Global Positioning System Lavoro di maturit`a

Global Positioning System
Lavoro di maturità
Sandro Mani
Struttura del sistema
Global Positioning System
Space segment:
24 satelliti orbitanti attorno alla Terra a circa
20200 km di quota;
User segment:
Riceventi sulla Terra;
Control segment:
Stazioni di monitoraggio sulla Terra.
Introduzione Funzionamento Relatività Segnali Conclusione
Struttura del sistema
1
Trilaterazione
Trilaterazione:
1 satellite
Una sfera
3 satelliti
Due punti
Global Positioning System
Principio per determinare la posizione a partire da punti di
riferimento conosciuti.
→
2 satelliti
Un anello
→
4 Satelliti
Un punto
Ogni millisecondo, i satelliti inviano simultaneamente dei segnali
contenti la loro posizione e una “firma” che permette di identificarli;
Quattro variabili (tj ,~rR ) ⇒ quattro equazioni del tipo
c 2 tj2 = k~rR − ~rSj k2
j = 1,2,3,4 c = 3 · 105 km
s ;
Introduzione Funzionamento Relatività Segnali Conclusione
Trilaterazione Orologi Problemi legati al tempo di percorrenza
2
Orologi
Global Positioning System
Per determinare il tempo di percorrenza del segnale sono necessari
orologi molto precisi:
Errore dell’orologio
0,01 s
3,33 · 10−8 s
Errore di posizione risultante
3000 km
10 m
10−10
Quarzo
10−11
σy (τ )
10−12
10−13
10−14
Cesio
10−15
10−16
100
102
104
τ [s]
106
108
1010
Gli orologi a quarzo non possiedono una sufficiente accuratezza nel
tempo ⇒ è necessario risincronizzarli continuamente.
Introduzione Funzionamento Relatività Segnali Conclusione
Trilaterazione Orologi Problemi legati al tempo di percorrenza
3
Problemi legati al tempo di percorrenza
Global Positioning System
Posizione precisa all’ordine di 1 metro ⇔ Tempo di percorrenza
preciso all’ordine di 10−9 s;
Si devono considerare tre principali correzioni relativistiche:
Correzione
Simultaneità
Dilatazione del tempo
Effetto della gravità
Origine effetto
I segnali non sono ricevuti allo
stesso istante1 /Rotazione Terrestre
Moto satelliti (3,9 km
)
s
La gravità rallenta gli orologi
Applicazione
Algoritmo ricevente
Orologi satelliti
Orologi satelliti
È utile usare due sistemi di riferimento (SR): ECI (Earth Centered,
Inertial), ECEF (Earth Centered, Earth Fixed)
1 Si
ha ∆tmax = 86 ms, ∆tmin = 67 ms.
Introduzione Funzionamento Relatività Segnali Conclusione
Trilaterazione Orologi Problemi legati al tempo di percorrenza
4
Simultaneità
Problema:
Global Positioning System
La Terra ruota durante la ricezione dei quattro segnali.
Soluzione:
Risolvere Eq. di propagazione nel SR inerziale ECI;
Prendere l’istante di arrivo del primo segnale come riferimento.
Correggere gli altri intervalli di conseguenza;
Fissare SR ECI per il satellite il cui segnale è ricevuto per primo,
ruotare altri satelliti per farli coincidere con il SR;
Determinare le quattro variabili, ruotare il risultato nel SR ECEF.
Risultato: Equazioni della propagazione dei segnali corrette nel SR ECI:
c 2 (∆t − ∆tj )2 = k∆~rj − ω
~ T × ~rSj (ECEF)∆tj k2
Rotazione coordinate nel SR ECEF:
~rR (ECEF) = ~rR − ω
~ T × ~rR ∆t4
Correzione vista nel tempo di propagazione:
∆t = ∆tj +
∆~rj
c
−
ω
~ T ×~rSj (ECEF)·∆~rj
ck∆~r k
Introduzione Funzionamento Relatività Segnali Conclusione
∆tj
Simultaneità Dilatazione tempo Effetto gravità Unione correzioni
5
Dilatazione del tempo
Problema:
Global Positioning System
I satelliti orbitano con velocità elevata (vS = 3,9
∆te = γ1 ∆tr .
km
s ).
Si ha
Soluzione:
Tutte le frequenze necessarie derivano dalla frequenza di base
dell’orologio atomico, ossia 10,23 MHz;
Accelerando questa frequenza si risolve il problema della dilatazione
del tempo.
Risultato:
Correzione per i tassi di emissione
e ricezione:
2
1
v
1
1
1
S
∆te = γ ∆tr = 1 +
∆tr
2
2
c
|{z}
8,35·10−11
Correzione della frequenza dell’orologio:
10,23 MHz → 10,23000000085420 MHz
Introduzione Funzionamento Relatività Segnali Conclusione
Simultaneità Dilatazione tempo Effetto gravità Unione correzioni
6
Effetto della gravità sul tempo
Problema:
Global Positioning System
A 20200 km il campo gravitazionale è più debole che
N
N
sulla superficie: gh=0 = 9,81 kg
, gh=20200 = 0,56 kg
.
⇒ Rispetto ai satelliti il tempo passa più velocemente.
Soluzione:
Si corregge di nuovo la frequenza di base;
Rallentando questa frequenza si risolve il problema della gravità.
Risultato:
Correzione
e ricezione:
per i tassi di emissione
Φg ,S − Φg ,T
1
1
∆te = 1 −
∆tr
c{z2
|
}
−5,29·10−10
Correzione della frequenza dell’orologio:
10,23 MHz → 10,2299999945883 MHz
Introduzione Funzionamento Relatività Segnali Conclusione
Simultaneità Dilatazione tempo Effetto gravità Unione correzioni
7
Unione correzioni
Global Positioning System
Le correzioni sugli orologi dei satelliti hanno segni opposti, ma ordini
di grandezza diversi;
Unendo i due tassi di correzione, la frequenza diventa
10,2299999954425 MHz;
In altre parole, gli orologi devono rallentare di 38,491 µs ogni 24 h
(38,491 µs corrisponde ad un errore di 11,54 km!).
Conclusione:
Impostando di fabbrica (sulla Terra) la frequenza a
10,2299999954425 MHz si correggono entrambi gli effetti
relativistici. In questo modo, sulla Terra, la frequenza viene
percepita come 10,23 MHz.
Introduzione Funzionamento Relatività Segnali Conclusione
Simultaneità Dilatazione tempo Effetto gravità Unione correzioni
8
Composizione
Global Positioning System
Onda Portante L1 (1575,42 MHz)
Segnale L1
Codice C/A (1,023 MHz)
Dati NAV/Sistema (50 Hz)
Mixer
Somma Modulo 2
Codice P (10,23 MHz)
Onda Portante L2 (1227,60 MHz)
Segnale L2
Dati navigazione
50 Hz
Orologio atomico
Sintetizzatore freq.
10,23 MHz
Distributore
Generatore codice C/A
Somma modulo 2
1,023 MHz
Onda portante L1
111111111
000000000
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
Antenna
1575,42 MHz
Introduzione Funzionamento Relatività Segnali Conclusione
Composizione Correlazione Cause di altri errori
9
Correlazione
Global Positioning System
Correlazione:
Metodo per confrontare delle serie di dati.
Serve per determinare il tempo di percorrenza di un segnale.
t1 = t0 + ∆t
t0
Satellite
t2
t
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
111111111111111111
000000000000000000
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1
Ricevente
× 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0
Risultato
= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
32 chip
P
=7
Somma
15
10
5
1
0
5
10
15
Introduzione Funzionamento Relatività Segnali Conclusione
20
25
30
Spostamenti
Composizione Correlazione Cause di altri errori
10
Cause di altri errori
Global Positioning System
Rallentamento dei segnali nella ionosfera;
Cartina TEC Ionosferica
Fri Oct 20 2006 23:20 CET
80
30
Latitudine
40
20
20
0
10
-20
-40
-60
0
-80
-180 -150 -120 -90 -60 -30
0
30
60
TEC-Units (1016 electrons/m2 )
60
90 120 150 180
Longitudine
Geometria dei satelliti/variazioni delle orbite;
Riflessione dei segnali lungo il tragitto;
Effetti relativistici secondari.
Introduzione Funzionamento Relatività Segnali Conclusione
Composizione Correlazione Cause di altri errori
11
Sintesi
Global Positioning System
vS = 3,9
km
s
ΦS = 0,56
N
kg
Dilatazione tempo: −7,2 24µsh
Effetto gravità: 45,7 24µsh
o
38,5
Ionosfera: Mappa TEC
Φ
T
=
ra
fe
9,
81
os
kg
N
m
At
Sagnac: ≤ 0,03 µs
ωT =
Introduzione Funzionamento Relatività Segnali Conclusione
2π
24 h
Sintesi Una differenza enorme in pochissimo tempo
µs
24 h
12
Una differenza enorme in pochissimo tempo
Global Positioning System
Fondamentale importanza della precisione degli orologi, esempio
Selective Availability:
Ny-alesund, Norvegia (78◦ 55′ 48′′ N)
150
100
50
Quota
0
-50
-100
-150
-200
SA viene disattivato
-250
0
4:055
15
25
20
10
Ore passate dalle 0:00 UTC del 2.5.2000
Un sistema che evidenza l’importanza della relatività;
Copyright 2006 Sandro Mani
Rev. 4, 20 marzo 2007
Introduzione Funzionamento Relatività Segnali Conclusione
Sintesi Una differenza enorme in pochissimo tempo
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