Sintesi per tentativi

# SINTESI PER TENTATIVI IN ω PER GLI ASSERVIMENTI #
• Considerazioni sulle specifiche.
Come accennato in precedenza, prima di avviare la prima fase della sintesi di un
sistema di asservimento, e cioe’ la scelta della struttura e dei valori dei
parametri della F. di T. del controllore C, e’ necessario avere a disposizione un
set di specifiche adatte all’analisi che si conduce in questa fase.
Ricordiamo che le specifiche devono rigurdare:
a) il comportamento in regime permanente;
b) la stabilita’;
c) il transitorio.
a)
Per quanto riguarda le specifiche sul regime permanente non ci sono
problemi, dato che fissare il tipo e l’entita’ dell’errore massimo ammissibile
porta direttamente alla scelta del numero di poli nell’origine e del guadagno
della risposta armonica della catena diretta G(jω) e quindi di C(jω), nota la
P(jω).
Conviene tener presente a questo proposito che in genere gli asservimenti che si
desidera realizzare piu’ frequentemente sono di tipo 0 o di tipo 1 (raramente di
tipo 2). L’eventuale necessaria introduzione di poli nell’origine tramite il
controllore, nel caso in cui il processo ne sia sprovvisto, non comporta alcuna
modifica alle fasi della procedura di sintesi che stiamo descrivendo rispetto al
caso in cui tali poli siano posseduti dal processo. In tale procedura si supporra’
sempre che il processo abbia i poli nell’origine desiderati e si procedera’ alla
sintesi del controllore senza tali poli, salvo poi a considerare la necessita’ di
introdurli tramite il controllore in sede della sua implementazione finale.
Per quanto appena detto le specifiche sul regime permanente si
traducono quindi in una condizione per il solo guadagno di G(jω).
b)
Per quanto riguarda la stabilità, il criterio di Nyquist fornisce
direttamente le condizioni cui deve soddisfare la G(jω). Spesso viene escluso, in
sede di assegnazione delle specifiche, che la stabilità sia condizionata. Inoltre la
stragrande maggioranza dei processi dei sistemi di asservimento classici è
caratterizzata da non avere poli a p.r.p., per cui il ricorso al criterio ridotto di
Nyquist porta direttamente a valutare la stabilità in termini di margini di
fase e di guadagno, direttamente deducibili dai diagrammi di Bode a ciclo
aperto.
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c)
Invece le proprieta’ transitorie desiderate sono espresse solitamente nel
dominio del tempo con riferimento ai parametri della risposta indiciale del
sistema a ciclo chiuso. Tali specifiche non sono utilizzabili nella prima fase della
procedura di sintesi che si conduce, come detto, nel dominio della frequenza e
con riferimento alla G(jω). Si tratta quindi di trasformare opportunamente le
specifiche di cui sopra.
Una prima trasformazione puo’ essere fatta con riferimento ai legami globali,
che abbiamo visto essere validi per la classe, non generale ma abbastanza ampia,
dei “sistemi normali” cioe’ sistemi a riposta armonica normale e non troppo
complessi (con struttura poli-zeri non molto ampia). Tali sistemi sono spesso
caratterizzabili colla presenza di un modo dominante a ciclo chiuso.
Grazie ai legami globali e’ possibile “tradurre” efficacemente per la sintesi le
specifiche sulla risposta indiciale in specifiche sulla risposta armonica a ciclo
chiuso, quali il modulo di risonanza Mr e la corrispondente pulsazione ωr , la
banda passante B3 etc.
Tali specifiche, riferentisi alla risposta armonica a ciclo chiuso, non sono pero’
ancora direttamente utilizzabili nella prima fase della procedura che, come
detto, si conduce sul ciclo aperto e con riferimento ai diagrammi di Bode. In tale
contesto i parametri del sistema a ciclo aperto a disposizione del progettista sono
i margini di stabilita’ mϕ e mg e la pulsazione di attraversamento ωt .
⇒
Con riferimento ai sistemi normali di cui sopra esiste una relazione,
largamente approssimata ma di grande utilita’ nello sviluppo della sintesi per
tentativi in ω, tra banda passante a ciclo chiuso e pulsazione di attraversamento
a ciclo aperto:
ωt = (3 ÷ 5)B3
(1)
Nei sistemi normali cioe’ B3 e’ direttamente proporzionale a ωt . La (1) dice che
dalla conoscenza della banda passante desiderata (specifica a ciclo chiuso) si
puo’ passare alla pulsazione di attraversamento desiderata (specifica a ciclo
aperto) moltiplicando la banda in Hz per una costante compresa tra 3 e 5.
⇒
Sempre per la categoria dei sistemi normali si utilizza una relazione
approssimata tra modulo alla risonanza Mr e margine di fase mϕ riassunta dal
diagramma riportato nella pagina seguente.
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3
Dal diagramma si legge per esempio che, dato che per un accettabile
comportamento transitorio in un sistema di asservimento dovrebbe essere
s*%≤25, cui corrisponde per il legame globale: (1+s*)≅0.85Mr
valore del margine di fase dovrebbe essere mϕ ≥35°.
⇒ |Mr|dB≤3.3 , il
• Con riferimento ai margini di stabilita’ in genere si puo’ affermare che
per un comportamento transitorio soddisfacente il margine di fase
dovrebbe essere compreso nell’intervallo (35°÷60°) e il margine di
guadagno dovrebbe essere non inferiore a 6dB. I margini di stabilità
vengono dunque considerati non solo come margini di sicurezza per la
stabilità rispetto a possibili variazioni parametriche (stabilità robusta), ma
anche come un modo di caratterizzare, sia pure in maniera grossolana, il
comportamento transitorio.
E’ chiaro che il legame tra specifiche di partenza e vincoli sul ciclo aperto cosi’
individuati e’ piuttosto approssimato e cio’ rende necessaria, come segnalato
nella presentazione del metodo di sintesi, la fase di verifica del soddisfacimento
delle specifiche a ciclo chiuso.
Da quanto visto sopra possiamo anticipare una considerazione generale sulla
soluzione dei problemi di sintesi che si ottiene tramite la procedura allo studio:
tale soluzione, essendo dipendente dal soddisfacimento di specifiche non molto
rigide e vincolanti, potra’ essere ottenuta con una molteplicita’ di scelte
progettuali diverse. Si trattera’ caso per caso di analizzare le diverse alternative
che possono apparire equivalenti rispetto alle specifiche adottate, introducendo
ulteriori criteri di scelta che indirizzino a preferire una soluzione rispetto alle
altre. Qui entra in gioco chiaramente l’esperienza e l’intuito ingegneristico che
porta ad esercitare tale opzione.
In mancanza di altri criteri, la scelta finale si potrebbe basare sulle seguenti
considerazioni:
⇒
Il costo della realizzazione di un sistema di controllo si puo’ assumere
proporzionale al prodotto del guadagno a ciclo aperto per la banda
passante a ciclo chiuso. Si puo’ ritenere infatti che il costo dei componenti
da introdurre per realizzare il sistema di controllo (amplificatori,
trasduttori, attuatori) sia proporzionale a tali parametri. Fra le varie
soluzioni possibili si andra’ dunque a scegliere quella che, assicurando le
prestazioni desiderate, porti al valore minimo di tale prodotto (criterio di
realizzazione soddisfacente col minimo costo)
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• Scelta della struttura .
Facciamo riferimento allo schema standard a retroazione unitaria con blocco
controllante C e processo P in cascata nella catena diretta.
Supponiamo di voler realizzare un sistema di asservimento di tipo 1, con
opportune specifiche sull’errore a regime, sulla stabilita’ e sul transitorio. Tali
specifiche siano le seguenti:
a) Kv ≥ Kv*;
b) mϕ ≥ mϕ*;
c) B3 ≅ B3*.
Con riferimento alla specifica a), tenendo conto di quanto detto sopra a
proposito del polo nell’origine necessario nella catena diretta, si ricava
immediatamente un vincolo inferiore sul valore del guadagno del controllore C:
*
K
KC ≥ v
KP
(2)
Scelto cosi’ il valore di KC le specifiche sul regime permanente saranno
soddisfatte, e si puo’ passare alle altre specifiche, tramite le quali determineremo
la struttura poli-zeri della F. di T. del controllore.
La specifica b) sulla stabilita’ gioca a questo punto un ruolo prioritario. La
specifica c) in questo caso riassume molto sinteticamente le esigenze di un
soddisfacente comportamento dinamico a ciclo chiuso e potra’ essere soddisfatta
da una appropriata scelta delle azioni stabilizzanti, come vedremo nel seguito. In
ogni caso sara’ l’ultima specifica ad essere verificata nella fase conclusiva della
procedura di sintesi. Esaminiamo dunque ora le possibili azioni stabilizzanti.
Esistono due tipiche azioni elementari stabilizzanti:
⇒
⇒
l’azione anticipatrice (lead-lag);
l’azione attenuatrice (lag-lead).
Per illustrare le caratteristiche di queste due azioni riferiamoci ad un sistema a
stabilita’ regolare e al dominio della frequenza.
• Azione anticipatrice.
L’azione o correzione anticipatrice consiste nell’introdurre, tramite il
controllore C, un anticipo di fase a ciclo aperto in un certo campo di frequenze.
Tale azione diventa stabilizzante se viene esercitata nella banda di frequenze che
interessa il circondamento del punto critico del diagramma di Nyquist e quindi
corrispondentemente l’attraversamento dell’asse delle ascisse del diagramma dei
moduli di Bode.
Poiche’ agli anticipi di fase si accompagnano, nelle F. di T. a fase minima,
aumenti di modulo che hanno effetto dannoso ai fini della stabilita’, si tratta di
fare si’ che tale effetto sia meno rilevante di quello positivo dell’anticipo di fase.
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L’azione anticipatrice viene esplicata da un controllore, la cui F. di T. in forma
standard e’ la seguente:
Cant ( s ) = K C
1+ τas
1+
τa
ma
s
(3)
; con ma>1 .
Come si nota, oltre al guadagno KC , l’azione anticipatrice dipende dai due
parametri τa e ma entrambi a disposizione del progettista (carte progettuali).
Vedremo nel seguito di individuare i criteri piu’ appropriati di scelta dei valori
di tali parametri in base alle specifiche di progetto.
L’effetto di anticipo dell’azione in oggetto e’ immediatamente evidente se ci
riferiamo ai relativi diagrammi di Bode:
⇒
grafici.
L’entita’ dell’anticipo di fase e’ legata al valore di ma . Per ma → ∞ l’anticipo di
fase tende a 90°. In pratica l’azione anticipatrice dovra’ essere posizionata nel
punto giusto, cioe’ intorno a ωt come gia’ anticipato.
• Azione attenuatrice.
L’azione o correzione attenuatrice consiste nell’attenuare il modulo a ciclo
aperto in una certa banda di frequenze. Essa ha un effetto stabilizzante se viene
sviluppata piu’ precisamente nella zona delle basse frequenze, rispetto alla
pulsazione di attraversamento.
Abbiamo visto che nei sistemi a stabilita’ regolare si puo’ sempre conseguire la
stabilita’ od aumentarne i margini con una riduzione del guadagno a ciclo
aperto. Ma al guadagno a ciclo aperto e’ legato il comportamento a regime (oltre
che al numero di poli nell’origine) quindi, se tale guadagno e’ gia’ stato fissato
secondo le specifiche sull’errore a regime, non e’ concesso agire sulla stabilita’
variando tale parametro.
Ma l’effetto stabilizzante si puo’ anche ottenere riducendo il modulo a ciclo
aperto invece che a tutte le frequenze, come si farebbe diminuendo il guadagno,
solo da una certa frequenza in poi, lasciando inalterato il diagramma dei moduli
alle frequenze molto basse, e quindi le caratteristiche relative al regime
permanente.
Naturalmente agendo in tale modo si modificano anche le proprieta’ transitorie
e di questo bisognera’ tener conto opportunamente.
L’azione attenuatrice viene esplicata da un controllore, la cui F. di T. in forma
standard e’ la seguente:
1+
τi
s
mi
Catt ( s ) = K C
; con mi>1 .
1+τis
⇒
grafici.
(4)
Come si nota, oltre al guadagno KC , anche l’azione attenuatrice dipende dai due
parametri τi e mi entrambi a disposizione del progettista (carte progettuali).
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