Serie 6: Fenomeni ondulatori VI

FAM
Serie 6: Fenomeni ondulatori VI
C. Ferrari
Esercizio 1 Equazione dell’iperbole ed interferenza
Considera due sorgenti S1 e S2 poste sull’asse Ox in x = − d e x = d .
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2
1. Nel piano Oxy determina le equazioni cartesiane dei luoghi geometrici (iperboli) in cui si osservano interferenze costruttive rispettivamente distruttive.
2. A che cosa corrisponde l’intersezione delle iperboli con la retta y = 2? Rappresenta graficamente la situazione.
3. Se d = 0,1 mm e la lunghezza d’onda vale λ = 560 nm determina le coordinate
dei punti corrispondenti ai primi 3 massimi di interferenza costruttiva se lo
schermo è posto ad una distanza y = 2 m.
4. Ripeti il punto 1. nello spazio ed utilizza Maple per rappresentare alcune superfici di interferenza costruttiva e distruttiva. Queste superfici sono degli iperboloidi di rotazione. A cosa corrispondono le intersezioni di questi iperboloidi
con dei piani perpendicolari agli assi Oy e Ox?
Esercizio 2 Interferenza da N fenditure
Studia l’interferenza ottenuta con N fenditure separate l’una dall’altra da una distanza g. Supponi che il punto P preso in considerazione si trovi ad una distanza
D ≫ g e che le N fenditure siano sorgenti di onde armoniche temporalmente in fase.
Ricorda che
2
I¯ = I¯0 sin N X
sin X
dove X = πg sin θ/λ.
1. Rappresenta graficamente con Maple l’intensità media in funzione di g sin θ/λ
per N = 2, 4, 8, 50.
2. Verifica, utilizzando il grafico del punto 2, che i massimi principali sono determinati dalla condizione
g sin θ = nλ , (n ∈ Z) .
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Esercizio 3 Interferenza da N fenditure
1. Della luce cade normalmente su di un reticolo con 4000 tratti/cm e l’immagine
del secondo picco principale si trova a 34◦ rispetto alla normale. Calcola la
lunghezza d’onda della luce e stabilisci a quale colore corrisponde.
2. Un fascio di luce verde (λ = 5400 Å) è diffratto da un reticolo di 2000 tratti/cm.
(a) Calcola la deviazione angolare dell’immagine del terzo picco principale.
(b) È possibile che si ottenga il decimo picco principale?
Esercizio 4 Interferenza da N fenditure: dispersione e risoluzione
Consideriamo un reticolo sul quale incide un fascio di luce con diverse lunghezze
d’onda. Si parla anche di reticolo di diffrazione.
• Definiamo la dispersione D del reticolo, parametro che caratterizza la separazione angolare tra due righe, come
∆θ
D=
∆λ
dove ∆θ è la distanza angolare tra due righe la cui lunghezza d’onda differisce
di ∆λ. Più D è grande maggiore è la dispersione. Si dimostra che
n
D=
g cos θ
dove n è l’ordine del picco.
• Definiamo il potere di risoluzione R del reticolo, parametro che caratterizza
la larghezza delle righe, come
λ̄
R=
∆λ
dove λ̄ è la media delle lunghezze d’onda di due righe e ∆λ la loro differenza.
Si dimostra che
R = Nn
dove n è l’ordine del picco e N il numero di fenditure.
Considera tre reticoli A, B e C per il quale si considera il primo picco (n = 1) con i
seguenti dati:
Reticolo
A
B
C
N
1 · 104
2 · 104
1 · 104
g [nm]
2540
2540
1370
θ
13,4◦
13,4◦
25,5◦
D [◦ /µm]
R
1. Completa la tabella e commenta e rappresenta qualitativamente l’intensità di
due righe con lunghezza d’onda vicina.
2. Dimostra le formule per D e R. Per far ciò utilizza che la larghezza di una riga
che si trova ad un angolo θ è data da
λ
δθ =
.
Ng cos θ
2
Esercizio 5 Interferenza da N fenditure: il doppietto del sodio
Un reticolo di diffrazione dotato di 1,26 · 104 incisioni uniformemente spartire su
una lunghezza di 25,4 mm è illuminato perpendicolarmente dalla luce gialla di una
lampada a vapori di sodio. Questa luce contiene due righe molto vicine (il noto
doppietto del sodio) con lunghezze d’onda λ1 = 589 nm e λ2 = 589,59 nm.
1. Qual è la posizione angolare del primo massimo relativo alla prima delle due
lunghezze d’onda, e per la seconda?
2. Qual è la distanza angolare tra le due righe disperse dal reticolo al primo
ordine?
3. Qual è la larghezza delle righe al primo ordine? È risolvibile (ossia distinguibile)
il doppietto del sodio?
4. Quante incisioni deve avere come minimo il reticolo per poter risolvere il
doppietto del sodio al primo ordine?
5. Se il terzo ordine viene osservato con un angolo di 10◦ e in tale situazione il
doppietto è appena risolto, qual è il passo del reticolo e la larghezza totale del
reticolo?
Esercizio 6 Diffrazione di onde luminose
1. Un fascio di luce monocromatica incide su una fenditura larga 22 µm e produce
il primo minimo di diffrazione nella direzione che forma un angolo di 1,8o
rispetto al raggio incidente. Trova la lunghezza d’onda della luce e stabilisci a
quale colore corrisponde.
2. Una fenditura di 0,1 mm di larghezza viene illuminata con luce di 6000 Å di
lunghezza d’onda e si osservano le bande di diffrazione prodotte su di uno
schermo distante 40 cm dalla fenditura. Quanto dista la terza banda scura
dalla banda chiara centrale?
Esercizio 7 Diffrazione di onde luminose
Su una stretta fenditura incide una luce monocromatica di lunghezza d’onda 441 nm.
Su uno schermo posto a 2 m di distanza, l’intervallo tra il massimo centrale ed il
secondo minimo risulta essere di 1,5 cm.
1. Calcola l’angolo di diffrazione del secondo minimo.
2. Determina la larghezza della fenditura.
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Esercizio 8 Trasmissione di un’onda piana da una fenditura
Considera un’onda piana di lunghezza d’onda λ che incide su una fenditura di
larghezza a.
1. Sia X = a π sin θ. Calcola i limiti
λ
lim sin X
a
→0
λ
e
X
lim sin X
a
→∞
λ
X
e determina cosa accade nei casi a ≪ λ e a ≫ λ. Fai un disegno della propagazione dell’onda (prima e dopo la fenditura) nei due casi e stabilisci con quali
angoli è “trasmessa” l’onda piana dopo la fenditura.
2. Che cosa accade se a ≃ λ? Con l’aiuto di Maple, rappresenta graficamente
l’intensità I¯ in funzione di θ quando a = 10λ e l’intensità del picco centrale
vale 10 mW/cm2 .
3. Se λa = m, dove ⌊x⌋ ∈ Z rappresenta la parte intera di x ∈ R, quanti minimi
di diffrazione si avranno?
4. Dimostra che la larghezza angolare del picco centrale di diffrazione vale
∆θ = 2 arcsin λ
a
e verifica il risultato nel caso dell’esempio del punto 2.
Esercizio 9 Diffrazione di onde acustiche
Onde sonore di 3000 Hz di frequenza e con una velocità di 343 m/s vengono diffratte
dall’apertura rettangolare di una cassa acustica in un vasto auditorium. L’apertura,
larga 30 cm, dista 100 m dalla parete di fondo dell’auditorium.
Cassa acustica
Asse centrale
100 m
Localizza sulla parete il primo minimo di diffrazione e quindi la posizione d’ascolto
meno favorevole. (Trascura la riflessione del suono sulle pareti.)
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Esercizio 10 Criterio di Rayleigh
Consideriamo la diffrazione della luce attraverso un foro circolare (e non una fenditura rettangolare) di diametro a. Si dimostra che il primo minimo della figura di
diffrazione si ottiene per
λ
sin θ = 1,22 .
a
Considerando due sorgenti lontane dal foro e con una lieve distanza angolare, esse
sono risolvibili (cioè distinguibili) a partire dalla situazione in cui il massimo centrale
della figura di diffrazione di una sorgente coincide con il primo minimo della figura
di diffrazione dell’altra (criterio di Rayleigh), questo vale se θ ≥ θmin dove per
piccoli angoli
λ
θmin ≈ sin θmin = 1,22 .
a
La risoluzione di un telescopio è limitata dal diametro della lente oppure dal diametro
dello specchio dell’obiettivo. Un tipico telescopio astronomico amatoriale può avere
uno specchio di diametro 15,24 cm.
1. Qual è la minima separazione angolare (in secondo d’angolo) di due stelle
perché possano essere risolte con un telescopio di questo tipo? (Considera
λ = 550 nm).
2. Qual è la minima distanza (in km) che devono avere due punti sulla superficie della Luna perché possano essere risolti da un telescopio di questo tipo?
(Distanza Terra-Luna: 384400 km).
Esercizio 11 Diffrazione da una doppia fenditura
Una luce di lunghezza d’onda 440 nm passa attraverso una doppia fenditura dando
luogo ad una figura di diffrazione la cui intensità è mostrata nella figura sottostante.
1. Calcola la larghezza delle fenditure e la loro distanza.
2. Verifica la correttezza dei valori di intensità indicati per le prime due frange
laterali.
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Esercizio 12 Diffrazione da una doppia fenditura
Nell’esperimento con un sistema a due fenditure la lunghezza d’onda vale 405 nm,
la distanza tra le fenditure vale d = 19,44 µm e la larghezza delle fenditure vale
a = 4,05 µm.
1. Quante frange chiare si contano dentro il picco centrale dell’inviluppo di diffrazione?
2. Quante frange chiare sono contenute dentro uno dei due primi massimi laterali?
3. Utilizza Maple per rappresentare la figura di diffrazione ottenuta e verifica i
risultati dei punti precedenti se l’intensità del picco centrale vale 10 mW/cm2 .
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