Esercizio Verifica Trave in CAP
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Esercizio Verifica Trave in CAP
CEMENTO ARMATO PRECOMPRESSO – perdite e cadute di tensione verifiche dello stato tensionale allo stato limite di esercizio e verifica allo SLU. Andamento e fuso del cavo Con riferimento alla trave in cemento armato precompresso a cavi post-tesi indicata in figura si valutino nel rispetto del D.M. 14.01.09: 1. 2. 3. 4. 5. le perdite di tensione in fase iniziale le cadute di tensione lente in fase esercizio si effettui la verifica delle tensioni allo stato limite di esercizio Si effettui la verifica allo stato limite ultimo della trave Si costruisca il fuso del cavo risultante e il fuso di Guyon corrispondente N.B. il cavo ha una andamento parabolico A h b f B dp 12.5 C D 12.5 5.00 L L Dati trave Altezza sezione h 150 cm base sezione b 40 cm Armatura di precompressione Ap 25 cm lunghezza trave L 30 m Freccia del cavo f 1 m Distanza minima del cavo dal lembo inferiore eccentricità del cavo in mezzeria dp 8 cm h ec dp 2 Tiro e tensione iniziale del cavo N0 3500 kN tiro a 15 gg 2 σspi N0 Ap (Armatura in trefoli) ec σspi 67 cm 3 1.4 u 10 MPa Carichi esterni Sovraccarichi caratteristici permamenti: Sovraccarichi caratteristici accidentali pk 4.5 qk 5. kN m kN cond. carico quasi permanente m Fasi di costruzione Fase I: condizioni a vuoto (carico id precompressione + P.Proprio Trave) Fase II: condizioni di esercizio (carico di precomp.+P.P.trave+ Sovraccarichi perm. e acc.) SOLUZIONE Calcolo Caratteristiche Meccaniche dei Materiali Calcestruzzo Resistenza a compressione cubica a 28gg Rck 40 MPa Resistenza Cilindrica a 28gg fck 0.83 Rck Resistenza cilindrica media Resistenza a trazione media del cls fck fcm fck 8 MPa Resistenza a compressione del cls al tiro (Model Code 90) 2 3 3 § 28 · © 15 ¹ fctm 0.3 MPa Rck fckj fck e 41.2 MPa fcm 1 0.25 ¨1 33.2 MPa fctm 3.509 MPa ¸ Tensione massima di compressione ammissibile nel cls in condizioni iniziali σcci 0.7 fckj Tensione massima di trazione ammissibile nel cls in condizioni iniziali σcti Tensione massima di compressione ammissibile nel cls in condizioni di esercizio σcce 0.45 fck Tensione massima di trazione ammissibile nel cls in condizioni di esercizio σcte Modulo elastico cls fcm · Ec 22000MPa §¨ ¸ © 10 ¹ fckj fctm 1.2 fctm 1.2 0.7 30.295 MPa σcci 21.207 MPa σcti 2.924 MPa σcce 14.94 MPa σcte 2.924 MPa 0.3 Ec 4 3.364 u 10 MPa Acciaio Modulo elastico acciaio da Precompressione Ep 205000 MPa Tensioni caratteristicche di rottura e snervamento dell'armatura di precompressione (in trefoli) fptk 1900 MPa Tensione massima ammissibile nell'armatura al tiro σpi min( 0.75fptk 0.85fp1k) σpi Tensione massima ammissibile nell'armatura in esercizio fp1k 1700MPa 3 1.425 u 10 MPa σpe 0.8fp1k σpe 3 1.36 u 10 MPa Coefficiente di omegenizzazione al tiro n Ep 6.093 Ec Calcolo caratteristice geometriche della sezione nelle varie fasi si valutano le caratteristiche geometriche della sezione nelle due fasi previste nella fase di costruzione e di esercizio della trave Fase I (Condizioni a Vuoto: precompressione + peso proprio della trave) In questa fase i cavi non sono solidali col calcestruzzo per cui occorre depurare la sezione di calcestruzzo dell'area dei cavi di precompressione. Area AidI b h Ap Momento Statico h SidI b h Ap ( h dp) 2 3 2 5 3 AidI 5.975 u 10 cm SidI 4.465 u 10 cm Posizione asse neutro rispetto al lembo superiore della trave yGI SidI yGI AidI 74.72 cm Momento d'inerzia JidI b h 3 b h §¨ h ©2 12 2 yGI·¸ Ap ( h dp yGI) 2 JidI ¹ 7 1.114 u 10 cm 4 Moduli di resitenza a flessione superiore e inferiore JidI WidsI yGI JidI WidiI h yGI 5 3 5 3 WidsI 1.491 u 10 cm WidiI 1.479 u 10 cm Nel caso specifico l'area dei cavi d'acciaio risulta essere piccola per cui l'area ideale della sezione si potrebbe approssimare con l'area della sezione immaginata di solo calcestruzzo senza eccessivo errore. Infatti l'area e il momento d'inerzia approssimati risulterebbero AI b h WsI JI yGI AI WsI 3 6 u 10 cm 2 5 1.506 u 10 cm JI 3 b h 3 JI 12 WiI JI h yGI 7 1.125 u 10 cm WiI 4 5 1.494 u 10 cm 3 Fase II (Condizioni di esercizio ( precompressione + peso proprio della trave+ sovraccarichi permanenti e accidentali) In questa fase i cavi di precompressione sono sigillati nelle guaine con la malta e pertanto risultano solidali col calcestruzzo. Le grandezze geometriche ideali sono quindi le seguent i: Area AidII b h Ap n Ap 3 6.127 u 10 cm AidII 2 Momento Statico h SidII b h Ap ( h dp) n Ap ( h dp) 2 SidII 5 4.681 u 10 cm 3 Posizione asse neutro rispetto al lembo superiore della trave SidII yGII 76.392 cm yGII AidII Momento d'inerzia JidII JidI 3 2 h 2 2 b h §¨ yGII¸· Ap ( h dp yGII ) n Ap ( h dp yGII ) 12 ©2 ¹ b h 7 1.114 u 10 cm 4 Moduli di resitenza a flessione superiore e inferiore WidsII WidiII JidII yGII JidII h yGII 5 3 5 3 WidsII 1.546 u 10 cm WidiII 1.604 u 10 cm Calcolo Sollecitazioni Peso proprio trave pp b h 25 kN pp 3 m 15 kN m Momento massimo in mezzeria al tiro Mmax1 1 8 pp L 2 Mmax1 3 1.688 u 10 kN m Momenti massimi in mezzeria in esercizio Mmax2 Mmax3 1 8 1 8 ( pp pk) L ( qk) L 2 2 3 (Permanenti) Mmax2 2.194 u 10 kN m (Variabili cond. rara) Mmax3 562.5 kN m Calcolo Perdite e Cadute di Tensione Perdite per attrito In travi in c.a.p. a cavi post-tesi, nella fase di tesatura del cavo, nascono inevitabilmente tensioni tangenziali sulla superficie del cavo dovute all’attrito tra cavo e guaina. La variazione di tensione (trazione) nel cavo si può valutare con la nota relazione : V spi 1 e f D N0 1 e f cD Ai dove fc = 0.3 1/rad nel caso si utilizzino guaine metalliche D = angolo che la tangente al cavo nel punto iniziale forma con l’asse orizzontale 'V attr c Per la valutazione di D si può determinare l’equazione della parabola che descrive la forma del cavo con origine nel punto B e poi valutare il valore della derivata prima nel punto A: 2 y ax bx c con le seguenti condizioni al contorno y(0)=0 dy/dx(0)=0 y(15)=0 porte ai seguenti coefficienti b=c=0 L y ( x ) 0.0045 x 3 1 4 a 2 4.444 u 10 2 2 m (Equazione del cavo) Calcolando a questo punto la derivata di y(x) in testa alla trave si può valutare l'angolo che la tangente al cavo forma con l'asse della trave x 15 D § d y( x) · ¨ ¸ © dx ¹ 0.135 tanα D Poichè l'arco tangente è circa pari alla tangente si assume che α 0.135 rad A questo punto è possibile valutare la perdita di tensione nel cavo dovuta all'attrito fc 0.3 ∆σatt N0 ª¬1 e fc ( α)º¼ Ap ∆σatt 55.567 MPa (Perdita di tensione per attrito) La perdita di carico nel cavo vale di conseguenza ∆Natt Ap ∆σatt ∆Natt 138.918 kN (Perdita di sforzo nel cavo per attrito) Tiro nel cavo a perdite di attrito avvenute Nel cavo dopo il tiro dello stesso lo sforzo normale in esso vale Ni N0 ∆Natt 3 Ni con una perdita percentuale pari 3.361 u 10 kN N0 Ni N0 100 3.969 Caduta di tensione dovute alla viscosità del cls Il D.M. 14.01.2009 al punto 11.2.10.7 precisa che il calcolo delle cadute di tensione a tempo infinito (in esercizio) dovute alla viscosità è da calcolarsi come segue: 'V v dove ) t 0 , f E p H c ,el ) t 0 , f ) t 0 , f nV c ,el è la funzione di viscosità a tempo infinito funzione del tempo di carico t 0 La tensione Vc,el è la tensione nel cls all'altezza del cavo dovuta ai sovraccarichi permanenti e accidentali, quest'ultimi solo se di natura quasi permanente: σcel Ni AidII Ni ec JidII ec Mmax2 JidII ec σcel 5.815 MPa La funzione ) può essere desunta dalla tabella 11.2.VII delle NTC08 valida per un dato valore d'umidità relativa. Nel caso specifico l'umidità prescelta è pari al 75% Il coefficiente h0 si calcola come rapporto tra il doppio dell'area della sezione e il perimetro della sezione stessa h0 2 ( 1500 400 ) 2 ( 1500 400 ) h0 315.789 Ipotizzando un tempo di carico iniziale to=15gg, interpolando tra i valori relativi ad ho=300 ed ho=600 indicati nella tabella, il valore della funzione di viscosità vale: Φ 2.2 La caduta di tensione nel cavo dovuta al fenomeno della viscoità risulta di conseguenza ∆σv Φ n σcel ∆σv 77.959 MPa La variazione di tiro nel cavo vale infine ∆Nv ∆σv Ap con una perdita percentuale pari ∆Nv 194.898 kN ∆Nv N0 100 5.569 Caduta di tensione dovute al ritiro del cls Il D.M. 14.01.2009 al punto 11.2.10.6 precisa che il calcolo delle cadute di tensione a tempo infinito (in esercizio) dovute alla ritiro è da calcolarsi come segue: Nel caso specifico Hc0 e kh non coincidendo con nessuno dei valori tabellati devono essere ricavati per interpolazione lineare. Scegliendo un valore dell'Umidità più vicino a quello prescelto (in questo caso il 75%) e ricordando che fck=33.2 Mpa, la deformazione Hc0 espressa il °/ °° si calcola come segue: ε c0 ε c0 εc0 0.38 0.49 40 20 0.24 0.30 40 20 ( 33.2 20) 0.49 ε c0 0.417 °/°° UR = 60% ( 33.2 20) 0.30 ε c0 0.26 UR = 80% 0.26 0.417 80 60 k h 0.75 ( 75 60) 0.417 0.75 0.70 500 300 ( h0 300 ) 0.299 kh 0.746 °/°° valore interpolato tra UR=60% e UR=80% εcd εc0 k h εcd 0.223°/°° Il ritiro autogeno a tempo infinito vale εca 2.5 ( 33.2 10) 10 6 5 εca 5.8 u 10 εcs 0.223 °/°° °/°° La deformazione totale per ritiro vale dunque εcs εcd εca La conseguente perdita di tensione nel cavo vale quindi ∆σrit εcs 1000 Ep ∆σrit 45.779 MPa Infine la variazione di tiro nel cavo vale ∆Nrit ∆σrit Ap ∆Nrit con una perdita percentuale pari a 114.449 kN ∆Nrit N0 100 3.27 Caduta di tensione dovute al rilassamento dell'acciaio Il D.M. 11.09.2009 al punto 11.3.3.3 precisa che il calcolo delle cadute di tensione a tempo infinito (in esercizio) dovute al rilassamento riferite ad una temperatura di 20 °C Nel caso specifico adottando trefoli stabilizzati si ha: ρ1000 2.5 μ σspi σspi 0.824 fp1k 3 1.4 u 10 MPa t 500000 la perdita per rilassamentoa tempo infinito vale dunque ∆σpr σspi 0.66 ρ1000 e · ¸ 1000 © ¹ 9.1 μ § ¨ t 0.75 ( 1 μ) 5 10 94.511 MPa La perdita per rilassamento deve secondo quanto indicato dall'EC2 al punto 5.46 tener conto della interdipendenza con le cadute di tensione dovute alla viscosità e al ritiro. La perdita totale, comprensiva cioè di tutti i genomeni lenti può ricavarsi dalla segente relazione: ∆σtot ∆σv ∆σrit 0.8 ∆σpr ∆σtot Ep Ap § AI 2· ¨1 ec ¸ ( 1 0.8 Φ ) 1 JI Ec AI © ¹ 161.044 MPa Ia conseguente variazione di tiro nel cavo varrà ∆Ntot ∆σtot Ap ∆Ntot 402.611 kN con una perdita percentuale totale pari a ∆Ntot N0 100 11.503 Tiro nel cavo a perdite e cadute avvenute In esercizio a perdite e cadute di tensione scontate il tiro nel cavo assume il seguente valore Nes N0 ∆Natt ∆Ntot Nes 3 2.958 u 10 kN La percentuale di perdita totale rispetto al tiro iniziale risulta quindi pari a: N0 Nes N0 100 15.472 Verifiche allo stato limite di esercizio: verifica alle tensioni normali Verifica delle Tensioni nel cls in condizioni iniziali In condizioni iniziali le tensioni massima e minima nel cls si calcolano con riferimento alle caratteristiche geometriche della fase a vuoto Tensione massima (al lembo inferiore) nel cls a vuoto σciv Ni AidI Ni ec JidI Mmax1 ( h yGI) JidI ( h yGI) σciv 9.44 MPa σcsv 1.839 MPa Tensione minima (al lembo superiore) nel csl a vuoto σcsv Ni AidI Ni ec JidI yGI Mmax1 JidI yGI Entrambi i valori risultano al di sotto dei limiti della normativa e dunque la verifica a vuoto nel cls è soddisfatta Verifica delle Tensioni nell'acciaio in condizioni iniziali In condizioni iniziali le tensioni massima nell'acciaio si calcola come segue σsv Ni σsv Ap 3 1.344 u 10 MPa Tale valore è al di sotto del limite massimo consentito per la tensione di trazione nell'acciaio in condizioni iniziali. La verifica è dunque soddisfatta Verifica delle Tensioni nel cls in condizioni di esercizio In condizioni di esercizio le tensioni massima e minima nel cls si calcolano con riferimento alle caratteristiche geometriche della fase di esercizio Tensione massima (al lembo inferiore) nel cls in esercizio σcie Nes AidII Nes ec JidII ( h yGII ) Mmax2 Mmax3 JidII ( h yGII ) 3 σcie 3.671 u 10 σcse 8.091 MPa MPa Tensione minima (al lembo superiore) nel csl in esercizio σcse Nes AidII Ni ec JidII yGII Mmax2 Mmax3 JidII yGII La sezione risulta interamente compressa ed entrambi i valori risultano al di sotto dei limiti della normativa. Dunque la verifica in esercizio nel cls è soddisfatta Verifica delle Tensioni nell'acciaio in condizioni di esercizio In condizioni di esercizio le tensioni massima nell'acciaio si calcola come segue σsv Nes Ap n Mmax2 Mmax3 JidII ec σsv 3 1.279 u 10 MPa Tale valore è al di sotto del limite massimo consentito per la tensione di trazione nell'acciaio in condizioni di esercizio. La verifica è dunque soddisfatta Verifica allo stato limite ultimo della sezione di mezzeria In una trave in c.a.p raggiunto lo stato limite ultimo, le armature di precompressione raggiungono il loro limite di snervamento oltre il quale si perde l'effetto della precompressione in quanto la tensione non cambia più al variare della deformazione. In tal caso la sezione della trave si comporta come una sezione in c.a. ordinario con l'armatura di precompressione che si comporta come armatura ordinaria. Occorre solamente tener conto del fatto che l'armatura di precompressione all'atto del tiro subisce una deformazione iniziale che va aggiunta alla deformazione provocata dai carichi esterni. Nel caso specifico la deformazione iniziale dell'armatura di precompressione vale εp0 Nes εp0 Ep Ap 5.773 u 10 3 La deformazione allo snervamento dell'armatura di precompressione vale fp1k εpy 1.15 εpy Ep 7.211 u 10 3 La resistenza del cls allo stato limite ultimo vale come noto fcd fck 20.75 MPa fcd 1.6 Sotto ipotesi che la sezione collassi in zona 2, l'asse neutro si valuta facilmente come la nota relazione yc Ap fp1k yc 0.8 b fcd 64.006 cm La deformazione dell'acciaio vale di conseguenza εp 0.0035 h yc dp εp yc 4.265 u 10 3 Alla precedente va aggiunta però la deformazione già presente in fase di tiro (si è trascurata quella dovuta alla trazione imposta dalla precompressione in fase di esercizio) εpt εp N0 εpt Ap Ep 0.011 La deformazione così valutata dimostra come la sezione collassi effettivamente in campo 2 Il momento ultimo della sezione vale quindi Mu Ap fp1k 0.9 ( h dp) Mu 3 5.431 u 10 kN m Il momento agente sulla trave vale Md 1 8 2 ( pp pk) 1.4 L 1 8 qk 1.5 L 2 Md La verifica allo SLU è dunque ampiamente soddisfatta 3 3.915 u 10 kN m DETERMINAZIONE DEL FUSO DEL CAVO RISULTANTE Per la determinazione del fuso del cavo risultante occorre conoscere i punti di nocciolo la legge di variazione del momento dovuto al peso proprio e quello dovuto ai sovraccarichi permanenti e accidentali Punti di nocciolo Inferiore Superiore pp L Mg( x ) 2 di WidsII ds WidiII x pp x 2 AidII Mes( x ) Nes 0.252 m ds 0.262 m Andamento del Momento dovuto al peso prorio 2 x ( pp pk qk) Limite superiore del cavo risultante es( x ) di 2 ( pp pk qk) L Mes( x ) AidII x 2 Momento in esercizio 2 Limite Inferiore del cavo risultante ds ei( x ) Mg( x ) Ni di x 0 30 2 CR( x ) 0.004555 x 0.135 x 1 0.67 FUSO DEL CAVO RISULTANTE ei( x m) es( x m) 0.5 0 CR( x) 0.5 0 10 20 x m 30 DETERMINAZIONE DEL FUSO DI GUYON Per la determinazione del fuso di Guyon occorre determinare le eccentricità del cavo in fase iniziale e di esercizio che producano il raggiungimento della tensione ammissibile nel lembo superiore o inferiore della trave. A tale scopo basta esprimere l'eccentricità del cavo con la formula di Navier fissando la tensione al valore ammissibile per la trazione e la compressione. Il fuso viene quindi individuato come segue: Mg( x ) WidsI § σcti AidI 1·¸ ¨ AidI © Ni Ni ¹ e1i( x ) WidiI § σcci AidI ¨ AidI © e2i( x ) Ni 1¸· ¹ Mg( x ) Ni e1s( x ) e2s( x ) Mes( x ) WidsII § σcce AidII 1¸· ¨ AidII © Nes Nes ¹ WidiII § σcte AidII ¨ AidII © Nes 1·¸ ¹ Mes( x ) Nes e1( x ) min( e1i( x ) e2i( x ) ) Limite inferiore del fuso di Guyon e2( x ) max( e1s( x ) e2s( x ) ) Limite superiore del fuso di Guyon e1( x m) 0.5 e2( x m) es( x m) ei( x m) 0 CR( x) 0.5 0 10 20 x m 30