I RAPPORTI E LE PROPORZIONI

I RAPPORTI E LE PROPORZIONI
Il RAPPORTO è la divisione tra due grandezze.
Tali grandezze possono essere:
-
omogenee (stessa unità di misura) - non originano una nuova grandezza, ma rappresentano una scala di
ingrandimento e di riduzione.
Es: le cartine geografiche possono essere lette rapportando i cm sulla carta a quella della realtà.
-
non omogenee (unità di misura diverse) - danno origine ad una nuova grandezza che ha come unità di
misura il rapporto delle due precedenti
Es: la velocità è data dal rapporto di spazio e tempo e l’unità di misura è il m/s
La PROPORZIONE è un’uguaglianza tra due rapporti.
PROPRIETÀ FONDAMENTALE DELLE PROPORZIONI:
Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi
Da questa proprietà ne derivano altre, inoltre tale proprietà permette il calcolo del termine incognito:
RISOLUZIONE DI UNA PROPORZIONE SEMPLICE AD UN TERMINE INCOGNITO
Per calcolare il termine mancante si deve applicare ma proprietà fondamentale
moltiplicando i due medi (o i due estremi) solo se entrambi noti e dividere per
il compagno medio (o estremo) incognito.
ES: ho un estremo incognito: moltiplico i due medi noti e divido per l’unico
estremo che ho a disposizione
0,5 : 0,3 = 1,3 : x
5 3 13− 1
: =
:x
9 9
9
5 1 12
: =
:x
9 3 9
5 1 4
: = :x
9 3 3
1 4
×
4 5 4 9 4
x= 3 3 = : = × =
5
9 9 9 5 5
9
PROPRIETA’ DELLE PROPORZIONI:
Applicando tali proprietà ottengo sempre una proporzione in cui la proprietà fondamentale è verificata.
1. Proprietà dell’invertire
Scambiando ogni antecedente con il proprio conseguente ottengo sempre una proporzione in cui la proprietà
fondamentale è verificata:
Es 35 :15 = 7 : 3
15 : 35 = 3 : 7
2. Proprietà del permutare
Scambiando tra loro i medi o gli estremi o i medi e gli estremi simultaneamente ottengo sempre una proporzione in cui
la proprietà:
Es:
35 :15 = 7 : 3
solo i medi
35 : 7 = 15 : 3
Es:
35 :15 = 7 : 3
solo gli estremi
3 :15 = 7 : 35
Es:
35 :15 = 7 : 3
estremi e medi insieme
3 : 7 = 15 : 35
3. Proprietà del comporre
La somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti come ogni antecedente sta al proprio conseguente:
35 :15 = 7 : 3
Es: (35 + 7) : (15 + 3) = 35 :15
(35 + 7) : (15 + 3) = 7 : 3
4. Proprietà dello scomporre
La differenza degli antecedenti sta alla differenza dei conseguenti come ogni antecedente sta al proprio conseguente:
35 :15 = 7 : 3
Es: (35 − 7) : (15 − 3) = 35 :15
(35 − 7) : (15 − 3) = 7 : 3
METODI DI RISOLUZIONE PARTICOLARI
RISOLUZIONE DI UNA PROPORZIONE CONTINUA
Una proporzione continua è una proporzione che ha i medi uguali.
Per tale motivo non si parla di medi ma di un unico medio detto:
MEDIO PROPORZIONALE.
Si applicano le proprietà fino ad ottenere le incognite al medio proporzionale.
La proporzione si risolve facendo il prodotto degli estremi noti e
calcolando la radice di tale prodotto.
⎛ 4⎞
⎛ 21 7 ⎞
⎜1+ ⎟ : x = x : ⎜ × ⎟
⎝ 5⎠
⎝ 20 3 ⎠
⎛ 9⎞
⎛ 49 ⎞
⎜ ⎟ : x = x :⎜ ⎟
⎝ 5⎠
⎝ 20 ⎠
9 49
x2 = ×
5 20
441 21
x=
=
100 10
RISOLUZIONE DI UNA PROPORZIONE COMPOSTA AD UN TERMINE INCOGNITO
Lo scopo è portare, applicando le varie proprietà, la parentesi con l’incognita al primo antecedente e l’incognita da sola
al primo conseguente.
Possiamo poi avere due casi distinti:
1. La sottrazione dell’incognita nella parentesi
x : ( 30− x) = 18 : 2
( 30− x) : x = 2 :18
( 30− x + x) : x = ( 2+18) :18
30 : x = 20 :18
30×18
x=
= 27
20
prop.inveritre
prop. COMPORRE CON CONSEGUENTI (in tal modo si elimina l’incognita nella parentesi)
2. La somma dell’incognita nella parentesi
x : ( x +10) = 5 : 30
prop.inveritre
( x +10) : x = 30 : 5
prop. SCOMPORRE CON CONSEGUENTI (in tal modo si elimina l’incognita nella parentesi)
(10+ x − x) : x = ( 30− 5) : 5
10 : x = 25 : 5
10× 5
x=
=2
25
RISOLUZIONE DI UNA PROPORZIONE A DUE INCOGNITE
Lo scopo è portare, applicando le varie proprietà, la parentesi con le due incognite al primo antecedente e una delle
due incognite da sola al primo conseguente.
Possiamo poi avere due casi distinti:
1. La sottrazione delle incognite
x : y = 46 :10
con (x − y) = 72
( x − y ) : y = (46 −10) :10
72 : y = 36 :10
72 ×10
y=
= 20
36
prop. SCOMPORRE CON CONSEGUENTI (in tal modo si ottiene la sottrazione delle due
incognite nella parentesi, sostituibile con il valore
numerico)
la seconda incognita la ricavo dalla sottrazione di partenza o applicando un’altra proporzione
x = 72+ 20 = 92
2. La somma delle incognite
x : y = 24 : 27
con (x + y) =
( x + y) : y = ( 24 + 27) : 27
51
: y = 51 : 27
8
51
× 27
51
1
27
y= 8
=
× 27×
=
51
8
51 8
x=
51 27 24
−
=
=3
8
8
8
51
8
prop. COMPORRE CON CONSEGUENTI (in tal modo si ottiene la sottrazione delle due
incognite nella parentesi, sostituibile con il valore
numerico)
la seconda incognita la ricavo dalla somma di partenza o applicando un’altra proporzione
PROBLEMI RISOLVIBILI CON LE PROPORZIONI
Due angoli sono complementari e uno è i 3/2 dell’altro. Calcola l’ampiezza dei due angoli.
(questo vuol dire che il loro rapporto è 3 a 2, o meglio 3:2)
x : y = 3: 2
( x + y) : y = ( 3+ 2) : 2
con (x + y) = 90°
90 : y = 5 : 2
90× 2
y=
= 36°
5
x = 90− 36 = 54°
C ATENA DI RAPPORTI
Se ho tre rapporti in uguaglianza, posso creare una proporzione associando i rapporti a 2 a 2. Posso inoltre applicare la
proprietà del comporre con tutti gli antecedenti ed i conseguenti
a :b = c :d = e : f
a :b = c :d
a :b = e : f
c :d = e : f
(a + c + e) : (b + d + f ) = a : b
(a + c + e) : (b + d + f ) = c : d
(a + c + e) : (b + d + f ) = e : f
Es: Tre taniche contengono complessivamente 48 litri e sono
rapportate ai numeri 3, 4 e 5. Quanto contiene ciascuna?
x :3 = y :4 = z :5
(x + y + z) : (3 + 4 + 5) = x : 3
48 :12 = x : 3
48 ⋅ 3
x=
= 12
12