
(m/s)
s = t 2 + 3 t = 990 m
v = v0 + a t
1
a t2
2
6
t (s)