Lezioni del 16-11-2016, 21-11-2016

Cenni alle distribuzioni e derivate distribuzionali Trasformata di Fourier di distribuzioni
Docente:Alessandra Cutrı̀
A. Cutrı̀
16-11-2016, 21-11-2016
Metodi Matematici per l’ingegneria–Ing. Gestionale
Segnali a banda Limitata-Teorema di Campionamento di
Shannon (cfr. e.g. De Mottoni, ”Complementi di
Matematica”)
Sia f un segnale a banda limitata:
fˆ(ω) = 0
per |ω| > ω1
ω1 : Ampiezza di banda
Campionamento: ricostruzione del segnale attraverso la
rilevazione di f nei punti di una griglia f (nT ) se T < ωπ1 (T
non deve essere troppo grande!)
Teorema di Shannon: f a banda limitata di ampiezza ω1 ,
T < ωπ1 . Allora
f (t) =
+∞
X
n=−∞
f (nT )
sin ω0 (t − nT )
ω0 (t − nT )
ω0 :=
π
> ω1
T
Oss: ω1 = 2πν1 dove ν1 rappresenta la frequenza massima del
segnale. Se νC = T1 denota la frequenza di campionamento,
deve essere νC > ωπ1 = 2ν1
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I segnali reali sono campionati per un tempo limitato (non si
possono osservare per un tempo infinito) e sono a banda
limitata e dunque in teoria ad essi non si potrebbe applicare il
teorema di campionamento. Invece introducendo un
definizione di trasformata valida anche per oggetti molto più
generali delle funzioni è possibile ovviare a questo problema ed
operare su di essi mediante campionamento
Per questo è necessario introdurre le DISTRIBUZIONI
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Distribuzioni–Spazio delle funzioni test
Consideriamo lo spazio delle funzioni di prova
D(R) = {f ∈ C ∞ (R) : supp f è compatto }
dove
supp f = {x : f (x) 6= 0}
Convergenza in D(R):
fj ∈ D(R) fj → 0 in D(R) ⇔
(1)
(2)
∃A ⊂ R A compatto t.c. fj (x) ≡ 0 su Ac def. per j → ∞
(k)
lim sup |fj (x)| = 0 ∀k = 0, 1, . . .
j→+∞ A
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Definizione di distribuzione
Definizione di Distribuzione:
T : D(R) → R
(Funzionale)
si chiama Distribuzione ⇔ T è Lineare e Continuo.
T è Lineare:
< T , αf + βg >= α < T , f > +β < T , g > ∀α, β ∈ R ,
∀f , g ∈ D(R)
T è Continuo:
∀fn ∈ D(R) t.c. fn → 0 in D(R) si ha < T , fn >→ 0
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Esempio
Distribuzioni indotte da funzioni φ ∈ L1loc (R)
R
Sia φ ∈ L1loc (R) (⇔ ∀A ⊂ R A limitato A |φ(x)|dx < +∞)
Tφ : D(R) →R R definita da R
< Tφ , g >:= R φ(x)g (x)dx = supp g φ(x)g (x)dx
g ∈ D(R)
Poiché l’applicazione φ → Tφ è Iniettiva spesso si identifica Tφ con
la funzione φ
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Esempio
Delta di Dirac centrata in zero: (T = δ(x))
< δ(x), g >:= g (0)
∀g ∈ D(R)
Delta di Dirac centrata in x0 : (T = δ(x − x0 ))
< δ(x − x0 ), g >= g (x0 ) ∀g ∈ D(R)
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Delta di Dirac
La δ di Dirac NON è una distribuzione indotta da una
φ ∈ L1loc (R)
Cioè nonResiste φ ∈ L1loc (R) tale che
g (x0 ) = R φ(x)g (x)dx ∀g ∈ D(R)
Però la successione di funzioni
1
n |x − x0 | ≤ 2n
δn (x − x0 ) :=
0 altrimenti
approssima la δ(x − x0 ) nel senso delle distribuzioni. Cioè
< Tδn (x−x0 ) , g >→< δ(x − x0 ), g >
∀g ∈ D(R)
Infatti
< Tδn (x−x0 ) , g >=
R x0 + 2n1
1
x0 − 2n
ng (x)dx = n n1 g (ξn )
per qualche ξn ∈ (x0 −
1
2n , x0
+
1
2n )
facendo tendere n → +∞, essendo g continua:
< Tδn (x−x0 ) , g >→ g (x0 ) =< δ(x − x0 ), g >
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Derivata distribuzionale
Vogliamo estendere il concetto di derivata alle distribuzioni
Consideriamo prima le distribuzioni ”regolari”: Sia
φ ∈ L1loc (R) tale che φ0 ∈ L1loc (R) e g ∈ D(R) . Allora
Z
Z
0
< Tφ0 , g >=
φ (x)g (x)dx = − φ(x)g 0 (x)dx = − < Tφ , g 0 >
R
R
poiché g è a supporto compatto. Quindi:
< Tφ0 , g >= − < Tφ , g 0 > per ogni g ∈ D(R)
Questo suggerisce di definire la derivata T 0 di una
distribuzione T come:
< T 0 , g >:= − < T , g 0 >
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∀g ∈ D(R)
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Derivata della funzione di Heaviside
Sia H(x) la funzione Gradino di Heaviside
1 x ≥0
H(x) = χ[0,∞) (x) =
0 x <0
T = TH
⇒
TH0 = δ(x)
R
infatti: < TH0 , g > = − < TH , g 0 >= − R H(x)g 0 (x)dx =
R +∞ 0
− 0 g (x)dx = −g (x)|+∞
= g (0) = < δ(x), g >
0
∀g ∈ D(R)
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Derivata n−ma di una distribuzione
Una distribuzione è derivabile quante volte si vuole e
< T (n) , g >= (−1)n < T , g (n) >
∀g ∈ D(R)
Oss: T (n) è una distribuzione perché è lineare (ovvio) ed è
(n)
continua. Infatti, se fj → 0 in D(R) ⇒ fj → 0 ⇒
< T , fj
(n)
>→ 0
Prop: Se T 0 = 0 Allora T = c (cioè < T , g >= c
∀g ∈ D(R))
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R
R g (x)dx
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Derivata classica vs Derivata distribuzionale
Che relazione c’ è tra la derivata classica e quella nel senso delle
distribuzioni?
Se f è derivabile ⇒ f , f 0 ∈ L1loc (R) e (Tf )0 = Tf 0
se f è derivabile con derivata Df (x) per x 6= x0 ed in x0 è
discontinua con salto S = f (x0+ ) − f (x0− ) Allora nel senso
delle distribuzioni (in D0 (R))
f 0 (x) = Df (x) + Sδ(x − x0 )
cioè
< Tf0 , g >= − < Tf , g 0 >= −
0
R f (x)g (x)dx =
R x0
x0−
−f · g |−∞ + −∞ Df · gdx
R +∞
−f · g |+∞
+ x0 Df · gdx
x0+
− f (x0− )g (x0 ) + f (x0+ )g (x0 )
R
R
= R Df · gdx
=< Df (x) + Sδ(x − x0 ), g >
∀g ∈ D(R)
Dove si è identificata la funzione Df con la distribuzione TDf
indotta da essa: (cioè si pone < f , g >:=< Tf , g >)
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Trasformata di Fourier di Distribuzioni Temperate –Spazio
delle funzioni test a decrescenza rapida
La teoria delle trasformate di Fourier si può estendere ad una
classe particolare di distribuzioni:le distribuzioni temperate
Come si definiscono le distribuzioni temperate? bisogna
estendere lo spazio delle funzioni di prova
S(R) = {f ∈ C ∞ (R) : |x p f (q) (x)| ≤ Cp,q }
per qualche costante Cp,q (f decrescono rapidamente
all’infinito)
introdurre una Convergenza in S(R):
fj ∈ S(R) fj → 0 in S(R) ⇔
lim sup |x p fj
(k)
j→+∞ R
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(x)| = 0 ∀k, p = 0, 1, . . .
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Definizione di distribuzione temperata
Definizione di Distribuzione Temperata:
T : S(R) → R
(Funzionale)
si chiama Distribuzione temperata (T ∈ S 0 (R)) se T è Lineare e
Continuo su S(R).
D(R) ⊂ S(R) ⇒ S 0 (R) ⊂ D0 (R)
La Dirac δ(x − x0 ) è una distribuzione temperata
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Esempio di distribuzione temperata
Quali φ ∈ L1loc (R) generano distribuzioni temperate?
φ = e x ∈ L1loc (R) NON genera Tφ temperata:
(non è detto che < Tφ , g > sia ben definito se g ∈ S(R))
se φ è a crescita polinomiale → Tφ è una distribuzione
temperata
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Trasformata di Fourier di Distribuzioni temperate
Oss: Se f ∈ S(R) allora f ∈ L1 (R) e la sua trasformata
classica fˆ ∈ S(R)
Oss: Se f , g ∈ L1 (R)
Z
Z
ˆ
f · gdx =
f · ĝ dx
R
R
(si dimostra scrivendo la definizione e scambiando l’ordine di
integrazione)
Se f ∈ L1 (R) e g ∈ S(R)
< fˆ, g >=< f , ĝ >
Allora se T ∈ S 0 (R) si definisce Trasformata di Fourier di T la
seguente distribuzione temperata:
< T̂ , g >:=< T , ĝ >
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per ogni g ∈ S(R)
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Trasformata di Fourier della Delta
δ̂(x) = 1 infatti:
< δ̂(x), g > =< δ(x), ĝ >= ĝ (0) =
R
R g (x)dx
= < 1, g >
∀g ∈ S(R)
δ̂(x − x0 ) = e −iωx0 infatti:
R
< δ̂(x − x0 ), g > =< δ(x − x0 ), ĝ >= ĝ (x0 ) = R g (x)e −ix0 x dx
= < e −ix0 ω , g > ∀g ∈ S(R)
La formula di dualità si applica anche in questo caso:
F(e −iωx0 )(s) = 2πδ(−s − x0 ) = 2πδ(s + x0 )
dunque
F(e iωx0 )(s) = 2πδ(s − x0 )
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Applicazione alle funzioni periodiche
Sia f T −periodica e sviluppabile in serie di Fourier
+∞
X
f (t) =
cn e inω0 t
ω0 =
n=−∞
2π
T
Allora
fˆ(ω) =
+∞
X
cn F(e
inω0 t
n=−∞
)=
+∞
X
cn 2πδ(ω − nω0 )
n=−∞
Viceversa sia f T −periodica.
f (t + T ) = f (t)
⇒ fˆ(ω) = fˆ(ω)e iωT
∀ω ∈ R
Allora
fˆ(ω) = 0
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se e iωT 6= 1 cioè ω 6= 2nπ
T = nω0
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se f 6≡ 0 si ha fˆ(ω) 6= 0 ⇔ ω = nω0 ⇒
fˆ(ω) =
+∞
X
βn δ(ω − nω0 )
⇒
f (t) =
n=−∞
+∞
X
n=−∞
βn
1 inω0 t
e
2π
Dunque, se chiamiamo
f0 (t) =
f (t) |t| ≤
0
|t| >
T
2
T
2
si ha il legame tra i coefficienti di Fourier di f e la trasformata
di f0 :
βn
1
cn =
=
2π
T
A. Cutrı̀
Z
T
2
− T2
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f (t)e −inω0 t dt =
1ˆ
f0 (nω0 )
T
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