L`incertezza dovuta al disadattamento e la distribuzione ad “U

Firenze, 03 Luglio 2009
Marco Cati
L’incertezza dovuta al disadattamento
e la distribuzione ad “U”:
Teoria e Pratica della Misura
Ing. Marco Cati, Ph.D.
Esaote Biomedica S.p.A.
Research & Development Department
Via di Caciolle, 15 – 50127 Firenze
Tel. (+39).055.4229469 (Office) - Tel. (+39).055.4229313 (EMC Laboratory)
Fax.(+39).055.4229422 - e-mail: [email protected]
Firenze, 03 Luglio 2009
Marco Cati
Agenda
• Normativa EMC e la distribuzione a “U”
• Genesi della distribuzione a “U”
• Linee di trasmissione
• Richiami e notazione
• Riflessioni multiple
• Trattazione deterministica
• Trattazione statistica
• Caso di disadattamento piccolo
• Caso di disadattamento “non piccolo”
• Esperimento
2
Disadattamento e distribuzione a “U”: teoria e pratica della misura
Firenze, 03 Luglio 2009
Marco Cati
IEC CISPR 16-4-X
• CISPR 16-4-1:
― Uncertainties in standardised EMC tests
• CISPR 16-4-2:
― Measurement instrumentation uncertainty
• CISPR 16-4-3:
― Statistical considerations in the determination
of EMC compliance of mass produced
products
• CISPR 16-4-4:
― Statistics of complaints and a model for the
calculation of limits
3
Disadattamento e distribuzione a “U”: teoria e pratica della misura
Firenze, 03 Luglio 2009
Marco Cati
Conducted & Radiated Test Set-Up
4
Disadattamento e distribuzione a “U”: teoria e pratica della misura
Firenze, 03 Luglio 2009
Marco Cati
Conducted Emissions Measurements:
Uncertainties Budget (§4.2 CISPR 16-4-2)
5
Disadattamento e distribuzione a “U”: teoria e pratica della misura
Firenze, 03 Luglio 2009
Marco Cati
Conducted Emissions Measurements:
Uncertainties Budget (Tab.A.2 CISPR 16-4-2)
6
Disadattamento e distribuzione a “U”: teoria e pratica della misura
Firenze, 03 Luglio 2009
Marco Cati
Radiated Emissions Measurements:
Uncertainties Budget (§4.4 CISPR 16-4-2)
7
Disadattamento e distribuzione a “U”: teoria e pratica della misura
Firenze, 03 Luglio 2009
Marco Cati
Radiated Emissions Measurements:
Uncertainties Budget (Tab.A.4 CISPR 16-4-2)
8
Disadattamento e distribuzione a “U”: teoria e pratica della misura
Firenze, 03 Luglio 2009
Marco Cati
Mismatch Uncertainties Contribution Formula
(note 7 CISPR 16-4-2)
9
Disadattamento e distribuzione a “U”: teoria e pratica della misura
Firenze, 03 Luglio 2009
Marco Cati
Linee di Trasmissione: Richiami
• Equazione dei Telegrafisti
∂
∂
v
x
,
t
L
i ( x, t )
=
−
(
)
 ∂x
∂t

 ∂ i ( x , t ) = −C ∂ v ( x , t )
 ∂x
∂t
Z0 , β
• Soluzione generale
v ( x, t ) = f1 (ωt − β x ) + f 2 (ωt + β x )

f1 (ωt − β x ) f 2 (ωt + β x )

=
−
,
i
x
t
(
)

Z
Z0
0

Costanti primarie:
L: Induttanza per unità di lunghezza [H/m]
C: Capacità per unità di lunghezza [F/m]
Costanti secondarie:
Z0: Impedenza Caratteristica [Ω]
β: Numero d’onda [1/m]
10
β = ω LC
•
•
Z0 =
L
C
f1: Onda Progressiva
f2: Onda Regressiva
Disadattamento e distribuzione a “U”: teoria e pratica della misura
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Marco Cati
Linee di Trasmissione: Dominio dei Fasori
ΓL
ΓG
• Soluzione dominio dei fasori
Z0 , β
Z G = RG + jX G
Z L = RL + jX L
v ( x, t ) = V ( x)e jωt = (V + e − j β x + V − e j β x ) e jωt


 V + − j β x V − j β x  jωt
jωt
e
e e
−
i ( x, t ) = I ( x)e = 
Z0

 Z0

• Coefficiente di riflessione al generatore:
ΓG =
ZG − Z0
ZG + Z0
• Coefficiente di riflessione al carico:
ΓL =
Z L − Z0
Z L + Z0
• Impedenza del generatore:
Z G = RG + jX G
• Impedenza del carico:
Z L = RL + jX L
Ipotesi:
perdite trascurabili
11
Disadattamento e distribuzione a “U”: teoria e pratica della misura
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Marco Cati
Linee di Trasmissione: Tensione e Corrente
ΓL
ΓG
• Condizioni al contorno
Z0 , β
Z G = RG + jX G
Z L = RL + jX L
 +
V + V − 
−
−
V + V = VG − Z G 

Z

 0 Z0 

+
−
V + e − j β l + V − e j β l = Z  V e − j β l − V e j β l 

L

Z0
 Z0


Tensione alla sezione x
V ( x) =
12
Generatore:
V ( 0 ) = VG − Z G I ( 0 )
Carico:
V (l ) = Z L I (l )

 ZL 

1 +

Z
0


+
j
β
l
V = V e
G

 Z S   Z L  jβ l  Z S   Z L  − jβ l

1 +
 1 +
 e − 1 −
 1 −
e
Z
Z
Z
Z
0 
0 
0 
0 




 ZL 

1 −


Z0 

−
− jβ l
V = −VG e
 Z S   Z L  jβ l  Z S   Z L  − jβ l

1+

 1 +
 e − 1 −
 1 −
e

Z
Z
Z
Z
0 
0 
0 
0 



Corrente alla sezione x
1 − ΓG
VG − j β x
1 + Γ L e 2 j β ( x −l ) 
e
−2 j β l


1 − ΓG Γ L e
2
I ( x) =
1 − ΓG
VG − j β x
1 − Γ L e 2 j β ( x −l ) 
e
−2 j β l


1 − ΓG Γ L e
2Z 0
Disadattamento e distribuzione a “U”: teoria e pratica della misura
Firenze, 03 Luglio 2009
Marco Cati
Linee di Trasmissione: Riflessioni Multiple (1)
ΓL
ΓG
• Onda di tensione lanciata
dal generatore in linea:
Z0 , β
Z G = RG + jX G
VS = VG
Z L = RL + jX L
Z0
V
= G (1 − Γ G )
2
ZG + Z0
• Prima onda di tensione diretta alla sezione x:
V1+ = VS e − j β x
• Prima onda di tensione inversa alla sezione x:
V1− = VS e − j β l Γ L e
− jβ (l − x )
• Seconda onda di tensione diretta alla sezione x:
V = V e β Γ e β Γ e β = V e β (Γ Γ e β )
+
2
−j l
S
−j l
L
−j x
G
−j x
S
− j2 l
G
L
• Seconda onda di tensione inversa alla sezione x:
β
β
V = V e β Γ e β Γ e β Γ e ( ) = V e β e ( )Γ ( Γ Γ e β )
−
2
13
−j l
S
−j l
L
−j
−j l
G
L
l−x
−j l −j
S
l−x
− j2 l
L
L
G
Disadattamento e distribuzione a “U”: teoria e pratica della misura
Firenze, 03 Luglio 2009
Marco Cati
Linee di Trasmissione: Riflessioni Multiple (2)
ΓL
ΓG
• n-esima onda di tensione
inversa alla sezione x:
β
V = V e β e ( )Γ ( Γ Γ e β )
−
n
Z0 , β
Z G = RG + jX G
Z L = RL + jX L
−j l −j
− j 2 l n −1
l−x
S
L
L
G
• n-esima onda di tensione
diretta alla sezione x:
V = V e β (Γ Γ e β )
+
n
− j 2 l n −1
−j x
S
G
L
• Tensione alla generica sezione x:
(somma di infinite onde dirette e riflesse)
∞
∞
V ( x ) = ∑ V + ∑ Vn−
n =1
Tensione alla sezione x
V ( x) =
14
+
n
n =1
Corrente alla sezione x
1 − ΓG
VG − j β x
1 + Γ L e 2 j β ( x −l ) 
e
−2 j β l


1 − ΓG Γ L e
2
I ( x) =
1 − ΓG
VG − j β x
1 − Γ L e 2 j β ( x −l ) 
e
−2 j β l


1 − ΓG Γ L e
2Z 0
Disadattamento e distribuzione a “U”: teoria e pratica della misura
Firenze, 03 Luglio 2009
Marco Cati
Tensione sul Carico
ΓL
ΓG
• Tensione sul carico
V (l ) = VS (1 + Γ L ) e − j β l
Z0 , β
Z G = RG + jX G
Z L = RL + jX L
VS = VG
• Interpretazione:
VS e − j β l
VS Γ L e − j β l
1
1 − ΓG Γ L e −2 j β l
15
1
1 − Γ G Γ L e −2 j β l
Z0
V
= G (1 − Γ G )
ZG + Z0
2
Prima onda di tensione diretta che giunge al carico.
Se il carico è adattato rappresenta l’unico termine
che contribuisce a V(l).
Prima onda di tensione riflessa dal carico.
Se il carico è disadattato questo termine si somma al
termine di onda diretta contribuendo a V(l)
Termine di riflessioni multiple
Se sia il carico sia il generatore sono disadattati questo
termine rappresenta il contributo delle infinite riflessioni
multiple
Disadattamento e distribuzione a “U”: teoria e pratica della misura
Firenze, 03 Luglio 2009
Marco Cati
Potenza sul Carico (1)
ΓL
ΓG
• Potenza alla sezione x
P ( x) =
Z0 , β
Z G = RG + jX G
1
Re {V ( x) I * ( x)}
2
Z L = RL + jX L
(
PL = PD 1 − ΓG
2
)(1 − Γ ) 1 − Γ Γ1 e
2
L
G
−2 j β l 2
L
• Interpretazione:
1 VG
PD =
8 RG
2
Potenza disponibile del generatore
(
2
P0 = PD 1 − ΓG
(
P0 1 − Γ L
2
)
)
Porzione di potenza lanciata assorbita dal carico
1
1 − Γ G Γ L e −2 j β l
16
Porzione di potenza disponibile lanciata sulla linea
2
Termine dovuto alle riflessioni multiple
Disadattamento e distribuzione a “U”: teoria e pratica della misura
Firenze, 03 Luglio 2009
Marco Cati
Potenza sul Carico (2)
• Potenza sul carico:
PL = P0
1 − ΓL
2
1 − Γ G Γ L e −2 j β l
2
Correzione necessaria ad ogni frequenza
Di fatto impraticabile
Trattazione statistica
17
Disadattamento e distribuzione a “U”: teoria e pratica della misura
Firenze, 03 Luglio 2009
Marco Cati
La Distribuzione ad “U” (1)
• Posto:
Γ G Γ L e −2 j β l = ΓG Γ L e jϑ = ke jϑ
• Ipotesi
a) Perdite trascurabili (già assunte nella trattazione)
b) Disadattamento piccolo: Γ Γ ≪ 1
c) Fase θ uniformemente distribuita tra [0,π]
G
L
• Risulta:
x=
(
PL
P0 1 − Γ L
2
)
=
1
1 − 2 Γ G Γ L cos ϑ + Γ G Γ L
2
≃ 1 + 2k cos ϑ
• Densità di probabilità:
fx ( x) =
18
1
π k 2 − ( x − 1)
2
Disadattamento e distribuzione a “U”: teoria e pratica della misura
Firenze, 03 Luglio 2009
Marco Cati
La Distribuzione ad “U” (2)
fx ( x) =
• Densità di probabilità:
• Valore atteso:
µx = 1
• Scarto tipo:
σx =
1
π k 2 − ( x − 1)
2
2k
2
k = ΓG Γ L = 1 x 0.09 = 0.09
k = ΓG Γ L = 0.33 x 0.33 = 0.1089
10
10
fx (x)
15
fx (x)
15
5
5
0
0.8
0.85
19
0.9
0.95
1
x
1.05
1.1
1.15
1.2
0
0.8
0.85
0.9
0.95
1
x
1.05
Disadattamento e distribuzione a “U”: teoria e pratica della misura
1.1
1.15
1.2
Firenze, 03 Luglio 2009
Marco Cati
La Distribuzione ad “U”: Il caso dei dB
• Se:

PL
y = 10 log 
 P 1 − Γ
L
 0
(
2
)

 = 10 log ( x )


• Allora y segue una distribuzione a “U”
y ≃ 10 log (1 + 2k cos ϑ ) =
10
10
ln (1 + 2k cos ϑ ) ≃
2k cos ϑ = 8.686k cos ϑ
ln (10 )
ln (10 )
• Valore atteso:
µy = 0
• Scarto tipo:
σy =
• Esempi Tab.A.2, Tab.A.4
di CISPR 16-4-2:
20
8.686k
= 6.1419k
2
k = ΓG Γ L = 0.09 ⇒ σ y = 0.55 (σ Tab. A.2 = 0.53)
k = ΓG Γ L = 0.1089 ⇒ σ y = 0.67 (σ Tab. A.4 = 0.67 )
Disadattamento e distribuzione a “U”: teoria e pratica della misura
Firenze, 03 Luglio 2009
Marco Cati
La Distribuzione ad “U”:
Se il disadattamento non è piccolo? (1)
x=
(
PL
P0 1 − Γ L
2
)
=
1
1 − 2 Γ G Γ L cos ϑ + Γ G Γ L
2
=
1
1 − 2k cos ϑ + k 2
• Densità di probabilità: espressione complicata
k = ΓG Γ L = 1 x 0.09 = 0.09
k = ΓG Γ L = 0.33 x 0.33 = 0.1089
10
10
fx (x)
15
fx (x)
15
5
5
0
0.8
21
0.85
0.9
0.95
1
1.05
x
1.1
1.15
1.2
1.25
1.3
0
0.8
0.85
0.9
0.95
1
1.05
x
1.1
Disadattamento e distribuzione a “U”: teoria e pratica della misura
1.15
1.2
1.25
1.3
Firenze, 03 Luglio 2009
Marco Cati
La Distribuzione ad “U”:
Se il disadattamento non è piccolo? (2)
• Valore atteso:
µ x ,T > µ x = 1
• Scarto tipo:
σ x ,T > σ x =
2k
2
∀k ∈ [ 0,1]
⇒ Bias (polarizzazione)
∀k ∈ [ 0,1]
⇒ Maggiore incertezza
µ x ,T µ x
σ x ,T σ x
2.8
5
2.6
4.5
2.4
4
2.2
σxT(x)/σ x(x)
µxT(x)/ µx(x)
3.5
2
1.8
3
2.5
1.6
2
1.4
1.5
1.2
1
0
22
0.1
0.2
0.3
0.4
k
0.5
0.6
0.7
0.8
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
k
0.5
Disadattamento e distribuzione a “U”: teoria e pratica della misura
0.6
0.7
0.8
Firenze, 03 Luglio 2009
Marco Cati
Esperimento: Set-Up
ΓG = −1 3
ΓL = 0
ΓG = −1 3
ΓG =
Z G − Z 0 25 − 50
1
=
=−
3
Z G + Z 0 25 + 50
ΓL =
Z L − Z 0 25 − 50
1
=
=−
3
Z L + Z 0 25 + 50
Γ L = −1 3
V (l ) =
V1 = V (l ) Γ
L =0
=
VG
(1 − ΓG ) e − j β l
2
V2 =
IL = 20 log
23
VG
1
(1 − ΓG )(1 + Γ L ) e− jβ l
2
1 − Γ G Γ L e −2 j β l
VG
1
(1 − ΓG )(1 + Γ L ) e− jβ l
2
1 − Γ G Γ L e −2 j β l
V2
1
= 20 log (1 + Γ L )
V1
1 − ΓG Γ L e −2 j β l
Disadattamento e distribuzione a “U”: teoria e pratica della misura
Firenze, 03 Luglio 2009
Marco Cati
Esperimento:
Impostazioni Analizzatore Spettro
• Impostazioni analizzatore di spetto
• Tracking Generator: -10dBm
• Reference Level: -12dBm
• Scale: 1dB/division
• Input Attenuator: 10dB
• Resolution Bandwidth: 100kHz
• Video Bandwidth: 100kHz
• fstart: 1MHz
• fstop: 200MHz
24
Disadattamento e distribuzione a “U”: teoria e pratica della misura
Firenze, 03 Luglio 2009
Marco Cati
Screenshot GUI Matlab®
IL = 20 log
V2
1
= 20 log (1 + Γ L )
V1
1 − ΓG Γ L e −2 j β l
Interferenza costruttiva e
distruttiva al variare della
frequenza
Periodicità in frequenza
∆f =
25
c
2l ε r
Disadattamento e distribuzione a “U”: teoria e pratica della misura
Firenze, 03 Luglio 2009
Marco Cati
L’incertezza dovuta al disadattamento
e la distribuzione ad “U”:
Teoria e Pratica della Misura
Ing. Marco Cati, Ph.D.
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Via di Caciolle, 15 – 50127 Firenze
Tel. (+39).055.4229469 (Office) - Tel. (+39).055.4229313 (EMC Laboratory)
Fax.(+39).055.4229422 - e-mail: [email protected]