ATTI DEL XLIII SEMINARIO NAZIONALE

VOL. 37 A-B N. 5 - NOVEMBRE-DICEMBRE 2014
Poste Italiane s.p.a. - Spedizione in Abbonamento Postale - D.L. 353/2003 - (conv. In L. 27/02/2004 n° 46)
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Organo del CENTRO RICERCHE DIDATTICHE UGO MORIN - Istituti Filippin - PADERNO DEL GRAPPA
IL PROBLEMA DEL COMPLEANNO E LE SUE VARIANTI
B.PAOLILLO
IL PROBLEMA DEL COMPLEANNO E LE SUE VARIANTI
Bonaventura Paolillo
Liceo Scientifico F.Severi (Salerno)
1.
Introduzione.
Tra i vari problemi del calcolo delle probabilità suscita particolare
curiosità ed interesse un noto quesito in letteratura, riguardante un
tipo di coincidenze. Esso è stato formulato dal filosofo e
matematico Richard von Mises nel 1939,[8]. In esso si esamina la
probabilità che possano accadere delle coincidenze in un gruppo di
persone posto all’interno di un locale, aula, cinema, ecc. Più
precisamente, si può articolare ciò con due domande:
1.Sia dato un gruppo formato da n persone, qual è la probabilità
che almeno due di esse festeggino il compleanno nella stessa data,
cioè nello stesso giorno e nello stesso mese?
2.Se si vuole scommettere sulla possibilità di vincere sul verificarsi
di qualche coincidenza di compleanni, quanto deve essere
numeroso il gruppo di persone, ovvero quanto deve essere il
minimo n?
Si ignora per motivi di semplicità l’anno bisestile, sebbene la sua
inclusione non influenzerebbe sostanzialmente le considerazioni
successive. L’enunciato della seconda domanda costituisce, in
letteratura il classico problema del compleanno e la sua soluzione,
così come per la prima, porta ad esiti imprevedibili e a risultati che
meritano un’attenzione particolare. Tali fatti comportano,
evidentemente, una riflessione di tipo didattico e metodologico più
adeguata per lo sviluppo di concetti e situazioni legati all’universo
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della probabilità. Ci si interroga infatti profondamente sul
significato oggettivo di casualità, contro l’interpretazione
soggettiva di ciò che noi intendiamo per essa stessa. Come verrà
presto analizzata, la risposta alla seconda domanda è 23, ovvero
questo è il più piccolo numero in cui posso scommettere di vincere,
puntando sulla coincidenza di compleanni. Per la precisione con 23
persone ho una probabilità di successo del 50,7%. Si noti che una
coincidenza sicura di due compleanni è soddisfatta
immediatamente avendo un gruppo di persone pari a N=366.
Evidentemente un’ipotetica e facile riposta come 183, ottenuta su
una base di proporzionalità, non solo non è corretta, ma mostra i
limiti stessi e l’inefficacia di un approccio lineare. Se si analizzano
diverse date di nascita, scelte da dati anagrafici comuni, come due
squadre calcistiche con l’arbitro (per ottenere 23), delle scolaresche,
bande musicali o altro si può effettivamente constatare l’avverarsi
di tale coincidenza. Tale evento ci si aspetta che si verifichi, anche
se con la dovuta cautela, una volta su due. A titolo di esempio, ai
Mondiali di calcio del 2014, dove le relative nazionali erano
composte da 23 calciatori, si sono rilevati i casi dei brasiliani Hulk
e Paulinho, nati entrambi il 25 luglio e quello degli argentini Gago e
Fernandez che condividono anche la data di nascita.
2. Analisi e soluzione del problema.
Valuteremo la risposta al problema del compleanno, cioè alla
seconda domanda e gli argomenti utilizzati permetteranno di
rispondere anche alla prima. Si possono allora seguire due
dimostrazioni, entrambe valide in chiave didattica, poiché seguono
modalità e approcci differenti ma in qualche modo complementari.
La prima fa uso del calcolo combinatorio mentre la seconda si basa
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specificamente sul concetto probabilistico di eventi indipendenti. Si
consideri quindi, per un gruppo di n persone, l’evento coincidenza
di almeno due compleanni e lo si indichi con (Coinc_Compleanni),
sottintendendo il riferimento a n. Il suo evento contrario, in cui per
ogni coppia di persone scelte le date di nascita non coincidono mai,
sarà invece indicato con (NonCoinc_Compleanni). Si calcolerà, per
motivi di facilità, per prima la probabilità di quest’ultimo evento. I
casi favorevoli alla non coincidenza saranno allora le disposizioni
semplici di 365 oggetti su n posti diversi, in quanto rappresentano
le scelte in cui si possono scegliere n date differenti del calendario,
cioè D365,n. I casi possibili sono invece dati dalle disposizioni con
ripetizione, ovvero le scelte in cui si possono scegliere n date
qualsiasi del calendario, anche con coincidenze, che sono in
numero di 365n. Orbene, si ottiene:
P(NonCoinc_Compleanni)
Il primo valore di n per cui tale probabilità risulta minore di 0,50 è
proprio 23. Si ha di conseguenza:
P(Coinc_Compleanni)=1-P(NonCoinc_Compleanni)
=1-0.493=0.507.
Si è utilizzata, per il calcolo, un’approssimazione alla terza cifra
decimale.
Per una dimostrazione alternativa e più suggestiva si può ricorrere
alla metafora di un gruppo di persone poste in una stanza.
Precisamente ci sono n persone che entrano una alla volta in una
stanza. Per la prima persona non ci sono problemi di coincidenza, in
quanto ci sono 365 date possibili di compleanni. La seconda
persona che entra nella stanza realizza la non coincidenza di
compleanno con la prima, con probabilità
.
.
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Successivamente, la terza persona realizza la non coincidenza con
le prime due, con probabilità
e così via, l’ultima realizza la non
coincidenza di compleanno con le altre, con probabilità
. Essendo i precedenti eventi indipendenti risulta:
P(NonCoinc_Compleanni) =
.
Si noti quindi che il membro destro coinciderà con D365,n e la
frazione
vale uno e si può omettere. Il grafico e la tabella
successivi forniscono un andamento globale della probabilità
dell’evento (Coinc_Compleanni) in funzione del numero n.
Probabilità di ottenere una coincidenza al variare del
numero n.
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Come si nota, per n=30 si ha una probabilità del 70% e per n=40 si
raggiunge l’89%. Se n=60 superiamo il 99% pur non raggiungendo
il 100% se non dal valore di n=366 in poi. Si può dimostrare che
tale curva appartiene alla famiglia delle logistiche. Queste hanno un
carattere asintotico, mentre la nostra presenta un valore
effettivamente asintotico fino a 365 e successivamente, come detto,
un andamento costante.
3. Risvolti didattici del problema del compleanno.
Il problema del compleanno può essere proposto agli allievi di una
classe liceale o di altro istituto, secondo le adeguate indicazioni
nazionali. Esso offre la possibilità di riflettere sul concetto di
casualità, ma anche sul tema attuale e scottante della fallacia del
giocatore. Quali sono i meccanismi che portano un giocatore a
scommettere spesso su poste non equilibrate? In che modo l’analisi
di un gioco viene concepita nell’animo del giocatore? Sono solo
alcune domande che richiedono, evidentemente, giusti spazi di
riflessione in altra sede. Sapere però, che all’interno di una
sequenza di numeri, si possono verificare spesso delle coincidenze,
mette in moto già una valutazione più seria e attenta sulla capacità
stessa di comprendere la casualità e di come poterla interpretare. Si
considereranno allora diverse situazioni didattiche da adottare in
classe, che si possono rivelare d’interesse concreto per favorire
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idonei percorsi didattici. Si può presentare il problema del
compleanno con il
Gioco di buche e biglie: Si abbiano 365 buche e 23 biglie, si
chiede agli allievi di inserire tali biglie in delle buche scelte in
modo casuale. (Si dovrebbe chiaramente avvertire che la scelta di
una buca di ogni allievo non deve essere comunicata all’esterno).
Con quale probabilità si verifica una coincidenza di due biglie
nella stessa buca?
La risposta è ancora del 50,7%, cioè è conveniente scommettere
sull’evento della coincidenza, piuttosto che su quello contrario.
Un’altra situazione didattica potrebbe essere la seguente:
Scelta di Funzioni non iniettive: Sono dati due insiemi A e B
rispettivamente di cardinalità 23 e 365. Scelta a caso una funzione
da A a B qual è la probabilità che essa non sia iniettiva?
In maniera alternativa a tale scelta si può considerare il seguente
Problema degli arcieri: 23 arcieri scoccano i loro dardi su 365
bersagli possibili. Qual è la probabilità che due dardi confluiscano
sullo stesso bersaglio.
È possibile variare il numero usuale di 365 giorni di un calendario e
ottenere risultati più generali sulle coincidenze, utilizzando la stessa
tecnica dimostrativa. Si viene ad operare così con altri modelli
concreti, ma altrettanto stimolanti ed efficaci, per gli sviluppi
didattici che ne seguono. Si indicherà, quindi, con d il numero di
giorni o il numero di oggetti che si devono scegliere -il calendarioe si cercherà di determinare il minimo n per cui l’evento delle
coincidenze, in breve (Coinc_Scelte), si verifichi con
probabilità>50%. In modo analogo a quanto già visto si impone
P(Coinc_Scelte)=1- P(NonCoinc_Scelte) =
.
Illustriamo ciò con il gioco della tombola, in cui si hanno novanta
numeri e quindi il calendario ha d=90 scelte. Si calcola che con
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n=12 estrazioni con reinserimento, si ha una probabilità di ottenere
almeno una coincidenza di due numeri estratti, maggiore del 50%.
Se si prova a giocare con le 40 carte da gioco classiche, con le
dovute varianti locali, bastano 8 estrazioni con reinserimento per
avere una probabilità di coincidenza maggiore del 52%, (con sette
estrazioni ho una probabilità < 50%), mentre se si opera con le 52
carte francesi per avere delle analoghe chances di successo
servono 9 estrazioni. Ecco un quadro illustrativo in cui si riporta per
ogni lunghezza d, per valori minori di 100, il numero n cercato.
L’utilizzo di mezzi concreti –carte, tombola o dadi– si mostra utile
e fruttuoso in chiave didattica, poiché offre un ambiente di gioco
familiare e stimolante.
Una situazione didattica alternativa e
con risvolti altrettanto sorprendenti è data dal seguente esempio:
Orologi e coincidenze: Si abbiano n orologi, in formato digitale, (o
anche con lancette) alimentati a batteria. Qual è la probabilità che,
almeno due di essi, mostrino sul display la stessa ora e lo stesso
minuto, una volta esaurita la carica della batteria? In particolare
come deve essere scelto n per avere una probabilità di successo
maggiore del 50% ?
Soluzione:
Ci
sono 24 x 60 = 1440 configurazioni del display; quindi d=1440.
Nel modo usuale si calcola la probabilità di successo, in funzione
degli n orologi, come ∏
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Valutando tale formula, si determina che occorrono n=45 orologi
per scommettere sul successo di qualche coincidenza.
Proprietà dei calendari:
Dato un calendario con d giorni il numero n che fornisce la più
piccola probabilità di ottenere almeno una coincidenza > 50% è
funzione della radice quadrata di d. In formule si hanno:
√
√
Queste funzioni sono da considerarsi valide in maniera asintotica,
e sono una buona stima fino a 100000. Forniscono, infatti il giusto
ordine di grandezza per orientarsi a determinare n in funzione dei
giorni d del calendario. La dimostrazione di esse necessita
normalmente della conoscenza degli sviluppi in serie. Per un
approccio elementare in tal senso, si veda per esempio [11].
Un’altra utile considerazione offerta dal problema del compleanno
e che può aiutare a sondare aspetti non prevedibili sulla casualità è
la seguente
Domanda inversa: Quante persone n occorrono affinché si possa
scommettere con successo (o alla pari) su una coincidenza di
compleanno specificata, per esempio il nostro compleanno? La
risposta appare ancora poco intuitiva ed è di 253. Si ottiene infatti
che n persone hanno, in modo indipendente tra loro, una
probabilità, di non coincidenza di compleanno con il nostro, pari a
. Poiché interessa l’evento complementare e che questo abbia
probabilità >50% si ha:
, che risolta fornisce il
minimo valore n=253. Una facile risposta vicina a 180
comporterebbe un’ ipotesi sulle date necessariamente distinte tra
loro e ciò non sarebbe corretto. Tale domanda inversa, insieme alla
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costruzione di grafici e tabelle, può evidentemente porsi per tutte le
altre situazioni viste in precedenza, come carte, tombola,ecc.
Naturalmente ci si può avvalere di diversi strumenti software come
Derive, Excel, linguaggi C, Visual Basic, R, ecc. per simulare tali
attività di esplorazione sul mondo della probabilità e proporre
percorsi didattici miranti a costruzioni significative. Alcune
simulazioni in rete si possono trovare in [12][13].
4.Aspetti della letteratura
In letteratura il problema del compleanno è stato oggetto di
diverse riflessioni e approcci spesso anche fantasiosi e peculiari.
Tale attenzione non si è ancora esaurita del tutto, poiché si celano
dei lati e aspetti non svelati completamente. Si accennerà a qualche
risultato di tali sviluppi. Nel 1960 Il matematico McKinney [7]
fornì una formula ricorsiva per rispondere al problema della
coincidenza di tre compleanni. Si chiese, infatti, di trovare il
minimo numero n per cui si poteva scommettere con successo su
almeno una coincidenza di tre compleanni. La risposta è n=88.
Successivamente dei risultati di tipo computazionale, [7],[3] hanno
contribuito in modo analogo, a calcolare per valori di coincidenze
successive, la minima numerosità di gruppi di n persone. (Diaconis
e Mosteller 1989, [3]). La tabella riportata sotto, mostra tali valori
di n per ogni coincidenza multipla.
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Per questo problema esistono anche delle formule generali in
forma chiusa di tipo ricorsivo (del 1997), ma sono tutt’altro che
maneggevoli, si veda in proposito [14] [5].
I matematici M. Abramson e W. Moser pubblicarono nel 1970
“More Birthday Surprises”, [1] e calcolarono la probabilità di
scommettere su eventi che sono quasi-compleanni, ovvero che
probabilità esiste perché in un gruppo di n persone si possa
scommettere su due date che differiscono al più di un giorno
solamente. Il caso in cui le date sono coincidenti, viene ancora
contemplato nel quasi-compleanno. Si intende che il calendario
deve essere considerato chiuso a collana, cioè 31 Dicembre e 1°
Gennaio sono giorni con distanza 1. La risposta è che 14 persone
bastano per avere un quasi-compleanno con probabilità > 50%. Se
si desidera un quasi-quasi-compelanno, ovvero come puntare sulla
coincidenza di due date con distanza di al più 2 giorni, allora il
minimo numero vincente è 11. Si mostra sotto, la tabella completa
di tali fatti per descrivere i quasi compleanni con distanze
generiche.
Tra gli obiettivi attuali della ricerca c’è quello di trovare per un
calendario con d giorni, delle formule semplici per n, che siano
asintoticamente corrette e nello stesso tempo più precise. I lavori di
[4] hanno mostrato, per esempio, che se p indica la probabilità di
successo di una coincidenza, il gruppo di persone deve essere
almeno di n persone per ottenere tale probabilità p, secondo la
seguente formula:
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√
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⌉
Si intende nell’espressione al membro destro, il simbolo ⌈
come parte intera superiore. La stima così ottenuta è ottima, con
un errore di al più 1. Su quest’argomento si consiglia anche la
lettura dell’ articolo di D. Brink in [2].
In informatica il problema del compleanno è tutt’ora oggetto di
perfezionamento. È infatti legato ad una particolare codifica,
chiamata Hash, utilizzata spesso in crittografia. In sintesi, si cerca
di ottenere da un flusso di dati in input, delle particolari stringhe
(sequenze) in output, mediante specifiche funzioni di codifica, non
iniettive, rispettando alcune richieste. Si chiede, infatti, che tale
codifica sia resistente a possibili collisioni, ovvero che sia arduo
partire da due dati distinti ed arrivare allo stesso valore in uscita.
Evidentemente l’apparato di conoscenze legate alla problematica
del compleanno, può aiutare a livello probabilistico, a valutare la
bontà di un algoritmo di hashing.
In conclusione, il problema del compleanno si può presentare a
diversi livelli, secondo un approccio teorico, didattico ma anche
applicativo. Il seguire tale evoluzione, anche da un punto di vista
storico, rende consapevole lo studioso di come un argomento possa
crescere sempre di più, stimolando la curiosità scientifica e
contestualmente i mezzi stessi offerti dal calcolo delle probabilità.
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Bibliografia
1.Abramson, M.; Moser, W. O. J. (1970). "More Birthday
Surprises". American Mathematical Monthly 77: 856–858.
2.Brink.D. A (probably) exact solution to the Birthday
Problem RamanujanJ. (2012) 28:223–238.
3.Diaconis, P. and Mosteller, F. "Methods for Studying
Coincidences." J. Amer. Statist. Assoc. 84, 853-861, 1989.
4.Ejaz Ahmed. S-McIntosh Richard J.. An Asymptotic
Approximation for the Birthday Problem.
Crux
Mathematicorum
26(3)
151-155
Canadian
Mathematical
Society
2000.
5.Finch, S. "Puzzle #28 [June 1997]: Coincident Birthdays.“
6.Levin, B. "A Representation for Multinomial Cumulative
Distribution Functions."Ann. Statistics 9, 1123-1126, 1981.
7.McKinney, E. H. "Generalized Birthday Problem." Amer.
Math. Monthly 73, 385-387, 1966.
8.Mises, R. von. "Über Aufteilungs--und BesetzungsWahrscheinlichkeiten." Revue de la Faculté des Sciences de
l'Université d'Istanbul, N. S. 4, 145-163, 1939. Reprinted in
Selected Papers of Richard von Mises, Vol. 2 Ed. P. Frank,
S. Goldstein,M. Kac,W. Prager, G. Szegö, and G. Birkhoff).
9.Stewart, I. "What a Coincidence!" Sci. Amer. 278, 95-96,
June 1998.
10. Tesler, L. "Not a Coincidence!" http://www.nomodes.com
11.http://www.dm.unito.it/~cerruti/aprile-07-luglio
08.html#compleanno
12.https://people.richland.edu/james/misc/simulation/
/birthday.html
13.http://www.math.uah.edu/stat/applets/
/BirthdayExperiment.html
14.http://mathworld.wolfram.com/BirthdayProblem.html
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