di tempo e di Azimut - Osservatorio Astronomico di Brera

CONîR,IBUîI
DELL'OSSDBVATORIO ASTRONOMICO DI MILANO - MERATE
a cura alel Dilgttoro
XUOYÀ
Prof. FRA.NCESCO ZAGAR
SENIE
E. PROVX]RRIO -
I.
N. 24ó
MARTINENGITI
Programmi di riduzione su calcolatore
elettronico delle osservazioni astronomiche
di tempo e di Azimut
E8hatto cla
Oal,col,o
Yol. 2, l^Ec. 4 (Ottobre-Dicembre 1965)
INAC - PiMzàle dolle Scieùze 7 - Roùa
CSCE - Piùzza,le Tolricelìi 2 - Pisiì
AICA - Pia,zzale dello Soionzo - Roma
CONîhIBUTI
DEITIT'OSSERV,A,TORIO ASTRONOMICO
NUOV^
DI
MILANO - MERÀ.TE
& cula del DiÌottoro
Prof. FRANCESCO ZAGAR
SEnrÉ
E. PROVER,BIO -
I,
N. 24ó
MARîINENGIII
Programmi di riduzione su calcolatore
elettronico delle osservazioni astronomiche
di tempo e di Azimut
Estratto alÀ Cal,colo Yol. 2, faao. 4 (Ottobre-Dioembre 1965)
-
7 - Romrù
CSCE - Piazzale Torricelli 2 - Pisa
AICA - Piazzrùle delÌe Scienzo - Romn
INA.C
Piozzale delìe Scienze
Sezlone ll.
PROGR,AMMI DI RIDUZIONE
SU OAIIOOLATOIìE ELETTR,ONIOO
DEII/D OSSIIR,VAZIONI ASTRONOMIOEE
Dr TEMPO n Dr AZTMUT e)
E, PnovERBro . L,. I\I!.nTrNENcEr
(Osservatorio AshonoDìioo
di Brera,
MilaÈo)
Ass'rl.^cî - ID ihis pal)er r! progÌam is d€scriùoal for tlìe rednction of llìe astrononrical
iim6 alral a,zirìlùth obssrvetioDs. The program is baseal on trlìo Maye/s formula ancl
allo\ls a separate conìputatiotr of tlìo olock coùection aDd iDstfluetrtal azimuth. Ar
regarals this last q[antity the program foresoos three intgrssting proceilures for tho
utilizatioù of e&ch observ€al azi[ìnth utilising polnr or eqnatorial stars. tresid6s by
Deane of this progmm is possiblo to utilisg 1h6 v:rlùes of tb€ tim6 transit obt:rined
by a totalizetor chronograph. 'Ibo yarious approxinìatiotrB intloalDced in ìh6 program
ars aliscussoal, p[tting iI1 ovid€Dco l]ro great aconràcy of tho progrtm.
1. Posiziono ilol problenrn.
1.1. Il problema della riduzione deÌle osservazioni astronomiche in meridiano per la determinazione del tempo e delltazimut strunentale può sembrare a prima vista poco adatto ad essere risolto mediante calcolatore elettronico ali media potenza. Esso è camtterizzato infatti da un noteyole l]umero tli dati di osservazione e da una certa complessità, dal punto di vistà
logico, per il susseguiÌsi e I'iììtrecciarsi di numerose istruzioni di controÌlo.
Dtaltra parte se si tiene presente il consnmo effettivo {ìi ten:po che richierle
il calcolo manuale di riduzione di uu gruppo di stelle orarie e polari (in
media 25 stelle), spesso effettuato in ttoppio per eliminare gli eventuali errori, si vede come Ìtesigenza tìi programmare questi calcoli sia senza dubbio
giustiflcata, a conclizione che il programma, stesso risulti veramente completo
(*) RicoYuto
il
12-9-65,
382
D. PRoyERBro - L.
IIARTINENGuT
I
Pr.ogt atn
ú
dd |iduzío ,a su
nel senso sia di prevedete e dsolvere interamente tutúe le opera,zioDi ed i
calcoli di riduzione, si& di permettere il calcolo successivo di pirì gruppi rli
stelle mediatrte la semplice introduziore di pochi dati codilìca.ti.
A queste ultime esigenze pone rìna, naturale limitazione soìo la. capacita
del calcolatore impiegato, nel nostro caso un IBM 1620 a, nastro.
Le formule usate per il calcolo di ridùzione delltazimut struuentale /r
meiliante osservazione di stelle circumpolari (indice zero) e di stelle orarie
(indice d) e, successivarnente, della correzione /? osservata dalltoroÌogio, sono
state in questo lavoro tìetlotte dalla ben nota formula ili Mayer.
Tenentlo conto che l,orologio a quarzo impiegato è gener&lmente un
orologio a tempo metlio ecl introducendo le correzioni a corto petiodo delta
lutazione in a, tali formule assurnono cotì slfficiente apptossima,zione la,
forma
(1)
:
(co
- K):
-a) (1 - B) + A (secóo - secó, - (ioIo-iiIí)(To
- f i) + r' C ATo - / C ATr + rle \Dq - De;) J rtrp (Dy, - DVt\ ;
(2) /7':(ai- Ò +,1)(1 B)- ?;]_,{ secd;{ drp Dy;} cte De5
/
caTi,
-úri._koKí+
In esse sono cotrtenuti quattro tìiversi tipi di quantità costenúi o va-
ic' (L0
riabili, e
Drecisamente
:
(à,) costtt)ttí Íond.amentali
),
l-B-
:
-
2205..8309 (longiturliDe convenzionale
(b) 1nri,a,bil,í
rle,
Brera)
;
0.097 269 566 44 (compleluento alÌ'rnita, della ridnzione
sitlerale per 24à ili î.S.) ;
tr,z:10,r
d
?
a
ù
tli
20d
i,n,
(valori possibili delltr, costante del totalizzaf,orc\.
rtawione del, tem.po e dùti d,í
(ircliuazioue strurueutale riilotta in
otset uazione
c) ;
(istante del passaggio osservato in h,, m, s\;
(ascensione
retta appareute caÌcolata delte stelle it lt, ttt, s\;
(ternpo siderale 0À T.U. del giorno)
dg-,
;
(tennini a corto periodo tlella nutazione).
calcol&lot'e a,ettÌottdco d'clle oetcroazíoní aah'ottotttíche ilí temPo e d't
q'tituut'
383
(c\ aar'íabild stetlari'
r:
f:
.D,p
:
D"
:
sin (q
S
ó) sec
ó, (coefrcierte di
cos (q
+
ó) seo
ó, (coefficiente
,
*a {"os
+cos
f
sin a tang d sin
a úang ò,
e),
azimutr
inclinazione
-
culm' inf')t
culm' inf');
(coefflcienti dei termini a corto periodo
delle nutazione);
.4 sec ó, (correziole per Ìtaberrazione diurna e
/
f
culm' sup', f
oulm' eup't
pel gli errori micrometrici)
I
CAT, (conezione tla apportare alla posizione apparente delle stelle per la
ritluzione atl un altro catalogo) ;
cos
ó
(quantità da utilizzarsi media,nte un eventuale sotto programme per
il calcolo dei Pesi).
1.2. fNTBoDUzroNE DEr D-A.'rr. Lre costanti fonalamentali souo conten[te
nel prograùrma di riduzione che prevede la memorizzazione iniziale da macchina tla scdvere (TW) ilelle seguenti quaÌtità, :
mobile (11];
- Data fin virgola
giuliani (J.D.) [in virgola fissa (/o)] ;
- Daúa in giorni
gruppo di osservazione (/tr);
- Numero indice tlel
intlice tlel cata,logo di osservazione (/o) ;
- Numero
ammesso per gli scarti di & (l) ;
- nRK: limite massimo
:
ammesso per gti scarti di lT (f');
- nRB limite massimo
numelo totale alelle stelle (ora,rio e polad) che entmno in èlabo'
- -l[-ll: razione,
le variabili stellari pleventiyamente calcolate e perforate su nestro di anno in atrno per mezzo di
un programma e, parte (RID 1), quindi tla t'I\r ed in ortline crescente: il
ntlmero convenzionale MII (/r) della stella (numero macchina)r accompagnato
dalle tre variabili ir ? a, e tlal valore jlf?, espresso in codice macchina"
d.ella costante r del totalizztÌtore (tale Yalole può essere uguale a 1 oppure
a 2 a secotrala, che risuìti t:10' oppure t:20'\i ciò plosegue fino ad
esaurimento alelle stelle tlel gruppo. Inffne vengono inho'lotter sempre da
?l[, le ltime tre varirlbiÌi b dq dy (/r)' seg[ite dal numero 'NP (/r) delle
SuccessiYamente vengono introtlotte da nastro
384
E. PBovlrBBro - L,
MarìTrNeNcHr't Progtdmmì Aó údupíone sr,
polari corltenuto nel gruppo e dal numero dtortline
di
eDitrata
Mp (/r) dello
stesse polad.
Il numero macchira che inalividua ciascnna stelll del ptogramma di
osservazione (12 gruppi stellari) viene ovviamente a caraúterizzars anche
ciascun gruppo di variabili stellari. Al frne di individuare il tipo di stella,
alltultima cifre del numero macchina tli ciascuna stella è stato attribuito
un parficolare significato stabilito dat seguente cotlice:
axÍra
si'gni'f'aato
0
1
Z
B
4
5
6
stella ora,ria
culm. srlp.
X',ùf4,
steìla oircumpolare
1(4,
culm, sup.
stella oraria effem. russe, culm. sup.
stella circumpolare efem. russe, culm. sup.
stella,
<<
interc&lare >
stella equatoriale
stella di
< caúalogo
>>
7
stella polare effem. russe, culm. iuf.
stella polare nK4, culm. inf.
8
I
Tenendo conto della ca,pacità, ilel ca,lcola,tote (90.000 posizioni di memo_
ria) e del fatto che le variabili stellari ed i dati cli osservazione di ciascutra
stella, occrpano oirca 150 posizioni di rnemoria del calcolatore, le possibilita
di caÌcolo sono limitate al calcolo successivo di tre gruppi stellari composti
al pirì di 35 stelle, le rimanenti oircÈ 5.000 posizioni di memorja essendo
predisposte per le necessità tli programnazione.
2.
II
pl.ogr'emm&
ili
riduziono dello ossorvnzioni,
2.1. I sorîopRocRAMMt. Ltorga,nigramma a blocchi di úg. 1 e fig. 2
fornisce un,idea generale della logica del programma predisposto per i calcoli
di riduzione. I simboli in eseo introdotti hanno il seguente signifioato:
lfP : numero delle stelle polari,
lf0: numero delÌe stelle orarie,
f: indice di numeraziono delle
polari,
calcolatol'a eleth'otti,co d,ella ooserl)&ríoùi ústrcùo tÍclLo dó telrn$D o dí
apintut,
J: indice di numerazione delle orarie,
Ki, j: azimtf, ilella stellfl orarin d relatíya alla polare i,
lTi,i: ssvvsairre orologio della stella oraria i relafiva alla
Il
38ó
pola,r'e
j,
progrnmma è costitrÌito folilaurentalmente da quattro sottoprogranìmi,
Uno per il calcolo dell'azirtrut /r,,j, un secotìrlo per il calcoìo della corre,
zione /1';,i, relativi a ciascuna stelln oraria, il terzo invece predisposto per
il calcolo delle meaue e degli scarti.
Qnest'ultimo sottoprogrammo \-ieDe rtilizzato, uetliaute appositi slaúernc[fs tli controllo, siù nel caso degti azimut k; che delle correzioni y''L';.
Dsso prevede inoltre Ia possibilità tìi scaÌtare tutti quei v?ì,lori degli azimut
e delle correzioni deÌltorologio cle per ragioÌi tliveÌse si scostino di valori
ina,ccetta.bili dal valore metlio dell,azimut o dellà con'ezioue calcolata. fn
questo caso, dopo il calcolo tlel primo valore medio, viene ripetuúo un seconclo calcolo senza tener conto tlei valori scrrtati, e solo uel caso che alla
fine gli scarti calcolati risrrltino tutti iufeliori al valore ERK (o ERT) Dîe,
disposto, il calcolo plosegue (yerso il calcolo tlí t1T1) o termina (trel caso
clre il ciclo a,vesse calcolato le correzioui 11Tj) coù la stampa dei risult&ti
medi e tlei singoli scarti.
Il quarto sottoprograùìmfl, il piÌr complesso, riguarda il calcolo degli
&zimut medi 7i; relativi ad uìa o piùr polari che vengono successivamente
rttiTizzate per la rirluzione clelle correzioni zlfi.
Ì noto infatti che dnrante il periodo tli osservazioue tli un gmppo
tli stelle clella durata tli due ore, Itazimut strumentale può snbire delle
variazioni a,ccidentali o sistematiche (rea,li o apparenti) di cui è necessario
tener couto per la riduzione rlel rneridiano. Abbiamo quincli consitlerato tre
distinte circostanze:
(o) caso in cui si rlisponga di una sola polare o (ìi tlue pollri che clistano
in temDo meno di un,ora. fn qresto secondo caso viene efettuata la
media aritmetica degli rìzimut relativi alle polari in modo tìa disporre
comrÌnque di uù lulico valore tlelltazimut strumentale.
(D) caso il cui si tlisponga tli due polari che distano in tempo uutora o
più. Yiene calcolato il valore tli:
tgq':
(3)
qJI
-
dI,
peî mezzo del quale ristrlta, detet'minato, stella per gtella) il valore cli:
(3')
ki
:
l,
rt
-
ila impiegarsi per ìa riduzione
\ar1
-
a1)
tgi,
a,l meridiano.
386
E. Prìov[nRìo - L, It{enrrnrNcrrr Pt'ogtanmí clì rid,uzíone ur,
(c) caso in cui ei disponga di tre o pirì polari. ID questtultimo càso viene
eseguit& Ìa media adtmetica degli azimut relatiyi alle polari prese a
tlue a dtre successivameDte, II programma è predisposto quintli per
eft'ettuare la riduzione al ueritliano di tutte le stelÌe con a; inferiore
ad a1r utilizzando ltaziÌnut medio relatir.o rlla I e 11 polare; delle
stelle con dr compreso tra" arr ed q,ùr \tiliznar.tTo ltazimut rnedio relativo
alla II e III poìare, e così via fino alla polare (ù.P- l).esima i per
le stelle con a, maggiore tli a,r.r-r (e quintli naggiore anche di a,yp)
la ridnzione yiene effetttata, me(ìiante uu piccolo artilìcio, utilizzando
(M- P)-esiEa,
Itazimut rnedio relàtiyo alle polari (lIP
- l).esima etl
Nel caso di piìr polari non è stata introtìotta la correzione dell'azimut
calcola,ta stella per steÌla col]le nel caso (2,), Doichè si presuppone clìe in
queste circostÀnze le polari non Dossaìo essere sepamte da intervalli mag-
giori di untora.
2.2. LlaB-ÀîîDnD panrrcolÀriD DrL pRocRÀrnra. Il programma impiegato per la ridnzione delle osservazioni astronomiche di teDpo e di azimut
richiede quinrli unicamente la courpilazione tìi un apposito modello daÌ
quale, oome si è detto, devono essere irìtrodotte cla ?ll,. le variabili in
fnuzione del tempo e i dati di osselvazione. Per quanto concerne q[este
ultime, è rìecessàr'io tener preserte le segLrenti calatteristiche :
(a) le inclinazioni stRrDentali i reÌatiÌe a citscuna steÌla yeDgono calcolate
direttamente dal quaderDo di osservazione, che riporta le letture degli
estremi -0 ed Iy della bolla della livella, mediante la, relazione I
',:
[(II'r
+
l[z)
-
(fr!
+
Ez)10',0797.
Il
temDo impiegato arl eseguire questo calcolo con un c&lcolatore elettlico è pressochè itlentico a quello net:essario per perfolnre i dati deìle
letture degli estrelDi della bolla, inoltre si eyita il pericolo di commettere errori di ricopiatura.
(D) le posizioni apparerti in a possono essere dedotte medierte interpolaziore
dalle APFS oppure calcolate mediante àDposito programma (P 002), neÌ
quale è tenuto conto dei termiri n coÌto periodo della nutazione l1], [2].
questtultimo caso è necessario rluindi porre d e: drl: 0. Va. os.
seryato inlìDe oììe Deìltintroduzione dei tlati, per asceusioli rette ma,ggiori di 24" o uel caso che risrÌÌti
Iù
-b!)"l->.a,
le ascensioni rette
stesse doyranno essere maggior&te
tli
24h.
c&lcol,e,loîa alettrot íco della oswtaazìoní asttonot úahe di' taùrl)o e di
azíntut.
387
tlel passaggio osservator espresso in T. U., è indicato, come le
ascensioni rette a,ppareDti' in ore, minnti e seconali' Ciò potrebbe costituire nna seria liuitaziore per il calcolo delÌtazinut strument&ìe (1)
nel caso che gli istanti del passaggio fossero forniti da un cronografo
gtampante totttlízzotore clìer come è noto, fornisce solo il valole del
passaggio in sec ed a Dìeno di uDa quantità, mtltipla di 203 (o 103)'
In questa, circost'&Dza per'ò, essentlo la durata tlell'osservazione tli un
gruppo al piìr di 2r, risulta sempre verificata Lì relazione (n neno degli
euori strumentali che sono in genere semple molto piccoli)
(c) IrtlstaÌite
(4)
I
(o"r
-
o"u) (1
-
B)
(
- (f;r - fr.r)
203.
NeÌ caso in cui questo test, coxtrollabile IJer mezzo di untàpposita
istruzione di controllo, noù risulti veriflcato Yengono aggiunti a
(tnp-tyò muttipli di 20" (o 103) fino a che la (4) risulti soddisfatta'
Per quanto riguarda invece iì cnlco'lo della couezione (2) la valiazione
di multipli rli 20s (o 10') nel risultato non costituisce ovYiamenúe àlcuna incertezza.
L,e costanti ed i dati variàbili e di osseîvazione devono essere espressi
da numeri semplici I il programma proYvede infatti solamente aÌ calcolo
di trasformazione in secondi tli tempo tlei numeri complessi a e ?.
S.,Lpprossimflzioni intl'oalotto nel proglamlna,'
3.1. AppRossrMAzroNr DELLE v.{RraBll-r sîELLÀ.Rr. Le approssimazioni
introtlotte nel programma, a prescinclere dalle approssimazioni di calcolo e
prendentlo come riferimento la precisione con cui sono forniti i tìai,i rìi osservazione (t 1 lns), sotro distinte essenzialmente in:
n) approssimazione (ìelle costanti fondamentalit
Ò) approssimazione delle Ìariabili stellarit
c) approssimazioni introtlotte dal programma di riduzione.
Ltapprossimazione introdotta, dalltì costante B :24h ln 55" r 00946 :
: 0.002 ?30 433 56 risulta selza tluLrbio esu'berfìnte. Nel orlcolo della ridu'
zione siderale il fattore che moltiplica 1-B risrrlta infatti al più tìi 86'400,000
s, e cioè coD un nulDelo di cifre sigrrificative inferio|e a quello con cui è
B. Lo stesso può dirsi deÌla longitutline convenzionale senza
conosciuto I
dubbio precisa a meno tli 1 rtts.
Per quanto rignarda le variabili stellari, osseÌviamo iuvece che in esse
compaiono semDre come fattori f9 ó o sec d. Nelltipotesi, peraltro largamente
sotldisfatta, che i valori tlella correzioue per ltazimut e ltinclitrlzione stru'
388
B,
PRovúRBro
' L.
MaRTTNDNGHT
I
Ptogtoùúhì
iti
t'ítl.úEdone
tú
metrtale risultiDo al più espressi'drì quattro cifre- signiBca.tiyo (< 10,) è
necessario cÌre lo Btesso numero di cifre sia flssicurato ai coefficienti, in
particoltlre à .tr ed a, L Q[esta ipotesi può ,ritetrelsi soddisfatta pefò solo
per stelle con tleclinazione inferiore a 850. Per steìle di tieclinazione più
elevata, (esclusa l)oi ìà Polaris e la 914 del catalogo FK4 yter eui sarebbe
prutlente calcolare voìta per volta i reìativi coeffìcienti) è necessario provvedere a,l calcolo periodico, e cioè tlisporre'ril calcolo di queste costanti
stellari, mediaute ltîpposito prograrnma IIID 1, per ilue o più valori delle
Dosizioni apparenti relative atì eDoche divelse durante I'aIrno,
3.2. AppRossrra.zroNr rN'r'aoDorr.Iì DÀL pnocRtlrlrÀ Dr nrDUzroNIt.
Le formrlle di riduzione rappresentate dalìa (1) e {2) non risultano formule
rigorose rispetto a,lla reltìzione tli llayer ed alla trasforuìazioue di tempo.
La formnla di Mayer rigorosamente scrittrì, infntti assuùe la forma:
T"+
lT:
rella
q.,+A
sec
ó"+ d€ré,, +rlv
Dv"-i',J,"-b
-
B (u".
"
-b
| -kK!
],"\
I,
quale,
q.c,ù:
eù+,{
sec ó,,
*
dc
De,'{
dy
Dy,,-
i,,,
\,
ove ltindice n può significare iutlifferentemeute ltiùrlice o o l,ildice i meutre
Q risulta espresso in T,U.
Tenenalo conto di queste ultime relazioni si tloya facilmelìte che ltazimut
/c e la correzione zl? espresse dalle (1) e (2) soÌo rispettivamente approssimate a meno dei termini :
(1',)
(z'.)
Ora, se si corìsidera che generaÌmeDte la differenza @", o rto assume yalori
al piìr di qualcìre decimo di secondo di tempo, meÌtre ancola più piccola,
srÌlta, essere la diferenza 6t.o- eít si può concludere che ltapprossimazione
delle (1) e (2) é seuza dubbio tale tla garantire nei risrìtrìti rn errore infe.
riore a t 03.001.
In6ne, anche le (3) e (3') Ìisultano valide solo in prima approssimazione.
Iufatti il valore corletto dellà (4) r'isulta;
k1: ky - (Ty - I)tg
a,
cal,cole,tot'e el,etlronico della ossenapiotr'i astronotttichc d'i tetnPo e d'ó
per cui lterrore masÈimo nell& deterDinaziorÌe dell'azimut
Ponendo fti: /rr r sarat
òk':-1T11Ilisultantlo ora sempre
Tu
(att-
Tr
-
Tt
-
(un
-
a;)
<
?zr
-
I',r
<
azímut'
lr1, cÌre
389
si
ha
"r\1";;=.
:
-
3600,
(
103;
72003 ,
e ponendo come ipotesi sempre largamente sodtlisfatta,
lr -kr<L03.5
in queste condizioni limite, Iterrore
si tlova aubito che, ancÌre
risulta sempre inferiore a -F 0".001'
miùssrmo
3.3. La plecedente esposizione logiua e la digcussione del programma
di riiluzione delle osservazioni astronomicLe di tempo e di azimut impiegato
presso la sezione Astrometrica delltosselvatolio di Brera, dimostra come
il programma stesso soddisfi ai reqnisiti riclìiesti alalla precisione dei calcoli
e soprattutto alla condizione che esso sostituisca il calcolatore in tntti i
calcoli, anche i più semplici, quando questa sostituzioùe corrisponda atl un
€ffettivo guadagno in tempo, fornendo contemporane&mente migliori probabilita di non comùìettere elrori di calcolo o trascrizione.
Il programma scritto in lingnaggio 1IOIìTRAN viene attualmente impiegato, come e stato a,ccennator presSo ÌtOsservatorio tli Brela utilizzantlo
il calcolatore eÌettronico IBII 1620 a nlstro iÌ dotazione alltosservatorio
stegso.
Gli autori saranno lieti di mettere a tlisposizione questo programma
tli altri osservatori intelessati alte riduzioni delle osservazioni astlonomiole
(li l,empo e di azimut'
BIBIJIOGIIAFA
r., PRovrRnlo 8., Riatltzione delle posiziotlí QpPaftùtí stelldli pet mezzo di u1t
IBM 6i0' Là Ricerca Sci€Dtilica, ànuo 300 (Suppl. 12), 2449, 1960'
[2] Provnnoro 8., Stù alleoto filoroso dalle posizío i appo'r'eùti delle slrlre, Roùdic. Istit. Loùrùerdo di Scienzo e Lottero, Vol.96, 1962.
[1]
GuLrsANo
calcotatorc
390
E,
PB.ovERBro
- L, MenttxtNenl t
E SCARTO
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Programmí
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391
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EDrrn,roE - cuBBro - 1966
COI'|NIBIjII DEil
OSSERVAIORIO A$ROI.|OI'1ICO
DI
MITANO
.
MERATE
NUOVA BEEIE
!', ZAGAR - Lrosservrrtolio di llilrrro rrrlln stolirr.
l{. H,rcx - ALsolrtr: r\lìgnitìlrles of O'typ| strr,rs.
G. Do ìIorroNr - Il rìuovo úflettoÌc di 1,37,t dcll'Osservrìiorio (li llerate.
ù{. FrìacAssrNr - Tlrc solutions of tìrr: vnrr rle }Iulstrs iDtegÌîl oqrutions fo!
(ìnrpùting eleetlon (lensity of thc sollÌ ooronlr.
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