Piastra di Kirchhoff rettangolare appoggiata sotto carico uniforme

Piastra di Kirchhoff rettangolare appoggiata sotto carico uniforme
‫ݍ‬଴ = 1
ܰ
ܿ݉ଶ
h=25 cm
a=800 cm
b=600 cm
Caratteristiche dei materiali
Materiale elastico lineare e isotropo
Modulo di elasticità normale
Coefficiente di Poisson
E=30 GPa
ν=0.20
Soluzione esatta di Navier
Spostamento verticale
ஶ
ஶ
16‫ݍ‬଴ ܽସ ܾସ
1
݉ߨ‫ݔ‬
݊ߨ‫ݕ‬
‫ݓ‬ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ =
෍ ෍
sin
sin
଺
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ߨ ‫ܦ‬
݉݊ሺ݊ ܽ + ݉ ܾ ሻ
ܽ
ܾ
௠ୀଵ,ଷ ௡ୀଵ,ଷ
dove
‫=ܦ‬
‫ ܧ‬ℎଷ
1 − ߥ ଶ 12
݉ ଶ
݊ ଶ
ஶ
ஶ
ቀܽ ቁ + ߥ ቀ ቁ
߲ଶ‫ݓ‬
߲ଶ‫ݓ‬
16‫ݍ‬଴ ܽସ ܾ ସ
݉ߨ‫ݔ‬
݊ߨ‫ݕ‬
ܾ
‫ܯ‬௫ = −‫ ܦ‬ቆ ଶ + ߥ ଶ ቇ =
෍ ෍
sin
sin
ସ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
߲ ‫ݔ‬
߲ ‫ݕ‬
ߨ
݉݊ሺ݊ ܽ + ݉ ܾ ሻ
ܽ
ܾ
Momenti flettenti (calcolati dalle equazioni costitutive)
௠ୀଵ,ଷ ௡ୀଵ,ଷ
݉ ଶ
݊ ଶ
ஶ
ஶ
ߥ ቀܽ ቁ + ቀ ቁ
߲ଶ‫߲ ݓ‬ଶ‫ݓ‬
16‫ݍ‬଴ ܽସ ܾସ
݉ߨ‫ݔ‬
݊ߨ‫ݕ‬
ܾ
‫ܯ‬௬ = −‫ ܦ‬ቆߥ ଶ + ଶ ቇ =
෍ ෍
sin
sin
ସ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ሻ
߲ ‫ݕ ߲ ݔ‬
ߨ
݉݊ሺ݊ ܽ + ݉ ܾ
ܽ
ܾ
‫ܯ‬௫௬
௠ୀଵ,ଷ ௡ୀଵ,ଷ
ஶ
ஶ
߲ଶ‫ݓ‬
16‫ݍ‬଴ ܽଷ ܾଷ
1
݉ߨ‫ݔ‬
݊ߨ‫ݕ‬
= −ሺ1 − ߥሻ‫ܦ‬
= −ሺ1 − ߥሻ
෍ ෍
cos
cos
ସ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ሺ݊ ܽ + ݉ ܾ ሻ
߲‫ݕ߲ݔ‬
ߨ
ܽ
ܾ
௠ୀଵ,ଷ ௡ୀଵ,ଷ
Tagli (calcolati dalle equazioni di equilibrio)
݉ ଶ
݊ ଶ
ஶ
ஶ
ቀ ቁ +ߥቀ ቁ
߲‫ܯ‬௫ ߲‫ܯ‬௫௬ 16‫ݍ‬଴ ܽଷ ܾ ସ
݉ߨ‫ݔ‬
݊ߨ‫ݕ‬
ܽ
ܾ
ܳ௫ =
+
=
෍ ෍
cos
sin
ଷ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
߲‫ݔ‬
߲‫ݕ‬
ߨ
݊ሺ݊ ܽ + ݉ ܾ ሻ
ܽ
ܾ
௠ୀଵ,ଷ ௡ୀଵ,ଷ
ஶ
ஶ
ஶ
ஶ
16‫ݍ‬଴ ܽଷ ܾ ଶ
݊
݉ߨ‫ݔ‬
݊ߨ‫ݕ‬
+ሺ1 − ߥሻ
෍
෍
cos
sin
ሺ݊ଶ ܽଶ + ݉ଶ ܾଶ ሻଶ
ߨଷ
ܽ
ܾ
௠ୀଵ,ଷ ௡ୀଵ,ଷ
߲‫ܯ‬௫௬ ߲‫ܯ‬௬
16‫ݍ‬଴ ܽଶ ܾ ଷ
݉
݉ߨ‫ݔ‬
݊ߨ‫ݕ‬
ܳ௬ =
+
= ሺ1 − ߥሻ
෍ ෍
sin
cos
ଷ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ሺ݊ ܽ + ݉ ܾ ሻ
߲‫ݔ‬
߲‫ݕ‬
ߨ
ܽ
ܾ
௠ୀଵ,ଷ ௡ୀଵ,ଷ
݊ ଶ
݉ ଶ
ஶ
ஶ
ߥ ቀܽ ቁ + ቀ ቁ
16‫ݍ‬଴ ܽସ ܾଷ
݉ߨ‫ݔ‬
݊ߨ‫ݕ‬
ܾ
+
෍ ෍
sin
cos
ଷ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ߨ
݉ሺ݊ ܽ + ݉ ܾ ሻ
ܽ
ܾ
௠ୀଵ,ଷ ௡ୀଵ,ଷ
Reazioni vincolari sui bordi (pari ai valori dei tagli sul bordo)
Bordi paralleli all’asse x
ஶ
ஶ
16‫ݍ‬଴ ܽଶ ܾଷ
݉
݉ߨ‫ ݔ‬
ܳ௬ ሺ‫ݔ‬, ‫ = ݕ‬0; ܾሻ = ± ൥ሺ1 − ߥሻ
෍ ෍
sin
+
ଷ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ሺ݊ ܽ + ݉ ܾ ሻ
ܽ
ߨ
௠ୀଵ,ଷ ௡ୀଵ,ଷ
݊ ଶ
݉ ଶ
ஶ
ସ ଷ ஶ
ߥ
ቀ
ቁ
+
ቀ
ቁ
ܽ
ܾ
݉ߨ‫ݔ‬
16‫ݍ‬
଴
ܽ
ܾ
+
෍
෍
sin
൪
ଷ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ܽ
ߨ
݉ሺ݊ ܽ + ݉ ܾ ሻ
௠ୀଵ,ଷ ௡ୀଵ,ଷ
Bordi paralleli all’asse y
݊ ଶ
݉ ଶ
ஶ
ஶ
ቀܽ ቁ + ߥ ቀ ቁ
16‫ݍ‬଴ ܽଷ ܾସ
݊ߨ‫ ݕ‬
ܾ
ܳ௫ ሺ‫ = ݔ‬0, ܽ; ‫ݕ‬ሻ = ± ൦
෍
෍
sin
+
ܾ
ߨଷ
݊ሺ݊ଶ ܽଶ + ݉ଶ ܾଶ ሻଶ
௠ୀଵ,ଷ ௡ୀଵ,ଷ
ஶ
ஶ
ଷ ଶ
݊
݊ߨ‫ݕ‬
+ሺ1 − ߥሻ 16‫ݍ‬଴ ܽ ܾ ෍ ෍
sin
൩
ଷ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ሺ݊ ܽ + ݉ ܾ ሻ
ߨ
ܾ
௠ୀଵ,ଷ ௡ୀଵ,ଷ
Reazioni vincolari agli spigoli
ஶ
ஶ
ሺ±1ሻሺ±1ሻ
32‫ݍ‬଴ ܽଷ ܾଷ
ሺ‫ݔ‬
ܴ = 2‫ܯ‬௫௬ = 0, ܽ; ‫ = ݕ‬0, ܾሻ = −ሺ1 − ߥሻ
෍
෍
ሺ݊ଶ ܽଶ + ݉ଶ ܾ ଶ ሻଶ
ߨସ
௠ୀଵ,ଷ ௡ୀଵ,ଷ
Soluzione approssimata agli elementi finiti
Figura 1 – Discretizzazione del dominio
Elementi plate triangolari a tre nodi (9 gradi di libertà). Dettagli in
J.L. Batoz, K.J. Bathe, L.W. Ho
A Study of Three-Node Triangular Plate Bending Elements
International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 15, 1771-1812 (1980)
Figura 2 – Deformata
Figura 3 – Spostamento verticale (wmin=-0.2098 cm)
Figura 4 – Rotazione x (ϕx,max=0.001130)
Figura 5 – Rotazione y (ϕy,max=0.000892)
Figura 6 – Momento flettente Mx (Mx,max=16145 Ncm/cm, Mx,min=-21728 Ncm/cm)
Figura 7 – Momento flettente My (My,max=15120 Ncm/cm, My,min=-24815 Ncm/cm)
Figura 8 – Momento flettente Mxy (Mxy,max=16888 Ncm/cm, Mxy,min=-15715 Ncm/cm)
Figura 9 – Reazioni vincolari
Confronti tra la soluzione esatta e la soluzione approssimata agli elementi finiti
Tabella 1 – Confronti
Punto
Unità
di misura
Esatta *
(Navier)
Approssimata
(FEM)
Spostamento verticale massimo
w(x=a/2, y=b/2)
[cm]
0.2111
0.2098
Momento flettente Mx
Mx (x=a/2, y=b/2)
[Ncm/cm]
18468
21728
Momento flettente My
My (x=a/2, y=b/2)
[Ncm/cm]
24542
24815
Momento flettente Mxy
Mxy (x=0, y=0)
[Ncm/cm]
13451
16888
Entità calcolata
* I valori relativi alla soluzione esatta sono stimati considerando termini della serie n,m=1,3,5,7.