comportamento asintotico

Università di Siena, DIISM, CdS in Ingegneria, Corso di fisica , slides lezione n.4, pag.1/10
In questa lezione:
Ancora sul potenziale elettrostatico: calcolo del potenziale
per alcune distribuzioni notevoli, già considerate per il
calcolo del campo
Comportamenti asintotici del potenziale (a grandi e piccole
distanze)
Gradiente di x, r, f(r)
Potenziale e campo di dipolo
Definizione di flusso di campi vettoriali
Teorema di Gauss per il campo elettrostatico (in forma
integrale)
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Potenziale elettrostatico per distribuzioni di carica
particolari già considerate.
Due cariche di segno opposto
Sbarretta uniformemente carica. Potenziale sull’asse.
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Anello uniformemente carico, potenziale sull’asse.
Disco uniformemente carico, potenziale sull’asse.
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Potenziale:
Comportamento asintotico a grandi r (per distribuzioni
finite)
Cosa succede se la carica totale al finito è nulla?
Consideriamo il dettaglio di due cariche puntiforme opposte
e vicine.
Premessa: calcolare il gradiente di r e di f(r)
∇r= ??? ∂(x2+y2+z2)1/2/∂x=2x(1/2)(x2+y2+z2)−1/2 =x/r
quindi
∇r =????
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∇r =ur
∂f/∂x=(∂f/∂r)(∂r/∂x)
∇f=(∂f/∂r)[(∂r/∂x), (∂r/∂y), (∂r/∂z)]=(df/dr)∇r
In particolare, se f(r)=rα
∇f=αrα-1∇r= αrα-1ur
Per esempio, nel caso in cui α=-3,
∇f=∇(r-3)=-3r-4ur=-3r-5r=-3r/r5
Consideriamo due cariche q e –q poste a distanza d
P
d1
r
d
θ
d2
d cosθ
V=kq(1/d1−1/d2)=kq(d2−d1)/d1d2
(d2−d1)≅dcosθ, d1d2≅r2, definiamo p=qd
V=kp cosθ/r2=kpr cosθ/r3=k p.r/r3
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V=kp cosθ/r2=kpr cosθ/r3=k p.r/r3= k(pxx+pyy+pzz)/r3
Consideriamo il primo termine e calcoliamo il gradiente di
kpxx/r3 : ∇(kpxx /r3)=kpx [(∇x)/r3+x(∇r-3)]
ovviamente ∇x = ux e quindi
kpx[ux/r3-3xr/r5]
la somma dei tre termini (anche quello in y e z) fa
kp/r3−3(p.r) r/r5
cambiare il segno per avere il campo di dipolo:
E= 3(p.r) r/r5−kp/r3
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Descrizione del campo con le “linee di forza”
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Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie.
Significato “intuitivo”.
Natura vettoriale delle superfici.
Natura vettoriale delle superfici infinitesime.
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Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie.
Definizione formale.
Flusso del campo Coulombiano attraverso una superficie
sferica.
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Teorema di Gauss (in forma integrale)