Capacita Logiche - Lezione 01 - prof. Valentina Ciriani

10/8/2012
Problem solving e Logica
Valentina Ciriani
Problemi logici?
• Successioni numeriche
– 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …
• Relazioni tra valori semantici
– caldo : X = Y : orribile
•
•
•
•
X = freddo, Y = bello
X = assetato, Y = gelato
X = brutto, Y = ustionante
X = intenso, Y = caldissimo
• Calcolo delle probabilità
– Qual è la probabilità che tirando due dadi esca un totale
minore o uguale a 3?
• Relazioni insiemistiche
– Dare la corretta relazione insiemistica tra l’insieme A dei gatti
rossi, l’insieme B dei felini e l’insieme C dei mammiferi con il pelo
rosso
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Problemi logici?
• Calcoli
– In febbraio Luigi andrà in piscina 5 volte. Sapendo che Luigi
va in piscina solo il mercoledì e che questo è un anno
bisestile, dire che giorno è il primo di aprile.
• Proporzionalità e grafici
– Dato un grafico dedurre quali affermazioni sulle proporzioni
sono corrette
• Ragionamento logico
– Se oggi piove Luca va al cinema. Se Luca oggi non è andato
al cinema, cosa posso sicuramente affermare?
•
•
•
•
Oggi c’è il sole
Oggi non piove
Oggi è una bella giornata
Nessuna delle risposte precedenti
Problem solving
• Analisi del problema
– capire le proprietà del problema
– creare delle istanze del problema attraverso esempi
• Formulazione di un modello
– formalizzazione
– utilizzando strumenti logici e/o matematici
• Costruzione di un procedimento risolutivo
– creazione di una procedura automatica che risolva il
problema (algoritmo)
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Problem solving
• Prima regola:
NIENTE PANICO
• Seconda regola:
USARE CARTA E PENNA (o MATITA)
• Terza regola:
LA LOGICA PUO’ ESSERE DIVERTENTE!
C’è problema e problema
• Paolino ha in tasca 4,95 euro suddivisi in:
–
–
–
–
4 monete da 1 euro
1 moneta da 50 centesimi
2 monete da 20 centesimi
1 moneta da 5 centesimi
Se un pezzo di pizza costa 1,15 euro, Paolino potrà pagare
4 pezzi di pizza senza chiedere il resto?
• Voglio organizzare un viaggio in giro per l’Italia: è possibile
partendo da Milano, trovare un percorso lungo meno
di1500 Km che passi da Bologna, Firenze, Napoli e
Venezia?
• Sto pavimentando la mia cucina con mattonelle colorare
incastrate con un particolare disegno: sono sufficienti sette
colori diversi per riuscire a non affiancare due mattonelle
dello stesso colore?
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Formalizzazione
I problemi di Raphel Bombelli (1572):
1. Trovisi un numero che gionto con 40 faccia 100
2. Faccisi di 80 due parti che l’una sia 20 più dell’atra
Formalizzazione
I problemi di Raphel Bombelli (1572):
1. Trovisi un numero che gionto con 40 faccia 100
–
x + 40 = 100 e quindi x = 60
2. Faccisi di 80 due parti che l’una sia 20 più dell’atra
–
x + (x + 20) = 80 quindi 2x + 20 = 80 ovvero x = 30
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L’esperimento di Wason
• Un suo famoso esperimento richiede un mazzo di carte
con una lettera su una faccia e un numero dall’altra
U
1
2
L
L’esperimento di Wason
Date le carte:
A
R
6
7
Quale è il minor numero di carte da voltare per poter
affermare che la regola
“se c’è una vocale su una faccia
allora sull’altra c’è un numero pari”
sia vera?
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L’esperimento di Wason
Date le carte:
Whisky
Aranciata
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16
Quale è il minor numero di carte da voltare per poter
affermare che la regola
“se la bevanda è un superalcolico
allora l’età deve essere maggiore di 18”
sia vera?
L’esperimento di Wason
• I due problemi sono del tutto identici, sono solo stati
codificati in modo diverso
• Abbiamo più facilità nel risolvere il secondo problema
perché è calato nella vita di tutti i giorni
• Mentre il primo problema è più astratto
• Vedremo nel seguito come formalizzarli
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Analizziamo!
• Ci sono molti tipi di enunciati, per esempio:
• Rispondi al telefono!
• enunciato imperativo
• Come ti chiami?
• enunciato interrogativo
• Oggi è domenica.
• enunciato dichiarativo (o asserzione)
• Noi considereremo solo proposizioni, che sono:
• asserzioni
• che hanno un valore di verità (vero o falso)
Esempi
• Oggi è il 5 gennaio
• X=5
Proposizione falsa
Non è una proposizione perché il valore
di verità dipende da X ed è sconosciuto
• X > 5 oppure X < = 5 E’ una proposizione perché è
vera indipendentemente da X
• Pulisci la tua stanza! Non è una proposizione
perché non è un’asserzione
• Oggi non è il 5 gennaio Proposizione vera
• Y>7e Y<=7
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Proposizione falsa
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Ambiguità
• Ho in mano una carta di fiori e una figura.
– Ho in mano una carta che è una figura di fiori
– Ho in mano due carte: una è di fiori e l’altra è una figura
•
Sara conosce il numero di scarpe di Matteo.
– Sara sa quale taglia di scarpe ha Matteo
– Sara conosce quante scarpe possiede Matteo
Proposizioni composte
• Negazione: non
– Oggi non c’è il sole
– Domani non vado in montagna
• Disgiunzione: o, oppure
– Mangio la frutta o il dolce
– Chiederò a Maria oppure a Sandro
• Congiunzione: e
– Teresa ha gli occhi azzurri e i capelli neri
– Domani andremo al mare e faremo il bagno
• Implicazione: se … allora
– Se prendi un bel voto a scuola ti porto a Firenze
– Se ci vediamo domani portami le fotografie
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La negazione: esempio
• Non è impossibile che ci siano testimoni che non
mentano sempre.
• Basandoci su questa frase, cosa possiamo affermare?
–
–
–
–
Ci sono alcuni testimoni che non mentono mai
E’ possibile che alcuni testimoni dicano a volte la verità
E’ impossibile che tutti i testimoni mentano sempre
Non sempre riusciamo a far dire la verità ai testimoni
La negazione: esempio
• Non è impossibile che ci siano testimoni che non
mentano sempre.
• Basandoci su questa frase, cosa possiamo affermare?
–
–
–
–
Ci sono alcuni testimoni che non mentono mai
E’ possibile che alcuni testimoni dicano a volte la verità
E’ impossibile che tutti i testimoni mentano sempre
Non sempre riusciamo a far dire la verità ai testimoni
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La negazione
• Negazione di una proposizione
– Oggi c’è il sole
– Oggi non c'è il sole
• Semplicemente inverte il valore di verità
Tabella di verità
Oggi c’è il sole
Oggi non c'è il sole
Falso
Vero
Vero
Falso
La negazione: formalizzazione
• Negazione di una proposizione
S = Oggi c’è il sole
~S = Oggi non c'è il sole
S
~S
Oggi c’è il sole
F
V
Falso
Vero
V
F
Vero
Falso
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Oggi non c'è il sole
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Attenzione alla negazione!
• Non piango mai
– non è una doppia negazione, è un rafforzativo
• Qual è la negazione di sempre?
• Non dormo sempre
– Corrisponde a sono sempre sveglio?
– No! La negazione di sempre non è mai, ma qualche volta
non!
– Vuol dire semplicemente che
• non passo tutto il mio tempo a dormire
• ovvero qualche volta non dormo
• ovvero qualche volta sono sveglio
Attenzione alla negazione!
• Qual è la negazione di tutti?
• Non tutti mentono
– La negazione di tutti non è nessuno, ma qualcuno non!
– La frase vuol dire che
• che c’è almeno una persona sincera!
• Ovvero qualcuno non mente
• Ovvero qualcuno è sincero
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Attenzione alla negazione!
• Qual è la negazione di esiste uno?
• Non esiste un topolino con gli occhi verdi
– La negazione di esiste uno è tutti non
– La frase vuol dire che
• Tutti i topolini hanno gli occhi di un colore che non è il verde
La negazione: esempio
• Non è impossibile che ci siano testimoni che non
mentano sempre.
• Basandoci su questa frase, cosa possiamo affermare?
–
–
–
–
Ci sono alcuni testimoni che non mentono mai
E’ possibile che alcuni testimoni dicano a volte la verità
E’ impossibile che tutti i testimoni mentano sempre
Non sempre riusciamo a far dire la verità ai testimoni
• Analizziamo:
– Non è impossibile: che è equivalente a dire è possibile
– non mentano sempre: che è equivalente a dire qualche volta
dicono la verità
– Quindi: E’ possibile che ci siano testimoni che qualche volta
dicono la verità
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La negazione: esercizi
• Non c'è niente nella scatola. Equivale a dire:
– La scatola è piena
– La scatola contiene qualche cosa
– La scatola è vuota
– La parola “niente” è contenuta nella scatola
• Non posso negare che qui non ci sia nessuno. Equivale
a dire:
–
–
–
–
Qui ci sono sicuramente tutti
Non c’è qualcuno
Devo dire che qualcuno è presente
Devo affermare che nessuno è presente
La negazione: esercizi
• Non sempre sono indeciso. Equivale a dire:
–
–
–
–
Sono sempre deciso
Non riesco mai a decidermi
Qualche volta sono deciso
Niente mi aiuta a decidere
• Non tutti i bambini non vanno a scuola. Equivale a
dire:
–
–
–
–
Tutti i bambini vanno a scuola
Alcuni bambini vanno a scuola
Nessun bambino va a scuola
Nessun bambino non va a scuola
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Ricapitolando: doppia negazione
~~A è equivalente a A
• Non è vero che non è sabato
– E’ sabato
• Bisogna fare però attenzione ai rafforzativi
– non conosco nessuno
A
~A
~~A
F
V
F
V
F
V
Il paese dei sinceri e dei bugiardi
• Esiste un paese i cui abitanti sono di due tipi:
– Sinceri: che dicono sempre la verità
– Bugiardi: che dicono sempre il falso
• Simona arriva nel paese e incontra due abitanti:
– Snoopy
– Charlie Brown
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Sinceri o bugiardi?
• Possiamo sapere che
tipo di abitanti sono
Snoopy e Charlie
Brown?
Snoopy
Charlie Brown
Sinceri o bugiardi?
• Possiamo sapere che
tipo di abitanti sono
Snoopy e Charlie
Brown?
• Snoopy è sincero
• Charlie Brown è sincero
Snoopy
Charlie Brown
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La disgiunzione
• La disgiunzione può essere
– esclusiva
– inclusiva
• Esempio di disgiunzione esclusiva:
– Il prossimo mese sposerò Mario oppure Giorgio
– Ne sposo solo uno dei due
• Esempio di disgiunzione inclusiva:
– Per vincere il premio bisogna aver un biglietto della lotteria
oppure essere finalista del concorso
– Non è escluso che un concorrente abbia il biglietto e sia
anche finalista del concorso
La disgiunzione: esempi
• Quali sono disgiunzioni inclusive e quali esclusive?
– Per essere ammessi al secondo anno di informatica uno studente
deve aver seguito il primo anno di informatica o il primo di
matematica
• Inclusiva
– La ditta Acme Auto per i suoi clienti effettua uno sconto di €2000
oppure garantisce un finanziamento a tasso 0
• Esclusiva
– Domani mattina alle 9:00 vado al mare oppure in montagna
• Esclusiva
– Martina si innamora sempre dei ragazzi con gli occhi verdi o i
capelli biondi
• Inclusiva
– Martina si innamora sempre dei ragazzi con gli occhi verdi o gli
occhi blu
• Esclusiva
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Regole della logica
• Le due disgiunzioni hanno significati differenti:
Tabella di verità
disgiunzione
esclusiva (EXOR)
A⊕B
A
B
F
F
F
Tabella di verità
disgiunzione
inclusiva (OR)
A B A∨B
F
F
F
F
V
V
F V
V
V
F
V
V F
V
V
V
F
V V
V
Sinceri o bugiardi? Analizziamo!
• Possiamo sapere che
tipo di abitanti sono
Snoopy e Charlie
Brown?
Snoopy
Charlie Brown
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• Snoopy afferma:
~S ∨ C
S significa Snoopy è
sincero
C significa Charlie Brown
è sincero
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Sinceri o bugiardi? Analizziamo!
• Snoopy afferma:
~S ∨ C
S significa Snoopy è
sincero
C significa Charlie Brown
è sincero
S
Snoopy
Charlie Brown
C
~S
~S ∨ C
F
F
V
V
F
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
V
Sinceri o bugiardi? Analizziamo!
• Snoopy afferma:
~S ∨ C
Supponiamo che Snoopy
sia bugiardo
Snoopy
S
C
~S
~S ∨ C
F
F
V
V
F
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
V
Charlie Brown
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Sinceri o bugiardi? Analizziamo!
• Snoopy afferma:
~S ∨ C
Supponiamo che Snoopy
sia sincero
Snoopy
S
C
~S
~S ∨ C
F
F
V
V
F
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
V
Charlie Brown
Sinceri o bugiardi? Analizziamo!
• Snoopy afferma:
~S ∨ C
Supponiamo che Snoopy
sia sincero
Snoopy
S
C
~S
~S ∨ C
F
F
V
V
F
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
V
Charlie Brown
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Sinceri o bugiardi?
• Simona incontra altri
due abitanti del paese
dei sinceri e dei
bugiardi
• Possiamo sapere che
tipo di abitanti sono
Arturo e Barbara?
Arturo
Barbara
Sinceri o bugiardi?
• Formalizziamo il
problema con la logica
•
Arturo
A dice ~A ∨ ~B
Barbara
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Usiamo la logica
• Le tabelle di verità:
A B A∨B
A ~A
F
F
F
F
V
F V
V
V
F
V F
V
V V
V
A
B
~A
~B
~A ∨ ~B
F
F
V
V
V
F
V
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
F
F
F
Usiamo la logica
• Arturo sincero
• Barbara bugiarda!
Arturo
A
B
~A
~B
~A ∨ ~B
F
F
V
V
V
F
V
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
F
F
F
Barbara
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Sinceri o bugiardi? Elenchiamo le soluzioni
Altra tecnica di problem
solving:
elenchiamo tutte le
possibili soluzioni (4) e ne
cerchiamo una corretta
Arturo
Arturo
Barbara
Bugiardo
Bugiarda
no
Bugiardo
Sincera
no
Sincero
Bugiarda
sì
Sincero
Sincera
no
Barbara
Mettiamo insieme disgiunzione e negazione
“Non è vero che Luca ha i capelli viola o gli occhi neri.”
E’ equivalente a dire:
–
–
–
–
Luca non ha i capelli viola e non ha gli occhi neri
Luca non ha i capelli viola oppure non ha gli occhi neri
Luca ha i capelli viola e non ha gli occhi neri
Luca non ha i capelli viola ma ha gli occhi neri
V
N V∨N
V
N
~(V ∨ N)
F
F
F
F
F
V
F
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
V
F
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Mettiamo insieme disgiunzione e negazione
“Sara non ha la penna o la matita .” E’ equivalente a
dire:
–
–
–
–
Sara non ha la penna o non ha la matita
Sara non ha la penna e nemmeno ha la matita
Sara ha la matita ma non la penna
Sara non ha penna ma ha la matita
M
~(P ∨ M)
F
F
V
V
F
P
M P∨M
P
F
F
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
V
F
Ricapitolando disgiunzione e negazione
• ~(A ∨ B) è equivalente a A falso e B falso
A B
A∨B
A
B
~(A ∨ B)
F
F
F
F
F
V
F
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
V
F
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Congiunzione
• “Maria ha gli occhi verdi e i capelli castani”
Tabella di verità
congiunzione
(AND)
V
C
V∧C
F
F
F
F
V
F
V
F
F
V
V
V
Mettiamo insieme congiunzione e negazione
“Non è vero che Maria ha gli occhi verdi e i capelli
castani.” E’ equivalente a dire:
–
–
–
–
Maria non ha gli occhi verdi oppure non ha i capelli castani
Maria non ha gli occhi verdi e non ha i capelli castani
Maria non ha gli occhi verdi ma ha i capelli castani
Maria ha gli occhi verdi ma non ha i capelli castani
V
C V∧C
V
C
~(V ∧ C)
~V ∨ ~C
F
F
F
F
F
V
V
F
V
F
F
V
V
V
V
F
F
V
F
V
V
V
V
V
V
V
F
F
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Mettiamo insieme congiunzione e negazione
“Ieri Giovanni non ha mangiato le troffie al pesto.” E’
equivalente a dire:
– Ieri Giovanni non ha mangiato le troffie oppure non ha usato il
pesto come condimento
– Ieri Giovanni non ha mangiato le troffie
– Ieri Giovanni non ha mangiato la toffie e non ha usato il pesto
– Ieri Giovanni non ha usato il pesto come condimento
Ricapitolando congiunzione e negazione
• ~(A ∧ B) è equivalente a A falso o B falso
A B
A∧B
A
B
~(A ∧ B)
~A ∨ ~B
F
F
V
V
F
F
F
F
V
F
F
V
V
V
V
F
F
V
F
V
V
V
V
V
V
V
F
F
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Implicazione e doppia implicazione
Tabella di verità doppia
implicazione (se e solo se)
Tabella di verità
implicazione (se)
A
B
A⇔B
A
B
A⇒B
F
F
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
V
V
V
V
• Esempio: se sbadiglio allora ho sonno
• Se non sbadiglio potrei avere sonno oppure no!
Implicazione e doppia implicazione
Tabella di verità doppia
implicazione (se e solo se)
Tabella di verità
implicazione (se)
B
A⇔B
A
F
F
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
V
V
V
V
A
B
A⇒B
• Esempio: sbadiglio se e solo se ho sonno
• Se non sbadiglio sicuramente non ho sonno!
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L’implicazione
- “Se oggi c’è il sole, vado al mare”
- Se sono andato al mare, oggi c’è il sole?
- “Oggi c’è il sole se e solo se vado al mare”
- Se sono andato al mare, oggi c’è il sole?
S = “Oggi c’è il sole”
M = “Vado al mare”
S
M S⇒M
S
M S⇔M
F
F
V
F
F
V
F
V
V
F
V
F
V
F
F
V
F
F
V
V
V
V
V
V
Implichiamoci!
- “Se Marco è un cantante allora è un uomo”
- “Marco non è un cantante”
- Posso dedurre che Marco non è un uomo?
- “Se Marco è un cantante allora è un uomo”
- “Marco non è un uomo”
- Posso dedurre che Marco non è un cantante?
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10/8/2012
Implichiamoci!
- “Marco è un cantante se e solo se è un uomo”
- “Marco non è un cantante”
- Posso dedurre che Marco non è un uomo?
- “Marco è un cantante se e solo se è un uomo”
- “Marco non è un uomo”
- Posso dedurre che Marco non è un cantante?
Implichiamoci!
- “Se domani mi alleno allora vincerò la gara”
- “Domani non mi alleno”
- Cosa posso dedurre?
-“Se domani mi alleno allora vincerò la gara”
-“Vinco la gara”
- Cosa posso dedurre?
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L’implicazione: ricapitolando
- “Se A allora B” e “A”
- Allora posso dedurre “B”
- “Se A allora B” e “~B”
- Allora posso dedurre “~A”
- “Se A allora B” e “~A”
- Non posso dedurre niente
A
B
A⇒B
F
F
V
F
V
V
V
F
F
V
V
V
- “Se A allora B” e “B”
- Non posso dedurre niente
La doppia implicazione: ricapitolando
- “A se e solo se B” e “A”
- Allora posso dedurre “B”
- “A se e solo se B” e “~B”
- Allora posso dedurre “~A”
- “A se e solo se B” e “~A”
- Allora posso dedurre “~B”
B
A⇔B
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
V
V
A
- “A se e solo se B” e “B”
- Allora posso dedurre “A”
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L’esperimento di Wason
Date le carte:
Whisky
Aranciata
19
16
Quale è il minor numero di carte da voltare per poter
affermare che la regola
“se la bevanda è un superalcolico
allora l’età deve essere maggiore di 18”
sia vera?
L’esperimento di Wason
Soluzione:
• Formalizziamo la frase:
“se la bevanda è un superalcolico (S)
allora l’età deve essere maggiore di 18 (M)”
con S ⇒ M
• che è falso in un solo caso: S ∧ ~M
S
• Basta quindi girare le carte
con un superalcolico (vocale) e
quelle con un minorenne (dispari)
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M S⇒M
F
F
V
F
V
V
V
F
F
V
V
V
30
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Il caso del difensore sprovveduto
• Ecco un altro caso in cui un indovinello basato
sull’implicazione ci crea problemi
Il caso del difensore sprovveduto
• Un uomo viene processato per furto. Il Pubblico
Ministero e l’Avvocato Difensore si affrontano:
– PM: “Se l’imputato è colpevole, allora ebbe un complice”
– Avvocato: “Non è vero!”
• Perché questa è la cosa peggiore che l’Avvocato
Difensore potesse dire?
• La risposta del Difensore sembrerebbe del tutto
innocua, ma …
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Il caso del difensore sprovveduto
Formalizziamo la frase detta dal PM usando:
– I : l’imputato è colpevole
– C: l’imputato ebbe un complice
• “Se l’imputato è colpevole, allora ebbe un complice”
Ovvero: I ⇒ C
I C I⇒C
• che è falso solo in un caso
F
F
V
F
V
V
V
F
F
V
V
V
• Dire che è falso significa: “L’imputato è colpevole e
non ha avuto un un complice”
Ricapitolando: negazione e implicazione
~(A ⇒ B) è equivalente a A vero e B falso
A
B
A⇒B
~(A ⇒ B)
A ∧ ~B
F
F
V
F
F
F
V
V
F
F
V
F
F
V
V
V
V
V
F
F
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Personale Docente
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E ora Esercizi!
In sintesi
~~A è equivalente a A
~(A ∧ B) è equivalente a A falso o B falso
~(A ∨ B) è equivalente a A falso e B falso
~(A ⇒ B) è equivalente a A vero e B falso
“Se A allora B” e “A”
Allora posso dedurre “B”
“A se e solo se B” e “A”
Allora posso dedurre “B”
“Se A allora B” e “~B”
Allora posso dedurre “~A”
“A se e solo se B” e “~B”
Allora posso dedurre “~A”
“Se A allora B” e “~A”
Non posso dedurre niente
“A se e solo se B” e “~A”
Allora posso dedurre “~B”
“Se A allora B” e “B”
Non posso dedurre niente
“A se e solo se B” e “B”
Allora posso dedurre “A”
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Le scatole di Mafalda
Quale
scatola
scelgo?
Almeno
una di
queste
scatole
contiene
un dolce
Le scritte sono
entrambe vere o
entrambe false
L’altra
scatola
contiene la
minestra
B
A
Le scatole di Mafalda
Contenuto
AB
A
B
MM
F
V
DM
V
F
MD
V
V
DD
V
F
Almeno
una di
queste
scatole
contiene
un dolce
Le scritte sono
entrambe false
L’altra
scatola
contiene la
minestra
A
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B
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Le scatole di Mafalda
Contenuto
AB
A
B
MM
F
V
DM
V
F
MD
V
V
DD
V
F
Almeno
una di
queste
scatole
contiene
un dolce
Le scritte sono
entrambe vere
L’altra
scatola
contiene la
minestra
B
A
Le scatole di Mafalda
Contenuto
AB
A
B
MM
F
V
DM
V
F
MD
V
V
DD
V
F
Almeno
una di
queste
scatole
contiene
un dolce
Le scritte sono
entrambe vere
L’altra
scatola
contiene la
minestra
A
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Personale Docente
B
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10/8/2012
Le scatole di Mafalda
Quale
scatola
scelgo?
Nessuna
delle
scatole
contiene
dolci
Le scritte sono una
vera e una falsa
L’altra
scatola
contiene la
minestra
B
A
Le scatole di Mafalda
Contenuto
AB
A
B
MM
V
V
DM
F
F
MD
F
V
DD
F
F
Nessuna
delle
scatole
contiene
dolci
Le scritte sono
A vera e B falsa
L’altra
scatola
contiene la
minestra
A
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10/8/2012
Le scatole di Mafalda
Contenuto
AB
A
B
MM
V
V
DM
F
F
MD
F
V
DD
F
F
Nessuna
delle
scatole
contiene
dolci
Le scritte sono
A falsa e B vera
L’altra
scatola
contiene la
minestra
B
A
Le scatole di Mafalda
Contenuto
AB
A
B
MM
V
V
DM
F
F
MD
F
V
DD
F
F
Nessuna
delle
scatole
contiene
dolci
Le scritte sono
A falsa e B vera
L’altra
scatola
contiene la
minestra
A
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Valentina Ciriani
[email protected]
http://www.dti.unimi.it/ciriani
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