Capitolo 5 Il Sistema Satellitare GPS 5.1 – Descrizione

Capitolo 5
Il Sistema Satellitare GPS
5.1 – Descrizione del sistema
La navigazione satellitare nasce con il lancio dello Sputnik da parte
dell’URSS nell’ottobre 1957; l’osservazione dello shift-doppler sulla frequenza delle conversazioni dallo Sputnik I con la stazione base a terra fornì
l’idea ai ricercatori statunitensi di utilizzare la trasmissione dei segnali
provenienti da una sorgente esterna alla terra per determinare la posizione
della stazione ricevente utilizzando gli stessi principi della radionavigazione
(differenza di distanza). Sulla base dello shift-doppler è così progettato e
realizzato dagli USA il primo sistema satellitare di navigazione (Navy
Navigation Satellite System) noto come Transit. Il DoD (Department of
Defence ) americano dichiara operativo il sistema Transit nel 1960, anno di
inizio dell’era della navigazione satellitare.
In seguito, con l’esperienza acquisita con il Transit, si sviluppa l’idea di
utilizzare misure di tempo per calcolare la distanza tra satellite trasmettitore
e stazione ricevente utilizzando orologi molto stabili ed accurati nella
misura del tempo. Nasce, così nel 1973, il sistema GPS (Global Positioning
System) dichiarato operativo nel Dicembre 1993 da parte del DoD e reso
disponibile al DoT (Department of Transportation – USA) per gli usi civili.
Esso fornisce la posizione tridimensionale dei mobili e la loro velocità,
nonché le possibilità di sincronizzare le scale universali di tempo UTC
(Universal Time Coordinate) con copertura mondiale.
Il sistema GPS, noto anche come NAVSTAR (Navigation System with
Time and Ranging), costituisce così un sistema satellitare di navigazione
globale, continuo e tridimensionale destinato a sostituire non soltanto il
sistema satellitare NNSS – Transit, ma anche quelli di radionavigazione
LORAN C ed OMEGA limitati nella copertura e nelle prestazioni in termini
di precisione.
Il sistema GPS è costituito da tre segmenti:
• spaziale (space segment),
• terrestre (control segment);
176
• utilizzatori (users receiver).
Il segmento spaziale è costituito dai satelliti della costellazione; il segmento
terreste è rappresentato dal complesso delle stazioni a terra per il loro
inseguimento, definizione dell’orbita ed il caricamento (uploads) dei parametri orbitali; i ricevitori satellitari effettuano le misure di distanza dei
satelliti visibili e calcolano la loro posizione tridimensionale.
La copertura globale, accompagnata da una notevole flessibilità di impiego, rendono il sistema un elemento potente, innovativo e veramente
rivoluzionario in grado di soddisfare le esigenze più diversificate.
5.1.1 – Il segmento spaziale e la costellazione GPS
La costellazione GPS è costituita da 21 + 3 satelliti (v. figura 1) sistemati in
6 piani orbitali a gruppi di 4; ogni orbita e inclinata di 55° sull’equatore
(alcuni satelliti sono disposti su orbita inclinata di 65°). I satelliti sono in
orbite ellittiche poco eccentriche ad un’altitudine media di 20200 Km
(26600 km dal centro della Terra). A questa distanza il periodo di
rivoluzione è di 12h circa e per un osservatore terrestre un qualunque
satellite è visibile per circa 5 delle 12 ore. Alle varie ore del giorno ed alle
varie località, il numero dei satelliti, contemporaneamente sopra
1’orizzonte, può variare tra un minimo di 4 ad un massimo di 10. La scelta
dei suddetti parametri orbitali implica, dunque, che in condizioni operative
almeno 4 satelliti sono simultaneamente visibili, ad ogni istante, da un
punto qualsiasi della superficie terrestre e con elevazioni maggiori di 5°
sull’orizzonte. Questa proprietà permette la navigazione tridimensionale
(latitudine, longitudine e quota rispetto ad un ellissoide di riferimento:
WGS-84) e la sincronizzazione a UTC.
La copertura fornita da questa costellazione non è in ogni caso perfetta.
Vi sono aree geografiche, non molto estese, in cui per brevi periodi della
giornata, quando sono disponibili soltanto 4 satelliti, la loro configurazione
geometrica fornisce precisioni nel posizionamento di gran lunga peggiori di
quelli usuali; fortunatamente tali circostanze sono di breve durata e non
superano comunque i 10 minuti; tuttavia per meglio fronteggiare questi
inconvenienti, unitamente al problema dell’integrità del sistema, è stata
avanzata, e solo recentemente approvata, la richiesta di portare il numero
della futura costellazione ad un numero superiore a 24 satelliti. Alla fine del
177
Dicembre 1993 la costellazione satellitare GPS è stata completata con 24
satelliti.
Figura 5.1 – Configurazione della costellazione GPS
Figura 5.2 – Esempio di distribuzione dei satelliti sui piani orbitali
178
Tabella 5.1 – Parametri approssimati del satellite GPS
Sei piani – Nodi ascendenti equidistanti di α=60°
Piani orbitali
rcs = 26561.75 km ( semiassemaggiore )
Raggio orbitale
µ
= 3.8704 km / s
rcs3
Velocità orbitale media
V=
Eccentricità
Quasi nulla;
Velocità angolare media
n = 1.454 10 −4 rad / s , n = 0.52344 rad / s
Moto medio
n = 29.9909 °/s
Periodo(*)
12 h di tempo sidereo
Inclinazione
i ≈ 55°
e ≤ 0.02
(*) Il periodo di un orbita espresso in secondi di tempo medio è dato dalla relazione
a3
T p = 2π
con a il semiasse maggiore dell’orbita e µ la costante gravitazionale per la Terra
µ
3
( µ = 3.986005 1014 m 3 / s 2 ) . Per un periodo di 12 h si ottiene un semiasse maggiore di
26571.75 km che tiene anche conto della non sfericità della Terra Re = 6378.1363 km e
µ = 3.986004415 1014 m 3 / s 2 . 3
5.1.2 - Il satellite GPS
Sono state pianificate tre generazioni di satelliti GPS denominate BLOCK
I, BLOCK II e BLOCK III. Undici satelliti del BLOCK I (detti anche
“Prototipi” o “di sviluppo”) furono costruiti e lanciati tra il 1978 ed il 1985.
Di essi soltanto sette sono attualmente funzionanti.
I satelliti previsti per il BLOCK Il sono 28 e vengono anche detti
OPERATIVI. La loro costruzione è praticamente conclusa da tempo. Il
completamento della costellazione ha segnato l’inizio dell’era operativa
GPS (Dicembre 1993).
179
a) - SATELLITI GPS – BLOCK I
N.
NTS2
I-1
I-2
I-3
I-4
I-5
I-6
I-7
I-8
I-9
I-10
I-11
•
•
SVN
---
PRN
---
Lancio
Giu. 77
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
(4)
(7)
(6)
(8)
(5)
(9)
--11
13
12
3
Feb. 78
Mag. 78
Ott. 78
Dic. 78
Feb. 80
Apr. 80
Dic. 81
Lug. 83
Giu. 84
Set. 84
Ott. 85
Piano
Clock
C-1
A-1
C-4
Rb
Rb
Rb
Status
Cattivo funzionamento dopo 7/8
mesi
Non utilizzabile
Non utilizzabile
Non utilizzabile dopo Mag. 92
Non utilizzabile
Non utilizzabile
Non utilizzabile dopo Apr. 91
Esploso durante il lancio
Non utilizzabile dopo Mag. 93
Mal funzionante
Ultimo orologio
Mal funzionante
“SV Number” è riferito al numero del veicolo spaziale mentre il “PRN Number” fa riferimento al codice;
Clock: sta ad indicare il tipo di orologio a disposizione; Cs = Cesio Rb= Rubidio;
Figura 5.3.a -- La costellazione GPS ed il satellite GPS del Block I
180
b) SATELLITI GPS – BLOCK II
N.
I-1
I-2
I-3
I-4
I-5
I-6
I-7
I-8
I-9
SVN
14
13
16
19
17
18
20
21
15
PRN
14
2
(6)
19
17
18
20
21
15
Lancio
Feb. 89
Giu. 89
Ago. 89
Ott. 89
Dic. 89
Gen. 90
Mar. 90
Ago. 90
Ott. 90
Orbita
E1
B3
E3
A4
D3
F3
B2
E2
D2
Clock
Cs
Cs
Cs
Cs
Cs
Cs
Cs
Cs
Cs
Figura 5.3.b – Satellite GPS del blocco II
Il BLOCK III di satelliti è progettato per sostituire la generazione del
BLOCK II alla fine degli anni novanta. Alcuni satelliti del BLOCK II sono
più pesanti di quelli a peso standard (845 Kg) perché del payload farà parte
il modulo NUDET (Nuclear Detection); la lifetime di esercizio è stimata di
7.5 anni; su tutti i satelliti del BLOCK II è attivabile la SA (Selective
Availability).
Alcune delle caratteristiche funzionali fondamentali di un satellite GPS
sono le seguenti:
• ricevere ed immagazzinare 1’informazione trasmessa dal segmento
181
•
•
•
•
di controllo, cioè dagli operatori del sistema;
effettuare elaborazioni a bordo per mezzo di un proprio
microprocessore;
conservare il tempo ad elevata precisione mediante un banco
oscillatori (2 al cesio e 2 al rubidio) installati a bordo del satellite;
trasmettere l’informazione all’utente mediante vari segnali;
manovrare per mezzo di ”thrusters” controllati dagli operatori del
sistema.
c) - SATELLITI GPS – BLOCK IIA
N.
I-10
I-11
I-12
I-13
I-14
I-15
I-16
I-17
I-18
I-19
I-24
I-20
I-21
I-22
I-23
I-24I-25
I-26
I_27
I-28
SVN
23
24
25
28
26
27
32
29
22
31
36
37
39
35
34
36
33
40
30
38
PRN
23
24
25
28
26
27
1
29
22
31
6
7
9
5
4
6
3
10
30
08
Lancio
Nov. 90
Lug. 91
Feb. 92
Apr. 92
Lug. 92
Ott. 92
Nov. 92
Dic. 92
Feb. 93
Mar. 93
Mar. 93
Mag. 93
Giu. 93
Ago. 93
Ott. 93
Mar.94
Mar.96
Lug.96
Set.96
Nov.97
Orbita
E4
D1
A2
C2
F2
A3
F1
F4
B1
C3
C1
C4
A1
B4
D4
C1
C2
E3
B2
A3
Clock
Cs
Rb
Cs
Cs
Cs
Cs
Cs
Cs
Cs
Cs
Rb
Cs
Cs
Cs
Cs
Cs
Cs
Cs
Rb
Rb
• L’attuale costellazione GPS consiste di 23 satelliti del Blocco
II/IIA ed 6 del blocco IIR;
• L’Antispoofing (AS) è stato attivato il 31/1/1994 sui satelliti del
BLOCK II;
• I veicoli del BLOCK II/IIA sono stati progettati per durare circa
7,5 anni con una vita media di circa 6 anni;
182
Figura 5.3.c – Satellite GPS del blocco IIA
Tutte le attività dei satelliti vengono alimentate da batterie caricate da
pannelli solari coprenti un’area di 7.25 m3 quando completamente spiegati.
Il DoD ha successivamente programmato e lanciato ulteriori satelliti del
BLOCK IIA per formare una costellazione di 28 satelliti. Alla fine del 1997
la costellazione GPS costituita dai satelliti del BLOCCO II e BLOCCO IIA
è stata completata.
Il DoD, in seguito, ha programmato la sostituzione dei satelliti del blocco II
e IIA con una nuova generazione di satelliti nota come BLOCK IIR
individuati dai PNR 41-60. Alla data del 2003 sono stati lanciati 7 satelliti
della nuova generazione. In questi satelliti sono sistemati tre orologi
atomici (due al Rubidio ed uno al cesio) che generano il segnale GPS. Essi
trasmettono sulla banda L tre frequenze:
L2 = 1227.60 , L3 = 1381.05 , L1 = 1575.42
MHz
(5.1)
Le frequenze L1 e L2 sono utilizzati per la trasmissione del messaggio di
navigazione mentre la L3 per il controllo atomico degli orologi. Questi
satelliti sono progettati e realizzati per operare per almeno 10 anni ed una
183
autonomia di 4 anni di vita senza alcun intervento da parte del sistema di
controllo.
d) - SATELLITI GPS – BLOCK IIR
N.
I-29
I-30
I-31
I-32
I-33
I-34
I-35
SVN
43
46
51
44
41
54
56
PRN
13
11
20
28
14
18
16
Lancio
Lug. 97
Ott. 99
Mag. 00
Lug. 00
Nov. 00
Gen. 01
Gen. 03
Orbita
F3
D2
E1
B5
F1
E4
---
Clock
Rb
Rb
Rb
Rb
Rb
Rb
Rb
• I satelliti del BLOCK IIR sono progettati per durare almeno 10
anni con una autonomia di 4 anni.
Figura 5.3.d – Satellite GPS del blocco IIR
5.1.3 - Il segnale GPS
Ogni satellite GPS trasmette un segnale di navigazione per mezzo di due
frequenze portanti nella banda L (L1, L2). Le due portanti sono generate da
184
un banco di oscillatori di cui è equipaggiato ciascun satellite con una
frequenza fondamentale f 0 = 10.23 MHz (v. fig. 5.7).
Le due portanti sono modulate con una sequenza BPSK (Binary Phase Shift
Keying) dal codice P e/o C/A e dal codice D che porta il messaggio di
navigazione .
Il codice P (Protetto o Preciso), a larga banda (10.23MHz), è presente su
entrambi le portanti per ridurre gli effetti di propagazione ionosferica. Il
codice C/A (Clear Access o Coarse Aquisition), a banda stretta
(1.023MHz), è presente solo sulla frequenza L1,. La non presenza di questo
codice sulla portante L2, ovviamente, è intenzionale ed è una limitazione
dell’accuratezza della posizione impostata dal DoD per gli usi civili di
questo sistema. Il codice D fornisce l’informazione di navigazione (offset
dei satelliti, le loro effemeridi, ecc. ).
La forma finale del segnale GPS, trasmesso dal satellite, può scriversi nel
seguente modo:
S L1i = Ap XPi (t )Di (t ) cos(ω1t + Φ ) + Ae XG i (t )D i (t ) sen (ω1t + Φ )
(5.2)
dove ω 1 è la pulsazione della frequenza L1, Φ rappresenta una piccola fase
legata al rumore e alla deriva dell’oscillatore; per la portante L2 si ha:
S L1i = B p XPi (t )D i (t ) cos (ω 2t + Φ )
(5.3)
dove Bp rappresenta l’ampiezza del segnale e XPi(t) è il codice P per
l’iesimo satellite agganciato in sincronismo con la portante L1.
Per generare il codice P i progettisti del sistema hanno utilizzato la tecnica
dello Spread Spectrum Modulation (SSM) la cui caratteristica principale è
quella di mescolare il segnale con il rumore bianco. Questa tecnica usa una
banda passante molto ampia rispetto a quella strettamente necessaria per la
trasmissione del segnale. Il segnale e trattato come pseudo rumore e risulta
difficile decodificarlo per quei ricevitori che non conoscono il codice di
decodifica. Questa tecnica e utilizzata nella trasmissione per:
• Combattere o eliminare gli effetti dannosi prodotti dall’interferenza
prodotta dall’azione di compressione, dall’interferenza derivante da
altri utenti presenti nel canale e dall’auto interferenza prodotta dal
185
multipath;
• Nascondere il segnale trasmettendolo a bassa potenza, e rendendo
così difficile, agli utenti non autorizzati, la sua decodifica;
• Raggiungere l’utente autorizzato anche alla presenza d’altri
ascoltatori;
• Ottenere misure accurate di distanza e di velocità.
Figura 5.7 – Generazione delle frequenze L 1, L2; schema a blocchi
II codice P, non è affatto un codice di rumore; esso è una sequenza pseudo
random (±1) data da XPi (t ) con una frequenza di 10.23 Mbps e con un
periodo esatto di una settimana. Ogni satellite Si trasmette un suo codice
definito dal prodotto dei due seguenti pseudo codici ( 2PN ):
X 1 (t ) e X 2 (t + niT )
(5.4)
dove X 1 (t ) ha un periodo di 1.5 sec. ovvero 15 345 000 chips e X 2 (t + niT )
ha un periodo di 15 345 037 chips ovvero 37 chips più grande rispetto al
precedente. Entrambe le sequenze sono aggiornate (resettate) all’inizio
della settimana con lo stesso istante di riferimento (epoch time). Sia X 2 (t )
che X 2 (t + niT ) si ripetono con la frequenza di yT = 10.23 Mbps. Cosicché,
il codice P è generato dal prodotto di codici ed ha la forma seguente:
186
XPi (t ) = X 1 (t ) X 2 (t + n iT )
0 ≤ nt ≤ 36
(5.5)
dove il ritardo tra X 1 (t ) e X 2 (t ) è ni intervalli codificati di T secondi per
ogni satellite; ogni satellite ha un unico offset niT, che rende anche unico il
codice P. La differenza di 37 chips fra X 1 (t ) e X 2 (t ) consente al valore di ni
di essere compreso fra 0 e 36 senza alterare il significato del codice P di un
satellite rispetto ad un altro; si possono, allora, avere 37 differenti codici P
ed una larghissima banda.
Il codice C/A è generato con la stessa tecnica, soltanto che esso ha una
banda più stretta (1.023 MHz) rispetto a quella del codice P. Il codice C/A
si ripete ogni millisecondo (10-3):
XGi (t ) = G1 (t )G2 [t + ni (10T )]
Figura 5.8 – Processo di modulazione PRN
187
(5.7)
La differenza nel periodo tra G1(t) e G2(t) è di 1023 bits cosicché esistono
1023 differenti codici C/A.
Il processo di modulazione del pseudo codice (PRN) con la portante è
riportato nella figura 5.8; si può notare che la fase della portante cambia di
180° in corrispondenza del salto di livello +1, -1 legato al codice generato
dal satellite. Il processo inverso lo effettua il ricevitore GPS sulla portante;
le variazioni di fase determinano il codice PRN che sarà poi confrontato
con quelli generati dal ricevitore GPS.
Figura 5.9 - Composizione del codice C/A e codice P
Il dato GPS, Di (t ) , è anch’esso di ampiezza ±1 a 50 bps ed ha una sotto
struttura (sub frame) di 6 secondi ed una struttura (frame) di 30 secondi. Il
format del messaggio GPS è mostrato nella seguente figura 5.10.
Figura 5.10 – Struttura del messaggio GPS
Il messaggio di navigazione è trattato, con più particolari, nel paragrafo 5.6.
188
5.2 - TIPI DI MISURE E LE EQUAZIONI DI OSSERVAZIONE
Un ricevitore GPS può fondamentalmente effettuare due tipi di misure: la
misura di pseudo-range (pseudo distanza) e la misura di fase, a seconda se
vengono utilizzati i codici, oppure il segnale della portante.
5.2.1 - La misura di pseudo range
La misura di pseudo-range è la più semplice da visualizzare
geometricamente giacché essa, in effetti, costituisce una misura di distanza
(range) affetta dagli errori degli orologi. La misura di pseudo-range è lo
spostamento (shift) di tempo necessario per allineare una replica del codice
generata nel ricevitore con quello ricevuto dal satellite moltiplicato per la
velocità c della luce. Idealmente detto shift rappresenta la differenza tra il
tempo di ricezione del segnale (misurato nel riferimento temporale del
ricevitore) e quello di emissione (misurato nel riferimento temporale del
satellite). Poiché i due riferimenti di tempo sono differenti, s’introduce un
errore sistematico nelle misure dei ritardi di tempo che saranno per questo
motivo, riferiti a pseudo-range.
Si può allora affermare che la misura di pseudo-range è dunque il ritardo
che deve essere aggiunto alle epoche nell’orologio del ricevitore per
mantenere allineati (correlati) la replica del codice generato e quello
ricevuto. Il ricevitore effettua una operazione di matching (centratura del
segnale) tra il segnale GPS ricevuto e quello generato dal suo software.
Questa operazione è espressa dalla seguente relazione:
R(τ ) =
1
T
∫ S (t )S (t + τ )dt
T
0
(5.8)
dove S(t) è il segnale ricevuto, S (t + τ ) il segnale generato dal ricevitore e T
il periodo scelto. La funzione di auto correlazione assume il valore unitario
quando c’è una perfetta sovrapposizione fra i due segnali ed avviene
l’agganciamento (lock on) dei due segnali con τ intervallo di correlazione.
Questo processo matematico fra i due segnali è illustrato nella seguente
figura 5.11.
189
Figura 5.11 – Processo di matching – Auto correlazione dei segnali
1 T
1 N
X
(
t
)
X
(
t
+
τ
)
dt
=
∑ X i ∗ X i+τ
T ∫0
N i=1
1 N
1 (− 1)(− 1) + (1)(− 1) + (− 1)(1) + (− 1)(1) + (− 1)(− 1) + (1)(1) +
X i X i+ 0 = 
=
∑
10 i=1
10 (1)(− 1) + (− 1)(− 1) + (1)(1) + (− 1)(1)

1
= {+ 1 − 1 − 1 − 1 + 1 + 1 − 1 + 1 + 1 − 1} = 0
10
In questo caso, (τ = 0) , non avviene l’aggancio (lock on) dei due segnali ed
il ricevitore non riceve il satellite; l’aggancio della sequenza dei due segnali
avviene per τ = 3 , come si può facilmente vedere nella figura 5.12.
Figura 5.12 – Processo di matching – Aggancio dei due segnali (lock on)
190
1 N
1 (− 1)(− 1) + (− 1)(− 1) + (1)(1) + (1)(1) + (− 1)(− 1) + (1)(1) +
X i X i+ 3 = 
=
∑
10 i=1
10 − (1)(− 1) + (− 1)(− 1) + (1)(1) + (1)(1)

1
= {+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1} = 1
10
L’intervallo di auto correlazione rappresenta il tempo necessario al segnale
GPS per raggiungere il ricevitore (tempo di propagazione); da detto
intervallo si calcola la distanza fra satellite e ricevitore:
pseudorang e = c ⋅τ ⋅ lunghezza chip
(5.9)
Rimane il problema di scegliere T. T è scelto uguale al periodo della forma
d’onda (per il codice C/A è un millisecondo) per il quale la funzione di auto
correlazione è vera; per altri valori la funzione è falsa. Il codice C/A, come
già detto, si ripete ogni millisecondo, perciò la misura di pseudorange avrà
un’ambiguità di 300 km. Questo problema è risolto dando al ricevitore la
posizione stimata. Dato che l’ambiguità è molto grande, l’accuratezza della
posizione stimata è ovviamente molto bassa; di solito quest’ambiguità non
esiste ma l’esperienza degli autori consiglia, quando si usa per la prima
volta il ricevitore, di inserire nel ricevitore la posizione stimata. Per il
codice P non è possibile usare la stessa tecnica perché, come già detto, il
segnale si ripete ogni settimana. Il ricevitore utilizza la procedura di “lock
on” del codice C/A per decodificare il messaggio di navigazione e usa la
parola “handover” di sincronizzazione, contenuta nel messaggio, per
passare dalla misura di pseudorange del codice C/A a quella del codice P. Il
ricevitore GPS utilizza questo tipo di misura per eseguire il posizionamento
in tempo reale. L’osservazione simultanea di quattro satelliti consentirà di
determinare la posizione tridimensionale del ricevitore e l’errore
dell’orologio, ad una data epoca. La precisione con la quale può essere
mantenuto il picco di correlazione (e quindi la precisione con la quale può
essere fatta una misura di pseudo-range) secondo una regola pratica viene
stimata essere l’1% del periodo tra le epoche di due codici successivi. Per il
codice P due epoche successive sono separate da 0.1µS , pertanto la
precisione nella misura sarà di un nanosecondo (10-9) e conseguentemente
una precisione nella misura della distanza di 30 cm. Per il codice C/A le
precisioni sono inferiori esattamente di un decimo, pertanto la precisione
nella misura delle distanze è di 3 m.
191
5.3 – L’equazione osservazionale della pseudo-range
Sia δτ la differenza tra il tempo T di ricezione (nel riferimento temporale
del ricevitore) ed il tempo t di trasmissione (nel riferimento temporale del
satellite). Per procedere ad una sincronizzazione matematica (essendo
praticamente impossibile una sincronizzazione fisica) fra le due scale di
tempo, in modo da valutare i due eventi relativamente allo stesso
riferimento temporale, sarà necessario introdurre una terza scala di tempo,
normalmente definita dal tempo GPS del sistema (v. figura 5.13).
Si potrà scrivere allora:
δτ = T τ − tτ a
(5.10)
b
aggiungendo ± [τ b − τ a ] si avrà:
[
] [
δτ = (τ b − τ a ) + τ a − tτ a − τ b − tτ b
]
(5.11)
I termini che figurano nella presente relazione sono riportati graficamente
in figura 5.13.
Figura 5.13 – Scala dei tempi
Il primo termine rappresenta idealmente il tempo impiegato dal segnale per
percorrere la distanza satellite-ricevitore e che moltiplicato per la velocità
della luce nel vuoto c = 299792458 m/s definisce la pseudo distanza vera; il
secondo ed il terzo termine rappresentano gli offset rispettivamente
dell’orologio del satellite δ t e di quello del ricevitore δ T rispetto al tempo
di riferimento GPS. Prendendo poi in considerazione i ritardi ionosferici
δρion e troposferici δρtrop l’equazione precedente assume una forma
192
completa che permette di calcolare la pseudo-range:
ρ mis. = cδτ = ρ + c(δ t − δ T ) + δρion + δρtrop
(5.12)
Ora se con r si indica il vettore posizione del satellite e con R il vettore
posizione del ricevitore, come disegnato in figura 5.14, allora si avrà:
ρ mis. = r − R + δρ
(5.13)
Nella quale essendo r generalmente non perfettamente noto, si è aggiunto
il termine δρ proprio per tenere conto degli errori orbitali.
Figura 5.14 – Triangolo vettoriale della misura pseudorange
Sostituendo infine la (5.13) nella (5.12) l’equazione di osservazione
diventa:
ρ = r − R + c (δ t − δ T ) + δρion + δρtrop + δρ
(5.14)
Essa è nella forma E = f (R, r , v ) dove v sta ad indicare un vettore di
termini che possono essere trattati come bias.
Infine vanno considerati gli effetti dovuti al rumore della misura ed alle
influenze non modellate, considerate entrambe casuali ed inclusi nel
modello aggiungendo un termine residuo al secondo membro
dell’equazione.
193
5.4 - Misure di fase
La misura di fase è la differenza tra la fase del segnale della portante
(shiftata dal Doppler) proveniente dal satellite e la fase di un segnale di
frequenza, normalmente costante, generato nel ricevitore. Questa misura
può essere realizzata ricostruendo il segnale della portante dopo aver
rimosso i codici dal segnale in arrivo, o per correlazione con i codici,
oppure quadrando (squaring) il segnale ovvero moltiplicando il segnale
ricevuto per se stesso, ottenendo in tal caso una seconda armonica della
portante priva della modulazione di codici.
Poiché la lunghezza d’onda della portante è molto più corta di quella di
entrambi i codici, la precisione della misura di fase per battimento della
portante è di gran lunga più elevata di quella dello pseudo-range. Per la
portante L1 la λ è di circa 20 cm, la misura di fase può essere realizzata con
precisione stimata l’1% della lunghezza di lavoro; ne segue una precisione
di soli 2 mm nella misura di range. Per contro, come per tutti i sistemi a
confronto di fase, sorge il problema dell’ambiguità del ciclo di misura
ovvero, la esigenza di conoscere il numero iniziale dei cicli interi della
portante tra satellite e ricevitore congiuntamente al mantenimento del loro
conteggio al variare della distanza Ricevitore-Satellite.
Ogni ricevitore, per il verificarsi di varie circostanze, fra le quali
principalmente la prevalenza del rumore sul segnale e la possibilità che
l’antenna sia schermata, può perdere l’aggancio (cycle slip) e quindi il
conteggio dei cicli interi.
In molti casi, una diligente post-elaborazione consente sia la
individuazione dei cycle slip che la loro eliminazione. Tuttavia è proprio la
possibile perdita di aggancio a limitare l’uso della misura di fase per le
applicazioni del GPS in tempo reale ed in modalità cinematica.
5.4.1 – L’equazione dell osservabile fase
Sia Φ (t ) una funzione periodica che esprime il valore della fase di un
segnale di frequenza f; all’istante (t + ∆t ) il valore della fase è:
& (t )∆t + 1 Φ
&& (t )∆t 2 + K
Φ (t + ∆t ) = Φ (t ) + Φ
2
(5.15)
&& (t ) è
dove Φ& (t ) la velocità di fase uguale alla frequenza f mentre Φ
194
l’accelerazione di fase che rappresenta lo shift di frequenza f& . Con queste
considerazioni la (5.15) si scrive:
Φ (t + ∆t ) = Φ(t ) + f ⋅ ∆t +
1 &
f ⋅ ∆t 2 + K
2
(5.16)
Nel GPS l’oscillatore è molto stabile per cui il termine di secondo ordine
può essere ignorato; la (5.16), allora, si scrive nel seguente modo:
Φ (t + ∆t ) = Φ(t ) + f ⋅ ∆t + K
(5.17)
Se con Φ (t ) indichiamo la fase del segnale che il satellite trasmette
all’istante t e con Φ (T ) la fase del segnale della stessa portante ricevuta dal
ricevitore all’istante T, allora, la differenza di fase è:
∆Φ = Φ (T ) − Φ (t )
(5.18)
Sostituendo la (5.17) nella (5.18) si ha:
∆Φ = Φ (T ) − Φ (t ) = f ⋅ ∆t
(5.19)
dove ∆t = T − t è il tempo di propagazione necessario al segnale per arrivare
al ricevitore.
Considerando poi che la relazione fondamentale tra i tempi trasmessi e
quelli ricevuti congiuntamente agli effetti ionosferici e troposferici è:
∆t =
ρ + δρion + δρtrop
c
+ ∆T − δ t
(5.20)
si ha:
∆Φ =
f
f
+ ρ + f ⋅ (δ T − δ t ) + (δρion + δρtrop )
c
c
(5.21)
Nella (5.21) i simboli sono di significato ben noto; inoltre, nella (5.21) non
sono stati presi in considerazione gli effetti prodotti dall’effetto Doppler e
la deriva degli orologi atomici satellitari.
195
5.5 – Combinazioni lineari delle osservazioni
Le equazioni osservazionali di pseudo-range e dell’osservabile fase possono
essere utilizzate per generare delle loro combinazioni lineari.
I dati GPS possono essere usati sia per il posizionamento assoluto che
per quello relativo. Naturalmente, a causa delle incertezze nella posizione
del satellite, del comportamento degli orologi e dei ritardi di propagazione,
il posizionamento assoluto sarà ottenuto con precisioni di alcuni metri. Per
la maggior parte delle esigenze delle applicazioni geodetiche e
geodinamiche, si renderà necessario usare il GPS in modo differenziale o
relativo. Nell’uso relativo, considerata la correlazione esistente tra gli errori
presenti (dovuti agli orologi, effemeridi, propagazione atmosferica, ecc.)
nelle misure effettuate in diverse stazioni che simultaneamente osservano lo
stesso numero di satelliti, lo scopo del processo differenziale è giusto quello
di trarre il massimo vantaggio dalle dette correlazioni al fine di migliorare
la precisione delle posizioni relative. Il posizionamento relativo si realizza
dunque differenziando fra loro le misure di fase di pseudo-range, in tal
modo gli effetti dei vari errori comuni alle misure saranno o rimossi oppure
notevolmente ridotti.
Le combinazioni lineari possibili delle equazioni di osservazione
possono essere realizzate nella forma di differenze singole, doppie e triple e
possono essere raggruppate secondo il seguente schema:
S1 – Differenze singole per epoche
S2 – Differenze singole fra ricevitori
S3 – Differenze singole fra satelliti
(v. fig. 5.15)
D1 – Doppie differenze ricevitore – tempo
D2 – Doppie differenze ricevitore – satellite
(v. fig. 5.16)
T1 – Triple differenze ricevitore – satellite – tempo
(v. fig. 5.17)
Delle differenze singole la più comunemente utilizzata è quella tra misure
simultanee di fase (o pseudo-range) tra un satellite e due stazioni di
osservazione (S2). Questo metodo elimina gli effetti dei bias e delle
instabilità nell’orologio del satellite.
196
Figura 5.15 – Combinazioni lineari delle misure GPS – due ricevitori
osservano nello stesso istante un satellite
ϕ kS ( t ) = ϕ k ( t )ϕ S (t ) + N kS (t ) + I k ,ϕ +
f S
Tk (t ) +
c
+ d k ,ϕ ( t ) + d kS,ϕ (t ) + dϕS ( t ) + ε ϕ
I ( errore ionosferic o) , T (errore troposfer ico)
N (ambiguità di fase)
d ( errori hardware ricevitore - satellite)
ε (errore casuale sulla misura di fase)
La differenza singola elimina i seguenti errori :
• errore sull'Offset;
• errore dell'hardware;
• errore sulla posizione.
Delle doppie differenze quella utilizzata nei problemi di survey geodetici è
la differenza di due differenze singole del tipo S2 e relativa a due differenti
satelliti alla stessa epoca.
197
Figura 5.16 - Differenza doppia – Due ricevitori osservano simultaneamente due satelliti nello stesso istante ed in epoche differenti.
Questo metodo elimina entrambi gli effetti delle instabilità degli orologi
dei satelliti e dei ricevitori; per impiego su brevi distanze, vengono anche
fortemente ridotti gli effetti derivanti dagli errori non modellati nella
rifrazione atmosferica, posto che le stazioni operino nelle stesse condizioni
atmosferiche.
Applicando queste differenze sulle serie rimane:
• ulteriore riduzione degli errori Offset dei satelliti ;
• offset dei clock dei ricevitori.
La differenza tripla, infine, è la differenza di due doppie differenze relative
alla stessa configurazione ricevitori- satelliti ma ad epoche differenti (T1). Il
metodo elimina l’ambiguità di fase, ma produce effetti indesiderati nel
trattamento dei dati tali da sconsigliarne l’uso. Nella pratica è preferibile
risolvere il problema dell’eventuale ambiguità per altra via, ed utilizzare
come osservabile la doppia differenza ( D2) precedentemente descritta.
198
Figura 5.17 – Differenza Tripla - Eliminazione degli errori: due satelliti,
due ricevitori e due epoche successive.
Dopo l’applicazione delle differenze triple si riduce:
• l'errore di multipath nei due ricevitori;
• l'ambiguità di fase (cycle slip).
5.6. – La posizione del satellite GPS
5.6.1 - Il segmento di controllo.
Un sistema di posizionamento per mezzo di satelliti poggia
fondamentalmente sulle conoscenze del vettore che individua il satellite r(t)
e ciò comporta la conoscenza delle sue effemeridi.
Il compito di determinare e predire, nel tempo, le effemeridi è demandato
agli operatori del sistema satellitare ovvero al segmento di controllo;
chiamato anche operations segment, esso è costituito da 5 stazioni situate
pressoché uniformemente intorno al globo e precisamente nelle seguenti
località (v. tabella II): Hawaii, Colorado Springs, Ascension, Diego Garcia
e Kwajalein; esse svolgono varie funzioni. Dette stazioni sono anche
stazioni monitor, nel senso che inseguono, con continuità, tutti i satelliti in
vista raccogliendo dati di distanza, degli orologi atomici di bordo di ciascun
satellite e dati meteorologici. Il tracking è realizzato per mezzo di ricevitori
a 2 frequenze dotati di oscillatori al cesio. I dati meteo vengono raccolti per
199
consentire una più accurata stima dei ritardi troposferici. Le posizioni delle
stazioni monitor sono note con estrema precisione.
Tabella 5.2 - Posizione delle stazioni tracking del segmento di controllo
(posizione approssimata)
Località
Hawaii
Colorado Springs
(Master Control Station)
Ascension Island
Diego Garcia
Kwajalein
Latitudine
21° N
39° N
longitudine
158° W
105° W
8° S
7° S
9° N
14° W
72° E
168° E
La stazione di Colorado Spring (USA) è anche stazione di controllo
principale (MCS - Master Control Station). Sulla base dei dati ricevuti dalle
altre stazioni monitor la MCS è in grado di elaborare sia l’orbita precisa
trascorsa che l’orbita futura nonché le eventuali correzioni per la deriva
degli orologi. Alla stazione principale e anche affidato il compito di
controllare le correzioni orbitali qualora un satellite si allontana troppo
dall’orbita assegnata. La MCS sarà anche responsabile di attivare le
necessarie manovre per la sostituzione di un satellite dichiarato inefficiente,
con uno di riserva.
Figura 5.19 – Segmento di controllo- Trazioni Tracking
200
Una volta costruito il messaggio di navigazione esso viene inviato alle
tre stazioni di carico e precisamente alle stazioni di controllo di Ascension,
Diego Garcia e Kwajalein.
Le stazioni di carico dotate di grandi antenne paraboliche (Ground
Antenna) del diametro di 10 metri circa, trasmettono al satellite il
messaggio ricevuto comprendente le nuove effemeridi aggiornate, le
correzioni degli orologi ed altri dati del messaggio. Il carico viene
realizzato ogni 8 ore sulla frequenza portante in banda S ( λ = 16 cm) e
velocità di 50 bps.
Figura 5.20 – Il sistema GPS: Segmento di Controllo, il Segmento
Spaziale e il Segmento Utenti
5.6.2 - Calcolo delle coordinate geocentriche.
Il sistema di coordinate terrestre istantaneo è così definito: origine nel
centro di gravità G, l’asse Z coincidente con l’asse vero istantaneo di
rotazione terrestre, l’asse X è l’intersezione del piano perpendicolare
all’asse Z e del piano contenente il meridiano di Greenwich. L’asse Y è
201
scelto in modo che il sistema sia destrorso (v. figura. 5.21).
Figura 5.21 – Geometria orbitale
Le effemeridi trasmesse BE (Broadcast Ephemeris) del satellite GPS
mediante il messaggio di navigazione sono di tipo kepleriano. Esse sono
costituite da 16 parametri aventi validità 1 ora e vengono aggiornate ogni
ora.
Si elencano qui di seguito i parametri con i relativi significati:
week
toe
Mo
∆n
e
a
io
ω
i&
&
Ω
settimana GPS a partire dall’Epoca GPS (5/1/1980)
tempo di riferimento delle effemeridi
anomalia media all’istante toe
correzione al moto medio calcolato no
eccentricità dell’orbita
radice quadrata del semiasse maggiore
inclinazione a toe
argomento del perigeo
velocità angolare dell’inclinazione al tempo toe
velocità angolare dell’ascensione retta all’istante toe
202
Il tempo effemeridi toe è espresso in secondi a partire dalle 00 00 00 della
settimana GPS. I coefficienti Cuc , Cus , Cic , Cis , Crc , Crs rappresentano dei
termini moltiplicativi delle armoniche coseno e seno dei termini
all’argomento di latitudine u, inclinazione i e raggio vettore r.
I parametri kepleriani definiscono un’orbita ellittica perturbata al tempo
toe. La posizione del satellite è una funzione del tempo a partire da toe . I
termini ∆n, i&, Ω& ed i sei coefficienti Cuc , Cus , Cic , Cis , Crc , Crs , tengono conto
delle perturbazioni e permettono di determinare l’effettiva orbita del
satellite.
Noti dunque dal messaggio i parametri orbitali ed i corrispondenti
termini di perturbazione e note le costanti:
GM = µ costante gravitazionale terrestre (3.968008 10 m /s ) WGS 84
ω& 0 velocità angolare media terrestre (7.292115147 rad/s) WGS 84
14
3
2
Dalla conoscenza del tempo di riferimento toe, il calcolo delle coordinate del
satellite all’istante t di osservazione, procede secondo il seguente schema:
a) Calcolo dell’intervallo di tempo trascorso da toe:
∆t = t oss − t oe = t k
(5.23)
b) Calcolo del moto medio e dell’anomalia media all’istante tk:
nk = n0 + ∆n ⋅ t k
con n0 =
M k = M 0 + nk ⋅ t k
µ
a3
(5.24)
c) Calcolo dell’anomalia eccentrica:
l’equazione di Keplero
Ek = M k + e sen Ek
(5.25)
viene risolta con il seguente polinomio interpolante:
E j+1 = E j −
F (E j )
E − e sen E j − M j
= Ej − j
F ′(E j )
1 + e sen E j
con F (E j ) = E j − e sen E j − M j
d) Calcolo dell’anomalia vera:
203
(5.26)
tan
vk
1+ e
E
=
tan k
2
1− e
2
(5.27)
Questa relazione va preferita ad altre perché risolve l’ambiguità del
quadrante; il segno dell’anomalia vera è sempre uguale a quello
dell’anomalia eccentrica.
e) Calcolo degli argomenti:
uk
rk
ik
λk
= ω + v k + Cuc cos 2(ω + v k ) + Cussen 2(ω + vk )
= a(1 − e cos E k ) + C rc cos 2(ω + v k ) + Crs sen 2(ω + v k )
= i to e + i& ⋅ t k + Cic cos 2(ω + v k ) + Cissen 2(ω + vk )
& − ωe )t k − ω e t k
= Ω 0 + (Ω
(5.28)
f) Calcolo delle coordinate cartesiane nel sistema di riferimento orbitale
GX EYE Z E così definito: l’origine è il baricentro G; il piano
fondamentale è quello individuato dal piano orbitale con l’asse Z E ad
esso perpendicolare; l’asse X E passante per il nodo ascendente e l’asse
YE è scelto in modo che la terna risulti levogira. In questo riferimento la
posizione del satellite all’istante t k è:
X E = rk cos u k
YE = rk sen u k
ZE = 0
(5.29)
g) Dovendo esprimere la posizione del satellite rispetto al sistema di
coordinate terrestri ECEF (Earth-Centered Earth-Fixed), il sistema
orbitale dovrà subire due rotazioni; una prima rotazione, attorno all’asse
GX E dell’angolo i k permetterà di ricavare le coordinate del satellite
rispetto al piano equatoriale terrestre:
XT = X E
YT = YE cos i k
Z T = YE sen i k
(5.30)
h) Una seconda rotazione intorno all’asse GZT dell’angolo λ k permetterà
di trovare le coordinate equatoriali del satellite rispetto al meridiano di
Greenwich; nella figura 5.22 la rotazione intorno all’asse terrestre è data
da:
204
λ K = TS + Ω
con T S il tempo sidereo di all’istante t K :
X k = X T cos λk − YT sen λk
Yk = X T senλ k + YT cosλk
Z k = ZT
(5.31)
che possono essere scritte nella seguente forma vettoriale:
X k 
XE 
 Y  = R (− λ )R (− i ) Y 
z
k
x
k  E 
 k
 Z k 
 Z E 
(5.32)
ed in termini di raggio vettore:
r (t k ) = Rz (− λ k )R x (− i k )
(5.33)
Figura 5.22 - Sistema geocentrico terrestre ECEF (Earth-Centered
Earth-Fixed)
205
con t k istante di riferimento temporale e Rz (− λk )Rx (− i k ) due matrici di
rotazione espressa da:
cos (− λk ) − sen (− λ k ) 0 


Rz (− λ k ) = sen (− λk ) cos(− λk ) 0 ,


0
0
1 

(5.34)
0
0
1



Rx (− ik ) = 0 cos(− i k ) − sen (− i k )


0 sen (− i k ) cos(− i k ) 
Figura 5.23 – Sistema di riferimento locale N-E-U (North-East-Up)
206
Tabella 5.3 – Parametri orbitali ed algoritmo di calcolo
Relazione
Unità di Commento
misura
µ
k 2 (1 + m) = 3.986005 ⋅ 1014
m 3 / s 2 84
π
π = 3.1415926535898
rad
7.2921151467 ⋅ 10 −5
rad / s Velocità angolare della Terra nel WGS-84
•
Ωe
a
no
a=
( A)
no =
2
µ
a3
Parametro gravitazionale sistema riferimento WGS-
Valore standard di
π
km
Semiasse maggiore
rad / s
Moto medio orbitale
nel sistema GPS
tk
t k = t − t oe
s
Intervallo riferito all’epoca di riferimento
n
n = no + ∆n
rad / s
Moto medio corretto del termine di perturbazione
Mk
M k = M o + nt k
rad
Anomalia media
Ek
Ek = M k + e sin E k
rad
Anomalia eccentrica (risoluzione con metodo
iterativo)
νk
ν
1+e
E
tan k =
tan k
2
1−e
2
rad
Anomalia vera in funzione dell’anomalia eccentrica
Φ k = ν k + uk
rad
Argomento di latitudine
Φk
δuk
δu k = Cus sin 2Φ k + Cuc cos 2Φ k rad
Seconda armonica di pert urbazione dell’argomento u
δ rk
δrk = C rs sin 2Φ k + Crc cos 2Φ k
rad
Seconda armonica di perturbazione del raggio
vettore r
δ ik
δik = Cis sin 2Φ k + Cic cos 2Φ k
rad
Seconda armonica di perturbazionedell’inclinazione
dell’orbita i
207
5.6.3 – Risoluzione numerica
Le coordinate numeriche di un satellite si calcolano per mezzo delle effemeridi o almanacco dei satelliti; la posizione, in post processing, si può
determinare quando sono disponibili i files che contengono tutte le informazioni necessarie. Questi data-files sono normalmente forniti nel formato
RINEX; elaborando tali file si possono schematizzare per ogni satellite le
relative effemeridi come riportato in Tabella 5.3. I dati riportati sono riferiti
al 13/01/2003 alle ore 17.59.44 di tempo GPS.
Definita la posizione del satellite nel sistema di riferimento orbitale, è
necessario eseguire tre rotazioni per poter esprimere le coordinate del
satellite nel sistema di riferimento terrestre (ECEF).
La notazione matriciale delle tre trasformazioni è:
R = RZ ( u) RX (i) RZ (λ )
con le tre matrici di rotazione:
cos( u k ) − sin( u k ) 0
RZ (ω ) =  sin( uk ) cos(u k ) 0
 0
0
1 
0
0 
1
R X (i ) = 0 cos( i k ) − sin (i k )
0 sin ( i k ) cos(i k ) 
 cos( λk ) − sin( λ k ) 0 
RZ (Ω ) =  sin( λk ) cos( λk ) 0 
 0
0
1 
da tali trasformazioni è possibile ricavare le coordinate ECEF:
X E 
 xk 
 Y  = R(i )R (λ )  y 
k
k  k
 E
 Z E 
 0 
Nella tabella 5.6 i coefficienti delle ultime quattro righe evidenziate
forniscono gli elementi della matrice di misura H.
208
Tabella 5.4 – Effemeridi decodificati da un data file nel formato RINEX
SVPNR
week
GM=mu
W(terra)
M(toe)
radice(asse)
D.Motomedio
Ecc
omega
Cuc
Cus
Crc
Crs
Io
Idot
Cic
Cis
Ω0
Omegadot
BiasClock
Biasclokdot
toe
Toss
14
1201
3,99E+14
0,0001
2,1481
5153,6521
0,0000
0,0017
-0,9619
0,0000
0,0000
195,6875
-66,4688
0,9712
0,0000
0,0000
0,0000
-0,6800
0,0000
0,0000
0,0000
151200,0000
150000,0000
31
1201
3,99E+14
0,0001
2,0399
5153,6529
0,0000
0,0014
0,9158
0,0000
0,0000
166,4063
70,1563
0,9400
0,0000
0,0000
0,0000
2,4241
0,0000
0,0003
0,0000
151200,0000
150000,0000
11
1201
3,99E+14
0,0001
2,0196
5153,6567
0,0000
0,0018
-0,3875
0,0000
0,0000
282,1563
94,0938
0,9146
0,0000
0,0000
0,0000
-2,8475
0,0000
0,0000
0,0000
151200,0000
150000,0000
209
3
1201
3,99E+14
0,0001
2,9326
5153,7279
0,0000
0,0042
0,5200
0,0000
0,0000
172,9063
72,6563
0,9313
0,0000
0,0000
0,0000
2,4043
0,0000
0,0001
0,0000
151200,0000
150000,0000
18
1201
3,99E+14
0,0001
-0,4978
5153,7354
0,0000
0,0034
-3,0879
0,0000
0,0000
298,3750
-63,8750
0,9640
0,0000
0,0000
0,0000
-1,6761
0,0000
0,0000
0,0000
151200,0000
150000,0000
15
1201
3,99E+14
0,0001
1,4449
5153,8411
0,0000
0,0083
1,9913
0,0000
0,0000
312,8125
60,8125
0,9740
0,0000
0,0000
0,0000
2,6870
0,0000
0,0001
0,0000
151200,0000
150000,0000
Tabella 5.5 – Parametri calcolati dei satelliti
DT
Asse orbita
MotoMedio
nk
Mk
E0k
Ek1
Anomalia Ecc.
Diff.Anomalia Ecc
tan(θ/2)
θ
rk
uk
ik
xk
yk
lambdak
X(I)
Y(I)
Z(I)
XE(λ)
YE(λ)
ZE(λ)
-1200,0000
26560129,9678
0,0001
0,0001
1,9788
1,9803
1,9803
1,9803
0,0000
1,5244
1,9805
26519497,6143
1,0186
0,9712
13911102,2319
22577975,7376
-0,5049
13911102,2319
12740705,5348
18639726,6848
18338457,7265
4421007,9218
18639726,6848
-1200,0000
26560138,2137
0,0001
0,0001
1,8719
1,8733
1,8733
1,8733
0,0000
1,3598
1,8734
26523539,7042
2,7892
0,9400
-24894027,1111
9153445,9429
2,5991
-24894027,1111
5398659,0296
7391891,0511
18532952,9362
-17475347,2238
7391891,0511
-1200,0000
26560177,3815
0,0001
0,0001
1,8527
1,8544
1,8544
1,8544
0,0000
1,3334
1,8546
26512905,2108
1,4671
0,9146
2744248,3201
26370499,4999
-2,6725
2744248,3201
16088340,1754
20894222,9881
4825920,3963
-15590897,3689
20894222,9881
210
-1200,0000
26560910,9580
0,0001
0,0001
2,7648
2,7663
2,7663
2,7663
0,0000
5,2687
2,7665
26520538,2303
3,2865
0,9312
-26242700,2083
-3828790,1226
2,5793
-26242700,2083
-2285159,4697
-3072080,7282
23420772,4041
-12056893,7965
-3072080,7282
-1200,0000
26560988,5732
0,0001
0,0001
-0,6664
-0,6685
-0,6685
-0,6685
0,0000
-0,3474
-0,6688
26617651,9350
-3,7567
0,9640
-21739293,5814
15359118,1100
-1,5011
-21739293,5814
8758612,5420
12617020,8630
7222965,5836
22296612,9099
12617020,8630
-1200,0000
26562078,0840
0,0001
0,0001
1,2759
1,2839
1,2839
1,2839
0,0000
0,7482
1,2847
26350819,3854
3,2760
0,9740
-26113138,9979
-3531239,7200
2,8619
-26113138,9979
-1984580,4693
-2920803,7115
25646282,7452
-5301204,5157
-2920803,7115
Tabella 5.6 – Coordinate cartesiane ed alto azimutali dei satelliti
Φ(Lat ricevitore)
λ( Long (ricevitore)
h(altezza ort. ricevitore)
a semiasse(WGS84)
ecc2
N(grannormale)
X0(Osserv.)
Y0(Osserv.)
Z0(Osserv.)
∆X(XE -X0)
∆Y(YE-Y0)
∆Z(ZE-Z0)
X(ENU)
Y(ENU)
Z(ENU)
distanza( ρ )
azimut(α)
altezza(h)
∆X(XENU)/ρ
∆Y(YENU)/ρ
∆Ζ(ZENU)/ρ
cδτ/c δτ
0,7127
0,7129
0,7129
0,7129
0,7129
0,7129
0,2490
0,2490
0,2490
0,2490
0,2490
0,2490
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
6378137,0000
0,0067
6387284,0010
4683617,0947
1191155,1786
4148436,8375
13654840,6318
3229852,7431
14491289,8473
-235404,1082
1790881,6479
20090331,7715
20171368,3934
-7,4884
84,8624
-0,01167
0,08878
0,99598
1,00000
6378137,0000
0,0067
6387288,8351
4682698,2332
1190921,4903
4149533,6924
13850254,7030
-18666268,7142
3242357,3587
-21504162,8086
-3317239,7326
8794255,3262
23468532,6403
-98,7693
22,0073
-0,91630
-0,14135
0,37473
1,00000
6378137,0000
0,0067
6387288,8351
4682698,2332
1190921,4903
4149533,6924
143222,1631
-16781818,8593
16744689,2958
-16299375,8167
15281306,7991
7927583,9272
23707268,4303
-46,8464
19,5357
-0,68753
0,64458
0,33439
1,00000
6378137,0000
0,0067
6387288,8351
4682698,2332
1190921,4903
4149533,6924
18738074,1709
-13247815,2868
-7221614,4206
-17457614,2935
-15204525,9499
6544145,6406
24057675,4560
-131,0539
15,7844
-0,72566
-0,63200
0,27202
1,00000
6378137,0000
0,0067
6387288,8351
4682698,2332
1190921,4903
4148436,8375
2540267,3504
21105691,4196
8468584,0254
19828430,6669
1393699,5335
11336270,2336
22882746,4241
85,9794
29,6966
0,86652
0,06091
0,49541
1,00000
6378137,0000
0,0067
6387288,8351
4682698,2332
1190921,4903
4149533,6924
20963584,5120
-6492126,0060
-7070337,4039
-11458886,3224
-17589789,2410
9534279,4893
23056652,9807
-146,9177
24,4259
-0,49699
-0,76289
0,41352
1,00000
211
5.7 – Applicazioni e soluzione
Il trattamento delle equazioni osservazionali descritte in precedenza può
avvenire in differenti modi riguardo al particolare problema di
posizionamento richiesto.
I tre problemi fondamentali del posizionamento sono quelli connessi al
posizionamento di un punto (point positioning) posizionamento relativo di
due punti (relative positioning) ed il posizionamento di una rete di punti.
Il posizionamento si dirà poi statico o cinematico (detto anche dinamico)
a seconda che il punto o i punti sono fissi o mobili rispettivamente.
Le soluzioni connesse al posizionamento statico possono involvere un
punto o più punti. Quelle legate al posizionamento cinematico, riguardano
un punto mobile che viene definito o rispetto ad un sistema di coordinate
geocentrico (posizionamento assoluto) oppure relativamente ad un altro
punto (posizionamento relativo).
La principale caratteristica delle soluzioni statiche è rappresentata dal
fatto che esse vengono elaborate normalmente in modo post-processing,
non esistendo la necessità di risultati in tempo reale. Le soluzioni
cinematiche sono per la quasi totalità richieste in tempo reale ed in generale
la precisione nei risultati è inferiore a quella ottenuta nel posizionamento
statico, ma può comunque essere migliorata come nell’impiego in modo
differenziale.
Numerosi sono dunque i tipi di soluzioni possibili, nei paragrafi che
seguono saranno trattati quelle del posizionamento cinematico assoluto e
del posizionamento relativo.
5.7.1 - Calcolo della posizione GPS
La misura di pseudo-range definisce un luogo di posizione nello spazio
rappresentato da una sfera con centro il satellite e raggio definito dalla
distanza satellite-ricevitore. Per ogni satellite si può scrivere la seguente
equazione:
Ri =
( X − X i )2 + (Y − Yi ) 2 + ( Z − Z i ) 2
+ cδT
(5.35)
con (X, Y, Z) le coordinate incognite del ricevitore, (Xi, Yi, Zi) le coordinate
supposte note del satellite iesimo e δT l’offset incognito dell’orologio del
212
ricevitore. Ogni equazione dipende da quattro incognite, per cui, per il
calcolo della posizione occorrono quattro equazioni e quindi le misure di
quattro pseudo range relative a quattro distinti satelliti (i =1,2,3,4). La
risoluzione del sistema (4.1) si semplifica se si adotta la tecnica della
linearizzazione dei luoghi di posizione rispetto ad un punto stimato.
Se ( X S , YS , Z S ) è la posizione stimata del ricevitore GPS, l’equazione che
esprime la linearizzazione del luogo di posizione è:
 ∂R i 
 ∂R 
 ∂R 
 ∂R 
Ri = R S +  i  δX +  i  δY +  i  δZ + 
 δ (cδT )
 ∂X  S
 ∂Y  S
 ∂Z  S
 ∂(cδT )  S
(5.36)
 ∂R i 
 ∂R 
 ∂R 
 ∂R 
δRi = Ri − RS =  i  δX +  i  δY +  i  δZ + 
 δ (cδT ) (5.37)
 ∂X  S
 ∂Y  S
 ∂Z  S
 ∂(cδT )  S
Le derivate parziali che figurano nella (5.37) sono date dalle seguenti
relazioni:
 ∂R i 

 =
 ∂X  S
 ∂R i 

 =
 ∂Y  S
 ∂R i 

 =
 ∂Z  S
XS − Xi
(X S
− X i ) + (YS − Yi ) + (Z S − Z i )
YS − Yi
(X S
− X i ) + (YS − Yi ) + (Z S − Z i )
Z S − Zi
(X S
− X i ) + (YS − Yi ) + (Z S − Z i )
2
2
2
2
2
2
 ∂R i 

 = 1
 ∂(cδT )  S
2
2
2
= ai
= bi
(5.38)
= ci
(5.39)
Esse rappresentano i coseni direttori del vettore calcolato RS rispetto alla
terna geocentrica di riferimento. Le quattro equazioni possono essere scritte
in forma matriciale nel seguente modo:
∆ R = H ⋅ ∆x
(5.40)
da cui si ha:
∆x = H −1 ⋅ ∆R
213
(5.41)
dove:
δR1 
δR 
∆R =  2  , H =
δR3 
 
δR4 
a1
a
 2
a 3

a 4
b1
b2
b3
b4
1
1
, ∆x =
1

1
c1
c2
c3
c4
 δX 
 δY 


 δZ 


δ (cδT )
(5.42)
La posizione vera del ricevitore GPS è:
xˆ = x S + δx
(5.43)
La (5.43) fornisce la soluzione per mezzo del vettore x; ma, essendo in
presenza di errori di misura, il vettore trovato può essere considerato una
soluzione migliore di quella stimata di partenza. La soluzione finale si
ottiene con un processo di iterazione che termina quando la differenza degli
ultimi due vettori è inferiore all’errore di troncamento scelto nello sviluppo
dell’equazione (5.36) o (5.37).
5.7.2 – Soluzione ai minimi quadrati
In presenza di un numero di satelliti superiore al numero di incognite e
degli errori di misura delle pseudorange, la soluzione va cercata con la
tecnica dei minimi quadrati; il sistema di equazioni, in forma vettoriale, è:
∆R = H ⋅ ∆x + ∆ε R
(5.44)
dove:
∆R1
a1
b1
c1
1
∆R2
∆R3
∆R = − , H =
∆Ri
−
∆Rn
a2
a3
−
ai
b2
b3
−
bi
−
bn
c2
c3
−
ci
−
cn
1
∆ε 2
 ∆X 
1
∆ε 3
 ∆Y 


1, ∆ x =
, ∆ε R = −
 ∆Z 
1
∆ε i


∆ (cδT )

1
−
1
∆ε n
an
∆ε 1
(5.45)
La soluzione del sistema (5.44), operando con un’ipotesi di errori a media
nulla, è data dalla seguente equazione:
214
(
∆xˆ = H T H
)
−1
H T ∆R
(5.46)
oppure, quando sono assegnati gli errori per ogni misura di pseudo range
R −1 , la soluzione ai minimi quadrati è la seguente:
(
∆xˆ = H T ∆ε −1H
)
−1
H T ∆ε −1∆R
(5.47)
La soluzione ai minimi quadrati (5.47), essendo alla presenza d’errori di
misura, può essere considerata una stima di quella stimata di partenza,
perciò si opererà, per avere la soluzione finale, con un processo di
iterazione che termina quando la differenza degli ultimi due vettori è
inferiore all’errore di troncamento scelto nello sviluppo dell’equazione
(5.37).
5.7.3 – Calcolo della posizione
Se si considera un ricevitore posto sull’equatore e sul meridiano di
Greenwich ( φ = 0 , λ = 0, h = 0 ) con un bias di 28.4984 ms pari a 85 491.5
m con c = 2.99792458 ⋅ 10 8 m / s . È possibile simulare una soluzione del
problema applicando la risoluzione proposta nel paragrafo 5.7.2.
Nel sistema WGS-84 il vettore geocentrico che rappresenta il ricevitore è
il seguente:
x = [x, y, z , cδT ] = [6378137.0,0,0,85000.0]
T
T
(m)
(5.48)
Ad un certo istante sono osservate 7 satelliti le cui coordinate sono riportate
in tabella:
Tabella 5.7 Coordinate geocentriche dei satelliti in vista
n. satellite
Coordinata x (m) Coordinata y (m) Coordinate z (m)
SV 01
SV 02
SV 08
SV 14
SV 17
SV 23
SV 24
22 808 169.9
21 141 179.5
20 438 959.3
18 432 296.2
21 772 117.8
15 561 523.9
13 773 316.6
-12 005 866.6
-2 355 056.3
-4 238 967.1
-18 613 382.5
13 773269.7
3 469 098.6
15 929 331.4
e si considera la seguente posizione stimata:
215
-6 609 526,5
-15 985 716.1
16 502 090.2
-4 672 400.8
6 656 636.4
-21 303 596.2
-16 266 254.4
xˆ = [6377000.0 , 3000, 0, 4000.0, 85000.0]
T
(m) (5.49)
Dopo si procede al calcolo della pseudorange e dei versori di ogni satellite
rispetto alla terna di riferimento:
Tabella 5.8 - Parametri geometri dei satelliti in vista
n. satellite ρ calcolata (m)
δR
δR
δR
δX
SV 01
SV 02
SV 08
SV 14
SV 17
SV 23
SV 24
21 399 408.0
21 890 921.6
22 088 910.4
22 666 464.0
21 699 943.6
23 460 242.4
23 938 978.9
0.767832
0.674443
0.636607
0.531856
0.709454
0.391493
0.308965
-
δY
δZ
0.561178
0.107718
0.192041
0.821318
0.634576
0.147744
0.665289
- 0.309052
- 0.730427
0.746895
- 0.206314
0.306574
- 0.908243
- 0.679655
Dalla quale si calcola la matrice di misura:
Tabella 5.9 – Parametri geometri stimati dei satelliti in vista
N. satellite pseudorange
∆R
simulata (m)
(m)
SV 01
SV 02
SV 08
SV 14
SV 17
SV 23
SV 24
21 480 623.2
21 971 919.2
22 175 603.9
22 747 561.5
21 787 252.3
23 541 613.4
24 022907.4
- 81 215.3
- 80 997.6
- 86 693.4
- 81 097.6
- 87 308.8
- 81 371.0
- 83 928.6
Tabella 5.10 – Matrice di misura dei satelliti in vista
− 0.767832 0.561178
0.309052
− 0.674443 0.107718
0.730427
− 0.636607 0.192041 − 0.746895
H = − 0.531856 0.821318
0.206514
− 0.709454 − 0.634576 − 0.306574
− 0.391493 − 0.147744 0.908243
− 0.308965 − 0.665289 0.679655
1
1
1
1
1
1
1
La soluzione del sistema (5.46) dà la seguente soluzione:
216
(5.50)
∆x = [− 1131.8,2996.8,3993.1,−84996.4] (m) (5.51)
che permette di ricavare la posizione satellitare:
xˆ ' = xˆ + ∆x = [6378131.8,3.2,6,9,84996.4] (m) (5.52)
Si fa osservare che la posizione calcolata è una stima molto vicina alla
posizione considerata; in ogni caso, essa contiene errori prodotti dalla
misura delle pseudorange e dall’inesattezza dei versori calcolati dei satelliti
utilizzati. Per una più accurata determinazione della posizione occorrerebbe
utilizzare l’ultima posizione calcolata come nuova posizione stimata e rifare
i calcoli: occorrerà adottare la tecnica di iterazione in modo da rendere
minimo l’errore di posizione fra valore calcolato e quello stimato;
l’iterazione cessa quando si verifica la seguente condizione:
xˆ j +1 − xˆ j ≤ ε
(m)
(5.53)
con ε errore di troncamento.
Una successiva iterazione del calcolo porta al seguente vettore:
∆x ' = [0.3,−0.1,−0.2,0.6 ] (m)
(5.54)
e la posizione finale:
xˆ ' ' = xˆ '+ ∆x' = [6378131.5,3.3,7.1,84995.8] (m)
(5.55)
con il vettore ∆x p 1m non è necessario continuare l’iterazione dato che
una ulteriore iterazione non porterebbe un significativo miglioramento della
stima del vettore posizione. L’errore finale sulla posizione è:
∆x = [− 5.5,3.2,7.1, − 4.2] (m)
T
(5.56)
Il vettore (5.55) permette di calcolare le coordinate geocentriche del
ricevitore la cui posizione iniziale è stata definita dal vettore (5.48):
217
z
7. 1
=
= 0 .0000011 , → φ = 0°13 '09 .33 ' ' N
R 6378132
Y
3.3
tan λ = =
= 0 .0000005 , → λ = 0°06'06.8' ' E
x 6378131 .5
sin φ =
5.7.4 – La posizione ai minimi quadrati
Nel posizionamento cinematico il modello matematico è del tipo:
R = f [x, r , (dt − dT )]
(5.57)
in cui le tre coordinate in x e la quantità (dt – dT) rappresentano le 4
incognite, mentre R è la quantità osservata.
Mediante la tecnica della multilaterazione satellitare risulta chiaro che
sono richieste, come abbiamo già precedentemente detto, almeno tre
equazioni osservazionali di pseudo-range per determinare le tre coordinate
in R ed una quarta equazione per risolvere l’incognita (dt – dT).
Il dt, che si trova nella (5.57) in pratica viene fornito dal messaggio di
navigazione, per cui la soluzione, in effetti, riguarda solamente il dT
relativo all’offset del ricevitore. La ridondanza del sistema è:
η =n−4
(5.58)
con n numero totale delle pseudorange osservate.
La soluzione del posizionamento assoluto, come precedentemente visto,
richiede n = 4 ( ridondanza nulla); quando sono disponibili un numero di
satelliti superiore a quello minimi necessario n>4. E’ possibile utilizzare
tutte le misure e fare anche una valutazione degli errori di misura.
L’approccio seguito nella riduzione consiste nel considerare il modello
matematico (5.57) nella sua versione linearizzata:
∆R = H∆x + w
(5.59)
dove ∆R è un vettore n × 1 , H è la matrice n × 4 ,w è un vettore che in
include tutti gli errori di misura n × 1 con n numero righe (misure associate
agli n satelliti in vista). Gli elementi del vettore w sono forniti dalla
differenza fra pseudorange misurata e pseudorange calcolata rispetto al
punto stimato dalla relazione (5.57); gli elementi del vettore ∆R sono dati
dai residui corrispondenti agli n pseudo-range, mentre H rappresenta la
218
matrice di misura.
L’espressione matriciale (5.59) può essere esplicitata nel seguente modo:
 ∆R1 
 w1 
 a11
∆R 
w 
a
 2
 2
 21
, w =  , H = 
∆R = 


 




 
∆Rn 
 w2 
 a n1
a12
a13
a 22
a 23
an 2
an 3
1
1
, ∆x =


1
 ∆X 
 ∆Y 


 ∆Z 


c∆T 
(5.60)
 w112

 −
T
2
ww = w =  −

 −
w w
 n1 1n
w1n wn1  1
 
−  0
−  = 0
 
−  0
2
 0
wnn

w12 w21
−
−
−
−
2
w22
−
−
wn 2 w21
−
−
−
−
n
n
i =1 , j =1
i =1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0σ o2

0
1
∑ wi w j = ∑ wi2 = minimo
con la ricerca della condizione
Questa condizione porta a scrivere la seguente relazione:
( H∆x − ∆R )( H∆x − ∆R )t
= w2
(5.61)
L’applicazione dei minimi quadrati porta a scrivere la (5.59) nel seguente
modo:
( H∆x − ∆R )(H T ∆x T − ∆R T ) = w 2
(H H )(∆x ∆x )− ∆R H∆x − H ∆x ∆R + (∆R ∆R ) = w
(H H )(∆x ) − ∆R H∆x − H ∆x ∆R + (∆R ) = w
T
T
T
2
T
T
T
T
T
T
T
2
2
(5.62)
2
l’ultima relazione della (5.62) può considerarsi una funzione di ∆x ; la
219
ricerca del minimo e del massimo porta al calcolo della sua derivata prima.
Derivando l’ultima espressione delle (6.60) si ha:
(
)
2 H T H ∆x − ∆R T H − H T ∆R = 0
ma essendo
∆R T H = H T ∆R
si ottiene l’espressione finale della soluzione ottimale:
(
∆x = H T H
)
−1
H T ∆R
(5.63)
La matrice di covarianza degli errori C per le tre coordinate del punto e
dell’offset del ricevitore è:
σ 2x

σ xy
−1
T
C = H H σo = 
σ xz

σ xT
(
)
σ xy
σ xz
σ 2y
σ yz
σ yz
σz
σ yT
σ zT
2
σ xT 

σ yT 
σ zT 
2 
σ T 
(5.64)
che definisce le varianze delle 4 incognite. Quando la matrice di covarianza
delle pseudo-range è unitaria, il che equivale ad assumere che gli errori
nelle misure dello pseudo-range sono uguali, non correlati e pari all’unità,
la matrice di covarianza degli errori diventa:
(
C = HTH
)
−1
(5.65)
evidenziando il legame tra le matrici di covarianza degli errori e la
geometria del sistema.
La soluzione ai minimi quadrati, per un numero di satelliti superiore al
numero di incognite, permette di valutare quale sia l’influenza degli errori
di misura sull’accuratezza della posizione calcolata. Operando l’ipotesi che
gli errori di misura sono di natura casuale (errori a media nulla),
l’equazione (5.46) moltiplicata per la sua trasposta dà:
(
∆xˆ = H T H
)
−1
[(
H T ∆R , ∆xˆ T = H T H
220
)
−1
H T ∆R
]
T
(
)
−1
E ∆x ⋅ ∆x T = H T H
E ∆R ⋅ ∆R T
(5.66)
Nella (5.66), nell’ipotesi che gli errori non sono correlati, il secondo
membro può scriversi nella seguente forma:
E ∆R ⋅ ∆R T = σ o I
2
(5.67)
con I la matrice unitaria e σ o la varianza degli errori di misura.
Se, allora, si esprime il vettore posizione ∆x secondo il riferimento locale
(Est, Nord, Alto) :
2
∆x = [∆E , ∆N , ∆U , ∆cT ]
allora la (5.66) può esplicitarsi nel seguente modo:
E ∆xˆ ∆xˆ
T
 E ∆E 2

 E ∆N ∆E
=
E ∆U∆E

 E ∆cT∆E

E ∆E∆N
E ∆E∆U
E ∆N 2
E ∆N ∆U
E ∆U ∆N
E ∆U 2
E ∆cT∆N
E ∆cT∆U
E ∆E∆cT 

E ∆N∆cT 
= σ 2 (5.68)

E ∆U ∆cT

2 
E ∆(cT )

i cui elementi della matrice rappresentano le incertezze del punto calcolato
in termine degli errori di misura, essendo valida la condizione (5.67).
Le quattro varianze della diagonale principale sono utilizzate per definire
le varie misure di diluizione di precisione (DOP), essendo appunto il DOP
(diluition of Precision) uno scalare utilizzato per rappresentare il contributo
geometrico della configurazione alla precisione della posizione.
La diagonale formata dalle varianze delle incognite definisce la
diluizione geometrica di precisione (GDOP) essendo:
(
GDOP = traccia H T H
)
−1
= σ x2 + σ 2y + σ z2 + σ T2
(5.69)
La stretta correlazione tra accuratezza e geometria dei satelliti è trattata nel
paragrafo 5.8.
221
5.7.5 – Calcolo ai minimi quadrati
Nella tabella seguente sono riportati nella prima riga il numero dei
satelliti visibili, l’azimut e l’altezza per un osservatore posto nel punto di
coordinate φ = 40°50'47' ' N , λ = 14°16'09' ' E
3
-51,04
61,79
4
62,44
51,65
8
74,98
78,48
10
-145,21
43,36
11
52,05
49,19
12
20
148,47 111,02
80,63 36,65
22
49,15
29,45
24
138,35
44,98
Dalla tabella si ricava la seguente matrice di misura H:
-0,3676021
0,5500021
0,1929305
-0,4148288
0,5153533
0,0851300
-0,7489687
-0,5838983
0,4701177
0,2972038
0,287070 9
0,0517536
-0,5971514
0,4018941
-0,1387657
-0,2877660
0,7943371
-0,5285076
0,8812143
0,7842754
0,9798466
0,6865327
0,7568964
0,9866595
0,5968557
0,6356825
0,7068727
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Supposto di aver calcolato il seguente vettore misura ∆R :
N.Sat
∆R
3
4
8
10
11
12
20
22
24
-450
250
345
-560
-700
450
-450
-456
-767
La risoluzione del sistema (5.46) richiede il calcolo della matrice trasposta
(HT), l’inversa del prodotto
prodotto (H T H ) H T ∆R .
La matrice trasposta è:
(H H )
T
−1
e il prodotto H T ∆R ed infine il
−1
-0,367602079
0,297203803
0,881214282
1
0,550002140
0,287070914
0,784275421
1
0,192930480
0,051753641
0,979846616
1
-0,414828847
-0,597151416
0,686532748
1
0,515353288
0,401894093
0,756896378
1
0,085130030
-0,138765692
0,986659496
1
-0,748968661
-0,287766003
0,596855654
1
-0,583898265
0,794337116
0,635682455
1
0,470117653
-0,528507625
0,706872749
1
222
La matrice inversa è:
0,591566249
0,013510476
-0,861902830
0,013510476
0,593078817
-0,152882083
0,691204058
0,101157422
-0,861902830
-0,152882083
7,462614232
-5,840698604
0,691204058
0,101157422
-5,840698604
4,683532367
Il prodotto matrice trasposta per vettore misura:
522,061
119,158
-1433,347
-2338,000
Il vettore finale, dato dalla (5.46), è:
-70,19
60,35
2490,85
-2205,45
Questo vettore sommato alla posizione iniziale espressa in coordinate
cartesiane rettangolari fornisce la seguente posizione:
X (m)
Y (m)
Z (m)
cδt (m)
δt (µs ) offset
4682628,05
1190981,84
4152024,55
-2205,45
-7,35
Che forniscono la seguente posizione geografica:
φ = 40° 43.127' N , λ = 14° 16.204' E
,
GDOP = 8.85
5.7.6 – Calcolo numerico del GDOP
Un esempio di calcolo di GDOP può ricavarsi riprendendo i dati finali
riportati in tabella 5.6 qui di seguito riportati in tabella 5.11.
223
Tabella 5.11 – Matrice di misura dei satelliti in vista
SVRPN
∆X(XENU)/ρ
∆Y(YENU)/ρ
∆Ζ(ZENU)/ρ
cδτ/c δτ
14
-0,01167
0,08878
0,99598
1,00000
31
-0,91630
-0,14135
0,37473
1,00000
11
-0,68753
0,64458
0,33439
1,00000
3
-0,72566
-0,63200
0,27202
1,00000
18
0,86652
0,06091
0,49541
1,00000
16
-0,49699
-0,76289
0,41352
1,00000
Applicando la relazione (5.69) si ottiene la seguente matrice:
(H H )
T
−1
0.1500 − 0.4766 0.3228 
 0.4459
 0.1500
0.8282 − 0.5108 0.3783 
=
− 0.4766 − 0.5108 3.5528 − 1.8586


0.3783 − 1.8586 1.1654 
 0.3228
dalla quale si ricava : GDOP = traccia (H T H ) = 2.38
−1
5.7.7 – Posizionamento relativo
Il posizionamento relativo si propone di determinare le componenti
∆R = (∆x, ∆y, ∆z ) di una linea base differenziando misure simultanee di
pseudo-range o di fase acquisite simultaneamente mediante due ricevitori
posti agli estremi della baseline.
La simultaneità delle osservazioni è fondamentale per eliminare o ridurre
gli errori comuni. Quando l’osservabile è la fase l’equazione osservazionale
produce il seguente modello matematico:
Φ = F (∆R, ∆r , ∆T , ∆N )
(5.70)
in cui come si vede è ancora presente l’errore dell’orologio dT dei ricevitori
per contro è eliminato quello satellitare dt. Gli effetti dovuti agli errori di
effemeridi e di rifrazione, essendo quasi identici nei due punti di stazione,
vengono fortemente ridotti. Va però rilevata la presenza di un’ulteriore
incognita ∆N dovuta all’ambiguità di fase per questo nel posizionamento
relativo (mediante differenze singole) essendo 5 le incognite, la soluzione
richiede almeno 5 equazioni. Quando poi si considerano le soluzioni con
l’impiego di differenze doppie e di differenze triple si ritorna a soluzioni
richiedenti nuovamente 4 equazioni.
224