Area e Perimetro Ellisse

VII. AREA E PERIMETRO ELLISSE
“LA GEOMETRIA CON L’EQ. PARAMETRICA DI VAG”
Area e Perimetro Ellisse Cap. VII Pag.
1
AREA DEL SETTORE DELL'ELLISSE

I°)Sia
2
S ( x)   y dx l’area OCAA’.
0
La funzione S(x) deve essere tale
dS ( x)
m
che
e poiché
y
q2  x2
dx
q
1
è S ( x)  xy  area settore OAA' e l’arco
2
AA’ è tale che il suo coseno vale
x
arc cos
q
Area settore OAA'
x

avremo

S
q
2
1 m
2S
x
e quindi S ( x)  x
espressione che derivata e
q2  x2 
arc cos
2 q

q
semplificata darà la Funzione primitiva:
2
2
q2
m  x q  x
x
S ( x) 

arc cos   OCAA'
q
2
2
q


che per x = q cos; y = m sen diventa:
qm
cos sen  arc cos cos  
S ( x)  OCA  OAA' 
2
da cui: S ( x) ( OAA')
qm
qm  o qm R

arc cos cos  

a
2
2 180
2
( in rad)
II°)INTEGRALE DI VAG.
In modo più rigoroso possiamo
calcolare l’integrale delle uguaglianze parametriche
x  q cos  ; y  m sen ; y'  m cos 
1
S x    q cos  m(cos  ) d  qm  cos 2  d  qm  (1  cos 2 ) d 
2
cos 2 d 
q cos  msen
 d
  sen2  qm
 qm  

 qm  



2
4  2
2
2
 2

1
1
 2
 cos   (1 cos 2 ); 2  t d  dt ;
2
2


cos t
1
1

dt  sent  sen2 
2
2
2

l’ultimo membro dell’espressione S è l’area OCA per cui avremo in
radianti l’area
S ( x) OAA' 
mq

2
(Esempi numerici più avanti)
Come si vede l'area dell'Ellisse dipende dall'angolo  legato
m
tan   tan 
all'Ellisse dalla relazione:
q
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2
AREA ELLISSE E CORONA CIRCOLARE
Essendo  in radianti, da ciò che abbiamo visto l'area di un
settore dell'Ellisse e':
qm
qm
S
arccos(cos  ) 

2
2

qm 
dove per  
S
area quadrante Ellisse
2
2 2
Se sostituiamo q = R + r e m =R - r(sistema algebrico in cui dati
due valori R e r ha soluzione per 2R=q+m e 2r=q-m), l'area del
settore dell'Ellisse sarà:
qm
R2  r 2
S


2
2
E poichè  e' l'angolo delle circonferenze R ed r (Cap. V°
ELLISSE), quest'ultima formula oltre che a rappresentare l'area di
un settore dell'Ellisse rappresenta anche l'area di un settore
della corona circolare di ampiezza (R-r) di uguale valore:
L'area di un settore di Ellisse di angolo 
e' uguale all'area
di un settore di corona circolare di angolo  corrispondente a 
q
mediante la formula   arctan( tan  ) .
m
Possiamo anche aggiungere che l’area di un settore di Ellisse è
proporzionale all’angolo che forma l’area del settore della corona
S S1 S 0 qm R 2  r 2




 costante . Si tenga presente che
circolare
 1  0
2
2
l’angolo dell’area del settore dell’Ellisse va preso iniziando da
zero,cioè dall’asse delle ascisse con movimento antiorario.
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3
Nell’Ellisse in figura si ha che
 e S=S1+S0 dove S è l’area
del settore relativo a . In realtà
i due angoli calcolabili sono  e
 perché partono dall’ascissa ed
essi danno luogo ai due angoli del
settore corona-circolare e 0,
q
q
tramite tan   tan  e tan  0  tan  0
m
m
; mentre 1 non può
dare il valore di  non partendo
dal valore zero dell’ascissa. Questo perché gli angoli
dell’ellisse non sono proporzionali alle aree, mentre le aree
della corona-circolare (uguali alle aree dell’ Ellisse) sono
S1 S 0 S


proporzionali ai propri angoli, quindi
ma dove si deve
1
0

S1
, α1 non ha un corrispettivo
1
eta nella Ellisse, perché l’area S1 assume un valore posizionale
in quanto l’integrale che la determina vale a partire
dall’ascissa.
Noti e  si calcolerà S e S0 e poi S1=S-S0 e mediante la
S
proporzione sopra indicata si troverà  1  1 0 *].
S0
tener presente che nel rapporto
[ ESEMPIO 1: dell’Ellisse in Fig. 3 siano i semi-assi q=3, m=2
ed i punti A’(2,320424812; 1,267653772) A”(0,589580871;
1,960996844)e i rispettivi angoli al centro:
1,960996844
1,267653772
 73,266403 
 0  arctan
 28,64788823 e   arctan
0,589580871
2,320424812
mentre avremo gli angoli parametrici:
q
 0  arctan tan  0  39,333031   0,686490895 Rad
m
3
  arctan tan 73,266403  78,66606232   1,372981797 Rad
2
(entrambe anche con la formula parametrica x  q cos  o y  m sin  )
e le rispettive aree ellittiche:
mq
S
  1,5  1,372981797 Rad  2,059472696
S 0  1.5  0,686490895 Rad  1,029736343
2
S1  S  S0  2,059472696  1,029736343  1,029736353
Come vediamo l’Area S è doppia dell’Area S0, quindi se S 0  S 1 ,
S
S0
S1
mq
dovrà essere  0  1 , ma α1 non è
  0 1
2
determinabile dalle formule di calcolo viste in quanto l’area S1
poiché sappiamo che



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4
non è adiacente all’ascissa quindi da α1 non possiamo calcolare
l’angolo al centro β1 che va calcolato per differenza:
1     0  73,266403   28,6478664   44,6185366 
Tale angolo se fosse adiacente all’ascissa avrebbe come ipotetico
q
angolo parametrico 1'  arc tan tan 44,6185366   55,95690767  anziché
m
1   0  39,333031  .]
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5
AREA PARZIALE DELL’ELLISSE
Sia (vedi Fig.4) S1 l’area ed E1 il relativo angolo parametrico in
radianti di una Ellisse (di semiassi q > m); inoltre sia l’area
POP2  S  S1  S 2  ed E l’angolo parametrico relativo in radianti,
S S1 qm


abbiamo visto che
. Ed osservando la Fig.4 vediamo:
E E1
2
A  S  area SOP2  S 
e sostituendo S:
A
OS m sin E
2

OS m
mq
mq 
OS
 E 
E
sin E 
sin E  .
2
2
2 
q

Si consideri che essendo il punto S tra O e P è sempre
OS
 1,
q
dove OS è una qualunque distanza dal centro Ellisse.
Volendo il valore dell’area A2 con A2=A-A1, sempre a partire dall’
ascissa come per le aree S1 e S, si avrà:
A1 

mq 
OS
 E 1 
sin E 1 
2 
q

pertanto
Cioè
Posto
avremo
A2  A  A1 
 

mq 
OS
OS
sin E    E1 
sin E1  .
 E 
2 
q
q
 

A1
A2
A


OS
OS
E
sin E E1 
sin E1  E  OS sin E    E1  OS sin E1 

 

q
q
q
q

 





OS
OS
M   E 
sin E  e M1   E1 
sin E1  (M e M1 sono valori in Rad)
q
q




A
A2
A
 1 
M M1 M  M1
posto M2=M-M1
avremo
A1 A 2

M1 M 2
e se A1=A2 dovrà essere M 2  M 1 : analogamente a quanto visto
precedentemente per l’area S1 e 1, l’angolo M2 (proporzionale a A2)
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6
non ha un corrispettivo eta nella ellisse, ma dovrà essere
ricavato per differenza.
Possiamo allora scrivere la relazione geometrica che lega le aree
S
S
qm
dell’ellisse agli angoli di riferimento: 1  0 
e
E1 E 0
2
S
S
A 1 A 2 qm
A
A
qm
per cui 1  0  1  2 
con i relativi significati


E1 E 0 M1 M 2
M1 M 2
2
2
visti per S,A,E,M.
ESEMPIO 2:
Sia una ellisse di semiassi q=3 e m=2 (vedi Fig.4) e
sia l’angolo di riferimento in radianti
1  39,333031 

 0,686490895
180
Sappiamo essere
M1  (0,686490895
R
Rad
la distanza OS=1,5 (per cui
OS
 0,5 ).
q
2
3
1  arctan tan39,333031   28,647888 
 0,5 sin 0,686490895 R )  0,369577452
M1 è necessariamente in Rad perché proviene da αR
e quindi l’area
A1 
3 2
M 1  1,108732356
2
Posto A=A1+A2 e A1=A2 sappiamo
A1 1,108732356

M1 0,369577452
quindi A  2 A1  2,217464712
M
2 M1
0,739154904
dovrà allora essere M    0,5 sin   0,739154904 dove  è l’angolo di
riferimento del settore A. Risolvendo  rispetto a M abbiamo
=1,206308053 infatti:
M  1,206308053  0,5 sin 1,206308053  0,739154903 sufficientemente vicino al
valore M di partenza.
Il valore
A2
M2
è dato da M2=M1 ma in realtà M2 non ha corrispondenza
con l’area A2 segnata in Fig.4 in quanto l’area non è adiacente
all’ ascissa; esso è un valore proporzionale.
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7
PROPRIETA’ DELLE AREE DELL’ELLISSE
L’espressione M  ( E 
OS
sin E )
q
determina l’area
di un qualunque settore di ellisse; infatti
ogni punto dell’ellisse è determinato
dall’angolo parametrico E mentre la posizione
del punto S lungo l’ascissa ne determina
l’area (vedi Fig.5).

mq
E area OS' XO
2

mq
OS '
per OS  q avremo S x 
(E 
sinE) area SS' XS
2
q

mq
per OS  q avremo S x 
( E  sin E ) area S' XS'
2
per OS  0 avremo S x 
Dato il rapporto
OS

q
potremo scrivere per qualsivoglia area
mq
mq
( E   sin E ) 
M.
2
2
Possiamo anche considerare il valore
Sx 
qm  R come raggio di una
circonferenza, che darà sempre S x 
qm
R2
M 
M
2
2
per cui l’area della circonferenza vale la
relativa area dell’ ellisse e se il suo
tempo di percorrenza o Rivoluzione è P, esso
varrà sia per l’ellisse sia per la
circonferenza. Ora se P è un valore medio
possiamo ipotizzare che l’arco della
circonferenza verrà spazzata a velocità
costante e quindi ad ogni tempuscolo t
corrisponda un angolo al centro ed a questi
la relativa area della circonferenza che
a sua volta rappresenta un’area dell’ellisse. Inoltre per valori
di t uguali si avranno nella circonferenza angoli al centro ed
aree uguali, corrispondenti ad aree Sx dell’Ellisse uguali e
percorse nello stesso tempo.
Da tutte queste considerazioni possiamo dire che nella
circonferenza di riferimento di una ellisse, per la legge
temporale, le aree Sx, sono lineari in un intervallo di tempo ed i
punti del perimetro che le determinano possono essere animati da
un moto di velocità angolare costante nella circonferenza ma
diversa nella ellisse: questo ci permette di definire la proprietà
dell’ Ellisse, relativa ad una qualunque area Sx:
AREE UGUALI SONO PERCORSE IN TEMPI UGUALI
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8
Si consideri che la Fig.5 bis ci richiama, dal
punto di vista geometrico, il concetto di
velocità areale: «intenderemo per velocità
areolare dS il rapporto fra l’area dS descritta
dt
nell’intervallo infinitesimo (t,t+dt) dal
raggio vettore e lo stesso dt. L’area dS
descritta da P-O nel tempo dt vale a meno di
infinitesimi di ordine superiore, un settore circolare di raggio
uguale a ρ (valore del raggio vettore all’istante t) e di angolo
al centro dθ, incremento di θ nell’intervallo (t,t+dt). Si ha
allora dS  1  d . Quindi la velocità areale è S '  dS  1  2 d “Dario
2
2
dt
2
dt
Graffi-MECCANICA RAZIONALE- C.Editrice Prof.R.Pàtron”.


2
L’ultima espressione è la stessa vista per  2  mq , quando si sia
preso per angolo al centro gli angoli del vettore dell’ellisse, la
relazione che lega questi agli angoli M e le rispettive aree Sx.
In ASTRONOMIA il valore E è detto Anomalia Eccentrica e quando il
OS c
valore OS è uguale alla semidistanza focale (c) per cui
 e
q
q
(eccentricità) il valore M  E  e sin E  è chiamato Anomalia Media
(Mean Anomaly), inoltre la proprietà di uguaglianza tra le aree,
per uno stesso tempo è chiamata Seconda Legge Sperimentale di
Keplero.
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9
SUL TEOREMA DEI PIANETI E L’AREA DELL’ELLISSE
Per effetto del Teorema dei Pianeti (fig.8) la circonferenza a) di
raggio R dà luogo all’ellisse b)(vedi Cap.VI Pag.25-26) di semi
assi q=R+r e m=R-r.
Sulla Circonferenza abbiamo
DT  R 2  r 2  2Rr cos 2 (90   )
MT  R 2  r 2  2Rr cos 2 ( )
E le coordinate sull’Ellisse:






T  q cos ; m sin 
e
T’  q sin ; m cos  e le distanze
2
2
2
2


O' T  q 2 cos 2
O' T '  q 2 sin 2

2

 m 2 sin 2
 m 2 cos 2

2

 ( R  r ) 2 cos 2
 ( R  r ) 2 sin 2

2

 ( R  r ) 2 sin 2
 ( R  r ) 2 cos 2

2

 R 2  r 2  2 Rr cos 2 
 R 2  r 2  2 Rr cos 2 
2
2
2
2
Ora volendo calcolare l’area della ellisse così tracciata, (per
quanto visto nel paragrafo precedente) tale area risulta essere
mq  R 2  r 2 
R2  r 2
PO ' TP 

 della
per cui l’area PMNT 
2 2
2
2
2
circonferenza è il doppio dell’ area PO’TP, come indicato anche
dalla velocità areale.
Ora se il tracciamento dell’Area della circonferenza avviene nel
tempo t  (t1  t 0 ) vuol dire che l’arco PT della circonferenza e PT (o
QT’)dell’ ellisse sono percorsi nello stesso tempo e ad ogni punto
T della circonferenza corrisponde un punto T (o T’) nell’ellisse
poichè i vettori DT=O’T (o MT= O’T’).
Ovviamente per     180  nella circonferenza corrisponderà un
punto nella ellisse il cui parametro è  / 2   / 2  90  .

Con
abbiamo tutte le considerazioni viste nel calcolo dell’area
2
dell’ ellisse, per cui è possibile calcolare direttamente l’angolo
  Rad

M  
  sin  partendo da un tempo medio t della circonferenza.
2
 2
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10
ESEMPIO 3
Sia l’ellisse di semiassi q=3 e m=2 e la
circonferenza R=2,5 e r=0,5 e nel tempo t (43,59111827 gg) si
360 
abbia  
(P=365,24 gg periodo di rivoluzione)
t  42,96572823
P

 21,48286412 , come da Fig.8 a)
2
Dalla circonferenza il teorema di Carnot:
2
MT  (2,5) 2  (0,5) 2  2  2,5  0,5  cos 42,96572823  4,670596221
MT  2,161156223
2
DT  (2,5) 2  (0,5) 2  2  2,5  0,5  cos 42,96572823  8,329403779
DT  2,886070647
******************************************************************
Tenendo conto del Teorema dei
Pianeti applichiamo alla relativa
ellisse Fig.9 i dati calcolati
nella circonferenza MT, DT e /2.
Applichiamo i valori parametrici
per le coordinate del punto T’:


x  m cos  2 cos 21,48286412  1,861054277


2

 y  q sin   3 sin 21,48286412  1,09866883

2

O' T '  4,67059622  2,161156223
quadrando e sommando
= MT
Calcoliamo l’angolo al centro:
q

3
 E'  arctan tan  arctan tan 21,48286412  arctan 0,590347548  30,5553738
m
2
2
*******


x  q cos  3 cos 21,48286412  2,791581416


2
Per il punto T:

 y  m sin   2 sin 21,48286412  0,732445886

2

O' T  8,329403779  2,886070647
quadrando e sommando
= DT
Calcoliamo l’angolo al centro:
m

2
 E  arctan tan  arctan tan 21,48286412  arctan 0,262376648  14,70169181
q
2
3
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11
LUNGHEZZA DELL’ARCO DELL'ELLISSE – RETTIFICAZIONE
Abbiamo visto:
x  q cos   (R  r ) cos 
y  msen  (R  r )sen
y m
dy d
1
m 1
tan    tan ;
 m cos 

x q
d dx
 qsen
q tan 
ds
Dalla formula di rettificazione
 1  ( f ' x ) 2 sostituendo con
dx
dx
 qsen;
dx  d(qsen) si avrà
d
2

  2

 m cos  
q sen 2  m 2 cos 2 
2

 d (qsen )  


ds  1   

qsen

 d

 
q sen 
q 2 sen 2




il che vuol dire:
ds
 q 2 sen 2   m 2 cos 2 
d

s


2
0

2
0
q sen   m cos  d  
2
2
2
2

2
0

(R  r ) 2 sen 2   (R  r ) 2 cos 2  d 
R 2  r 2  2Rr (cos 2   sen 2 ) d  

2
0
1]
R 2  r 2  2Rr cos 2 d;
Formula di rettificazione rappresentante l'Integrale ellittico di
2a specie sotto nuova veste; infatti tale integrale sviluppato in

cos diventa s  q  2 1  e 2 cos 2  d con e=eccentricità equivalente alla
0

formula classica nota s  q  2 1  e 2 sin 2  d : quest'ultima espressione
0
si sarebbe ottenuta ponendo x=qsinα e y=mcosα
y=msinα, come è stato fatto.
anziché x=qcosα e
La 1] non differisce dalla equazione mostrata nella pagina
precedente “SUL TEOREMA DEI PIANETI………” in quanto i valori  e 2
in 1] equivalgono ad /2 e  visti in quella pagina.
“LA GEOMETRIA CON L’EQ. PARAMETRICA DI VAG”
Area e Perimetro Ellisse Cap. VII Pag.
12
IL VALORE GEOMETRICO DELL'INTEGRALE ELLITTICO
per   0 sarà ( R  r ) 2  m 2  m

Dalla formula precedente si ha: 
 2 R q  m 

2
2
per


sarà
(
R

r
)

q

q


2


 q 2 sen 2  m 2 cos 2  m 
  R
e il suo valore geometrico: 
2
2


che per 𝛼 = 𝜋⁄2, il perimetro del quadrante dell'Ellisse e della
𝑞+𝑚 𝜋
𝜋
circonferenza è uguale ( 2 ) 2 = 𝑅 2 e quindi il perimetro
dell'Ellisse e' uguale al perimetro della circonferenza di raggio
R.
(Nel Cap.IIIBis “PERPENDICOLARE ALLA TANGENTE DELL’ELLISSE”
2
avevamo scritto SA   m cos    m sin  2 ed anche ds  q SA dove per =0
d m
 q


e =
abbiamo ds  m e ds  q giusto quanto sopra)
2
d
d
2
2
Riassumiamo!
a) l'area dell'ellisse e' uguale all'area della corona circolare
data dalle due circonferenze;
b) la relazione che lega l'angolo dell'ellisse e delle
m
Rr
tan 
circonferenze e' data da tan   tan  
q
Rr
c) mediante l'angolo α della circonferenza e' possibile calcolare
il perimetro dell'ellisse e il relativo angolo β, sapendo che il
perimetro del quadrante dell'ellisse e' uguale a quello della
circonferenza maggiore
  q m 
R   

 2  2 2
d) gli archi dell’Ellisse e della Circonferenza sono uguali solo
per =/2, non per valori intermedi, come si può constatare
calcolando la risoluzione geometrica di un qualunque arco di
Ellisse AE per 0°<  < /2:
 q 2 sen 2   m 2 cos 2  m 

AE  
 
AE  AE   R
2
2


dove gli archi e gli angoli sono tutti conteggiati dall’ascissa.
“LA GEOMETRIA CON L’EQ. PARAMETRICA DI VAG”
Area e Perimetro Ellisse Cap. VII Pag.
13
ESEMPIO4: ARCO D'ELLISSE
Sia una Ellisse (q = 3,5; m = 1,7) e ricordando tan  
m
tan  , si
q
voglia l'arco di ellisse:
90
per  
90

corrispond ente a  
25,906508

; tan 25 ,906508 
45
1,7
tan 45  dobbiamo allora
3,5
calcolare il valore dell’arco, per
25,906508

45

corrispond ente a  
0

che darà:
0
 3,5 0,5  1,7 0,5 1,7  45
Arc  
 
 1,7480463
2
2  180



2
2
90
mentre per:


90
e 
0

90
L'arco richiesto sarà:
Arc  4,0840704
avremo:
0


25,906508
90
25,906508
0
0
 

90
per    ;
45
Arc  4,0840704  1,7480463  2,3360241
Raccogliamo:
Angolo
circonferenza

0° ----> 45°
Angolo
Ellisse

0°---> 25,906
Area Ell. e
cor.Circolare
Arco
Ellisse
Arco Circ.
R= (q+m)/2
2,3365595
1,7480463
2,0420352
45°----> 90°
0° ----> 90°
25,90--> 90°
0°---->90°
2,3365595
4,6731191
2,3360241
4,0840704
“
4,0840704
Come già visto nel “Teorema dei Pianeti” esiste una relazione
biunivoca tra Ellisse e i raggi di due circonferenze concentriche
data da:
q  R  r

m  R  r

qm

R


2

r  q  m

2

L'espressione sopra si collega perfettamente all'esempio empirico:
«Se schiacciamo un cerchio in due poli contrapposti, questi tenderà ad assumere
la forma di una ellisse e più stringo più si allarga. Notiamo che l'Area
originaria della circonferenza tende a zero, mentre il suo perimetro rimane
costante e uguale a quello dell' anello iniziale; e quando i due poli si
congiungeranno l’Area sarà a zero, ed il perimetro darà un semiasse che vale due
volte il raggio del cerchio.»
“LA GEOMETRIA CON L’EQ. PARAMETRICA DI VAG”
Area e Perimetro Ellisse Cap. VII Pag.
14
Come visto nel capitolo precedente il perimetro dell'anello di
raggio R e dell'ellisse è lo stesso, dato dal valore geometrico
del Perimetro della Ellisse dell’integrale di 2° specie, cioè 𝑅 =
𝑞+𝑚
con q>m semi assi dell'ellisse,; ma ci dice anche che archi di
2
settori minori dei quarti di arco non sono uguali tra loro
(specchietto sopra)
Volendo calcolare la Velocità degli archi, dai valori dello
specchietto avremo:
4,0840704
V
T periodo
1,7480463
 V1
T periodo / 2
2,3360241
 V2
T periodo / 2
Velocità media primo tratto ellisse
V1  V2
V
2
Velocità media
Velocità media sulla circonferenza e sull ' ellisse
Velocità media sec ondo tratto ellisse