lavoro del campo elettrico

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 Il lavoro del campo elettrico.
Se una carica esploratrice q si sposta in una regione di spazio, sede di un campo elettrico, le forze elettriche del campo compiono un lavoro. Esaminiamo le proprietà di tale lavoro nel caso di un
campo elettrico uniforme.
In figura è rappresentato un campo elettrico uniforme generato da due
distribuzioni di cariche opposte distribuite su due piastre metalliche
parallele. Supponiamo che una carica q positiva si sposti dalla piastra
positiva alla piastra negativa. Se la carica viene abbandonata da ferma nel punto A, essa sotto l'azione della forza elettrica costante qE si sposta lungo la linea di forza AB. Se d è la distanza tra le piastre, il lavoro è:
L= qEd
Calcoliamo ora il lavoro nel caso in cui la carica q si sposta da A a B seguendo il percorso AB'B. Durante lo spostamento AB' la forza elettrica forma un angolo  con la
direzione dello spostamento, per cui il lavoro è
LAB' = qE AB'cos
ma
quindi otteniamo
LAB' = qE AB=qEd
Durante lo spostamento successivo B'B la forza elettrica, essendo perpendicolare allo
spostamento, non compie lavoro LB'A=0
di conseguenza il lavoro complessivo durante il cammino AB'B è
AB =AB'cos
L'= LAB' + LB'A = qEd + 0 = qEd
possiamo perciò concludere che
L'= L
cioè il lavoro della forza elettrica del campo agente sulla carica q è indipendente dal particolare camino seguito dalla
q durante lo spostamento dalla piastra positiva alla piastra negativa. Le forze elettriche sono conservative.
 Qualunque sia la distribuzione di cariche si trova che il lavoro non dipende dal percorso seguito.
Il campo elettrico generato da una carica puntiforme Q è un campo radiale analogo al campo gravitazionale terrestre.
Una carica esploratrice q è sottoposta ad una forza F di diversa intensità al variare della sua distanza r dalla carica puntiforme Q sorgente, secondo la relazione:
F
1 Qq
4  0 r 2
Il calcolo del lavoro (L ) che compie la forza di Coulomb quando
una carica esploratrice q si sposta da un punto A a distanza rA da
Q, ad un punto B a distanza rB da Q, ( con rB>rA) non è semplice
da calcolare in quanto la forza non è costante.
La forza, durante lo spostamento (s= rB- rA) della carica q non rimane costante, bensì diminuisce proporzionalmente al quadrato
1 Qq
1 Qq
della distanza, passa dal valore FA 
al valore FB 
. Per calcolare il lavoro possiamo dividere
2
4 0 rA
4 0 rB 2
lo spostamento (s) in tanti intervalli r e considerare per F un valore medio (Fmedio) in ogni intervallo e calcolare i prodotti
Fmedior: Essi corrispondono alle aree dei rettangolini indicati in figura .
L=L1+ L2+ ....+Li+ ...+ Ln
La somma delle aree di tali rettangolini ci dà il lavoro totale compiuto
con un'approssimazione tanto migliore quanto più piccoli sono gli intervalli in cui è stato suddiviso lo spostamento s. Il calcolo sarebbe
esatto se all'interno di ogni intervallo la forza si potesse considerare
costante, cioè il tratto di curva considerato fosse praticamente orizzontale. Osserviamo che man mano che si riducono le ampiezze
degli intervalli r, la somma delle aree dei rettangolini si avvicina
sempre più all'area della superficie racchiusa tra la curva e l'asse o-
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rizzontale. Il calcolo del lavoro si riduce al calcolo dell'area. Non è facile calcolare l'area sottesa dalla curva e l'asse
orizzontale. L'analisi matematica ci permette di calcolare il valore dell'area quindi il lavoro. Quando il numero, n, di suddin
visioni che abbiamo operato diventa infinito, la sommatoria che ci permette di calcolare il lavoro
L   Fi medio ri , si
i 0
B
B
A
A
riduce al seguente integrale : L   Fdr  
1 Qq
dr
4 0 r 2
Applicando il calcolo integrale si ottiene:
 1 Qq   1 Qq 


L
 4  r   4  r 
0
A
0
B
questo risultato vale qualunque sia il particolare cammino seguito dalla carica q per spostarsi da A a B.
 L'energia potenziale elettrica
L'indipendenza del lavoro dalla traiettoria seguita da una carica q che si muove nel campo elettrico uniforme, e nel campo
generato da una carica puntiforme, sussiste qualunque sia il particolare campo. Possiamo perciò concludere che il campo
elettrico prodotto da cariche ferme (campo elettrostatico) è conservativo. Possiamo introdurre una grandezza U, funzione delle coordinate posizionali e delle cariche, tale che la differenza UA- UBdei valori che essa assume in due punti
A e B di un campo elettrico esprime il lavoro L compiuto dalla forza del campo quando una carica esploratrice q si sposta
da A a B lungo qualsiasi percorso. Si ha perciò
L=UA- UB
oppure
L= - U
La funzione U è chiamata energia potenziale elettrica della carica q. Occorre sempre tener presente che fisicamente
hanno significato solo le difL'energia potenziale elettrica di una carica q posta in un punto P distante r da
ferenze di energia potenziauna carica puntiforme Q che genera il campo E attorno a sé, esprime il lavoro
le. Il valore dell'energia poche la forza del campo compie quando sposta la carica q da quel punto P all'infitenziale in un punto dipende
nito, lungo qualsiasi traiettoria se l'energia potenziale all'infinito è uguale a zero.
dal livello di riferimento scelUA l'energia potenziale elettrica della carica q nel punto A che dista rA da Q e
to. Diciamo che l'energia poUB l'energia potenziale elettrica della carica q nel punto B che dista rB da Q,
tenziale elettrica in un punto
del campo è definita a meno
L  UA  UB
di una costante additiva. Generalmente si pone uguale a zero l'energia potenziale all'infinito.
 L'espressione analitica dell'energia potenziale dipende dal particolare campo elettrico considerato.
Campo uniforme
Campo radiale
L'energia potenziale elettrica
di una carica q in un punto P a
distanza r dalla carica Q
che genera il campo è
L'energia potenziale di una carica q
in un punto p distante h dall'armatura negativa di un condensatore è
uguale a
U=qEh + c
Se poniamo uguale a zero il valore
dell'energia potenziale sulla piastra
negativa
U=qEh.
U
1 Qq
c
4  0 r
1 Qq
4  0 r
tende a zero. Se conveniamo di attribuire valore nullo all'energia potenziale all'infinito (c=0) U risulta uguale a
Osserviamo che se
r   , allora, U tende a c, perchè
U
1 Qq
4  0 r
con tale convenzione possiamo affermare che l'energia potenziale elettrica
di una carica q in punto a distanza r dalla carica Q che genera il campo esprime il lavoro che la forza del campo compie quando la carica q si sposta
da quel punto all'infinito lungo qualsiasi traiettoria
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